2016_2017学年高中数学数系的扩充与复数的引入5.1.1数的概念的扩展5.1.2复数的有关概念学业分层测评含解析

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5.1.1 数的概念的扩展
5.1.2 复数的有关概念
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.(2016·泰安高二检测)－(2－2i)的虚部是( )
A.－2 B.－2
C.2 D.2
【解析】 ∵－(2－2i)＝－2＋2i，
∴其虚部是2.
【答案】 C
2.(2016·青岛高二检测)在复平面内，复数z＝sin 2＋icos 2对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】 ∵sin 2>0，cos 2<0，
∴复数z对应的点(sin 2，cos 2)在第四象限.故选D.
【答案】 D
3.(2016·肇庆高二检测)若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝( )
A.－2＋i B.2＋i
C.1－2i D.1＋2i
【解析】 由i2＝－1，得xi－i2＝1＋xi，则由题意得1＋xi＝y＋2i，根据复数相等
的充要条件得x＝2，y＝1，故x＋yi＝2＋i.
【答案】 B
4.已知复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则( )
A.a≠2或a≠1 B.a≠2，且a≠1
C.a＝0 D.a＝2或a＝0
【解析】 由题意，得a2－2a＝0，得a＝0或a＝2.故选D.
【答案】 D
5.如果复数z满足条件z＋|z|＝2＋i，那么z＝( )

A.－34＋i B.34－i

C.－34－i D.34＋i
2

【解析】 设z＝a＋bi(a，b∈R)，由复数相等的充要条件，得a＋a2＋b2＝2，b＝1，解得





a
＝34，

b
＝1，

即z＝34＋i.

【答案】 D
二、填空题
6.设i为虚数单位，若复数z＝(m2＋2m－3)＋(m－1)i是纯虚数，则实数m＝__________.

【解析】 依题意有m2＋2m－3＝0，m－1≠0，解得m＝－3.
【答案】 －3
7.以3i－2的虚部为实部，以3i2＋2i的实部为虚部的复数是__________.
【解析】 3i－2的虚部为3，3i2＋2i＝－3＋2i的实部为－3，所以所求的复数
是3－3i.
【答案】 3－3i
8.复数z＝x＋1＋(y－2)i(x，y∈R)，且|z|＝3，则点Z(x，y)的轨迹是________.
【解析】 ∵|z|＝3，
∴（x＋1）2＋（y－2）2＝3，即(x＋1)2＋(y－2)2＝32.故点Z(x，y)的轨迹是以(－1，
2)为圆心，以3为半径的圆.
【答案】 以(－1，2)为圆心，以3为半径的圆
三、解答题

9.已知m∈R，复数z＝m（m＋2）m－1＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时；

(1)z∈R；(2)z是虚数；(3)z是纯虚数；(4)z＝12－4i?
【解】 (1)∵z∈R，
∴m2＋2m－3＝0，m－1≠0，解得m＝－3，
∴当m＝－3时，z∈R.
(2)∵z是虚数，

∴m2＋2m－3≠0，m－1≠0，即m≠1且m≠－3，m≠1，
∴当m≠1且m≠－3时，z是虚数.
(3)∵z是纯虚数，
3

∴m2＋2m－3≠0，m（m＋2）m－1＝0，即m≠1且m≠－3，m＝0或m＝－2，
∴当m＝0或m＝－2时，z是纯虚数.
(4)∵z＝12－4i，

∴m（m＋2）m－1＝12，m2＋2m－3＝－4，即m＝－1或－12，m＝－1，
∴m＝－1时，z＝12－4i.
10.已知O为坐标原点，OZ→1对应的复数为－3＋4i，OZ→2对应的复数为2a＋i(a∈R).若
OZ
→

1与OZ→2
共线，求a的值.
【解】 因为OZ→1对应的复数为－3＋4i，OZ→2对应的复数为2a＋i，所以OZ→1＝(－3，4)，
OZ→2＝(2a，1).因为OZ→1与OZ→2共线，所以存在实数k使OZ→2＝kOZ→1，即(2a，1)＝k
(－3，4)＝(－

3k，4k)，

所以2a＝－3k，1＝4k，所以k＝14，a＝－38，
即a的值为－38.
[能力提升]
1.若复数z＝sin θ－35＋cos θ－45i是纯虚数，则tanθ－π4的值为( )

A.－7 B.－17
C.7 D.－7或－17
【解析】 ∵复数z是纯虚数，

∴sin θ－35＝0，cos θ－45≠0，∴sin θ＝35且cos θ≠45，∴cos θ＝－45.
∴tan θ＝sin θcos θ＝－34.
4

∴tanθ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝－34－11－34＝－7，故选A.
【答案】 A
2.已知复数z对应的向量为OZ→(O为坐标原点)，OZ→与实轴正向的夹角为120°，且复数
z的模为2，则复数z
为( )

A.1＋3i B.2
C.(－1, 3) D.－1＋3i
【解析】 设复数z对应的点为(x，y)，则

x＝|z
|·cos 120°＝2×－12＝－1，

y＝|z
|·sin 120°＝2×32＝3，

∴复数z对应的点为(－1, 3)，∴z＝－1＋3i.
【答案】 D
3.复数z＝－5－12i在复平面内对应的点到原点的距离为__________.
【解析】 复数z＝－5－12i在复平面内对应点Z(－5，－12)，所以点Z与原点O的
距离为|OZ|＝（－5）2＋（－12）2＝13.
【答案】 13
4.若m为实数，z1＝(m2＋1)＋(m3＋3m2＋2m)i，z2＝(4m＋2)＋(m3－5m2＋4m)i，那么使
z1>z2的m值的集合是什么？使z1的值的集合又是什么？

【解】 当z1∈R时，m3＋3m2＋2m＝0，
解得m＝0或m＝－1或m＝－2，
∴z1＝1或z1＝2或z1＝5.
当z2∈R时，m3－5m2＋4m＝0，
解得m＝0或m＝1或m＝4，
∴z2＝2或z2＝6或z2＝18.
上面m的公共值为m＝0，此时，z1与z2同时为实数，且z1＝1，z2＝2.
∴当z1>z2时，m值的集合为空集；当z1