2019-2020高二下学期数学期末考试模拟试卷 (20)-0708(解析版)
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第1页，共15页 2019-2020高二下学期数学期末考试模拟试卷 (20)
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 设集合𝐴={𝑥|𝑥2−𝑥−12>0}，𝐵={𝑥|−2≤𝑥≤6}，则(∁𝑅𝐴)∪𝐵=( )
A. R B. [−3,6] C. [−2,4] D. (−3,6]
2. 已知𝑍=−2+3𝑖，求|𝑍|=(
)
A.
1
B.
√2
C.
√13 D. 3
3.
在数列{𝑎𝑛}中，𝑎1=2,2𝑎𝑛+1=2𝑎𝑛+1,则𝑎101的值为( )
A. 49 B. 50 C. 51 D. 52
4. 已知焦点在x轴的椭圆方程：𝑥2𝑎2+𝑦2=1，过焦点作垂直于x轴的直线交椭圆于A、B两点，且|𝐴𝐵|=1，则该椭圆的离心率为( )
A. √32 B. 12 C. √154 D. √33
5. 已知非零向量𝑚⃗⃗⃗ ,𝑛⃗ 的夹角为𝜋3，且𝑛⃗ ⊥(−2𝑚⃗⃗⃗ +𝑛⃗ )，则|𝑚⃗⃗⃗ ||𝑛⃗⃗ |=( )
A. 1 B. 2 C. 12 D. 13
6. 某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有( )
A. 72 B. 36 C. 24 D. 18
7. “𝑎+𝑏=0”的充分不必要条件是( )
A. 𝑎=−𝑏 B. 𝑎2=𝑏2 C. 1𝑎+1𝑏=0 D. 𝑒𝑎⋅𝑒𝑏=1
8. 函数 𝑓(𝑥)=ln(𝑥−sin𝑥𝑥+sin𝑥)的图象大致是( )
A. B.
C. D.
9. 在棱长为1的正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，E，F分别是𝐷𝐷1和AB的中点，平面𝐵1𝐸𝐹交棱AD于点P，则𝑃𝐸=( )
A. √156 B. 2√33 C. √32 D. √136 第2页，共15页 10. 如图所示，分别以点B和点D为圆心，以线段BD的长为半径作两个圆．若在该图形内任取一点，则该点取自四边形ABCD内的概率为( )
A. 3√38𝜋+3√3
B.
√34𝜋−√3 C. 3√38𝜋 D. √34𝜋
11. 已知函数𝑓(𝑥)=sin4 𝜔𝑥−cos4 𝜔𝑥的最小正周期是𝜋，那么正数𝜔=( )
A. 2 B. 1 C. 12 D. 14
12. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑥𝑒𝑥−1−𝑎，则下列说法正确的是( )
A. 当𝑎<0时，𝑓(𝑥)有两个零点
B. 当𝑎=0时，𝑓(𝑥)无零点
C. 当0<𝑎<1时，𝑓(𝑥)有小于1的零点
D. 当𝑎>1时，𝑓(𝑥)有大于a的零点
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 若变量x，y满足{𝑥−2𝑦+1≤02𝑥−𝑦>0𝑥≤1，则𝑧=𝑦𝑥的取值范围是______ ．
14. 已知𝐹1、𝐹2为双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的左、右焦点，过𝐹2作双曲线渐近线的垂线，垂足为P，若|𝑃𝐹1|2−|𝑃𝐹2|2=𝑐2.则双曲线离心率的值为______ ．
15. 已知数列{𝑎𝑛}中，𝑎1=1，𝑎𝑛𝑎𝑛+1−𝑎𝑛=𝑛(𝑛∈𝑁∗)，则𝑎2016= ______ ．
16. 三棱锥𝐷−𝐴𝐵𝐶的四个顶点在同一球面上，𝐴𝐶⊥𝐴𝐵，△𝐷𝐵𝐶是边长为4的正三角形，若平面𝐴𝐵𝐶⊥平面DBC，则该球的表面积为______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17. 在△𝐴𝐵𝐶中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2𝑎−𝑐=2𝑏𝑐𝑜𝑠 𝐶．
(1)求sin(𝐴+𝐶2+𝐵)的值；
(2)若𝑏=√3，求𝑐−𝑎的取值范围．
18. 如图，在四边形ABCD中，𝐴𝐵=𝐴𝐷=4，𝐵𝐶=𝐶𝐷=√7，点E为线段AD上的一点．现将△𝐷𝐶𝐸沿线段EC翻折到𝑃𝐴𝐶(点D与点P重合)，使得平面𝑃𝐴𝐶⊥平面ABCE，连接PA，PB．
(Ⅰ)证明：𝐵𝐷⊥平面PAC；
(Ⅱ)若∠𝐵𝐴𝐷=60°，且点E为线段AD的中点，求二面角𝑃−𝐴𝐵−𝐶第3页，共15页 的大小．
19. 已知点𝐻(−6,0)，点𝑃(0,𝑏)在y轴上，点𝑄(𝑎,0)在x轴的正半轴上，且满足𝐻𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ ，点M在直线PQ上，且满足𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑀𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，
(Ⅰ)当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C的方程；
(Ⅱ)过点𝑇(−1,0)作直线l与轨迹C交于A、B两点，𝐸(𝑡,0)为x轴上一点，满足|𝐸𝐴|=|𝐸𝐵|，设线段AB的中点为D，且4|𝐷𝐸|=√3|𝐴𝐵|，求t的值．
20. 某工厂的污水处理程序如下：原始污水必先经过A系统处理，处理后的污水(𝐴级水)达到环保标准(简称达标)的概率为𝑝(0<𝑝<1).经化验检测，若确认达标便可直接排放；若不达标则必须进行B系统处理后直接排放．
某厂现有4个标准水量的A级水池，分别取样、检测．多个污水样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验．混合样本中只要有样本不达标，则混合样本的化验结果必不达标．若混合样本不达标，则该组中各个样本必须再逐个化验；若混合样本达标，则原水池的污水直接排放．
现有以下四种方案，
方案一：逐个化验；
方案二：平均分成两组化验；
方案三：三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验；
方案四：混在一起化验．
化验次数的期望值越小，则方案的越“优”．
(Ⅰ) 若𝑝=2√5，求2个A级水样本混合化验结果不达标的概率；
(Ⅱ) 若𝑝=2√5，现有4个A级水样本需要化验，请问：方案一，二，四中哪个最“优”？
(Ⅲ) 若“方案三”比“方案四”更“优”，求p的取值范围．
第4页，共15页
21. 已知函数𝑓(𝑥)=(𝑥−1)𝑒𝑥+𝑎𝑥2，𝑎∈𝑅．
(Ⅰ)讨论函数𝑓(𝑥)的单调区间；
(Ⅱ)若𝑓(𝑥)有两个零点，求a的取值范围．
22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{𝑥=2+cos𝛼,𝑦=−2+sin𝛼(𝛼为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2𝜌sin(𝜃+𝜋6)=1．
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)已知点A的极坐标为(2√2,𝜋4)，点B为曲线C上的一动点，求线段AB的中点P到直线l的距离的最大值．
23. 已知实数a，b满足|𝑎+𝑏|≤2，求证：|a 2+2a−b 2+2b |≤4(|a|+2)．
第5页，共15页 -------- 答案与解析 --------
1.答案：B
解析：【分析】
本题考查了集合并集和补集的运算，属于基础题．
先求出集合A的补集，再根据并集定义求出结果．
【解答】
解：∵𝐴={𝑥|𝑥2−𝑥−12>0}，
∴(∁𝑅𝐴)={𝑥|𝑥2−𝑥−12≤0}=[−3,4]，
∵𝐵={𝑥|−2≤𝑥≤6}=[−2,6]
∴(∁𝑅𝐴)∪𝐵=[−3,6]
故选：B．
2.答案：C
解析：解：∵𝑍=−2+3𝑖，
∴|𝑍|=√(−2)2+32=√13．
故选：C．
直接由已知利用复数模的计算公式求解．
本题考查复数模的求法，是基础的计算题．
3.答案：D
解析：试题分析：由2𝑎𝑛+1=2𝑎𝑛+1(𝑛∈𝑁∗)，得，故数列{𝑎𝑛}为首项为，公差为的等差数列，所以.故选D．
考点：数列递推式．
4.答案：A
解析：解：焦点在x轴的椭圆方程：𝑥2𝑎2+𝑦2=1，焦点坐标(±√𝑎2−1,0)，不妨𝐴(√𝑎2−1,12)，
可得𝑎2−1𝑎2+14=1，解得𝑎=2，
椭圆的离心率为：𝑒=√𝑎2−1𝑎=√32．
故选：A．
求出椭圆的焦点坐标，利用|𝐴𝐵|=1，求出a、b、c，然后求解离心率即可．
本题考查椭圆的简单性质，离心率的求法，考查计算能力．
5.答案：A
第6页，共15页 解析：【分析】
本题考查平面向量的数量积的运算，属于基础题．
运用向量垂直的充要条件和数量积的定义可解决．
【解答】
解：根据题意得，𝑛⃗ ⊥(−2𝑚⃗⃗⃗ +𝑛⃗ )，
∴2𝑚⃗⃗⃗ ⋅𝑛⃗ =𝑛⃗ 2，∵𝑚⃗⃗⃗ ,𝑛⃗ 的夹角为𝜋3，
∴2×∣𝑚⃗⃗⃗ ∣×∣𝑛⃗ ∣×12=∣𝑛⃗ ∣2，
∴|𝑚⃗⃗⃗ ||𝑛⃗⃗ |=1．
故选：A．
6.答案：B
解析：【分析】
本题主要考查排列组合的应用，根据条件进行分类讨论是解决本题的关键，属于基础题．
根据条件2名内科医生，每个村一名，3名外科医生和3名护士，平均分成两组，则分1名外科，2名护士和2名外科医生，1名护士，根据排列组合进行计算即可．
【解答】
解：2名内科医生，每个村一名，有2种方法，
3名外科医生和3名护士，平均分成两组，要求外科医生和护士都有，
若甲村分1名外科，2名护士，则有𝐶31𝐶32=3×3=9，其余的分到乙村，
若甲村分2名外科医生，1名护士，则有𝐶32𝐶31=3×3=9，其余的分到乙村，
则分配方案有2×(9+9)=36，
故选：B．
7.答案：C
解析：解：𝑎+𝑏=0⇔𝑎=−𝑏．
∴𝑎=−𝑏是𝑎+𝑏=0的充要条件，故A错误；
由𝑎=−𝑏，可得𝑎2=𝑏2，反之，由𝑎2=𝑏2，不一定有𝑎=−𝑏，
∴𝑎2=𝑏2是𝑎=−𝑏，即𝑎+𝑏=0的必要不充分条件，故B错误；
1𝑎+1𝑏=0⇔𝑎+𝑏𝑎𝑏=0⇒𝑎+𝑏=0，反之，由𝑎+𝑏=0，不一定有1𝑎+1𝑏=0，如𝑎=𝑏=0，
∴1𝑎+1𝑏=0是𝑎+𝑏=0的充分不必要条件；故C正确；
𝑒𝑎⋅𝑒𝑏=1⇔𝑒𝑎+𝑏=1⇔𝑎+𝑏=0，∴𝑒𝑎⋅𝑒𝑏=1是𝑎+𝑏=0的充要条件，故D错误．
故选：C．
由必要条件、充分条件的判定方法逐一核对四个选项得答案．
本题考查必要条件、充分条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8.答案：B
解析：【分析】
