二次根式复习专题讲义
一、二次根式的概念：
1.二次根式：
a ≥0）的式子叫做二次根式，“”
称为二次根号。
①.式子中，被开方数(式)必须大于等于零。
②.
a ≥0）是一个非负数。 ③.
2＝a （a ≥0）（a ≥0）
2.二次根式的乘：
①.
②. 3.二次根式的除：
①. 一般地，对二次根式的除法规定：
②. 4. 二次根式的加减法则：
二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
典型例题分析：
例1. 下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：
、
1x
x>0）1
x y
+x ≥0，
y•≥0）．
例2.当x
+1
1
x+
在实数范围内有意义？
变式题1：当x
在实数范围内有意义？
变式题2：①.当x2在实数范围内有意义？
例3.
①.已知，求x
y
的值．
②.=0，求a2004+b2004的值．
③.
，求x y的值．
例4.计算
1．
22．（）2
3．24．（
2
）2
例5. 计算
1．
2（x≥0）2．2
3．
24．2
变式题：计算
1.（-）2
2.
例6.在实数范围内分解下列因式:
（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3
例7.化简
（2（3（4
（1
例8.填空：当a≥0时，=_____；当a<0时，
=_______，•并根据这一性质回答下列问题．
（1，则a可以是什么数？
（2，则a可以是什么数？
（3，则a可以是什么数？
例9.当x>2
．
例10．先化简再求值：当a=9时，求的值，甲乙两人的解答如下：
甲的解答为：原式=a+（1-a）=1；
乙的解答为：原式=a+（a-1）=2a-1=17．
两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．
=a，求a-19952的值．
变式题1．若│1995-a│
变式题2．
若-3≤x≤2时，试化简│x-2│
。
（2（3（4）
（1
a≥0，b≥0）计算即可．
分析：
（2
（3
（4
例12 .化简
（2（3
（1
（5
（4
例13 .判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1
=4
（2
变式题1：
和
，•那么此直角三角形斜边长是（）．
变式题2：化简a）．
．√169×6
变式题3
变式题5：探究过程：观察下列各式及其验证过程．
（1）
验证：
（2）
验证：
同理可得：
，……
通过上述探究你能猜测出：a=_______（a>0）,并验证你的结论．
例14．计算：
（1（2÷（3÷（4）
例15．化简：
（1（2（3（4
例16．，且x为偶数，求（1+x
的值．
变式题1.的结果是（）．
变式题2.阅读下列运算过程：
，
化”）．
变式题3.已知x=3，y=4，z=5，
是_______．
变式题4.有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长
：1，•现用直径为的一种圆木做原料
加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？
变式题5.计算
（1
·（
m>0，n>0）
（2）
（a>0）
例17.把它们化成最简二次根式：
(1)
3
; (2)
总结：二次根式有如下两个特点：
1．被开方数不含分母；
2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
例18.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长．
B A C
例19.观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：
-1，
=
，
，……
从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算
++（+1）的
值．
练习：
一、选择题
1（y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（）．
y>0） B y>0） C y>0）
A
D．以上都不对
2．把（a-1中根号外的（a-1）移入根号内得（）．
C． D．
A
B
A
=a2D
C
4的结果是（）
B．C．D．
A．
二、填空题
1．（x≥0）
2．化简二次根式号后的结果是_________．
三、综合提高题
1．已知a 过程，请判断是否正确？若不正确，•请写出正确的解答过程：
2．若x 、y 为实数，且y=y x y -的值．
例20.计算 （1
（2
总结：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式进行合并．
例
21．计算
（1）
（2）
）+
例
22．已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求（23
+y
-（x -5x
）的值．
