2011年湖北高考数学试题及答案(理科)

' ' '
轴重合）所在的平面为 ， xOx 45 。
'
（Ⅰ）已知平面 内有一点 P (2 2, 2) ，则点 P 在平面 内的射影 P 的
'
'
2
坐标为
；
'
（Ⅱ）已知平面 内的曲线 C 的方程是 ( x 2) 2 y 2 0 ，则曲线 C 在平面 内的射
' 2 '2
28 145
13．
67 66
14． （2，2） ， ( x 1) y 1
2 2
15．21，43
三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。 16．本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力。 （满 分 10 分） 解： （Ⅰ） c a b 2ab cos C 1 4 4
3
（Ⅰ）当 0 x 200 时，求函数 v x 的表达式; （Ⅱ）当车流密度 x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每 小时） f x x.v x 可以达到最大，并求出最大值（精确到 1 辆/小时）
18． （本小题满分 12 分） 如图，已知正三棱柱 ABC A1B1C 1 的各棱长都是 4， E 是 BC 的中点，动点 F 在侧棱 CC1 上，且不与点 C 重合． （Ⅰ）当 CF =1 时，求证： EF ⊥ A1C ； （Ⅱ）设二面角 C AF E 的大小为 ，求 tan 的最小值．
1 i 1． i 为虚数单位，则 1 i
A．- i
2011
= C． i D．1
B．-1
2．已知 U y | y log 2 x, x 1 , P y | y

2011年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学（理工农医类）本试卷共4页，三大题21小题。

满分150分，考试时间120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试卷卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷卷上无效。

3. 填空题和解答题用0.5毫M 黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试卷卷上无效。

4. 考试结束，请将本试卷卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。

1.i 为虚数单位，则201111i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭(A) -1 (B)-i (C)1 （D)i解读：选B 。

()()()()2111121112i i i i i i i i i +++++===--+，故2011201111i i i i +⎛⎫==- ⎪-⎝⎭2.已知{}21log ,1,,2U y y x x P y y x x ⎧⎫==>==>⎨⎬⎩⎭，则U P =ð(A)(]1,0,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭ (B)10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(C) ()0,+∞(D)1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭解读：选D{}{}2log ,10U y y x x y y ==>=>，11,202P y y x y y x ⎧⎫⎧⎫==>=<<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，故U P =ð12y y ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭，即为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3.已知函数()3sin cos ,f x x x x R =-∈，若()1f x ≥，则x 的取值范围为(A) 22,3P x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭(B)522,66P x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭(C),3P x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭(D)5,66P x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭解读：选A.()3sin cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令()1f x ≥得：1sin 62x π⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，于是522,666k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，解之即得A 。

【参考答案】 【1】．A提示：∵i 2i 2i1)i 1(i 1i 122==-+=-+，∴原式i i i i 3345022011-====+⨯，∴选（A ）. 【2】．A 提示：}0|{}1,log |{2>=>==y y x x y y U,}210|{}2,1|{<<=>==y y x x y y P , ∴1,2U P ⎡⎫=+∞⎪⎢⎣⎭ð ， ∴选（A ）. 【3】．B 提示：)6sin(2)cos 21sin 23(2cos sin 3)(π-=-=-=x x x x x x f , 由1)(≥x f 得，,21)6πsin(≥-x 所以6π5π26π6ππ2+≤-≤+k x k , 所以π2π2ππ()3k x k k +≤≤+∈Z ，故选（B ）. 【4】．C 提示：px y 22=的图像为开口向右的抛物线，过抛物线焦点分别作倾斜角为30,150的两条直线，则这两条直线与抛物线的交点及焦点构成符合条件的两个正三角形.由对称性可知，两直线位置一有改变就不可能构成正三角形，故选（C ）. 【5】．C提示：∵正态曲线关于直线2=x 对称，而已知8.0)4(=<ξP ， ∴6.0)40(,2.0)0()4(=<<=<=>ξξξP P P ， ∴,3.0)40(21)20(=<<=<<ξξP P 故选（C ）. 【6】．B提示：)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数，∴)()(),()(x g x g x f x f =--=-.∴⎪⎩⎪⎨⎧+-=-+-+-=+--，，2)()(2)()(xx x x a a x g x f a a x g x f 即()()2()() 2.x xx x f x g x a a f x g x a a --⎧+=-+⎪⎨-+=-+⎪⎩，①②①+②，得,)2(,2)(a g x g ==由得2=a . ①-②，得x x x x a a x f ---=-=22)(，所以,41522)2(22=-=-f 故选（B ）.【7】．B 提示：将12,,K A A 分别能正常工作记为事件12,,K A A ，则系统正常工作的概率为))(1)(()()())((212121A A P k P A A P k P A A k P -=+⋅=+⋅⨯-⨯=2.01(9.0864.0)2.0=.故选（B ）. 【8】．D提示：由⊥a b 得0⋅a b =，即y x y x z ,,32+=满足不等式1||||≤+y x 所表示的区域为点)1,0(),0,1(),1,0(),0,1(--连结而构成的正方形及其内部，由线性规划知识，z 取最大和最小值时的最优解为)1,0(和)1,0(-，故33≤≤-z ，故选（D ）. 【9】．C提示：由0),(=b a ϕ，得b a b a +=+22，平方得0=ab ，不妨设,0,02≥==a a a b 得则可得a 与b 互补；反之由a 与b 互补，容易得到0),(=b a ϕ，故选（C ）. 【10】．D提示：,2ln 230)(300tM t M --=' 由已知,2ln 102ln 230)30(10-=-='-MM∴6000=M ，∴1502600)60(,2600)(230=⋅=⋅=--M t M t太贝克，∴选（D ）.【11】．17 提示：由23181818181)31(C )31(C rr rr r r r xxx T --+-=-=， 令152318=-r ，得2=r ，得,17)31(C 151522183x x T =-= 所以15x 的系数为17. 【12】．14528提示：所求概率14528C C C C 2302312713=+=P . 【13】．6667提示：自上而下设各节容积分别为9821,,,,a a a a 且公差为d ，则由已知得⎩⎨⎧=++=+++，，439874321a a a a a a a 故⎩⎨⎧=+=+.421336411d a d a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.66722131d a ，故666766282213415=+=+=d a a .【14】．（2，2），1)1(22=+-y x提示：（I ）过P '作M P '垂直于y 轴且垂足为M ，则PM P '∆为等腰直角三角形，故可得P PM 故,2=点在α内的横坐标为2，而易知P 在α内的纵坐标也为2，故)2,2(P .（II ）设曲线C '上任一点),(y x P '''在α内的射影为),(y x P ，则易知),2(,2,y x P x x y y '='='所以代入方程得，22)22(22=+-y x ，所以曲线C '在α内射影C 的方程为1)1(22=+-y x .【15】．21，43提示：法一：当n =1,2,3,4时符合条件的方案分别为2，3，5，8，由此归纳推测，n =5时有1385=+种方案，n =6时，有8+13=21种方案.法二：为自上而下的6个正方形着色，且黑色正方形互不相邻时，分别着黑色正方形的个数为3，2，1，0，有3个正方形着黑色时，可先将3个白色正方形排好，3个黑色正方形插空共34C 种方案，同理，着2，1，0个黑色正方形分别有071625C ,C ,C 种方案，故一共有21C C C C 07162534=+++种.第二问正好是第一问的对立事件，用两种颜色给6个正方形着色共26种方案，故符合条件的有432126=-种（或以着黑色正方形的个数为标准分类有21C C C C C C C 06162636465666-++++++）.【16】．解：（Ⅰ）22212cos 14444c a b ab C =+-=+-⨯=， ∴2c =∴ABC ∆的周长为122 5.a b c ++=++=（Ⅱ）1cos ,sin 4C C ====∴sin 4sin 2a C A c ===∴.,a c A C <<∴，故A 为锐角，7cos.8A===∴7111cos()cos cos sin sin.848416A C A C A C-=+=⨯+=∴【17】．解：（Ⅰ）由题意：当020x≤≤时，()60v x=；当20200x≤≤时，设()v x ax b=+.再由已知得2000,2060,a ba b+=⎧⎨+=⎩解得1,3200.3ab⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故函数()v x的表达式为60,020,()1(200),20200.3xv xx x≤<⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得60,020,()1(200),20200.3x xf xx x x≤<⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩当020,()x f x≤≤时为增函数，故当20x=时，其最大值为60×20=1200；当20200x≤≤时，211(200)10000()(200).3323x xf x x x+-⎡⎤=-≤=⎢⎥⎣⎦当且仅当200x x=-，即100x=时，取等号.所以，当100x=时，()f x在区间[20，200]上取得最大值10000.3综上，当100x=时，()f x在区间[0，200]上取得最大值1000033333≈.即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时. 【18】．解法1：过E作EN AC⊥于N，连结EF.（I）证明：如图1，连结NF，1AC，由直棱柱的性质知，底面ABC⊥侧面1AC.又平面ABC侧面1AC AC=，且EN⊂底面ABC，所以EN⊥侧面1AC，NF为EF在侧面1AC内的射影，在Rt CNE∆中，cos60CN CE=︒=1，则由114CF CNCC CA==，得1//NF AC，又11,AC AC ⊥故1NF AC ⊥.由三垂线定理知1.EFAC ⊥（II ）解：如图2，连结AF ，过N 作NM AF ⊥于M ，连结ME . 由（I ）知EN ⊥侧面1AC ，根据三垂线定理得,EM AF ⊥ 所以EMN ∠是二面角C AF E --的平面角，即EMN θ∠=. 设,045FACαα∠=︒<≤︒则.在Rt CNE ∆中，sin60NE EC =⋅︒=在Rt ,sin 3sin ,AMN MNAN αα∆=⋅=中故tan NE MN θ== 又045,α︒<≤︒所以0sin α<≤故当sin 2α=即当45α=︒时，tan θ达到最小值，即tan 33θ=，此时F 与1C 重合.解法2：（I ）证明：建立如图3所示的空间直角坐标系，则由已知可得1(0,0,0),(0,4,0),(0,0,4),(0,4,1),A B C A E F于是1(0,4,4),(3,1,1).CA EF =-=-则1(0,4,4)(,1)0440,CA EF ⋅=-⋅=-+=故1.EFAC ⊥（II ）解：设,(04)CF λλ=<≤， 平面AEF 的一个法向量为(,,)x y z =m ， 则由（I ）得F （0，4，λ）.(3,3,0),(0,4,)AE AF λ==，于是由,AE AF ⊥⊥m m ，可得0,30,40.0,AE y y z AF λ⎧⋅=+=⎪⎨+=⎪⋅=⎪⎩⎩即m m取,,4).λ=-m又由直三棱柱的性质可取侧面1AC 的一个法向量为(1,0,0)=n ，于是由θ为锐角可得||cos ||||θ⋅=⋅m n mn θ==，所以tan θ==由04λ<≤，得114λ≥，即tan θ≥= 故当4λ=，即点F 与点1C 重合时，tan θ【19】．解：（I ）由已知1,n n a rS +=可得21n n a rS ++=，两式相减可得2111(),n n n n n a a r S S ra ++++-=-=即21(1).n n a r a ++=+又21,a ra ra ==所以0r =时，数列{}n a 为a ，0，…，0，…； 当0,1r r ≠≠-时，由已知0,a ≠所以0n a ≠（*n ∈N ）， 于是由21(1),n n a r a ++=+可得211()n n a r n a *++=+∈N ， 所以23,,,,n a a a 成等比数列，所以当n ≥2时，2(1).n na r r a -=+综上，数列{}n a 的通项公式为21,(1), 2.nn a n a r r a n -=⎧=⎨+≥⎩， （II ）对于任意的*m ∈N ，且122,,,m m m m a a a ++≥成等差数列，证明如下：当r =0时，由（I ）知，,1,0, 2.n a n a n =⎧=⎨≥⎩∴对于任意的*m ∈N ，且122,,,m m m m a a a ++≥成等差数列， 当0r ≠，1r ≠-时，21211,.k k k k k k k S S a a S S a +++++=++=+若存在*k ∈N ，使得12,,k k k S S S ++成等差数列， 则122k k k S S S +++=，12222,kk k k S a a S ++++=∴即212,k k a a ++=-由（I ）知，23,,,,m a a a 的公比12r +=-，于是对于任意的*m ∈N ，且12,2,m m m a a +≥=-从而24,m m a a +=122,m m m a a a ++∴+=即12,,m m m a a a ++成等差数列，综上，对于任意的*m ∈N ，且122,,,m m m m a a a ++≥成等差数列. 【20】．解：（I ）设动点为M ，其坐标为(,)x y ，当x a ≠±时，由条件可得12222,MA MA y y y k k m x a x a x a ⋅=⋅==-+- 即222()mxy ma x a -=≠±，又12(,0),(,0)A a A a -的坐标满足222,mx y ma -=故依题意，曲线C 的方程为222.mxy ma -=当1m <-时，曲线C 的方程为22221,x y C a ma+=-是焦点在y 轴上的椭圆； 当1m =-时，曲线C 的方程为222xy a +=，C 是圆心在原点的圆；当10m -<<时，曲线C 的方程为22221x y a ma +=-，C 是焦点在x 轴上的椭圆； 当0m >时，曲线C 的方程为22221,x y a ma-=C 是焦点在x 轴上的双曲线. （II ）由（I ）知，当m =-1时，1C 的方程为222;x y a +=当(1,0)(0,)m ∈-+∞时，2C的两个焦点分别为12((F F -对于给定的(1,0)(0,)m ∈-+∞，1C 上存在点000(,)(0)N x y y ≠使得2||S m a =的充要条件是22200020,0,12|||.2x y a y y m a ⎧+=≠⎪⎨⋅=⎪⎩ 由①得00||,y a <≤由②得0||y =当10,0,2a m <≤≤<即或0m <≤时， 存在点N ，使2||Sm a =；1,2a m >即-1<<或m >时， 不存在满足条件的点N ，当150,m ⎫⎛+∈⎪ ⎪ ⎣⎭⎝⎦时， 由100200(1,),(1,)NF a m x y NF a x y =-+--=+-，可得22221200(1),NF NF x m a y ma ⋅=-++=-令112212||,||,NF r NF r F NF θ==∠=，则由22121212cos ,cos ma NF NF r r ma r r θθ⋅==-=-可得， ① ②从而22121sin 1sin tan 22cos 2ma S r r ma θθθθ==-=-， 于是由2||S m a =，可得2212||tan ||,tan .2m ma m a mθθ-==-即 综上可得，当12m ⎡⎫-∈⎪⎢⎪⎣⎭时，在1C 上，存在点N ，使得212||,tan 2;S m a F NF =∠=且当10,2m ⎛+∈ ⎝⎦时，在1C 上，存在点N ，使得212||,tan 2;S m a F NF =∠=-且当15,m ⎛⎛⎫+∈-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，在1C 上，不存在满足条件的点N . 【21】．（I ）解：()f x 的定义域为(0,)+∞，令1()10,f x x'=-=解得 1.x = 当01,()0,()x f x f x '<<>时在（0，1）内是增函数；当1x >时，()0,()(1,)f x f x '<+∞在内是减函数，故函数()1f x x =在处取得最大值(1)0.f =（II ）证明：（1）由（I ）知，当(0,)x ∈+∞时， 有()(1)0,f x f ≤=即ln 1.x x ≤-0k k a b ⋅>，从而有ln 1k k a a ≤-， 得ln (1,2,,)kk k k k b a a b b k n ≤-=，求和得111ln .knn nb kk k k k k k aa b b ===≤-∑∑∑111,ln 0,k n nnb k kkkk k k a b b a===≤∴≤∑∑∑即1212ln()0,n b b bn a b a ≤1212 1.n b b b n a a a ≤∴（2）①先证12121.nb bbn b b b n≥令1(1,2,,),kka k n nb ==则11111,nnnk k k k k k a b b n ======∑∑∑于是由（1）得1212111()()()1n b b b nnb nb nb ≤，即1212121,nnb b b b b b n n n b b b +++≤=所以12121.nb b bn b b b n≥②再证122221212.n b b bn n b b b b b b ≤+++记21,(1,2,,)nkk k k b Sb a k n S====∑令，则211111nn nk k k k k k k a b b b S ======∑∑∑，于是由（1）得1212()()()1nb b b n b b b S SS≤， 即121212,n nb b b b bbn b b b S S +++≤=所以122221212.n b bbn n b b b b b b ≤+++综合①②，（2）得证. 【End 】。

2011年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数 学(理工农医类)一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是满足题目要求的.1.i 为虚数单位，则20111i 1i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭( )A.i -B.1-C.iD.1 【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】给出复数的代数式，根据四则运算化简求解. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】因为()221i 1i i 1i 1i ++==--，所以201120114502331i i i i i 1i ⨯++⎛⎫====- ⎪-⎝⎭，故选A.2.已知{}1,log 2>==x x y y U ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧>==2,1x x y y P ，则U P =ð ( )A. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21B.⎪⎭⎫⎝⎛21,0 C.()+∞,0 D. ()⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∞-,210,【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】给出全集和一个子集，根据反函数和对数函数性质化简，再利用集合的基本运算求解. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】由已知()+∞=,0U ，⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,0P ，所以1,2U P ⎡⎫=+∞⎪⎢⎣⎭ð,故选A.3.已知函数()x x x f cos sin 3-=，x ∈R ，若()1f x …，则x 的取值范围为 ( ) A.ππππ,3x k x k k ⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭Z 剟B.π2π2ππ,3x k x k k ⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭Z 剟C.π5πππ,66x k x k k ⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭Z 剟 D.π5π2π2π,66x k x k k ⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭Z 剟 【测量目标】两角和与差的正弦，三角函数的定义域和周期性.【考查方式】给出三角函数的解析式，利用两角和与差的正弦化简，再根据三角函数的值域求解定义域.【难易程度】中等 【参考答案】Bcos 1x x -…得π1sin 62x ⎛⎫- ⎪⎝⎭…，（步骤1） 则ππ5π2π2π666k x k +-+剟，解得π2π2ππ3k x k ++剟，k ∈Z ，所以选B.（步骤2）4.将两个顶点在抛物线()022>=p px y 上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为n ，则 ( )A. 0=nB. 1=nC. 2=nD. 3n … 【测量目标】直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单几何性质. 【考查方式】给出含未知系数的抛物线函数，根据抛物线的对称性，得到过焦点的两条直线的斜率，从而判断求解. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】根据抛物线的对称性，正三角形的两个 顶点一定关于x 轴对称，且过焦点的两条直线 倾斜角分别为30和150，（步骤1）这时过焦点的直线与抛物线最多只有两个交点，如图所以正三角形 的个数记为n ，2=n ，所以选C.(步骤2)第4题图5.已知随机变量ξ服从正态分布()2,2σN ，且()8.04=<ξP ，则()=<<20ξP ( )A. 6.0B. 4.0C. 3.0D. 2.0 【测量目标】随机变量的正态分布，离散型随机变量的概率.【考查方式】给出限制条件下的随机变量的概率，根据正态分布对称性计算其他限制条件下随机变量的概率.【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】如图，正态分布的密度函数示意图所示，函数关于 直线2=x 对称，所以()5.02=<ξP ，（步骤1）并且()()4220<<=<<ξξP P 则()()()2420<-<=<<ξξξP P P3.05.08.0=-=所以选C.（步骤2）第5题图6.已知定义在R 上的奇函数()x f 和偶函数()x g 满足()()2+-=+-x x a a x g x f()1,0≠>a a 且，若()a g =2，则()=2f （ ） A. 2 B.415 C. 417 D. 2a 【测量目标】函数奇偶性的综合应用.【考查方式】给出两个函数间的关系式和一个函数值，求在相同自变量下另一函数值. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】由条件()()22222+-=+-a a g f ，()()22222+-=-+--a a g f ，即 ()()22222+-=+--a a g f ，由此解得()22=g ，()222--=a a f ，（步骤1） 所以2=a ，()41522222=-=-f ，所以选B.（步骤2） 7.如图，用21A A K 、、三类不同的元件连接成一个系统，K 正常工作且21A A 、至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知21A A K 、、正常工作的概率依次为9.0、8.0、8.0，则系统正常工作的概率为 ( )第7题图A. 960.0B. 864.0C. 720.0D. 576.0 【测量目标】对立事件的概率，乘法原理.【考查方式】分别给出3个事件的概率，利用对立事件的概率公式得到两个事件概率，再根据乘法原理得出结果. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】21A A 、至少有一个正常工作的概率为()()211A P A P - ()()110.810.810.040.96=--⨯-=-=，（步骤1）系统正常工作概率为()()()()864.096.09.0121=⨯=-A P A P K P ，所以选B.（步骤2）8.已知向量a ()3,z x +=，b ()z y -=,2，且a ⊥b .若y x ,满足不等式1x y +…，则z 的取值范围为 ( ) A. []2,2- B. []3,2- C. []2,3- D. []3,3-【测量目标】平面向量的数量积运算，向量的坐标运算，二元线性规划求目标函数的最值，判断不等式组表示的平面区域.【考查方式】给出两个相互垂直的向量坐标和不等式方程，画出可行域，再利用向量的数量积运算得出目标函数，根据图象求解. 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】因为a ⊥b ，()()032=-++z y z x ， 则y x z 32+=，y x ,满足不等式1x y +…，（步骤1） 则点()y x ,的可行域如图所示,当y x z 32+=经过点()1,0A 时，y x z 32+=取得最大值3. 当y x z 32+=经过点()1,0-C 时，y x z 32+=取得最小值-3. 所以选D .（步骤2）第8题图9.若实数b a ,满足0,0a b厖，且0=ab ，则称a 与b 互补，记()b a b a b a --+=22,ϕ，那么()0,=b a ϕ是a 与b 互补 ( )A . 必要而不充分条件B. 充分而不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件 【测量目标】充分、必要条件，合情推理.【考查方式】给出关于实数的新定义，根据合情推理求解. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】若实数b a ,满足0,0a b厖，且0=ab ，则a 与b 至少有一个为0，不妨设0=b ，则()0,2=-=-=a a a ab a ϕ；（步骤1） 反之，若()0,22=--+=b a b a b a ϕ0a b =+…两边平方得ab b a b a 22222++=+0=⇔ab ，则a 与b 互补，故选C.（步骤2）10.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象成为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克）与时间t （单位：年）满足函数关系：()3002t M t M -=，其中0M 为0=t 时铯137的含量，已知30=t 时，铯137的含量的变化率．．．是2ln 10-（太贝克/年），则()=60M ( ) A. 5太贝克 B. 2ln 75太贝克 C. 2ln 150太贝克 D. 150太贝克 【测量目标】导数的运算，导数在实际问题中的应用，导数的几何意义.【考查方式】给出含未知系数的函数，利用导数的运算求出含未知系数导函数，再利用导数的几何意义得到导函数，再计算求解. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】因为()3001ln 2230tM t M -'=-⨯，则()30300130ln 2210ln 230M M -'=-⨯=-，解得6000=M ，所以()302600tt M -⨯=，那么()150416002600603060=⨯=⨯=-M （太贝克），所以选D.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11.在1831⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 展开式中含15x 的项的系数为 .（结果用数值表示）【测量目标】二项式定理.【考查方式】给出二项式，根据二项式展开式的通项公式求解特定项的系数. 【难易程度】容易 【参考答案】17【试题解析】二项式展开式的通项公式为18118C r r r r T x -+⎛= ⎝1182181C 3rr r r x--⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令2152118=⇒=--r r r ，含15x 的项的系数为22181C 173⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故填17. 12.在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过了保质期饮料的概率为 .（结果用最简分数表示） 【测量目标】对立事件的概率,随机事件与概率.【考查方式】给出问题情境，求出所求事件的对立事件的概率，根据对立事件的概率公式，得到所求事件的概率. 【难易程度】容易 【参考答案】14528 【试题解析】从这30瓶饮料中任取2瓶，设至少取到1瓶已过了保质期饮料为事件A ，从这30瓶饮料中任取2瓶，没有取到1瓶已过了保质期饮料为事件B ，则A 与B 是对立事件，因为()227230C 2713C 1529P B ⨯==⨯，（步骤1） 所以()()145282915132711=⨯⨯-=-=B P A P ，所以填14528.（步骤2）13.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升. 【测量目标】等差数列的通项公式.【考查方式】给出实际问题，转化为数列求项的问题，从而联立方程求解，并根据通项公式得出结果.【难易程度】容易 【参考答案】6667 【试题解析】：设该数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，依题意⎩⎨⎧=++=+++439874321a a a a a a a ，即⎩⎨⎧=+=+421336411d a d a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+6673471d d a ，（步骤1） 则d d a d a a 374115-+=+=6667662134=-=，所以应该填6667.（步骤2） 14.如图，直角坐标系xOy 所在的平面为α，直角坐标系x Oy ''（其中y '轴与y 轴重合）所在的平面为β，45xOx '∠=.（Ⅰ）已知平面β内有一点()P '，则点P '在平面α内的射影P 的坐标为 ； （Ⅱ）已知平面β内的曲线C '的方程是(22220x y ''+-=，则曲线C '在平面α内的射影C 的方程是 .第14题图1【测量目标】曲线与方程，二面角.【考查方式】(1)给出一点的坐标和二面角，根据二面角的定义求解射影点的坐标;(2)给出曲线在一个平面内的方程，根据射影定理求解曲线在另一个平面内的方程. 【难易程度】中等【参考答案】()2,2,()1122=+-y x【试题解析】（Ⅰ）设点P '在平面α内的射影P 的坐标为()y x ,，则点P 的纵坐标和()P '纵坐标相同，所以2=y ，（步骤1） 过点P '作P H Oy '⊥，垂足为H ， 连结PH ，则45P HP '∠=，P 的横坐标cos 45x PH P H '== cos 4522x '=== ， 所以点P '在平面α内的射影P 的坐标为()2,2；（步骤2）（Ⅱ）由（Ⅰ）得cos 452x x x ''==⨯，y y '=，所以x y y⎧'=⎪⎨'=⎪⎩代入曲线C '的方程 (22220x y ''+-=，得()⇒=-+-0222222y x ()1122=+-y x ，所以射影C 的方程填()1122=+-y x .（步骤3）第14图215.给n 个则上而下相连的正方形着黑色或白色.当4n …时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案如下图所示：第15题图由此推断，当6=n 时，黑色正方形互不相邻．．．．着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相邻．．着色方案共有 种.（结果用数值表示） 【测量目标】合情推理.【考查方式】给出前四项的图象，根据合情推理归纳出后面项的性质求解. 【难易程度】中等 【参考答案】43,21【试题解析】设n 个正方形时黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案数为n a ，由图可知， 21=a ，32=a ，213325a a a +=+==， 324538a a a +=+==，由此推断5345813a a a =+=+=，21138546=+=+=a a a ，故黑色正方形互不相邻．．．．着色方案共有21种；（步骤1）由于给6个正方形着黑色或白色，每一个小正方形有2种方法，所以一共有6422222226==⨯⨯⨯⨯⨯种方法，由于黑色正方形互不相邻．．．．着色方案共有21种，所以至少有两个黑色正方形相邻．．着色方案共有432164=-种着色方案，故分别填43,21.（步骤2） 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分10分） 设ABC △的内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、.已知1=a ，2=b ，41cos =C . （Ⅰ）求ABC △的周长； （Ⅱ）求()C A -cos 的值.【测量目标】正弦、余弦定理，同角三角函数的基本关系，两角差的余弦.【考查方式】给出三角形的两边长，和第三边所对角的余弦值.(1)根据余弦定理求出第三边长，从而求出三角形的周长；（2）利用同角的三角函数的基本公式求出两个角的正、余弦值，利用两角差的余弦求解.【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）∵441441cos 2222=⨯-+=-+=C ab b a c ∴2=c∴ABC △的周长为5221=++=++c b a .（步骤1）（Ⅱ）∵41cos =C ，∴415411cos 1sin 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=C C ，∴8152415sin sin ===cC a A .（步骤2） ∵c a <，∴C A <,故A 为锐角，∴878151sin 1cos 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=A A ,（步骤3） ∴()C A -cos C A C A sin sin cos cos +=16114158154187=⨯+⨯=. （步骤4） 17．（本小题满分12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20200x 剟时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． （Ⅰ）当0200x剟时，求函数()x v 的表达式；（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()f x x v x = 可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时） 【测量目标】求函数的解析式，分段函数，均值不等式求最值，函数的单调性,利用函数单调性求最值.【考查方式】给出实际问题，（1）利用待定系数法求出函数的解析式；（2）运用均值不等式和函数的单调性求出分段函数不同段的最值. 【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）由题意：当020x <…时，()60=x v ；当20200x剟时，设()b ax x v +=，显然()b ax x v +=在[]200,20是减函数，由已知得⎩⎨⎧=+=+60200200b a b a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=320031b a故函数()x v 的表达式为()x v =()60,020,1200,20200.3x x x <⎧⎪⎨-⎪⎩…剟（步骤1）（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得()=x f ()60,020,1200,20200.3x x x x x <⎧⎪⎨-⎪⎩…剟当020x <…时，()x f 为增函数，故当20=x 时，其最大值为12002060=⨯；当20200x剟时，()()()220011100002003323x x f x x x +-⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦…，（步骤2） 当且仅当x x -=200，即100=x 时，等号成立．所以，当100=x 时，()x f 在区间[]200,20上取得最大值310000． 综上，当100=x 时，()x f 在区间[]200,0上取得最大值100003≈3333，（步骤3）即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时． 18．（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱111C B A ABC -的各棱长都是4，E 是BC 的中点，动点F 在侧棱1CC 上，且不与点C 重合．（Ⅰ）当1=CF 时，求证C A EF 1⊥；（Ⅱ）设二面角E AF C --的大小为θ，求θtan 的最小值.第18题图1【测量目标】异面直线垂直的判定，二面角,线面垂直的判定，空间直角坐标系，空间向量的数量积运算，空间向量的夹角问题. 【考查方式】（法一）（Ⅰ）通过面面垂直到线面垂直，在利用射影定理和三垂线定理求证异面直线的垂直；（Ⅱ）找出二面角的平面角，通过解三角形求解二面角.(法二)建立空间直角坐标系，（Ⅰ）利用空间向量的数量积运算求证；(1)先找出两个平面的两个法向量，再利用法向量的数量积运算求出二面角的大小. 【难易程度】较难 【试题解析】．解法1：过E 作EN AC ⊥于N ，连结EF . (Ⅰ)如图，连结NF 、1AC ,由直棱柱的性质知，底面ABC ⊥侧面1AC , 又底面ABC 侧面1AC AC =,且EN ABC ⊂底面, 所以1,EN AC NF ⊥面侧为EF 在侧面1AC 内的射影.（步骤1）在Rt CNE △中，cos60=1CN CE = . 则由114CF CN CC CA ==，得1NF AC ∥,又11,AC AC ⊥故1NF AC ⊥. 由三垂线定理知1.EF AC ⊥（步骤2）(Ⅱ)如图，连结,AF 过N 作NM AF ⊥于M ,连结ME .由（Ⅰ）知EN ⊥侧面1AC ,根据三垂线定理得EM AF ⊥, 所以EMN C AF E ∠--是二面角的平面角，即,EMN θ∠=（步骤3）设,FAC α∠=则045α<….在Rt CNE △中，sin60NE EC = 在Rt AMN △中，sin =3sin MN AN αα= ，故tan =.3sin NE MN θα=又045α< …，0sin 2α∴<…故当sin 2α=即当45α= 时，tan θ达到最小值，tan θ==此时F 与1C 重合.（步骤4） 解法2：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得1(0,0,0),(0,4,0),(0,0,4),(0,4,1),A B C A E F于是1(0,4,4),(,1).CA EF =-=则1(0,4,4)(,1)0440,CA EF =-=-+=故1EF AC ⊥.（步骤5） （Ⅱ）设,(04),CF λλ=<…平面AEF 的一个法向量为(,,),x y z m =则由（Ⅰ）得(0,4,).F λ(0,4,),AE AF λ== 于是由,AE AF ⊥⊥m m 可得00AE AF ⎧=⎪⎨=⎪⎩m m即3040y y z λ+=+=⎪⎩，取,,4).λ=-m 又由直三棱柱的性质可取侧面1AC 的一个法向量为(1,0,0)=n ，（步骤6）于是由θ为锐角可得cos θθ===m nm n所以tan θ=由1104,tan 4λθλ<=得，即剠?. 故当4,λ=即点F 与点1C 重合时，tan θ（步骤7）第18题图2 第18题图3 第19题图419.（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：1(0)a a a =≠，n n rS a =+1(n *∈N ，,1)r r ∈≠-R . （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若存在k *∈N ，使得1+k S ，k S ，2+k S 成等差数列，试判断：对于任意的m ∈N *，且2m …，1+m a ，m a ，2+m a 是否成等差数列，并证明你的结论.【测量目标】根据数列的前n 项和写数列的通项公式，等差数列的性质.【考查方式】给出首项、数列前n 和与通项公式的关系式，（1）由此得到数列的递推公式，再分类讨论求出函数的通项公式；（2）利用等差数列的性质求证.【难易程度】较难【试题解析】(Ⅰ)由已知1n n a rS +=,可得21,n n a rS ++=两式相减可得2111(),n n n n n a a r S S ra ++++-=-=即21(1),n n a r a ++=+又21a ra ra ==，所以当0r =时，数列{}n a 为：,0,0a …，，…；当0,1r r ≠≠-时，由已知0,a ≠所以0(),n a n *≠∈N于是由21(1),n n a r a ++=+可得211()n n a r n a *++=+∈N 23,,,n a a a ∴…，…成等比数列，22(1).n n n a r r a -∴=+，…综上，数列{}n a 的通项公式为2,1,(1),2n n a n a r r a n -=⎧=⎨+⎩…（步骤1） （Ⅱ）对于任意的,m *∈N 且122,,,m m m m a a a ++…成等差数列，证明如下：当0r =时，由（Ⅰ）知，,10,2,n a n a n =⎧=⎨⎩… ∴对于任意的,m *∈N 且122,,,m m m m a a a ++…成等差数列；（步骤2） 当0,1r r ≠≠-时，21211,,k k k k k k k S S a a S S a +++++=++=+若存在,k *∈N 使得12,,k k k S S S ++成等差数列，则122,k k k S S S +++=12222k k k k S a a S ++∴++=，即212.k k a a ++=-（步骤3）由（Ⅰ）知，23,,,n a a a …，…的公比12,r +=-于是对于任意的,m *∈N 且12,2,m m m a a +=-…从而24,m m a a +=122,m m m a a a ++∴+=即12,,m m m a a a ++成等差数列.综上，对于任意的,m *∈N 且2,m …12,,m m m a a a ++成等差数列.（步骤4）20. （本小题满分14分）平面内与两定点1(,0),A a -，2(,0)(0)A a a >连续的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上1A 、2A 两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆成双曲线.（Ⅰ）求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 值的关系；（Ⅱ）当1m =-时，对应的曲线为1C ；对给定的(1,0)(0,)m ∈-+∞ ，对应的曲线为2C ，设1F 、2F 是2C 的两个焦点.试问：在1C 上，是否存在点N ，使得12F NF △的面积2S m a =.若存在，求12tan F NF 的值；若不存在，请说明理由.【测量目标】圆锥曲线中的探索性问题，直线的斜率，曲线与方程，空间向量的数量积运算.【考查方式】（Ⅰ）给出两点的坐标，两直线斜率公式得出曲线的方程，再根据m 的取值范围分类讨论C 的形状；（Ⅱ）给定m 的值求出1C 曲线方程和2C 的交点坐标，联立1C 和三角形面积方程，从而再利用空间向量的数量积运算求解.【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）设动点为M ，其坐标为(,),x y当x a ≠±时，由条件可得12222,MA MA y y y k k m x a x a x a===-+-即222(),mx y ma x a -=≠± 又1(,0)A a -、2(,0)A a 的坐标满足222mx y ma -=，故依题意，曲线C 的方程为222.mx y ma -=（步骤1）当1m <-时，曲线C 的方程为22221,x y a ma+=-C 是焦点在y 轴上的椭圆； 当1m =-时，曲线C 的方程为222,x y a +=C 是圆心在原点的圆；当10m -<<时，曲线C 的方程为22221,x y a ma+=-C 是焦点在x 轴上的椭圆； 当0m >时，曲线C 的方程为22221,x y a ma -=C 是焦点在x 轴上的双曲线.（步骤2） （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当1m =-时，1C 的方程为222;x y a +=当(1,0)(0,)m ∈-+∞ 时，2C的两个焦点分别为12((F F -对于给定的(1,0)(0,),m ∈-+∞ 1C 上存在点000(,)(0)N x y y ≠使得2S m a =的充要条件是22200020,0,12.2x y a y m a ⎧+=≠⎪⎨=⎪⎩ ①②由①得00,y a <…由②得0y =当0,a <0,m <或0m <…时， 存在点N ，使2;S m a =,a >即1m -<<或m >时 不存在满足条件的点N .（步骤3）当110,22m ⎡⎫⎛∈⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦ 时，由100(,),NF x y =-- 200(,),NF x y =-可得22221200(1)NF NF x m a y ma =-++=-令112212,,,NF r NF r F NF θ==∠=则由21212cos ,NF NF rr ma θ==- 可得212,cos ma r r θ=- 从而22121sin 1sin tan ,22cos 2ma S r r ma θθθθ==-=-于是由2S m a =， 可得221tan ,2ma m a θ-=即2tan m mθ=-.（步骤4） 综上可得：当m ⎫∈⎪⎪⎣⎭时，在1C 上，存在点N ，使得2S m a =，且12tan 2;F NF =当m ⎛∈ ⎝⎦时，在1C 上，存在点N ,使得2,S m a =且12tan 2;F NF =-当11(1,()22m ∈-+∞ 时，在1C 上，不存在满足条件的点N .（步骤5） 21.（本小题满分14分）（Ⅰ）已知函数()ln 1f x x x =-+，(0,)x ∈+∞，求函数()f x 的最大值；（Ⅱ）设11,(1,2,,)a b k n =…均为正数，证明：（1）若112212+n n n a b a b a b b b b +++++………，则12121n b b b n a a a ……；（2）若121n b b b ++=…+，则1222212121++n b b b n n b b b b b b n +……剟.【测量目标】利用导数求函数的最值，不等式恒成立问题.【考查方式】（Ⅰ）给出函数，利用导数的运算求出导函数，再利用导函数的单调性得到最值点求解最值；（Ⅱ）利用不等式的基本性质求证.【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,).+∞令1()10,f x x'=-=解得 1.x = 当01x <<时，()0,f x '>()f x 在(0,1)内是增函数；当1x >时，()0,()f x f x '<在(1,)+∞内是减函数；故函数()f x 在1x =处取得最大值(1)0.f =（步骤1）（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知(0,)x ∈+∞时，有()(1)0,f x f =…即ln 1.x x -…0,k k a b > 从而有ln 1,k k a a -…得ln (1,2,).k k k k k b a a b b k n -=…，…求和得111ln .k n n n b kk k k k k k a a b b ===-∑∑∑…（步骤2） 111,ln 0,k n n n b k k k kk k k a b b a ===∴∑∑∑ 剟即1212ln()0,k b b b k a a a ……12121n b b b n a a a ∴…….（步骤3）（2）①先证12121.n b b b n b b b n…… 令1(1,2,),k k a k n nb ==…，则11111,n n n k k k k k k a b b n ======∑∑∑于是 由（1）得1212111nb b b n nb nb nb ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭……1，即1212+121,n n b b b b b b n n n b b b ++=……… 12121.n b b b n b b b n ∴……（步骤4）②再证122221112+.n b b b n n b b b b b b ++………记21.nk k S b ==∑令21111(1,2,,),1,n n n k k k k k k k k k b a k n a b b b S S ========∑∑∑… 于是由（1）的12121,n bb b n b b b S S S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…… 即121212+222121212,.n n nb b b b bb b b b n n n b b b S S b b b b b b ++=∴++…………+剟 综上①②，（2）得证.（步骤5）。