A
图
A
A
图3
A
图2
2016中考数学专题复习：几何图形证明与计算题分析
几何图形线段长度计算三大方法： “勾股定理” “相似比例计算” “直角三角形中的三角函数计算”
1.（2011深圳20题）如图9，已知在⊙O 中，点C 为劣弧AB 上的中点，连接AC 并延长至D ，使CD ＝CA ，连接DB 并延长交⊙O 于点E ，连接AE 。 （1）求证：AE 是⊙O 的直径；
（2）如图10，连接EC ，⊙O 半径为5，AC 的长为4，求阴影部分的面积之和。（结果保留π与根号）
（1）证明：如图2，连接AB 、BC ， ∵点C 是劣弧AB 上的中点 ∴CA CB = ∴CA＝CB ，又∵CD＝CA
∴CB＝
CD ＝CA ，∴在△ABD
中，1
2
CB
AD =
∴∠ABD＝90° ，∴∠ABE＝90° ∴AE 是⊙O 的直径.
（2）解：如图3，由（1）可知，AE 是⊙O 的直径， ∴∠ACE＝90°， ∵⊙O 的半径为5，AC
＝4，
∴AE＝10，⊙O 的面积为25π，
在Rt△ACE 中，∠ACE＝90°，由勾股定理，得：
CE
=
=
∴S △ACE ＝11
422
AC CE ⨯⨯=⨯⨯=∴S 阴影
＝1
2S ⊙O
－S △ACE
＝1252522
ππ⨯-=-
2.（2011深圳中考21题）如图11，一张矩形纸片ABCD ，其中AD ＝8cm ，AB ＝6cm ，先沿对角线BD 对折，点C 落在点C ′
的位置，BC ′交AD 于点G 。
（1）求证：AG ＝C ′G ；
（2）如图12，再折叠一次，使点D 与点A 重合，得折痕EN ，EN 交AD 于点M ，求EM 的长。
（1）证明：如图4，由对折和图形的对称性可知，
CD ＝C ′D ，∠C＝∠C′＝90° 在矩形ABCD 中，AB ＝CD ，∠A＝∠C＝90° ∴AB＝ C ′D ，∠A＝∠C′
在△ABG 和△C′DG 中，∵AB＝ C ′D ，∠A＝∠C′，∠AGB＝∠C′G D ∴△ABG≌△C′DG （AAS ）
∴AG＝C ′G
（2）解：如图5，设EM ＝x ，AG ＝y ，则有：C ′G ＝y ，DG ＝8－y ，1
42
DM AD cm ==，
在Rt△C′DG 中，∠DC′G ＝90°，C ′D ＝CD ＝6，
∴ C ′G 2＋C ′D 2＝DG 2 即：y 2＋62＝（8－y ）2
解得：
74y =
∴C′G ＝74cm ，DG ＝25
4
cm
又∵△DME∽△DC′G ∴ DM ME
DC C G =
''， 即：476()
4
x =解得：76x =， 即：EM ＝76（cm ） ∴所求的EM 长为7
6
cm 。 【典型例题分析】
图11
A
B D
C C
G
图12
A B D
图4
A
B D
C
C
G
图5
A B D
图1
M
E
D
B
C
A
图2
M
E
D
B
C
A
A
B
C
D F
P E
Q
1. （2011四川凉山 ）已知菱形ABCD 的边长是8，点E 在直线AD 上，若DE ＝3，连接BE 与对角线AC 相交于点M ，则
MC AM
的
值是 .
解答：∵菱形ABCD 的边长是8，∴AD ＝BC ＝8，AD ∥BC ，如图1：当E 在线段AD 上时，∴AE ＝AD －DE ＝8－3＝5，∴△MAE ∽△MCB ，
∴
5
8
==AE BC AM MC ； 如图2，当E 在AD 的延长线上时，∴AE ＝AD ＋DE ＝8＋3＝11， ∴△MAE ∽△MCB ，∴ 118
==AE BC AM MC ． ∴
MC AM
的值是58或118．故答案为：58或118． 2. （2011重庆江津区 ）如图，在平面直角坐标系中有一矩形ABCD ，其中A （0，0），B （8，0），D （0，4），若将△ABC 沿AC 所在直线翻折，点B 落在点E 处．则E 点的坐标是 ．
解答：解：连接BE ，与AC 交于G ，作EF ⊥AB ，∵AB ＝AE ，∠BAC ＝∠EAC ，∴△AEB 是等腰三角形，AG 是BE 边上的高，∴EG ＝GB ，
EB ＝2EG ， BG ＝
BC AB AC ⨯＝
22
84+＝
85
，设D （x ，y ），则有：OD 2﹣OF 2＝AD 2﹣AF 2，AE 2﹣AF 2＝BE 2﹣BF 2
即：
82﹣x 2
＝（2BG ）2
﹣（8﹣x ）2
，解得：x ＝
245， y ＝EF ＝325， ∴E 点的坐标为：2432,55⎛⎫ ⎪⎝⎭． 故答案为：2432,55⎛⎫
⎪⎝⎭
．
3. 如图，在边长为8的正方形ABCD 中，P 为AD 上一点，且
,5=AP BP 的垂直平分线分别交正方形的边于点E ，F ，Q 为垂足，
则EQ ：EF 的值是（ ）A 、8:5 B 、13:5 C 、16:5 D 、8:3
解答：分析：容易看出BEQ Rt ∆∽,BPA Rt ∆得
,AB
AP
BQ EQ = 即BP BP EQ 16
5
8521=⋅=。而根据正方形的性质，易知，如图，把FE 平移至CG 的位置， 由,BPA Rt CGB Rt ∆≅∆有BP CG EF ==，16:5:16
5
:==∴BP BP EF EQ 解：选C 。
4. （2011•泰安）如图，点O 是矩形ABCD 的中心，E 是AB 上的点，沿CE 折叠后，点B
恰好与点O 重合，若BC=3，则折痕CE 的长为（ ）A 、
B 、
C 、
D 、6
B C
D F
E Q
G
