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新教材2020-2021学年北师大版高中数学第二册学案-3.1-向量的数乘运算-含解析-D

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§3 从速度的倍数到向量的数乘 3.1 向量的数乘运算 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握向量数乘的运算及其运算律．(重点) 2．理解数乘向量的几何意义．(重点)

1.通过向量数乘概念的学习，培养数学抽象素养； 2．通过向量数乘的运算及其运算律的应用，培养数学运算素养.

1．数乘运算的定义 (1)实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作λa. (2)|λa|＝|λ||a|.

(3)方向：λa的方向 当λ>0时，与a的方向相同；当λ<0时，与a的方向相反；当λ＝0，0a＝0. (4)几何意义：当λ>0时，表示向量a的有向线段在原方向伸长或缩短为原来的|λ|倍； 当λ<0时，表示向量a的有向线段在反方向伸长或缩短为原来的|λ|倍． 思考：若a∥b，b∥c，那么一定有a∥c吗？ 提示：不一定，若b＝0，此时必有a∥b，b∥c成立，但a与c不一定共线． 2．数乘运算的运算律 设λ，μ为实数，a，b为向量，则 (1)(λ＋μ)a＝λ a＋μ a； (2)λ(μa)＝λμ a； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 3．向量的线性运算：向量的加法、减法和数乘的综合运算，通常称为向量的线性运算(或线性组合)． 1．已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为( ) ①m(a－b)＝ma－mb； ②(m－n)a＝ma－na； ③若ma＝mb，则a＝b； ④若ma＝na，则m＝n. A．①④ B．①② C．①③ D．③④ B [①和②属于数乘运算对向量与实数的分配律，正确；③中，若m＝0，则不能推出a＝b，错误；④中，若a＝0，则m，n没有关系，错误．]

2. 在△ABC中，如果AD，BE分别为BC，AC上的中线，且AD→＝a，BE→＝b，那么BC→等于( ) A．23a＋43b B．23a－23b C．23a－43b D．－23a＋43b A [由题意，得BC→＝BE→＋EC→＝b＋12AC→＝b＋12(AD→＋DC→)＝b＋12a＋14BC→，即BC→

＝b＋12a＋14BC→，解得BC→＝23a＋43b.]

3．已知|a|＝2，|b|＝3，若两向量方向相同，则向量a与向量b的关系为b＝________a. 32 [由于|a|＝2，|b|＝3，则|b|＝32|a|，又两向量同向，故b＝32a.]

4．如图所示，已知AP→＝43AB→，用OA→，OB→表示OP→.

[解] OP→＝OA→＋AP→＝OA→＋43AB→＝OA→＋43(OB→－OA→)＝－13OA→＋43OB→. 向量数乘运算的定义 【例1】 已知a、b为非零向量，试判断下列各命题的真假，并说明理由． (1)2a的方向与a的方向相同；

(2)|－2a|＝32|3a|； (3)1||aa是单位向量； (4)a＋b与－a－b是一对相反向量． [解] (1)真命题．∵2>0，∴2a的方向与a的方向相同．

(2)假命题．|－2a|＝||－2|a|＝2|a|＝23|3a|. (3)真命题.1||aa＝1||a||a＝1||a||a＝1. (4)真命题．∵a＋b与－a－b是一对相反向量，且－(a＋b)＝－a－b， ∴a＋b与－a－b是一对相反向量．

对数乘向量的三点说明 1向量数乘运算的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小. 2当λ＝0或a＝0时，λa＝0.反之，也成立， 3数乘向量的运算不满足消去律.

[跟进训练] 1．已知λ∈R，a≠0，则在下列各命题中，正确的命题有( ) ①当λ＞0时，λa与a的方向一定相同； ②当λ＜0时，λa与a的方向一定相反； ③当λa与a的方向相同时，λ＞0； ④当λa与a的方向相反时，λ＜0. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 D [由λ与向量a的积λa的方向规定，易知①②③④正确．] 向量的线性运算 【例2】 计算下列各式： (1)2(a＋b)－3(a－b)； (2)3(a－2b＋c)－(2a＋b－3c)；

(3)123a＋2b－a＋12b－212a＋38b. [解] (1)原式＝2a－3a＋2b＋3b＝－a＋5b； (2)原式＝3a－6b＋3c－2a－b＋3c＝a－7b＋6c； (3)原式＝122a＋32b－a－34b＝a＋34b－a－34b＝0.

1．向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”，但这里的“同类项”指向量，实数看作是向量的系数． 2．对于线性运算，把握运算顺序为：正用分配律去括号→逆用分配律合并．

[跟进训练] 2．(1)化简234a－3b＋13b－146a－7b； (2)设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求13a－b－a－23b＋(2b－a)． [解] (1)原式＝234a－3b＋13b－32a＋74b ＝234－32a＋

－3＋13＋

7

4b

＝23

52a－1112b

＝53a－1118b； (2)原式＝13a－b－a＋23b＋2b－a ＝13－1－1a＋－1＋23＋2b ＝－53a＋53b

＝－53(3i＋2j)＋53(2i－j)

＝－5＋103i＋

－103－

5

3j

＝－53i－5j.

向量线性运算的应用 [探究问题]

1．若D是△ABC的边BC的中点，如何用AB→，AC→表示AD→？

提示：由三角形法则知， AD→＝AB→＋BD→，

AD→＝AC→＋CD→，

两式相加得2AD→＝AB→＋BD→＋AC→＋CD→＝AB→＋AC→＋BD→＋CD→＝AB→＋AC→，

所以AD→＝12

AB→＋AC→

.

2．在△ABC中，若AD→＝12AB→＋AC→，则D是否是△ABC的边BC的中点？ 提示：设D′是边BC的中点，则AD′→＝12AB→＋AC→，又AD→＝12AB→＋AC→，

则AD′→＝AD→， 所以D与D′重合， 所以D是边BC的中点． 【例3】 已知任意四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点．求证：EF→＝12(AB→＋DC→)． [证明] 取以点A为起点的向量，应用三角形法则求证，如图． ∵E为AD的中点， ∴AE→＝12AD→. ∵F是BC的中点，∴AF→＝12(AB→＋AC→)． 又∵AC→＝AD→＋DC→， ∴AF→＝12(AB→＋AD→＋DC→)＝12(AB→＋DC→)＋12AD→. ∴EF→＝AF→－AE→＝12(AB→＋DC→)＋12AD→－12AD→

＝12(AB→＋DC→)．

用已知向量表示其他向量的两种方法 (1)直接法

(2)方程法 当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．

[跟进训练] 3．在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点．求证：DE→＝12BC→. [证明] ∵D为AB的中点， ∴AD→＝12AB→. ∵E是AC的中点，∴AE→＝12AC→. ∴DE→＝AE→－AD→＝12AC→－12AB→＝12(AC→－AB→)＝12BC→.

1．实数λ与向量a可作数乘，但实数λ不能与向量a进行加、减运算，如λ＋a，λ－a都是无意义的．还必须明确λa是一个向量，λ的符号与λa的方向相关，|λ|的大小与λa的模有关． 2．利用数乘运算的几何意义可以得到两个向量共线的判定定理及性质定理，一定要注意，向量的共线(平行)与直线共线(或平行)的区别；常用向量共线解决平面几何中的“平行”或“点共线”问题．

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若λa＝0则λ＝0． ( ) (2)对于非零向量a，向量－2a与向量a方向相反． ( )

(3)当a是非零向量，－1||aa是与向量a反向的单位向量． ( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ 2．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB→＋FC→等于( ) A．BC→ B．12AD→ C．AD→ D．12BC→ C [EB→＋FC→＝EC→＋CB→＋FB→＋BC→＝EC→＋FB→＝12(AC→＋AB→)＝12·2AD→＝AD→.] 3．若2x－13a－12(c＋b－3x)＋b＝0，其中a、b、c为已知向量，则未知向量x＝________. 421a－17b＋17c [据向量的加法、减法整理、运算可得x＝421a－17b＋17c.]

4．已知a、b为非零向量，试判断下列各命题的真假，并说明理由． (1)－2a的方向与3a的方向相反，且－2a的模是3a模的23倍； (2)a－b与b－a是一对相反向量． [解] (1)真命题．∵－2a与－a同方向，3a与a同方向，由于－a与a反方向，故－2a与3a反方向，

又∵|－2a|＝2|a|，|3a|＝3|a|，所以－2a的模是3a模的23倍． (2)真命题．∵b－a＝－(a－b)，∴a－b与b－a是一对相反向量．

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高中数学北师大版必修4第2章3.1《数乘向量》ppt课件

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数乘向量的定义及其几何意义
已知a，b为两非零向量，试判断下列说法的正 误，并说明理由．
(1)2a与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍； (2)－2a与5a的方向相反，且－2a的模是5a模的25； (3)－2a与2a是一对相反向量； (4)a－b与－(b－a)是一对相反向量． [思路分析] 解答本题可先从实数的正负判断两向量的方 向关系，再找两向量模的关系，从而作出判断．
→ AC
＝λ
→ CD
，即3e1－
2e2＝λ(2e1－ke2)，
∴－3＝2＝2λ，－λk， 解得λ＝32，k＝43.
• [规律总结] 证明三点共线，往往要转化为证明过 同一点的两条有向线段所在的向量共线；证明两向 量共线，只需找出它们之间的线性关系．如果已知 两个向量共线，要确定参数的值，需用向量共线的 性质定理建立等式，然后根据向量相等的条件得到
• [答案] D
• [解析] 当λ >0时，λ a与b同向，当λ ＝0时，λ a ＝0方向任意，当λ <0时，λ a与a的方向相反．
数乘向量的运算及其应用
计算下列各式：(1)2(a＋b)－3(a－b)； (2)3(a－2b＋c)－(2c＋b－a)； (3)25(a－b)－13(2a＋4b)＋125(2a＋13b)． [思路分析] 要解决此问题，需要用到数乘向量的运算 律．包括：数乘向量的分配律及向量加、减法的运算律，其运 算过程类似“合并同类项”．
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等 等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、 语文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
2020_2021学年新教材高中数学第2章平面向量及其应用3.2向量的数乘与向量共线的关系课件北师大

2020_2021学年新教材高中数学第2章平面向量及其应用3.2向量的数乘与向量共线的关系课件北师大


思考：1.在共线(平行)向量基本定理中，为什么强调“非零向量 a”？
提示： 当a＝0，b≠0时，λ不存在；当a＝0，b＝0时，λ不唯 一．
2．直线的向量表示 已知两点A，B确定一条直线l，l上任意一点P所对应的向量 A→P 与向量A→B平行，即存在唯一实数t，使得A→P＝tA→B，这说明用一个点 A和一个非零向量A→B可以唯一地确定过点A与向量A→B平行的直线l. 通常可以用___A→_P__＝__tA→_B_____表示过点A，B的直线l，其中 A→B 称 为直线l的方向向量．
思考：2.一条直线ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方向向量唯一吗？ 提示：不唯一．
1．平面向量a，b共线的充要条件是( ) A．a，b方向相同 B．a，b两向量中至少有一个为零向量 C．存在λ∈R，b＝λa D．存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0 D [A忽略了方向相反的情况；B只考虑了特例；C没有包含a ＝0而b≠0的情形；D是充要条件．]
[跟进训练] 3．设点O在△ABC内部，且有4 O→A ＋ O→B ＋ O→C ＝0，则△ABC的 面积与△OBC的面积之比________．
3 2
[设BC的中点为点D，如图．则O→B＋O→C＝2O→D，
2．设a，b为不共线的两个非零向量，已知向量A→B＝a－kb，C→B＝
2a＋b，C→D＝3a－b，若A，B，D三点共线，则实数k的值等于( )
A．10
B．－10
C．2
D．－2
C [因为A，B，D三点共线，所以A→B＝λB→D＝λ(C→D－C→B)，所以a －kb＝λ(3a－b－2a－b)＝λ(a－2b)，所以λ＝1，k＝2.]
[解] ∵A、B、C三点共线，即A→B、C→B共线， ∴存在实数λ使得A→B＝λC→B，即i－2j＝λ(i＋mj)． ∴i－2j＝λi＋λmj. 于是λλm＝＝1，－2. 解得m＝－2， 即m＝－2时，A、B、C三点共线．
北师大版(2019)数学必修第二册：2.3.1 向量的数乘运算 学案

北师大版(2019)数学必修第二册：2.3.1 向量的数乘运算 学案

向量的数乘运算【学习目标】理解向量的数乘运算及其几何意义．【学习重难点】理解向量的数乘运算及其几何意义．【学习过程】一、初试身手1．在四边形ABCD 中，若AB →＝－12CD →，则此四边形是( )A ．平行四边形B ．菱形C ．梯形D ．矩形2．下列各式计算正确的有( )①(－7)6a ＝－42a ；②7(a ＋b )－8b ＝7a ＋15b ；③a －2b ＋a ＋2b ＝2a ；④4(2a ＋b )＝8a ＋4b ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3．已知向量a 与b 不共线，向量c ＝3a －b ，d ＝6a －2b ，则向量c 与d 的关系是________．(填“共线”或“不共线”)二、合作探究1．向量数乘的定义【例1】 已知a ．b 为非零向量，试判断下列各命题的真假，并说明理由．（1）2a 的方向与a 的方向相同，且2a 的模是a 的模的2倍；（2）－2a 的方向与3a 的方向相反，且－2a 的模是3a 模的23倍；（3）－2a 与2a 是一对相反向量；（4）a －b 与－(b －a )是一对相反向量．2．向量的线性运算【例2】 （1）计算下列各式：①3(a －2b ＋c )－(2c ＋b －a )；②25(a －b )－13(2a ＋4b )＋215(2a ＋13b )．（2）设x ，y 是未知向量．①解方程5(x ＋a )＋3(x －b )＝0；②解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 12x －y ＝a ，x －12y ＝b .【学习小结】数乘向量及运算律：（1）向量数乘的定义一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ．它的长度和方向规定如下： ①|λa |＝|λ||a |；②当λ>0时，λa 与a 的方向相同；当λ<0时，λa 与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0.（2）向量数乘的运算律设a ，b 为向量，λ，μ为实数，则数乘向量满足：①结合律：λ(μa )＝(λμ)a ；②分配律：(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；λ(a ＋b )＝λa ＋λb ．思考：向量3a ，－3a 与a 从长度和方向上分析具有怎样的关系？[提示] 3a 的长度是a 的长度的3倍，它的方向与向量a 的方向相同．－3a 的长度是a 的长度的3倍，它的方向与向量a 的方向相反．【精炼反馈】1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)（1）实数λ与向量a 的积还是向量．( )（2）对于非零向量a ，向量－6a 与向量2a 方向相反．( )（3）向量－8a 的模是向量4a 的模的2倍．( )（4）若b ＝λa (a ≠0)，则a 与b 方向相同或相反．( )（5）若a ∥b ，则存在λ∈R ，使得b ＝λa ．( )2．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，DB ．A ，B ，C C ．B ，C ，DD ．A ，C ，D所以A ，B ，D 三点共线．]3．若|a |＝5，b 与a 的方向相反，且|b |＝7，则a ＝________b ．4．如图所示，已知AP →＝43AB →，用OA →，OB →表示OP →.。

2020-2021学年高一数学北师大版必修4第二章2.3从速度的倍数到数乘向量(第1课时) 教案

2020-2021学年高一数学北师大版必修4第二章2.3从速度的倍数到数乘向量(第1课时) 教案

2.3从速度的倍数到数乘向量（第1课时）————数乘向量一、教学目标1.知识与技能（1）掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义；（2）了解数乘向量运算的运算律及其几何意义；（3）理解两个向量共线的判定定理及其性质定理，能够运用共线条件判定两向量是否平行.2.过程与方法通过从速度的倍数的例子，体会数乘向量存在的普遍性，了解线性运算的性质。

3.情感态度价值观通过速度的倍数引入数乘向量的学习，让学生进一步认识和体会数学和实际生活的联系。

二、教材分析为了强调数乘向量在实际中的普遍适用性，教材利用同学们熟悉的物理知识引出实数与向量的积，在此基础上得到数乘向量运算的几何意义；引入数与向量积的运算之后，随着进一步学习向量共线的判定等内容，让学生逐步体会到数乘向量运算对于向量方法的意义。

三、教学重、难点教学重点: 1. 实数与向量积的定义及几何意义；2.理解向量共线的充要条件。

教学难点: 对向量共线的充要条件的理解四、教学方法与手段教学方法采用自主学习、引导探究教学方法.五、教学过程（一）复习引入1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ等表示；3.零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.4.平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.5.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.6.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.7.向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法向量加法的三角形法则和平行四边形法则 8．向量加法的交换律：a +b =b +a9．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a+ (b +c )10．向量的减法向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差即：a - b = a + (-b )11．差向量的意义： OA = a , OB = b , 则BA = a - b 即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量（二）探究新知--实数与向量的积1．思考:已知非零向量 ，作出++和(-)+(-)+(-)==++=3==(-)+(-)+(-)=-3讨论：① 3与方向相同且|3|=3||② -3与方向相反且|-3|=3||从而提出课题：实数与向量的积；实数λ与向量的积，记作：λ2．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa（请学生自己解释其几何意义）a a a a a a a −→−OC −→−−→−−→−++BC AB OA a a a a−→−PN −→−−→−−→−++MN QM PQ a a a a a a a a a a a a a aaO A B CNMQP3．运算定律： 结合律：λ(μa )=(λμ)a①第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa②第二分配律：λ(a +b )=λa+λb ③ 结合律证明：如果λ=0，μ=0，a=0至少有一个成立，则①式成立如果λ≠0，μ≠0，a ≠0有：|λ(μa )|=|λ||μa |=|λ||μ||a||(λμ)a |=|λμ|| a |=|λ||μ||a|∴|λ(μa )|=|(λμ)a|如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与a同向；如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与a反向从而λ(μa )=(λμ)a第一分配律证明：如果λ=0，μ=0，a=0至少有一个成立，则②式显然成立 如果λ≠0，μ≠0，a≠0当λ、μ同号时，则λa 和μa同向，∴|(λ+μ)a |=|λ+μ||a |=(|λ|+|μ|)|a||λa +μa |=|λa |+|μa |=|λ||a |+|μ||a |=(|λ|+|μ|)|a |∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与a同向即 |(λ+μ)a |=|λa +μa|当λ、μ异号，当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λa同向；当λ<μ时 ②两边向量的方向都与μa 同向，且|(λ+μ)a |=|λa +μa|∴②式成立第二分配律证明：如果a=0，b =0中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立当a≠0，b ≠0且λ≠0，λ≠1时（1）当λ>0且λ≠1时在平面内任取一点O ，b作=OA a =AB b =1OA λa=11B A λ则=OB a +b =1OB λa+λb由作法知 ，AB ∥11B A 有∠OAB=∠OA 1B 1 |AB |=λ|11B A | ∴==||||111AB B A OA OA λ ∴△OAB ∽△OA 1B 1∴=||1OB λ ∠AOB=∠ A 1OB 1因此，O ，B ，B 1在同一直线上，|1OB |=|λOB | 1OB 与λOB 方向也相同∴λ(a +b )=λa+λb当λ<0时 可类似证明：λ(a +b )=λa+λb∴ ③式成立（三）例题讲评（学生先做，学生评，教师提示或适当补充）例1 若3ｍ＋2ｎ＝ａ，ｍ－3ｎ＝ｂ，其中ａ，ｂ是已知向量，求ｍ，ｎ.分析：此题可把已知条件看作向量ｍ、ｎ的方程，通过方程组的求解获得ｍ、ｎ. 解：记 3ｍ＋2ｎ＝ａ ① ｍ－３ｎ＝ｂ ② 3×②得 ３ｍ－９ｎ＝３ｂ③ ①－③得 11ｎ＝ａ－３ｂ. ∴ｎ＝111ａ－113ｂ④ 将④代入②有：ｍ＝ｂ＋３ｎ＝113ａ＋112ｂ 评述：在此题求解过程中，利用了实数与向量的积以及它所满足的交换律、结合律，从而解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法一致.例2 凸四边形ABCD 的边AD 、BC 的中点分别为E 、F 。