高等代数的应用论文

摘要本文主要研究矩阵、行列式与Cramer法则在判别直线、平面与线面位置关系时的应用以及如何用行列式表示直线或平面方程，并将对称变换法应用于求二次曲线的切线以及二次曲面的切平面．还应用线性方程组的理论得到了解析几何中的几个简单命题，从而疏通了高等代数与解析几何的内在联系，并体现出代数学与几何学相互渗透，相互影响的本质关系,能够使学习者在具体的几何背景下直观地接受代数方法．关键词：矩阵；行列式；Cramer法则；线性方程组；对称变换ABSTRACTThis paper mainly studies how to use matrix, determinant and Cramer law to discriminate the relation between lines and planes, and how to use the determinant to express the equation of lines and planes．And symmetric transformation method is used to solve the problem of tangent line of quadratic curve and tangent plane of quadratic surface．Using the theory of linear equations, some easy propositions of analytic geometry are gotten．So it shows the intrinsic relation between linear algebra and analytic geometry which penetrated and affected each other, enabling learners accept algebra method intuitively under the background of specific geometric．Key words: Matrix; Determinant; Cramer law; System of linear equations; Symmetric transformation第1章引言高等代数这门课程内容充实，逻辑严密，是现代数学、物理、工程、经济等学科的基础[1]．而高等代数作为其它学科的基础，其内容与基本理论和方法必然有着广泛的应用．如一般性思想方法、抽象性思想方法、公理化思想方法、初等变换的思想方法、辩证思维的思想方法和关系映射反演思想方法等．“高等代数”与“解析几何”作为高等院校数学专业的两门重要基础课程，它们既各具特点不能相互取代，又存在着天然的内在联系，主要表现在它们的内容上有许多重叠和相互依赖，相互支撑的部分．它们之间存在着密切的联系，这种关系可以归结为“代数为几何提供研究方法，几何为代数提供直观背景[2]”．目前,将这两门课程进行合并教学的探索纷纷在多所高等院校展开，并且这个思路也一直是许多高等院校教学改革的一个热门课题．在当今日趋激烈的课程改革进程中，有的高校主张，将高等代数与解析几何两门课程进行整合，二课合一，课程内容以代数为主线，把行列式、线性空间，欧式空间放在前几章，以使充分利用线性代数工具解决集合问题．学生刚开始接触到行列式、线性空间这些抽象内容时，感到深奥、难理解，引入解析几何的内容与相关问题时，把代数与几何充分结合起来，学生就会感到具体多了，很容易明白，便于对代数知识的理解，而对解析几何来说，由于有了充分的高等代数知识作准备，面对具体几何问题便会得心应手，迎刃而解了[3]．在学习解析几何的过程中，我们经常会碰到这样的问题，如求通过定点的曲线方程、判断平面上三点是否共线、求平面上不共线的三点所围成的三角形面积以及判断空间中平面与平面的位置关系，直线与直线的位置关系，平面与直线的位置关系．这些问题均是解析几何中最常见的问题，像这些问题大多数学生都只会考虑运用解析几何课程中的本体性知识来解答，思维方式比较单一，不具有灵活性，殊不知，借助高等代数中行列式、矩阵和线性方程组解的理论等基础性知识，这些问题可以轻而易举并且以直观的方法被解决，高等代数知识的运用促使广大学者对几何问题的认识从原来的思维单一模式向思维多元化模式过渡，从而更好地理解“代数为几何提供研究方法，几何为代数提供直观背景”这一句话，加深对代数与几何之间的融入和理解．应用高等代数方法解决几何问题的应用实例还有很多，如弯管的设计[4]、环叉式万向节的附加力矩[5]、矿脉迹线的绘制[6]、天体定位精度分析[7]等．总的来说，如果单单运用解析几何知识来解决几何问题，舍弃高等代数知识而作为唯一的解决方案来源，不仅运算过程中计算量比较大，且化简过程繁琐，不利于学者发挥主体性和创造性[8]．但是，有了高等代数作为解决几何问题的又一知识来源,不仅可以简化解决问题的过程，而且可以帮助学者更好地发挥创造性与能动性．第2章 高等代数在解析几何中的应用2.1 判别平面、直线位置关系[9]直线和平面是解析几何中最基础的内容，那么，毫无疑问，它们之间位置关系的判别也是解析几何研究中的基础．但是，大多数解析几何教材给出的判别方法针对的都是直线与平面的对称式方程与点法式方程，且运用到的高等代数中的工具是行列式．本节将运用矩阵及其秩来对平面和直线的位置关系作出判断． 2.1.1 平面位置关系判别两个平面有三种位置关系，即相交，平行，重合．以下用高等代数方法可轻松判别两平面位置关系．定理1 设两个平面方程为 11111222220A xB yC zD A x B y C z D ∏+++=∏+++=：：则1 平面1∏与2∏平行 11112222==()2,()1A B C D r A r A A B C D ⇔≠⇔==； 2 平面1∏与2∏重合 11112222==()1,()1A B C D r A r A A B C D ⇔=⇔==； 3 平面1∏与2∏相交111222::::()2,()2A B C A B C r A r A ⇔≠⇔==．其中,111222AB C A A B C ⎛⎫= ⎪⎝⎭,11112222A B C D A A B C D -⎛⎫= ⎪-⎝⎭． 证明 应用代数知识，考虑由平面1∏与2∏的方程构成的线性方程组111122220A xB yC zD A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩ (1)的解．由1()2r A ≤≤，而()()2r A r A ≤≤．所以有：1 平面1∏与2∏平行⇔方程组(1)无解，亦即1∏与2∏无公共点⇔()()r A r A ≠，()r A =2，()1r A =．由()1r A =，可设111222==A B C k A B C =．那么0k ≠且对A 作初等行变换得111112100A B C D A D D k -⎛⎫⎪= ⎪- ⎪⎝⎭又由()2r A =，有1210D D k -≠，从而11112222==A B C DA B C D ≠．2 当且仅当12D k D =，即11112222==A B C DA B C D =时,()()1r A r A ==，这时方程组(1)有无穷多解并且只有一个独立的方程．平面1∏与2∏重合，即结论2成立．3 若111222::::A B C A B C ≠，那么A 的行向量线性无关，从而()()2r A r A ==，这时方程组(1)有无穷多解并且有两个独立的方程．平面1∏与2∏相交于一条直线． 例 1 求过点(4,1,3)及平面1:20x y z π+--=与平面2:3530x y z π+--=交线的平面π的方程．解 由所求平面经过点(4,1,3)，可设平面方程为(4)(1)(3)0A x B y C z -+-+-=．又因平面π与平面1π，2π相交于一条直线，则由定理1可知，线性方程组203530(4)(1)(3)0x y z x y z A x B y C z +--=⎧⎪+--=⎨⎪-+-+-=⎩有无穷多解，即()()2r A r A ==．其中，1111112351,351343A A A B C A B C A B C --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭．而11121112351302234315002322A A B C A B C C B A C A B ⎛⎫⎪--⎛⎫⎪ ⎪=-→-⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭-+++ ⎪⎝⎭． 所以有20153022C B A C A B -+=⎧⎪⎨++=⎪⎩，得111A B C ==-，则所求平面方程为 (4)(1)(3)0x y z -+---=20x y z ⇒+--=．2.1.2 直线位置关系判别两直线通常有4种位置关系，即相交，重合，平行与异面．以下同样是应用矩阵的秩来判别．定理 2 判别两直线1111122220:0A x B y C z D L A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩333324444:0A x B y C z D L A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩的位置关系的充要条件为： 1 相交()()3r A r A ⇔==； 2 重合()()2r A r A ⇔==； 3 平行()3()2r A r A ⇔==，； 4 异面()4()3r A r A ⇔==，．其中1111111222222233333334444444,A B C A B C D A B C A B C D A A A B C A B C D A B C A B C D -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭． 证明 1L 与2L 的相关位置取决于线性方程组11112222333344440000A xB yC zD A x B y C z D A x B y C z D A x B y C z D +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩ 的解的情况．记A 的行向量为1234,,,αααα，A 的行向量记为1234,,,αααα，A ，A 分别表示这个线性方程组的系数矩阵与增广矩阵．注意到()()r A r A =或()()1r A r A =+，而2()3r A ≤≤． 当()2r A =时，有以下几种情况：①()2r A =，此时方程组有无穷解，且1L 与2L 的方向向量共线，表明1L 与2L 重合； ②()3r A =，此时线性方程组无解，且1L 与2L 的方向向量共线，表明1L 与2L 平行． 当()3r A =时，有以下几种情况：①()3r A =,此时线性方程组有唯一解，表明1L 与2L 相交；②()4r A =,此时线性方程组无解且1L 与2L 的方向向量不共线，表明1L 与2L 异面．例2 判别下面直线的位置关系．2503510x y z x y z ++-=⎧⎨++-=⎩与8323052750x y z x y z +-+=⎧⎨++-=⎩ 解 由112511250251435116100788323286352750061A ⎛⎫ ⎪⎛⎫-- ⎪⎪⎪⎪=→--⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭知，()3,()4r A r A ==，根据定理2知，两直线异面． 2.1.3 线面位置关系判别空间直线与平面有3种位置关系：相交、平行、直线在平面上．利用高等代数来刻画这3种位置关系同样可以使解析几何的有关问题大大简化．定理 3 直线111122220:0A x B y C z D L A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩与平面:0Ax By Cz D π+++=的位置关系：1 相交()3,()3r A r A ⇔==；2 平行()3,()2r A r A ⇔==；3 直线L 在平面上()2,()2r A r A ⇔==．这里，11111112222222,A B C A B C D A A B C A A B C D A BC A BCD -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭． 证明 直线L 与平面π的位置关系取决于线性方程组11112222000A x B y C z D A x B y C z D Ax By Cz D +++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩的解的情况．记这个线性方程组的系数矩阵与增广矩阵分别记为A 与A ，则2()3r A ≤≤，2()3r A ≤≤．当()3r A =时，只有()3r A =一种情况，此时，线性方程组有唯一解．这表明L 与π相交．当()2r A =时，有2种情况：①()2r A =时，此时线性方程组有无穷多解，即直线L 与π有无穷多交点．表明L 在平面π上；②()3r A =时，此时，线性方程组无解，即直线L 与平面π无交点，表明L 与π平行．例 3 求过直线:L 2204310x y z x y z ---=⎧⎨-+-=⎩且与平面:π260x y z +++=平行的平面方程．解 设所求平面α的方程为0Ax By Cz D +++=,因为平面π与α平行，所以有11A B =26C D=≠，因此此处不妨假设,,2A m B m C m ===，那么平面α的方程可以写为20mx my mz D +++=(0)m ≠．又因为L 在平面α上，根据定理3，可知方程组220431020x y z x y z mx my mz D ---=⎧⎪-+-=⎨⎪+++=⎩有无穷多解，即()()2r A r A ==．121212124131077720332A m m m D m m D m ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭因此有7732m D m-=--，所以有D m =．因此平面α的方程为 210x y z +++=．通过以上介绍的几个简单定理和几道例题，可以看出利用矩阵及其秩方法不仅大大减少了计算量，而且掌握了上述方法以后有利于原有知识和方法的迁移，活跃了解题思维，丰富了解题经验．对于初学高等代数与解析几何的广大学生来说，有利于建立两门课程之间更广、更深的联系，有利于拓展知识，形成技能，发展能力．2.2 Cramer 法则在解析几何中的应用解析几何中经常会碰到这类问题，比如给定若干个点求过这些点的曲线或者曲面方程．解这类题时,有时候思路会局限于使用基本的代数方法．本节会将Cramer 法则引入这类问题的解法中，用行列式表示所求曲面或曲线的方程．这种解法思路比较清晰，只须牢固掌握Cramer 法则以及线性方程组解的理论即可轻松解决这类问题．1 多点确定的曲线方程平面上的二次曲线方程的一般方程为221234560a x a xy a y a x a y a +++++= (2)其中，1a ，2a ，3a ，4a ，5a 不全为0．要求通过五个不同的点()11,x y ，()22,x y ，()33,x y ，()44,x y ，()55,x y 的曲线方程．将这五点代入(2)，得到五个方程并与(2)联立得到线性方程组221234562211211314151622122223242526221323333435362214244344454622152553545556000000a x a xy a y a x a y a a x a x y a y a x a y a a x a x y a y a x a y a a x a x y a y a x a y a a x a x y a y a x a y a a x a x y a y a x a y a ⎧+++++=⎪+++++=⎪⎪+++++=⎪⎨+++++=⎪+++++=+++++=⎩⎪⎪⎪ (3) 把1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，6a 看作未知量，这是关于它们的一个齐次线性方程组，由于它有非零解，其系数行列式必为0，即2222111111222222222233333322444444225555551110111x xy y x y x x y y x y x x y y x y x x y y x y x x y y x y x x y y x y = (4)此即为所求的二次曲线方程[10]．易知，当1230a a a ===时，方程变为平面上的直线方程4560a x a y a ++=，用上述方法可以求出过两不同点()11,x y ，()22,x y 的直线方程为11221101xyx y x y =． 例 4 平面上通过横坐标互不相同的n 个点(,)(1,2,,i i i P x y in =的曲线210121n n y a a x a x a x --=++++有且仅有一条[11]．证明 把n 个点的坐标带入曲线方程210121n n y a a x a x a x --=++++，得到含n个方程n 个未知量的非齐次线性方程组及其系数行列式D ：21101121112120122212210121n n n n n n n n n n y a a x a x a x y a a x a x a x y a a x a x a x ------⎧=++++⎪=++++⎪⎨⎪⎪=++++⎩211112122221111n n n nn n x x x x x x D x x x ---=将0a ，1a ，2a ，，1n a -看作未知量，系数行列式D 是n 阶范德蒙德行列式，由于(1,2,,)i x i n =互不相同，所以0D ≠，依据Cramer 法则，上述方程组有唯一解，故通过(,)(1,2,,i i i P x y i n =的曲线210121n n y a a x a x a x --=++++有且仅有一条，21312n n D D D D y x x x D D DD-=++++，其中(1,2,)j D j n =是用方程组的常数项代替系数行列式中的第j 列元素后得到的n 阶行列式．例5 过平面上不共线的三点(,)(1,2,3)i i i P x y i =的圆的方程为 2222111122222222333311011x y x yx y x y x y x y x y x y ++=++． 证明 设圆的方程为220x y Ax By C ++++=，把三个点的坐标代入圆的方程，得含3个方程3个未知量的非齐次线性方程组及其系数行列式D221111222222223333000x y Ax By C x y Ax By C x y Ax By C ⎧++++=⎪++++=⎨⎪++++=⎩D =112233111x y x y x y 将A ，B ，C 看作未知量，由1P ，2P ，3P 不共线以及可知0D ≠，所以上述方程组有唯一解，221112222222333()1()1()1x y y x y y x y y A D-+-+-+=,221112222222333()1()1()1x x y x x y x x y B D-+-+-+=,221111222222223333()()()x y x y x y x y x y x y C D-+-+-+=代入220x y Ax By C ++++=，整理得：222222111111111111222222222222222222222222223333333333331()1()1()()1()1()1()01()1()1()x y x y y x y x x y x y x y x y x x y y y x y x x y x y x y x y y x y x x y x y ++++-+++-+=+++即2222111122222222333311011x y x yx y x y x y x y x y x y ++=++． 2 多点确定的曲面方程设通过空间中不在同一个平面上的四个点()111,,x y z ，()222,,x y z ，()333,,x y z ，()444,,x y z 的球面方程为22212345()0a x y z a x a y a z a ++++++= (5)得到关于1a ，2a ，3a ，4a ，5a 的齐次线性方程组2221234522211112131415222122222324252221333233343522214442434445()0()0()0()0()0a x y z a x a y a z a a x y z a x a y a z a a x y z a x a y a z a a x y z a x a y a z a a x y z a x a y a z a ⎧++++++=⎪++++++=⎪⎪++++++=⎨⎪++++++=⎪⎪++++++=⎩ (6)由(6)有非零解得到球面方程为222222111111222222222222333333222444444110111x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z ++++=++++++． (7) 例6 过空间中不共线3点(,)(1,2,3)i i i P x y i =的平面方程是11122233311011xy z x y z x y z x y z =．证明 设平面π的方程为0ax by cz d +++=（a ，b ，c 不全为0），因为点1P ，2P ，3P 均在平面上，则其坐标必满足π的方程，从而得到以a ，b ，c ，d 为未知量的齐次线性方程组及其行列式D1112223330000ax by cz d ax by cz d ax by cz d ax by cz d +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩ 1112223331111x y z x y z D x y z x y z =因a ，b ，c 不全为0，说明上述齐次线性方程组有非零解，所以其系数行列式0D =，即所求平面π的方程．以上通过运用Cramer 法则以及线性方程组解的理论介绍了如何用行列式表示曲线或曲面的方程，虽然只是给出了几个常见的曲线和曲面的求法，但是，这种方法比较系统，容易举一反三．所以，这种方法一经掌握，关于这种类型的题目便可迎刃而解了．2.3 利用对称变换求二次曲线的切线与二次曲面的切面在解析几何这门课程研究的所有问题中，求二次曲线的切线方程与求二次曲面的切面方程是一类重要的问题．其中，解析几何教材给出了这类问题的一般解法，但是求解过程过于繁琐且结论不易记忆，从而在解决这类问题时极易出错．以下将应用对称变换的思想解决这类问题，这不仅为解决这类问题提供了一种全新的方法，而且方法简练，便于记忆． 2.3.1 求二次曲线的切线方程设二次曲线:(,)0L F x y =，00(,)M x y 是曲线L 上的正常点，对L 上的点(,)P x y 作以点M 为中心的对称变换T ，将点P 变换成'(',')P x y ，则00'2'2x x xy y y =-⎧⎨=-⎩那么L 在对称变换T 下的像'L 的方程为00(2,2)0F x x y y --=．定理 4 记00(,)(2,2)(,)f x y F x x y y F x y =---，则:(,)0l f x y =是一条直线，且直线(,)0f x y =就是二次曲线L 在点00(,)M x y 处的切线[12]．证明 由于M 在变换T 下的象就是M 自身，所以M 是L 与'L 的一个交点． L 与'L 除M 之外不会再有别的交点，否则，设'A 是L 与'L 的另一交点，那么'A 应是L 上一点A 在变换T 下的象，于是A 、M 、'A 应在同一条直线上．但是由于一条非退化的二次曲线上任何三点都不会共线，于是，产生了矛盾[13]．容易看出，L 与'L 的交点在l 上，故M 也是l 与L 的交点．此外，由l 的方程可以看出，l 与L 的交点也必在'L 上，而L 与'L 只有唯一交点．如果L 是椭圆，那么已断言l 是切L 于M 的直线．如果L 是双曲线，则只要证明l 不与其渐近线平行，即可断定l 是L 的切线．如果L 是抛物线，则只要证明l 不与其对称轴平行，就可断言l 是L 的切线，以下对L 进行分类讨论．1 当L 为椭圆时，设其方程为222222(,)0(0)F x y b x a y a b a b =+-=>>则l 的方程为2222222200(2)(2)0b x x a y y b x a y -+---=化简得2222220000b x x a y y b x a y +=+由于00(,)M x y 在L 上，所以22222200b x a y a b +=．于是，l 的方程为222200b x x a y y a b +=即00221x x y ya b+= 这就是与椭圆L 相切于点00(,)M x y 的直线，与欲证结论一致． 2 当L 为双曲线时，设其方程为222222(,)0(0,0)F x y b x a y a b a b =--=>> 则l 的方程为2222222200(2)(2)0b x x a y y b x a y ----+= 化简得2222220000b x x a y y b x a y -=-若00y =时，明显地，l 不与L 的渐近线平行；若00y ≠时，l 的斜率为2020b x a y ，如果l 平行于L 的渐近线b y x a =±，则2020b x b a y a=±，从而222002b y x a =． 于是22222222200002(,)0b F x y b x a x a b a b a=-⋅-=-≠．这与00(,)M x y 是L 上一点矛盾，可见l 也不与L 的渐近线平行，因此l 应是L 的切线．另外，由于22222200b x a y a b -=，故l 的方程可化为00221x x y ya b-=，这也与欲证结果一致． 3 当L 是抛物线时，设其方程为2(,)20(0)F x y y px p =-=> 则l 的方程为2200(2)2(2)20y y p x x y px ----+= 化简得20000px y y y px -+-=．若00y =时，l 不与L 的对称轴平行； 若00y ≠时，l 的斜率为0py ≠，故l 也不与L 的对称轴平行，因此l 是L 的切线． 由于2002y px =，则l 的方程可化为00()y y p x x =+，这也与欲证结果一致．对一般形式的二次曲线22:(,)0(,,)L F x y ax bxy cy dx ey f a b c =+++++=不全为0l 的方程为22000000(2)(2)(2)(2)(2)(2)a x x b x x y y c y y d x x e y y -+--+-+-+- 22()0f ax bxy cy dx ey f +-+++++=即 220000000000(2)(2)(222)0ax by d x cy bx e y ax cy bx y dx ey +++++-++++= 由于22000000()f ax bx y cy dx ey =-++++，代入l 的方程，化简得l 的方程为 000000()()()0222x x y y x x y y ax x b cy y d e f ++++++++=． 与已知结果相比可知，这正是与L 相切于00(,)M x y 的切线方程．综上所述，如果点00(,)M x y 是二次曲线(,)0F x y =上一点，则00(2,2)(,)0F x x y y F x y ---=就是与这条二次曲线相切于00(,)M x y 的直线的方程．例7 求二次曲线222430x xy y x y -++--=在点(2,1)的切线方程． 解 此处 22(,)2430F x y x xy y x y =-++--= (,)(4,2)(,)10812f x y F x y F x y x y =---=-++则该曲线在点(2,1)处的切线方程为5460x y --=，且验证得(2,1)为该二次曲线的正常点．2.3.2 求二次曲面的切面方程设二次曲面:(,,)0C F x y z =，000(,,)M x y z 是二次曲面C 的正常点，对于C 上的点(,,)P x y z 作以点M 为中心的对称变换T ，将点P 变换成'(',',')P x y z ，则000'2'2'2x x xy y y z z z=-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩那么C 在变换T 下的像'C 的方程为000(2,2,2)0F x x y y z z ---=．记222112233122314243444(,,)22222F x y z a x a y a z a xy a yz a x a y a z a ≡++++++++111121314(,,)F x y z a x a y a z a =+++，212222324(,,)F x y z a x a y a z a =+++ 313233334(,,)F x y z a x a y a z a =+++，414243444(,,)F x y z a x a y a z a =+++定理5 记000(,,)(2,2,2)(,,)g x y z F x x y y z z F x y z =----，则:(,,)0g x y z α=是一个平面，且平面(,,)0g x y z =就是二次曲面C 在点000(,,)M x y z 处的切平面．证明 经整理得000(2,2,2)F x x y y z z ---0004(,,)(,,)F x y z F x y z =+100020004(,,)4(,,)F x y z x F x y z y --30004(,,)F x y z z - 40004(,,)F x y z -由于000(,,)M x y z 在曲面C 上，所以000(,,)0F x y z =，则000(,,)(2,2,2)(,,)g x y z F x x y y z z F x y z =----10002000300040004(,,)4(,,)4(,,)4(,,)F x y z x F x y z y F x y z z F x y z =----那么平面α的方程为1000200030004000(,,)(,,)(,,)(,,)0F x y z x F x y z y F x y z z F x y z +++=因为000(,,)M x y z 为C 上的正常点，所以1000(,,)F x y z ，2000(,,)F x y z ，3000(,,)F x y z 不全为零，不妨设1000(,,)0F x y z ≠．1 用平面0y y =去截割二次曲面(,,)0F x y z =，得截线方程为00(,,)0F x y z y y =⎧⎨=⎩，经整理得截线在点000(,,)M x y z 的切线方程为1000200003000400010(,,)(,,)(,,)(,,)0:F x y z x F x y z y F x y z z F x y z l y y +++=⎧⎨=⎩直线1l 的方向数为30001000[(,,)]:0:(,,)F x y z F x y z -，即直线1l 的方向矢量为}{130001000(,,),0,(,,)V F x y z F x y z =-．2 用平面0z z =截割二次曲面(,,)0F x y z =，同理可求得截线在点000(,,)M x y z 处的切线2l 的方向矢量}{220001000(,,),(,,),0V F x y z F x y z =-．3 12V V ⨯ 3000100020001000(,,)0(,,)(,,)(,,)0ijkF x y z F x y z F x y z F x y z =--210001000200010003000[(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)]F x y z i F x y z F x y z j F x y z F x y z k =-++即12V V ⨯=}{210001000200010003000(,,),(,,)(,,),(,,)(,,)F x y z F x y z F x y z F x y z F x y z -． 由平面α的方程知，α的法矢量为}{100020003000(,,),(,,),(,,)n F x y z F x y z F x y z =，则12V V ⨯=1000(,,)F x y z n -，其中1000(,,)0F x y z ≠．因为平面α经过点000(,,)M x y z ，所以平面:(,,)0g x y z α=是二次曲面C 在点000(,,)M x y z 处的切平面．例8 求二次曲面222(,,)444222180F x y z x y z xy xz yz x y z =++---++++=在点(1,2,3)的切平面方程．解 验证得(1,2,3)是该曲面上的正常点．而(,,)(2,4,6)(,,)g x y z F x y z F x y z =---- 3220896x y z =++-则该曲面在点(1,2,3)处的切平面方程为852240x y z ++-=．2.4 二次曲面和平面位置关系判别二次曲面和平面位置关系之前，首先先给出球面与平面的位置关系判别方法，然后经过射影变换，来判别二次曲面和平面的位置关系． 2.4.1 球面与平面位置关系的判别设有球面222222x y z ax by cz d +++++= (8)和平面的法式方程cos cos cos 0x y z p αβγ++-= (9)考虑此球面方程系数行列式的加边行列式100cos 010cos 001cos cos cos cos 0a b ca b c d p p αβδγαβγ=--- 整理得22222210000010000010cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos a b c d a b c p a b c p a b c δαβγαβγαβγαβγ=---------------由于(9)式是空间平面的法式方程，而且球面(8)的球心坐标为(,,)a b c ---，所以cos cos cos p a b c αβγ----是球心到此平面的距离．而222d a b c +++是球面(8)的半径的平方，且222cos cos cos 1αβγ++=，故2222(cos cos cos )d a b c p a b c δαβγ=+++----- 是截线圆的半径的平方．由此可得：当0δ>时，球面与平面相交；当0δ=时，球面与平面相切；当0δ<时，球面与平面相离．若平面方程是一般式0Ax By Cz D +++=，两边乘以法化因子K ，则化为法式方程(9)．所以100010'01a Ab Bc C a b cd D A B CDδ=- (10) 第5行及第5列各乘以K ，则2'K δδ=即2'Kδδ=．所以'0δ>，球面与平面相交；'0δ=时，球面与平面相切；'0δ<时，球面与平面相离[14]． 2.4.2 二次曲面与平面位置关系判别按照射影几何的观点，二次曲面是由球面经射影变换而得到的，平面经过射影变换后仍是平面，且在射影变换下，点面结合性不变，点线结合性不变．故经射影变换，截线圆变成二次曲线，曲面的形状发生改变，但它与平面的位置关系不变[14]．经射影变换，球面(8)变成二次曲面()11121314121222324212343132333434142434440a a a a x a a a a x x x x x a a a a x a a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ (11)其中，射影变换为1112131412122232423132333434142434441x x x y x z x λλλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (12) 平面 ()01x yA B CD z ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭变成另一平面()1112131412122232423132333434142434440x x A B CD x x λλλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭ (13) 或者记作 '''''''0A x B y C z D +++=(14)其中 ()()11121314212223243132333441424344''''A B C D A B CD λλλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭(15) 14'x x x =，24'xy x =，34'x z x =． 二次曲面(11)也可以写作()11121314212223243132333441424344'''''10'1a a a a x a a a a y x y z a a a a z a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ (16) 其中111213142122232444443132333441424344100010001T a a a a a a a a a b a a a a c a a a a ab c d ⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=ΛΛ ⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭1112131421222324443132333441424344λλλλλλλλλλλλλλλλ⨯⎛⎫⎪ ⎪Λ= ⎪⎪⎝⎭二次曲面(16)和平面(14)的位置关系判别式为11121314212223243132333441424344''''''''a a a a A a a a a B a a a a C a a a a D A B C D 由111213142122232444443132333441424344'100'01000'0010101'''''00Ta a a a A a A a a a a Bb B a a a a Cc C a a a a D a b cd D A B C D A B C D⨯⨯⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪Λ⎛⎫Λ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以111213141111111144443132333441424344'10'01000''001011'''''0Ta a a a A a A a a a a Bb B a a a a Cc C a a a a D a b cd D A B C D A B CDδ⨯⨯ΛΛ==- 即2'k δδ=，其中44001k ⨯Λ=，可以说当'0δ>，二次曲面与平面相交；'0δ=时，二次曲面与平面相切；'0δ<时，二次曲面与平面相离．且在实际应用时，可将'A ，'B ，'C ，'D 上的撇号去掉，即二次曲面222112233121323142434442222220a x a y a z a xy a xz a yz a x a y a z a +++++++++= 与平面0Ax By Cz D +++= 的位置关系判别式[14]为111213142122232431323334414243440a a a a A a a a a Ba a a a C a a a a D ABCDδ=．本节首先借助行列式给出了判定球面与平面位置关系的判别式，其本质思想还是球心到平面的距离与球体半径大小的比较；然后根据射影变换法，球面经射影变换成为二次曲面，平面经过射影变换后仍为平面，而在射影变换下，点面、点线结合性不变，则根据从一般到特殊的思想，即可得出二次曲面与平面位置关系的判别式．2.5 正交变换与合同变换化简二次曲线结合解析几何与代数理论，运用高等代数中化二次型为标准型的两种思路：合同变换与正交变换．其中，合同变换是在不注重研究几何性质时候常用的一种方法，它的标准型不唯一,而正交变换恰恰相反[15]． 2.5.1 正交变换化简二次曲线任意实二次型12,1(,,,)'nn ij i j i j f x x x a x x X AX ===∑都可以用正交变换X QY =化为平方和2221122n nf y y y λλλ=+++，这里(1,2,,)i i n λ=是A 的全部特征值．例9化简二次曲线22120x xy y ++-+=． 解 式中的二次项构成的实二次型为22(,)12f x y x xy y =++．实二次矩阵为1661A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，特征多项式16()(7)(5)61f E A λλλλλλ--=-==-+--，即A 的特征根为127,5λλ==-．属于1λ的特征向量为()11,1α=，属于2λ的特征向量为()21,1α=-．单位化得1β=，2β⎛= ⎝．以1β，2β为列向量，作正交矩阵Q =⎪⎪⎭则所作正交变换为''''x x y y x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，代入原方程，得227'5'8'0x y y -+=，配方得224167'5(')055x y --+=．令'''4'''5x x y y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，则坐标变换为''''''''x x y y x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得标准方程为2216755x y -=-（双曲线）2.5.2 合同变换化简有心二次曲线对矩阵A 作合同变换，即123111213212223313233000000d d d A E c c c c c c cc c ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎛⎫≅ ⎪⎪⎝⎭⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭这样，二次曲线就化简为22123(,)0f x y d x d y d =++=．所作变换1112212223''''x c x c y cy c x c y c =++⎧⎨=++⎩． 例10 化简2231010210x xy y x y -++-+=．解 系数矩阵315231525521A ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭， 由231523412I -==--知该曲线为中心曲线．31001525003415200155213121002010012001001A E ⎛⎫⎛⎫-⎪⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪-- ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪=≅ ⎪-⎪ ⎪⎝⎭- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭这样，经变换3''22'2x x y y y ⎧=+-⎪⎨⎪=+⎩，代入原方程，得225104x y -+=． 二次型理论来源于化简二次曲线与二次曲面为标准形式的问题，同时经过不断探索研究与拓展，二次型理论又指导化简二次曲线与二次曲面为标准形式的过程，简单地说就是，理论来源于实践，又指导着实践．参考文献[1]宋杰.《高等代数》课程中的若干数学思想方法[J]．韶关学院学报,2009,30(3)：134～136．[2]倪淑琪,徐天长,李会葆,舒阿秀,郝庆一.《高等代数》与《解析几何》二课合一问题研究[J]．安庆师范学院学报,2007,13(4)：102～103．[3]郁金祥.解空间结构与几何空间中线面关系的判定[J].高师理科学刊,2005,25(4)：76～79．[4]李立,汪淑奇.弯管设计的空间解析几何方法[J].长沙电力学院学报(自然科学版),1998,13(4)：414～416．[5]肖生发.用空间解析几何法求解环叉式万向节的附加力矩[J].湖北汽车工业学院学报,2001,15(1)：1～3．[6]刘自娟,郭志民.用空间解析几何法绘制矿脉迹线[J].黄金地质,2006,6(2)：77～79．[7]张圣云,杨仕才,王连柱.空间解析几何法天体定位精度分析[J].天津航海，2004,6(2)：10～12．[8]吴捷云.行列式在解析几何中的应用[J].考试周刊,2013,8(46)：57～58．[9]胡源艳,梁燕来,易亚利,凌征球.巧用代数方法解决解析几何中的某些问题[J].玉林师范学院学报,2011,32(2)：42～45．[10]马艳琴.代数与几何结合的应用问题研究[J].山东轻工业学院学报,2012,26 (2)：85～89．[11]杨先山.Cramer法则在解析几何中的应用研究[J].长江大学学报,2012,9(12)：6～8．[12]张达,周琼.对称变换法在解析几何中的应用[J].宁德师专学报,2002,14(2)：119～121．[13]程涛.利用对称变换求二次曲线的切线[J].数学通报,1994,12(6)：40～41．[14]王微.二次曲面和平面位置关系的判式[J].大学数学,2008,2(6)：173～176．[15]韩凌燕.二次型化简二次曲线的探究[J].山东科学,2008,21(2)：52～54．致谢本篇论文是在王永忠老师的亲切关怀和悉心指导下完成的，从论文的选题到最终完成，王老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持，不厌其烦地帮助我进行论文的修改和改进．另外，在校图书馆查找资料的时候，图书馆的老师也给我提供了很多方面的支持与帮助．在此向帮助和指导过我的各位老师表示最衷心的感谢．其次，感谢这篇论文所涉及到的各位学者．本文引用了数位学者的研究文献，如果没有各位学者的研究成果的帮助与启发，我将很难完成这篇论文的写作．最后，感谢我的同学和朋友，在我写论文的过程中给我提供了不少的论文素材，还在论文的撰写和排版过程中提供热情的帮助．。

高等代数实践小论文代数在讨论任意多个未知数的一次方程组，也叫线性方程组的同时还研究次数更高的一元方程组。

发展到这个阶段，就叫做高等代数。

高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。

《高等代数I 》主要介绍了多项式、行列式、矩阵以及线性方程组的相关知识并建立了联系。

其相关具有代表性的习题如下：1.设a,b 为两个不相等的常数，则多项式f(x)被(x-a)(x-b)除所得余式为_____.解答：设r(x)=cx+d,其中∂(r(x))<2.f(x)=(x-a)(x-b)g(x)+cx+d,f(a)=ca+d,f(b)=cb+d,联立可解得c=f (a )−f(b)a−b ,d=f(a)-a f (a )−f(b)a−b 故r(x)= f (a )−f(b)a−b x + f(a)-a f (a )−f(b)a−b .Thoughts of mine:已知除式为2次则可由余式的次数小于除式得到余式的次数，进而带入已知数求解。

2.设f(x)=3x 4-41x 3-53x 2-101x+7,求f(15).解答：由余数定理,f(15)即为f(x)除以15所得的余数.做综合除法可得f(15)=67.Thoughts of mine:余数定理即可得此时的值,没有必要将15代入求解.3.求f(x)=x 7+2x 6-6x 5-8x 4+17x 3+6x 2-20x+8的根.解答:f ’(x)= 7x 6+12x 5-30x 4-32x 3+51x 2+12x-20.则(f(x),f ’(x))= x 5+x 4-5x 3-x 2+8x-4.f(x)((f (x ),f ′(x ))=x 2+x-2=(x+2)(x-1). 根据f(x)的常数项可以得到,f(x)=(x +2)3(x −1)4.故f(x)的根为1,-2.Thoughts of mine:对于有些多项式来说,单看公因子判别是否为有理根的情况很多且很复杂,先去掉次数的方法相对容易.4.已知f(x)=x 3+a x 2+bx+c,a,b,c ∈Z.求证:若ac+bc 为奇数,则f(x)无整数根.证:假设f(x)有整数根α,则有α|c.由于(a+b)c 为奇数,故a+b,c 均为奇数,故α也为奇数.则x-α|f(x),设f(x)=(x-α)q(x),其中q(x)为整系数多项式.f(1)=(1-α)q(1)=1+a+b+c,而1+a+b+c 为奇数,但1-α为偶数,矛盾. 故f(x)无整数根.Thoughts of mine:奇偶矛盾是反证法常用的一种矛盾,不管是次数矛盾还是根的奇偶都容易得到,也就容易推出矛盾.5.已知x+y+z=0,xyz ≠0,,求x 2yz +y 2xz +z 2xy 的值.解答: x 2yz +y 2xz +z 2xy =x 3+y 3+z 3xyz .令f(x,y,z)=x 3+y 3+z 3,首项为x 3.故f(x,y,z)=σ13+a σ1σ2+b σ3,其中σ1= x+y+z=0.故f(x,y,z)=x 3+y 3+z 3=-6=-2b,故b=3.则x 2yz +y 2xz +z 2xy =x 3+y 3+z 3xyz =3σ3σ3=3.Thoughts of mine:表成初等对称多项式可以解决很多对称多项式的求值问题或求方程组的解的问题.例如：解方程组{x +y +z =2,(x −y)2+(y −z)2+(z −x)2=14,x 2y 2z +x 2yz 2+xy 2z 2=2.解答:σ1=x+y+z=2=-a 1,对方程组作加减变换,可得x 2+y 2+z 2-(xy+xz+yz)=7,xyz(xy+yz+xz)=2,x 2+y 2+z 2+2(xy+xz+yz)=4,故xy+xz+yz=σ2=-1=a 2,xyz=σ3=-2=-a 3.故x,y,z 为方程f(x)=x 3-2x 2-x+2的三个根,易得x=1为一个有理根. 用综合除法可得f(x)=(x-1)(x+1)(x-2),故f(x)的三个根为1,-1,2.6.已知5阶行列式5123452221127312451112243150D ==.求414243A A A ++ 和4445A A +.解答:设x=414243A A A ++,y=4445A A +则D 5=414243A A A +++2（4445A A +）=x+2y=27,若将第四行换成与第二行相同的数字,则有D′5=|1 2 3 4 52 2 2 1 13 1 24 52 2 2 1 14 3 15 1|=0,则D′5=2x+y=0.联立可解得x=-9,y=18.Thoughts of mine:因为A ij 为代数余子式,故可看成按某一行全为1或2展开即行列式的值.类似地,还有| 2 1 5 41 2 3 1−1 0 2 3 3 1 0 −1|,求M 13-M 23-2M 43的值.简解: M 13-M 23-2M 43=1∙A 13+1∙A 23+0∙A 33+2∙A 43=| 2 1 1 41 2 1 1−1 0 0 33 1 2 −1|,即将第三列元素换为代数余子式前的系数.7.求行列式的值:|1 1 1a b c a 3 b 3 c 3|.解答：|A |=| 1 1 1 1a b c y a 2 b 2 c 2 y2a 3 b 3 c 3 y 3|,原行列式的值即为该行列式求值后y 2的系数的相反数.显然，|A |是Vandermonde 行列式, |A |=(y-a)(y-b)(y-c)(b-a)(c-a)(c-b), 由根与系数的关系可得y 2的系数为-(a+b+c)(b-a)(c-a)(c-b),故所求原行列式的值为(a+b+c)(b-a)(c-a)(c-b)= a 2+ b 2+c 2.Thoughts of mine:与Vandermonde 行列式类似的情形可转化为Vandermonde 行列式,根据根与系数的关系求解.8. R 是实数域，对任意正整数m n ≥，证明：在n R 中存在m 个向量12,,,m ααα，使其中任意n 个向量线性无关.解答:令α1=(1,1,1,⋯,1),α2=(1,2,22,⋯,2n−1),⋯,αm =(1,m,m 2,⋯,m n−1),将其排成列矩阵,A=[1⋯1⋮⋱⋮1 ⋯m n−1],任意取其中n 列都可能到一个方阵,且这个方阵取行列式为Vandermonde 行列式.由于1,2,⋯,m 各不相等,故|A |≠0,即其中任意n 个向量线性无关.Thoughts of mine:Vandermonde 行列式的值易求得,且容易构造,所以取特殊情况构造时可以选择Vandermonde 行列式.9. 百鸡术：母鸡每只5钱，公鸡每只3钱，小鸡3只1钱，百钱买百鸡，各买几何？解答：设买母鸡、公鸡、小鸡数分别为x,y,z.则可得线性方程组和约束条件:{x +y +z =100,5x +3y +13z =100且100≥x ,y,z ≥0,3|z.A̅=[1 1 11005 3 13100]→[1 0 −43−1000 1 73200],故{x=43z−100,y=−73z+200根据约束条件z=75,78,81,84,故可以得到四组解{x=0,y=25,z=75.{x=4,y=18,z=78.{x=8,y=11,z=81.{x=12,y=4,z=84.Thoughts of mine:可用线性方程组解决实际问题,但应注意的是,在用线性方程组解决实际问题时要注意实际问题的约束条件.类似的还有, 将军点兵，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问兵几何？（求在500至1000范围内的解）10.已知A是方阵,A2-A-2E=0,则A−1=_______,(A+2E)−1=__________.解答：A2-AE-2E=0，A(A-E)=2E,所以A−1=A−E2.(A+2E)(A-3E)=-4E,所以(A+2E)−1=-A−3E4.Thoughts of mine:求A−1需要对已知的式子进行变形,得到A A−1=E,从而得到所求结果.。

经济学中高等代数的应用-经济学论文-经济论文——文章均为WORD文档，下载后可直接编辑使用亦可打印——摘要：高等代数是研究经济学的基础工具之一，同时也是最为重要的工具之一。

本文探讨了经济学中应用高等代数的策略，总结了经济学应用高等代数的意义。

关键词：经济学；高等代数；策略高等代数在经济学中的应用较为常见，如微分、积分、函数、数列等，这些数学方法被应用到经济学的研究中，始于法国经济学家古诺。

自古诺之后，大量的经济学家开始纷纷采用数学方法来研究经济学问题，使经济学的研究更加的理性，推动了经济学的发展，使人们对经济学的规律有了更为深入的认识。

本文分析了经济学应用高等代数的具体表现，研究了经济学应用高等代数的策略。

一、经济学中应用高等代数的策略经济学中应用高等代数，其策略主要是应用高等代数的基本概念、性质、模型、数学思想等，具体则可以分为两类，即直接应用与间接应用两类，分析如下：第一，经济学中直接应用高等代数。

高等代数在经济学中的直接应用，往往是着眼于直接计算相应的结果，如微分计算边际成本问题、最优化问题、弹性分析问题，积分计算总函数、函数计算需求函数、供给函数、总成本函数、销售收入函数、总利润函数等，这些经济概念，主要是集中在经济管理中，都是利用高等代数的概念、性质、模型等，从而解决经济管理中的一些常见问题[1]。

经济学中直接应用高等代数，这种应用较为普遍，同时也可以看出经济学家在研究经济现象时对高等代数的依赖，同时，利用高等代数解决经济学中这些问题，也更为的科学、理性，也能够为经济管理提供最正确的决策支持。

更为重要的一点是，高等代数应用在经济学中，使得经济学的研究更加准确，特别是对企业生产来说，更是能够找到理论依据，不至于盲目生产，造成经济损失。

如企业对需求函数、供给函数、总成本函数、销售收入函数、总利润函数等使用，举例来说，设某厂准备了生产经费1000元，其可变资本为4元，销售单价为8元，则该商品的总成本、单位成本、销售收入、利润函数是什么[2]。

高等代数期中论文课程高等代数专业班级数学0802 姓名徐锴学号 ******** 指导教师牛敏分块矩阵及其应用主要内容1.分块矩阵1.1. 分块矩阵的定义用纵线与横线将矩阵A 划分成若干较小的矩阵：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡st s s t t A A A A A A A A A 212222111211 其中每个小矩阵 .),1;,1(t j s i A ij==叫做A 的一个子块；分成子块的矩阵叫做分快矩阵[2].1．2 运算规则()1 stij ij st ij st ij B A B A )()()(+=± ()2 tsT ji st Tij A A )()(= ()3 sp ij tp ij st ij C B A )()()(=，ij C =∑-==tk kjik t j s i B A 1),...1,,...1( ()4 stij st ij A k A k )()(=(k 是数量) 在用规则1）时，A 与B 的分块方法须完全相同；用性质3）时，A 的列的分法与B 的行的分法须相同.1.3分块矩阵的性质及其推论在行列式计算中 ,我们经常用到下面三条性质[3]:()1 若行列式中某行有公因子 ,则可提到行列式号外面;()2 把行列式中的某行乘上某一个非零数 ,加到另一行中去 ,其值不变; ()3 把行列式中的某两行互换位置 ,其值变号;利用矩阵的分块 ,我们可以把行列式的三条性质在分块矩阵中进行广.性质 1 设方阵A 是由如下分块矩阵组成A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321C C C B B B A A A 其中 1A ,2A ,3A ,1B ,2B ,3B ,1C ,2C ,3C 都是t s ⨯矩阵 ,又M 是任一s 级方阵 .对于矩阵B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321C C C MB MB MB A A A则B =MA证明 设s E 为s 级单位矩阵 ,则B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321000000C C C B B B A A A E M E s s =A E ME s s⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000000 于是B =0000ssE ME A =s E M s E A =MA性质 2 设矩阵是由如下分块矩阵组成A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321C C C B B B A A A 其中 1A ,2A ,3A ,1B ,2B ,3B ,1C ,2C ,3C 都是t s ⨯矩阵 ,又M 是任一s 阶方阵 .对于矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++=321321321C C C MC B MC B MC B A A A D 则A =D证明 由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡s s sE E E 000000⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321C C C B B B A A A = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++321321321C C C MC B MC B MC B A A A 其中 s E 是s 级单位矩阵 ,对上式两边同时取行列式得A =D性质 3 设方阵A 和'A 写成如下形式A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321C C C B B B A A A ,'A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321C C C A A A B B B 其中 1A ,2A ,3A ,1B ,2B ,3B ,1C ,2C ,3C 都是 s ×t 矩阵，则|'A |=⎩⎨⎧-为奇数时，当为偶数时当s A s A |||,|证明 A 可由'A 中的1B ,2B ,3B 与1A ,2A ,3A 相应的两行对换而得到 ,而对换行列式的两行 , 行列式反号 ,故当s 为偶数时|'A |=A 当s 为奇时|'A |=-A可以证明 ,对于一般分块矩阵也具有类似性质.同时 ,这些性质不仅对行成立 ,对列也同样成立.下面举例说明这些性质在行列式计算和证明中的应用.推论 1 设A ,都是n 阶方阵,则有AB =A B ()2.6 证明 作2n 阶行列式C =EA AB由拉普拉斯展开定理得C =AB E =AB又由性质2并应用于列的情况,有E A AB0=E EB A AB AB --0=EB A -0=B A nn n --+++++++2)1(21)1( =B A 推论 2 设,A B 都是n 阶方阵,则有AB BA =B A B A -+ 证明 根据定性质2并应用于列的情况,有AB BA =A AB B B A ++=B A B B A ++0=B A B A -+ 例1 计算n 2阶行列式D =ab a b a b b a b a ba 000000000000000000000000解 令A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡a 00000a 0000a 0000aB =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000000000 b b b 则 D =ABBA=B A B A -+=a b a b b a b a 00000000 ab a b b aba 00000000 ---- =n b a )(+n b a )(-=nb a )(22-推论 3 设,B ,C ,D 都是n 阶方阵 ,其中A ≠0,并且AC =CA ,则有DC BA=CB AD - ()2.8 证明 根据性质2,因为1-A 存在,并注意到AC =CA ,用1C A --乘矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡D C B A 的第一行后加到第二行中去得⎥⎦⎤⎢⎣⎡----B CA D B CA A 110 从而D C B A=110A C A B D C A B---- =A B CA D 1--=B ACA AD 1--B CAA AD 1--=CB AD- 把行列式的性质在分块矩阵中进行推广之后，我们又由这三个新的性质得到了三个结论.设A ,B ,C ,D 都是n 级方阵则有AB =A B ABBA =B A B A -+ 结论()2.6告诉我们，两个方阵的乘积的行列式等于这两个方阵的行列式的乘积.结论()2.7则说明，当一个行列式可以分成四个级数相等的方阵A ,B ,B ,A 时（即AB BA ）， 2.1分块矩阵在矩阵的秩的相关证明中的应用定理 1 秩()AB≤秩()A ,且秩()AB ≤秩()B ,则秩()AB ≤min{秩A ,秩B }[4]证明 令s m C ⨯=n m A ⨯⋅s n B ⨯，A =()12,n aa a ,C =()12,s γγγ 则(s γγγ 21,)=()12,naa a ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ns n n s s b b b b b bb b b212222111211 ∴nns s s s nn n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b +++=+++=+++=22112222112212211111γγγ∴s γγγ 21,()1可由n a a a 21,()2线性表示 ∴秩()I ≤秩()I I ,即秩()C =秩()AB ≤秩()A令=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn n n 21，Ｂ=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n βββ 21 所以⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn n n 21=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a aa a a212222111211⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nβββ 21即nmn m m s nn n n a a a a a a a a a βββηβββηβφβη+++=+++=+++=22112222112212211111∴m ηηη 21,()3可由nβββ 21,()4线性表示 ∴秩()III ≤秩()IV ,即秩()C=秩()AB ≤秩()B即秩()AB ≤()()m i n {A B }秩，秩 定理 2 设、都是n 级矩阵，若0A B =则秩()A +秩()B ≤n[5].证明 对分块如下:()12nB B B B = 由于0A B =即()120nA B A B A B = 即()01,2,,i A B i n == 说明的各列B 都是0A X =的解.从而秩()12nB B B ≤基础解系=n -秩()A 即秩()A+秩()B ≤n3.1 分块矩阵在求逆矩阵方面的应用命题1[10]设P =⎥⎦⎤⎢⎣⎡D C B A 是一个四分块方阵，其中B 为r 阶方阵, C 为k 阶方阵,当B 与)(1A DB C --都是可逆矩阵时，则P 是可逆矩阵，并且1-P=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+----------------1111111111111)()()()(A DB C A B DB A DB C A B B A DB C DB A DB C 特例 ()1 当A =0，D =0，B 与C 都可逆时，有1-P=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--0011B C . ()2 当A =0，D ≠0，B 与C 都可逆时，有1-P=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----01111B C DB C ()3 当A ≠0，D =0，B 与C 都可逆时，有1-P=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----1111AC B BC 证明 设P 可逆，且1-P =⎥⎦⎤⎢⎣⎡W Z Y X，其中Y 为k 阶方阵，Z 为r 阶的方阵.则应有 于是得到下面的等式(4.1)0(4.2)0(4.3)(4.4)k r X AY C E X BY D Z AW C Z BW DE +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩因为可逆，用1-B 右乘（3.2）式可得代入（3.1）式得Y -11)(---A DB C 则X =11)(----A DB C D 1-B . 用右乘（3.4）式可得=()r E W D -1-B =1-B -1W D B - 代入（3.3）式得W =1B A -11)(---A DB C则 可得Z =1-B +1B A -11)(---A DB C D 1-B .所以1-P=⎥⎦⎤⎢⎣⎡W Z Y X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+----------------1111111111111)()()()(A DB C A B DB A DB C A B B A DB C DB A DB C . 命题2 设Q =⎥⎦⎤⎢⎣⎡D C B A 是一个四分块方阵，其中A 为r 阶方阵，D 为k 阶方阵，当A 与（B CA D 1--）都是可逆矩阵时，则Q 是可逆矩阵,并且1-Q =1-⎥⎦⎤⎢⎣⎡D C B A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡------+-------------1111111111111)()()()(B CA D CA B CA D B CA D B A CA B CA D B A A特例 （1） 当B =0，C =0，A 与D 都可逆时，有1-Q=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1100D A （2） 当B ≠0，C=0，A 与D 都可逆时，有1-Q=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----11110D BD A A 1X Y D B-=（3） 当B =0，C ≠0，A 与D 都可逆时，有1-Q=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----11110D CA D A 此结论参考命题1.例1 设M =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------6000004000001001095201473，求1-M . 解 令=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5273，=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--109014，=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000000，D =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--600040001.则很容易求得1-A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3275，1-D =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--6/10004/10001 且11---BD A =-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3275⎥⎦⎤⎢⎣⎡--109014⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--600040001=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---2/12/1196/74/543 由命题2可得，1-M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----1111D O BD A A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------6/1000004/1000001002/12/119326/74/54375 3.2 分块矩阵在行列式计算式方面的应用在线性代数中 ,分块矩阵是一个十分重要的概念 ,它可以使矩阵的表示简单明了 ,使矩阵的运算得以简化. 而且还可以利用分块矩阵解决某些行列式的计算问题. 而事实上 ,利用分块矩阵方法计算行列式 ,时常会使行列式的计算变得简单 ,并能收到意想不到的效果[11]. 本节给出利用分块矩阵计算行列式的几种方法.引理 设矩阵H =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡s A OOA O A A21或H =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡s A AO A O OA21其中sA A A ,,,21 均为方阵，则 H =s A A A 21.3.2.1矩阵A 或B 可逆时行列式|H|的计算 命题 1 B A 、分别为m 与n 阶方阵. 证明 : (1)当可逆时 ,有BCD A =A D CA B 1-- (3.5) (2)当可逆时 ,有BCD A =C DB A 1--B (3.6) 证明 根据分块矩阵的乘法 ,有⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡---D CA B D A B C D A E CA E 1100 由引理知，两边取行列式即得(3.5).()2 根据分块矩阵的乘法 ,有⎥⎦⎤⎢⎣⎡--E DB E 01⎥⎦⎤⎢⎣⎡B C D A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--B C C DB A 01两边取行列式即得(3.6).此命题可以用来解决一些级数较高的矩阵求逆问题，但在利用命题1时,要特别注意条件有矩阵或可逆，否则此命题不适用，下面给出此命题的应用.推论1 设,,,ABCD 分别是,,m n nm ⨯和mn ⨯矩阵. 证明 B C DE m=CD B - ( 3.7) nE CD A =DC A - (3.8) 证明 只需要在命题1的(3.5)中令=m E , 即得(3.7);在(3.6)中令=n E ,即得(3.8). 推论2 ,C D 分别是n m ⨯和mn ⨯矩阵.证明 nm E CD E =CD E n -=DC E m - (3.9) 证明 在推论1的(3.7)中,令=n E ,在(3.8)中,令=m E ,即得（3.9)例3 计算下面2n 阶行列式n H 2=bcb c d a da()0a ≠解 令=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡a a ,=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡b b，=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡c c ，D =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡dd为n 阶方阵.由于0a ≠,故为可逆方阵.又易知-D CA1-=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------d ca b d ca b d ca b 111从而由命题1中()1得n H 2=AD C B=DCA B A 1-- =nn d ca b a )(1--=n cd ab )(-.例4 计算行列式()1);,,2,1,0(,00100100111121n i a a a a a i n=≠ ()2cb b b b a a a a nn3213211000100010001解 ()1 设=BC DA ，其中 =()0a ,=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n a a a21，=T )1,,1,1( ，D =)1,,1,1( . 因为n i a i ,,2,1,0 =≠所以是可逆矩阵.又易知 A -C DB 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∑=ni i a a 10/1从而由命题1中的结论()4.2得BC D A=1A DB CB -- =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∑=ni i n a a a a a 1021/1 （2）设Q =BC DE n，其中 B =（c ），C =),,,(21nb b b ，D =Tn a a a ),,(21 由于C D =),,,(21nb b b Tn a a a ),,(21 =∑=ni ii ba 1从而由推论1知,=BC DEn=B CD -=c -∑=ni ii ba 1.3.2.2矩阵,A B C D==时行列式|H|的计算 命题 2 ,A C 是两个n 阶方阵.则AC CA=|A+C||A-C| 证明 根据行列式的性质和定理，有AC CA =A A C C C A ++=C A C C A -+0 =A CA C +-. 例1 计算行列式.D =000xyzx zy y z x z y x解 这道题看似简单 ,但如果方法选择不好,做起来并不轻松. 这里设=⎥⎦⎤⎢⎣⎡00x x ，=⎥⎦⎤⎢⎣⎡y z z y 由命题2知D =ACCA=C A C A -+ =yzx z x y++yzx z x y ----=])(][)([2222z x y z x y --+- =))()()((z y x z y x z y x z y x ++--+-+-++行列式的计算是线性代数中的一个重要内容,本节就行列式的计算问题具体就形如H =BC DA （,,,ABCD 分别是,,m n nm ⨯和mn ⨯矩阵）的类型的行列式计算进行了分析，其中将一个行列式分块成,,,ABCD 后，又细分为几种情况进行了讨论，依据不同的情况给出了不同的计算方法，在计算行列式时可根据这几种不同的情况具体问题具体对待，从而简化行列式的计算过程.在这一部分可见，利用分块矩阵计算行列式主要是靠分块矩阵来改变原来矩阵的级数从而达到简化计算过程，快速解决问题的目的.。