初中数学几何辅助线秘籍-角平分线模型的构造(共22张PPT)

角平分线模型的构造
如图所示，AB=AC，BD,CD分别平分∠ABC，∠ACB,问： （4）如图d所示，BD平分∠ABC，CD平分外角∠ACG，DE∥BC交 AB于点E,交AC于点F，线段EF与BE、CF有什么关系？并说明理由。 （5）如图e所示，BD、CD为外角∠CBM、∠BCN的平分线， DE∥BC交AB延长线于点E，交AC延长线于点F，直接写出线段EF与 BE、CF有什么关系？
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主讲老师：某某某
角平分线模型的构造
如图a所示：OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以 OP所在直线为对称轴的全等三角形。 请你参考上图构造全等三角形的方法，解答下列问题： （2）如图c所示，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中其 他条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否依然成立？若成立 请证明；若不成立请说明理由。
角平分线模型的构造
如图所示，已知等腰直角三角形ABC中， ∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足 为点E，求证：BD=2CE
【思路点拨】本题的主要条件是“角平分线+垂线”，所以考虑利用模型（3）构 造等腰三角形，即延长CE，BA相交于点F，构造全等三角形
角平分线模型的构造
（1）如图a所示，BD、CE分别是△ABC的 外角平分线，过点A作AD⊥BD、AE⊥CE，垂 足分别为D、E，连接DE，求证：DE∥BC， D1E=
角平分线模型的构造
（1）如图a所示，在△ABC中，∠C=90°，AD 平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D到直 线AB的距离是（ ）cm （2）如图b所示，已知：∠1=∠2，∠3=∠4，求证： AP平分∠BAC
【思路点拨】（1）过点D做AB的垂线（2）过点P分别作直线AB， BC，AC的垂线AB，BC，AC的垂线，利用角平分线的性质 得证
角平分线模型的构造
技巧提炼
角平分线的四大基本模型： 已知P是∠MON平分线上一点 （1）若PA⊥OM于点A，如图所示，可以过P点作PB⊥ON于点B，则 PB=PA，可记为“图中有角平分线，可向两边作垂线”
角平分线模型的构造
技巧提炼
角平分线的四大基本模型： 已知P是∠MON平分线上一点 （2）若点A是射线OM上任意一点，如图所示，可以在ON上截取 OB=OA，连接PB，构造△OPB≌△OPA，可记为“图中有角平分线，可以 将图对折看，对称以后关系现”
角平分线模型的构造
技巧提炼
角平分线的四大基本模型： 已知P是∠MON平分线上一点 （3）若AP⊥OP于点P，如图所示，可以延长AP交ON于点B，构造 △AOB是等腰三角形，P是底边AB的中点，可记为“角平分线加垂线，三 线合一试试看”
角平分线模型的构造
技巧提炼
角平分线的四大基本模型： 已知P是∠MON平分线上一点 （4）若过P点作PQ∥ON交OM于点Q，如图所示，可以构造△POQ是等 腰三角形，可记为“角平分线+平行线，等腰三角形必呈现”
角平分线模型的构造
如图所示：已知在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠CAB， 求证：AB=AC+CD
【思路点拨】AD是角平分线，DC⊥AC，所以可以考虑过点D作AB的垂线，或者 在射线AC上截取AE=AB，连接DE，构造全等三角形。
角平分线模型的构造
如图a所示：OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以 OP所在直线为对称轴的全等三角形。 请你参考上图构造全等三角形的方法，解答下列问题： （1） 如图b所示，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE 分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，请你判断写 出FE与FD之间的数量关系；
角平分线模型的构造
总结
角平分线的四大基本模型： 已知P是∠MON平分线上一点 （3）若AP⊥OP于点P，如图所示，可以延长AP交ON于点B，构造 △AOB是等腰三角形，P是底边AB的中点，可记为“角平分线加垂线，三 线合一试试看” （4）若过P点作PQ∥ON交OM于点Q，如图所示，可以构造△POQ是等 腰三角形，可记为“角平分线+平行线，等腰三角形必呈现”
角平分线模型的构造
如图a所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交 CB于点F （1）求证：CE=CF. （2）将图a中的△ADE沿AB向右平移到△A’ D’ E’ 的位置，使点E’落在BC边上，其他条件不变，如图b 所示，试猜想：B E’与CF有怎样的数量关系？请证明 你的结论。
角平分线模型的构造
请根据上面的学习材料，解答下列问题： （1）如图c所示，在△ABC中，AD是△BAC的外角平分 线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+PC与 AB+AC的大小，并说明理由. （2）如图d所示，AD是△ABC的内角平分线，其他条件 不变，试比较PC-PB与AC-AB的大小，并说明理由
角平分线模型的构造
如图所示，AB=AC，BD,CD分别平分∠ABC，∠ACB,问： （1）图a中有几个等腰三角形？ （2）过点D作EF∥BC，如图所示，交AB于点E，交AC于点F，图中 又增加了几个等腰三角形？ （3）如图c所示，若将题中的△ABC改为不等边三角形，其他条件 不变，图中有几个等腰三角形？直接写出线段EF与BE、CF有什么关 系？
初中数学几何 专题之辅助线
主讲老师：某某某
角平分线模型的构造
角平分线模型的构造
考情分析
三角形内外角平分线的概念是处理与角相关问题的基 本依据和方法，在中考题中经常利用角平分线的性质去证 明线段、角相等或三角形全等。随着课改的深入，中考的 题型也发生了变化，利用角平分线的对称性把图形翻折， 再进行推理计算；以及与角平分线有关的探究题、综合题 为近几年中考的热点题型。
2Leabharlann Baidu
（AB+BC+AC）
角平分线模型的构造
（2）如图b所示，BD、CE分别是△ABC的内角平 分线，其他条件不变 （3）如图c所示，BD为△ABC的内角平分线，CE为 △ABC的外角平分线，其他条件不变 则在图b和图c两种情况下，DE与BC还平行么？它与 △ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，并 对其中的一种情况进行证明。
【思路点拨】第（1）问主要考察“双垂线+角平分线可得等腰三角形”，第（2） 问遇到角平分线通常考虑过角平分线上的点向角的两边作垂线，所以过 点E作AC的垂线，构造全等三角形解题，也可以过点F作AB的垂线。
角平分线模型的构造
阅读下列学习材料：如图a所示，OP平分 ∠MON，A为OM上一点，C为OP上一点，连接AC， 在射线ON上截取OB=OA，连接BC（如图b所示）， 易证△AOC≌△BOC
角平分线模型的构造
总结
角平分线的四大基本模型： 已知P是∠MON平分线上一点 （1）若PA⊥OM于点A，如图所示，可以过P点作PB⊥ON于点B，则 PB=PA，可记为“图中有角平分线，可向两边作垂线” （2）若点A是射线OM上任意一点，如图所示，可以在ON上截取 OB=OA，连接PB，构造△OPB≌△OPA，可记为“图中有角平分线，可以 将图对折看，对称以后关系现”