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初中数学几何辅助线秘籍-角平分线模型的构造(共22张PPT)

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微专题(六) 与角平分线有关的四种基本模型 课件(共19张PPT) 2024年中考数学总复习专题突破

微专题(六) 与角平分线有关的四种基本模型 课件(共19张PPT) 2024年中考数学总复习专题突破
பைடு நூலகம்
5
.所以
6
= 4 =
10
.
3
10
【答案】
3
图34
17
微专题（六） 与角平分线有关的四种基本模型
模型四 角平分线+轴对称
构造
复习讲义
全等三角形
6.如图6，在 △ 中， ∠ = 108∘ ， = ，
图6
平分 ∠ ，交 于点 .求证： = + .
B. 2 + 3
C. 2 + 3
D.3
图2
12
微专题（六） 与角平分线有关的四种基本模型
模型二 角平分线+角平分线的垂线
复习讲义
构造
等腰三角形
3.如图3，在 △ 中， < ， 平分
∠ ， ⊥ 于点 ，连接 .若 △ 的
面积为4，求 △ 的面积．
复习讲义
学习至此，请完成微专题练习（六） （第267页）
10
微专题（六） 与角平分线有关的四种基本模型
复习讲义
微专题练习（六）
与角平分线有关的四种基本模型
模型一 角平分线+边的垂线
构造
双垂直
1.如图1， 平分 ∠ ， ⊥ 于点 ，
△ = 8 ， = 2 ， = 4 ，则 的长是
= 8 ，所以 = 10 .所以 : : = : : = 3: 4: 5 .设
16
微专题（六） 与角平分线有关的四种基本模型
复习讲义
= = 3 ，则 = = 4 ， = 5 .因为 = 10 ，所以
3 + 5 + 4 = 10 .所以 =

角的平分线课件(共16张PPT)

角的平分线课件(共16张PPT)

6.3.2.2 角的平分线
思考 如何能得到角平分线呢？ 量角器度量、折叠.
在一张半透明的纸上通过折纸作角的平分线.
6.3.2.2 角的平分线
例1 把一个周角 7 等分，每一份是多少度的角 (精确到分)？
解：360°÷7 = 51° + 3°÷7 = 51° + 180'÷7 ≈ 51°26'.
精确到分，要先取到 小数点后 1 位，然后 再四舍五入.
6.3.2.2 角的平分线
2.如图，O 是直线AB 上一点，OC 是∠AOB 的平分线，若∠COD = 31°28'，求∠AOD 的度数.
解：∵OC 是∠AOB 的平分线，∠AOB是平角. C
∴∠AOC = ∠AOB = × 180°=90°.
∴∠AOD = 12∠AOB - ∠COD.
D
=90°- 31°28' =89°60' - 31°28'
2
1
O
A
6.3.2.2 角的平分线
新知学习
思考
如图，如果∠1 =∠2，那么射线 OB 把∠AOC分成两个相等的角.你可
以写出∠AOC 和∠1 、∠2的关系式吗？
C B
∠AOC = 2∠1 = 2∠2， ∠1 = ∠2 = 1 ∠AOC
2
2
1
O
A
6.3.2.2 角的平分线
一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线， 叫作这个角的平分线.
注意：度、分、秒是60进制的，要把剩余的度数化成分.
6.3.2.2 角的平分线
随堂练习
1.如图，把一个蛋糕等分成8份，每份中的角是多少度？如果 要使每份中的角是15°，这个蛋糕应等分成多少份?

人教版八年级上册12.3角的平分线性质课件 (共24张PPT)

人教版八年级上册12.3角的平分线性质课件 (共24张PPT)

O
PC O
EB
DA PC
EB
猜想：角的平分线上的点 到角的两边的距离相等。
已知：PD⊥OA，PE ⊥OB，
D
A
∠DOP=∠EOP
求证：PD=PE
O
证明：∵PD⊥OA，PE ⊥OB，
PC
E
B
∴∠ODP=∠OEP=90°
在Rt△ODP和Rt△OEP中，
∵∠ODP=∠OEP ∠DOP=∠EOP OP=OP
Ａ
Ｏ Ｂ
按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，
•你画的是“甲”生的还是“乙”生的？
第二次折叠形成的两条折痕:
PD表示点P到_O_A_的距离; PE表示点P到_O_B_的距离.
O
由折叠知_P_D__＝_P_E__
A D
C P
EB
同样的做法再找一点Ｐ１, Ｐ２, Ｐ３.．．．． 上述结论还成立吗？
DA
A
Ｍ
两弧在∠AOB的内部交于点C。 Ｃ
（3）作射线OC。
射线OC即为所求。
Ｂ
Ｎ
O
B
试一试
两人结合，互相给对方画一个角，由对方用尺规 作图法作出角的平分线。
你想画什 么角？
你还能把一个角几等分？ 2等分，4等分，8等分……2n等分
操作实验 探究性质
活动 3
将∠AOB对折,以第一条折痕为斜边再 折出一个直角三角形,然后展开,两次折叠形 成几条折痕？把它画出来。
垂足分别为E，F.
A
求证：EB=FC.
E
F
B
D
C
方法：（1）∵AD平分 ∠BAC
方法：（2）∵AD平分 ∠BAC，DE⊥AB，
A
∴∠1=∠2 又∵DE⊥AB，DF⊥AC ∴∠AED=∠AFD

2024年中考数学二轮复习题型突破课件：与角平分线有关的辅助线问题(共24张PPT)

2024年中考数学二轮复习题型突破课件：与角平分线有关的辅助线问题(共24张PPT)

典例2图答案
类型2 作平行线
模型解读：如图，P是∠AOB的平分线上一点，过点P作PQ∥OB，交OA
于点Q，则OQ＝PQ，△POQ为等腰三角形.
典例3
为

如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝6，BD平分∠ABC，则 的值

2 .
典例3图
典例4 如图，在△AOB中，∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，D为OC上一
与角平分线有关的辅助线问题
类型1 作垂线
模型解读：如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点
A，PB⊥ON于点B，则PA＝PB，△OAP≌△OBP.
典例1 如图，∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，CD⊥OA于点D，CE∥AO
交OB于点E，OE＝20cm，求CD的长.
解：如图，过点C作CF⊥OB，垂足为F.∵ OC平分∠AOB，CD⊥OA，
∠ADB＝180°－∠1－∠A＝180°－20°－100°＝60°，
∴ ∠EDC ＝ ∠FDC. 又 ∵ CD ＝ CD ， ∴
△DCE≌△DCF.∴ CE＝CF.∴ BC＝BF＋CF＝AB
＋CE，即BC＝AB＋CE.
中，
典例6图答案
强化练习
1. 如图，∠AOB＝150°，OP平分∠AOB，PD⊥OB于点D，PC∥OB交
1
2
3
4பைடு நூலகம்
5
6
7
第7题答案
∠ABC＝40°，∴ ∠1＝∠2＝20°.在△ABD 和 △FBD
＝，
∵ ∠ = ∠， ∴ △ABD≌△FBD.∴ DA＝DF，
＝，
∠A＝∠BFD.∵ DE＝AD，∴ DE＝DF.又∵ ∠A＝
100°， ∠ABC ＝ 40°， ∴ ∠ACB ＝ 40°， ∠DFC ＝

北师大版七年级数学下册第四章三角形复习--辅助线的做法角平分线模型(共19张PPT)

北师大版七年级数学下册第四章三角形复习--辅助线的做法角平分线模型(共19张PPT)

O2
B
N
④OA + OB =2ON.
以上四元素中,任意“知二推二”.
课堂小结
一．点在平分线，可作垂两边;
三．角边相等，可造全等;
二．平分加垂线 补得等腰现;
四．平分加平行，可得等腰形.
遇角平分线,用轴对称去联想辅助线.
作业布置
《金典训练》P117-118
辅助线的做法 -------角平分线模型
一．点在平分线，可作垂两边
如图,若OP 是∠AOB角平分线，PE⊥OA，可过P点作PF⊥OB， 则可用(证)结论有：
（1）PF= PE； （2）△OPF ≌△OPE； （3）OF =OE．
二．平分加垂线 补得等腰现
从角的一边上一点作角平分线的垂线，与另一边相交， 可得等腰三角形.
例1.如图，点O、A、B 共线，点O、C、D 共线，且AB=CD， △PCD 的面积等于△PAB 的面积. 求证：OP 平分∠BOD.
变式.已知，AB = 2AC，∠1 = ∠2,DA = DB. 求证：DC⊥AC.
A
12
C
B
D
一．点在平分线，可作垂两边 （3）∠PFO =∠PEO，∠OPF =∠OPE． 在△ABC 中,BE 是角平分线,AD⊥BE 于D. （2）P 点是EF 中点． （3）OF =OE． 三．角边相等，可造全等 如图，若OP 为∠AOB 平分线，过直线OB 上一点E，作OP 平行线交OA 于点F，则可用(证)结论有： 求证：BD =2CE． 如图，在四边形ABCD 中， AB ＞AD ,∠B +∠D =180°, BC =CD． 过角平分线上一点，作角的一边的平行线，可构造得等腰三角形； ②CA =CB; ③∠3+∠B =180°; 辅助线的做法

冀教版数学八年级上册 16.3《角的平分线》 课件(共21张PPT)

冀教版数学八年级上册 16.3《角的平分线》 课件(共21张PPT)

D F
N PM
CA的距离相等
B
E
C
十.小结与评价
1：画一个角的角平分线； 及画一条直线的垂线；
2：角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 3：角平分线的判定结论：
到角的两边的距离相等的点在角平分线上。
十. 布置作业
〔必做题〕：课本：P29页 2、3、4
问题探讨
在V型公路〔∠AOB〕 内部，有两个村庄C、D。你 能选择一个纺织厂的厂址P， 使P到V型公路的距离相等， 且使C、D两村的工人上下班 O 的路程一样吗？
心．大于 1/2 ＭＮ长为半
径在角的内部画弧交于点
C．
３．作射线OC．
Ｂ
Ｎ
射线OC即为所求作的图形．
O
三.理论依据
想一想：为什么OC是∠AOB的平分线？
证明：连接CM、CN.
在△OMC和△ONC中，
A
OM=ON， MC=NC， OC=OC，
Ｍ Ｃ
∴ △OMC ≌ △ONC.(SSS)
∴∠MOC =∠NOC.
个距离相等．
A
C P EB
四.角平分线的性质
可以看一看,第一条折痕是AOB的平分线OC,第 二次折叠形成的两条折痕PD,PE是角的平分线 上一点到AOB两边的距离,这两个距离相等.
你能证明PD=PE吗？
四.角平分线的性质
：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上， PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E. 求证: PD=PE.
证明： ∵OC平分∠ AOB,
∴ ∠1= ∠2.
∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB,
∴ ∠PDO= ∠PEO.
在△PDO和△PEO中,
∠PDO= ∠PEO,

角平分线课件PPT

角平分线课件PPT

生活中有趣角平分线现象
建筑设计中的应用
在建筑设计中，角平分线常被用来确保建筑物的对称性和平衡感。例如，古希腊的帕特 农神庙就运用了角平分线的原理来设计其立面和柱子。
自然界的角平分线
在自然界中，角平分线的现象也很常见。例如，当阳光照射在树叶上时，树叶的脉络就 会呈现出角平分线的形状，这是因为树叶在生长过程中会自然地沿着角平分线的方向扩
例题2
已知在△ABC中，∠C=90° ，AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB于E，F在AC上， BD=DF。求证：CF=EB 。
解析
过点D作DM⊥AC于M。 根据角平分线的性质，可 得DE=DM。在Rt△FCD 和Rt△EBD中，DF=BD， DE=DM。 ∴Rt△FCD≌Rt△EBD（HL ）。∴CF=EB。
的两边分别与OA、OB相交于点C、D。求证： PC=PD。
输入 标题
解析
根据角平分线的性质和直角三角形的性质，可以证明 △OPC和△OPD全等，从而得出PC=PD。具体证明过 程略。
例题1
例题2
根据角平分线的性质和勾股定理，可以求出点D到AB 的距离。具体求解过程略。
解析
在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若 BC=32，且BD:CD=9:7，求点D到AB的距离。
04
角平分线在几何变换中应用
旋转对称性质及应用
旋转对称性质
角平分线将一个角分为两个相等的小角，且两个小角关于角平分线对称。当图形 绕角平分线旋转一定角度时，两个小角能够重合，具有旋转对称性。
应用
利用旋转对称性质，可以解决与角平分线相关的角度计算、线段长度等问题。例 如，通过旋转对称性质可以证明两个三角形全等或相似。
建筑设计中角平分线应用

角平分线模型PPT课件

角平分线模型PPT课件
角∠EAC。求证：AD//BC。 E
角平分线 + 等腰
A1 D
平行Leabharlann BC3、类型三：角平分线+对称型。
已知，如图，在四边形ABCD中， BC＞AB，∠A+∠C=180°， BD平分∠ABC。求证：AD=DC。
F
A D
B
EC
3、类型三：角平分线+对称型。
已知，如图，在四边形ABCD中，
BC＞AB，∠A+∠C=180°，
aeec角平分线垂直等腰三角形北师大教材九上p34第1题如图adae分别是abc中a的内角平分线和外角平分线它们有什么关系
角平分线模型
广东省顺德区养正西山学校 孙瑞
五种不同的类型：
1、类型一：角平分线+平行型。 2、类型二：角平分线+等腰型。
3、类型三：角平分线+对称型。 4、类型四：角平分线+垂直型。 5、类型五：角平分线+互补型。
BD平分∠ABC。求证：AD=DC。
A
角平分线+对称
D
折叠、全等 B
12
E
C
4、类型四：角平分线+垂直型。
如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，
CE⊥BD，交BD的延长线于点E，连接AE
求证：AE=EC
F
角平分线+垂直
A
E
等腰三角形 B
D C
5、类型五：角平分线+互补型。
①（北师大教材九上P34第1题）如图，
ABCD是平行四边形，P是CD上的一点，且
AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，过点P作
AD的平行线，交AB于点Q。
（1）求证：AP⊥PB；

16.3 角的平分线课件(共23张PPT)

16.3 角的平分线课件(共23张PPT)
归纳小结
角平分线的性质定理:
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
角平分线性质定理的逆定理:
到角的两边距离相等的点在角平分线上.
尺规作图:作已知角的平分线
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
问题
发现：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.
新知探究
一起探究
知识点1 角平分线的性质定理
在一张半透明纸上画出一个角，将纸对折，使这个角的两边重合.你从中能得出什么结论？
思考
如图，OP是∠AOB的平分线，P是OP上的任一点，过点P分别作PC⊥OA，PD⊥OB，点D垂为足，点C为垂足. 你能猜想PC，PD长度间有什么关系吗？证明你的猜想.
随堂练习
1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE=FC. 求证：BD=DF.
∵ AD平分∠BAC, DE⊥AB, DC⊥AC, ∴ DC=DE.
在△DCF和△DEB中,
证明: ∵ ∠C=90°, ∴ DC⊥AC.
∴ △DCF≌△DEB. (SAS) ∴ BD=DF.
∴ Rt△ APC ≌ Rt△ APD (HL)，∴ AC＝ AD = BC.
3.如图所示，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点 D，E，BE，CD 相交于点O，且 OB = OC.求证：点O在∠BAC的平分线上.
证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠BDO=∠CEO=90°. 又∵ OB=OC，（已知） ∠BOD =∠COE，（对顶角相等） ∴△BOD≌△COE（AAS） ∴ OD = OE. ∴点O在∠BAC的平分线上.（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）
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THANKS
主讲老师：某某某
角平分线模型的构造
总结
角平分线的四大基本模型： 已知P是∠MON平分线上一点 （3）若AP⊥OP于点P，如图所示，可以延长AP交ON于点B，构造 △AOB是等腰三角形，P是底边AB的中点，可记为“角平分线加垂线，三 线合一试试看” （4）若过P点作PQ∥ON交OM于点Q，如图所示，可以构造△POQ是等 腰三角形，可记为“角平分线+平行线，等腰三角形必呈现”
角平分线模型的构造
如图所示，已知等腰直角三角形ABC中， ∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足 为点E，求证：BD=2CE
【思路点拨】本题的主要条件是“角平分线+垂线”，所以考虑利用模型（3）构 造等腰三角形，即延长CE，BA相交于点F，构造全等三角形
角平分线模型的构造
（1）如图a所示，BD、CE分别是△ABC的 外角平分线，过点A作AD⊥BD、AE⊥CE，垂 足分别为D、E，连接DE，求证：DE∥BC， D1E=
角平分线模型的构造
如图所示，AB=AC，BD,CD分别平分∠ABC，∠ACB,问： （4）如图d所示，BD平分∠ABC，CD平分外角∠ACG，DE∥BC交 AB于点E,交AC于点F，线段EF与BE、CF有什么关系？并说明理由。 （5）如图e所示，BD、CD为外角∠CBM、∠BCN的平分线， DE∥BC交AB延长线于点E，交AC延长线于点F，直接写出线段EF与 BE、CF有什么关系？
角平分线模型的构造
请根据上面的学习材料，解答下列问题： （1）如图c所示，在△ABC中，AD是△BAC的外角平分 线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+PC与 AB+AC的大小，并说明理由. （2）如图d所示，AD是△ABC的内角平分线，其他条件 不变，试比较PC-PB与AC-AB的大小，并说明理由
角平分线模型的构造
（1）如图a所示，在△ABC中，∠C=90°，AD 平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D到直 线AB的距离是（ ）cm （2）如图b所示，已知：∠1=∠2，∠3=∠4，求证： AP平分∠BAC
【思路点拨】（1）过点D做AB的垂线（2）过点P分别作直线AB， BC，AC的垂线AB，BC，AC的垂线，利用角平分线的性质 得证
角平分线模型的构造
技巧提炼
角平分线的四大基本模型： 已知P是∠MON平分线上一点 （1）若PA⊥OM于点A，如图所示，可以过P点作PB⊥ON于点B，则 PB=PA，可记为“图中有角平分线，可向两边作垂线”
角平分线模型的构造
技巧提炼
角平分线的四大基本模型： 已知P是∠MON平分线上一点 （2）若点A是射线OM上任意一点，如图所示，可以在ON上截取 OB=OA，连接PB，构造△OPB≌△OPA，可记为“图中有角平分线，可以 将图对折看，对称以后关系现”
初中数学几何 专题之辅助线
主讲老师：某某某
角平分线模型的构造
角平分线模型的构造
考情分析
三角形内外角平分线的概念是处理与角相关问题的基 本依据和方法，在中考题中经常利用角平分线的性质去证 明线段、角相等或三角形全等。随着课改的深入，中考的 题型也发生了变化，利用角平分线的对称性把图形翻折， 再进行推理计算；以及与角平分线有关的探究题、综合题 为近几年中考的热点题型。
角平分线模型的构造
如图所示，AB=AC，BD,CD分别平分∠ABC，∠ACB,问： （1）图a中有几个等腰三角形？ （2）过点D作EF∥BC，如图所示，交AB于点E，交AC于点F，图中 又增加了几个等腰三角形？ （3）如图c所示，若将题中的△ABC改为不等边三角形，其他条件 不变，图中有几个等腰三角形？直接写出线段EF与BE、CF有什么关 系？
角平分线模型的构造
如图a所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交 CB于点F （1）求证：CE=CF. （2）将图a中的△ADE沿AB向右平移到△A’ D’ E’ 的位置，使点E’落在BC边上，其他条件不变，如图b 所示，试猜想：B E’与CF有怎样的数量关系？请证明 你的结论。
角平分线模型的构造
总结
角平分线的四大基本模型： 已知P是∠MON平分线上一点 （1）若PA⊥OM于点A，如图所示，可以过P点作PB⊥ON于点B，则 PB=PA，可记为“图中有角平分线，可向两边作垂线” （2）若点A是射线OM上任意一点，如图所示，可以在ON上截取 OB=OA，连接PB，构造△OPB≌△OPA，可记为“图中有角平分线，可以 将图对折看，对称以后关系现”
角平分线模型的构造
如图所示：已知在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠CAB， 求证：AB=AC+CD
【思路点拨】AD是角平分线，DC⊥AC，所以可以考虑过点D作AB的垂线，或者 在射线AC上截取AE=AB，连接DE，构造全等三角形。
角平分线模型的构造
如图a所示：OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以 OP所在直线为对称轴的全等三角形。 请你参考上图构造全等三角形的方法，解答下列问题： （1） 如图b所示，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE 分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，请你判断写 出FE与FD之间的数量关系；
角平分线模型的构造
如图a所示：OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以 OP所在直线为对称轴的全等三角形。 请你参考上图构造全等三角形的方法，解答下列问题： （2）如图c所示，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中其 他条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否依然成立？若成立 请证明；若不成立请说明理由。
2
（AB+BC+AC）
角平分线模型的构造
（2）如图b所示，BD、CE分别是△ABC的内角平 分线，其他条件不变 （3）如图c所示，BD为△ABC的内角平分线，CE为 △ABC的外角平分线，其他条件不变 则在图b和图c两种情况下，DE与BC还平行么？它与 △ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，并 对其中的一种情况进行证明。
【思路点拨】第（1）问主要考察“双垂线+角平分线可得等腰三角形”，第（2） 问遇到角平分线通常考虑过角平分线上的点向角的两边作垂线，所以过 点E作AC的垂线，构造全等三角形解题，也可以过点F作AB的垂线。
角平分线模型的构造
阅读下列学习材料：如图a所示，OP平分 ∠MON，A为OM上一点，C为OP上一点，连接AC， 在射线ON上截取OB=OA，连接BC（如图b所示）， 易证△AOC≌△BOC
角平分线模型的构造
技巧提炼
角平分线的四大基本模型： 已知P是∠MON平分线上一点 （3）若AP⊥OP于点P，如图所示，可以延长AP交ON于点B，构造 △AOB是等腰三角形，P是底边AB的中点，可记为“角平分线加垂线，三 线合一试试 已知P是∠MON平分线上一点 （4）若过P点作PQ∥ON交OM于点Q，如图所示，可以构造△POQ是等 腰三角形，可记为“角平分线+平行线，等腰三角形必呈现”