中考数学求线段长五大类常考必会的方法

中考数学线段知识点总结线段的概念最早可以追溯到古希腊的几何学家，他们研究了各种不同类型的线段，并给出了它们的性质和特点。

在现代数学中，线段被广泛应用于几何、代数、数论等各个领域，并对整个数学体系产生了深远的影响。

线段的基本性质线段是两个端点及其之间的所有点组成的集合。

线段通常用字母表示，如“AB”表示由 A 点和 B 点组成的线段。

线段的长度可以用两个端点的坐标表示，其计算公式如下：设线段 AB 的两个端点的坐标分别为 (x1, y1) 和 (x2, y2)，则线段 AB 的长度为：AB = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2]这个公式又称为两点距离公式，它可以帮助我们计算两个给定点之间的距离。

通过这个公式，我们可以实现对线段长度的精确计算。

线段的方向可以用两点的坐标表示。

在坐标系中，线段的方向可以用斜率（k）来描述，其计算公式为：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)线段的方向可以是正向或负向，这取决于斜率的正负。

当斜率为正时，线段的方向是向上的；斜率为负时，线段的方向是向下的。

通过斜率的计算，我们可以准确地描述线段的方向和倾斜程度。

线段在几何中的应用在线段几何中，线段是构成各种图形的基本元素之一。

例如，在三角形中，三条边分别是由三个点所构成的线段。

在四边形中，四条边也是由四个点所构成的线段。

线段可以帮助我们描述图形的形状、大小和位置，它是几何学中不可或缺的重要概念。

线段的长度可以在几何中应用于各种计算中。

例如，在计算图形的周长和面积时，我们通常需要利用线段的长度来进行计算。

线段的长度也可以帮助我们了解两个给定点之间的距离，这对于解决实际问题也非常有用。

线段在代数中的应用在线段代数中，线段可以表示为一维向量，具有长度和方向的特性。

线段可以进行加减、乘除等运算，从而可以实现各种数学计算。

线段代数在物理、工程、经济等领域中有着广泛的应用，它为我们提供了一种便捷的数学工具。

求线段长度问题的一般方法求线段长度问题是初中几何中常见的题型之一，笔者就此类问题作了一些思考与归纳，供大家参考.一、将求线段长的问题转化到直角三角形中求解例1如图1，在Rt ABC ，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，6AC =，8BC =，求CD 的长.简解 由勾股定理，得10AB =再由三角形的面积公式，得11681022ABCSCD =⨯⨯=⨯⨯ 于是得 4.8CD =.例2 如图2，在ABC 中，30A ∠=︒，1tan 3B =，BC =AB 的长. 简析 作CD AB ⊥于点D ，这样就构造了两个Rt .在Rt BCD 中，1tan 3CD B DB ==，3DB CD ∴=由勾股定理，得1CD =，3BD =. 在Rt ACD 中，AD =3AB =.例3 如图3，在平面直角坐标系中，⊙A 与y 轴相切于原点O ，平行于x 轴的直线交⊙A 于两点M ，N .若点M 的坐标是(4,2)--，求点N 的坐标.简析 如图3，作AE MN ⊥于点E ,连AM ，AN ，则构造了两个直角三角形Rt AME ，Rt ANE .不妨设AO AM R ==，易得2222(4)R R =+-2.5R ∴=，4 2.5 1.5EN Em ==-= 2.5 1.51NF ∴=-=从而点N 的坐标为(1,2)--.例 4 如图4，点E 、O 、C 在半径为5的⊙A 上，BE 是⊙A 上的一条弦，4cos 5OBE ∠=，30OEB ∠=︒，求BC 的长 简析 连EC ，由条件可知，图中有四个直角三角形，分别是OEC ，OEF ，EBC ，FBC .∵90COE ∠=︒，∴EC 为⊙A 的直径， ∴90CBE ∠=︒, 又OCE OBE ∠=∠,∴4cos cos 5OCE OBE ∠=∠=,在Rt OEC 中，易知8OC =，6OE =, 在Rt OEF 中，30OEB ∠=︒，6OE =,得OF =8FC OC OF ∴=-=-,又30OEB OCB ∠=∠=︒,故在Rt FBC 中，由边角关系，得3BC =.说明 上述几例是将此线段置于某直角三角形之中，然后利用直角三角形的相关知识加以求解.值得注意的是，构造的直角三角形要与题目中的已知条件相互关联，才能使问题化繁为简，迅速求解.二、将求线段长的问题转化到相似三角形中求解例5 如图5，梯形ABCD 中，//AB CD ，且2AB CD =，E 、F 分别是的AB ，BC 的中点，EF 与BD 相交于点M . (1)求证: EDM FBM ; (2)若9BD =，求BM 的长.简解 (1)由题意，易得四边形BCDE 是平行四边形.于是，有 //BC DE ，∴EDM FBM(2)由EDMFBM ，得BM FBDM DE=1122BF BC DE ∴== 192BM BM ∴=- 3BM ∴=.例6 如图6，矩形ABCD 中，5AD =，7AB =，点E 为DC 上一个动点，把ADE 沿AE 折叠，当点D 的对应点'D 落在ABC ∠的平分线上时，求DE 的长.解 过点'D 作'D M AB ⊥于点M ，并反向延长交DC 于N .由题意，得'45MBD ∠=︒，设'D M BM x == 7AM x ∴=-在'Rt AD M 中，有22(7)25x x +-=, 解得13x =，24x =.'52D N x ∴=-=，或1. 易知''ED N D AM '254ED ∴=，或'153ED =.5'2ED ED ∴==，或53.例7 如图7，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ，点D在AB 上，DE BE ⊥于点E ，6AD =，AE =(1)判断直线AC 与DBE 的外接圆的位置关系，并说明理由; (2)求BC 的长.简解 (1)由90,DEB DB ∠=︒为DBE ∆外接圆的直径.设DBE ∆外接圆的圆心为O ，连OE ，易知12OE BD =. ,12OE OB =∴∠=∠.又13,23,//OE BC ∠=∠∴∠=∠∴.,BC AC OE AC ⊥∴⊥,故直线AC 与DBE ∆的外接圆相切. (2)易知453590,∠+∠=∠+∠=︒43∴∠=∠,又因13,41∠=∠∴∠=∠.,A A AED ABE ∠=∠∴∆∆,2AE AD AB ∴=⋅.由6,62AD AE ==，得12AB =, 进而得6,03BD E ==. 由//OE BC ，有AEOACB ∆∆,39,,412EO AO BC BC AB BC ∴=∴=∴=. 说明 上述几例是将该线段作为某三角形的一边，然后想方设法找一个三角形使之与该线段所在的三角形相似，借用“相似三角形对应边成比例”得到简易方程，进而求解. 三、利用条件， 构造方程(组)求线段长 例8 (1)如图8，周长为68的矩形ABCD 被分成7个全等的矩形，求矩形ABCD 的面积.解 设矩形的宽与长分别为,x y则有25334y x x y =⎧⎨+=⎩，解之得410x y =⎧⎨=⎩.故7280ABCD S xy ==矩形.例9 如图9, ⊙O 是ABC ∆的内切圆，与三边,,AB BC CA 分别相切于点,,D E F ，若5,6,7AB BC AC ===，求,,AD BE CF 的长.解 由切线长定理，可设,AD AF x BD BE y ====，CE CF z ==.由题意得567x y y z x z +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解之得324x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩.故3,2,4AD BE CF ===.例10 如图10，李明同学在东西走向的滨海大道A 处，测得江中灯塔P 在北偏东60°方向上;他向东走了400米至B 处，测的灯塔P 在北偏东30°方向上.求灯塔P 到滨海路的距离.解 作PD AB ⊥于点D .设,,,,,PAD PBD PD x BD y AD z αβ∠=∠====AB =a .在Rt PAD ∆与Rt PBD ∆中，有,tan tan x x z y αβ==, 于是tan tan x xz y a αβ-=-=, tan tan tan tan x a αββα⋅∴=⋅-.这里30,60,400a αβ=︒=︒=， 代入得2003x = 例11 如图11，在Rt ABO ∆中，90,3,4,AOB OB OA C ∠=︒==是OA 上一点，且1AC =，点P 在BC 上，⊙P 与,AO AB 都相切.求⊙P 的半径.简析 设⊙P 的半径为r ，⊙P 分别与,AO AB 相切于,M N ，连结,PM PN .由条件易知PN PM CM r ===，32,2,1BC PC r AN AM r ====+，5(1)4BN r r =-+=-，322BP r =.在Rt PBN ∆中，有222(4)(322)r r r +-=，解得12r =.说明上述几例是根据题中条件，通过设未知量构造方程(组)加以求解的.通过设未知量构造方程(组)求解，常常会使复杂问题简单化，其思路清晰，易于学生接受.。

解法探究２０２３年１１月下半月㊀㊀㊀初中几何问题中线段长度的求解技巧探究◉江苏省无锡市东林中学㊀卢晓雨㊀㊀摘要:平面几何是初中数学知识中重要的一部分,线段长度的变化影响着图形的大小㊁形状．考查线段长度的形式多种多样,相关的问题也都十分灵活．求线段长度的基本方法有等面积法㊁利用勾股定理㊁利用相似等．本文中结合不同例题,具体分析解答求线段长度问题常见的解题思路．关键词:平面几何;线段长度;解法思路㊀㊀求线段的长度是初中几何的基础问题．解这类题目要综合考虑线段的位置关系,通过题干信息的提取,采用合适的方式进行求解．１利用等面积法等面积法是指用不同方式表示同一平面图形的面积,通过面积的相互转化或面积与边㊁角关系的互相转化,而使问题得到解决的方法．对于三角形而言,就是指利用三角形的面积自身相等的性质,或根据等高(底)的两个三角形的面积之比等于对应底边(对应高)的比等进行解题的一种方法．利用等面积法解题具有便捷㊁快速的特点．解题思路大致为:①根据已知条件通过面积的相互转化或面积与边㊁角关系的互相转化,用不同方式表示同一三角形的面积;②通过题中已知条件进行运算即可求出所求线段长度[１]．具体解题思路和步骤如以下例题所示．图１例１㊀如图１,在R t әA B C 中,øC ＝９０ʎ,A C ＝４,B C ＝３,C D 是斜边A B 上的高,求C D 的长度．分析:首先根据题中已知条件,可知在一个直角三角形中øC ＝９０ʎ,以及A C 和B C 的长度,从而可求得A B的长,又根据C D 是斜边A B 上的高,通过面积与边㊁角关系的互相转化,最后进行运算即可求出所求C D 长度．解:ȵøC ＝９０ʎ,A C ＝４,B C ＝３,ʑA B ＝５．又C D 为斜边A B 上的高,ʑS әA B C ＝A C B C ＝A B C D ．ʑ４ˑ３＝５C D ．ʑC D ＝１２５．例２㊀如图２,已知әA B C 中,A D 是әA B C 的图２中线,A D ＝４,B C ＝６,A C ＝５,P 是A B 边上的一点﹐且әP B D 是以B P 为底的等腰三角形,求线段A P 的长度．分析:首先根据题中已知条件,可得A D ʅB C ．再根据面积相等可得DH 长度．同理,可得B H 长度．最后根据等腰三角形的 三线合一 性质,得到PH ＝H B ,求出P B 长度,从而求出线段A P 长度．解:过D 作DH ʅA B ,垂足为H ．ȵA C ２＝A D ２＋C D ２,ʑøA D C ＝９０ʎ．ʑA D ʅB C ．在әA B D 中,根据面积相等可得１２A B DH ＝１２B D A D ．ʑDH ＝B D A D A B ＝１２５．在R t әB DH 中,求得B H ＝B D ２－DH ２＝９５．根据等腰三角形的 三线合一 性质,得PH ＝H B ,A B ＝A C ＝５．ʑP B ＝２B H ＝１８５．故线段A P ＝７５．２利用勾股定理已知直角三角形的两直角边长分别为a ,b ,斜边长为c ,则a ２＋b ２＝c ２．因此,在直角三角形中,已知任意两边长,可求第三边长．构造出直角三角形,用勾股定理建立方程求线段长度的解题思路大致为:①根据已知条件构造直角三角形;②利用勾股定理建立方８７２０２３年１１月下半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀程;③通过计算求出所求线段长度[２]．具体解题思路和步骤如以下例题所示．图３例３㊀如图３,在R t әA B C 中,øC ＝９０ʎ,A C ＝４,B C ＝３,C D 是斜边A B 上的高,求C D 的长度．分析:首先根据题中已知条件,可知在一个直角三角形中,øC ＝９０ʎ,以及A C 和B C 的长度,从而可求得A B的长．再设B D ＝x ,表示出A D ．又因为C D 是斜边A B 上的高,最后利用勾股定理建立方程,通过计算即可求出所求线段C D 的长度．解:ȵøC ＝９０ʎ,A C ＝４,B C ＝３,ʑA B ＝５．设B D ＝x ,则A D ＝５－x ．ȵC D 为斜边A B 上的高,ʑ在R t әA D C 与R t әB D C 中,有C D ２＝A C ２－A D ２＝B C ２－B D ２．ʑ４２－(５－x )２＝３２－x ２．ʑx ＝９５．ʑC D ＝３２＋(９５)２＝１２５．图４例４㊀如图４,在әA B C中,øC ＝９０ʎ,A D ,B E 是әA B C 的两条中线,B E ＝２１０,A D ＝５,求A B 的长．分析:首先根据题中已知条件,设C E ＝x ,C D ＝y ,再表示出A C 和B C ,最后利用勾股定理建立方程,通过计算即可求出所求线段A B 的长度．解:设C E ＝x ,C D ＝y ,ʑA C ＝２x ,B C ＝２y ．ȵB E ＝２１０,A D ＝５,øC ＝９０ʎ,ʑ在R t әA C D 与R t әB C E 中,有(２x )２＋y ２＝２５,(２y )２＋x ２＝４０．ʑx ２＋y ２＝１３．ʑA B ２＝A C ２＋B C ２＝４x ２＋４y ２＝５２．ʑA B ＝２１３．３利用相似利用相似求线段长度是根据边角关系发现相似三角形的模型,从而通过运算得到所求线段长度．解题思路大致为:①根据已知条件构造出相似三角形;②设相应线段为x ,建立方程;③通过计算即可求出所求线段长度．具体解题思路和步骤如以下例题所示．图５例５㊀如图５,R t әA B C 中,øA B C ＝９０ʎ,A B ＝３,B C ＝４,R t әM P N 中,øM P N ＝９０ʎ,点P 在A C 上,P M 交A B 于点E ,P N交B C 于点F ,当P E ＝２P F 时,求线段A P 的长度．分析:如图６,作P Q ʅA B 于点Q ,P R ʅB C 于点R ．由әQ P E ʐәR P F ,推出P Q P R ＝P EP F＝２,可得P Q ＝２P R ＝２B Q ．由P Q ʊB C ,可得A Q ʒQ P ʒA P ＝A B ʒB C ʒA C ．设P Q ＝４x ,则可表示出A Q ,A P ,B Q ,进而求出x 即可求出所求线段长度．图６解:如图６,作P Q ʅA B 于点Q ,P R ʅB C 于点R ,则øP Q B ＝øQ B R ＝øB R P ＝９０ʎ．ʑ四边形P Q B R 是矩形．ʑøQ P R ＝９０ʎ＝øM P N ．ʑøQ P E ＝øR P F ．ʑәQ P E ʐәR P F ．ʑP Q P R ＝P E P F＝２．ʑP Q ＝２P R ＝２B Q ．ȵP Q ʊB C ,ʑA Q ʒQ P ʒA P ＝A B ʒB C ʒA C ＝３ʒ４ʒ５．设P Q ＝４x ,则A Q ＝３x ,A P ＝５x ,B Q ＝２x ．ʑ２x ＋３x ＝３．ʑx ＝３５．ʑA P ＝５x ＝３．根据上述不同的求线段长度例题的分析,可以得到求线段长度的基本方法有等面积法㊁利用勾股定理以及利用相似等．针对不同类型问题,采取相应的解题方法进行解答．在解题过程中,应加强对问题条件的分析应用,借助已知条件和相关性质去灵活解答,以此提高解题效率．同时,也希望同学们谨记各方法的注意事项,记住各方法的适用条件,在考试中灵活加以运用,避免出现错误．参考文献:[１]程长宾．求线段长度最值的常用方法[J ]．初中数学教与学,２０１２(２３):２４Ｇ２６．[２]李丹．连结两中点所得线段长度问题的求解策略[J ]．初中数学教与学,２０１７(１７):２３Ｇ２５．Z ９７。

线段的长度计算线段是几何学中一个基本的概念，经常在数学和物理领域中被使用。

计算线段的长度是一项基本的几何问题，下面将介绍几种计算线段长度的方法。

方法一：勾股定理勾股定理是计算直角三角形边长的常用方法，也可以用来计算线段的长度。

如果线段的两个端点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，那么线段的长度可以通过以下公式来计算：长度= √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)其中，√表示平方根运算符。

方法二：坐标差值计算如果我们已经知道线段的两个端点的坐标，可以直接计算两个坐标的差值，然后使用勾股定理计算线段的长度。

假设线段的两个端点的坐标为(x1, y1)和(x2, y2)，那么线段的长度可以通过以下公式来计算：长度= √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)方法三：向量计算向量是另一种计算线段长度的方法，它可以通过两个端点的坐标来表示。

设线段的端点分别为A(x1, y1)和B(x2, y2)，则向量AB的坐标表示为(Bx - Ax, By - Ay)。

线段的长度等于向量的模长，模长的计算公式为：长度= √((Bx - Ax)² + (By - Ay)²)方法四：使用数字尺或测量工具除了通过数学计算，我们也可以使用数字尺或测量工具来直接测量线段的长度。

将数字尺或测量工具沿着线段放置，并读取线段的长度刻度即可得到线段的长度。

这种方法适用于实际测量场景，如测量物体的尺寸等。

综上所述，我们可以通过勾股定理、坐标差值计算、向量计算或使用数字尺来计算线段的长度。

选择合适的方法取决于具体的需求和所掌握的知识工具。

熟练掌握这些方法可以帮助我们更好地理解和应用几何学知识。

线段的长度计算线段是几何学中常见的基本图形，在解决实际问题时，需要准确地计算线段的长度。

本文将介绍一些常见的计算线段长度的方法，并探讨它们的应用。

一、直线段长度的计算方法直线段是最简单的线段形式，其长度计算相对容易。

假设有两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们可以根据勾股定理求解线段AB的长度。

设直线段AB的长度为l，根据勾股定理可得：l = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]例如，若A(1, 2)和B(4, 6)是直线段AB的两个端点，则线段AB的长度可以通过以下计算得出：l = √[(4 - 1)² + (6 - 2)²] = √[9 + 16] = √25 = 5因此，直线段AB的长度为5。

二、曲线段长度的计算方法对于曲线段，长度的计算相对复杂。

曲线段可以分为两种情况，一种是用函数可以解析表示的曲线段，另一种是无法用函数解析表示的曲线段。

下面分别介绍这两种情况的计算方法。

1. 函数解析表示的曲线段长度计算若曲线段由函数y = f(x)在区间[a, b]上表示，我们可以使用定积分的方法求解曲线段的长度。

假设l表示曲线段的长度，则计算公式如下：l = ∫[a, b] √[1 + (f'(x))²] dx其中，f'(x)表示函数f(x)的导数。

例如，若曲线段由函数y = x²在区间[0, 1]上表示，则曲线段的长度可以通过如下计算得出：l = ∫[0, 1] √[1 + (2x)²] dx这个定积分计算可以通过数值积分方法或符号计算软件进行近似或准确求解。

2. 无法用函数解析表示的曲线段长度计算对于无法用函数解析表示的曲线段，我们可以通过逼近的方法来计算其长度。

常见的逼近方法有多边形逼近和Bezier曲线逼近。

多边形逼近是将曲线段划分为若干小线段，并计算这些小线段的长度之和作为曲线段的长度近似值。

求线段长度问题的一般方法求线段长度问题是初中几何中常见的题型之一，笔者就此类问题作了一些思考与归纳, 供大家参考.一、将求线段长的问题转化到直角三角形中求解例1 如图1, RtVABC , ZACB = 90°, CD 丄A3 于D, AC = 6, BC = 8,求CD的长.图】简解由勾股定理，得AB = \0再由三角形的面积公式，得Sv= ~x 6x8 = — x 1 Ox CD于是得CD = 4.8.例2如图2,在V ABC屮，乙4 = 30。

，tanB = -, BC = 応,求AB的长.3 简析作CD丄于点D,这样就构造了两个R/V. 在RtVBCD^,CD 1tanB =——二一，・・・DB = 3CDDB 3由勾股定理，得CD = 1, BD = 3.在RtVACD中，AD = Ji,从而AB = V3+3.例3如图3,在平面直角坐标系中，OA与y轴相切于原点O,平行于兀轴的直线交。

人于两点⑷，N.若点M的坐标是(-4,-2),求点N的坐标.简析如图3,作AE丄MN于点E,连AM , AN ,则构造了两个直角三角形RtNAME , RtNANE. 不妨设AO = AM =R,易得/?2=22+(4-/?)2・・・/? = 2.5, EN = Em = 4-2.5 = \.5•・・ NF = 2.5 -1.5 = 1从而点N的坐标为(-1,-2).例4 如图4,点E、O、C在半径为5的OA上，BE是OA上的一条弦，4cos ZOBE = —, ZOEB = 30° ,求BC 的长5简析连EC,由条件可知，图屮有卩q个直角三角形，分別是VOEC, \OEF , 7EBC, NFBC.V ZCOE = 90°, EC为G) A 的直径，:.ZCBE = 90°,又ZOCE = ZOBE,4cos ZOCE = cos ZOBE =—,在RtNOEC中，易知OC = 8, OE = 6,在RtNOEF中，ZOEB = 30°, OE = 6,得OF = 2羽.:.FC = OC-OF = %-2氐又ZOEB = ZOCB = 30°,故在RtNFBC中，由边角关系，得BC = 4 品一3.说明上述几例是将此线段置于某直角三角形之中，然后利用直角三角形的相关知识加以求解.值得注意的是，构造的直角三角形要与题目屮的已知条件相互关联，才能使问题化繁为简，迅速求解.二、将求线段长的问题转化到相似三角形中求解例5如图5,梯形ABCD中，ABIICD, HAB = 2CD, E、尸分别是的AB , BC 的中点，EF与BD 相交于点M.⑴求证：NEDM : NFBM；(2)若BD = 9,求的长.简解(1)由题意，易得四边形BCDE是平行四边形.于是，有BC//DE, :.VEDM : NFBMBM FB(2)由VEDM: NFBM ,得——=—DM DE・・・BF =丄B C = -DE2 2BM 1■ _____ —9-BM ~ 2・•・BM =3.例6如图6,矩形ABCD中，AD = 5, AB = 7，点E为DC上一个动点，把VADE 沿AE折叠，当点D的对应点D落在ZABC的平分线上时，求DE的长.解过点D'作D'M丄于点M ,并反向延长交DC于N.由题意，得ZMBD = 45。

线段长度计算小窍门作者：陈平来源：《初中生世界·七年级》2020年第02期一、定性分析。

定量计算例1如图1，已知AB=9cm，BD=3cm，C为AB中点，求线段DC的长。

【解析】第一步：定性分析。

DC=BC-BD，BD是已知的，要求DC，还缺BC。

而BC的长可以由“AB的长”与"AB中点”求出。

剩下的工作只要进行定量计算即可。

第二步：定量计算（略）。

【点评】在解几何题时，有时不要急于得到结果，不妨先根据条件画出图形，做定性分析，比如线段与线段之间有何位置关系，理清这些关系后再进行定量计算。

二、寻找关系，巧立方程例2 如图2，C、D是线段AB上的两个点，D是AC中点。

若BC=2cm，AD：BD=2：3，求AB长度。

【解析】由于BC长度已知，只要求出AC长度即可。

而乍一看，似乎找不出條件与结论间的关系。

数学需要联想！条件中的“AD：BD=2：3”是一个等式，由“D是AC中点”得出的“AD=CD”也是等式，有等式就可能有方程。

沿着这样的思路，我们设AD=2x，BD=3x，由“AD=CD”得2x=3x-2，求出x=2，进而求出AB的长为10cm。

【点评】在解决图形计算问题时，可将所求的某些量作为未知量，根据图中相等关系列出方程，将几何问题转化为代数问题。

三、整体思想，大显神通例3 已知点C在线段AB上，点M为线段AC的中点，点N为线段BC的中点。

（1）若线段AC=8，BC=6，求MN的长度;（2）若AB=a，求MN的长度。

【解析】（1）可利用例1的方法。

分别计算MC、NC的长度，求得MN=MC+CN=7。

（2）如果照搬（1）的方法，会发现，由于点C的位置不确定，MC、NC的长无法求出，只能另辟蹊径。

“AB=a”说明AB的长固定，考虑AB与MN之间一定有数量关系，运用整体思想。

由点M、N分别是AC、BC的中点，容易得到CM=1/2AC，CN=1/2BC，所以MN=CM+CN=1/2AB=1/2a。

线段长度计算的方法技巧一. 利用几何的直观性，寻找所求量与已知量的关系例1. 如图所示，点C 分线段AB 为5：7，点D 分线段AB 为5：11，若CD ＝10cm ，求AB 。

二. 利用线段中点性质，进行线段长度变换例2. 如图，已知线段AB ＝80cm ，M 为AB 的中点，P 在MB 上，N 为PB 的中点，且NB ＝14cm ，求PA 的长.三. 根据图形及已知条件，寻找第三量（中间桥梁） 例3. 如图一条直线上顺次有A 、B 、C 、D 四点，且C 为AD 的中点， ，求BC 是AB 的多少倍？四. 设辅助未知量，列方程求解例4. 如图C 、D 、E 将线段AB 分成2：3：4：5四部分，M 、P 、Q 、N 分别是AC 、CD 、DE 、EB 的中点，且，求PQ 的长。

五. 分类讨论图形的多样性，注意所求结果的完整性例5. 已知线段，在直线AB 上画线段，求AC 的长。

练习1. 已知：如图，B 、C 两点把线段AD 分成2∶3∶4三部分，M 是线段AD 的中点，CD=16cm ． 求：(1)MC 的长； (2)AB∶BM 的值．2.如图所示，已知，C 为AB 的中点，D 为CB 上一点，E 为DB 的中点，EB ＝6cm ，求CD 的长。

3.已知A 、B 、C 在同一直线上AC=AB ，已知BC=12cm ，求AB 的长度。

4.已知C 是线段AB 的中点，D 是CB 上的点，DA=6，DB=4，求CD 的长。

14BC AB AD -=5.已知AD=14cm ，B 、C 是AD 上顺次两点且AB ：BC ：CD=2：3：2，E 为AB 的中点，F 为CD 的中点， 求EF 的长。

6.如下图，M 、N 是AB 上任意两点，P 是AM 的中点，Q 是BN 的中点,试说明：2PQ=MN+AB.7.如下图，C 、D 、E 将线段AB 分成4部分且AC ：CD ：DE ：EB=2：3：4：5，M 、P 、Q 、N 分别是AC 、CD 、DE 、EB 的中点，若MN=21，求PQ 的长度。

求线段长度的几种常用方法线段长度是指线段的实际长度，是数学中的一个重要概念。

在几何学和物理学等领域中，常用的求线段长度的方法有几种。

下面将介绍其中的一些常见方法。

1.直接测量法：最直接简单的方法是使用直尺或测量工具直接测量线段的长度。

将直尺的一端对准线段的一端，然后用眼睛观察直尺的刻度，得到线段的长度。

由于直接测量法依赖于测量工具的准确度和人眼的观察精度，所以在实际应用中，可能会导致一定的误差。

2.几何方法：在几何学中，可以利用已知线段、角度和形状的几何关系来求解线段的长度。

例如，在直角三角形中，可以利用勾股定理来求解线段的长度。

根据勾股定理，直角三角形中的两个直角边的平方和等于斜边的平方。

通过测量或已知直角三角形的两个直角边的长度，可以计算出斜边（线段）的长度。

3.数学计算方法：除了几何方法外，也可以利用代数和数学计算方法来求解线段的长度。

例如，在平面直角坐标系中，可以通过使用两点间距离的公式来计算线段的长度。

根据两点间的距离公式，两点A(x1,y1)和B(x2,y2)之间的距离可以表示为：d=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)。

通过将两点的坐标代入公式，可以计算得到线段的长度。

4.光学测量法：光学测量法是一种利用激光或其他光源进行测量的方法。

在光学测量法中，可以使用激光测距仪、测量仪器等设备来测量线段的长度。

这些设备可以通过发送光束并测量光束的传播时间或光束的偏移量来计算距离。

光学测量法通常具有较高的测量精度和准确性，广泛应用于建筑、工程和科学研究等领域。

5.数值模拟方法：在一些特殊情况下，线段的长度无法直接测量或计算。

在这种情况下，可以使用数值模拟方法来估计线段的长度。

数值模拟方法通常基于数值计算和模拟技术，通过模拟线段的形态或物理特性来估算线段的长度。

例如，在计算机图形学中，可以使用曲线拟合或多边形逼近等技术来估计线段的长度。

总的来说，求解线段长度的方法包括直接测量法、几何方法、数学计算方法、光学测量法和数值模拟方法等。

中考数学求线段长五大类常考必会的方法常用求线段的方法：1.勾股定理2.等面积法3.构造相似4.作辅助圆5.三角函数在初中，求线段的方法基本就是利用上述五类方法，具体怎么用，我们用一道题来说明。

如图，三条平行线之间有个等边三角形，若l和2l的间距是1，2l和3l的间1距是2，求ABC的边长.方法一：勾股定理作垂线如下图，设三角形边长为x，则可以用勾股定理表示出AD，EC，CF12-=x AD ，42-=x EC ，92-=x CF然而AD=EC+CF ，因此解下面这个方程就可以了12-x 42-=x 92-=x这是一个无理方程，同学们不妨提前掌握其解法，毕竟上了高中后解无理方程是家常便饭，上述方程只需要平方两次即可。

记得用换元法，令2x y =941-+-=-y y y()()994241-+--+-=-y y y y y()()y y y -=--12942()()()212944y y y -=--14424144524222+-=+-y y y y 02832=-y y0,32821==y y （舍） 3212328==x总结：用勾股定理求线段是最基础的思想方法，以至于每一位同学都能想到它，既然大家都能想到的，说明辅助线或许很容易构造，但难题一定是计算量很大，因此同学们要加强计算能力，包括常见的思想方法比如换元法。

方法二：等面积法以下做法由运河中学张祖珩提供如下图所示，作BE ⊥AC ，AH ⊥2l ，CF ⊥2l ，取AC 与2l 的交点D由FC=2AH 可知DC=2AD 我们不妨设x AC 3=，则x AD 2=，x CD 2=，x AE 23=，x ED 21=，x BE 233= x DE BE BD 722=+=将线段都表示出来之后我们就可以利用等面积法了DBC ABD ABC S S S ∆∆∆+=CF BD AH BD BE AC ⋅+⋅=⋅212121 ()21721233321+⋅=⋅⋅x x x9212=x 32123==x AC 总结：当一个三角形出现两个高线，可以用面积公式表示两次面积并令其相等；或者三角形被分割成两个小三角形，我们也可以通过用割补法表示出面积的等式；这就是等面积法。

中考提优专题二：四边形中线段长度的计算概述：点动成线，线动成面.线段是基本的几何图形之一，是组成三角形、四边形等几何图形的元素.线段的长短、位置的变动影响着图形的形状、大小，因此求线段长度是初中几何中常见的题型之一.下面给出几种常见的求线段长度的方法.1.将求线段长度的问题转化到直角三角形形中求解；勾股定理是平面几何中最重要的定理，揭示了直角三角形之间的数量关系，是连接代数与几何的桥梁，是用来求线段长度的基本方法.2.利用锐角三角函数求线段长度.三角函数揭示了角和边之间的关系，借助正弦定理、余弦定理可求线段的长度.3.借助证明结果求解线段长度.有些问题中，需要先根据已知条件证明线段之间所存在的数量关系，在一条线段已知的情况下，可求出另一条线段的长度.4.利用相似三角形求线段长度.相似三角形对应边成比例，构造相似三角形计算线段长度.5.利用面积法求线段长度.用不同的方法表示同一图形的面积，从而可以求出线段的长度.6.利用方程法求线段长度.设所求线段长度为x，寻找等量关系，列出关于x的方程，从而可求线段的长度.7.利用建系法求线段长度.建立平面直角坐标系，求出点的坐标，利用两点距离公式或点到直线的距离公式求线段的长度.上面归纳了几种常见的线段长度的求法，但遇到实际问题，我么需要根据实际情况具体分析，灵活运用数学思想来解决问题.类型1：利用特殊角度求解四边形中线段长度1.利用45°角的特殊性求线段长度45°角是几何中比较特殊的角度之一，通常出现在等腰直角三角形、正方形等图形中.例1：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°，若AD=9，DC=8，求EF的长.例2：如图，在四边形中，∠BAC=90°，∠BCD=90°，∠CAD=45°，CD=6，BC=8，求AC的长.例3：如图，在四边形ABCD 中，∠DAB=∠DCB=45°，AD=23，DC=25，AB=7，求AC 的长.例4：如图，正方形ABCD 的边长为6，O 是对角线AC ，BD 的交点，点E 在CD 上，且DE=2CE ，连接BE ，过点C 作CF ⊥BE ，垂足为F ，连接OF ，求OF 的长.例5：如图，四边形ABCD 是菱形，∠A=60°，E 、F 分别是AB ，AD 上两个动点，满足AE=DF ，连接BF ，与DE 交于点G ，作CH ⊥BF ，垂足为H ，连接CG ，若DG=a ，BG=b ，且b a ,满足2,522==+ab b a ，求CH 的长.例6：如图，在正方形ABCD中，E，F，G三点分别在边AD、AB、CD上，且△EFG为等边三角形，若AF=3，DG=4，求正方形的边长.例7：如图，在正方形ABCD中，AB=2，若PD=1，∠BPD=90°，求点A到BP的距离.类型2：借助四边形中的“十字架”求线段长度例8：如图，边长为4的正方形OADB的边OA，OB分别在x轴、y轴上，C为OA的中点，OF⊥BC于点E，交AD于点F，求EF的长.类型3：利用对称变换求线段长度例9：如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB=3，E是射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿着AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于点M、N，当B′为线段MN的三等分点时，求BE的长.例10：在正方形ABCD中，,AD=4，E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，交AC于点O.若F是AB的中点，求△EMN的周长.。

“六种方法”求线段长度——你造吗？【几何求值】————————————————————求线段的数量关系与位置关系是初中阶段常考的内容之一，那如何在纷繁复杂的题目中找到求线段长度的突破口呢。

下面小编为大家整理了初中阶段常用求线段长度的方法。

前四种是纯粹初中阶段的知识，后两种方法应用到高一的公式。

由于中考中使用高中阶段知识解题并不算错误（应用错误则肯定不得分），因此特别普及一下。

【典型例题】如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，CD为斜边AB上的高，求CD的长．图1【解析】【方法一】等面积法——用不同方式表示同一三角形的面积解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5．又∵CD为斜边AB上的高，∴S△ABC＝AC·BC＝AB·CD，∴4×3＝5CD，CD＝2.4．【方法二】勾股定理——构造直角三角形，用勾股定理建立方程解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5．设BD＝x，则AD＝5－x．又∵CD为斜边AB上的高，∴在Rt△ADC与Rt△BDC中，CD^2＝AC^2－AD^2＝BC^2－BD^2，即4^2－（5－x）^2＝3^2－x^2，x＝2.4．∴CD＝2.4．【方法三】相似——根据边角关系发现相似三角形的模型解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，∠A＋∠B＝90°．又∵CD为斜边AB上的高，∴∠BDC＝∠ADC＝∠C＝90°．∴∠A＋∠ACD＝90°．∴∠B＝∠ACD．∴△ABC∽△ACD．∴AB：AC＝BC：CD，即5：4＝3：CD，∴CD＝2.4．【方法四】锐角三角函数——遇直角，优先考虑三角函数与勾股解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5．又∵CD为斜边AB上的高，∴∠BDC＝∠C＝90°．∴sin B＝CD：BC＝AC：AB，即CD：3＝4：5．∴CD＝2.4．【方法五】两点之间的距离公式——勾股定理的推广，不超纲，选填直接用如图2，以点C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系．则C（0，0），A（0，4），B（3，0）．【备注】两点间的距离公式：A（x1，y1），B（x2，y2）AB=√(x1-x2)²+(y1-y2)²【方法六】点到直线的距离公式——结合垂直的斜率关系如图2，以点C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系．则C（0，0），A（0，4），B（3，0）．设直线AB的解析式为y＝kx＋4，代入B（3，0），得0＝3k＋4，k＝－．图2【备注】两直线平行：k1=k2；两直线垂直：k1·k2=-1．点到直线的距离公式：点A（x′，y′），直线l：y=kx+b，则点A到直线l的距离为：d=|kx′-y′+b|/√(1+k²)。

中考数学数线段长度题答题技巧中考数学数线段长度题答题技巧介绍在中考数学中，数线段长度题是一种常见的题型。

对于这类题目，我们可以采用一些技巧来提高我们的解题效率。

技巧一：利用勾股定理勾股定理是我们解决尺规作图或求解直角三角形边长的重要工具。

对于给定的两个坐标点A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们可以使用勾股定理求得线段AB的长度。

勾股定理的公式如下：AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)技巧二：利用坐标点间的距离公式如果题目给出的点的坐标已知，我们可以直接使用坐标点间的距离公式计算线段的长度。

距离公式如下：AB = √((x2 - x1)^2 +(y2 - y1)^2)技巧三：利用图形特性当题目给出的是一些特殊的图形，我们可以利用图形的特性来计算线段的长度。

例如，如果题目给出的是一个正方形或者矩形，我们可以直接使用正方形或矩形的边长作为线段的长度。

技巧四：利用比例关系在某些情况下，我们可以利用线段之间的比例关系来计算未知线段的长度。

例如，如果我们知道两条平行线段之间的比例，我们可以利用这个比例来计算未知线段的长度。

技巧五：利用正弦定理或余弦定理如果题目给出的线段构成一个三角形，我们可以利用正弦定理或余弦定理来求解未知线段的长度。

正弦定理的公式如下： a/sinA = b/sinB = c/sinC余弦定理的公式如下： c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosC总结在中考数学中，数线段长度题是一种常见的题型。

在解决这类题目时，我们可以利用勾股定理、坐标点间的距离公式、图形特性、比例关系以及正弦定理或余弦定理来提高解题效率。

掌握这些技巧，我们能够更加灵活地解决数线段长度题，从而在考试中取得更好的成绩。

中考数学数线段长度题答题技巧（续）技巧六：利用平行线性质当题目中出现平行线时，我们可以利用平行线性质来计算线段的长度。

根据平行线的性质，平行线切割的线段成比例。

初中数学中常用的求线段的长度的方法初中数学中学习的是平面几何，平面是由线构成的，线动就成面了，所以线段的长度的变化，影响了图形的大小，形状。

几何图形中的计算题是初中数学中常见题型，一直是数学中考中的必考题型，求线段的长度正是这类计算题中的典型代表. 纵观近年来的中考试题，不难发现，这类试题的命制均立足教材，解决途径都是运用转化的思想方法. 要求学生自己猜想、探究、发现。

我在多年的初中教学中，特别是初三数学教学中，总结了几种常用的求线段的长度的方法。

一、当一条线段上有多条线段时。

1、利用观察图形的方法，直观地求线段的长度。

当点把一条线段分成几条线段时，可以直观地观察图形，找出已知线段与未知线段的和差的关系，从而求出线段。

例1、已知如图，线段AB=10，点C在线段AB 上，且AC=3，求BC的长。

这题就可以直观地观察图形，找出未知线段BC=已知线段AB-已知线段AC，从而求出。

2、利用线段中点的定义，求线段的长度。

当有线段中点出现时，可以考虑运用线段中点的定义。

把例1 变式为点C 为线段AB的中点，线段AB=10，求BC的长。

这题可以运用线段中点的定义可以得出BC等于AB的一半，从而求出3、利用数形结合的方法，用列方程的方法求线段的长度。

把例1 变式为点C、D为线段AB上的点，把AB分成2：3：5 三部分，线段AB=10，求线段AC、CD、DB的长度。

本题通过观察图形，找出线段之间的相等关系，AC+CD+DB=A，B正确设元，设AC=2x，CD=3x，DB=5x. 从而列方程求解。

本类题型，通过观察图形的方法，正确找出已知线段与未知线段的关系，正确求出线段的长度。

二、当所求线段是三角形的边元素时。

1、利用直角三角形的性质勾股定理求解。

直角三角形中的一个常用定理-- 勾股定理，勾股定理是极其重要的定理，它是沟通代数与几何的桥梁，揭示了直角三角形三边之间的数量关系，应用十分广泛. 是用来求线段的长度的基本方法。

中考专题：如何求线段的长求线段的长方法：1.利用三角形全等求线段长。

2.利用三角形的相似求线段长3.利用勾股定理求线段的长4.利用特殊角的三角函数求线段长例题1：如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是[ ]解；连接EF交AC于O，∵四边形EGFH是菱形，∴EF⊥AC，OE=OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠D=90°，AB∥CD，∴∠ACD=∠CAB，在△CFO与△AOE中，，∴△CFO≌△AOE，∴AO=CO，∵AC==4，∴AO=AC=2，∵∠CAB=∠CAB，∠AOE=∠B=90°，∴△AOE∽△ABC，∴，∴，∴AE=5．例题2：如图，矩形中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE=OD，则AP的长为__________.解答：∵四边形ABCD是矩形∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6，CD=AB=8△ABP≌△EBP，∴EP=AP，∠E=∠A=90°,BE=AB=8，在△ODP和△OEG中∴△ODP≌△OEG∴OP=OG，PD=GE，∴DG=EP设AP=EP=x，则PD=GE=6－x，DG=x，∴CG=8－x，BG=8－（6－x）=2+x根据勾股定理得：BC2+CG2=BG262+（8－x）2=（x+2）2解得：x=4.8∴AP=4.8.例题3：如图，在矩形纸片ABCD中，将AB沿BM翻折，使点A落在BC上的点N处，BM为折痕，连接MN；再将CD沿CE翻折，使点D恰好落在MN上的点F处，CE为折痕，连接EF 并延长交B M于点P，若AD＝8，AB＝5，则线段PE的长等于．3解：过点P作PG⊥FN，PH⊥BN，垂足为G、H，由折叠得：ABNM是正方形，AB＝BN＝NM＝MA＝5， CD＝CF＝5∠D＝∠CFE＝90°，ED＝EF，∴NC＝MD＝8﹣5＝3，在Rt△FNC中，FN＝＝4，∴MF＝5﹣4＝1在Rt△MEF中，设EF＝x，则ME＝3﹣x由勾股定理得，12+（3﹣x）2＝x2，解得：x＝，∵∠CFN+∠PFG＝90°，∠PFG+∠FPG＝90°∴△FNC∽△PGF，∴FG：PG：PF＝NC：FN：FC＝3：4：5，设FG＝3m，则PG＝4m，PF＝5m，∴GN＝PH＝BH＝4﹣3m，HN＝5﹣（4﹣3m）＝1+3m＝PG＝4m解得：m＝1，∴PF＝5m＝5，∴PE＝PF+FE＝5+＝练习题：1.如图在矩形纸片ABCD中，AB＝83，AD＝10，点E是CD的中点．将这张纸片依次折叠两次：第一次折叠纸片使点A与点E重合，如图2，折痕为MN，连接ME、NE；第二次折叠纸片使点N与点E重合，如图3，点B落在B′处，折痕为HG，连接HE，则tan∠EHG ＝_______．2.如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB=4，BC=2，那么线段EF的长为．3如图，矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF=2FC，AF 分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为．4如图1，将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF．如图2，展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为GH，点B的对应点为点M，EM交AB于N．若AD=2，则MN=．5如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，且DC＝3DE＝3a.将矩形沿直线EF 折叠，使点C恰好落在AD边上的点P处，则FP＝___．6正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、CD于M、N两点．若AM=2，则线段ON的长为7如图，在 ABCD中，AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点E，CG⊥BE，垂足为G，若EF＝2，则线段CG的长为8如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，连接MC，将菱形ABCD翻折，使点A落在线段CM上的点E处，折痕交AB于点N，则线段EC的长为．9如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，DE垂直平分AC，垂足为O，AD∥BC，且AB=3，BC=4，则A D的长为．10如图，正方形ABCD的边长为4，点E是CD的中点，AF平分∠BAE交BC于点F，将△ADE 绕点A顺时针旋转90°得△ABG，则CF的长为．11如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为．12如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝3，点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE，点M、N在线段BD上．若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN＝．13如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在B'处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点C'处，EF为折痕，连接AC'．若CF＝3，则tan∠B'AC＝．C'B'FDAB E14如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是．15如图，在四边形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长为__________．16如图，在矩形ABCD中，=，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AD于点E．若AE•ED =，则矩形ABCD的面积为．。

求线段长度的方法如何计算线段的长度
求线段长度的方法：等面积法，用不同方式表示同一三角形的面积。

勾股定理，构造直角三角形，用勾股定理建立方程。

相似，根据边角关系发现相似三角形的模型。

锐角三角函数，遇直角，优先考虑三角函数与勾股。

利用几何的直观性，寻找所求量与已知量的关系，从而求得线段长度。

求线段长度的方法
1、利用几何的直观性，寻找所求量与已知量的关系，从而求得线段长度；
2、利用线段中点性质，进行线段长度变换，以求线段长度；
3、根据数形结合的思想，利用解方程的方法求解线段长度；
4、分类讨论图形的多样性，注意所求线段长度的完整性。

计算线段长度的方法技巧
1. 利用几何的直观性，寻找所求量与已知量的关系
2. 利用线段中点性质，进行线段长度变换
3. 根据图形及已知条件，利用解方程的方法求解
4. 分类讨论图形的多样性，注意所求结果的完整性
线段的应用
在生活应用上，主要有三种——连结、隔开、删除
1、连结将不同处的两者做关连性的键结，其他如指示性补充亦同。

2、隔开将同一处的两区域分离，其他如景深、等位线亦同。

3、删除例：于撰写文章时，为保留创作的过程而将不妥之文句以线划除，其他如路线中的各站亦同。