专题08 探索性问题（原卷版）

2021年中考真题历史分项汇编专题08 近代化的早期探索与民族危机的加剧考点44 洋务运动1．（2021年江苏扬州）清政府大规模进行近代海防建设，筹建新式海军开始于（）A．洋务运动B．戊戌变法C．义和团运动D．新文化运动2．（2021年江苏苏州）陈旭麓在《中国近代史十五讲》中提到：张之洞为了使汉阳铁厂放在他的湖广总督府鼻子底下，厂址选在地势低洼，离煤铁资源很远的地方，仅垫高铺平就花去三十多万两银子，资金超出计划，只好一再追加。

这反映出洋务派（）A．办军事企业缺乏经验B．对企业管理封建落后C．办企业是为中饱私囊D．办企业资金严重匮乏3．（2021年河北）1875年，中国近代第一批海军留学生出国时曾宣言：“此去西洋，应深知中国自强之计，舍此无所他求。

背负国家之未来，取尽洋人之科学。

赴七万里长途，别祖国父母之邦，奋然无悔。

”可见，他们当时出国留学的最终目的是（）A．游历西洋B．兴办洋务C．学习科技D．救国图强4．（2021年湖南岳阳节选）所谓近代化是指政治上的民主化、经济上的工业工业化和思想上的理性化。

阅读大事年表，回答问题。

1321年，但丁的《神曲》完稿1688年，英国“光荣革命”成功1765年，珍妮纺纱机发明1840年，鸦片战争爆发1856年，第二次鸦片战争爆发1861年，安庆内军械所开办1912年，中华民国建立1915年，陈独秀发表《敬告青年》一文（2）写出年表中与中国近代化开端有关的历史事件，并列举一位为开启中国政治民主化而英勇献身的湖湘子弟。

（3）列举年表中相邻且有直接因果关系的两个历史事件，并简要说明其因果关系。

5．（2021年湖南益阳节选）武汉是中国中部地区的一颗璀璨明珠。

阅读下列材料，回答问题。

材料一请回答：（1）根据材料一概括洋务运动中民用企业的特点，结合所学知识分析洋务运动的历史作用。

6．（2021年四川眉山节选）阅读材料，完成下列要求。

材料一 1864年，曾国藩见洋枪队在苏南打得太平天国丢盔弃甲，见识了西洋枪炮的厉害，他决定兴建现代军械厂。

专题08 规律题方法总结与例题专训【知识点睛】常见规律题类型❖周期性循环特点：常以3个或4个数据为一周期，以此循环往复；总数比较大，常和年份结合考察处理方法步骤：1.找出第一周期的几个数，确定周期数2.算出题目中的总数和待求数3.用总数÷周期数=m……n（表示这列数中有m个整周期，最后余n个）4.最后余几，待求数就和每周期的第几个一样；❖周期性递变循环特点：常以2个或3个一周期，后边的每组，周期数不变，但是数据的大小会以相同的关系递增或递减；处理方法：同周期性循环基本一致，最后一步需要加入递变的关系❖递变增减型特点：分以此递增和以此递减，通常是数据之间的直接变化，偶尔借助图形；常和年份结合考察处理方法：熟记单独数据规律，直接应用于考察问题；❖算式类比性特点：常给出几个算式或等式，先算简单的，再从简单的类比到复杂题目的计算处理办法：1.正确计算出前面简单算式的答案2.找出数字间的规律3.将简单数字间的关系推导到字母n的关系中❖常见数字间固定规律识记：1.裂项相消法：将一项拆分成多项，前后保持相等，然后利用某些项相消的原则简化运算；2.错位相减法：适用于两个式子间有相同项的题目，两式相减直接抵消掉中间项，剩余首项、尾项再计算；3.倒序求和发：如：计算1+2+3+......+50，可以设S=1+2+3+......+50，则亦有S=50+49+48+ (1)∴2S=51×50，∴S=51×25=…裂项法公式：kn n k n n k +-=+11)(【类题训练】1．填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出a ，b 的值分别为（ ）A ．16，257B ．16，91C ．10，101D ．10，1612．观察下列一组数：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这组数的第2022个数是（ ） A ．B ．C ．D ．3．一只小球落在数轴上的某点P 0，第一次从P 0向左跳1个单位到P 1，第二次从P 1向右跳2个单位到P 2，第三次从P 2向左跳3个单位到P 3，第四次从P 3向右跳4个单位到P 4……若按以上规律跳了100次时，它落在数轴上的点P 100所表示的数恰好是2021，则这只小球的初始位置点P 0所表示的数是（ ） A ．1971B ．1970C ．﹣1971D ．﹣19704．有一列数a 1，a 2，a 3，…，a n ，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若a 1＝2，则a 2022为（ ） A ．B ．2C ．﹣1D ．20225．如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数﹣2所对应的点重合，再让圆沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数﹣2022将与圆周上的哪个数字重合（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36．观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2022应标在（ ）A．第506个正方形的右上角B．第506个正方形的左下角C．第505个正方形的右上角D．第505个正方形的左下角7．等边三角形（三条边都相等的三角形是等边三角形）纸板ABC在数轴上的位置如图所示，点A、B 对应的数分别为2和1，若△ABC绕着顶点逆时针方向在数轴上连续翻转，翻转第1次后，点C所对应的数为0，则翻转2023次后，点C所对应的数是（）A．﹣2021B．﹣2022C．﹣2023D．﹣20248．下列图形都是由圆和几个黑色围棋子按一定规律组成，图①中有4个黑色棋子，图②中有7个黑色棋子，图③中有10个黑色棋子，…，依次规律，图中黑色棋子的个数是（）A．6067B．6066C．6065D．60649．算筹是古代用来进行计算的工具，它是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形武（如图）．当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间：个位、百位、万位数用纵式表示；十位、千位、十万位数用横式表示；“0”用空位来代替，以此类推例如3306用算筹表示就是，则2022用算筹可表示为（）A．B．C．D．10．根据图中数字的排列规律，在第⑦个图中，a﹣b﹣c的值是（）A．﹣190B．﹣66C．62D．6411．已知整数m1，m2，m3，m4，…满足下列条件：m1＝0，m2＝﹣|1+m1|，m3＝﹣|2+m2|，m4＝﹣|3+m3|，…，以此类推，m2020＝．12．在2020个“□”中依次填入一列数字m1，m2，m3…，m2020，使得其中任意四个相邻的“□”中所填的数字之和都等于15．已知m3＝2，m6＝7，则m1+m2020的值为．27…13．有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是1，可发现第一次输出的结果是4，第二次输出的结果是2，……，请你探索第2021次输出的结果是．14．如图，数字都是按一定规律排列的，其中x的值是．15．观察图，找出规律．，则的值为．16．观察以下等式：第1个等式：×（2﹣）＝1+；第2个等式：×（2﹣）＝1+；第3个等式：×（2﹣）＝1+；第4个等式：×（2﹣）＝1+；第2021个等式：．17．请你观察：，，；…+＝+＝1﹣＝；++＝++＝1﹣＝；…以上方法称为“裂项相消求和法”．请类比完成：（1）+++＝；（2）++++…+＝；（3）计算：的值．18．先阅读下列内容，然后解答问题．因为．所以．请解答：（1）应用上面的方法计算：…．（2）类比应用上面的方法计算：…．19．观察以下图案和算式，解答问题：（1）1+3+5+7+9＝；（2）1+3+5+7+9+…+19＝；（3）请猜想1+3+5+7+……+（2n﹣1）＝；（4）求和号是数学中常用的符号，用表示，例如，其中n＝2是下标，5是上标，3n+1是代数式，表示n取2到5的连续整数，然后分别代入代数式求和，即：＝3×2+1+3×3+1+3×4+1+3×5+1＝46请求出的值，要求写出计算过程，可利用第（2）（3）题结论．20．从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如表：加数m的个数和S12＝1×222+4＝6＝2×332+4+6＝12＝3×442+4+6+8＝20＝4×552+4+6+8+10＝30＝5×6（1）按这个规律，当m＝6时，和为；（2）从2开始，m个连续偶数相加，它们的和S与m之间的关系，用公式表示出来为：＝．（3）应用上述公式计算：①2+4+6+ (200)②202+204+206+ (300)21．观察算式：1×3+1＝4＝22；2×4+1＝9＝32；3×5+1＝16＝42；4×6+1＝25＝52；……（1）请根据你发现的规律填空：7×9+1＝（）2；（2）用含n的等式表示上面的规律：；（3）用找到的规律解决下面的问题：计算：22．（1）①观察一列数1，2，3，4，5，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之差是一个常数，这个常数是；根据此规律，如果a n（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么a18＝，a n ＝；②如果欲求1+2+3+4+…+n的值，可令S＝1+2+3+4+…+n❶，将①式右边顺序倒置，得S ＝n+…+4+3+2+1❷，由❷式+❶式，得2S＝；∴S＝；由结论求1+2+3+4+…+55＝；（2）①观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是；根据此规律，如果a n（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么a18＝，a n＝；②为了求1+3+32+33+…+32018的值，可令M＝1+3+32+33+…+32018❶，则3M＝3+32+33+…+32019❷，由❷式﹣❶式，得3M﹣M＝32019﹣1，∴M＝，即1+3+32+33+...+32018＝．仿照以上推理，计算1+5+52+53+ (551)。

专题08 数据收集整理知识点及其练习【基础巩固】1．（2021·北京模拟）下列抽样调查最合理的是（）A．了解某小区居民的消防常识，对你所在班级的同学进行调查B．了解某市垃圾分类的宣传情况，对该市的所有学校进行调查C．了解某校学生每天的平均睡眠时间，对该校学生周末的睡眠时间进行调查D．了解某市第一季度的空气质量情况，对该市第一季度随机抽取30天进行调查2．（2021·重庆实验外国语学校）下列问题适合全面调查的是（）A．调查成渝两市的自来水质量B．调查某品牌电池的寿命C．调查全省小学生每周的课外阅读时间D．调查某篮球队队员的身高3．（2021·河南郑州市模拟）郑州市某区为了解参加2021年中考的8900名学生的体重情况，随机抽查了其中1500名学生的体重进行统计分析，下列叙述正确的是（）A．8900名学生是总体B．每名学生是总体的一个个体C．1500名学生的体重情况是总体的一个样本D．以上调查是普查4．（2021·青海海东市）为了解某校学生今年元宵节期间参加社团活动时间的情况，随机抽查了其中100名学生进行统计，并绘成如图所示的频数分布直方图．已知该校共有1000名学生据此估计，该校元宵节期间参加社团活动时间在8～10小时之间的学生人数大约是（）A．360名B．320名C．300名D．280名5．（2021·福建漳州市）某校准备为八年级学生开设A，B，C，D，E，F共6门选修课，随机抽取了部分学生对“我最喜欢的一门选修课”进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的统计图表（不完整）．下列说法正确的是（）A．这次被调查的学生人数为480人B．喜欢选修课C对应扇形的圆心角为60°C．喜欢选修课A的人数最少D．这次被调查的学生喜欢选修课F的人数为80人6．（2021·山东聊城市）2020年10月16日是第40个世界粮食日，某校学生会开展了“光盘行动，从我做起”的活动，对随机抽取的100名学生的在校午餐剩余量进行调查，结果有86名学生做到“光盘”，那么下列说法不合理的是（）A．个体是每一名学生的午餐剩余量B．样本容量是100C．全校只有14名学生没有做到“光盘”D．全校约有86%的学生做到“光盘”7．（2021·湖南常德市期末）2017年12月8日，以“[数字工匠]玉汝于成，[数字工坊]溪达四海”为主题的2017一带一路数字科技文化节•玉溪暨第10届全国三维数字化大赛（简称“全国3D大赛”）总决赛在玉溪圆满闭幕．某学校为了解学生对这次大赛的了解程度，在全校1300名学生中随机抽取部分学生进行了一次问卷调查，并根据收集到的信息进行了统计，绘制了下面两幅统计图，则α=_______．8．（2021·河南南阳期末）某同学按照某种规律写了下面一串数字：，当写完第93个数字时，1出现的次数是____ ．9．（2020·新昌县月考）小欢为一组数据制作频数表，他了解到这组数据的最大值是40，最小值是16，准备分组时取组距为4，为了使数据不落在边界上，他应将这组数据分成__________组．10．（2020·内蒙古兴安盟期末）某中学要了解六年级350名学生的视力情况，在全校六年级中抽取了50名学生进行检测，在这个问题中，样本容量是____．11．（2021·广东江门市）某校为了解九年级学生“一分钟跳绳”体育测试项目情况，随机抽取了九年级部分学生组成测试小组行调查测试，对这部分学生“一分钟跳绳”测试的成绩按A，B，C，D四个等级进行了统计，并绘制了如图所示的不完整统计图．（1）本次抽样调查的样本容量为______，并将条形统计图补充完整；（2）若该校九年级共有400名学生，根据以上样本估计全校九年级“一分钟跳绳”测试成绩为A等级的学生人数．12．（2021·山东临沂市）我县某学校九年级一班开展了“读一本好书”的活动，班委会对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查问卷设置了“小说”、“戏剧”、“散文”、“其他”四个类别每位同学仅选一项，根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图．根据图表提供的信息，回答下列问题：（1）计算m=______，n=_______．（2）在扇形统计图中，“其他”类所在的扇形圆心角为_______；（3）这个学校共有1000人，则读了戏剧类书籍的学生大约有多少人？13．（2021·山东聊城市）某市对市民开展了有关雾霾的调查问卷，调查内容是“你认为哪种治理雾霾措施最有效”，有以下四个选项：A.绿化造林；B.汽车限行；C.禁止城市周边燃烧秸秆；D.使用环保能源．调查过程随机抽取了部分市民进行调查，并将调查结果绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图．请根据图中的信息回答下列问题：（1）求这次被调查的市民人数．（2）求统计图中D所对应的百分比．（3）估计该市240000名市民中认同“汽车限行”的人数．14．（2021·浙江宁波市）某校春日郊游就“最想去的宁波市江北区旅游景点”，随机调查了本校2000名学生中的部分学生，提供四个景点选择：A．达人村；B．慈城古镇；C．保国寺；D．荪湖．要求每位学生选择一个最想去的景点．下面是根据调查结果进行数据整理后绘制的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）本次一共随机调查了学生______名．（2）请补全条形统计图．（3）请估计全校“最想去景点D（荪湖）”的学生人数．15．（2021·广东深圳市）为积极落实市教育局“课后服务”的文件精神，某校积极开展学生课后服务活动．为更好了解学生对课后服务活动的需求，学校随机抽取了部分学生，进行“我最喜欢的课后服务活动”的调查（每位学生只能选其中一种活动），并将调查结果整理后，形成如下两个不完整的统计图：请根据所给信息解答以下问题：（1）这次参与调查的学生人数为______人；（2）请将条形统计图补充完整；（3）扇形统计图中“社区活动”所在扇形的圆心角度数为______ ；（4）若该校共有学生1800人，那么最喜欢的课后服务活动是“社团活动”的约有_______人．16．（2021·河南）为了解龙华区某校七年级学生对A《最强大脑》、B《朗读者》、C《中国诗词大会》、D《极限挑战》四个电视节目的喜爱情况，随机抽取了m位学生进行调查统计（要求每位学生选出并且只能选一个自己最喜爱的节目）．并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．根据统计图提供的信息，回答下列问题：（1）m＝，n＝．（2）在图1中，喜爱《极限挑战》节目所对应的扇形的圆心角度数是度；（3）请根据以上信息补全图2的条形统计图；（4）已知该校七年级共有500位学生，那么他们最喜欢《最强大脑》这个节目的学生约有人．17．（2021·江苏泰州市）为有效控制新型冠状病毒的传染，目前，国家正全面推开新冠疫苗的免费接种工作．某社区为了解其辖区内居民的接种情况，随机抽查了一部分居民进行问卷调查，把调查的结果分为A（已经接种）、B（准备接种）、C（观望中）、D（不接种）四种类别，并绘制了下面两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题：（1）此次抽查的居民人数为______人；（2）请补全条形统计图，同时求出C类别所在扇形的圆心角度数；（3）若该社区共有居民4000人，请你估计该社区已接种新冠疫苗的居民约有多少人？18．（2021·内蒙古呼伦贝尔市）某中学为了更好地活跃校园文化生活，拟对本校自办的“辉煌”校报进行改版．先从全校学生中随机抽取一部分学生进行了一次问卷调查，题目为“你最喜爱校报的哪一个板块”（每人只限选一项）．问卷收集整理后绘制了不完整的频数分布表和如图扇形统计图（1）填空：频数分布表中a=____________，b=____________；（2）“自然探索”板块在扇形统计图中所占的圆心角的度数为____________；（3）在参加问卷调查的学生中，最喜爱哪一个板块的人数最多？有多少人喜欢？（4）若全校有1500人，估计喜欢“校园新闻”板块的有多少人？19．（2020·泰兴市期中）随着社会的发展，通过微信朋友圈发布自己每天行走的步数已经成为一种时尚．“健身达人”小陈为了了解他的好友的运动情况．随机抽取了部分好友进行调查，把他们6月1日那天行走的情况分为四个类别：A（0～5000步）（说明：“0～5000”表示大于等于0，小于等于5000，下同），B（5001～10000步），C（10001～15000步），D（15000步以上），统计结果如图所示：请依据统计结果回答下列问题：（1）本次调查中，一共调查了位好友．（2）已知A类好友人数是D类好友人数的5倍．①请补全条形图；②扇形图中，“A”对应扇形的圆心角为度．③若小陈微信朋友圈共有好友150人，请根据调查数据估计大约有多少位好友6月1日这天行走的步数超过10000步？。

专题08 中华人民共和国成立和社会主义革命与建设1．（2023·湖南岳阳·统考二模）1949年11月，刘少奇在世界工人理事会发言指出：“工人阶级反对帝国主义斗争的基本形式一一这就是武装斗争，是人民解放军的战斗行动”。

这一发言旨在强调（）A．中国革命的胜利具有世界属性B．反帝是新中国外交的首要任务C．人民解放战争是社会主义革命D．“一边倒”是新中国的必然选择2．（2023·福建厦门·统考二模）新中国成立初期，有些民族资本家准备将企业上交国家，政府并未接受。

对此，周恩来说“和平转变，是要经过一个相当长的时间，而且要转变得很自然，水到渠成’”。

这主要是因为（）A．统一战线性质发生转变B．国民经济尚需恢复C．计划经济体制初步建立D．国土尚未完全解放3．（2023·湖南邵阳·统考二模）下面是1950年1月《中国人民解放军北京市军事管制委员会布告》内容。

该布告反映出新中国（）一、某些外国，过去利用不平等条约中所谓“驻兵权”，在北京市内占据地面，建筑兵营。

现在此项地产权，因不平等条约之取消，自应收回。

二、此项地产上所建筑之兵营及其他建筑，因地产权收回所发生之房产问题，我政府另定办法解决之。

三、目前此项兵营及其他建筑，因军事之需要，先予征用。

四、此项征用，自布告之日起，七日后实施。

A．打破了帝国主义孤立封锁B．国家政权的社会主义性质C．实行“一边倒”的外交方针D．继续完成民主革命的任务4．（2023·福建龙岩·统考二模）1950年10月，中央人民政府政务院颁布法令，规定“解放前农民所欠农民的债务及其他一般借贷关系，均继续有效”，从而改变了解放前“废除一切乡村中在土地制度改革以前的债务”的政策。

这一调整（）A．满足了农民的土地要求B．适应了农村经济发展的需要C．保留了剥削制度的残余D．实现了党的工作重心的转移5．（2023·江苏南通·统考二模）1951年的华北城乡物资交流展览会上，劳模曲耀离的种棉经验得到展示和推广。

专题08 立体几何解答题常考全归类【命题规律】空间向量是将空间几何问题坐标化的工具，是常考的重点，立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合，以某个空间几何体为依托，分步设问，逐层加深．解决这类题目的原则是建系求点、坐标运算、几何结论．作为求解空间角的有力工具，通常在解答题中进行考查，属于中等难度．【核心考点目录】核心考点一：非常规空间几何体为载体核心考点二：立体几何探索性问题核心考点三：立体几何折叠问题核心考点四：立体几何作图问题核心考点五：立体几何建系繁琐问题核心考点六：两角相等（构造全等）的立体几何问题核心考点七：利用传统方法找几何关系建系核心考点八：空间中的点不好求核心考点九：创新定义【真题回归】1．（2022·天津·统考高考真题）直三棱柱111ABC A B C 中，112,,AA AB AC AA AB AC AB ===⊥⊥，D 为11A B 的中点，E 为1AA 的中点，F 为CD 的中点．(1)求证：//EF 平面ABC ；(2)求直线BE 与平面1CC D 所成角的正弦值；(3)求平面1ACD 与平面1CC D 所成二面角的余弦值．2．（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E 为AC 的中点．(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；(2)设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求CF 与平面ABD 所成的角的正弦值．3．（2022·浙江·统考高考真题）如图，已知ABCD 和CDEF 都是直角梯形，//AB DC ，//DC EF ，5AB =，3DC =，1EF =，60BAD CDE ∠=∠=︒，二面角F DC B --的平面角为60︒．设M ，N 分别为,AE BC 的中点．(1)证明：FN AD ⊥；(2)求直线BM 与平面ADE 所成角的正弦值．4．（2022·全国·统考高考真题）如图，PO 是三棱锥-P ABC 的高，PA PB =，AB AC ⊥，E 是PB 的中点．(1)证明：//OE 平面PAC ；(2)若30ABO CBO ∠=∠=︒，3PO =，5PA =，求二面角C AE B --的正弦值．5．（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E 为AC 的中点．(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；(2)设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求三棱锥F ABC -的体积．6．（2022·全国·统考高考真题）在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面,,1,2,ABCD CD AB AD DC CB AB DP =====∥(1)证明：BD PA ⊥；(2)求PD 与平面PAB 所成的角的正弦值．7．（2022·北京·统考高考真题）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，侧面11BCC B 为正方形，平面11BCC B ⊥平面11ABB A ，2AB BC ==，M ，N 分别为11A B ，AC 的中点．(1)求证：MN ∥平面11BCC B ；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB 与平面BMN 所成角的正弦值． 条件①：AB MN ⊥；条件②：BM MN =．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．8．（2022·全国·统考高考真题）如图，直三棱柱111ABC A B C 的体积为4，1A BC 的面积为(1)求A 到平面1A BC 的距离；(2)设D 为1A C 的中点，1AA AB =，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，求二面角A BD C --的正弦值．【方法技巧与总结】1、用综合法求空间角的基本数学思想主要是转化与化归，即把空间角转化为平面角，进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得．求解的一般步骤为：（1）作图：作出空间角的平面角．（2）证明：证明所给图形是符合题设要求的．（3）计算：在证明的基础上计算得出结果．简称：一作、二证、三算．2、用定义作异面直线所成角的方法是“平移转化法”，可固定一条，平移另一条；或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上．3、求直线与平面所成角的常见方法（1）作角法：作出斜线、垂线、斜线在平面上的射影组成的直角三角形，根据条件求出斜线与射影所成的角即为所求．（2）等积法：公式θ=sin h l，其中θ是斜线与平面所成的角，h 是垂线段的长，是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可构造三棱锥，利用等体积法来求垂线段的长．（3）证垂法：通过证明线面垂直得到线面角为90°．4、作二面角的平面角常有三种方法（1）棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角．（2）面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角．（3）空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角．【核心考点】核心考点一：非常规空间几何体为载体【规律方法】关键找出三条两两互相垂直的直线建立空间直角坐标系．【典型例题】例1．（2022·陕西安康·统考一模）如图，已知AB 为圆锥SO 底面的直径，点C 在圆锥底面的圆周上，2BS AB ==，6BAC π∠=，BE 平分SBA ∠，D 是SC 上一点，且平面DBE ⊥平面SAB .(1)求证：SA BD ⊥；(2)求二面角E BD C --的正弦值.例2．（2022·安徽·校联考二模）如图，将长方形11OAAO （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，其中11,2OA O O ==，劣弧11A B 的长为,6AB π为圆O 的直径.(1)在弧AB 上是否存在点C （1,C B 在平面11OAAO 的同侧），使1BC AB ⊥，若存在，确定其位置，若不存在，说明理由；(2)求平面11A O B 与平面11B O B 夹角的余弦值.例3．（2022·山东东营·胜利一中校考模拟预测）如图，,AB CD 分别是圆台上､下底面的直径，且AB CD ，点E 是下底面圆周上一点，AB =(1)证明：不存在点E 使平面AEC ⊥平面ADE ；(2)若4DE CE ==，求二面角D AE B --的余泫值.例4．（2022·河北·统考模拟预测）如图，在圆台1OO 中，上底面圆1O 的半径为2，下底面圆O 的半径为4，过1OO 的平面截圆台得截面为11ABB A ，M 是弧AB 的中点，MN 为母线，cos NMB ∠=(1)证明：1AB ⊥平面1AOM ； (2)求二面角M NB A --的正弦值.核心考点二：立体几何探索性问题【规律方法】与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角或二面角满足特定要求时的存在性问题．处理原则：先建立空间直角坐标系，引入参数（有些是题中已给出），设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断．【典型例题】例5．（2022·上海虹口·统考一模）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，底面ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，侧面11AAC C 为菱形，点1A 在底面上的投影为AC 的中点D ，且2AB =．(1)求证：1BD CC ⊥；(2)求点C 到侧面11AA B B 的距离；(3)在线段11A B 上是否存在点E ，使得直线DE 与侧面11AA B B 请求出1A E 的长；若不存在，请说明理由．例6．（2022春·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，1AB C 为等边三角形，四边形11AA B B 为菱形，AC BC ⊥，4AC =，3BC =.(1)求证：11AB AC ⊥；(2)线段1CC 上是否存在一点E ，使得平面1AB E 与平面ABC 的夹角的余弦值为14？若存在，求出点E 的位置；若不存在，请说明理由.例7．（2022春·黑龙江绥化·高三海伦市第一中学校考期中）如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 是DC 的中点，将DAE 沿AE 折起，使得点D 到达点P 的位置，且PB ＝PC ，如图2所示．F 是棱PB 上的一点．(1)若F 是棱PB 的中点，求证：//CF 平面P AE ；(2)是否存在点F ，使得二面角F AE C --？若存在，则求出PF FB 的值；若不存在，请说明理由．例8．（2022·广东韶关·统考一模）已知矩形ABCD 中，4AB =，2BC =，E 是CD 的中点，如图所示，沿BE 将BCE 翻折至BFE △，使得平面BFE ⊥平面ABCD .(1)证明：BF AE ⊥；(2)若(01)DP DB λλ=<<是否存在λ，使得PF 与平面DEF 求出λ的值；若不存在，请说明理由.核心考点三：立体几何折叠问题【规律方法】1、处理图形翻折问题的关键是理清翻折前后长度和角度哪些发生改变，哪些保持不变．2、把空间几何问题转化为平面几何问题，把握图形之间的关系，感悟数学本质．【典型例题】例9．（2022春·江苏南通·高三期中）已知梯形ABCD 中，//AD BC ，π2∠=∠=ABC BAD ，24AB BC AD ===，E ，F 分别是AB ，CD 上的点，//EF BC ，AE x =，G 是BC 的中点，沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF ．(1)当2x =时①求证：BD EG ⊥；②求二面角D BF C --的余弦值；(2)三棱锥D FBC -的体积是否可能等于几何体ABE FDC -体积的一半？并说明理由．例10．（2022春·辽宁·高三辽宁实验中学校考期中）如图1，在平面四边形ABCD 中，已知ABDC ，AB DC ∥，142AD DC CB AB ====，E 是AB 的中点．将△BCE 沿CE 翻折至△PCE ，使得2DP =，如图2所示．(1)证明：DP CE ⊥；(2)求直线DE 与平面P AD 所成角的正弦值．例11．（2022春·湖南长沙·高三宁乡一中校考期中）如图，平面五边形P ABCD 中，PAD 是边长为2的等边三角形，//AD BC ，AB ＝2BC ＝2，AB BC ⊥，将PAD 沿AD 翻折成四棱锥P －ABCD ，E 是棱PD 上的动点（端点除外），F ，M 分别是AB ，CE 的中点，且PC =(1)证明：AB FM ⊥；(2)当直线EF 与平面P AD 所成的角最大时，求平面ACE 与平面P AD 夹角的余弦值．例12．（2022·四川雅安·统考模拟预测）如图①，ABC 为边长为6的等边三角形，E ，F 分别为AB ，AC 上靠近A 的三等分点，现将AEF △沿EF 折起，使点A 翻折至点P 的位置，且二面角P EF C --的大小为120°（如图②）．(1)在PC 上是否存在点H ，使得直线//FH 平面PBE ？若存在，确定点H 的位置；若不存在，说明理由． (2)求直线PC 与平面PBE 所成角的正弦值．核心考点四：立体几何作图问题 【规律方法】（1）利用公理和定理作截面图（2）利用直线与平面平行的性质定理作平行线 （3）利用平面与平面垂直作平面的垂线 【典型例题】例13．（2022·贵州·校联考模拟预测）如图，已知平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，112CD CC AC ===，3DCB π∠=且113cos cos 4C CD C CB ∠=∠=.(1)试在平面ABCD 内过点C 作直线l ，使得直线//l 平面1C BD ，说明作图方法，并证明：直线11//l B D ； (2)求点C 到平面1A BD 的距离.例14．（2022秋·河北石家庄·高一石家庄市第十五中学校考期中）如图为一块直四棱柱木料，其底面ABCD 满足：AB AD ⊥，AD BC ∥．(1)要经过平面11CC D D 内的一点P 和棱1BB 将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？（借助尺规作图，并写出作图说明，无需证明）(2)若2AD AB ==，11BC AA ==，当点P 是矩形11CDD C 的中心时，求点1D 到平面1APB 的距离．例15．（2022·全国·高三专题练习）如图多面体ABCDEF 中，面FAB ⊥面ABCD ，FAB 为等边三角形，四边形ABCD 为正方形，//EF BC ，且332EF BC ==，H ，G 分别为CE ，CD 的中点.（1）求二面角C FH G --的余弦值；（2）作平面FHG 与平面ABCD 的交线，记该交线与直线AB 交点为P ，写出APAB的值（不需要说明理由，保留作图痕迹）.例16．（2022·全国·高三专题练习）四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，23DAB π∠=.ACBD O =,且PO ⊥平面ABCD ，PO =点,F G 分别是线段.PB PD 上的中点，E 在PA 上.且3PA PE =.（Ⅰ）求证：//BD 平面EFG ；（Ⅰ）求直线AB 与平面EFG 的成角的正弦值；（Ⅰ）请画出平面EFG 与四棱锥的表面的交线，并写出作图的步骤.核心考点五：立体几何建系繁琐问题 【规律方法】 利用传统方法解决 【典型例题】例17．如图，已知三棱柱-111ABC A B C 的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，M ，N 分别为BC ，11B C 的中点，P 为AM 上一点．过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ． （1）证明：1//AA MN ，且平面⊥1A AMN 平面11EB C F ；（2）设O 为△111A B C 的中心．若//AO 平面11EB C F ，且=AO AB ，求直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值．例18．如图，在锥体-P ABCD 中，ABCD 是边长为1的菱形，且∠=︒60DAB ，==PA PD ，=2PB ，E ，F 分别是BC ，PC 的中点（1）证明：⊥AD 平面DEF （2）求二面角--P AD B 的余弦值．例19．（2022春·福建南平·高三校考期中）在三棱柱111ABC A B C 中，AB AC ⊥，1B C ⊥平面ABC ，E 、F 分别是棱AC 、11A B 的中点.(1)设G 为11B C 的中点，求证：//EF 平面11BCC B ；(2)若2AB AC ==，直线1BB 与平面1ACB 所成角的正切值为2，求多面体1B EFGC -的体积V .核心考点六：两角相等（构造全等）的立体几何问题 【规律方法】 构造垂直的全等关系 【典型例题】例20．如图，已知三棱柱-111ABC A B C 的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，M ，N 分别为BC ，11B C 的中点，P 为AM 上一点．过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ． （1）证明：1//AA MN ，且平面⊥1A AMN 平面11EB C F ；（2）设O 为△111A B C 的中心．若//AO 平面11EB C F ，且=AO AB ，求直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值．例21．如图，在锥体-P ABCD 中，ABCD 是边长为1的菱形，且∠=︒60DAB ，==PA PD ，=2PB ，E ，F 分别是BC ，PC 的中点（1）证明：⊥AD 平面DEF （2）求二面角--P AD B 的余弦值．核心考点七：利用传统方法找几何关系建系【规律方法】利用传统方法证明关系，然后通过几何关系建坐标系． 【典型例题】例22．如图：长为3的线段PQ 与边长为2的正方形ABCD 垂直相交于其中心()O PO OQ >． （1）若二面角P AB Q --的正切值为3-，试确定O 在线段PQ 的位置；（2）在（1）的前提下，以P ，A ，B ，C ，D ，Q 为顶点的几何体PABCDQ 是否存在内切球？若存在，试确定其内切球心的具体位置；若不存在，请说明理由．例23．在四棱锥P ABCD -中，E 为棱AD 的中点，PE ⊥平面ABCD ，//AD BC ，90ADC ∠=︒，2ED BC ==，3EB =，F 为棱PC 的中点．（Ⅰ）求证：//PA 平面BEF ；（Ⅰ）若二面角F BE C --为60︒，求直线PB 与平面ABCD 所成角的正切值．例24．三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，2AB AC ==，侧面11BCC B 为矩形，123A AB π∠=，二面角1A BC A --的正切值为12． （Ⅰ）求侧棱1AA 的长；（Ⅰ）侧棱1CC 上是否存在点D ，使得直线AD 与平面1A BC ，若存在，判断点的位置并证明；若不存在，说明理由．核心考点八：空间中的点不好求 【规律方法】 方程组思想 【典型例题】例25．（2022·江苏南京·模拟预测）已知三棱台111ABC A B C 的体积为143，且π2ABC ∠=，1A C ⊥平面11BB C C . (1)证明：平面11A B C ⊥平面111A B C ；(2)若11AC B C =，11112A B B C ==，求二面角1B AA C --的正弦值.例26．（2022春·浙江·高三浙江省新昌中学校联考期中）如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，3DAB π∠=，平面11BDD B ⊥平面ABCD ，点1,O O 分别为11,B D BD 的中点，1111,,O B A AB O BO ∠∠=均为锐角.(1)求证：1AC BB ⊥；(2)若异面直线CD 与1AA ，四棱锥1A ABCD -的体积为1，求二面角1B AA C --的平面角的余弦值.例27．（2022春·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考期中）如图，在几何体ABCDE 中，底面ABC 为以AC为斜边的等腰直角三角形.已知平面ABC ⊥平面ACD ，平面ABC ⊥平面,//BCE DE 平面,ABC AD DE ⊥.(1)证明；DE ⊥平面ACD ；(2)若22AC CD ==，设M 为棱BE 的中点，求当几何体ABCDE 的体积取最大值时,AM 与CD 所成角的余弦值.核心考点九：创新定义 【规律方法】以立体几何为载体的情境题都跟图形有关，涉及在具体情境下的图形阅读，需要通过数形结合来解决问题．图形怎么阅读一是要读特征，即从图形中读出图形的基本特征；二是要读本质，即要善于将所读出的信息进行提升，实现“图形→文字→符号”的转化；三是要有问题意识，带着问题阅读图形，将研究图形的本身特征和关注题目要解决的问题有机地融合在一起；四是要有运动观点，要“动手”去操作，动态地去阅读图形．【典型例题】例28．（2022·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）已知顶点为S 的圆锥面（以下简称圆锥S ）与不经过顶点S 的平面α相交，记交线为C ，圆锥S 的轴线l 与平面α所成角θ是圆锥S 顶角（圆S 轴截面上两条母线所成角θ的一半，为探究曲线C 的形状，我们构建球T ，使球T 与圆锥S 和平面α都相切，记球T 与平面α的切点为F ，直线l 与平面α交点为A ，直线AF 与圆锥S 交点为O ，圆锥S 的母线OS 与球T 的切点为M ，OM a =，MS b =．(1)求证：平面SOA ⊥平面α，并指出a ，b ，θ关系式； (2)求证：曲线C 是抛物线．例29．（2022·全国·高三专题练习）类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线PA ，PB ，PC 构成的三面角-P ABC ，APC α∠=，BPC β∠=，APB γ∠=，二面角A PC B --的大小为θ，则cos cos cos sin sin cos γαβαβθ=+．（1）当α、π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，证明以上三面角余弦定理；（2）如图2，四棱柱1111ABCD A B C D -中，平面11AA C C ⊥平面ABCD ，160A AC ∠=︒，45BAC ∠=︒， ①求1A AB ∠的余弦值；②在直线1CC 上是否存在点P ，使//BP 平面11DA C ？若存在，求出点P 的位置；若不存在，说明理由．例30．（2022·全国·校联考模拟预测）蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示．蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥H ABC -，J CDE -，K EFA -，再分别以AC ，CE ，EA 为轴将ACH ∆，CEJ ∆，EAK ∆分别向上翻转180︒，使H ，J ，K 三点重合为点S 所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所示．蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于2π减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）．（1）求蜂房曲顶空间的弯曲度；（2）若正六棱柱的侧面积一定，当蜂房表面积最小时，求其顶点S 的曲率的余弦值．【新题速递】1．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，1BC CC =，1AC AB =.(1)证明：平面1ABC ⊥平面11BCC B ；(2)若BC =，1AB B C =，160CBB ∠=︒，求直线1BA 与平面111A B C 所成角的正弦值.2．（2022·四川达州·统考一模）如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，112AB AC BB ===，，160ABB ∠=.(1)证明: 1AB B C ⊥；(2)若12B C =，求1AC 与平面1BCB 所成角的正弦值.3．（2022·陕西宝鸡·统考一模）如图在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 是平行四边形.已知2,1,PA AB AD AC E ====是PB 中点.(1)求证：平面PBC ⊥平面ACE ；(2)求平面PAD 与平面ACE 所成锐二面角的余弦值.4．（2022·广东广州·统考一模）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，平面PBC ⊥平面ABCD ，30,ACD E ∠=为AD 的中点，点F 在PA 上，3AP AF =.(1)证明：PC //平面BEF ；(2)若PDC PDB ∠∠=，且PD 与平面ABCD 所成的角为45，求平面AEF 与平面BEF 夹角的余弦值.5．（2022·上海奉贤·统考一模）如图，在四面体ABCD 中，已知BA BD CA CD ===.点E 是AD 中点.(1)求证：AD ⊥平面BEC ；(2)已知95,arccos,625AB BDC AD ∠===，作出二面角D BC E --的平面角，并求它的正弦值.6．（2022·上海浦东新·统考一模）如图，三棱锥-P ABC 中，侧面P AB 垂直于底面ABC ，PA PB =，底面ABC 是斜边为AB 的直角三角形，且30ABC ∠=︒，记O 为AB 的中点，E 为OC 的中点.(1)求证：PC AE ⊥；(2)若2AB =，直线PC 与底面ABC 所成角的大小为60°，求四面体P AOC 的体积.7．（2022·四川成都·石室中学校考模拟预测）如图，在四棱锥P ABCD -中，AB BD BP ===PA PD ==90APD ∠=︒，E 是棱PA 的中点，且BE 平面PCD(1)证明：CD ⊥平面PAD ；(2)若1CD =，求二面角A PB C --的正弦值.8．（2022春·江苏徐州·高三期末）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，N 为PB 的中点.(1)若点M 在AD 上，2AM MD =，34AD BC =，证明：MN 平面PCD ； (2)若3PA AB AC AD ====，4BC =，求二面角D AC N --的余弦值.9．（2022·陕西汉中·统考一模）如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，60,ABC FA ∠=⊥平面,ABCD ED FA ∥，且22AB FA ED ===.(1)求证：BD FC ⊥；(2)求二面角F AC E --的大小.10．（2022·陕西汉中·统考一模）如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，60,ABC FA ∠=⊥平面,ABCD FA ED ∥，且22AB FA ED ===.(1)求证：BD FC ⊥；(2)求点A 到平面FBD 的距离.11．（2022·四川广安·广安二中校考模拟预测）APD △是等腰直角三角形，AP PD ⊥且AD =ABCD 是直角梯形，AB BC ⊥，DC BC ⊥，且222AB BC CD ===，平面APD ⊥平面ABCD .(1)求证：AP ⊥平面BPD ；(2)若点E 是线段PB 上的一个动点，问点E 在何位置时三棱锥D APE -.12．（2022·四川南充·统考一模）在平面五边形ABCDE 中（如图1），ABCD 是梯形，//AD BC ，2AD BC ==AB =90ABC ∠=︒，ADE 是等边三角形．现将ADE 沿AD 折起，连接EB ，EC 得四棱锥E ABCD -（如图2）且CE =(1)求证：平面EAD ⊥平面ABCD ；(2)在棱EB 上有点F ，满足13EF EB =，求二面角E AD F --的余弦值．13．（2022·贵州贵阳·贵阳六中校考一模）如图，在四棱锥P ABCD -中，DA AB ⊥，PD PC ⊥，PB PC ⊥，1AB AD PD PB ====，4cos 5DCB ∠=.(1)求证：BD ⊥平面PAC .(2)设E 为BC 的中点，求PE 与平面ABCD 所成角的正弦值.14．（2022春·广东广州·高三校考期中）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，//,222AB CD PC AB AD CD ====，点E 在侧棱PB 上.(1)求证：平面EAC ⊥平面PBC ；(2)若平面PAC 与平面ACE PE BE 的值.。

专题08 探究与表达规律（八大题型） 专项讲练1. 解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论.有时候还需要通过类比联想才能找到隐含条件.一般有下列几个类型：1）一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号n 之间的关系. 2）一列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号n 之间的关系.3）图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号n 之间的关系. 4）图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数.5）数形结合的规律：观察前n 项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论. 2. 常见的数列规律：1）1，3，5，7，9，… ，21n -（n 为正整数）． 2） 2，4，6，8，10，…，2n （n 为正整数）． 3） 2，4，8，16，32，…，2n （n 为正整数）． 4）2， 6， 12， 20，…， (1)n n +（n 为正整数）．5）x -，x +，x -，x +，x -，x +，…，(1)n x -（n 为正整数）． 6）特殊数列： ①三角形数：1,3,6,10,15,21，…，(1)2n n +. ②斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，…，从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和.题型1：数列的规律1．（2022·山东烟台·期末）按一定规律排列的单项式：3x ，5x -，7x ，9x -，11x ，……，第n 个单项式是（ ） A ．()211nn x --B ．()1211n n x -+-C ．()1211n n x ---D ．()211nn x +-2．（2022·山东泰安·期中）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…，这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…，这样的数称为“正方形数”．则第5个“三角形数”与第5个“正方形数”的和是（ ） A ．35B ．40C ．45D ．503．（2022·黑龙江牡丹江·九年级期末）按顺序观察下列五个数-1，5，-7，17，-31……，找出以上数据依次出现的规律，则第n 个数是_____________．4．（2021·河北承德·七年级期末）如图，将一列有理数－1，2，－3，4，－5，6，．．．，有序排列，根据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置（C 的位置）是有理数4，那么，“峰5”中C 的位置是有理数_ _，-2021应排在A 、B 、C 、D 、E 中的___位置．其中两个填空依次为（ ）A ．24，EB ．﹣25，EC ．-24，BD ．24，C5．（2022·山东威海·期末）如图，圆的周长为4个单位长度．在该圆周上4等分点处分别标上数字0、1、2、3，让圆周上表示数字0的点与数轴上表示1-的点重合，将该圆沿着数轴的负方向滚动，则数轴上表示数2022-的点对应圆周上的数字是__________．6.（2021•沂南县模拟）观察下列两行数： 0，2，4，6，8，10，12，14，16，… 0，3，6，9，12，15，18，21，24，…探究发现：第1个相同的数是0，第2个相同的数是6，…，若第n 个相同的数是102，则n 等于（ ） A ．20B ．19C ．18D ．17题型2：数表的规律1．（2022·浙江温州·七年级期中）如图数表是由从1开始的连续自然数组成：则第n 行的第一个数是（ ）A ．()211n -+B ．21n -C ．21n -D ．2n n -2．（2022·山东泰安·期中）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，利用如图所示的“三角形”解释二项式()n a b +的展开式的各项系数，此“三角形”称为“杨辉三角”．如()3322233a b a a b ab b +=+++其展开式的系数从左起依次是1，3，3，1，请根据“杨辉三角”计算()8a b +的展开式中从左起第三项的系数为（ ）A ．21B ．56C ．35D ．283．（2022·湖北十堰·七年级期末）将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对（n ， m ）表示第n 排，从左到右第m 个数，如（4，2）表示9，则表示2021的有序数对是（ ）A ．（63，5）B ．（63，59）C ．（64，5）D ．（64，60）4．（2022·湖北恩施·七年级期末）古希腊数学家定义了五边形数，如下表所示，将点按照表中方式排列成五边形点阵，图形中的点的个数即五边形数；图形…五边形数15 12 22 35 51 …将五边形数1，5，12，22，35，51，…，排成如下数表：1第一行512第二行223551第三行……………观察这个数表，则这个数表中的第八行从左至右第2个数为（）A．1332B．1334C．1335D．13365．（2022·全国·九年级专题练习）观察数表：根据数表所反映的规律，第n行第n列交叉点上的数应为_________．6．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校期中）观察下列三行数：－2，4，－8，16，－32，64，…；①－1，5，－7，17，－31，65，…；①1-，1，－2，4，－8，16，…．①2(1)直接写出第①行第七个数是_________，第①行第七个数是________．(2)取每行的第8个数，计算这三个数的和．题型3：算式的规律算式规律这一类没有固定的套路，主要依靠学生对已知算式的观察、总结、逻辑推理，发现期中的规律。

专题08探究三角形全等的判定方法压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一用SAS 证明两三角形全等】 (1)【考点二用ASA 证明两三角形全等】 (3)【考点三用AAS 证明两三角形全等】 (4)【考点四用SSS 证明两三角形全等】 (6)【考点五用HL 证明两直角三角形全等】 (7)【考点六添一个条件使两三角形全等】 (8)【过关检测】 (9)【典型例题】【考点一用SAS 证明两三角形全等】例题：（2023秋·江苏·八年级专题练习）已知：如图，AB AD AC AE ==，，12∠=∠．求证：ABC ADE△△≌【变式训练】1．（2023春·福建福州·七年级福州华伦中学校考期末）已知：如图，点,F C 在线段BE 上，AB DE =，B E ∠=∠，BF EC =．求证：A D ∠=∠．2．（2023秋·浙江杭州·八年级校考开学考试）如图所示，已知ABC 和DAE ，D 是AC 上一点，AD AB =，DE AB ∥，DE AC =，求证：AE BC =．3．（2023春·四川成都·七年级统考期末）如图在ABC 中，D 是BC 边上的一点，AB DB =，BE 平分ABC ∠，交AC 边于点E ，连接DE ．(1)求证：ABE DBE △≌△；(2)若10040A C ∠=︒∠=︒，，求DEC ∠的度数．4．（2023春·山东济南·七年级统考阶段练习）如图，AB BD ⊥，BC BE ⊥，AB DB =，BC BE =，AC 与DE 交于点P ，BC 与DE 交于点O ．(1)ABC 与DBE 全等吗？为什么？(2)试说明AC 与DE 的位置关系．(1)求证：AEC DFB △△≌；(2)若6AEC S = ，求四边形BECF 的面积．【考点二用ASA 证明两三角形全等】例题：（2023春·广东惠州·八年级校考期中）如图，BC EF ∥，点C ，点F 在AD 上，AF DC =，A D ∠=∠．求证：ABC DEF ≌△△．【变式训练】1．（2023·校联考一模）如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，若AD BE =，A EDF ∠=∠，.E ABC ∠=∠求证：AC DF =．2．（2023·浙江温州·温州市第八中学校考三模）如图，在ABC 和ECD 中，90ABC EDC ∠=∠=︒，点B 为CE 中点，BC CD =．(1)求证：ABC ECD ≌△△．(2)若2CD =，求AC 的长．【考点三用AAS 证明两三角形全等】例题：（2023·广东汕头·广东省汕头市聿怀初级中学校考三模）如图，点E 在ABC 边AC 上，AE BC =，BC AD ∥，CED BAD ∠=∠．求证：ABC DEA△△≌【变式训练】1．（2023·浙江温州·统考二模）如图，AB BD =，DE AB ∥，C E ∠=∠．(1)求证：ABC BDE ≅ ．(2)当80A ∠=︒，120ABE ∠=︒时，求EDB ∠的度数．2．（2023秋·八年级课时练习）如图，已知点C 是线段AB 上一点，DCE A B ∠∠∠==，CD CE =．(1)求证：ACD BEC △≌△；(2)求证：AB AD BE =+．【考点四用SSS 证明两三角形全等】例题:（2023·云南玉溪·统考三模）如图，点B E C F ，，，在一条直线上，AB DF AC DE BE CF ===，，，求证：ABC DFC △≌△．【变式训练】1．（2023·云南·统考中考真题）如图，C 是BD 的中点，,AB ED AC EC ==．求证：ABC EDC △≌△．2．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，已知90E F ∠=∠=︒，点B C ，分别在AE AF ，上，AB AC =，BD CD =．(1)求证：ABD ACD △≌△；(2)求证：DE DF =．【考点五用HL 证明两直角三角形全等】例题：（2023·全国·九年级专题练习）如图，在ABC 和DCB △中，BA CA ⊥于A ，CD BD ⊥于D ，AC BD =，AC 与BD 相交于点O ．求证：ABC DCB △≌△．【变式训练】1．（2023春·广东河源·八年级统考期中）如图，点A ，D ，B ，E 在同一直线上，,,90AC EF AD BE C F ︒==∠=∠=．(1)求证：ABC EDF ≅ ；(2)57ABC ∠=︒，求ADF ∠的度数．2．（2023春·七年级单元测试）如图，已知AD BC 、相交于点O ，AB CD =，AM BC ⊥于点M ，DN BC ⊥于点N ，BN CM =．(1)求证：ABM DCN △≌△；(2)试猜想OA 与OD 的大小关系，并说明理由．【考点六添一个条件使两三角形全等】例题：（2023·浙江·八年级假期作业）如图，D 在AB 上，E 在AC 上，且B C ∠=∠，补充一个条件______后，可用“AAS ”判断ABE ACD ≌．【变式训练】1．（2023·北京大兴·统考二模）如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AC DF ∥，BE CF =，只需添加一个条件即可证明ABC DEF ≌△△，这个条件可以是________（写出一个即可）．2．（2023秋·八年级课时练习）如图，已知90A D ∠=∠=︒，要使用“HL ”证明ABC DCB △≌△，应添加条件：_______________；要使用“AAS ”证明ABC DCB △≌△，应添加条件：_______________________．【过关检测】一、单选题1．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，DC AE ⊥，垂足为C ，且AC CD =，若用“HL ”证明ABC DEC ≌△△，则需添加的条件是（）A ．CE BC =B ．AB DE =C ．AD ∠=∠D ．ABC E∠=∠2．（2023春·四川雅安·七年级统考期末）如图，EF CF =，BF DF =，则下列结论错误的是（）A ．BEF DCF△≌△B ．ABC ADE △≌△C ．AB AD =D ．DC AC=3．（2023春·河北保定·七年级校考阶段练习）如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨AB AC =，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，DM ，EM 是连接弹簧和伞骨的支架，且=DM EM ，已知弹簧M 在向上滑动的过程中，总有ADM AEM △≌△，其判定依据是（）A ．ASAB ．AASC ．SSSD ．SSA4．（2023秋·陕西榆林·八年级校考开学考试）如图，点A E F D ，，，在同一直线上，若AB CD ，AB CD =，AE FD =，则图中的全等三角形共有（）A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对二、填空题6．（2023春·山东青岛·七年级统考期末）如图，在数量关系是．7．（2023秋·陕西榆林·八年级校考开学考试）如图，在8．（2023春·陕西榆林·七年级统考期末）F 分别是，BC CD 上的点，且55EAF ∠=︒，则FAG ∠的度数为三、解答题9．（2023春·云南德宏·九年级统考期中）如图，点C ，E ，F ，A 在一条直线上，AF CE =，AD CB =，DE BF =．求证：A C ∠=∠．10．（2023秋·陕西榆林·八年级校考开学考试）如图，在四边形ABCD 中，BC CD =，点E ，F 分别是BC ，CD 的中点，BAE DAF ∠=∠，B D ∠=∠．求证：AE AF =．11．（2023秋·八年级课时练习）如图，ED AB ⊥，FC AB ⊥，垂足分别为D 、C ，AC BD =，AE BF =．求证：AED BFC △≌△．12．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，点B 、F 、C 、E 在直线l 上（F 、C 之间不能直接测量），点A 、D 在l 异侧，测得AB DE =，AB DE ∥，A D ∠=∠．(1)求证：ABC DEF ≌△△；(2)若10m BE =，3m BF =，求FC 的长度．13．（2023·全国·八年级假期作业）如图，点A 、D 、C 、F 在同一条直线上，AD CF =，AB DE =，BC EF =．(1)求证：ABC DEF ≌△△；(2)若60A ∠=︒，88B ∠=︒，求F ∠的度数．14．（2023春·海南海口·七年级海师附中校考期末）如图，在ABC ∆和ADE ∆中，90BAC DAE ∠=∠=︒，,AB AC AD AE ==，点C D E 、、三点在同一直线上，连接BD 交AC 于点F ．(1)求证：ΔΔBAD CAE ≌；(2)猜想,BD CE 有何特殊位置关系，并说明理由．15．（2023春·陕西西安·七年级校考期末）如图，ABC 的两条高AD 与BE 交于点O ，AD BD =，6AC =．(1)求BO 的长；(2)F 是射线BC 上一点，且CF AO =，动点P 从点O 出发，沿线段OB 以每秒1个单位长度的速度向终点B 运动，同时动点Q 从点A 出发，沿射线AC 以每秒4个单位长度的速度运动，当点P 到达点B 时，P ，Q 两点同时停止运动，设运动时间为t 秒，当AOP 与FCQ 全等时，求t 的值．16．（2023春·甘肃张掖·七年级校考期末）已知ABC ，点D F 、分别为线段AC AB 、上两点，连接BD CF 、交于点E ．(1)若,BD AC CF AB ⊥⊥，如图1所示，直接写出BAC BEC ∠+∠的值；(2)若BD 平分,ABC CF ∠平分ACB ∠，如图2所示，试说明此时BAC ∠与BEC ∠的数量关系；(3)在（2）的条件下，若60BAC ∠= ，试说明：EF ED =．。

08中考数学复习探索性问题专题中考百分百——备战2008中考专题(探索性问题专题)一、知识网络梳理探索是人类认识客观世界过程中最生动、最活跃的思维活动，探索性问题存在于一切学科领域之中，在数学中则更为普遍．初中数学中的“探索发现”型试题是指命题中缺少一定的题设或未给出明确的结论，需要经过推断、补充并加以证明的命题，它不像传统的解答题或证明题，在条件和结论给出的情景中只需进行由因导果或由果导因的工作，从而定格于“条件——演绎——结论”这样一个封闭的模式之中，而是必须利用题设大胆猜想、分析、比较、归纳、推理，或由条件去探索不明确的结论；或由结论去探索未给予的条件；或去探索存在的各种可能性以及发现所形成的客观规律．通常情景中的“探索发现”型问题可以分为如下类型：1．条件探索型——结论明确，而需探索发现使结论成立的条件的题目．2．结论探索型——给定条件但无明确结论或结论不惟一，而需探索发现与之相应的结3．4． 以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用． 二、 知识运用举例 （一）、条件探索型例1．（2007呼和浩特市）在四边形ABCD 中，顺次连接四边中点E F G H ，，，，构成一个新的四边形，请你对四边形ABCD 填加一个条件，使四边形EFGH成为一个菱形．这个条件是 __ ．解：AC BD 或四边形ABCD 是等腰梯形（符合要求的其它答案也可以）例2．（2007荆门市）将两块全等的含30°角的A BD EFGH C三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边为1．（1）四边形ABCD 是平行四边形吗？说出你的结论和理由：________________________． （2）如图2，将Rt △BCD 沿射线BD 方向平移到Rt △B 1C 1D 1的位置，四边形ABC 1D 1是平行四边形吗？说出你的结论和理由：_________________________________________．（3）在Rt △BCD 沿射线BD 方向平移的过程中，当点B 的移动距离为______时，四边形ABC 1D 1为矩形，其理由是图CADB 图CADB 图D 1C 1B 1CADB 图30︒30︒B DAC_____________________________________；当点B的移动距离为______时，四边形ABC1D1为菱形，其理由是_______________________________．(图3、图4用于探究)解：（1）是，此时AD BC，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（2）是，在平移过程中，始终保持AB C 1D1，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（3）3，此时∠ABC1＝90°，有一个角是直角的平行四边形是矩形．3D与点B1重合，AC1⊥BD1，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．例3．（2006广东）如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，BC∥OA，OA＝7，AB＝4，∠COA＝60°，点P为x轴上的—个动点，点P不与点0、点A重合．连结CP，过点P作PD交AB于点D．（1）求点B的坐标；（2）当点P运动什么位置时，△OCP为等腰三角形，求这时点P的坐标；（3）当点P 运动什么位置时，使得∠CPD ＝∠OAB ，且AB BD ＝85，求这时点P 的坐标． [解析]（1）；过C 作CD ⊥OA 于A ，BE ⊥OA 于E则△OCD ≌△ABE ，四边形CDEB 为矩形 ∴OD ＝AE ，CD ＝BE ∵OC ＝AB ＝4，∠COA ＝60° ∴CD ＝23，OD ＝2 ∴CB ＝DE ＝3 ∴OE ＝OD ＋DE ＝5 ∵BE ＝CD ＝23 ∴B （5，23）（2）∵∠COA ＝60°，△OCP 为等腰三角形 ∴△OCP 是等边三角形 ∴OP ＝OC ＝4 ∴P （4，0）即P 运动到（4，0）时，△OCP 为等腰三角形 （3）∵∠CPD ＝∠OAB ＝∠COP ＝60°∴∠OPC ＋∠DPA ＝120° 又∵∠PDA ＋∠DPA ＝120° ∴∠OPC ＝∠PDA ∵∠OCP ＝∠A ＝60° ∴△COP ∽△PAD∴OP OCAD AP=∵58BD AB =，AB ＝4 ∴BD ＝52 ∴AD ＝32 即4372OP OP =-∴276OP OP-=得OP ＝1或6∴P 点坐标为（1，0）或（6，0）（二）、结论探索型例4．（2007云南省）已知：如图，四边形ABCD是矩形（AD ＞AB ），点E 在BC 上，且AE＝AD ，DF ⊥AE ，垂足为F ． 请探求DF 与AB 有何数量关系？写出你所得到的结论并给予证明．解：经探求，结论是：DF ＝ AB ．FA D CE B证明如下：∵四边形ABCD 是矩形， ∴ ∠B＝90 ， AD ∥BC ，∴ ∠DAF＝∠AEB ．∵ DF ⊥AE ， ∴ ∠AFD ＝90，∵ AE ＝ AD ， ∴ △ABE ≌△DFA ．∴ AB ＝ DF ．例5．（2007北京市）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；（2）如图，在ABC △中，点D E ，分别在AB AC ，上， 设CD BE ，相交于点O ，若60A ∠=°，12DCB EBC A ∠=∠=∠． 请你写出图中一个与A ∠相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；BO ADEC（3）在ABC △中，如果A ∠是不等于60°的锐角，点D E ，分别在AB AC ，上，且12DCB EBC A ∠=∠=∠．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．解：（1）回答正确的给1分（如平行四边形、等腰梯形等）．（2）答：与A ∠相等的角是BOD ∠（或COE ∠）． 四边形DBCE 是等对边四边形．（3）答：此时存在等对边四边形，是四边形DBCE ． 证法一：如图1，作CG BE ⊥于G 点，作BF CD ⊥交CD 延长线于F 点．因为12DCB EBC A ∠=∠=∠，BC 为公共边， 所以BCF CBG △≌△． 所以BF CG =．因为BDF ABE EBC DCB ∠=∠+∠+∠，BEC ABE A∠=∠+∠，所以BDF BEC ∠=∠． 可证BDF CEG △≌△． 所以BD CE =．所以四边形DBCE 是等边四边形．证法二：如图2，以C 为顶点作FCB DBC ∠=∠，CF 交BEBO ADECF图G于F 点． 因为12DCB EBC A∠=∠=∠，BC 为公共边，所以BDC CFB △≌△． 所以BD CF =，BDC CFB ∠=∠． 所以ADC CFE ∠=∠．因为ADC DCB EBC ABE ∠=∠+∠+∠，FEC A ABE∠=∠+∠，所以ADC FEC ∠=∠． 所以FEC CFE ∠=∠． 所以CF CE =． 所以BD CE =．所以四边形DBCE 是等边四边形．说明：当AB AC =时，BD CE =仍成立．只有此证法，只给1分．例6．（07山东滨州）如图1所示，在ABC △中，2AB AC ==，90A =∠，O 为BC 的中点，动点E 在BA 边上自由移动，动点F 在AC 边上自由移动． （1）点E F ，的移动过程中，OEF △是否能成为45EOF =∠的等腰三角形？若能，请指出OEF △为等BOADECF 图腰三角形时动点E F ，的位置．若不能，请说明理由．（2）当45EOF =∠时，设BE x =，CF y =，求y 与x 之间的函数解析式，写出x 的取值范围．（3）在满足（2）中的条件时，若以O 为圆心的圆与AB 相切（如图2），试探究直线EF 与O的位置关系，并证明你的结论．解：如图，（1）点E F ，移动的过程中，OEF △能成为45EOF ∠=°的等腰三角形．此时点E F ，的位置分别是： ①E 是BA 的中点，F 与A 重合．②BE CF ==E 与A 重合，F 是AC 的中点． （2）在OEB △和FOC △中，图1 图2B135EOB FOC ∠+∠=°，135EOB OEB ∠+∠=°，FOC OEB∠=∠∴． 又B C ∠=∠∵，OEB FOC ∴△∽△．BE BOCO CF=∴．BE x=∵，CF y =，OB OC ===2(12)y x x=∴≤≤．（3）EF 与O相切．OEB FOC ∵△∽△，BE OECO OF =∴． BE OEBO OF=∴．即BE BO OE OF=． 又45B EOF ∠=∠=∵°，BEO OEF ∴△∽△．BEO OEF∠=∠∴．∴点O 到AB 和EF 的距离相等． AB ∵与O相切，∴点O 到EF 的距离等于O的半径．EF∴与O相切．（三）、存在探索型存在性探索问题是指在某种题设条件下，判断具有某种性质的数学对象是否存在的一类问题.解题的策略与方法是：先假设数学对象存在，以此为条件进行运算或推理.若无矛盾，说明假设正确，由此得出符合条件的数学对象存在；否则，说明不存在．例7．(2006山东省威海市)抛物线y＝ax2＋bx ＋c (a≠0)过点A（1，－3），B（3，－3），C （－1，5），顶点为M点．⑴求该抛物线的解析式．⑵试判断抛物线上是否存在一点P，使∠POM＝90︒.若不存在，说明理由；若存在，求出P点的坐标．解：⑴y＝x2-4x图2-2-33⑵易求得顶点M的坐标为(2，-4)．设抛物线上存在一点P，使OP⊥OM，其坐标为(a，a2-4a)．过P作PE⊥y轴，垂足为E；过M点作MF ⊥y轴，垂足为F，则∠POE ＋∠MOF ＝90︒，∠POE ＋∠EPO ＝90.∴∠EPO ＝∠FOM ．∵∠OEP ＝∠MFO ＝90︒，∴Rt △OEP ∽Rt △MFO ．∴OE ∶MF ＝EP ∶OF .即(a 2 -4a )∶2＝a ∶4.解得a 1 ＝0(舍去)，a 2 ＝29． 故抛物线上存在一点P ，使∠POM ＝90︒，P点的坐标为(29，49)例8．(2006武汉市)已知：二次函数y ＝x 2 -(m ＋1)x ＋m 的图象交x 轴于A (x 1，0)、B (x 2，0)两点，交y 轴正半轴于点C ，且x 12 ＋x 22 ＝10．⑴求此二次函数的解析式；⑵是否存在过点D (0，-25)的直线与抛物线交于点M 、N ，与x 轴交于点E ，使得点M 、N 关于点E 对称？若存在，求直线MN 的解析式；若不存在，请说明理由．分析与解答 ⑴依题意，得x 1x 2＝m ，x 12 ＋x 22 ＝10，∵x 1 ＋x 2 ＝ m ＋1，∴(x 1 ＋x 2)2 -2x 1x 2 ＝10，∴(m ＋1)2 -2m ＝10，m ＝3或m ＝ -3，又∵点C 在y 轴的正半轴上，∴m ＝3． ∴所求抛物线的解析式为y ＝x 2 -4x ＋3． ⑵假设存在过点D (0，-25)的直线与抛物线交于M (x M ，y M )、N (x N ，y N )两点，与x 轴交于点E ，使得M 、N 两点关于点E 对称．∵M 、N 两点关于点E 对称，∴y M ＋y N ＝0. 设直线MN 的解析式为：y ＝kx -25． 由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=.25-kx y 3x 4x y 2，得x 2 -(k ＋4)x ＋211＝0，∴x M ＋x N ＝4＋k ，∴y M ＋y N ＝k (x M ＋x N )-5＝0．∴k (k ＋4)-5＝0，∴k ＝1或k ＝ -5．当k ＝-5时，方程x 2 -(k ＋4)x ＋211＝0的判别式⊿＜0，∴k ＝1，∴直线MN 的解析式为y ＝x -25． ∴存在过点D (0，-25)的直线与抛物线交于M 、N 两点，与x 轴交于点E ，使得M 、N 两点关于点E 对称．例9．（2007乐山）如图（13），在矩形ABCD 中，4AB =，10AD =．直角尺的直角顶点P 在AD 上滑动时（点P 与A D ，不重合），一直角边经过点C ，另一直角边AB交于点E．我们知道，结论“Rt Rt AEP DPC △∽△”成立． （1）当30CPD =∠时，求AE 的长；（2）是否存在这样的点P ，使DPC △的周长等于AEP△周长的2倍？若存在，求出在，请说明理由．解（1）在Rt PCD △中，由tan CD CPD PD=∠， 得44tan tan 30CD PD CPD ===∠10AP AD PD ∴=-=-由AEP DPC △∽△知AE APPD CD=，1012AP PDAE CD∴==．（2）假设存在满足条件的点P ，设DP x =，则10AP x =- 由AEP DPC △∽△知2CD AP=， 4210x∴=-，解得8x =，此时2AP =，4AE =符合题意．（四）、规律探索型规律探索问题是根据已知条件或所提供的若干个特例，通过观察、类比、归纳，提示和发图现题目所蕴含的本质规律与特征的一类探索性问题．例10．(2006湖南衡阳)观察算式：1＝12；1＋3＝4＝22；1＋3＋5＝9＝32；1＋3＋5＋7＝16＝42；1＋3＋5＋7＋9＝25＝52 ；……用代数式表示这个规律(n为正整数)：1＋3＋5＋7＋9＋＋(2n-1)＝______________________．分析与解答由以上各等式知，等式左端是从1开始的连续若干个奇数之和，右端是左端奇数个数的平方，由此易得1＋3＋5＋7＋…＋(2n-1)＝n2.填n2．例11 （2006吉林省）如图2－2－1，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，第n个图案中白色瓷砖数为___________．图2-2-1分析与解答根据图形提供的信息探索规律，是近几年较流行的一种探索规律型问题.解决这类问题，首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加(或倍数)情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．第1个图案有白色瓷砖5(即2＋3⨯1)块；第2个图案有白色瓷砖8(即2＋3⨯2)块；第3个图案有白色瓷砖11(即2＋3⨯3)块. 由此可得，第n 个图案有白色瓷砖(2＋3n)块. 填3n＋2．例12．（2007资阳）设a1＝32－12，a2＝52－32，…，a n＝(2n＋1)2－(2n－1)2 (n为大于0的自然数)．（1）探究a n是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”. 试找出a1，a2，…，a n，…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n满足什么条件时，a n为完全平方数(不必说明理由) ．解：（1）∵a n＝(2n＋1)2－(2n－1)2＝22n n n n n，4414418又n为非零的自然数，∴a n是8的倍数．这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是8的倍数．说明：第一步用完全平方公式展开各1分，正确化简1分．（2）这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16，64，144，256．n为一个完全平方数的2倍时，a n为完全平方数．三、················知识巩固训练（题组训练）1．（2006年山东省）如图，△ABC中，D、E 分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O．给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD．（1）上述三个条件中，哪两个条件．．．．可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）；（2）选择第（1）小题中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形．2．（2006年随州市）如图，矩形ABCD中，M 是AD的中点．（1）求证：△ABM≌△DCM；（2）请你探索，当矩形ABCD中的一组邻边满足何种数量关系时，有BM⊥CM成立，说明你的理由．3．如图，在△ABC中，D为BC上一个动点（D 点与B、C不重合），且DE∥AC交AB•于点E，DF∥AB交AC于点F．（1）试探究，当AD满足什么条件时，四边形AEDF是菱形？并说明理由．（2）在（1）的条件下，△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？请说明理由．4．如图，AB是⊙O的直径，EF是⊙O的切线，切点是C．点D是EF上一个动点，连接AD．试探索点D运动到什么位置时，AC是∠BAD的平分线，请说明理由．5．（2006年成都市）已知：如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC•延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连结AE、CF．（1）求证：AF＝CE；（2）若AC＝EF，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论．6．（2006年常德市）如图，P是等边三角形ABC 内的一点，连结PA、PB、PC，以BP•为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连结CQ．（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．（2）若PA：PB：PC＝3：4：5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．7．如图，AB是⊙O的直径，AD、BC、DC都是⊙O的切点，A、B、E分别是切点．（1）判定△COD的形状，并说明理由．（2）设AD＝a，BC＝b，⊙O的半径为r，试探究r与a，b之间满足的关系式，并说明理由．8．（2006年绵阳市）在正方形ABCD中，点P 是CD上一动点，连结PA，分别过点B、D 作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分别为E、F，如图①．（1）请探索BE、DF、EF这三条线段长度具有怎样的数量关系．若点P在DC•的延长线上（如图②），那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点P在CD•的延长线上呢（如图③）？请分别直接写出结论；（2）请在（1）中的三个结论中选择一个加以证明．9．（2007云南省）已知：如图，抛物线2=++经y ax bx c过(1,0)B、(0,5)A、(5,0)C三点．（1）求抛物线的函数关系式；（2）若过点C的直线y kx b=+与抛物线相交于点E（4，m），请求出△CBE的面积S的值；（3）在抛物线上求一点P使得△ABP0为等腰三角形并写出P点的坐标；（4）除（3）中所求的P点外，在抛物线上是否还存在其它的点P使得△ABP为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点P（要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点P，请说明理由．Array10．（2007呼和浩特市）如图，在矩形ABCD中，AB =1AD =．点P 在AC 上，PQ BP ⊥，交CD 于Q ，PE CD ⊥，交于CD 于E ．点P 从A 点（不含A ）沿AC 方向移动，直到使点Q 与点C 重合．．为止． （1）设AP x =，PQE △的面积为S ．请写出S 关于x 的函数解析式，并确定x 的取值范围．（2）点P 在运动过程中，PQE △的面积是否有最大值，若有，请求出最大值及此时AP 的取值；若无，请说明理由．11．（2007成都市）在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2(0)y axbx c a =++≠的图象与x 轴交于A B，两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C，其BQED顶点的横坐标为1，且过点(23)，和(312)，．--（1）求此二次函数的表达式；（2）若直线:(0)l y kx k=≠与线段BC交于点D（不与点，重合），则是否存在这样的直线l，使得以B C△相似？若存在，求，，为顶点的三角形与BACB O D出该直线的函数表达式及点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是位于该二次函数对称轴右边图象上∠ACO坐标x的取值范围．p12（2007绵阳市）如图，已知抛物线y＝ax2 ＋bx－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为5．设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E．（1）求m的值及抛物线的解析式；（2）设∠DBC＝α，∠CBE＝β，求sin （α－β）的值；（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．13（07日照）如图，直线EF将矩形纸片ABCD 分成面积相等的两部分，E、F分别与BC交于点E，与AD交于点F（E，F不与顶点重合），设AB＝a，AD＝b，BE＝x．(Ⅰ)求证：AF＝EC；(Ⅱ)用剪刀将纸片沿直线EF剪开后，再将纸片ABEF沿AB对称翻折，然后平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底边重合，直腰落在边DC的延长线上，拼接后，下方的梯形记作EE′B′C．（1）求出直线EE′分别经过原矩形的顶点A和顶点D时，所对应的x︰b的值；（2）在直线EE′经过原矩形的一个顶点的情形下，连接B E′，直线BE′与EF是否平行？你若认为平行，请给予证明；你若认为不平行，请你说明当a与b满足什么关系时，它们垂直？14．(2006江西省）如图2－2－2，用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一列图案：……第1个第2个第3个图2-2-2⑴第4个图案中有白色纸片___________张；⑵第n个图案台有白色纸片___________张．15．(2006广西贺州市)观察图2－2－3中一列有规律的数，然后在“？”处填上一个合适的数，这个数是______________．16．(2006广西百色市)如图2－2－4，A 1A 2B 是直角三角形，且A 1A 2＝A 2B ＝a ，A 2A 3⊥A 1B ，垂足为A 3，A 3A 4⊥A 2B ，垂足为A 4，A 4A 5⊥A 3B ，垂足为A 5，……，A n ＋1A n ＋2⊥A n B ，垂足为A n ＋2，则线段A n ＋1A n ＋2(n 为自然数)的长为（ ）． （A ） n)2(a（B（C ）2a（D ）2na17．(2006江苏泰州市)如图2－2－5，每个正方形点阵均被一直线分成两个三角形点阵，根据图中提供的信息，用含n 的等式表示第n 个正方形点阵中的规律_______．图2-2-5 (2)11=2363+=26104+=2132+=A 2A 1A 3 A 4A 6A 5B图2-2-42415 830 35 48？图2-2-318．(2006浙江绍兴市)如图2－2－6，将边长为1的正方形OAPB 沿x 轴正方向连续翻转2 006次，点P 依次落在点P 1，P 2，P 3，P 4，…，P 2006的位置，则P 2006的横坐标x 2006＝_______________．19．（2007内江）如图（11），某小区有东西方向的街道3条，南北方向的街道4条，从位置A 出发沿街道行进到达位置B ，要求路程最短，研究共有多少种不同的走法．小东是这样想的：要使路程最短，就不能走“回头路”，只能分五步来完成，其中三步向右行进，两步数字“2”表示向上行进，那么“11221”与“11212”就表示两种符合要求的不同走法，请你思考后回答：符合要求的不同走法共有________种．图2-2-6B图A20．（2007内江）探索研究（1）观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是________；根据此规律，如果na （n为正整数）表示这个数列的第n 项，那么18a =________，na =________；（2）如果欲求232013333+++++的值，可令232013333S =+++++……………………………………………………① 将①式两边同乘以3，得_______________________………………………………………………………② 由②减去①式，得S =____________________．（3）用由特殊到一般的方法知：若数列123na a a a ，，，，，从第二项开始每一项与前一项之比的常数为q ，则na =________（用含1a q n ，，的代数式表示），如果这个常数1q ≠，那么123n a a a a ++++=________（用含1a q n ，，的代数式表示）．21．（07自贡）一个叫巴尔末的中学教师成功地从光谱数据59，1216，2125，3236，…中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥秘的大门，请你按照这种规律，写出第n （n ≥1）个数据是___________．22．（2007德阳）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“ ”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0）根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为____________．23．（2007河南省）将图①所示的正六边形进))) ) )第17行进行分割得到图②，再将图②中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到图③， 再将图③中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割…，则第n 个图形中，共有________个正六边形．24．（2007安徽省）探索n ×n 的正方形钉子板上(n 是钉子板每边上的钉子数)，连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数：当n ＝2时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1与2，所以不同长度值的线段只有2种，图图图(第…若用S 表示不同长度值的线段种数，则S ＝2；当n ＝3时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1，2五种，比n ＝2时增加了3种，即S ＝2＋3＝5．(1) 观察图形，填写下表：(2) 写出(n －1)×(n －1)和n ×n 的两个钉子板上，不同长度值的线段种数之间的关系；(用式子或语言表述均可) 【解】（3）对n ×n 的钉子板，写出用n 表示S 的代数式．【解】25．（07贵阳市）如图12，平面内有公共端点的六条射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF ，从射线OA 开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…．（1）“17”在射线________（2 （3）“200726．（07无锡）图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层．将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为(1)1232n n n +++++=．图1 图2图3 图4如果图1中的圆圈共有12层，（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数1234，，，，，则最底层最左边这个圆圈中的第2第1…… 第n数是 ；（2）我们自上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数23-，22-，21-，，求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和．27．（07乐山）如图（15），在直角坐标系中，已知点0P 的坐标为(10)，，将线段0OP 按逆时针方向旋转45，再将其长度伸长为0OP 的2倍，得到线段1OP ；又将线段1OP 按逆时针方向旋转45，长度伸长为1OP的2倍，得到线段2OP ；如此下去，得到线段3OP ，4OP ，，n OP （n 为正整数）（1）求点6P 的坐标； （2）求56POP △的面积；（3）我们规定：把点()nnnP x y ，的横坐标nx 、纵坐标ny 标()nnxy ，称之为点nP 的“绝对坐标”．根据图中点nP 的分布规律，请你猜想点nP 的“绝对坐标”，并写出来．28．（07山东东营）根据以下10个乘积，回答问题：11×29； 12×28； 13×27； 14×26；5P15×25；16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．（1）试将以上各乘积分别写成一个“□2－○2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；（2）将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；（3）试由⑴、⑵猜测一个一般性的结论．（不要求证明）答案：1．答案不惟一，符合题意即可．2．（1）略（2）当AD＝2AB时，有BM•⊥CM成立．说明理由（略）3．（1）当AD平分∠BAC时，四边形AEDF 是菱形．理由（略）（2）在（1）的条件下，当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形．说明理由（略）4．当点D•运动到满足条件AD⊥EF时，AC平分∠BAD．证明（略）5．（1）证明△ADF≌△CDE即可（2）四边形AFCE是矩形．（证明略）6．（1）证明△BPA≌△BQC，AP＝CQ （2）△PQC是直角三角形，∵PA：PB：PC＝3：4：5，设PA＝3k，PB＝4k，PC＝5k，∵∠PBQ＝60°，BP＝BQ，∴△PBQ是等边三角形，∴PQ＝PB＝4k，在△PQC中，∵PQ2＋QC2＝（4k）2＋（3k）2＝25k2，PC2＝（5k）2＝25k2，∴PQ2＋QC2＝PC2，∴△PQC是Rt△．7．（1）△COD是直角三角形，连OE，由圆的切线的性质可证得：•△OAD ≌△OED ，△OEC ≌△OBC ，∴∠AOD ＝∠EOD ，∠EOC ＝∠BOC ，可证得∠DOC ＝90°，•所以△COD 是直角三角形．（2）r 与a 、b 之间满足的关系是r 2＝ab ．证明△OAD ∽△CBO ，得OA AD BC OB =，OA ·OB ＝AD ·BC 即r 2＝ab ． 8．解：（1）①BE ＝DF ＋EF ，②BE ＝DF －EF ，③EF ＝BE ＋DF ． （2）•证明略．9．解：（1）∵抛物线经过点(1,0)A 、(5,0)B ，∴(1)(5)y a x x =--． 又∵抛物线经过点(0,5)C ， ∴55a =，1a =．∴抛物线的解析式为2(1)(5)65y x x x x =--=-+．（2）∵E 点在抛物线上，∴m ＝ 42–4×6＋5 ＝ －3． ∵直线y ＝ kx ＋b 过点C （0， 5）、E （4， –3），∴5,4 3.b k b =⎧⎨+=-⎩解得k ＝ －2，b ＝ 5． 设直线y ＝－2x ＋5与x 轴的交点为D ，当y ＝0时，－2x ＋5＝0，解得x ＝52． ∴D 点的坐标为（52，0）． ∴S ＝S △BDC ＋ S △BDE＝1515(5)5+(5)32222⨯-⨯⨯-⨯ ＝10．（3）∵抛物线的顶点0(3,4)P -既在抛物线的对称轴上又在抛物线上，∴点0(3,4)P -为所求满足条件的点．（4）除0P 点外，在抛物线上还存在其它的点P使得△ABP 为等腰三角形．理由如下： ∵22024254AP BP ==+=>，∴分别以A 、B 为圆心半径长为4画圆，分别与抛物线交于点B 、1P 、2P 、3P 、A 、4P 、5P 、6P ，除去B 、A 两个点外，其余6个点为满足条件的点．（说明：只说出P 点个数但未简要说明理由的不给分）10．解：（1）解：过点P 作PF BC ⊥，垂足为F ． 在矩形ABCD 中，PF AB ∥ PFC ABC ∴△∽△ FC PC PFBC AC AB ==∴ 又AP x =∵，1BC AD ==，AB = 又∵在Rt ABC △中，3AC ==3PC x =-313FC x -=∴ 33xFC -=∴3133x xBF BC FC -=-=-=∴又PE CD ⊥∵ 90PEC ∠=∴°又在四边形PFCE 中，90PFC BCD PEC ∠=∠=∠=°∴四边形PFCE 为矩形90FPE ∠=∴°又PQ BP ⊥∵ 90BPQ ∠=∴°FPE BPQ ∠=∠∴ EPQ QPF BPF FPQ ∠+∠=∠+∠∴ EPQ BPF ∠=∠∴ 又90PEQ BFP ∠=∠=° PEQ PFB ∴△∽△ EQ PEBF PF=∴ 又PE FC = EQ FCBF PF =∴ 又FC PFBC AB=FC BC PF AB =∴EQ BCBF AB=∴ BC BFEQ AB=·∴3x EQ ==∴113223x S EQ PE -==∴··27224S x x =+∴或23)72S xx =-+过点B 作BK AC ⊥，垂足为K ． 在Rt ABC △中，由等积法可得1122AC BK AB BC =·· AC BK AB BC =∴··31BK ⨯=BK ∴由题意可得当Q 与C 重合时，P 与K 重合即AP AK =，由ABK ABC △∽△得AK AB BK BC =即2x = 83x =∴ x∴的取值范围是803x <≤（2）PQE △面积有最大值由（1）可得2S x =2372232x ⎫=--+⎪⎝⎭∴当32x =即32AP =时， S面积最大，即32S=最大11．解：（1）二次函数图象顶点的横坐标为1，且过点(23)，和(312)--，，∴由1242393212.ba abc a b ⎧-=⎪⎪++=⎨⎪-+=-⎪⎩，， 解得123.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，，∴此二次函数的表达式为223y x x =-++．（2）假设存在直线:(0)l y kx k =≠与线段BC 交于点D （不与点B C ，重合），使得以B O D ，，为顶点的三角形与BAC △相似． 在223y xx =-++中，令0y =，则由2230xx -++=，解得1213x x =-=， (10)(30)A B ∴-，，，．令0x =，得3y =．(03)C ∴，． 设过点O 的直线l 交BC 于点D ，过点点E ．点B 的坐标为(30)，，点C 的坐标为(03)，为(10)-，．4345.AB OB OC OBC ∴===∠=，，BC ∴==．要使BOD BAC △∽△或BDO BAC △∽△，已有B B ∠=∠，则只需BD BO BC BA=， ① 或.BO BDBC BA= ②成立．若是①，则有344BO BC BD BA ⨯===．而45OBC BE DE ∠=∴=，．∴在Rt BDE△中，由勾股定理，得2222224BE DE BE BD ⎛⎫+=== ⎪ ⎪⎝⎭．解得 94BE DE ==（负值舍去）． 93344OE OB BE ∴=-=-=．∴点D 的坐标为3944⎛⎫⎪⎝⎭，． 将点D 的坐标代入(0)y kx k =≠中，求得3k =．∴满足条件的直线l 的函数表达式为3y x =．［或求出直线AC 的函数表达式为33y x =+，则与直线AC 平行的直线l 的函数表达式为3y x =．此时易知BOD BAC△∽△，再求出直线BC 的函数表达式为3y x =-+．联立33y x y x ==-+，求得点D 的坐标为3944⎛⎫⎪⎝⎭，．］ 若是②，则有32BO BA BD BC===． 而45OBC BE DE ∠=∴=，．∴在Rt BDE△中，由勾股定理，得222222BE DE BE BD +===．解得 2BE DE ==（负值舍去）．321OE OB BE ∴=-=-=．∴点D 的坐标为(12)，．将点D 的坐标代入(0)y kx k =≠中，求得2k =．∴满足条件的直线l 的函数表达式为2y x =． ∴存在直线:3l y x =或2y x =与线段BC 交于点D （不与点B C，重合），使得以B O D ，，为顶点的三角形与BAC△相似，且点D 的坐标分别为3944⎛⎫ ⎪⎝⎭，或(12)，． （3）设过点(03)(10)C E ，，，的直线3(0)y kx k =+≠与该二次函数的图象交于点P ．将点(10)E ，的坐标代入3y kx =+中，求得3k =-． ∴此直线的函数表达式为33y x =-+．设点P 的坐标为(33)x x -+，，并代入223y x x =-++，得250x x -=．解得1250xx ==，（不合题意，舍去）．512x y ∴==-，．∴点P 的坐标为(512)-，．此时，锐角PCO ACO ∠=∠． 又二次函数的对称轴为1x =，∴点C 关于对称轴对称的点C '的坐标为(23)，． ∴当5px>时，锐角PCO ACO ∠<∠； 当5px=时，锐角PCO ACO ∠=∠；当25px<<时，锐角PCO ACO ∠>∠．12．解：（1）由题意可知C （0，－3），12=-ab ，∴ 抛物线的解析式为y ＝ ax 2－2ax －3（a ＞0）， 过M 作MN ⊥y 轴于N ，连结CM ，则MN ＝ 1，5=CM ，∴ CN ＝ 2，于是m ＝－1． 同理可求得B （3，0），∴ a ×32－2－2a ×3－3 ＝ 0，得 a ＝1，∴ 抛物线的解析式为y ＝ x 2－2x －3． （2）由（1）得 A （－1，0），E （1，－4），D （0，1）．xBEA O C 1x =PC '·∴ 在Rt △BCE 中，23=BC ，2=CE ， ∴313==OD OB ，3223==CE BC ，∴CEBCOD OB =，即CEODBC OB =，∴ Rt △BOD ∽Rt △BCE ，得 ∠CBE＝∠OBD ＝β，因此 sin （α－β）＝ sin （∠DBC －∠OBD ）＝ sin ∠OBC ＝22=BCCO ．（3）显然 Rt △COA ∽Rt △BCE ，此时点P 1（0，0）．过A 作AP 2⊥AC 交y 正半轴于P 2，由Rt △CAP 2 ∽Rt △BCE ，得)31,0(2P ． 过C 作CP 3⊥AC 交x 正半轴于P 3，由Rt △P 3CA ∽Rt △BCE ，得P 3（9，0）．故在坐标轴上存在三个点P 1（0，0），P 2（0，1∕3），P 3（9，0），使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与BCE 相似．13．解：(Ⅰ)证明：∵AB ＝a ，AD ＝b ，BE ＝x ，S 梯形ABEF ＝ S 梯形CDFE ．∴21a (x ＋AF )＝21a (EC ＋b －AF )，∴2AF ＝EC ＋(b －x )． 又∵EC ＝b －x ，∴2AF ＝2EC ，即AF ＝EC ； (Ⅱ)（1）当直线EE′经过原矩形的顶点D 时，如图（一）， ∵EC ∥E ′B ′，∴B E EC ''＝B D DC '． 由EC ＝b －x ，E ′B ′＝EB ＝x ， DB ′＝DC ＋CB ′＝2a ，得aax x b 2=-，∴x ︰b ＝32；当直线E′E 经过原矩形的顶点A 时，如图（二），在梯形AE ′B ′D 中，∵EC ∥E ′B ′，点C 是DB ′的中点， ∴CE ＝21(AD ＋ E ′B ′)， 即b －x ＝21（b ＋x ）， ∴x ︰b ＝31． （2） 如图（一）， 当直线EE′ 经过原矩形的顶点D 时，BE ′∥EF ． 证明：连接BF ． ∵FD ∥BE ， FD ＝BE ， ∴四边形FBED 是平行四边形， ∴FB ∥DE ， FB ＝DE ，又∵EC ∥E ′B ′， 点C 是DB ′的中点， ∴DE ＝EE ′，∴FB ∥EE ′， FB ＝ EE ′， ∴四边形BE ′EF 是平行四边形 ∴BE ′∥EF ．如图（二）， 当直线EE′ 经过原矩形的顶点A时，显然BE ′与EF 不平行，设直线EF 与BE′交于点G .过点E ′作E ′M ⊥BC 于M ， 则E ′M ＝a .． ∵x ︰b ＝31， ∴EM ＝31BC ＝31b ． 若BE′与EF 垂直，则有∠GBE ＋∠BEG ＝90°，又∵∠BEG ＝∠FEC ＝∠MEE ′， ∠MEE ′＋∠ME ′E ＝90°， ∴∠GBE ＝∠ME ′E ． 在Rt △BME ′中，tan ∠E ′BM＝ tan ∠GBE ＝BMM E '＝ba 32． 在Rt △EME ′中，tan ∠ME ′E＝ME EM '＝a b 31， ∴ba 32＝ab 31．又∵a ＞0，b ＞0，=ba 32，∴当=b a32时，BE′与EF 垂直．。

专题08 全等三角形中的边角问题【类型】一、全等三角形中的边角问题-公共角模型一、解答题1．在ABC 中，∠BAC ＝90°，AB AC =，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B ，C 重合），以AD 为直角边在AD 右侧作等腰直角三角形ADE （90DAE ∠=︒，AD AE =），连接CE ．（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，猜想：BC 与CE 的位置关系，并说明理由；（2）如图2，当点D 在线段CB 的延长线上时，（1）题的结论是否仍然成立？说明理由；（3）如图3，当点D 在线段BC 的延长线上时，结论（1）题的结论是否仍然成立？不需要说明理由．2．如图1，在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点E ，F 分别为AB ，AC 的中点，H 为线段EF 上一动点（不与点E ，F 重合），过点A 作AG ∠AH 且AG ＝AH ，连接GC ，HB ．（1）证明：AHB ∠AGC ；（2）如图2，连接GF ，HG ，HG 交AF 于点Q ．∠证明：在点H 的运动过程中，总有∠HFG ＝90°； ∠当AQG 为等腰三角形时，求∠AHE 的度数．3．已知，∠ABC 是边长为4cm 的等边三角形，点P ，Q 分别从顶点A ，B 同时出发，沿线段AB ，BC 运动，且它们的速度均为1cm/s ．当点P 到达点B 时，P 、Q 两点停止运动．设点P 的运动时间为t （s ）．（1）如图1，连接AQ、CP，相交于点M，则点P，Q在运动的过程中，∠CMQ会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数．（2）如图2，当t为何值时，∠PBQ是直角三角形？（3）如图3，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，请直接写出∠CMQ度数．4．如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．（1）性质探究：如图1．己知四边形ABCD中，AC∠BD．垂足为O，求证：AB2+CD2＝AD2+BC2；（2）解决问题：已知AB＝2．BC＝2，分别以∠ABC的边BC和AB向外作等腰Rt∠BCE和等腰Rt∠ABD；∠如图2，当∠ACB＝90°，连接DE，求DE的长；∠如图3．当∠ACB≠90°，点G、H分别是AD、AC中点，连接GH．若GH＝6，则S△ABC＝．5．在四边形ABCD中，∠DAB+∠DCB＝180°，AC平分∠DAB．（1）如图1，求证：BC＝CD；（2）如图2，连接BD交AC于点E，若∠ADB＝90°，AE＝2DE，求∠ABD的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，过点C作CH∠AB于点H，∠BCH沿BC翻折，点H的对应点为点F，点G在线段AB上，连接FG，若∠CGF＝30°，S△CHG＝9，求线段CG的长．【类型】二、全等三角形中的边角问题-公共边模型一、单选题1．如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD∠CE，BE∠CE，垂足分别是点D、E，AD=3，BE=1，则DE的长是（）A．1.5B．2C．22D．102．如图，BN为∠MBC的平分线，P为BN上一点，且PD∠BC于点D，∠APC+∠ABC＝180°，给出下列结论：∠∠MAP＝∠BCP；∠P A＝PC；∠AB+BC＝2BD；∠四边形BAPC的面积是∠PBD面积的2倍，其中结论正确的个数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个3．如图，∠ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP∠BP于P，连接PC，则∠PBC的面积为（）A．3cm2B．4cm2C．4.5cm2D．5cm2二、解答题4．如图，在ABC中，BE是ABC∠=∠+∠．∠的平分线，AD BE⊥，垂足为D，求证：21C5．如图，在四边形ABCD 中，已知BD 平分∠ABC ，∠BAD ＋∠C ＝180°，求证：AD ＝CD ．6．如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA ，AD=CD ，BD 平分∠ABC ，求证：∠A+∠C=180°．7．已知，如图ABC ∆中，AB AC =，90A ∠=︒，ACB ∠的平分线CD 交AB 于点E ，90BDC ∠=︒， 求证：2CE BD =.8．如图，在∠ABC 中，点D 为边BC 的中点，点E 在∠ABC 内，AE 平分∠BAC ，CE∠AE 点F 在AB 上，且BF=DE（1）求证：四边形BDEF 是平行四边形（2）线段AB ，BF ，AC 之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论9．直线AB：y＝x＋b分别与x，y轴交于A，B两点，点A的坐标为(－3，0)，过点B的直线交x轴正半轴于点C，且OB∠OC＝3∠1．（1）求点B的坐标及直线BC的函数表达式；（2）在y轴上存在点P，使得以点B、C、P三点构成的三角形为等腰三角形，请直接写出点P的坐标：______________；（3）在坐标系平面内，存在点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与∠ABC全等，画出∠ABD，并求出点D的坐标．【类型】三、全等三角形中的边角问题-边边角模型一、解答题1．如图，已知∠AOB＝60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．（1）当∠DCE 绕点C 旋转到CD 与OA 垂直时（如图1），请猜想OE+OD 与OC 的数量关系，并说明理由； （2）当∠DCE 绕点C 旋转到CD 与OA 不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由； （3）当∠DCE 绕点C 旋转到CD 与OA 的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段OD 、OE 与OC 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.2．如图，OC 平分∠MON ，A 、B 分别为OM 、ON 上的点，且BO ＞AO ，AC ＝BC ，求证：∠OAC +∠OBC ＝180°．3．如图，在四边形ABCD 中，已知BD 平分∠ABC ，∠BAD ＋∠C ＝180°，求证：AD ＝CD ．4．如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA ，AD=CD ，BD 平分∠ABC ，求证：∠A+∠C=180°．【类型】四、全等三角形中的边角问题-X 模型一、填空题1．如图，已知AD 是ABC 的中线，E 是AC 上的一点，BE 交AD 于F ，AC BF =，24DAC ∠=︒，32EBC ∠=︒，∠__________．则ACB二、解答题2．问题背景：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，∠ABC中，若AB＝4，AC＝3，求BC 边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE ＝AD，则得到∠ADC∠∠EDB，小明证明∠BED∠∠CAD用到的判定定理是：（用字母表示）；问题解决：小明发现：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．请写出小明解决问题的完整过程；拓展应用：以∠ABC的边AB，AC为边向外作∠ABE和∠ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，M是BC中点，连接AM，DE．当AM＝3时，求DE的长．3．如图，在∠ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF．（1）求证：D是BC的中点（2）如果AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．4．阅读下面材料【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图∠．在∠ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD 取值范围，小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明方法思考：（1）由已知和作图能得到∠ADC∠∠EDB的理由是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL（2）由三角形三边的关系可求得AD长的取值范围是（）A．6＜AD＜8B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7D．1≤AD≤7【解后感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到一个三角形中．【灵活运用】如图∠，AD是∠ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF若EF=4，EC=3，求线段BF的长．5．阅读下面的题目及分析过程．已知：如图点E是BC的中点，点A在DE上，且AB DC=说明：BAE D∠=∠分析：说明两个角相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的性质．观察本题中说明的两个角，它们既不在同一个三角形中，而且们所在两个三角形也不全等．因此，要说明BAE D∠=∠，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形，现在提供两种添加辅助线的方法如下：CF AB，交DE的延长线于点F．如图∠过点C作//如图∠延长DE至点M，使ME DE=，连接BM．（1）请从以上两种辅助线中选择一种完成上题的说理过程．（2）在解决上述问题的过程中，你用到了哪种数学思想？请写出一个．_______________．（3）反思应用：⊥于点B．如图，点B是AE的中点，BC BD+与CD之间的大小关系，并说请类比（1）中解决问题的思想方法，添加适当的辅助线，判断线段AC DE明理由．6．【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，∠ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到∠ADC∠∠EDB，依据是．A．SSS B．SAS C．AAS D．HL（2）由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是．解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．7．如图，等边三角形ABC中，E是线段AC上一点，F是BC延长线上一点．连接BE，AF．点G是线段BE 的中点，BN ∠AC ，BN 与AG 延长线交于点N ．（1）若∠BAN ＝15°，求∠N ；（2）若AE ＝CF ，求证：2AG ＝AF ．8．如图，等边三角形ABC 中，E 是线段AC 上一点，F 是BC 延长线上一点.连接BE ，AF .点G 是线段BE 的中点，BN AC ，BN 与AG 延长线交于点N .（1）若15BAN ∠=︒，求N ∠；（2）若AE CF =，求证：2AG AF =.9．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在ABC 中，AB 8=，AC 6=，D 是BC 的中点，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到E ，使DE AD =，请补充完整证明“ADC ∠EDB ”的推理过程．()1求证：ADC ∠EDB证明：延长AD 到点E ，使DE AD = 在ADC 和EDB 中AD ED(=已作)，ADC EDB(∠∠=______)，CD BD(=中点定义)， ADC ∴∠EDB(______)，()2探究得出AD 的取值范围是______；【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】()3如图2，ABC 中，B 90∠=，AB 2=，AD 是ABC 的中线，CE BC ⊥，CE 4=，且ADE 90∠=，求AE 的长．10．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，∠ABC 中，若AB ＝8，AC ＝6，求BC 边上的中线AD 的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到点E ，使DE ＝AD ，请根据小明的方法思考：(1)由已知和作图能得到∠ADC∠∠EDB 的理由是_____.A ．SSSB ．SASC ．AASD ．HL(2)求得AD 的取值范围是______.A ．6＜AD ＜8B ．6≤AD≤8C ．1＜AD ＜7 D ．1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中. 【问题解决】(3)如图2，AD 是∠ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE ＝EF.求证：AC ＝BF.11．P 为等边∠ABC 的边AB 上一点，Q 为BC 延长线上一点，且P A ＝CQ ，连PQ 交AC 边于D ． （1）证明：PD ＝DQ ．（2）如图2，过P 作PE ∠AC 于E ，若AB ＝6，求DE 的长．12．如图，在ABC 中，45ABC ∠=,AD ,BE 分别为BC ,AC 边上的高，连接DE ,过点D 作DF DE ⊥与点F ，G 为BE 中点，连接AF ，DG ．（1）如图1，若点F 与点G 重合，求证：AF DF ⊥；（2）如图2，请写出AF 与DG 之间的关系并证明．【类型】五、全等三角形中的边角问题-一线三等角模型一、单选题1．如图，点P ，D 分别是∠ABC 边BA ，BC 上的点，且4BD =，60ABC ∠=︒．连结PD ，以PD 为边，在PD 的右侧作等边∠DPE ，连结BE ，则∠BDE 的面积为（ ）A ．43B ．2C ．4D ．632．如图，在∠ABC 中，AB ＝AC ＝9，点E 在边AC 上，AE 的中垂线交BC 于点D ，若∠ADE ＝∠B ，CD ＝3BD ，则CE 等于（ ）A ．3B ．2C ．94D ．923．如图，AC ＝CE ，∠ACE ＝90°，AB ∠BD ，ED ∠BD ，AB ＝6cm ，DE ＝2cm ，则BD 等于（ ）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．4cm二、填空题 4．如图，直线l 1∠l 3，l 2∠l 3，垂足分别为P 、Q ，一块含有45°的直角三角板的顶点A 、B 、C 分别在直线l 1、l 2、线段PQ 上，点O 是斜边AB 的中点，若PQ 72OQ 的长等于 _____．5．如图，一个等腰直角三角形ABC 物件斜靠在墙角处（∠O ＝90°），若OA ＝50cm ，OB ＝28cm ，则点C 离地面的距离是____ cm ．三、解答题6．感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，90BAD ACB AED ∠=∠=∠=︒，由12180BAD ∠+∠+∠=︒，2180D AED ∠+∠+∠=︒，可得1D ∠=∠ ；又因为90ACB AED =∠=︒，可得ABC DAE △△∽，进而得到BC AC=______．我们把这个模型称为“一线三等角”模型． 应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在ABC 中，10AB AC ==，12BC =，点P 是BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合），点D 是AC 边上的一个动点，且APD B ∠=∠．∠求证：ABP PCD △△∽；∠当点P 为BC 中点时，求CD 的长；拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当APD △为等腰三角形时，请直接写出BP 的长．7．问题背景：（1）如图∠，已知ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D ，E ，易证：DE =______+______．（2）拓展延伸：如图∠，将（1）中的条件改为：在ABC 中，AB AC =，D ，A ，E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC ∠=∠=∠，请求出DE ，BD ，CE 三条线段的数量关系，并证明．（3）实际应用：如图∠，在ACB △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点C 的坐标为()2,0-，点A 的坐标为()6,3-，请直接写出B 点的坐标．8．（1）课本习题回放：“如图∠，90ACB ∠=︒，AC BC =，AD CE ⊥，BE CE ⊥，垂足分别为D ，E ，2.5cm AD =，1.7cm DE =．求BE 的长”，请直接写出此题答案：BE 的长为________．（2）探索证明：如图∠，点B ，C 在MAN ∠的边AM 、AN 上，AB AC =，点E ，F 在MAN ∠内部的射线AD 上，且BED CFD BAC ∠=∠=∠．求证：ABE CAF ∆∆≌．（3）拓展应用：如图∠，在ABC ∆中，AB AC =，AB BC >．点D 在边BC 上，2CD BD =，点E 、F 在线段AD 上，BED CFD BAC ∠=∠=∠．若ABC ∆的面积为15，则ACF ∆与BDE ∆的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程）9．（1）如图（1）在∠ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线m 经过点A ，BD ∠直线m ，CE ∠直线m ，垂足分别为点D 、E ．求证：DE ＝BD +CE ；（2）如图（2）将（1）中的条件改为：在∠ABC 中，AB ＝AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE ＝BD +CE 是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．10．（1）如图1，在∠ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线m 经过点A ，BD ∠直线m ，CE ∠直线m ，垂足分别为点D 、E ．求证：∠ABD ∠∠CAE ；（2）如图2，将（1）中的条件改为：在∠ABC 中，AB ＝AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论∠ABD ∠∠CAE 是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图3，D ，E 是D ，A ，E 三点所在直线m 上的两动点（D ，A ，E 三点互不重合），点F 为∠BAC 平分线上的一点，且∠ABF 和∠ACF 均为等边三角形，连接BD ，CE ，若∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ，求证：∠DEF 是等边三角形．。

专题08 作文【母题来源】2022年新高考全国Ⅰ卷【母题题文】材料作文1．阅读下面的材料，根据要求写作。

“本手、妙手、俗手”是围棋的三个术语，本手是指合乎棋理的正规下法；妙手是指出人意料的精妙下法；俗手是指貌似合理，而从全局看通常会受损的下法，对于初学者而言，应该从本手开始，本手的功夫扎实了，棋力才会提高，一些初学者热衷于追求妙手，而忽视更为常用的本手，本手是基础，妙手是创造，一般来说，对本手理解深刻，才可能出现妙手；否则，难免下出俗手，水平也不易提升。

以上材料对我们颇具启示意义。

请结合材料写一篇文章，体现你的感悟与思考。

要求：选准角度，确定立意，明确文体，自拟标题：不要套作，不得抄袋：不得泄露个人信息；不少于800字。

【试题解析】审题：这是一则材料作文题。

材料首先介绍了围棋的三个术语，然后分别对三个术语进行解释，接着指出初学者入门的途径和常见的错误做法，最后简单阐释本手、妙手和俗手的关系。

可见材料意在让考生阐释本手、妙手和俗手之间的关系，具有哲理意味，考查的是学生的思辨能力。

在围棋中，本手是最基本的下法，虽简单，却是必不可少的学习内容和入门途径，是起步，是基础，是前提，是根源。

妙手是在本手的基础上的巧思妙想、灵活运用和高瞻远瞩，是创造，是探索，是提升，更是智慧。

只有对本手掌握全面，理解深刻，才可能出现妙手。

俗手是没有本手做根基的无所适从，没有妙手做依托的盲目迷茫，既无技术含量，也无妙思可言，只会满盘皆输，是既无本手，也无妙手的结果，是没有胜算可言的，是最不可取的。

据此考生可以引申到学习，工作、做事甚至治国，可以由个人、国家延伸到社会层面。

只有扎扎实实学好基本功，做好充分的准备，埋头做实事，干好基层的民生工作，奠定牢固的基础，不投机取巧，不偷工减料，不敷衍潦草，才能搞好学习，干好工作，做好事情，治好国家。

只有在夯实基础的前提下，才能渐入佳境，灵活变通，妙手绘蓝图，巧手筑高楼。

否则，便只能以俗手将一手好牌打烂，以败局收场。