第三章 复习题
一、判断题
1、设()f x 是定义在可测集n
E R ⊆上的实函数，如果对任意实数a ，都有[()]E x f x a >为可测集，则()f x 为E 上的可测函数。（√ ）
2、设()f x 是定义在可测集n E R ⊆上的实函数，如果对某个实数a ，有[()]E x f x a >不是可测集，则()f x 不是E 上的可测函数。（√ ）
3、设()f x 是定义在可测集n E R ⊆上的实函数，则()f x 为E 上的可测函数等价于对某个实数a ， [()]E x f x a ≥为可测集。（× ）
4、设()f x 是定义在可测集n E R ⊆上的实函数，则()f x 为E 上的可测函数等价于对任意实数a ， [()]E x f x a =为可测集。（× ）
5、设()f x 是定义在可测集n E R ⊆上的实函数，则()f x 为E 上的可测函数等价于对任意实数a ， [()]E x f x a ≤为可测集。（√ ）
6、设()f x 是定义在可测集n E R ⊆上的实函数，则()f x 为E 上的可测函数等价于对任意实数a 和b （a b <）， [()]E x a f x b ≤<为可测集。（× ）
7、设E 是零测集，()f x 是E 上的实函数，则()f x 为E 上的可测函数。（√ ）
8、若可测集E 上的可测函数列{()n f x }在E 上几乎处处收敛于可测函数()f x ，则{()n f x }在E 上“基本上”一致收敛于()f x 。（× ）
9、设()f x 为可测集E 上几乎处处有限的可测函数，则()f x 在E 上“基本上”连续。（√ ） 10、设E 为可测集，若E 上的可测函数列()()n f x f x ⇒（x E ∈），则{()n f x }的任何子列都在E 上几乎处处收敛于可测函数()f x 。（× ）
11、设E 为可测集，若E 上的可测函数列()()n f x f x →..a e 于E ，则()()n f x f x ⇒（x E ∈）。（× ）
二、填空题
1、[]E f a > 等于 1
1[]n E f a n
∞
-≥+
，[]E f a ≥ 等于 1
1[]n E f a n
∞
->-
。
2、[]E a f b << 包含于 []E f a >，[]E a f b << 包含于 []E f b <；
[]E a f b << 等于 [][]E f a E f b >< ，[]E a f b << 等于 [][]E f a E f b >-≥。
3、设1n n E E ∞== ，则[]E f a < 等于 1[]n n E f a ∞=< 。
4、设1
n n E E ∞== ，则[]E f a ≥ 等于 1
[]n n E f a ∞=≥ 。
5、由于区间I 上的单调函数()f x 的不连续点所成的集为 至多可数 集，则()f x 为
I 上的 几乎处处 连续函数，从而()f x 为I 上的 可测 函数。
6、叙述可测函数的四则运算性 可测函数经过四则运算所得的函数（只要有意义）仍可测 。
7、叙述可测函数与简单函数的关系 简单函数是可测函数；在几乎处处收敛的意义下，任何
可测函数总可表示成一列简单函数的极限 。
8、叙述可测函数与连续函数的关系 连续函数必为可测函数；可测函数“基本上”可以表示成一个连续函数 。
9、叙述叶果洛夫定理 设E 是测度有限的可测集，则E 上几乎处处收敛的可测函数列“基本上”一致收敛 。
10、叙述鲁津定理 设E 是可测集，则E 上的可测函数“基本上”是连续函数 。 11、若()()n f x f x ⇒，()()n f x g x ⇒（x E ∈），则()f x 等于 ()g x 几乎处处于 E 。
三、证明题
1、证明：1R 上的连续函数必为可测函数。
证明：设()f x 是1R 上的连续函数，由连续函数的局部保号性，对任意实数a ，
1
1
[]{(),}R x f a x f x a x R >=>∈是开集，从而是可测集。所以，()f x 是1
R 上的可测函
数。
2、证明：1R 上的单调函数必为可测函数。
证明：不妨设()f x 是1R 上的单调递增函数，对任意实数a ，记inf{()}A x f x a =>，由单调函数的特点得，当{()}A x f x a ∈>时，{()}[,)x f x a A >=+∞，显然是可测集；当{()}A x f x a ∉>时，{()}(,)x f x a A >=+∞，也显然是可测集。故()f x 是1R 上的可测函数。
3、证明：若()()n f x f x ⇒，()()n f x g x ⇒（x E ∈），则()()f x g x =..a e 于E 。
证明：由于11[()()][]n E x f x g x E x f g n
∞
=≠=-≥
，而
111[][][]22n n E x f g E x f f E x f g k
k
k
-≥
⊂-≥
⋃-≥
，
所以，
111[][][]22n n m E x f g m E x f f m E x f g k
k
k -≥
≤-≥
+-≥
，
由()()n f x f x ⇒，()()n f x g x ⇒（x E ∈）得
1lim []02n n m E x f f k
→∞
-≥
=，1lim []02n n m E x f g k
→∞
-≥
=。
所以，1[]0m E x f g k
-≥=，从而[()()]0mE x f x g x ≠=，即()()f x g x =..a e 于E 。
4、证明：若()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒（x E ∈），则()()()()n n f x g x f x g x ±⇒±（x E ∈）。
证明：对任意0σ>，由于
()()[()()]()()()()n n n n f x g x f x g x f x f x g x g x ±-±≤-+-，
所以，由()()[()()]n n f x g x f x g x σ±-±≥可得，
1()()2
n f x f x σ-≥
和1()()2
n g x g x σ-≥
至少有一个成立。
从而
11
[[]][][]2
2
n n n n E x f g f g E x f f E x g g σσσ±-±≥⊂-≥
⋃-≥
，
所以，
11
[[]][][]2
2
n n n n m E x f g f g m E x f f m E x g g σσσ±-±≥≤-≥
+-≥
。
又由()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒（x E ∈）得，
1lim []02
n n m E x f f σ→∞
-≥
=，1lim []02
n n m E x g g σ→∞
-≥
=。
