中考专题复习反比例函数(含答案)

- 1 - 中考专题复习反比例函数

课标解读

考试内容 考 试 要 求 考查频度

A B C

反比例函数 了解反比例函数的意义；结合图象与表达式，理解当k＞0和k＜0时，反比例函数图象的变化情况 能根据已知条件确定反比例函数的表达式；能画出反比例函数的图象 ★★★★

知识要点

1.反比例函数xky(k≠0)的图象是 .

2.反比例函数xky(k≠0)，当k>0时，其图象在第

象限，在每个象限内y随x的增大而 ；当k<0时，其图象在第 象限，在每个象限内y随x的增大而 .

3.双曲线xky(k≠0)与x轴、y轴都 公共点，且两个分支关于

对称.

4.双曲线xky(k≠0)上任意一点P(a,b)满足ab= .

5.由双曲线xky(k≠0)上任意一点分别向x轴、y轴引垂线，它们与两坐标轴所围成的四边形的面积为 .

典例诠释

考点一 确定反比例函数的表达式

例1 已知反比例函数的图象经过点A(2,－3),那么此反比例函数的关系式为 .

例2 在平面直角坐标系xOy中，第一象限内的点P在反比例函数的图象上，如果点P的纵坐标是3，OP=5，那么该函数的表达式为( )

A.y=x12 B.y=－x12 C.y=x15 D.y=-x15

例3 如图1-8-31，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上.若OA=4，OC=6，

- 2 - 写出一个函数xkyk≠0)，使它的图象与矩形OABC的两边AB，BC分别交于点E，D，这个函数的表达式为 .

图1-8-31

考点二 反比例函数的图象与性质

例4 直线y=kx－k与双曲线xky(k≠0)在同一坐标系中的大致图象是( )

A B C D

例5 已知反比例函数的表达式为xky1-，它的图象在各自象限内具有y随x增大而减小的特点，那么k的取值范围是( )

A．k＞1 B．k＜1 C．k＞0 D．k＜0

例6 如图1-8-32，反比例函数xy2-的图象上有一点A，过点A作AB⊥x轴于点B，则AOBs是( )

图1-8-32

A.21 B.1 C.2 D.4

考点三 一次函数与反比例函数的综合

例7 在平面直角坐标系xOy中，直线y=43x+1与x轴交于点A，且与双曲线y=xk

- 3 - 的一个交点为Bm，38 ．

(1)求点A的坐标和双曲线y=xk的表达式；

(2)若BC∥y轴，且点C到直线y=43x+1的距离为2，求点C的纵坐标．

例8 如图1-8-33，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=2x与反比例函数y=xk的图象交于A，B两点，点A的横坐标为2，AC⊥x轴于点C，连接BC.

(1)求反比例函数的表达式；

(2)若点P是反比例函数y=xk图象上的一点，且满足△OPC的面积是△ABC面积的一半，请直接写出点P的坐标．

图1-8-33

基础精练

1.反比例函数y=x6的图象上有两个点A12-y，，21y，，则1y 2y（用“>”“<”或“=”连接)．

2.已知函数满足下列两个条件：①当x>0时，y随x的增大而增大；②它的图象经过点(1,2)，请写出一个符合上述条件的函数的表达式 ．

3.在下列函数①y=2x+1，②xxy22，③xy2，④y=－3x中，与众不同的一个是 (填序号)，你的理由是 ．

4.在平面直角坐标系xOy中，A(1，2)，B(3，2)，连接AB．写出一个函数xky（k≠0)，使它的图象与线段AB有公共点，那么这个函数的表达式为 ．

5.已知点A(4,6)与点B(3,n)都在反比例函数xky(k≠0)的图象上，则n= ．

6.如图1-8-34，正比例函数xky11和反比例函数xky22的图象交于A(－1，2)，

- 4 - B(1，－2)两点，若1y＜2y，则自变量x的取值范围是( )

图1-8-34

A．x＜－1或x＞1 B．x＜－1或0＜x＜1

C．－1＜x＜0或0＜x＜1 D．－1＜x＜0或x＞1

7.如图1-8-35，A，B是函数xy2的图象上关于原点对称的任意两点， BC∥x轴， AC∥y轴，如果△ABC的面积记为S，那么( )

图1-8-35

A．S=4 B．S=2 C．2＜S＜4 D．S＞4

8.如图1-8-36，在平面直角坐标系xOy中，直线y=3x与双曲线xny(n≠0)在第一象限内的公共点是P(1,m)．小明说：“从图象上可以看出，满足3x>xn的x的取值范围是x>1．”你同意他的观点吗？答： ．

理由是 ．

图1-8-36

9.已知反比例函数y＝xk(k≠0)的图象经过点A(－1，6)．

- 5 - (1)求k的值；

(2)过点A作直线AC与函数y＝xk的图象交于点B，与x轴交于点C，且AB＝2BC，求点B的坐标．

10.如图1-8-37，直线y=－2x+8和双曲线y=xk(k≠0)交于点A(1，m)，B(n，2)．

(1)求m，n，k的值；

(2)在坐标轴上有一点M，使MA+MB的值最小，直接写出点M的坐标．

图1-8-37

真题演练

1.(2016·天津)若点A12-y，，B21-y，，C33y，在反比例函数y=x4的图象上，则321,,yyy,的大小关系是( )

A.321yyy B.123yyy C.213yyy D.312yyy

2.(2016·上海)已知反比例函数y=xk(k≠0)，如果在这个函数图象所在的每一个象限内，y的值随着x的值增大而减小，那么k的取值范围是 .

3.(2014·北京)如图1-8-38，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2，写出一个函数y=xk(k≠0)，使它的图象与正方形OABC有公共点，这个函数

- 6 - 的表达式为 .

图1-8-38

4.(2015·北京)在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b(k≠0)与双曲线y=x8的一个交点为P(2,m)，与x轴、y轴分别交于点A，B.

(1)求m的值；

(2)若PA=2AB，求k的值.

5.(2012·北京)如图1-8-39，在平面直角坐标系xOy中，函数y=x4(x＞0)的图象与一次函数y＝kx－k的图象的交点为A(m,2).

(1)求一次函数的解析式；

(2)设一次函数y=kx－k的图象与y轴交于点B，若P是x轴上一点，且满足△PAB的面积是4，直接写出点P的坐标.

图1-8-39

- 7 - 答案

典例诠释

考点一 确定反比例函数的表达式

例1 (2016·房山一模)已知反比例函数的图象经过点A(2,－3),那么此反比例函数的关系式为 .

【答案】 y=-x6

【解题思路】 由反比例函数表达式为y=(k≠0)可推导出k=x·y，再将A点坐标代入即可.

例2 (2015·西城一模)在平面直角坐标系xOy中，第一象限内的点P在反比例函数的图象上，如果点P的纵坐标是3，OP=5，那么该函数的表达式为( )

A.y=x12 B.y=－x12 C.y=x15 D.y=-x15

【答案】 A

【点评】 本题主要涉及了平面直角坐标系中点的坐标的确定和反比例函数表达式的确定.解决本题的关键是求出点P的坐标.

例3 (2015·平谷一模)如图1-8-31，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上.若OA=4，OC=6，写出一个函数xkyk≠0)，使它的图象与矩形OABC的两边AB，BC分别交于点E，D，这个函数的表达式为 .

图1-8-31

【答案】 y=-x1(x<0)(不唯一，k＞－24即可)

【点评】 本题涉及了反比例函数图象的有关性质，即表达式中|k|越大图象越远离坐标轴，|k|越小图象越靠近坐标轴.由题意可知k＜0，因此满足条件的k值只需要大于图象过B点的反比例函数的k值即可.

考点二 反比例函数的图象与性质

例4 (2016·房山二模)直线y=kx－k与双曲线xky(k≠0)在同一坐标系中的

- 8 - 大致图象是( )

A B C D

【答案】 B

【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的图象，判断时可先根据反比例函数图象确定出k的范围，再去验证一次函数的图象是否正确.

例5 (2015·门头沟一模)已知反比例函数的表达式为xky1-，它的图象在各自象限内具有y随x增大而减小的特点，那么k的取值范围是( )

A．k＞1 B．k＜1 C．k＞0 D．k＜0

【答案】 A

【点评】 本题主要考查了反比例函数的性质，图象在各自象限内具有y随x的增大而减小的特点，说明k－1＞0.

例6 (2016·朝阳期末)如图1-8-32，反比例函数xy2-的图象上有一点A，过点A作AB⊥x轴于点B，则AOBs是( )

图1-8-32

A.21 B.1 C.2 D.4

【答案】 B

【点评】 本题主要考查了反比例函数的反比例系数k的几何意义,即.

考点三 一次函数与反比例函数的综合

例7 (2016·西城一模)在平面直角坐标系xOy中，直线y=43x+1与x轴交于点

- 9 - A，且与双曲线y=xk的一个交点为Bm，38 ．

(1)求点A的坐标和双曲线y=xk的表达式；

(2)若BC∥y轴，且点C到直线y=43x+1的距离为2，求点C的纵坐标．

【答案】 (1) ;y=x8 (2)211或21

【点评】 本题主要涉及点到直线的距离公式，一次函数、反比例函数的有关知识，其中第(2)问“点C到直线y=x+1的距离为2”注意分为“点C在直线上方”和“点C在直线下方”两种情况.

例8 (2016·朝阳期末)如图1-8-33，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=2x与反比例函数y=xk的图象交于A，B两点，点A的横坐标为2，AC⊥x轴于点C，连接BC.

(1)求反比例函数的表达式；

(2)若点P是反比例函数y=xk图象上的一点，且满足△OPC的面积是△ABC面积的一半，请直接写出点P的坐标．

图1-8-33

【答案】 (1)y= x8(2)(2，4)或(－2，－4)

【点评】 本题涉及一次函数、反比例函数、三角形面积的有关知识.本题第(2)问注意分类讨论.