专题12 探索性问题(第01期)-2021年中考数学试题分项版解析汇编(原卷版)

2021年中考数学试题汇编及解析探究型问题本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

探究型问题这类问题往往涉及面很广，主要是探究题设结论是否存在，或者是否成立，或者是让学生自己先猜测结论，再进展研究从而得出正确的结论等等，这些题通常有一定的难度，几乎在全国各地的中考数学试卷中都能见到。

1、〔2021〕如图1，在直角坐标系中，点A的坐标为〔1，0〕，•以OA•为边在第四象限内作等边△AOB，点C为x轴的正半轴上一动点〔OC>1〕，连结BC，•以BC•为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E．〔1〕试问△OBC与△ABD全等吗？并证明你的结论．〔2〕随着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化，假设没有变化，求出点E•的坐标；假设有变化，请说明理由．〔3〕如图2，以OC为直径作圆，与直线DE分别交于点F、G，设AC=m，AF=n，用含n的代数式表示m．[解析]〔1〕两个三角形全等∵△AOB、△CBD都是等边三角形∴OBA=∠CBD=60°∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC即∠OBC=∠ABD∵OB=AB，BC=BD△OBC≌△ABD〔2〕点E位置不变∵△OBC≌△ABD∴∠BAD=∠BOC=60°∠OAE=180°-60°-60°=60°在Rt△EOA中，EO=OA·tan60°=3或者∠AEO=30°，得AE=2，∴OE=3∴点E的坐标为〔0，3〕〔3〕∵AC=m，AF=n，由相交弦定理知1·m=n·AG，即AG=m n又∵OC是直径，∴OE是圆的切线，OE2=EG·EF 在Rt△EOA中，3132=〔2-mn〕〔2+n〕即2n 2+n-2m-mn=0解得m=222n nn ++.2、〔2021〕如图,平面直角坐标系中,直线AB 与x 轴,y 轴分别交于A (3,0),B (0,3)两点, ,点C 为线段AB 上的一动点,过点C 作CD ⊥x 轴于点D .(1)求直线AB 的解析式;(2)假设S 梯形OBCD ＝433,求点C 的坐标; (3)在第一象限内是否存在点P ,使得以P,O,B 为顶点的 三角形与△OBA 相似.假设存在,恳求出所有符合条件 的点P 的坐标;假设不存在,请说明理由.[解析] 〔1〕直线AB 解析式为：y=33-x+3． 〔2〕方法一：设点Ｃ坐标为〔x ，33-x+3〕，那么OD ＝x ，CD ＝33-x+3． ∴OBCD S 梯形＝()2CD CD OB ⨯+＝3632+-x ． 由题意：3632+-x ＝334，解得4,221==x x 〔舍去〕 ∴ Ｃ〔２，33〕 方法二：∵ 23321=⨯=∆OB OA S AOB ,OBCD S 梯形＝334，∴63=∆ACD S ． 由OA=3OB ，得∠BAO ＝30°，AD=3CD ．∴ ACD S ∆＝21CD ×AD ＝223CD ＝63．可得CD ＝33．∴ AD=１，OD ＝２．∴C 〔２，33〕．〔３〕当∠OBP ＝Rt ∠时，如图①假设△BOP ∽△OBA ，那么∠BOP ＝∠BAO=30°，BP=3OB=3，∴1P 〔3，33〕． ②假设△BPO ∽△OBA ，那么∠BPO ＝∠BAO=30°,OP=33OB=1． ∴2P 〔1，3〕． 当∠OPB ＝Rt ∠时③ 过点P 作OP ⊥BC 于点P(如图)，此时△PBO ∽△OBA ，∠BOP ＝∠BAO ＝30° 过点P 作PM ⊥OA 于点M ．方法一： 在Rt △PBO 中，BP ＝21OB ＝23，OP ＝3BP ＝23．∵ 在Rt △P ＭO 中，∠OPM ＝30°，∴ OM ＝21OP ＝43；PM ＝3OM ＝433．∴3P 〔43，433〕．方法二：设Ｐ〔x ，33-x+3〕，得OM ＝x ，PM ＝33-x+3 由∠BOP ＝∠BAO,得∠POM ＝∠ABO ．∵tan ∠POM==OMPM =x x 333+-，tan ∠ABOC=OBOA =3．∴33-x+3＝3x ，解得x ＝43．此时，3P 〔43，433〕． ④假设△POB ∽△OBA(如图)，那么∠OBP=∠BAO ＝30°，∠POM ＝30°．∴ PM ＝33OM ＝43． ∴ 4P 〔43，43〕〔由对称性也可得到点4P 的坐标〕．当∠OPB ＝Rt ∠时，点P 在ｘ轴上,不符合要求. 综合得，符合条件的点有四个，分别是：1P 〔3，33〕，2P 〔1，3〕，3P 〔43，433〕，4P 〔43，43〕． 3、〔2021〕如图，在直角坐标系中，以点A 为圆心，以x 轴相交于点B C ，，与y 轴相交于点D E ，．〔1〕假设抛物线213y x bx c =++经过C D ，两点，求抛物线的解析式，并判断点B 是否在该抛物线上．〔2〕在〔1〕中的抛物线的对称轴上求一点P ，使得PBD △的周长最小．〔3〕设Q 为〔1〕中的抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点M ，使得四边形BCQM 是平行四边形．假设存在，求出点M 的坐标；假设不存在，说明理由．[解析] 〔1〕OA =∵AB AC ==(B ∴，C 又在Rt AOD △中，AD =OA =3OD ==∴D ∴的坐标为(03)-，又DC ，两点在抛物线上，231(33)03c c =-⎧⎪⎨++=⎪⎩∴解得3b c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ∴抛物线的解析式为：2133y x x =--当x =0y =∴点(B 在抛物线上〔2〕2133y x x =--∵21(43x =- ∴抛物线2133y x x =--的对称轴方程为x = 在抛物线的对称轴上存在点P ，使PBD △的周长最小．BD ∵的长为定值 ∴要使PBD △周长最小只需PB PD +最小． 连结DC ，那么DC 与对称轴的交点即为使PBD △周长最小的点． 设直线DC 的解析式为y mx n =+．由30n n =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得3m n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴直线DC的解析式为3y x =-由33y x x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得2x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 故点P的坐标为2)-〔3〕存在，设)Q t为抛物线对称轴x =M 在抛物线上要使四边形BCQM 为平行四边形，那么BC QM ∥且BC QM =，点M 在对称轴的左侧．于是，过点Q 作直线L BC ∥与抛物线交于点()m M x t ， 由BC QM =得QM =从而m x =-12t =故在抛物线上存在点(M ，使得四边形BCQM 为平行四边形． 4、〔2021〕把两块全等的直角三角形ABC 和DEF 叠放在一起，使三角板DEF 的锐角顶点D 与三角板ABC 的斜边中点O 重合，其中90ABC DEF ∠=∠=，45C F ∠=∠=，4AB DE ==，把三角板ABC 固定不动，让三角板DEF 绕点O 旋转，设射线DE 与射线AB 相交于点P ，射线DF 与线段BC 相交于点Q ．〔1〕如图9，当射线DF 经过点B ，即点Q 与点B 重合时，易证APD CDQ △∽△．此 时，AP CQ =· ．〔2〕将三角板DEF 由图1所示的位置绕点O 沿逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中090α<<，问AP CQ ·的值是否改变？说明你的理由．〔3〕在〔2〕的条件下，设CQ x =，两块三角板重叠面积为y ，求y 与x 的函数关系式．[解析] 〔1〕8〔2〕AP CQ ·的值不会改变．理由如下：在APD △与CDQ △中，45A C ∠=∠= 18045(45)90APD a a ∠=--+=-90CDQ a ∠=- 即APD CDQ ∠=∠APD CDQ ∴△∽△ AP CDAD CQ=∴22182AP CQ AD CD AD AC ⎛⎫==== ⎪⎝⎭∴ＢＰＥＦF E 图1 图3图3ＥＦ〔3〕情形1：当045a <<时，24CQ <<，即24x <<，此时两三角板重叠局部为四边形DPBQ ，过D 作DG AP ⊥于G ，DN BC ⊥于N ，2DG DN ==∴由〔2〕知：8AP CQ =得8AP x=于是111222y AB AC CQ DN AP DG =--88(24)x x x=--<<情形2：当4590a <≤时，02CQ <≤时，即02x <≤，此时两三角板重叠局部为DMQ △， 由于8AP x =，84PB x=-，易证：PBM DNM △∽△， BM PB MN DN =∴即22BM PB BM =-解得28424PB xBM PB x-==+- 84444xMQ BM CQ x x-=--=---∴ 于是1844(02)24xy MQ DN x x x-==--<-≤综上所述，当24x <<时，88y x x=--当02x <≤时，8444xy x x-=---2484y x x x =⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭或法二：连结BD ，并过D 作DN BC ⊥于点N ，在DBQ △与MCD △中，45DBQ MCD ∠=∠=45DQB QCB QDC QDC MDQ QDC MDC ∠=∠+∠=+∠=∠+∠=∠DBQ MCD ∴△∽△MC DBCD BQ=∴4x =- 84MC x=-∴ 284844x x MQ MC CD x x x -+=-=-=--∴ ＢＰＧ2148(02)24x x y DN MQ x x-+==<-∴≤法三：过D 作DN BC ⊥于点N ，在Rt DNQ △中， 222DQ DN NQ =+ 24(2)x =+- 248x x =-+于是在BDQ △与DMQ △中45DBQ MDQ ∠=∠= DMQ DBM BDM ∠=∠+∠ 45BDM =+∠ BDQ =∠BDQ DMQ ∴△∽△ BQ DQ DQ MQ =∴即4x DQDQ MQ-= 224844DQ x x MQ x x-+==--∴2148(02)24x x y DN MQ x x-+==<-∴≤5、〔2021〕如图，点O 是坐标原点，点A 〔n ，0〕是x 轴上一动点(n ＜0〕以AO 为一边作矩形AOBC ，点C 在第二象限，且OB ＝2OA ．矩形AOBC 绕点A 逆时针旋转90o得矩形AGDE ．过点A 的直线y ＝kx ＋m 交y 轴于点F ，FB ＝FA ．抛物线y=ax 2+bx+c 过点E 、F 、G 且和直线AF 交于点H ，过点H 作HM ⊥x 轴，垂足为点M ．(1)求k 的值；(2)点A 位置改变时，△AMH 的面积和矩形AOBC 的面积的比值是否改变？说明你的理由．[解析] 〔1〕根据题意得到：E 〔3n ，0〕， G 〔n ，－n 〕当x ＝0时，y ＝kx ＋m ＝m ，∴点F 坐标为〔0，m 〕 ∵Rt △AOF 中，AF 2＝m 2＋n 2，∵FB ＝AF ，∴m 2＋n 2＝(-2n －m)2， 化简得：m ＝－0.75n ，对于y ＝kx ＋m ，当x ＝n 时，y ＝0， ∴0＝kn －0.75n ， ∴k ＝0.75〔2〕∵抛物线y=ax 2+bx+c 过点E 、F 、G ，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=c c nb a n n c nb a n 75.039022解得：a ＝n 41，b ＝－21，c ＝－0.75n∴抛物线为y=n 41x 2－21x －0.75n解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧-=--=nx y n x x n y 75.075.075.021412 得：x 1＝5n ，y 1＝3n ；x 2＝0，y 2＝－0.75n∴H 坐标是：〔5n ，3n 〕，HM ＝－3n ，AM ＝n －5n ＝－4n ， ∴△×HM ×AM ＝6n 2；而矩形AOBC 的面积＝2n 2，∴△AMH 的面积∶矩形AOBC 的面积＝3:1，不随着点A 的位置的改变而改变．6、〔2021〕如图〔1〕，在以AB 为直径的半圆O 内有一点P ，AP 、BP 的延长线分别交半圆O 于点C 、D ．求证：AP ·AC+BP ·BD=AB 2．证明：连结AD、BC，过P作PM⊥AB，那么∠ADB=∠AMP=90ｏ，∴点D、M在以AP为直径的圆上；同理：M、C在以BP为直径的圆上．由割线定理得：AP·AC=AM·AB，BP·BD=BM·BA，所以，AP·AC+BP·BD=AM·AB+BM·AB=AB·〔AM+BM〕=AB2．当点P在半圆周上时，也有AP·AC+BP·BD=AP2+BP2=AB2成立，那么：〔1〕如图〔2〕当点P在半圆周外时，结论AP·AC+BP·BD=AB2是否成立？为什么？〔2〕如图〔3〕当点P在切线BE外侧时，你能得到什么结论？将你得到的结论写出来．[解析]〔1〕成立．证明：如图〔2〕，∵∠PCM=∠PDM=900，∴点C、D在以PM为直径的圆上，∴AC·AP=AM·MD，BD·BP=BM·BC，∴AC·AP+BD·BP=AM·MD+BM·BC，由，AM·MD+BM·BC=AB2，∴AP·AC+BP·BD=AB2．〔2〕如图〔3〕，过P作PM⊥AB，交AB的延长线于M，连结AD、BC，那么C、M在以PB为直径的圆上，∴AP·AC=AB·AM，①D、M在以PA为直径的圆上，∴BP·BD=AB·BM，②由图象可知：AB=AM-BM，③由①②③可得：AP·AC-BP·BD=AB·〔AM-BM〕=AB2．7、〔2021〕问题背景；课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：①如图1，在正三角形ABC中，M，N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，假设∠BON=60°．那么BM=CN：②如图2，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点．BM与CN相交于点O，假设∠BON=90°．那么BM=CN.然后运用类似的思想提出了如下命题：③如图3，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD，DE上的点，BM与CN相交于点O，假设∠BON=108°，那么BM=CN.任务要求(1)请你从①．②，③三个命题中选择一个进展证明；(2) 请你继续完成下面的探究；①如图4，在正n(n≧3)边形ABCDEF 中，M，N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，试问当∠BON等于多少度时，结论BM=CN成立(不要求证明)②如图5，在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE，AE上的点，BM与CN 相交于点O，∠BON=108°时，试问结论BM=CN是否还成立，假设成立，请给予证明．假设不成立，请说明理由(I)我选[解析]〔1〕如选命题①证明：在图1中，∵∠BON=60°∴∠1+∠2=60°∵∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3又∵BC=CA，∠BCM=∠CAN=60°∴ΔBCM≌ΔCAN∴BM=CN〔2〕如选命题②证明：在图2中，∵∵∠BON=90°∴∠1+∠2=90°∵∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3又∵BC=CD，∠BCM=∠CDN=90°∴ΔBCM≌ΔCDN∴BM=CN〔3〕如选命题③证明；在图3中，∵∠BON=108°∴∠1+∠2=108°∵∠2+∠3=108°∴∠1=∠3又∵BC=CD，∠BCM=∠CDN=108°∴ΔBCM≌ΔCDN∴BM=CN(2)①答：当∠BON=(n-2)180n时结论BM=CN成立．②答当∠BON=108°时。

2021年中考数学试题分类汇编 12探索性问题（第2部分）（word原题2021年中考数学试题分类汇编-12探索性问题（第2部分）（word原题主题内容：探索性问题（第二部分）一、选择题1．（2021年贵州省黔东南州第10题）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数N学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和（a+b）的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．二十根据“杨辉三角”请计算（a+b）的展开式中第三项的系数为（）a．2021b．2021c．191d．190个人计算机C中的AB，2（问题10，内蒙古通辽市，2022年）如图所示，P点位于直线AB上方，并且？apb？90，若线段ab?6，ac?x，s?pab?y，则y与x的函数关系图象大致是（）a、不列颠哥伦比亚省。

3．（2021年四川省内江市第12题）如图，过点a（2，0）作直线l：y?3x的垂线，垂足为点3a1，过点a1作a1a2⊥x轴，垂足为点a2，过点a2作a2a3⊥l，垂足为点a3，…，这样依次下去，得到一组线段：aa1，a1a2，a2a3，…，则线段a2021a2107的长为（）一a．(32021333)b．()2021c．()2021d．()202122224．（2021年山东省日照市第10题）如图，∠bac=60°，点o从a点出发，以2m/s的速度沿∠bac的角平分线向右运动，在运动过程中，以o为圆心的圆始终保持与∠bac的两边相切，设⊙o的面二积为s（cm），则⊙o的面积s与圆心o运动的时间t（s）的函数图象大致为（）a、不列颠哥伦比亚省。

5．（2021年山东省日照市第11题）观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为（）a、 23b.75c.77d.139124536.（2021年湖南省岳阳市第7题）观察下列等式：2?2，2?4，2?8，2?16，2?32，26? 64，，根据这条法律，那么21岁？22? 23? 24 22022的结束号码是a．0b．2c.4d．6二、填空题1．（2021年贵州省毕节地区第20题）观察下列运算过程：二百一十计算：1+2+2+ (2)二百一十解：设s=1+2+2+…+2，①2.① ×2s=2+22+23+…+211，②?②①得s=2111．二万一千零一十一所以，1+2+2+…+2=21二万二千零二十一运用上面的计算方法计算：1+3+3+…+3=．2．（2021年贵州省黔东南州第16题）把多块大小不同的30°直角三角板如图所示，摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板aob的一条直角边与y轴重合且点a的坐标为（0，1），∠abo=30°；第二块三角板的斜边bb1与第一块三角板的斜边ab垂直且交y轴于点b1；第三块三角板的斜边b1b2与第二块三角板的斜边bb1垂直且交x轴于点b2；第四块三角板的斜边b2b3与第三块三角板的斜二边b1b2c垂直且交y轴于点b3；…按此规律继续下去，则点b2021的坐标为．3.（2022年湖北省荆州市问题14）观察以下数据：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有______个点.4.（问题16，山东省威海市，2022年）一个正方形第一次使用与图中所示相同的地砖拼图，如图1所示组装图案，第二次，如图2所示组装图案，第三次，如图3所示组装图案，第四次，如图4所示组装图案。

一、选择题1.(2015·黑龙江牡丹江）（3分）在△ABC 中，AB=12，AC=13，cos ∠B=，则BC 边长为（ ）.A ． 7B ． 8C ． 8或17D ． 7或172.（2015·辽宁本溪）（3分）在△ABC 中，AB =6cm ，AC =5cm ，点D 、E 分别在AB 、AC 上．若△ADE 与△ABC 相似，且ΔADE BCED :S S 四边形=1：8，则AD = cm ．二、填空题1．(2015·辽宁抚顺）（3分）如图，过原点O 的直线AB 与反比例函数k y x=（0k >）的图象交于A 、B 两点，点B 坐标为（﹣2，m ），过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，OA 的垂直平分线DE 交OC 于点D ，交AB 于点E ．若△ACD 的周长为5，则k 的值为 ．3.(2015·黑龙江牡丹江）（3分）如图，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，AO=CO ，请添加一个条件 （只添一个即可），使四边形ABCD 是平行四边形．4.(2015·吉林省）（3分）若关于x 的一元二次方程20x x m -+=有两个不相等的实数根，则m 的值可能是 （写出一个即可）．5.（2015·辽宁本溪）（3分）如图，已知矩形ABCD 的边长分别为a ，b ，连接其对边中点，得到四个矩形，顺次连接矩形AEFG 各边中点，得到菱形I 1；连接矩形FMCH 对边中点，又得到四个矩形，顺次连接矩形FNPQ 各边中点，得到菱形I 2；…如此操作下去，得到菱形I n ，则I n 的面积是 ．三、解答题1．(2015·辽宁朝阳）（6分）如图，在△ABC 中，点D 是BC 的中点，点E 、F 分别是线段AD 及其延长线上，且DE =DF ，给出下列条件：①BE ⊥EC ；②BF ∥EC ；③AB =AC ，从中选择一个条件使四边形BECF 是菱形，并给出证明，你选择的条件是 （只填写序号）．[探究发现]小聪同学利用图形变换，将△CAD 绕点C 逆时针旋转90°得到△CBH ，连接EH ，由已知条件易得∠EBH =90°，∠ECH =∠ECB +∠BCH =∠ECB +∠ACD =45°．根据“边角边”，可证△CEH ≌ ，得EH =ED ．在Rt △HBE 中，由 定理，可得BH 2+EB 2=EH 2，由BH =AD ，可得AD 、DE 、EB 之间的等量关系是 ．[实践运用]（1）如图（2），在正方形ABCD 中，△AEF 的顶点E 、F 分别在BC 、CD 边上，高AG 与正方形的边长相等，求∠EAF 的度数；（2）在（1）条件下，连接BD ，分别交AE 、AF 于点M 、N ，若BE =2，DF =3，BM =2，运用小聪同学探究的结论，求正方形的边长及MN 的长．3.(2015·辽宁朝阳）（12分）如图，已知经过点D （2，3-）的抛物线(1)(3)3m y x x =+-（m 为常数，且m ＞0）与x 轴交于点A 、B （点A 位于B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）填空：m 的值为 ，点A 的坐标为 ；（2）根据下列描述，用尺规完成作图（保留作图痕迹，不写作法）：连接AD ，在x 轴上方作射线AE ，使∠BAE =∠BAD ，过点D 作x 轴的垂线交射线AE 于点E ；（3）动点M 、N 分别在射线AB 、AE 上，求ME +MN 的最小值；（4）t 是过点A 平行于y 轴的直线，P 是抛物线上一点，过点P 作l 的垂线，垂足为点G ，请你探究：是否存在点P ，使以P 、G 、A 为顶点的三角形与△ABD 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．4.(2015·辽宁抚顺）（12分）在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，过点B 的直线MN ∥AC ，D 为BC 边上一点，连接AD ，作DE ⊥AD 交MN 于点E ，连接AE ．（1）如图①，当∠ABC =45°时，求证：AD =DE ；（2）如图②，当∠ABC =30°时，线段AD 与DE 有何数量关系？并请说明理由；（3）当∠ABC =α时，请直接写出线段AD 与DE 的数量关系．（用含α的三角函数表示）5.(2015·辽宁阜新）（12分）如图，点P 是正方形ABCD 内的一点，连接CP ，将线段CP 绕点C 顺时针旋转90°，得到线段CQ ，连接BP ，DQ ．（1）如图a ，求证：△BCP ≌△DCQ ；（2）如图，延长BP 交直线DQ 于点E ．①如图b ，求证：BE ⊥DQ ；②如图c ，若△BCP 为等边三角形，判断△DEP 的形状，并说明理由．6.(2015·辽宁阜新）（12分）如图，抛物线2y x bx c =-++交x 轴于点A （﹣3，0）和点B ，交y 轴于点C （0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P 在抛物线上，且ΔAOP ΔBOC 4S S =，求点P 的坐标；（3）如图b ，设点Q 是线段AC 上的一动点，作DQ ⊥x 轴，交抛物线于点D ，求线段DQ 长度的最大值．7.（2015·辽宁辽阳）（12分）菱形ABCD 中，两条对角线AC ，BD 相交于点O ，∠MON +∠BCD =180°，∠MON 绕点O 旋转，射线OM 交边BC 于点E ，射线ON 交边DC 于点F ，连接EF ．（1）如图1，当∠ABC =90°时，△OEF 的形状是；（2）如图2，当∠ABC =60°时，请判断△OEF 的形状，并说明理由；（3）在（1）的条件下，将∠MON 的顶点移到AO 的中点O ′处，∠MO ′N 绕点O ′旋转，仍满足∠MO ′N +∠BCD =180°，射线O ′M 交直线BC 于点E ，射线O ′N 交直线CD 于点F ，当BC =4，且ΔO'EF 98ABCD S S =四边形时，直接写出线段CE 的长．8.（2015·辽宁辽阳）（14分）如图1，平面直角坐标系中，直线334y x =-+与抛物线294y ax x c =++相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上，点B 在y 轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上存在一点M ，使△MAB 是以AB 为直角边的直角三角形，求点M 的坐标；（3）如图2，点E 为线段AB 上一点，BE =2，以BE 为腰作等腰Rt △BDE ，使它与△AOB 在直线AB 的同侧，∠BED =90°，△BDE 沿着BA 方向以每秒一个单位的速度运动，当点B 与A 重合时停止运动，设运动时间为t 秒，△BDE 与△AOB 重叠部分的面积为S ，直接写出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．9.(2015·辽宁盘锦）（14分）如图1，△ABC 和△AED 都是等腰直角三角形，∠BAC =∠EAD =90°，点B 在线段AE 上，点C 在线段AD 上．（1）请直接写出线段BE 与线段CD 的关系： ；①（1）中的结论是否成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；②当AC =12ED 时，探究在△ABC 旋转的过程中，是否存在这样的角α，使以A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出角α的度数；若不存在，请说明理由．10.(2015·辽宁盘锦）（14分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =++交x 轴于A （﹣1，0）和B （5，0）两点，交y 轴于点C ，点D 是线段OB 上一动点，连接CD ，将线段CD 绕点D 顺时针旋转90°得到线段DE ，过点E 作直线l ⊥x 轴于H ，过点C 作CF ⊥l 于F ．（1）求抛物线解析式；（2）如图2，当点F 恰好在抛物线上时，求线段OD 的长；（3）在（2）的条件下：①连接DF ，求tan ∠FDE 的值；②试探究在直线l 上，是否存在点G ，使∠EDG =45°？若存在，请直接写出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．11.(2015·黑龙江牡丹江）（8分）已知四边形ABCD 是正方形，等腰直角△AEF 的直角顶点E 在直线BC 上（不与点B ，C 重合），FM ⊥AD ，交射线AD 于点M ．（1）当点E 在边BC 上，点M 在边AD 的延长线上时，如图①，求证：AB+BE=AM ；（提示：延长MF ，交边BC 的延长线于点H ．）（2）当点E 在边CB 的延长线上，点M 在边AD 上时，如图②；当点E 在边BC 的延长线上，点M 在边AD 上时，如图③．请分别写出线段AB ，BE ，AM 之间的数量关系，不需要证明；（3）在（1），（2）的条件下，若BE=，∠AFM=15°，则AM= ．12.(2015·吉林省）（10分）如图①，一次函数y kx b =+的图象与二次函数2y x =的图象相交于A ，B 两点，点A ，B 的横坐标分别为m ，n （m ＜0，n ＞0）．（1）当m =﹣1，n =4时，k = ，b = ；（2）根据（1）中的结果，用含m ，n 的代数式分别表示k 与b ，并证明你的结论；（3）利用（2）中的结论，解答下列问题：如图②，直线AB与x轴，y轴分别交于点C，D，点A关于y轴的对称点为点E，连接AO，OE，ED．①当m=﹣3，n＞3时，求ΔACOAOEDSS四边形的值（用含n的代数式表示）；②当四边形AOED为菱形时，m与n满足的关系式为；当四边形AOED为正方形时，m= ，n= ．13.（2015·辽宁本溪）（12分）如图1，在△ABC中，AB=AC，射线BP从BA所在位置开始绕点B顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°）（1）当∠BAC=60°时，将BP旋转到图2位置，点D在射线BP上．若∠CDP=120°，则∠ACD∠ABD （填“＞”、“=”、“＜”），线段BD、CD与AD之间的数量关系是；（2）当∠BAC=120°时，将BP旋转到图3位置，点D在射线BP上，若∠CDP=60°，求证：BD﹣CD=3AD；（3）将图3中的BP继续旋转，当30°＜α＜180°时，点D是直线BP上一点（点P不在线段BD上），若∠CDP=120°，请直接写出线段BD、CD与AD之间的数量关系（不必证明）．14.（2015·辽宁本溪）（14分）如图，抛物线2y ax bx =+（0a ≠）经过点A （2，0），点B （3，3），BC ⊥x 轴于点C ，连接OB ，等腰直角三角形DEF 的斜边EF 在x 轴上，点E 的坐标为（﹣4，0），点F 与原点重合．（1）求抛物线的解析式并直接写出它的对称轴；（2）△DEF 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴正方向移动，运动时间为t 秒，当点D 落在BC 边上时停止运动，设△DEF 与△OBC 的重叠部分的面积为S ，求出S 关于t 的函数关系式；（3）点P 是抛物线对称轴上一点，当△ABP 时直角三角形时，请直接写出所有符合条件的点P 坐标．15.（2015·辽宁锦州）（10分）如图，△ABC 中，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接DE ，AD ，点F 在BA 的延长线上，且AF =12AB ，连接EF ，判断四边形ADEF 的形状，并加以证明．16.（2015·辽宁锦州）（10分）开学初，小明到文具批发部一次性购买某种笔记本，该文具批发部规定：这种笔记本售价y （元/本）与购买数量x （本）之间的函数关系如图所示．（1）图中线段AB 所表示的实际意义是 ；（2）请直接写出y 与x 之间的函数关系式；（3）已知该文具批发部这种笔记本的进价是3元/本，若小明购买此种笔记本超过10本但不超过20本，那么小明购买多少本时，该文具批发部在这次买卖中所获的利润W （元）最大？最大利润是多少？17.（2015·辽宁锦州）（12分）如图①，∠QPN 的顶点P 在正方形ABCD 两条对角线的交点处，∠QPN =α，将∠QPN 绕点P 旋转，旋转过程中∠QPN 的两边分别与正方形ABCD 的边AD 和CD 交于点E 和点F （点F 与点C ，D 不重合）．（1）如图①，当α=90°时，DE ，DF ，AD 之间满足的数量关系是 ；（2）如图②，将图①中的正方形ABCD 改为∠ADC =120°的菱形，其他条件不变，当α=60°时，（1）中的结论变为DE +DF =12AD ，请给出证明； （3）在（2）的条件下，若旋转过程中∠QPN 的边PQ 与射线AD 交于点E ，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE ，DF ，AD 之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明．18.（2015·辽宁锦州）（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax bx =++经过点A （﹣1，0）和点B （4，0），且与y 轴交于点C ，点D 的坐标为（2，0），点P （m ，n ）是该抛物线上的一个动点，连接CA ，CD ，PD ，PB ．（1）求该抛物线的解析式；（2）当△PDB 的面积等于△CAD 的面积时，求点P 的坐标；（3）当m＞0，n＞0时，过点P作直线PE⊥y轴于点E交直线BC于点F，过点F作FG⊥x轴于点G，连接EG，请直接写出随着点P的运动，线段EG的最小值．。

一、选择题：1.（山东济南，第14题,3分）在平面直角坐标系中有三个点A（1，﹣1）、B（﹣1，﹣1）、C（0，1），点P （0，2）关于A的对称点为P1，P1关于B的对称点P2，P2关于C的对称点为P3，按此规律继续以A、B、C 为对称中心重复前面的操作，依次得到P4，P5，P6，…，则点P2015的坐标是（）A．（0，0）B．（0，2）C．（2，﹣4）D．（﹣4，2）【答案】A考点：点的坐标．2.(山东日照，第11题，3分)观察下列各式及其展开式：（a+b）2=a2+2ab+b2（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5…请你猜想（a+b）10的展开式第三项的系数是（）A. 36B. 45C. 55D. 66【答案】B考点：完全平方公式．3．（山东泰安，第18题）（3分）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：根据此规律确定x的值为（）【答案】C．考点：1．规律型：数字的变化类；2．综合题．4.（山东威海，第12题，3分）如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切，…按这样的规律进行下去，A10B10C10D10E10F10的边长为（）A.92432B.98132C.9812D.88132 【答案】D考点：正多边形和圆5.（山东烟台，第8题，3分）如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为1S ，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外做正方形，其面积标记为2S ，…，按照此规律继续下去，则2015S 的值为（ ）A ．20122()2 B. 20132()2C. 20121()2D. 20131()2【答案】C【解析】考点：勾股定理，正方形的面积，规律探索1.（山东济宁，第15题,3分）若221223127⨯-⨯=-⨯⨯,222222(1223)(3445)(5667)3415⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯=-⨯⨯, ……则222222(1223)(3445).........(2n 1)(2n)2(2n 1)n ⎡⎤⨯-⨯+⨯-⨯++--+=⎣⎦【答案】-n(n+1)(4n+3)考点：规律探索2.（山东潍坊，第17题，3分）如图，正△ABC 的边长为2，以BC 边上的高1AB 为边作正11AB C ∆,△ABC 与11AB C ∆公共部分的面积记为1S ；再以正11AB C ∆边11B C 上的高2AB 为边作22AB C ∆，11AB C ∆与22AB C ∆公共部分的面积记为2S ；......，以此类推，则n S = .（用含n 的式子表示）.【答案】33 () 24n考点：1.等边三角形的性质；2.特殊角的三角函数值.3．（3分）（2015•聊城，第17题）如图，△ABC的三个顶点和它内部的点P1，把△ABC分成3个互不重叠的小三角形；△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2，把△ABC分成5个互不重叠的小三角形；△ABC的三个顶点和它内部的点 P1、P2、P3，把△ABC分成7个互不重叠的小三角形；…△ABC的三个顶点和它内部的点 P1、P2、P3、…、P n，把△ABC分成个互不重叠的小三角形．【答案】3+2（n﹣1）考点：规律型：图形的变化类。

初中数学探索性专题单元测试题(附答案)(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（初中数学探索性专题单元测试题(附答案)(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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探索性专题单元测试题（满分：100分;考试时间：100分钟)一、填空（每小题5分，共50分）1. 观察：21=2，22=4,23=8,24=16，25=32，26=64，27=128,28=256… 通过观察用你所发现的规律写出21995的未位数是 。

2。

瑞士中学教师巴尔米成功地从光谱数据59、1216、2125、3236…中得到巴尔 米公式，从而打开了光谱奥妙的大门，请你按这种规律写出第七个数 . 3. 下列是一个有规律排列的数表：第1列 第2列 第3列 第4列…第n 例…第1行: 1121 31 41 …n 1 …第2行: 12 22 32 42 …n 2…第3行: 13 23 33 43 …n3…上面数表中第9行,第7列的数是 。

4. 观察下面一列数： 1-2 3 -45 —67 —89 -10 11 —12 13 -14 15 -16 …… ……按上述规律排下去，那么第10行从左边数第9个数是 。

5. 将正奇数如下表排列：按表中的排列规则，数 2005应排在第 行第 列。

6。

已知n （n ≥2）个点P 1、P 2、P 3…P n 在同一平面内，且其中没有任何三点在同一直线上，设Sn 表示过这n 个点中的任意2个点所作的所有直线的条数,显然S 2=1，S 3=3，S 4=6,S 5=10…，由此推断S n = 。

中考数学专题复习 探索性问题复习教案 （新版）新人教版1 /111中考数学专题复习 探索性问题复习教案 （新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（中考数学专题复习 探索性问题复习教案 （新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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探索性问题一、【教材分析】二、【教学流程】2 / 1123 / 113综合运用例2（1）探究新知:如图①，已知△ABC与△ABD的面积相等,试探究AB与CD的位置关系，并说明理由．（2）结论应用:①如图②，点M，N在反比例函数xky （k＞0）的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E,F．试探究MN与EF的位置关系．②若①中的其他条件不变，只改变点M，N的位置如图③所示，试探究MN与EF的位置关系．只有认真观察图象上所给的各个数据及位置特征,灵活运用函数性质,才能找出所有的关系与结论，数形结合是解答此类问题的重要数学思想方法。

学生通过探究新知→应用新知,培养学生的探究应用能力．yNMEA BDC图①G H5 / 115击中考第二步:再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点B′，得 Rt△AB′E，如图2－6－19（2）所示;第三步：沿EB′线折叠得折痕EF，如图2－6－19⑶所示；利用展开图 2－6－19(4）所示探究：（l）△AEF是什么三角形？证明你的结论．(2）对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由．2. 如图2－6－20所示，在Rt△ABC中,6 / 116∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE，交BC于 D，交AB于E，F在DE上，并且A F＝CE．⑴求证:四边形ACEF是平行四边形；⑵当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论；⑶四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？完善整合1.1.知识结构图探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断,补充并加以证明的题型．探索性问题一般有三种类型：（1）条件探索型问题；（2）结论探索型问题；（3)探索存在型问题．条件探索型问题是指所给问题中结论明确，需要完对内容的升华理解认识7 / 1178 / 1182．本这节课你收获了什么？作业一、必做题：1、（2010.荆门中考)如图，坐标平面内一点A(2，－1）,O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（）A 。

专题12：探索性问题一、选择题1.（2017湖南长沙第11题）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是，有人要去某关口，路程378里，第一天健步行走，第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第六天走的路程为（）A．24里B．12里C．6里D．3里2.（2017山东临沂第11题）将一些相同的“”按如图所示摆放，观察每个图形中的“”的个数，若第n个图形中“”的个数是78，则n的值是（）A．11 B．12 C．13 D．143.(2017山东日照第11题)观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为（）4.（2017浙江台州第10题）如图，矩形EFGH的四个顶点分别在菱形ABCD的四条边上，BE BF=，将,AEH CFG∆∆分别沿,EH FG折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的116时，则AEEB为（）A．53B．2 C.52D．45.（2017浙江湖州第10题）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．从544⨯的正方形网格图形中（如图1），从点A经过一次跳马变换可以到达点B，C，D，E等处．现有2020⨯的正方形网格图形（如图2），则从该正方形的顶点M 经过跳马变换到达与其相对的顶点N ，最少需要跳马变换的次数是（ ）A ．13B ．14 C.15 D ．16二、填空题1.(2017山东滨州第18题)观察下列各式： 2111313=-⨯， 2112424=-⨯……请利用你所得结论，化简代数式213⨯＋224⨯＋235⨯＋…＋2(2)n n +（n ≥3且为整数），其结果为__________． 2,(2017山东菏泽第14题)如图，y AB ⊥轴，垂足为B ，将ABO ∆绕点A 逆时针旋转到11O AB ∆的位置，使点B 的对应点1B 落在直线x y 33-=上，再将11O AB ∆绕点1B 逆时针旋转到111O B A ∆的位置，使点1O 的对应点2O 落在直线x y 33-=上，依次进行下去......若点B 的坐标是)1,0(，则点12O 的纵坐标为 ．3.（2017浙江湖州第15题）如图，已知30∠AOB =，在射线OA 上取点1O ，以1O 为圆心的圆与OB 相切；在射线1O A 上取点2O ，以2O 为圆心，21O O 为半径的圆与OB 相切；在射线2O A 上取点3O ，以3O 为圆心，32O O 为半径的圆与OB 相切；⋅⋅⋅；在射线9O A 上取点10O ，以10O 为圆心，109O O 为半径的圆与OB 相切．若1O 的半径为1，则10O 的半径长是 ．4.(2017湖南湘潭第15题)如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=°，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，DE 垂直平分AB ，垂足为E 点，请任意写出一组相等的线段 ．5.(2017浙江舟山第15题)如图，把n 个长为1的正方形拼接成一排，求得71tan ,31tan ,1tan 321=∠=∠=∠C BA C BA C BA ，计算=∠C BA 4tan ，……，按此规律，写出=∠C BA n tan （用含n 的代数式表示）．三、解答题1.（2017山东临沂第25题）数学课上，张老师出示了问题：如图1，AC 、BD 是四边形ABCD 的对角线，若ACB ACD ∠=∠=60ABD ADB ∠=∠=︒，则线段BC ，CD ，AC 三者之间有何等量关系？ 经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长CB 到E ，使BE CD =，连接AE ，证得ABE ADC ≌，从而容易证明ACE 是等边三角形，故AC CE =，所以AC BC CD =+.小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将ABC 绕着点A 逆时针旋转60︒，使AB 与AD 重合，从而容易证明ACF 是等比三角形，故AC CF =，所以AC BC CD =+.在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图4，如果把“ACB ACD ∠=∠=60ABD ADB ∠=∠=︒”改为“ACB ACD ∠=∠=45ABD ADB ∠=∠=︒”，其它条件不变，那么线段BC ，CD ，AC 三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明.（2）小华提出：如图5，如果把“ACB ACD ∠=∠=60ABD ADB ∠=∠=︒”改为“ACB ACD ∠=∠=ABD ADB α∠=∠=”，其它条件不变，那么线段BC ，CD ，AC 三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明.2.(2017山东日照第18题)如图，已知BA=AE=DC ，AD=EC ，CE ⊥AE ，垂足为E ．（1）求证：△DCA ≌△EAC ；（2）只需添加一个条件，即 ，可使四边形ABCD 为矩形．请加以证明．3.(2017浙江金华第23题)如图1，将ABC ∆纸片沿中位线EH 折叠，使点A 的对称点D 落在BC 边上，再将纸片分别沿等腰BED ∆和等腰DHC ∆的底边上的高线EF ，HG 折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．(1)将ABCD 纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形AEFG ，则操作形成的折痕分别是线段_____，_____；:ABCD AEFG S S =矩形 ______.(2)ABCD 纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形EFGH ，若5EF =，12EH =，求AD 的长．(3)如图4，四边形ABCD 纸片满足,,,8,10AD BC AD BC AB BC AB CD <⊥==．小明把该纸片折叠，得到叠合正方形．．．．请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出,AD BC 的长．4.(2017湖南湘潭第26题)如图，动点M 在以O 为圆心，AB 为直径的半圆弧上运动（点M 不与点A B 、及AB 的中点F 重合），连接OM .过点M 作ME AB ⊥于点E ，以BE 为边在半圆同侧作正方形BCDE ，过M 点作O 的切线交射线DC 于点N ，连接BM 、BN .（1）探究：如左图，当M 动点在AF 上运动时；①判断OEMMDN ∆∆是否成立？请说明理由； ②设ME NC k MN+=，k 是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由； ③设MBN α∠=，α是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；（2）拓展：如右图，当动点M 在FB 上运动时；分别判断（1）中的三个结论是否保持不变？如有变化，请直接写出正确的结论.（均不必说明理由）。

1．(2021·杭州市第22题12分)如图，在△ABC中(BC>AC)，∠ACB=90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E(1)、假设13ADDB，AE=2，求EC的长(2)、设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P，问：线段CP可能是△CFG的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由【答案】6；略.考点：等腰三角形的性质、角度之间的关系.【答案】8736561(2128或写成）.考点：正方形的性质；相似三角形的判定及性质；规律探究题.3. (2021·湖州市第23题10分)问题背景：在△AB C中，AB边上的动点D由A向B运动(与A，B不重合)，点E与点D同时出发，由点C沿BC的延长线方向运动(E不与C重合)，连结DE交AC于点F，点H 是线段AF上一点(1)初步尝试：如图1，假设△ABC是等边三角形，DH⊥AC，且点D，E的运动速度相等，求证：HF=AH+CF 小王同学发现可以由以下两种思路解决此问题：思路一：过点D作DG∥BC，交AC于点G，先证GH=AH，再证GF=CF，从而证得结论成立.思路二：过点E作EM⊥A C，交AC的延长线于点M，先证CM=AH，再证HF=M F，从而证得结论成立. 请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过程(如用两种方法作答，那么以第一种方法评分)(2)类比探究：如图2，假设在△ABC中，∠ABC=90°，∠ADH=∠BAC=30°，且点D，E的运动速度之比是31，求ACHF的值.(3)延伸拓展：如图3，假设在△ABC 中，AB=A C ，∠ADH=∠BAC =36°，记BC AC =m ，且点D 、E 的运动速度相等，试用含m 的代数式表示AC HF(直接写出结果，不必写解答过程). 【答案】〔1〕详见解析；〔2〕AC HF =2 ；(3) 1AC m HF m+=.考点：等边三角形的判定及性质；全等三角形的判定及性质；平行线的性质；比例的性质.4.〔2021·丽水市 第23题 10分〕如图，在矩形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为BE 上的一点，连结CF并延长交AB 于点M ，MN ⊥CM 交射线AD 于点N 。

一、选择题1．（2021四川省绵阳市）如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a 1，第2幅图形中“●”的个数为a 2，第3幅图形中“●”的个数为a 3，…，以此类推，则193211111a a a a ++++ 的值为（ ）A ．2120 B ．8461C ．840589D ．760421 2．（2021四川省达州市）如图，将矩形ABCD 绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置，以此类推，这样连续旋转2021次．若AB =4，AD =3，则顶点A 在整个旋转过程中所经过的路径总长为（ ）A ．2021πB ．2034πC ．3024πD ．3026π3．（2021江苏省连云港市）如图所示，一动点从半径为2的⊙O 上的A 0点出发，沿着射线A 0O 方向运动到⊙O 上的点A 1处，再向左沿着与射线A 1O 夹角为60°的方向运动到⊙O 上的点A 2处；接着又从A 2点出发，沿着射线A 2O 方向运动到⊙O 上的点A 3处，再向左沿着与射线A 3O 夹角为60°的方向运动到⊙O 上的点A 4处；…按此规律运动到点A 2021处，则点A 2021与点A 0间的距离是（ ）A ．4B ．23C ．2D ．0 4．（2021重庆市B 卷）下列图象都是由相同大小的按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有4颗，第②个图形中一共有11颗，第③个图形中一共有21颗，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中的颗数为（ ）A ．116B ．144C ．145D ．150二、填空题5．（2021山东省济宁市）请写出一个过点（1，1），且与x 轴无交点的函数解析式： ． 6．（2021山东省济宁市）如图，正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1的边长为1，它的六条对角线又围成一个正六边形A 2B 2C 2D 2E 2F 2，如此继续下去，则正六边形A 4B 4C 4D 4E 4F 4的面积是 ．三、解答题7．（2021四川省南充市）如图，在正方形ABCD 中，点E 、G 分别是边AD 、BC 的中点，AF =14AB ． （1）求证：EF ⊥AG ；（2）若点F 、G 分别在射线AB 、BC 上同时向右、向上运动，点G 运动速度是点F 运动速度的2倍，EF ⊥AG 是否成立（只写结果，不需说明理由）？（3）正方形ABCD 的边长为4，P 是正方形ABCD 内一点，当PAB OAB S S ∆∆=，求△PAB 周长的最小值．8．（2021四川省达州市）如图，在△ABC 中，点O 是边AC 上一个动点，过点O 作直线EF ∥BC 分别交∠ACB 、外角∠ACD 的平分线于点E 、F ． （1）若CE =8，CF =6，求OC 的长；（2）连接AE 、AF ．问：当点O 在边AC 上运动到什么位置时，四边形AECF 是矩形？并说明理由．9．（2021四川省达州市）探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），可通过构造直角三角形利用图1得到结论：()()22122121PP x x y y =-+-他还利用图2证明了线段P 1P 2的中点P （x ，y ）P 的坐标公式：122x x x +=，122y y y +=．（1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；运用：（2）①已知点M （2，﹣1），N （﹣3，5），则线段MN 长度为 ；②直接写出以点A （2，2），B （﹣2，0），C （3，﹣1），D 为顶点的平行四边形顶点D 的坐标： ； 拓展：（3）如图3，点P （2，n ）在函数43y x =（x ≥0）的图象OL 与x 轴正半轴夹角的平分线上，请在OL 、x 轴上分别找出点E 、F ，使△PEF 的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值．10．（2021山东省枣庄市）如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，点O 在AB 上，以点O 为圆心，OA 为半径的圆恰好经过点D ，分别交AC ，AB 于点E ，F ．（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BD=23，BF=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．11．（2021山东省枣庄市）已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F 在线段CB的延长线上，连接EA，EC．（1）如图1，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA=EC；（2）如图2，若点P在线段AB的中点，连接AC，判断△ACE的形状，并说明理由；（3）如图3，若点P在线段AB上，连接AC，当EP平分∠AEC时，设AB=a，BP=b，求a：b及∠AEC 的度数．12．（2021山西省）如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，OD⊥AB，与AC交于点E，与过点C 的⊙O的切线交于点D．（1）若AC=4，BC=2，求OE的长．（2）试判断∠A与∠CDE的数量关系，并说明理由．13．（2021江苏省盐城市）如图，矩形ABCD中，∠ABD、∠CDB的平分线BE、DF分别交边AD、BC于点E、F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当∠ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明理由．14．（2021江苏省盐城市）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，AE平分∠BAC交边BC于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上，⊙F与y轴相交于另一点G．（1）求证：BC是⊙F的切线；（2）若点A、D的坐标分别为A（0，﹣1），D（2，0），求⊙F的半径；（3）试探究线段AG、AD、CD三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．15．（2021江苏省盐城市）（探索发现】如图①，是一张直角三角形纸片，∠B=60°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为．【拓展应用】如图②，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为．（用含a，h的代数式表示）【灵活应用】如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE ，AB =32，BC =40，AE =20，CD =16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B 为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积． 【实际应用】如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD ，经测量AB =50cm ，BC =108cm ，CD =60cm ，且tan B =tan C =43，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M 、N 在边BC 上且面积最大的矩形PQMN ，求该矩形的面积． 16．（2021江苏省连云港市）如图，已知等腰三角形ABC 中，AB =AC ，点D 、E 分别在边AB ．AC 上，且AD =AE ，连接BE 、CD ，交于点F ．（1）判断∠ABE 与∠ACD 的数量关系，并说明理由； （2）求证：过点A 、F 的直线垂直平分线段BC ．17．（2021江苏省连云港市）问题呈现：如图1，点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上，AE =DG ，求证：2ABCD EFGH S S 矩形四边形．（S表示面积）实验探究：某数学实验小组发现：若图1中AH ≠BF ，点G 在CD 上移动时，上述结论会发生变化，分别过点E 、G 作BC 边的平行线，再分别过点F 、H 作AB 边的平行线，四条平行线分别相交于点A 1、B 1、C 1、D 1，得到矩形A 1B 1C 1D 1．如图2，当AH ＞BF 时，若将点G 向点C 靠近（DG ＞AE ），经过探索，发现：2S四边形EFGH =S矩形ABCD +S．如图3，当AH ＞BF 时，若将点G 向点D 靠近（DG ＜AE ），请探索S 四边形EFGH 、S 矩形ABCD 与S 之间的数量关系，并说明理由． 迁移应用：请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题：（1）如图4，点E 、F 、G 、H 分别是面积为25的正方形ABCD 各边上的点，已知AH ＞BF ，AE ＞DG ，S 四边形EFGH=11，HF 29，求EG 的长．（2）如图5，在矩形ABCD 中，AB =3，AD =5，点E 、H 分别在边AB 、AD 上，BE =1，DH =2，点F 、G 分别是边BC、CD上的动点，且FG=10，连接EF、HG，请直接写出四边形EFGH面积的最大值．18．（2021湖北省襄阳市）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是中线，AC=BC，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E，F，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N．（1）如图1，若CE=CF，求证：DE=DF；（2）如图2，在∠EDF绕点D旋转的过程中：①探究三条线段AB，CE，CF之间的数量关系，并说明理由；②若CE=4，CF=2，求DN的长．。

2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】（第01期）专题14二次函数解答压轴题（共32题）姓名：__________________班级：______________得分：_________________一、解答题1．（2021·北京中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点()1,m 和点()3n ,在抛物线()20y ax bx a =+>上．（1）若3,15m n ==，求该抛物线的对称轴；（2）已知点()()()1231,,2,,4,y y y -在该抛物线上．若0mn <，比较123,,y y y 的大小，并说明理由．【答案】（1）1x =-；（2）213y y y <<，理由见解析【分析】（1）由题意易得点()1,3和点()3,15，然后代入抛物线解析式进行求解，最后根据对称轴公式进行求解即可；（2）由题意可分当0,0m n <>时和当0,0m n ><时，然后根据二次函数的性质进行分类求解即可．【详解】解：（1）当3,15m n ==时，则有点()1,3和点()3,15，代入二次函数()20y ax bx a =+>得：39315a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：12a b =⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为22y x x =+，∴抛物线的对称轴为12b x a=-=-；（2）由题意得：抛物线()20y ax bx a =+>始终过定点()0,0，则由0mn <可得：①当0,0m n ><时，由抛物线()20y ax bx a =+>始终过定点()0,0可得此时的抛物线开口向下，即0a <，与0a >矛盾；②当0,0m n <>时，∵抛物线()20y ax bx a =+>始终过定点()0,0，∴此时抛物线的对称轴的范围为1322x <<，∵点()()()1231,,2,,4,y y y -在该抛物线上，∴它们离抛物线对称轴的距离的范围分别为()3513571,2,4222222x x x <--<<-<<-<，∵0a >，开口向上，∴由抛物线的性质可知离对称轴越近越小，∴213y y y <<．【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．2．（2021·江苏南京市·中考真题）已知二次函数2y ax bx c =++的图像经过()()2,1,2,3--两点．（1）求b 的值．（2）当1c >-时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是________．（3）设()0m ,是该函数的图像与x 轴的一个公共点，当13m -<<时，结合函数的图像，直接写出a 的取值范围．【答案】（1）1b =-；（2）1；（3）0a <或45a >．【分析】（1）将点()()2,1,2,3--代入求解即可得；（2）先求出二次函数的顶点的纵坐标，再利用完全平方公式、不等式的性质求解即可得；（3）分0a <和0a >两种情况，再画出函数图象，结合图象建立不等式组，解不等式组即可得．【详解】解：（1）将点()()2,1,2,3--代入2y ax bx c =++得：421423a b c a b c -+=⎧⎨++=-⎩，两式相减得：44b -=，解得1b =-；（2）由题意得：0a ≠，由（1）得：2211()24y ax x c a x c a a=-+=-+-，则此函数的顶点的纵坐标为14c a -，将点()2,3-代入2y ax x c =-+得：423a c -+=-，解得41a c -=+，则1141c c a c -=++，下面证明对于任意的两个正数00,x y ，都有00x y +≥2000x y =+- ，00x y ∴+≥（当且仅当00x y =时，等号成立），当1c >-时，10c +>，则11111111c c c c +=++-≥-=++（当且仅当111c c +=+，即0c =时，等号成立），即114c a-≥，故当1c >-时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是1；（3）由423a c -+=-得：41c a =--，则二次函数的解析式为241(0)y ax x a a =---≠，由题意，分以下两种情况：①如图，当0a <时，则当1x =-时，0y >；当3x =时，0y <，即141093410a a a a +-->⎧⎨---<⎩，解得0a <；②如图，当0a >时，当1x =-时，14130y a a a =+--=-<，∴当3x =时，93410y a a =--->，解得45a >，综上，a 的取值范围为0a <或45a >．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，较难的是题（3），熟练掌握函数图象法是解题关键．3．（2021·安徽中考真题）已知抛物线221(0)y ax x a =-+≠的对称轴为直线1x =．（1）求a 的值；（2）若点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）都在此抛物线上，且110x -<<，212x <<．比较y 1与y 2的大小，并说明理由；（3）设直线(0)y m m =>与抛物线221y ax x =-+交于点A 、B ，与抛物线23(1)y x =-交于点C ，D ，求线段AB 与线段CD 的长度之比．【答案】（1）1a =；（2）12y y >，见解析；（3【分析】（1）根据对称轴2b x a=-，代值计算即可（2）根据二次函数的增减性分析即可得出结果（3）先根据求根公式计算出1x =±再表示出1(1)|AB =+-，12CD x x =-=3=，即可得出结论【详解】解：（1）由题意得：212x a-=-=1a \=（2） 抛物线对称轴为直线1x =，且10a =>∴当1x <时，y 随x 的增大而减小，当1x >时，y 随x 的增大而增大．∴当111x -<<时，y 1随x 1的增大而减小，1x =-时，4y =，0x =时，1y =114y ∴<<同理：212x <<时，y 2随x 2的增大而增大1x = 时，0y =．2x =时，1y =201y ∴<<12y y ∴>（3）令221x x m-+=22(1)0x x m -+-=2(2)41(1)m ∆=--⋅⋅-4m=2121x ∴==⋅11x ∴=+21x =|1(1)|AB ∴=-=令23(1)x m-=2(1)3m x ∴-=113x ∴=+213x =-+12CD x x ∴=-233=3AB CD ∴==∴AB 与CD【点睛】本题考查二次函数的图像性质、二次函数的解析式、对称轴、函数的交点、正确理解二次函数的性质是关键，利用交点的特点解题是重点4．（2021·浙江绍兴市·中考真题）小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体ACB 是抛物线的一部分，抛物线的顶点C 在y 轴上，杯口直径4AB =，且点A ，B 关于y 轴对称，杯脚高4CO =，杯高8DO =，杯底MN 在x 轴上．（1）求杯体ACB 所在抛物线的函数表达式（不必写出x 的取值范围）．（2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体A CB ''所在抛物线形状不变，杯口直径//A B AB ''，杯脚高CO 不变，杯深CD '与杯高OD '之比为0.6，求A B ''的长．【答案】（1）24y x =+；（2）【分析】（1）确定B 点坐标后，设出抛物线解析式，利用待定系数法求解即可；（2）利用杯深CD ′与杯高OD ′之比为0.6，求出OD ′，接着利用抛物线解析式求出B '或A '横坐标即可完成求解．【详解】解：（1）设24y ax =+，∵杯口直径AB =4，杯高DO =8，∴()2,8B 将2x =，8y =代入，得1a =，24y x ∴=+．（2）0.6CD OD ''= ，0.64CD CD '∴=+'，6CD ∴'=，10OD '=，当10y =时，2104x =+，1x =或2x =，A B ∴''=，即杯口直径A B ''的长为【点睛】本题考查了抛物线的应用，涉及到待定系数法求抛物线解析式、求抛物线上的点的坐标等内容，解决本题的关键是读懂题意，找出相等关系列出等式等．5．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 为正方形，点A ，B 在x 轴上，抛物线2y x bx c =++经过点B ，()4,5D -两点，且与直线DC 交于另一点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）F 为抛物线对称轴上一点，Q 为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形．若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）P 为y 轴上一点，过点P 作抛物线对称轴的垂线，垂足为M ，连接ME ，BP ．探究EM MP PB ++是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）223y x x =+-；（2）存在以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形，点F的坐标为(-或(1,-或(1,5--或(1,5-+；（3）EM MP PB ++存在最小值，1+，此时点M 的坐标为51,4⎛⎫- ⎪⎝⎭．【分析】（1）由题意易得5AD AB ==，进而可得()4,0A -，则有()10B ,，然后把点B 、D 代入求解即可；（2）设点()1,F a -，当以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形时，则根据菱形的性质可分①当BF BE =时，②当EF BE =时，然后根据两点距离公式可进行分类求解即可；（3）由题意可得如图所示的图象，连接OM 、DM ，由题意易得DM =EM ，四边形BOMP 是平行四边形，进而可得OM =BP ，则有1EM MP PB DM MO ++=++，若使EM MP PB ++的值为最小，即1DM MO ++为最小，则有当点D 、M 、O 三点共线时，1DM MO ++的值为最小，然后问题可求解．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 为正方形，()4,5D -，∴5AD AB ==，()4,0A -，∴4AO =，∴OB =1，∴()10B ,，把点B 、D 坐标代入得：164510b c b c -+=⎧⎨++=⎩，解得：23b c =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =+-；（2）由（1）可得()10B ,，抛物线解析式为223y x x =+-，则有抛物线的对称轴为直线1x =-，∵点D 与点E 关于抛物线的对称轴对称，∴()2,5E ，∴由两点距离公式可得()()222120526BE =-+-=，设点()1,F a -，当以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形时，则根据菱形的性质可分：①当BF BE =时，如图所示：∴由两点距离公式可得22BF BE =，即()()2211026a ++-=，解得：a =∴点F 的坐标为(-或(1,-；②当EF BE =时，如图所示：∴由两点距离公式可得22EF BE =，即()()2221526a ++-=，解得：5a =±∴点F 的坐标为(1,5--或(1,5-+；综上所述：当以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形，点F 的坐标为(-或(1,-或(1,5--或(1,5-+；（3）由题意可得如图所示：连接OM 、DM ，由（2）可知点D 与点E 关于抛物线的对称轴对称，()10B ,，∴1OB =，DM =EM ，∵过点P 作抛物线对称轴的垂线，垂足为M ，∴1,//PM OB PM OB ==，∴四边形BOMP 是平行四边形，∴OM =BP ，∴1EM MP PB DM MO ++=++，若使EM MP PB ++的值为最小，即1DM MO ++为最小，∴当点D 、M 、O 三点共线时，1DM MO ++的值为最小，此时OD 与抛物线对称轴的交点为M ，如图所示：∵()4,5D -，∴OD ==∴1DM MO ++1+，即EM MP PB ++1+，设线段OD 的解析式为y kx =，代入点D 的坐标得：54k =-，∴线段OD 的解析式为54y x =-，∴51,4M ⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质，熟练掌握二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质是解题的关键．6．（2021·四川南充市·中考真题）如图，已知抛物线2()40y ax bx a =++≠与x 轴交于点A （1，0）和B ，与y 轴交于点C ，对称轴为52x =．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P 是线段BC 上的一个动点（不与点B ，C 重合），过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点Q ，连接OQ ．当线段PQ 长度最大时，判断四边形OCPQ 的形状并说明理由．（3）如图2，在（2）的条件下，D 是OC 的中点，过点Q 的直线与抛物线交于点E ，且2DQE ODQ ∠=∠．在y 轴上是否存在点F ，使得BEF 为等腰三角形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）254y x x =-+；（2）四边形OCPQ 是平行四边形，理由见详解；（3）（0，258）或（0，1）或（0，-1）【分析】（1）设抛物线(1)(4)y a x x =--，根据待定系数法，即可求解；（2）先求出直线BC 的解析式为：y =-x +4，设P （x ，-x +4），则Q （x ，254x x -+），（0≤x ≤4），得到PQ =()224x --+，从而求出线段PQ 长度最大值，进而即可得到结论；（3）过点Q 作QM ⊥y 轴，过点Q 作QN ∥y 轴，过点E 作EN ∥x 轴，交于点N ，推出MDQ DQN EQN ∠=∠=∠，从而得MQ NE MD NQ=，进而求出E （5，4），设F （0，y ），分三种情况讨论，【详解】解：（1）∵抛物线2()40y ax bx a =++≠与x 轴交于点A （1，0）和B ，与y 轴交于点C ，对称轴为直线52x =，∴B （4，0），C （0，4），设抛物线(1)(4)y a x x =--，把C （0，4）代入得：)40(0)1(4a ⨯-=-，解得：a =1，∴抛物线的解析式为：254y x x =-+；（2）∵B （4，0），C （0，4），∴直线BC 的解析式为：y =-x +4，设P （x ，-x +4），则Q （x ，254x x -+），（0≤x ≤4），∴PQ =-x +4-(254x x -+)=24x x -+=()224x --+，∴当x =2时，线段PQ 长度最大=4，∴此时，PQ =CO ，又∵PQ ∥CO ，∴四边形OCPQ 是平行四边形；（3）过点Q 作QM ⊥y 轴，过点Q 作QN ∥y 轴，过点E 作EN ∥x 轴，交于点N ，由（2）得：Q （2，-2），∵D 是OC 的中点，∴D （0，2），∵QN ∥y 轴，∴ODQ DQN ∠=∠，又∵2DQE ODQ ∠=∠，∴2DQE DQN ∠=∠，∴MDQ DQN EQN ∠=∠=∠，∴tan tan MDQ EQN ∠=∠，即：MQ NE MD NQ=，设E （x ，254x x -+），则222454(2)x x x -=-+--，解得：15=x ，22x =（舍去），设F （0，y ），则()()222240016BF y y =-+-=+，()()()2222504254EF y y =-+-=+-，()()222544017BE =-+-=，①当BF =EF 时，()2216254y y +=+-，解得：258y =，②当BF =BE 时，21617y +=，解得：1y =或1y =-，③当EF =BE 时，()225417y +-=，无解，综上所述：点F 的坐标为：（0，258）或（0，1）或（0，-1）．．【点睛】本题主要考查二次函数与平面几何的综合，掌握二次函数的性质以及图像上点的坐标特征，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．7．（2021·四川广元市·中考真题）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴分别相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，下表给出了这条抛物线上部分点(,)x y 的坐标值：x…1-0123…y …03430…（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M 的坐标；（2）PQ 是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P 在点Q 上方），求AQ QP PC ++的最小值；（3）如图2，点D 是第四象限内抛物线上一动点，过点D 作DF x ⊥轴，垂足为F ，ABD △的外接圆与DF 相交于点E ．试问：线段EF 的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．【答案】（1）()214y x =--+；()1,4M ；（2）1；（3）是，1．【分析】（1）依据表格数据，设出抛物线的顶点式，利用待定系数法求解即可；（2）利用平移和找对称点的方式，将AQ QP PC ++的长转化为1PE PC ++，再利用两点之间线段最短确定PE PC +的最小值等于CE 的长，加1后即能确定1PE PC ++的最小值；（3）设出圆心和D 点的坐标，接着表示出E 点的坐标，利用圆心到B 点的距离等于圆心到D 点的距离，求出q 和e 的关系，得到E 点的纵坐标，进而确定EF 的长为定值．【详解】解：（1）由表格数据可知，顶点坐标为（1,4）设抛物线解析式为：()214y a x =-+，将点（0,3）代入解析式得：3=a +4，∴1a =-，∴抛物线解析式为：()214y x =--+，顶点坐标()1,4M ．（2）由表格可知，抛物线经过点A （-1,0），C （0,3），如图3，将A 点向上平移一个单位，得到()'1,1A -，则'//'=AA PQ AA PQ ，，∴四边形'AA PQ 是平行四边形，∴'=PA QA ，作'A 关于MQ 的对称点E ，则()3,1,E ∴'=PA PE ，∴=1AQ QP PC PE PC ++++，当P 、E 、C 三点共线时，PE PC +最短，设直线CE 的解析式为：y mx n =+，将C 、E 两点坐标代入解析式可得：331n m n =⎧⎨+=⎩，∴323n m =⎧⎪⎨=-⎪⎩，∴直线CE 的解析式为：233y x =-+，令1x =，则73y =，∴当713P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，时，P 、E 、C 三点共线，此时=PE PC EC +最短，∴AQ QPPC ++1．（3）是；理由：设,D p q （），因为A 、B 两点关于直线x =1对称，所以圆心位于该直线上，所以可设ABD △的外接圆的圆心为()'1,O e ，作'O N DF ⊥，垂足为点N ，则,N p e （），由DF x ⊥轴，∴,2E p e q -（），∵'='O D O B ，且由表格数据可知()3,0B ∴()()()()2222310=1e p q e -+--+-，化简得：()()22241e p q e +=-+-，∵点D 是第四象限内抛物线上一动点，且抛物线解析式为()214y x =--+，∴()214q p =--+，∴()214p q -=-，∴()2244e q q e +=-+-，∵0q ≠，∴21e q -=-，∴,1E p -（），∴1EF =，即EF 的长不变，为1．【点睛】本题涉及到了动点问题，综合考查了用待定系数法求抛物线解析式、点的平移、勾股定理、平行四边形的判定与性质、最短路径问题、圆的性质等内容，解决本题的关键是理解并掌握相关概念与公式，能将题干信息与图形相结合，挖掘图中隐含信息，本题有一定的计算量，对学生的综合分析与计算能力都有较高的要求，本题蕴含了数形结合的思想方法等．8．（2021·湖北荆州市·中考真题）已知：直线1y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点C 为直线AB 上一动点，连接OC ，AOC ∠为锐角，在OC 上方以OC 为边作正方形OCDE ，连接BE ，设BE t =．（1）如图1，当点C 在线段AB 上时，判断BE 与AB 的位置关系，并说明理由；（2）真接写出点E 的坐标（用含t 的式子表示）；（3）若tan AOC k ∠=，经过点A 的抛物线()20y ax bx c a =++>顶点为P ，且有6320a b c ++=，POA 的面积为12k ．当2t =时，求抛物线的解析式．【答案】（1）BE ⊥AB ，理由见解析；（2）（,122t t --）；（3）243y x x =-+【分析】（1）先求出点A 、B 的坐标，则可判断△AOB 是等腰直角三角形，然后结合正方形的旋转可证明△AOC ≌△BOE （SAS ），可得∠OBE =∠OAC =45°，进而可得结论；（2）作辅助线如图1（见解析），根据正方形的性质可证△MOC ≌△NEO ，可得CM =ON ，OM =EN ，由（1）的结论可得AC =BE =t ，然后解等腰直角△ACM ，可求出22AM CM t ==，进而可得答案；（3）由抛物线过点A 结合已知条件可求出抛物线的对称轴是直线x =2，然后由（2）可求出当2t =时k =1，进一步即可求出点P 的纵坐标，从而可得顶点P 的坐标，于是问题可求解．【详解】解：（1）BE ⊥AB ，理由如下：对于直线y =-x +1，当x =0时，y =1，当y =0时，x =1，∴B （0，1），A （1，0），∴OA =OB =1，∴∠OBA =∠OAB =45°，∵四边形OCDE 是正方形，∴OC =OE ，∠COE =90°，∵∠AOB =90°，∴∠AOC =∠BOE ，∴△AOC ≌△BOE （SAS ），∴∠OBE =∠OAC =45°，∴∠EBC =∠EBO +∠OBA =45°+45°=90°，即BE ⊥AB ；（2）作CM ⊥OA 于点M ，作EN ⊥x 轴于点N ，如图1，则∠CMO =∠ENO =90°，∵∠EON +∠NEO =∠EON +∠COM =90°，∴∠NEO =∠COM ，又∵OC =OE ，∴△MOC ≌△NEO ，∴CM =ON ，OM =EN ，在△ACM 中，∠CMA =90°，∠MAC =45°，AC =BE =t ，∴2AM CM t ==，∴212OM t =-，∵点E 在第二象限，∴点E 的坐标是（,122t t --）；（3）∵抛物线过点A （1，0），∴a +b +c =0，∵6320a b c ++=，∴消去c 可得b =-4a ，∴抛物线的对称轴是直线x =2，如图1，当2t =时，由（2）可得2AC =，∴12AM CM ==，∴11122OM CM =-==，∴tan 1AOC ∠=，即k =1，∴△POA 的面积为12，即11122P y ⨯⨯=，解得1P y =，∵a ＞0，∴顶点P 的纵坐标是-1，∴点P （2，-1），设()221y a x =--，把点A （1，0）代入，可求得a =1，∴抛物线的解析式是()222143y x x x =--=-+．【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一次函数的性质以及等腰直角三角形的判定和性质等知识，具有一定的难度，熟练掌握相关知识、灵活应用数形结合的思想是解题的关键．9．（2021·四川资阳市·中考真题）抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且()()1,0,0,3B C -．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P 是抛物线上位于直线AC 上方的一点，BP 与AC 相交于点E ，当:1:2PE BE =时，求点P 的坐标；（3）如图2，点D 是抛物线的顶点，将抛物线沿CD 方向平移，使点D 落在点D ¢处，且2DD CD '=，点M 是平移后所得抛物线上位于D ¢左侧的一点，//MN y 轴交直线OD '于点N ，连结CN ．当55D N CN '+的值最小时，求MN 的长．【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）(1,4)P 或(2,3)P ；（3）34．【分析】（1）利用待定系数法即可得；（2）设点P 的坐标为2(,23)P a a a -++，先利用待定系数法求出直线AC 的解析式，再根据:1:2PE BE =可得点E 的坐标，代入直线AC 的解析式求解即可得；（3）先根据2DD CD '=求出点D ¢的坐标，再根据二次函数图象的平移规律得出平移后的函数解析式，设点M 的坐标，从而可得点N 的坐标，然后根据两点之间的距离公式可得55D N CN '+，最后根据两点之间线段最短、垂线段最短求解即可得．【详解】解：（1）由题意，将点()()1,0,0,3B C -代入2y x bx c =-++得：103b c c --+=⎧⎨=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩，则抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++；（2）对于二次函数2y x 2x 3=-++，当0y =时，2230x x -++=，解得1x =-或3x =，(3,0)A ∴，设点P 的坐标为2(,23)(03)P a a a a -++<<，点E 的坐标为11(,)E x y ，:1:2,(1,0)PE BE B =- ，1121111223102a x x a a y y -⎧=⎪+⎪∴⎨-++-⎪=⎪-⎩，解得121213324233x a y a a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，22124(,2)3333E a a a ∴--++，设直线AC 的解析式为y kx t =+，将点(3,0),(0,3)A C 代入得：303k t t +=⎧⎨=⎩，解得13k t =-⎧⎨=⎩，则直线AC 的解析式为3y x =-+，将点22124(,2)3333E a a a --++代入得：22124323333a a a -++=-++，解得1a =或2a =，当1a =时，2231234a a -++=-++=，此时(1,4)P ，当2a =时，22342233a a -++=-+⨯+=，此时(2,3)P ，综上，点P 的坐标为(1,4)P 或(2,3)P ；（3）二次函数2223(1)4y x x x =-++=--+的顶点D 坐标为(1,4)D ，设点D ¢的坐标为22(,)D x y '，2,(0,3),(1,4)DD C D D C '= ，2212104243x y -⎧=⎪⎪-∴⎨-⎪=⎪-⎩，解得2236x y =⎧⎨=⎩，(3,6)D '∴，则平移后的二次函数的解析式为22(3)663y x x x =--+=-+-，设直线OD '的解析式为0y k x =，将点(3,6)D '代入得：036k =，解得02k =，则直线OD '的解析式为2y x =，设点M 的坐标为2(,63)(3)M m m m m -+-<，则点N 的坐标为(,2)N m m ，如图，连接AD '，过点N 作NF AD '⊥于点F ，过点C 作CG AD '⊥于点G ，交OD '于点N '，连接CF ，(3,0),(3,6)D A ' ，AD x '∴⊥轴，3FN m ∴=-，35D N CN CN m CN FN CN '+==-+=+，由两点之间线段最短得：FN CN +的最小值为CF ，由垂线段最短得：当点F 与点G 重合时，CF 取得最小值CG ，此时点N 与点N '重合，则点N '的纵坐标与点C 的纵坐标相等，即23m =，解得32m =，则2263243MN m m m m m =-+--=-+-，233()4322=-+⨯-，34=．【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象的平移规律、垂线段最短等知识点，较难的是题（3），正确求出平移后的抛物线的解析式是解题关键．10．（2021·四川南充市·中考真题）超市购进某种苹果，如果进价增加2元/千克要用300元；如果进价减少2元/千克，同样数量的苹果只用200元．（1）求苹果的进价．（2）如果购进这种苹果不超过100千克，就按原价购进；如果购进苹果超过100千克，超过部分购进价格减少2元/千克．写出购进苹果的支出y （元）与购进数量x （千克）之间的函数关系式．（3）超市一天购进苹果数量不超过300千克，且购进苹果当天全部销售完．据统计，销售单价z （元/千克）与一天销售数量x （千克）的关系为112100z x =-+．在（2）的条件下，要使超市销售苹果利润w （元）最大，求一天购进苹果数量．（利润＝销售收入-购进支出）【答案】（1）苹果的进价为10元/千克；（2）10(100)8200(100)x x y x x ≤⎧=⎨+>⎩；（3）要使超市销售苹果利润w 最大，一天购进苹果数量为200千克．【分析】（1）设苹果的进价为x 元/千克，根据等量关系，列出分式方程，即可求解；（2）分两种情况：当x ≤100时，当x ＞100时，分别列出函数解析式，即可；（3）分两种情况：若x ≤100时，若x ＞100时，分别求出w 关于x 的函数解析式，根据二次函数的性质，即可求解．【详解】解：（1）设苹果的进价为x 元/千克，由题意得：30020022x x =+-，解得：x =10，经检验：x =10是方程的解，且符合题意，答：苹果的进价为10元/千克；（2）当x ≤100时，y =10x ，当x ＞100时，y =10×100+（10-2）×（x -100）=8x +200，∴10(100)8200(100)x x y x x ≤⎧=⎨+>⎩；（3）若x ≤100时，w =zx-y =21112102100100x x x x x ⎛⎫-+-=-+ ⎪⎝⎭=()21100100100x --+，∴当x =100时，w 最大=100，若x ＞100时，w =zx-y =()2111282004200100100x x x x x ⎛⎫-+-+=-+- ⎪⎝⎭=()21200200100x --+，∴当x =200时，w 最大=200，综上所述：当x =200时，超市销售苹果利润w 最大，答：要使超市销售苹果利润w 最大，一天购进苹果数量为200千克．【点睛】本题主要考查分式方程、一次函数、二次函数的实际应用，根据数量关系，列出函数解析式和分式方程，是解题的关键．11．（2021·湖北十堰市·中考真题）已知抛物线25y ax bx =+-与x 轴交于点()1,0A -和()5,0B -，与y 轴交于点C ，顶点为P ，点N 在抛物线对称轴上且位于x 轴下方，连AN 交抛物线于M ，连AC 、CM ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当tan 2ACM ∠=时，求M 点的横坐标；（3）如图2，过点P 作x 轴的平行线l ，过M 作MD l ⊥于D，若MD =，求N 点的坐标．【答案】（1）265y x x =---；（2）6311-；（3）(3,2N ---【分析】（1）将点()1,0A -和点()5,0B -代入解析式，即可求解；（2）由tan 2ACM ∠=想到将ACM ∠放到直角三角形中，即过点A 作AE AC ⊥交CM 的延长线于点E ，即可知2AE AC=，再由90AOC EAC ∠=∠=︒想到过点E 作EF x ⊥轴，即可得到AOC EFC ∆∆∽，故点E 的坐标可求，结合点C 坐标可求直线CE 解析式，点M 是直线CE 与抛物线交点，联立解析式即可求解；（3）过点M 作L 的垂线交于点D ，故设点M 的横坐标为m ，则点M 的纵坐标可表示，且MD 的长度也可表示，由//HM NQ 可得AHM AQN ∆∆∽即可结合两点间距离公式表示出MN，最后由MD =即可求解【详解】解：（1）将点()1,0A -和点()5,0B -代入25y ax bx =+-得5025550a b a b --=⎧⎨--=⎩，解得：16a b =-⎧⎨=-⎩265y x x ∴=---（2）点A 作AE AC ⊥交CM 的延长线于点E ，过E 作EF x ⊥轴于,E 如下图EF x ⊥ 轴，AE AC⊥90EFA EAC ∴∠=∠=︒90FAE OAC ∴∠+∠=︒又90ACO OAC ∴∠+∠=︒EAF ACO∴∠=∠AOC EFA∴∆∆∽AC AO CO EA EF AF∴==tan 2ACM ∠= 即2AE AC =12AC AO CO EA EF AF ∴===当0x =时，5y =-()0,5C ∴-即5OC =2,10EF AF ∴==即()11,2E --∴设直线CE 的解析式为()0y kx b k =+≠，并将C 、E 两点代入得1125k b b -+=-⎧⎨=-⎩解得3115k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩3511y x ∴=--点M 是直线CE 与抛物线交点2351165y x y x x ⎧=--⎪∴⎨⎪=---⎩解得1263,011x x =-=（不合题意，舍去）∴点M 的横坐标为6311-（3）设过点M 垂直于L 的直线交x 轴于点H ，对称轴交x 轴于点Q ，M 的横坐标为m则OH m=-1AH m∴=--265y x x =--- ∴对称轴32b x a=-=-∴P 、Q 、N 的横坐标为3-，即3OQ =2AQ OQ OA ∴=-=∴当3x =-时，()()233654y =----⨯-=()3,4P ∴-∴点D 的纵坐标为4∴()()222465693MD m m m m m =----=++=+ //HM NQ∴AHM AQN ∆∆∽AH HM AQ QN ∴=即21652m m m QN--++=210QN m ∴=--()3,210N m ∴-+()()()2222223652103351MN m m m m m m ⎡⎤⎡⎤∴=-+-----=+++⎣⎦⎣⎦MD = 223MD MN ∴=，即()()()42233351m m m ⎡⎤+=+++⎣⎦，30,3m m +==- 不符合题意，舍去，当30m+≠时，2224690,m m∴++=解得1262m-±=，由题意知1262m--=()3,26N∴---【点睛】本题考察二次函数的综合运用、相似三角形、锐角三角函数的运用、交点坐标的求法和两点间的距离公式，属于综合运用题，难度偏大．解题的关键是由锐角三角函数做出辅助线和设坐标的方程思想．12．（2021·湖北十堰市·中考真题）某商贸公司购进某种商品的成本为20元/kg ，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价y （元/kg ）与时间x （天）之间的函数关系式为：0.2530(120)35(2040)x x y x +≤≤⎧=⎨<≤⎩且x 为整数，且日销量()kg m 与时间x （天）之间的变化规律符合一次函数关系，如下表：时间x （天）13610…日销量()kg m 142138132124…填空：（1）m 与x 的函数关系为___________；（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售1kg 商品就捐赠n 元利润（4n <）给当地福利院，后发现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x 的增大而增大，求n 的取值范围．【答案】（1）2144m x =-+；（2）第16天销售利润最大，最大为1568元；（3）02n <≤【分析】（1）设m kx b =+，将()1142,，()3138,代入，利用待定系数法即可求解；（2）分别写出当120x ≤≤时与当2040x <≤时的销售利润表达式，利用二次函数和一次函数的性质即可求解；（3）写出在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润表达式，根据二次函数的性质可得对称轴16220n +≤，求解即可．【详解】解：（1）设m kx b =+，将()1142,，()3138,代入可得：1421383k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得2144k b =-⎧⎨=⎩，∴2144m x =-+；（2）当120x ≤≤时，销售利润()()()212021440.2530201615682W my m x x x =-=-++-=--+，当16x =时，销售利润最大为1568元；当2040x <≤时，销售利润20302160W my m x =-=-+，当21x =时，销售利润最大为1530元；综上所述，第16天销售利润最大，最大为1568元；（3）在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润为：()()()21'200.2510214416214401442W my m nm x n x x n x n =--=+--+=-+++-，∵120x ≤≤时，'W 随x 的增大而增大，∴对称轴16220n +≤，解得02n <≤．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的实际应用，掌握二次函数与一次函数的性质是解题的关键．13．（2021·四川达州市·中考真题）渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克．为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施．批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．（1）写出工厂每天的利润W 元与降价x 元之间的函数关系．当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？（2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？（3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？【答案】（1）2504009000W x x =-++，9600；（2）降价4元，最大利润为9800元；（3）43【分析】（1）若降价x 元，则每天销量可增加50x 千克，根据利润公式求解并整理即可得到解析式，然后代入2x =求出对应函数值即可；（2）将（1）中的解析式整理为顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可；（3）令9750W =可解出对应的x 的值，然后根据“让利于民”的原则选择合适的x 的值即可．【详解】（1）若降价x 元，则每天销量可增加50x 千克，∴()()500504830W x x =+--，整理得：2504009000W x x =-++，当2x =时，2502400290009600W =-⨯+⨯+=，∴每天的利润为9600元；（2）()225040090005049800W x x x =-++=--+，∵500-<，∴当4x =时，W 取得最大值，最大值为9800，∴降价4元，利润最大，最大利润为9800元；（3）令9750W =，得：()297505049800x =--+，解得：15=x ，23x =，∵要让利于民，∴5x =，48543-=（元）∴定价为43元．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，弄清数量关系，准确求出函数解析式并熟练掌握二次函数的性质是解题关键．14．（2021·湖南怀化市·中考真题）某超市从厂家购进A 、B 两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如下表：进货批次A 型水杯（个）B 型水杯（个）总费用（元）一1002008000二20030013000（1）求A 、B 两种型号的水杯进价各是多少元？（2）在销售过程中，A 型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B 型水杯的销售量，超市决定对B 型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B 型水杯降价多少元时，每天售出B 型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？（3）第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个A 型水杯可获利10元，售出一个B 型水杯可获利9元，超市决定每售出一个A 型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐b 元用于购买防控物资．若A 、B 两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b 为多少？利润为多少？【答案】（1）A 型号水杯进价为20元，B 型号水杯进价为30元；（2）超市应将B 型水杯降价5元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为405元；（3）A ，B 两种杯子全部售出，捐款后利润不变，此时b 为4元，利润为3000元．【分析】（1）主要运用二元一次方程组，设A 型号水杯为x 元，B 型号水杯为y 元，根据表格即可得出方程组，解出二元一次方程组即可得A 、B 型号水杯的单价；（2）主要运用二次函数，由题意可设：超市应将B 型水杯降价z 元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为w ，每个水杯的利润为()4430z --元；每降价1元，多售出5个，可得售出的数量为()205z +个，根据：利润=（售价-进价）×数量，可确定函数关系式，依据二次函数的基本性质，开口向下，在对称轴处取得最大值，即可得出答案；（3）根据（1）A 型号水杯为20元，B 型号水杯为30元．设10000元购买A 型水杯m 个，B 型水杯n 个，所得利润为W 元，可列出方程组，利用代入消元法化简得到利润W 的函数关系式，由于利润不变，所以令未知项的系数为0，即可求出b ，W ．【详解】（1）解：设A 型号水杯进价为x 元，B 型号水杯进价为y 元，根据题意可得：100200800020030013000x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：2030x y =⎧⎨=⎩，∴A 型号水杯进价为20元，B 型号水杯进价为30元．（2）设：超市应将B 型水杯降价z 元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为w ，根据题意可得：()()4430205w z z =--+，化简得：2550280w z z =-++，当()505225b z a =-=-=⨯-时，255505280405max w =-⨯+⨯+=，∴超市应将B 型水杯降价5元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为405元．（3）设购买A 型水杯m 个，B 型水杯n 个，所得利润为W 元，根据题意可得：()203010000109m n W b m n +=⎧⎨=-+⎩①②将①代入②可得：()100002010930m W b m -=-+⨯，化简得：()()106300043000W b m b m =--+=-+，。

专题12解直角三角形一、单选题1．（2021·浙江金华市）如图是一架人字梯，已知2AB AC ==米，AC 与地面BC 的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC 为（ ）A ．4cos α米B ．4sin α米C ．4tan α米D ．4cos α米 【答案】A【分析】 根据等腰三角形的性质得到12BD DC BC ==，根据余弦的定义即可，得到答案． 【详解】过点A 作AD BC ⊥，如图所示：∵AB AC =，AD BC ⊥，∵BD DC =， ∵DC co ACα=， ∵cos 2cos DC AC αα=⋅=，∵24cos BC DC α==，故选：A ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，明确等腰三角形的性质是解题的关键．2．（2021·浙江温州市）图1是第七届国际数学教育大会（ICME ）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC ．若1AB BC ==．AOB α∠=，则2OC 的值为（ ）A ．211sin α+B ．2sin 1α+C ．211cos α+D ．2cos 1α+【答案】A【分析】根据勾股定理和三角函数求解．【详解】∵在Rt OAB 中，AOB α∠=，1AB = ∵1=sin sin AB OB αα= 在Rt OBC 中，1BC =，2222221111sin sin OC OB BC αα⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭故选：A ．【点睛】本题主要考查勾股定理和三角函数．如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么222+=a b c ． 3．（2021·浙江绍兴市）如图，Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，1cos 4B =，点D 是边BC 的中点，以AD 为底边在其右侧作等腰三角形ADE ，使ADE B ∠=∠，连结CE ，则CE AD的值为（ ）A ．32BCD ．2【答案】D【分析】 由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得出12AD BD CD BC ===，在结合题意可得BAD B ADE ∠=∠=∠，即证明//AB DE ，从而得出BAD B ADE CDE ∠=∠=∠=∠，即易证()ADE CDE SAS ≅，得出AE CE =．再由等腰三角形的性质可知AE CE DE ==，BAD B ADE DAE ∠=∠=∠=∠，即证明ABD ADE ∼，从而可间接推出CE BD AD AB =．最后由1cos 4AB B BC ==，即可求出BD AB 的值，即CE AD的值． 【详解】∵在Rt ABC 中，点D 是边BC 的中点， ∵12AD BD CD BC ===， ∵BAD B ADE ∠=∠=∠，∵//AB DE ．∵BAD B ADE CDE ∠=∠=∠=∠，∵在ADE 和CDE △中，AD CD ADE CDE DE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵()ADE CDE SAS ≅，∵AE CE =，∵ADE 为等腰三角形，∵AE CE DE ==，BAD B ADE DAE ∠=∠=∠=∠，∵ABD ADE ∼， ∵DE AD BD AB =，即CE BD AD AB=． ∵1cos 4AB B BC ==， ∵12AB BD =， ∵2CE BD AD AB ==． 故选D ．【点睛】本题考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，全等三角形与相似三角形的判定和性质以及解直角三角形．熟练掌握各知识点并利用数形结合的思想是解答本题的关键．二、填空题4．（2021·浙江杭州市）sin30°的值为_____． 【答案】12 【详解】试题分析：根据特殊角的三角函数值计算即可：sin30°=12． 5．（2021·浙江省湖州市）如图，已知在Rt ABC 中，90,1,2ACB AC AB ∠=︒==，则sin B 的值是______．【答案】12【分析】 在直角三角形中，锐角B 的正弦=锐角B 的对边：直角三角形的斜边，根据定义直接可得答案．【详解】 解： 90,1,2ACB AC AB ∠=︒==，1sin ,2AC B AB ∴== 故答案为：12 【点睛】本题考查的是锐角的正弦的含义，掌握锐角的正弦的定义是解题的关键．6．（2021·浙江衢州市）图1是某折叠式靠背椅实物图，图2是椅子打开时的侧面示意图，椅面CE 与地面平行，支撑杆AD ，BC 可绕连接点O 转动，且OA OB =，椅面底部有一根可以绕点H 转动的连杆HD ，点H 是CD 的中点，F A ，EB 均与地面垂直，测得54cm FA =，45cm EB =，48cm AB =．（1）椅面CE 的长度为_________cm ．（2）如图3，椅子折叠时，连杆HD 绕着支点H 带动支撑杆AD ，BC 转动合拢，椅面和连杆夹角CHD ∠的度数达到最小值30时，A ，B 两点间的距离为________cm （结果精确到0.1cm ）．（参考数据：sin150.26︒≈，cos150.97︒≈，tan150.27︒≈）【答案】40 12.5【分析】（1）过点C 作CM 垂直AF ，垂足为M ，MFC AFB ∆∽，列比例求出CM 长度，则CE =AB -CM ；（2）根据图2可得OCD OBA ∽，对应袋图3中求出CD 长度，列比例求AB 即可．【详解】解：（1）过点C 作CM 垂直AF ，垂足为M ，∵椅面CE 与地面平行，∵MFC AFB ∆∽， ∵54454854CM FM FA EB CM AB FA FA --==⇔=， 解得：CM =8cm ，∵CE =AB -CM =48-8=40cm ；故答案为：40；（2）在图2中，∵OA OB =，椅面CE 与地面平行，∵BCE ADM ∠=∠，∵90AM BE AMD BEC =∠=∠=︒，，∵AMD BEC ≌，∵DM CE =，∵8MC ED cm ==，∵488832CD cm =--=，∵H 是CD 的中点， ∵1162CH HD CD ===， ∵椅面CE 与地面平行，∵COD BOA ∽， ∵322483CO CD BO AB ===， 图3中，过H 点作CD 的垂线，垂足为N ， 因为1162CH HD CD === ，=30CHD ∠︒， ∵15CHN DHN ∠=∠=︒，∵2sin15=8.32CD CH cm =︒，∵28.323CO CD OB AB AB=⇔=， 解得：12.4812.5AB cm =≈，故答案为：12.5．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识点，找到对应相似三角形并正确列出比例是解决本题的关键．7．（2021·浙江宁波市）如图，在矩形ABCD 中，点E 在边AB 上，BEC △与FEC 关于直线EC 对称，点B 的对称点F 在边AD 上，G 为CD 中点，连结BG 分别与,CE CF 交于M ，N 两点，若BM BE =，1MG =，则BN 的长为________，sin AFE ∠的值为__________．【答案】21【分析】 由BEC △与FEC 关于直线EC 对称，矩形,ABCD 证明,BEC FEC ≌再证明,BCN CFD ≌ 可得,BN CD = 再求解2,CD = 即可得BN 的长； 先证明,AFE CBG ∽ 可得：,AE EF CG BG= 设,BM x = 则,1,2,BE BM FE x BG x AE x ====+=- 再列方程，求解,x 即可得到答案．【详解】 解： BEC △与FEC 关于直线EC 对称，矩形,ABCD,BEC FEC ∴≌ 90,ABC ADC BCD ∠=∠=∠=︒90,,,,EBC EFC BEC FEC BE FE BC FC ∴∠=∠=︒∠=∠==,BM BE =,BEM BME ∴∠=∠,FEC BME ∴∠=∠//,EF MN ∴90BNC EFC ∴∠=∠=︒，90,BNC FDC ∴∠=∠=︒90BCD ∠=︒,90,NBC BCN BCN DCF ∴∠+∠=︒=∠+∠,NBC DCF ∴∠=∠,BCN CFD ∴≌,BN CD ∴=矩形,ABCD//,//,AB CD AD BC ∴,BEM GCM ∴∠=∠,1,BEM BME CMG MG G ∠=∠=∠=为CD 的中点，,GMC GCM ∴∠=∠1,2,CG MG CD ∴===2.BN ∴=如图，,//,BM BE FE MN EF == 四边形ABCD 都是矩形，,//,90,AB CD AD BC A BCG ∴=∠=∠=︒ ,AEF ABG ∠=∠90,AFE AEF ABG CBG ∠+∠=︒=∠+∠,AFE CBG ∴∠=∠,AFE CBG ∴∽,AE EF CG BG∴= 设,BM x = 则,1,2,BE BM FE x BG x AE x ====+=-2,11x x x -∴=+解得：x =经检验：x =x =2AE EF ∴==sin 1.AE AFE EF ∴∠===故答案为： 1.【点睛】本题考查的是矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，分式方程的解法，掌握以上知识是解题的关键．8．（2021·浙江绍兴市）已知ABC 与ABD △在同一平面内，点C ，D 不重合，30ABC ABD ∠=∠=︒，4AB =，AC AD ==CD 长为_______．【答案】2，4，【分析】首先确定满足题意的两个三角形的形状，再通过组合得到四种不同的结果，每种结果分别求解，共得到四种不同的取值；图2、图3、图4均可通过过A 点向BC 作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的性质可求出相应线段的长，与CD 关联即可求出CD 的长；图5则是要过D 点向BC 作垂线，构造直角三角形，解直角三角形即可求解．【详解】解：如图1，满足条件的∵ABC 与∵ABD 的形状为如下两种情况，点C ，D 不重合，则它们两两组合，形成了如图2、图3、图4、图5共四种情况；如图2，ABC ABD △≌△，此时，=BC BD ，由题可知：°°°==3030=60CBD ABC ABD ∠∠+∠+，∵BCD △是等边三角形，∵=CD BC ；过A 点作AE ∵BC ，垂足为E 点，在Rt ABE △中，∵°4,30AB ABC =∠=， ∵122AE AB ==,BE在Rt ACE △中，2CE ==;∵2BC ；（同理可得到图4和图5中的2BC ，2CF =，BF =）∵2CD BC =．如图3，ABC ABD △≌△，此时，=BC BD ，由题可知：°°°==3030=60CBD ABC ABD ∠∠+∠+，∵BCD △是等边三角形，∵=CD BC ；过A 点作AM ∵BC ，垂足为M ，在Rt ABM 中，∵°4,30AB ABC =∠=，∵122AM AB ==,BM =在Rt ACM △中，2CM ===;（同理可得到图4和图5中的2BD ，2DF =，BF =）∵CD =2BC BM CM =-=；如图4，由上可知：()=22=4CD CF FD CF BF BD +=+-=+；如图5，过D 点作DN ∵BC ，垂足为N 点；∵°°°==3030=60CBD ABC ABD ∠∠+∠+，∵°=30BDN ∠，∵在Rt BDN 中，()112122BN BD ===, )°tan 601=3DN BN =⋅=∵)213CN CB BN =-=-=,∵在Rt DCN 中，CD ==综上可得：CD 的长为2，4，故答案为：2，4，【点睛】本题主要考查了对几何图形的分类讨论问题，内容涉及到勾股定理、直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半、解直角三角形、等边三角形等知识，考查了学生对相关概念与性质的理解与应用，本题对综合分析能力要求较高，属于填空题中的压轴题，涉及到了分类讨论与数形结合的思想等．三、解答题9．（2021·浙江台州市）图1是放置在水平地面上的落地式话筒架实物图，图2是其示意图．支撑杆AB 垂直于地l ，活动杆CD 固定在支撑杆上的点E 处，若∵AED ＝48°，BE ＝110 cm ，DE ＝80 cm ，求活动杆端点D 离地面的高度DF ．（结果精确到1cm ，参考数据：sin48°≈0.74， cos48°≈0.67， tan48°≈1. 11）【答案】164cm【分析】过点E 作EM DF ⊥，易得四边形EBFM 是矩形，即110cm MF BE ==，再通过解直角三角形可得cos DM DE EDM =⋅∠，即可求解．【详解】解：过点E 作EM DF ⊥，∵EM DF ⊥，AB BF ⊥，DF BF ⊥，∵90EMF EBF MFB ∠=∠=∠=︒，∵四边形EBFM 是矩形，∵110cm MF BE ==，∵∵AED ＝48°，∵48EDM AED ∠=∠=︒，∵cos 800.6753.6cm DM DE EDM =⋅∠≈⨯=，∵164cm DF DM MF =+≈．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，做出合适的辅助线构造直角三角形是解题的关键．10．（2021·浙江宁波市）我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP 始终平分同一平面内两条伞骨所成的角BAC ∠，且AB AC =，从而保证伞圈D 能沿着伞柄滑动．如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D 已滑动到点D 的位置，且A ，B ，D 三点共线，40cm AD '=，B 为AD '中点，当140BAC ∠=︒时，伞完全张开．（1）求AB 的长．（2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D 沿着伞柄向下滑动的距离．（参考数据：sin70094,cos700.34,tan70 2.75︒≈︒≈︒≈）【答案】（1）20cm ；（2）26.4cm【分析】（1）根据中点的性质即可求得；（2）过点B 作BE AD ⊥于点E ．根据等腰三角形的三线合一的性质求出2AD AE =．利用角平分线的性质求出∵BAE 的度数，再利用三角函数求出AE ，即可得到答案．【详解】解：（1）∵B 为AD '中点， ∵12AB AD '=， ∵40AD '=，∵()20cm AB =．（2）如图，过点B 作BE AD ⊥于点E ．∵AB BD =，∵2AD AE =．∵AP 平分,140BAC BAC ∠∠=︒， ∵1702BAE BAC ∠=∠=︒． 在Rt ABE △中，20AB =，∵cos70200.34 6.8AE AB =⋅︒≈⨯=，∵213.6AD AE ==．∵40AD '=，∵()4013626.4cm -=．， ∵伞圈D 沿着伞柄向下滑动的距离为26.4cm ．【点睛】此题考查的是解直角三角形的实际应用，等腰三角形的三线合一的性质，线段中点的性质，角平分线的性质，正确构建直角三角形解决问题是解题的关键．11．（2021·浙江绍兴市）拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l ，底座AB 固定，高AB 为50cm ，连杆BC 长度为70cm ，手臂CD 长度为60cm ．点B ，C 是转动点，且AB ，BC 与CD 始终在同一平面内，（1）转动连杆BC ，手臂CD ，使143ABC ∠=︒，//CD l ，如图2，求手臂端点D 离操作台l 的高度DE 的长（精确到1cm ，参考数据：sin530.8︒≈，cos530.6︒≈）．（2）物品在操作台l 上，距离底座A 端110cm 的点M 处，转动连杆BC ，手臂CD ，手臂端点D 能否碰到点M ？请说明理由．【答案】（1）106cm ；（2）能碰到，见解析【分析】（1）通过作辅助线构造直角三角形，利用三角函数值解直角三角形即可完成求解；（2）求出端点D 能够到的最远距离，进行比较即可得出结论．【详解】解：（1）过点C 作CP AE ⊥于点P ，过点B 作BQ CP ⊥于点Q ，如图1，143ABC ∠=︒，53CBQ ∴∠=︒，∴在Rt BCQ △中，()sin53700.856CQ BC cm =⋅︒≈⨯=， ()50PQ AB cm ==．//CD l ，()5650106DE CP CQ PQ cm ∴==+=+=．∵手臂端点D 离操作台 l 的高度DE 的长为106cm ．（2）能．理由：当点B ，C ，D 共线时，如图2，6070130cm BD =+=，50cm AB =，在Rt △ABD 中，222AB AD BD +=，120cm 110cm AD ∴=>．手臂端点D 能碰到点M ．【点睛】 本题考查了直角三角形的应用，涉及到了解直角三角形等知识，解决本题的关键是能读懂题意，并通过作辅助线构造直角三角形，能正确利用三角函数值解直角三角形等，考查了学生的综合分析与知识应用的能力．12．（2021·浙江嘉兴市）一酒精消毒瓶如图1，AB 为喷嘴，BCD ∆为按压柄，CE 为伸缩连杆，BE 和EF 为导管，其示意图如图2，108DBE BEF ∠=∠=︒，6cm BD =，4cm BE =．当按压柄BCD ∆按压到底时，BD 转动到'BD ，此时'//BD EF （如图3）． （1）求点D 转动到点'D 的路径长；（2）求点D 到直线EF 的距离（结果精确到0.1cm ）．（参考数据：sin 360.59︒≈，cos360.81︒≈，tan 360.73︒≈，sin 720.95︒≈，cos 720.31︒≈，tan 72 3.08︒≈）【答案】（1）65π；（2）点D 到直线EF 的距离约为7.3cm ．【分析】（1）根据题目中的条件，首先由108DBE BEF ∠=∠=︒，'//BD EF ，求出'D BE ∠，再继续求出'DBD ∠，点D 转动到点'D 的路径长，是以BD 为半径，B 为圆心的圆的周长的一部分，根据'DBD ∠占360︒的比例来求出路径；（2）求点D 到直线EF 的距离，实际上是过点D 作EF 的垂线交EF 于某点，连接两点所确定的距离即为所求，但这样做不好求解．于是把距离拆成两个部分，放在两个直角三角形中，分别利用直角三角形中锐角三角函数知识求出每段的距离，再求和即为所求．【详解】解：（1）如图，∵'//BD EF ，108BEF ∠=︒，∵'18072D BE BEF ∠=︒-∠=︒．∵108DBE ∠=︒，∵''1087236DBD DBE D BE ∠=∠-∠=︒-︒=︒．又∵6BD =，∵点D 转动到点'D 的路径长()3666cm 1805ππ⨯⨯==． （2）如图，过点D 作'DG BD ⊥于点G ，过点E 作'EH BD ⊥于点H ．在Rt DGC △中，sin DG DBD BD'∠= ∴sin 36 3.54DG BD =⋅︒≈．在Rt BHE 中，sin EH EBH BE∠= ∴sin 72 3.80EH BE =⋅︒≈．∵ 3.54 3.807.347.3DG EH +=+=≈．又∵'//BD EF ，∵点D 到直线EF 的距离约为7.3cm ．【点睛】本题考查了两点间转动的路径问题、点到直线的距离问题，锐角三角函数知识，解题的关键是：确定路径是在圆上，占圆周长的多少，就转化成角度间的比值问题了；距离问题，当直接求解比较困难的时候，看是否能把所求拆分成几个部分，再逐一突破．。

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专题12 探索性问题一、选择题1．（2017四川省绵阳市）如图所示,将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a1,第2幅图形中“●”的个数为a2，第3幅图形中“●”的个数为a3，…，以此类推，则193211111aaaa++++ 的值为( )A．2120B．8461C．840589D．760421【答案】C．考点：1．规律型：图形的变化类；2．综合题．2．(2017四川省达州市）如图,将矩形ABCD绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置，以此类推，这样连续旋转2017次．若AB=4,AD=3，则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为（）A．2017πB．2034πC．3024πD．3026π【答案】D．考点：1．轨迹；2．矩形的性质；3．旋转的性质；4．规律型；5．综合题．3．（2017江苏省连云港市）如图所示，一动点从半径为2的⊙O上的A0点出发，沿着射线A0O 方向运动到⊙O上的点A1处，再向左沿着与射线A1O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A2处；接着又从A2点出发，沿着射线A2O方向运动到⊙O上的点A3处，再向左沿着与射线A3O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A4处；…按此规律运动到点A2017处，则点A2017与点A0间的距离是( ）A．4 B．3C．2 D．0【答案】A．【解析】试题分析：如图，∵⊙O的半径=2，由题意得，OA1=4，OA2=23，OA3=2，OA4=23，OA5=2，OA=0,OA7=4，…6∵2017÷6=336…1，∴按此规律运动到点A2017处,A2017与A1重合，∴OA2017=2R=4．故选A．考点：1．规律型：图形的变化类；2．综合题．4．（2017重庆市B卷）下列图象都是由相同大小的按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有4颗，第②个图形中一共有11颗,第③个图形中一共有21颗，…,按此规律排列下去，第⑨个图形中的颗数为（)A．116 B．144 C．145 D．150【答案】B．【解析】试题分析：∵4=1×2+2，11=2×3+2+321=3×4+2+3+4第4个图形为：4×5+2+3+4+5，∴第⑨个图形中的颗数为：9×10+2+3+4+5+6+7+8+9+10=144．故选B．考点：规律型：图形的变化类．二、填空题5．（2017山东省济宁市)请写出一个过点（1，1）,且与x轴无交点的函数解析式: ．【答案】1yx（答案不唯一）．考点：1．反比例函数的性质；2．一次函数的性质；3．正比例函数的性质；4．二次函数的性质；5．开放型．6．（2017山东省济宁市）如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1,它的六条对角线又围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2，如此继续下去，则正六边形A4B4C4D4E4F4的面积是．【答案】3 18．考点：1．正多边形和圆;2．规律型；3．综合题．三、解答题7．（2017四川省南充市）如图,在正方形ABCD 中，点E 、G 分别是边AD 、BC 的中点，AF =14AB ．（1）求证：EF ⊥AG ;（2)若点F 、G 分别在射线AB 、BC 上同时向右、向上运动，点G 运动速度是点F 运动速度的2倍，EF ⊥AG 是否成立（只写结果，不需说明理由）？（3）正方形ABCD 的边长为4，P 是正方形ABCD 内一点，当PAB OAB S S ∆∆=，求△PAB 周长的最小值．【答案】（1)证明见解析；（2)成立；（3）4264+． 【解析】试题分析：（1）由正方形的性质得出AD =AB ,∠EAF =∠ABG =90°，证出AF BGAE BA=,得出△AEF ∽△BAG ，由相似三角形的性质得出∠AEF =∠BAG ，再由角的互余关系和三角形内角和定理证出∠AOE =90°即可；（2）证明△AEF ∽△BAG ,得出∠AEF =∠BAG ，再由角的互余关系和三角形内角和定理即可得出结论；（2）解：成立；理由如下：根据题意得：AFBG=12，∵AEAB=12，∴AFBG=AEAB，又∵∠EAF=∠ABG，∴△AEF∽△BAG,∴∠AEF=∠BAG，∵∠BAG+∠EAO=90°，∴∠AEF+∠EAO=90°,∴∠AOE=90°，∴EF⊥AG；(3）解：过O作MN∥AB，交AD于M，BC于N，如图所示：则MN⊥AD，MN=AB=4，∵P是正方形ABCD内一点，当S△PAB=S△OAB,∴点P在线段MN上，当P为MN的中点时，△PAB的周长最小，此时PA=PB，PM=12MN=2，连接EG、PA、PB，则EG∥AB，EG=AB=4,∴△AOF∽△GOE，∴OF AFOE EG==14，∵MN∥AB，∴AM OFEM OE= =14，∴AM=15AE=15×2=25，由勾股定理得：PA=22PM AM+ =226,∴△PAB周长的最小值=2PA+AB=4264+．考点:1．四边形综合题；2．探究型;3．动点型；4．最值问题．8．（2017四川省达州市）如图,在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC 分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E、F．（1）若CE=8，CF=6,求OC的长；（2）连接AE、AF．问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．【答案】（1）5;（2）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．【解析】试题分析：（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，证出OE =OC =OF ，∠ECF =90°，由勾股定理求出EF ，即可得出答案;(2)解：当点O 在边AC 上运动到AC 中点时，四边形AECF 是矩形．理由如下： 连接AE 、AF ,如图所示：当O 为AC 的中点时，AO =CO ，∵EO =FO ,∴四边形AECF 是平行四边形,∵∠ECF =90°，∴平行四边形AECF 是矩形．考点：1．矩形的判定；2．平行线的性质；3．等腰三角形的判定与性质;4．探究型；5．动点型．9．（2017四川省达州市）探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P 1(x 1，y 1）,P 2(x 2，y 2），可通过构造直角三角形利用图1得到结论：()()22122121PP x x y y =-+-他还利用图2证明了线段P 1P 2的中点P （x ，y ）P 的坐标公式:122x x x +=，122y y y +=．（1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；运用:(2）①已知点M （2，﹣1）,N (﹣3，5），则线段MN 长度为 ；②直接写出以点A （2，2），B （﹣2，0），C (3，﹣1），D 为顶点的平行四边形顶点D 的坐标： ；拓展:（3)如图3，点P （2，n ）在函数43y x =（x ≥0)的图象OL 与x 轴正半轴夹角的平分线上,请在OL 、x 轴上分别找出点E 、F ，使△PEF 的周长最小,简要叙述作图方法，并求出周长的最小值．【答案】(1)答案见解析；（2)①61；②（﹣3，3）或(7，1）或（﹣1,﹣3）；（3）85． 【解析】试题分析：（1)用P 1、P 2的坐标分别表示出OQ 和PQ 的长即可证得结论;（3）设P 关于直线OL 的对称点为M ,关于x 轴的对称点为N ，连接PM 交直线OL 于点R ，连接PN 交x 轴于点S ，则可知OR =OS =2，利用两点间距离公式可求得R 的坐标，再由PR =PS =n ，可求得n 的值，可求得P 点坐标，利用中点坐标公式可求得M 点坐标，由对称性可求得N 点坐标，连接MN 交直线OL 于点E ，交x 轴于点S ，此时EP =EM ，FP =FN ，此时满足△PEF 的周长最小，利用两点间距离公式可求得其周长的最小值． 试题解析:（1）∵P 1(x 1，y 1)，P 2（x 2，y 2）,∴Q 1Q 2=OQ 2﹣OQ 1=x 2﹣x 1，∴Q 1Q =212x x -，∴OQ =OQ 1+Q 1Q =x 1+212x x -=122x x + ，∵PQ 为梯形P 1Q 1Q 2P 2的中位线，∴PQ =11222PQ P Q + =122y y+,即线段P 1P 2的中点P (x ，y )P 的坐标公式为x =122x x +，y =122y y+；（2）①∵M （2，﹣1）,N (﹣3，5），∴MN 22(23)(15)++--61,61； ②∵A (2，2），B （﹣2，0）,C （3,﹣1）,∴当AB 为平行四边形的对角线时，其对称中心坐标为（0,1），设D （x ，y )，则x +3=0，y +（﹣1）=2，解得x =﹣3，y =3,∴此时D 点坐标为（﹣3，3），当AC 为对角线时，同理可求得D 点坐标为（7，1），当BC 为对角线时,同理可求得D 点坐标为（﹣1,﹣3）,综上可知D 点坐标为（﹣3，3）或（7，1)或(﹣1，﹣3），故答案为：（﹣3，3）或(7，1）或(﹣1,﹣3）；（3）如图，设P 关于直线OL 的对称点为M ，关于x 轴的对称点为N ，连接PM 交直线OL 于点R ，连接PN 交x 轴于点S ，连接MN 交直线OL 于点E ,交x 轴于点F ,又对称性可知EP =EM ，FP =FN ，∴PE +PF +EF =ME +EF +NF =MN ,∴此时△PEF 的周长即为MN 的长，为最小，设R (x ,43x ），由题意可知OR =OS =2，PR =PS =n ，∴224()3x x +=2，解得x =﹣65（舍去）或x =65，∴R （65，85），∴2268(2)()55n n -+-=,解得n =1，∴P (2，1)，∴N （2，﹣1），设M （x ，y )，则22x +=65，12y +=85，解得x =25，y =115，∴M （25，115），∴MN =22211(2)(1)55-+-- =855，即△PEF 的周长的最小值为85．考点：1．一次函数综合题；2．阅读型；3．分类讨论；4．最值问题；5．探究型；6．压轴题． 10．（2017山东省枣庄市)如图,在△ABC 中，∠C =90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ,点O 在AB 上,以点O 为圆心，OA 为半径的圆恰好经过点D ，分别交AC ,AB 于点E ，F ． (1）试判断直线BC 与⊙O 的位置关系,并说明理由；(2）若BD =3BF =2，求阴影部分的面积（结果保留π）．【答案】(1)BC 与⊙O 相切；(2）2233π- ． 【解析】试题分析：（1）连接OD ，证明OD ∥AC ，即可证得∠ODB =90°，从而证得BC 是圆的切线；试题解析:(1)BC 与⊙O 相切．证明:连接OD ．∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠BAD =∠CAD ．又∵OD =OA ，∴∠OAD =∠ODA ，∴∠CAD =∠ODA ，∴OD ∥AC ,∴∠ODB =∠C =90°，即OD ⊥BC ．又∵BC 过半径OD 的外端点D ，∴BC 与⊙O 相切．（2）设OF =OD =x ,则OB =OF +BF =x +2，由勾股定理得：OB 2=OD 2+BD 2，即（x +2）2=x 2+12,解得：x =2，即OD =OF =2，∴OB =2+2=4，∵Rt △ODB 中,OD =12OB ，∴∠B =30°，∴∠DOB =60°,∴S 扇形AOB =604360π⨯=23π，则阴影部分的面积为S △ODB ﹣S 扇形DOF =12×2×23﹣23π=2233π-．故阴影部分的面积为2233π-．考点:1．直线与圆的位置关系;2．扇形面积的计算;3．探究型．11．（2017山东省枣庄市）已知正方形ABCD ，P 为射线AB 上的一点,以BP 为边作正方形BPEF ，使点F 在线段CB 的延长线上，连接EA ，EC ．（1）如图1，若点P 在线段AB 的延长线上，求证：EA =EC ；（2）如图2，若点P 在线段AB 的中点，连接AC ，判断△ACE 的形状，并说明理由；（3)如图3，若点P 在线段AB 上，连接AC ，当EP 平分∠AEC 时，设AB =a ，BP =b ，求a ：b 及∠AEC 的度数．【答案】(1)证明见解析；（2）△ACE 是直角三角形；(3）2：1,45°． 【解析】试题分析：（1）由正方形的性质证明△APE ≌△CFE ,可得结论；（2）分别证明∠PA E =45°和∠BAC =45°，则∠CAE =90°,即△ACE 是直角三角形; （3)分别计算PG 和BG 的长，利用平行线分线段成比例定理列比例式得:PE PG BC GB =，即2b a ba b a-=-,解得：a =2b ，得出a 与b 的比,再计算GH 和BG 的长，由角平分线的逆定理得:∠HCG =∠BCG ，由平行线的内错角得：∠AEC =∠ACB =45°．试题解析：（1）∵四边形ABCD 和四边形BPEF 是正方形，∴AB =BC ，BP =BF ，∴AP =CF ，在△APE 和△CFE 中，∵AP =CF ,∠P =∠F ，PE =EF ，∴△APE ≌△CFE ，∴EA =EC ；(3）设CE 交AB 于G ,∵EP 平分∠AEC ，EP ⊥AG ,∴AP =PG =a ﹣b ,BG =a ﹣(2a ﹣2b ）=2b ﹣a ，∵PE ∥CF ，∴PE PG BC GB =,即2b a ba b a -=-，解得：a 2b ，∴a :b 2:1，作GH ⊥AC 于H ,∵∠CAB =45°，∴HG =22AG =22（2b ﹣2b )=（22）b ,又∵BG =2b ﹣a =（22）b ，∴GH =GB ,GH ⊥AC ，GB ⊥BC ，∴∠HCG =∠BCG ，∵PE ∥CF ，∴∠PEG =∠BCG ，∴∠AEC =∠ACB =45°．考点：1．四边形综合题;2．探究型；3．变式探究．12．(2017山西省)如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，OD⊥AB，与AC交于点E,与过点C的⊙O的切线交于点D．（1）若AC=4,BC=2，求OE的长．（2）试判断∠A与∠CDE的数量关系，并说明理由．【答案】（1）52;（2)∠CDE=2∠A．【解析】试题分析：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得到AB的长，从而得到半径AO．再由△AOE∽△ACB，得到OE的长；（2）∠CDE=2∠A．理由如下：连结OC，∵OA=OC，∴∠1=∠A，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°，∴∠2+∠CDE=90°，∵OD⊥AB，∴∠2+∠3=90°,∴∠3=∠CDE．∵∠3=∠A+∠1=2∠A，∴∠CDE=2∠A．考点：1．切线的性质；2．探究型；3．和差倍分．13．（2017江苏省盐城市）如图，矩形ABCD中，∠ABD、∠CDB的平分线BE、DF分别交边AD、BC于点E、F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当∠ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形?请说明理由．【答案】（1)证明见解析；（2）∠ABE=30°．【解析】试题分析:（1）由矩形可得∠ABD=∠CDB，结合BE平分∠ABD、DF平分∠BDC得∠EBD=∠FDB，即可知BE∥DF，根据AD∥BC即可得证；（2）当∠ABE=30°时，四边形BEDF是菱形，∵BE平分∠ABD，∴∠ABD=2∠ABE=60°,∠EBD=∠ABE=30°,∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，∴∠EDB=90°﹣∠ABD=30°，∴∠EDB=∠EBD=30°，∴EB=ED，又∵四边形BEDF是平行四边形,∴四边形BEDF是菱形．考点：1．矩形的性质;2．平行四边形的判定与性质;3．菱形的判定;4．探究型．14．（2017江苏省盐城市）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC 与x轴交于点D，AE平分∠BAC交边BC于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上，⊙F与y轴相交于另一点G．（1)求证：BC是⊙F的切线；（2）若点A、D的坐标分别为A（0，﹣1），D（2，0），求⊙F的半径；（3）试探究线段AG、AD、CD三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．【答案】（1）证明见解析；(2）52；（3）AG=AD+2CD．【解析】试题分析：(1）连接EF，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到∠FEA=∠EAC，得到FE ∥AC，根据平行线的性质得到∠FEB=∠C=90°,证明结论；（2）连接FD，设⊙F的半径为r,根据勾股定理列出方程，解方程即可；(2）解：连接FD，设⊙F的半径为r，则r2=（r﹣1）2+22，解得，r=52，即⊙F的半径为52；(3）解：AG=AD+2CD．证明：作FR⊥AD于R，则∠FRC=90°,又∠FEC=∠C=90°，∴四边形RCEF是矩形,∴EF=RC=RD+CD,∵FR⊥AD，∴AR=RD，∴EF=RD+CD=12AD+CD，∴AG=2FE=AD+2CD．考点：1．圆的综合题；2．探究型．15．（2017江苏省盐城市）（探索发现】如图①，是一张直角三角形纸片，∠B=60°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形,经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时,所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为．【拓展应用】如图②，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上,则矩形PQMN面积的最大值为．（用含a，h的代数式表示）【灵活应用】如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40,AE=20，CD=16,小明从中剪出了一个面积最大的矩形(∠B为所剪出矩形的内角)，求该矩形的面积．【实际应用】如图④,现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm,且tan B=tan C=43，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积．【答案】【探索发现】12；【拓展应用】4ab；【灵活应用】720；【实际应用】1944．【拓展应用】：由△APN ∽△ABC 知PN AE BC AD =,可得PN =a ﹣ahPQ ，设PQ =x ,由S 矩形PQMN=PQ •PN ═2()24a h ahx h --+，据此可得； 【灵活应用】：添加如图1辅助线，取BF 中点I ，FG 的中点K ，由矩形性质知AE =EH 20、CD =DH =16，分别证△AEF ≌△HED 、△CDG ≌△HDE 得AF =DH =16、CG =HE =20，从而判断出中位线IK 的两端点在线段AB 和DE 上，利用【探索发现】结论解答即可;【实际应用】：延长BA 、CD 交于点E ，过点E 作EH ⊥BC 于点H ，由tan B =tan C 知EB =EC 、BH =CH =54，EH =43BH =72，继而求得BE =CE =90，可判断中位线PQ 的两端点在线段AB 、CD 上，利用【拓展应用】结论解答可得． 试题解析：【探索发现】∵EF 、ED 为△ABC 中位线，∴ED ∥AB ，EF ∥BC ，EF =12BC ，ED =12AB ,又∠B =90°，∴四边形FEDB是矩形，则ABC S S ∆矩形FEDB =12EF DE AB BC ⋅⋅=112212BC AB AB BC ⋅⋅=12,故答案为：12;【拓展应用】∵PN ∥BC ，∴△APN ∽△ABC ，∴PN AE BC AD =,即=PN h PQ a h -，∴PN =a ﹣ahPQ ，设PQ =x ，则S 矩形PQMN =PQ •PN =x （a ﹣a h x ）=2a x ax h -+ =2()24a h ah x h --+,∴当PQ =2h 时，S 矩形PQMN 最大值为4ab ,故答案为：4ab；【灵活应用】如图1，延长BA 、DE 交于点F ,延长BC 、ED 交于点G ，延长AE 、CD 交于点H ，取BF 中点I ，FG 的中点K ，由题意知四边形ABCH是矩形,∵AB=32，BC=40,AE=20，CD=16,∴EH=20、DH=16，∴AE=EH、CD=DH,在△AEF和△HED中，∵∠FAE=∠DHE，AE=AH，∠AEF=∠HED，∴△AEF≌△HED（ASA），∴AF=DH=16，同理△CDG≌△HDE，∴CG=HE=20，∴BI=12(AB+AF）=24，∵BI=24＜32,∴中位线IK的两端点在线段AB和DE上，过点K作KL⊥BC于点L，由【探索发现】知矩形的最大面积为12×BG•BF=12×(40+20）×（32+16）=720,答:该矩形的面积为720;【实际应用】如图2，延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H,∵tan B=tan C=43，∴∠B=∠C，∴EB=EC，∵BC=108cm,且EH⊥BC,∴BH=CH=12BC=54cm，∵tan B=EHBH=43，∴EH=43BH=43×54=72cm，在Rt△BHE中，BE=22EH BH=90cm，∵AB=50cm,∴AE=40cm，∴BE的中点Q在线段AB上，∵CD=60cm，∴ED=30cm，∴CE的中点P在线段CD上，∴中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，由【拓展应用】知，矩形PQMN的最大面积为14BC•EH=1944cm2．答：该矩形的面积为1944cm2．考点：1．四边形综合题；2．阅读型;3．探究型；4．最值问题；5．压轴题．16．(2017江苏省连云港市）如图,已知等腰三角形ABC中,AB=AC，点D、E分别在边AB．AC上，且AD =AE ,连接BE 、CD ，交于点F ．（1)判断∠ABE 与∠ACD 的数量关系，并说明理由； （2）求证：过点A 、F 的直线垂直平分线段BC ．【答案】(1）∠ABE =∠ACD ；(2）证明见解析． 【解析】试题分析：（1)证得△ABE ≌△ACD 后利用全等三角形的对应角相等即可证得结论； (2）利用垂直平分线段的性质即可证得结论． 试题解析：(1）∠ABE =∠ACD ；在△ABE 和△ACD 中，∵AB =AC ，∠A =∠A ，AE =AD ，∴△ABE ≌△ACD ，∴∠ABE =∠ACD ;（2）∵AB =AC ,∴∠ABC =∠ACB ,由（1)可知∠ABE =∠ACD ,∴∠FBC =∠FCB ，∴FB =FC ，∵AB =AC ，∴点A 、F 均在线段BC 的垂直平分线上，即直线AF 垂直平分线段BC ． 考点：1．等腰三角形的性质；2．线段垂直平分线的性质；3．探究型． 17．（2017江苏省连云港市）问题呈现：如图1，点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上，AE =DG ，求证:2ABCD EFGH S S 矩形四边形．(S 表示面积）实验探究：某数学实验小组发现：若图1中AH ≠BF ，点G 在CD 上移动时，上述结论会发生变化，分别过点E 、G 作BC 边的平行线，再分别过点F 、H 作AB 边的平行线，四条平行线分别相交于点A 1、B 1、C 1、D 1，得到矩形A 1B 1C 1D 1．如图2,当AH ＞BF 时，若将点G 向点C 靠近(DG ＞AE ），经过探索,发现：2S四边形EFGH=S矩形ABCD+S ．如图3，当AH ＞BF 时,若将点G 向点D 靠近(DG ＜AE ），请探索S 四边形EFGH 、S 矩形ABCD 与S 之间的数量关系，并说明理由． 迁移应用:请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题：（1）如图4,点E 、F 、G 、H 分别是面积为25的正方形ABCD 各边上的点，已知AH ＞BF ，AE ＞DG ，S 四边形EFGH =11,HF =29，求EG 的长．（2)如图5,在矩形ABCD 中，AB =3,AD =5，点E 、H 分别在边AB 、AD 上，BE =1，DH =2，点F 、G 分别是边BC 、CD 上的动点，且FG =10，连接EF 、HG ，请直接写出四边形EFGH 面积的最大值．【答案】问题呈现：2ABCD EFGH S S 矩形四边形;实验探究：11112ABCDA B C D EFGHS S S 矩形矩形四边形；迁移应用：（1）EG =1092；（2）172．【解析】试题分析：问题呈现：只要证明S △HGE =12S 矩形AEGD ,同理S △EGF =12S 矩形BEGC ,由此可得S 四边形EFGH =S △HGE +S△EFG =12S 矩形BEGC ； 实验探究：结论：2S 四边形EFGH =S 矩形ABCD ﹣．根据=12,=12, =12， =12，即可证明； 迁移应用：(1）利用探究的结论即可解决问题． （2）分两种情形探究即可解决问题．试题解析：问题呈现：证明：如图1中,∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD,∠A=90°,∵AE=DG，∴四边形AEGD是矩形，∴S△HGE=12S矩形AEGD，同理S△EGF=12S矩形BEGC,∴S四边形EFGH=S△HGE+S△EFG=12S矩形BEGC．实验探究:结论:2S 四边形EFGH=S矩形ABCD﹣．理由：∵ =12， =12, =12，=12，∴S四边形EFGH=+++﹣,∴2S四边形EFGH=2+2+2+2﹣2，∴2S四边形EFGH=S矩形ABCD﹣．迁移应用：解：(1）如图4中，∵2S 四边形EFGH=S矩形ABCD﹣,∴ =25﹣2×11=3=A1B1A1D1,∵正方形的面积为25，∴边长为5，∵A1D12=HF2﹣52=29﹣25=4，∴A1D1=2，A1B1=32，∴EG2=A1B12+52=1094，∴EG=109．(2）∵2S 四边形EFGH=S矩形ABCD+，∴四边形A1B1C1D1面积最大时，矩形EFGH的面积最大．①如图5﹣1中,当G与C重合时，四边形A1B1C1D1面积最大时,矩形EFGH的面积最大．此时矩形A1B1C1D1面积=110102②如图5﹣2中，当G与D重合时，四边形A1B1C1D1面积最大时,矩形EFGH的面积最大．此时矩形A1B1C1D1面积=21=2，∵2＞102,∴矩形EFGH的面积最大值=172．考点：1．四边形综合题；2．最值问题；3．阅读型；4．探究型；5．压轴题．18．（2017湖北省襄阳市）如图，在△ABC中，∠ACB=90°,CD是中线,AC=BC，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转,使角的两边分别与AC、BC的延长线相交,交点分别为点E，F，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N．（1)如图1，若CE=CF,求证:DE=DF；(2）如图2,在∠EDF绕点D旋转的过程中：①探究三条线段AB，CE，CF之间的数量关系,并说明理由；②若CE=4，CF=2，求DN的长．【答案】(1）证明见解析；（2)①AB2=4CE•CF；②210．【解析】试题分析:（1）根据等腰直角三角形的性质得到∠BCD =∠ACD =45°，∠BCE =∠ACF =90°，于是得到∠DCE =∠DCF =135°，根据全等三角形的性质即可的结论；（2）解：①∵∠DCF =∠DCE =135°，∴∠CDF +∠F =180°﹣135°=45°，∵∠CDF +∠CDE =45°，∴∠F =∠CDE ,∴△CDF ∽△CED ，∴CD CF CE CD=，即CD 2=CE •CF ，∵∠ACB =90°,AC =BC ，AD =BD ，∴CD =12AB ，∴AB 2=4CE •CF ；②如图，过D 作DG ⊥BC 于G ，则∠DGN =∠ECN =90°，CG =DG ,当CE =4,CF =2时,由CD 2=CE •CF 得CD =22，∴在Rt △DCG 中，CG =DG =CD •sin ∠DCG =22×sin45°=2，∵∠ECN =∠DGN ，∠ENC =∠DNG ,∴△CEN ∽△GDN ，∴CN CE GN DG ==2，∴GN =13CG =23，∴DN =22GN DG +=222()23+=210．考点：1．几何变换综合题；2．探究型；3．和差倍分;4．综合题．。

专题12：探索性问题一、选择题1.（2017湖南长沙第11题）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是，有人要去某关口，路程378里，第一天健步行走，第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第六天走的路程为（）A．24里 B．12里 C．6里 D．3里【答案】C考点：等比数列2.（2017山东临沂第11题）将一些相同的“d”按如图所示摆放，观察每个图形中的“d”的个数，若第n个图形中“d”的个数是78，则n的值是（）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】B【解析】试题分析：第一个图形有1个○，第二个图形有1+2=3个○，第三个图形有1+2+3=6个○，第四个图形有1+2+3+4=10个○，……第n个图形有1+2+3+……+n=(1)2n n+个○，故(1)2n n+=78，解得n=12或n=-13（舍去）.故选：B考点：规律探索3.(2017山东日照第11题)观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为（）A．23 B．75 C．77 D．139【答案】B．试题分析：观察可得，上边的数为连续的奇数1，3，5，7，9，11，左边的数为21，22，23，…，所以b=26=64，又因上边的数与左边的数的和正好等于右边的数，所以a=11+64=75，故选B．考点：规律型：数字的变化类．4.（2017浙江台州第10题）如图，矩形EFGH的四个顶点分别在菱形ABCD的四条边上，BE BF=，将,AEH CFG∆∆分别沿,EH FG折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的116时，则AEEB为（）A．53B．2 C.52D．4【答案】A考点：1、菱形的性质，2、翻折变换（折叠问题）5.（2017浙江湖州第10题）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．从44⨯的正方形网格图形中（如图1），从点A 经过一次跳马变换可以到达点B ，C ，D ，E 等处．现有2020⨯的正方形网格图形（如图2），则从该正方形的顶点M 经过跳马变换到达与其相对的顶点N ，最少需要跳马变换的次数是（ ）A ．13B ．14 C.15 D ．16【答案】B【解析】试题分析：根据图一可知，延AC 或AD 可进行下去，然后到CF ，从而求出3格，然后依次进行下去，而20×20格共21条线，所以可知要进行下去，正好是（20+1）÷7×2=14.故答案为：14.考点：1、勾股定理，2、规律探索二、填空题1.(2017山东滨州第18题)观察下列各式：2111313=-⨯， 2112424=-⨯ 2113535=-⨯ ……请利用你所得结论，化简代数式213⨯＋224⨯＋235⨯＋…＋2(2)n n +（n ≥3且为整数），其结果为__________． 【答案】2354(1)(2)n n n n +++ .2,(2017山东菏泽第14题)如图，y AB ⊥轴，垂足为B ，将ABO ∆绕点A 逆时针旋转到11O AB ∆的位置，使点B 的对应点1B 落在直线x y 33-=上，再将11O AB ∆绕点1B 逆时针旋转到111O B A ∆的位置，使点1O 的对应点2O 落在直线x y 33-=上，依次进行下去......若点B 的坐标是)1,0(，则点12O 的纵坐标为 ．【答案】()3333+【解析】试题分析： ∵直线x y 33-=∴∠AOB=60°∵在ABO ∆中，OB=1，OA=2，AB=3∴332+=OO ,∵ABO ∆每旋转三次看做一个整体,∴()3336OO 12+=.如图，过点12O 向x 轴画垂线,∵()3336OO 12+=，︒=∠6012OE O ,∴()3333+=OE ,即点12O 的纵坐标为()3333+.3.（2017浙江湖州第15题）如图，已知30∠AOB =，在射线OA 上取点1O ，以1O 为圆心的圆与OB 相切；在射线1O A 上取点2O ，以2O 为圆心，21O O 为半径的圆与OB 相切；在射线2O A 上取点3O ，以3O 为圆心，32O O 为半径的圆与OB 相切；⋅⋅⋅；在射线9O A 上取点10O ，以10O 为圆心，109O O 为半径的圆与OB 相切．若1O 的半径为1，则10O 的半径长是 ．【答案】512（或29）考点：1、圆的切线，2、30°角的直角三角形4.(2017湖南湘潭第15题)如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=°，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，DE 垂直平分AB ，垂足为E 点，请任意写出一组相等的线段 ．【答案】BC=BE 或DC=DE【解析】试题分析:已知90C ∠=°，BD 平分ABC ∠，DE 垂直平分AB ，利用角平分线性质定理可知DC=DE ；根据已知条件易证BCD ∆≌BED ∆，根据全等三角形的性质可得BC=BE.5.(2017浙江舟山第15题)如图，把n 个长为1的正方形拼接成一排，求得71tan ,31tan ,1tan 321=∠=∠=∠C BA C BA C BA ，计算=∠C BA 4tan ，……，按此规律，写出=∠C BA n tan （用含n 的代数式表示）．【答案】113 , 211n n -+. 【解析】 试题分析：如图，过点C 作CE ⊥A 4B 于E ，易得∠A 4BC=∠BA 4A 1，故tan ∠A 4BC=tan ∠BA 4A 1=14，在Rt △BCE 中，由tan ∠A 4BC=14，得BE=4CE ，而BC=1，则BE=，CE=， 而A 4=所以A 4E=A 4， 在Rt △A 4EC 中，tan ∠BA 4C=4113CE A E =；根据前面的规律，不能得出tan ∠ BA 1C=1101⨯+，tan ∠ BA 2C 1211⨯+， tan ∠ BA 3C=1321⨯+，tan ∠ BA 4C=1431⨯+，则可得规律tan ∠ BA n C=211(1)11n n n n =⨯-+-+.故答案为;考点：解直角三角形.三、解答题1.（2017山东临沂第25题）数学课上，张老师出示了问题：如图1，AC 、BD 是四边形ABCD 的对角线，若ACB ACD ∠=∠=60ABD ADB ∠=∠=︒，则线段BC ，CD ，AC 三者之间有何等量关系？ 经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长CB 到E ，使BE CD =，连接AE ，证得ABE ADC ≌V V ，从而容易证明ACE V 是等边三角形，故AC CE =，所以AC BC CD =+.小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将ABC V 绕着点A 逆时针旋转60︒，使AB 与AD 重合，从而容易证明ACF V 是等比三角形，故AC CF =，所以AC BC CD =+.在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图4，如果把“ACB ACD ∠=∠=60ABD ADB ∠=∠=︒”改为“ACB ACD ∠=∠=45ABD ADB ∠=∠=︒”，其它条件不变，那么线段BC ，CD ，AC 三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明.（2）小华提出：如图5，如果把“ACB ACD ∠=∠=60ABD ADB ∠=∠=︒”改为“ACB ACD ∠=∠=ABD ADB α∠=∠=”，其它条件不变，那么线段BC ，CD ，AC 三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明.【答案】（1）AC （2）BC+CD=2AC•cos α【解析】试题分析：（1）先判断出∠ADE=∠ABC ，即可得出△ACE 是等腰三角形，再得出∠AEC=45°，即可得出等腰直角三角形，即可；（判断∠ADE=∠ABC 也可以先判断出点A ，B ，C ，D 四点共圆）（2）先判断出∠ADE=∠ABC ，即可得出△ACE 是等腰三角形，再用三角函数即可得出结论．试题解析：（1）AC ；理由：如图1，延长CD至E，使DE=BC，∵∠ABD=∠ADB=45°，∴AB=AD，∠BAD=180°﹣∠ABD﹣∠ADB=90°，∵∠ACB=∠ACD=45°，∴∠ACB+∠ACD=45°，∴∠BAD+∠BCD=180°，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ADC+∠ADE=180°，∴∠ABC=∠ADE，在△ABC和△ADE中，AB ADABC ADE BC DE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠ACB=∠AED=45°，AC=AE，∴△ACE是等腰直角三角形，∴AC，∵CE=CE+DE=CD+BC，∴AC；（2）BC+CD=2AC•cosα．理由：如图2，延长CD至E，使DE=BC，∵∠ABD=∠ADB=α，∴AB=AD，∠BAD=180°﹣∠ABD﹣∠ADB=180°﹣2α，∵∠ACB=∠ACD=α，∴∠ACB+∠ACD=2α，∴∠BAD+∠BCD=180°，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ADC+∠ADE=180°，∴∠ABC=∠ADE，在△ABC和△ADE中，AB ADABC ADE BC DE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠ACB=∠AED=α，AC=AE，∴∠AEC=α，过点A作AF⊥CE于F，∴CE=2CF，在Rt△ACF中，∠ACD=α，CF=AC•cos∠ACD=AC•cosα，∴CE=2CF=2AC•cosα，∵CE=CD+DE=CD+BC，∴BC+CD=2AC•cosα．考点：1、几何变换综合题，2、全等三角形的判定，3、四边形的内角和，4、等腰三角形的判定和性质2.(2017山东日照第18题)如图，已知BA=AE=DC，AD=EC，CE⊥AE，垂足为E．（1）求证：△DCA≌△EAC；（2）只需添加一个条件，即，可使四边形ABCD为矩形．请加以证明．【答案】(1)详见解析；(2)AD=BC （答案不唯一）．试题分析：（1）由SSS 证明△DCA ≌△EAC 即可；（2）先证明四边形ABCD 是平行四边形，再由全等三角形的性质得出∠D=90°，即可得出结论．考点：矩形的判定；全等三角形的判定与性质．3.(2017浙江金华第23题)如图1，将ABC ∆纸片沿中位线EH 折叠，使点A 的对称点D 落在BC 边上，再将纸片分别沿等腰BED ∆和等腰DHC ∆的底边上的高线EF ，HG 折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．(1)将ABCD 纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形AEFG ，则操作形成的折痕分别是线段_____，_____；:ABCD AEFG S S =矩形 ______.(2)ABCD 纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形EFGH ，若5EF =，12EH =，求AD 的长．(3)如图4，四边形ABCD 纸片满足,,,8,10AD BC AD BC AB BC AB CD <⊥==．小明把该纸片折叠，得到叠合正方形．．．．请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出,AD BC 的长．【答案】（1）（1）AE ；GF ；1:2；（2）13；（3）按图1的折法，则AD=1，BC=7；按图2的折法，则AD=134 ,BC=374. 【解析】试题分析：（1）由图2观察可得出答案为AE,GF,由折叠的轴对称性质可得出答案为1：2；（2）由EF 和EH 的长度根据勾股定理可求出FH 的长度，再由折叠的轴对称性质易证△AEH ≌△CGF ；再根据全等三角形的性质可得出AD 的长度；（3）由折叠的图可分别求出AD 和BC 的长度.试题解析：（1）AE ；GF ；1:2（2）解：∵四边形EFGH 是叠合矩形，∠FEH=90°,EF=5,EH=12;∴= =13;由折叠的轴对称性可知：DH=NH,AH=HM,CF=FN;易证△AEH ≌△CGF;∴CF=AH;∴AD=DH+AH=HN+FN=FH=13.（3）解：本题有以下两种基本折法，如图1，图2所示.按图1的折法，则AD=1，BC=7.按图2的折法，则AD=134,BC=374.4.(2017湖南湘潭第26题)如图，动点M在以O为圆心，AB为直径的半圆弧上运动（点M不与点A B、及AB的中点F重合），连接OM.过点M作ME AB⊥于点E，以BE为边在半圆同侧作正方形BCDE，过M点作O的切线交射线DC于点N，连接BM、BN.（1）探究：如左图，当M动点在AF上运动时；①判断OEM MDN∆∆是否成立？请说明理由；②设ME NCkMN+=，k是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；③设MBNα∠=，α是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；（2）拓展：如右图，当动点M在FB上运动时；分别判断（1）中的三个结论是否保持不变？如有变化，请直接写出正确的结论.（均不必说明理由）【答案】(1)①成立，理由见解析；②为定值1；③α为定值45°；（2）不发生变化.试题解析：（1）①成立，理由如下：过点M作ME⊥AB于点E，以BE为边在半圆同侧作正方形BCDE，∴∠MEO=∠MDN=90°，∴∠MOE+∠EMO=90°过M 点的O 的切线交射线DC 于点N ，∴∠OMN=90°，∴∠DMN+∠EMO=90°∴∠MOE=∠DMN∴△OEM ∽△MDN②k 是定值1，理由如下：过点B 作BG ⊥MN,∵过M 点的O 的切线交射线DC 于点N ，∴∠OMN=90°，∵BG ⊥MN,∴∠BGM=90°，∴∠OMN=∠BGM=90°，∴OM ∥BG∴∠OMB=∠MBG,∵OM=OB∴∠OMB=∠OBM,∴∠OBM=∠MBG,∴△BME ≌△BMG,∴BM=MG,BG=BE,∵正方形BCDE ，∴BG=BC∴△BNG ≌△BCN,∴GN=CN∴MN=MG+NG=ME+CN 即1ME NCk MN +==③α为定值45°，理由如下：由②知：∠OBM=∠MBG, △BNG ≌△BCN,∴∠GBN=∠CBN,∵正方形BCDE ，∴∠EBC=90°，∴∴∠MBN=01452EBC ∠=(2)不发生变化.。

2019-2020年中考数学试题分项版解析汇编第01期专题12探索性问题含解析一、选择题1.（xx浙江衢州第7题）下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是（）A．①B．②C．③D．④【答案】C.考点：基本作图.2. （xx浙江衢州第10题）运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB是⊙O的直径，CD，EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB=10，CD=6，EF=8。

则图中阴影部分的面积是（）A. B. C. D.【答案】A.【解析】试题解析：作直径CG ，连接OD 、OE 、OF 、DG ．∵CG 是圆的直径，∴∠CDG=90°，则2222106CG CD -=-=8，又∵EF=8，∴DG=EF ，∴，∴S 扇形ODG =S 扇形OEF ，∵AB ∥CD ∥EF ，∴S △OCD =S △ACD ，S △OEF =S △AEF ，∴S 阴影=S 扇形OCD +S 扇形OEF =S 扇形OCD +S 扇形ODG =S 半圆=π×52=π．故选A ．考点：1.圆周角定理；2.扇形面积的计算.3.（xx 山东德州第9题）公式表示当重力为P 时的物体作用在弹簧上时弹簧的长度. 表示弹簧的初始长度,用厘米(cm)表示，K表示单位重力物体作用在弹簧上时弹簧的长度，用厘米(cm)表示。

下面给出的四个公式中，表明这是一个短而硬的弹簧的是（）A．L=10+0.5P B．L=10+5P C．L=80+0.5P D．L=80+5P【答案】A【解析】=10，表示弹簧短；A和C中，K=0.5，表示弹簧硬；试题分析：A和B中，L故选A考点:一次函数的应用4. （xx山东德州第12题）观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形的中点，构成4个小三角形，挖去中间的小三角形（如题1）；对剩下的三角形再分别重复以上做法，……，将这种做法继续下去（如图2，图3……），则图6中挖去三角形的个数为（）A．121 B．362 C．364 D．729【答案】C考点:探索规律5.（xx浙江宁波第12题）一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形，且只有标号为①和②的两个小矩形为正方形，在满足条件的所有分割中，若知道九个小矩形中个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积，则的最小值是( )A.3B.4C.5D.6【答案】A.【解析】试题分析：根据题意可知，最少知道3个小矩形的周长即可求得大矩形的面积.考点：矩形的性质.6.（xx重庆A卷第10题）下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中菱形的个数为（）A．73 B．81 C．91 D．109【答案】C．【解析】试题解析：第①个图形中一共有3个菱形，3=12+2；第②个图形中共有7个菱形，7=22+3；第③个图形中共有13个菱形，13=32+4；…，第n个图形中菱形的个数为：n2+n+1；第⑨个图形中菱形的个数92+9+1=91．故选C．考点：图形的变化规律.7.（xx广西贵港第11题）如图，在中，，将绕顶点逆时针旋转得到是的中点，是的中点，连接，若，则线段的最大值是（）A． B． C. D．【答案】B【解析】试题解析：如图连接PC．在Rt△ABC中，∵∠A=30°，BC=2，∴AB=4，根据旋转不变性可知，A′B′=AB=4，∴A′P=PB′，∴PC=A′B′=2，∵CM=BM=1，又∵PM≤PC+CM，即PM≤3，∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．故选B．考点：旋转的性质．8.（xx湖北武汉第10题）如图，在中，，以的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（）A．4 B．5 C． 6 D．7【答案】C【解析】试题解析：①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形；②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形；③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形；④作AC的垂直平分线交AB于点H，△ACH就是等腰三角形；⑤作AB的垂直平分线交AC于G，则△AGB是等腰三角形；⑥作BC的垂直平分线交AB于I，则△BCI是等腰三角形．故选C.考点：画等腰三角形.9.（xx贵州黔东南州第10题）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算（a+b）20的展开式中第三项的系数为（）A．xx B．xx C．191 D．190【答案】D．【解析】试题解析：找规律发现（a+b）3的第三项系数为3=1+2；（a+b）4的第三项系数为6=1+2+3；（a+b）5的第三项系数为10=1+2+3+4；不难发现（a+b）n的第三项系数为1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1），∴（a+b）20第三项系数为1+2+3+…+20=190，故选 D．考点：完全平方公式．10.（xx四川泸州第12题）已知抛物线y=x2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（，3），P是抛物线y=x2+1上一个动点，则△PMF周长的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C．【解析】试题解析：过点M作ME⊥x轴于点E，交抛物线y=x2+1于点P，此时△PMF周长最小值，∵F（0，2）、M（，3），∴ME=3，FM==2，∴△PMF周长的最小值=ME+FM=3+2=5．故选C．考点：1.二次函数的性质；2.三角形三边关系．11.（xx四川自贡第11题）填在下面各正方形中四个数之间都有相同的规律，根据这种规律m的值为（）A．180 B．182 C．184 D．186【答案】C.【解析】试题解析：由前面数字关系：1，3，5；3，5，7；5，7，9，可得最后一个三个数分别为：11，13，15，∵3×5﹣1=14，；5×7﹣3=32；7×9﹣5=58；∴m=13×15﹣11=184．故选C．考点：数字规律.二、填空题1. （xx浙江衢州第14题）如图，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是．【答案】a+6．考点：图形的拼接.2. （xx浙江衢州第15题）如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（-1，0），半径为1，点P为直线上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是__________【答案】．【解析】试题解析：连接AP，PQ，当AP最小时，PQ最小，∴当AP⊥直线y=﹣x+3时，PQ最小，∵A的坐标为（﹣1，0），y=﹣x+3可化为3x+4y﹣12=0，∴AP=22|3(1)4012|34+=3，∴PQ=．考点：1.切线的性质；2.一次函数的性质.3．（xx浙江衢州第16题）如图，正△ABO的边长为2，O为坐标原点，A在轴上，B在第二象限。

2021年中考数学複习考点解密开放探究性问题含解析第一部分讲解部分一、专题诠释开放**型问题，可分为开放型问题和**型问题两类．开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的，它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题．这类试题已成为近年中考的热点，重在考查同学们分析、探究力气以及思维的发散性，但难度适中．依据其特徵大致可分为：条件开放型、结论开放型、方法开放型和编制开放型等四类．**型问题是指命题中缺少确定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题．依据其特徵大致可分为：条件**型、结论**型、规律**型和存在性**型等四类．二、解题策略与解法精讲由于开放**型试题的学问掩盖面较大，综合性较强，机敏选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精致，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在複习时，首先对于基础学问确定要複习全面，併力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，留意各学问点之间的因果联络，选择合适的解题途径完成最终的解答．由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：1．利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律． 2．反演推理法（反证法），即假设结论成立,依据假设进行推理，看是推汇出冲突还是能与已知条件全都．3．分类争辩法．当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能消灭的状况做到既不重複也不遗漏，分门别类加以争辩求解，将不同结论综合归纳得出正确结果．4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证．以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更留意数学思想方法的综合运用．三、考点精讲（一）开放型问题考点一：条件开放型：条件开放题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件．解这种开放问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论动身，逆向追索，逐步探求．例1：（2021江苏淮安）在四边形abcd中，ab=dc，ad=bc.请再新增一个条件，使四边形abcd是矩形.你新增的条件是写出一种即可)分析：已知两组对边相等，假如其对角线相等可得到△abd≌△abc≌adc≌△bcd，进而得到，∠a=∠b=∠c=∠d=90°，使四边形abcd是矩形．解：若四边形abcd的对角线相等，则由ab=dc，ad=bc可得．△abd≌△abc≌adc≌△bcd，所以四边形abcd的四个内角相等分别等于90°即直角，所以四边形abcd是矩形，故答案为：对角线相等．评注：此题属开放型题，考查的是矩形的判定，依据矩形的判定，关键是是要得到四个内角相等即直角．考点二：结论开放型：给出问题的条件，让解题者依据条件探究相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性，这些问题都是结论开放问题．这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特徵，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取捨．例2：（2021天津）已知一次函式的图象经过点（0，1），且满足y随x的增大而增大，则该一次函式的解析式可以为分析：先设出一次函式的解析式，再依据一次函式的图象经过点（0，1）可确定出b的值，再依据y随x的增大而增大确定出k的符号即可．解：设一次函式的解析式为：y=kx+b（k≠0），∵一次函式的图象经过点（0，1），∴b=1，∵y随x的增大而增大，∴k＞0，故答案为y=x+1（答案不唯一，可以是形如y=kx+1，k ＞0的一次函式）．评注：本题考查的是一次函式的性质，即一次函式y=kx+b（k≠0）中，k＞0，y随x的增大而增大，与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上．考点三：条件和结论都开放的问题：此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，因此必需认真观看与思考，将已知的资讯集中分析，挖掘问题成立的条件或特定条件下的结论，多方面、多角度、多层次探究条件和结论，并进行证明或推断．例3：（2021玉溪）如图，在平行四边形abcd中，e是ad的中点，请新增适当条件后，构造出一对全等的三角形，并说明理由．分析：先连线be，再过d作df∥be交bc于f，可构造全等三角形△abe和△cdf．利用abcd是平行四边形，可得出两个条件，再结合de∥bf，be∥df，又可得一个平行四边形，那么利用其性质，可得de=bf，结合ad=bc，等量减等量差相等，可证ae=cf，利用sas可证三角形全等．解：新增的条件是连线be，过d作df∥be交bc于点f，构造的全等三角形是△abe与△cdf．理由：∵平行四边形abcd，ae=ed，∴在△abe与△cdf中，ab=cd，∠eab=∠fcd，又∵de∥bf，df∥be，∴四边形bfde是平行四边形，∴de=bf，又ad=bc，∴ad﹣de=bc﹣bf，即ae=cf，∴△abe≌△cdf．（答案不唯一，也可增加其它条件）评注：本题利用了平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、以及等量减等量差相等等学问．考点四：编制开放型：此类问题是指条件、结论、解题方法都不全或未知，而仅供应一种问题情境，需要我们补充条件，设计结论，寻求解法的一类题，它更具有开放性．例4：（2021年江苏盐城中考题）某校九班级两个班各为玉树**灾区捐款1800元．已知2班比1班人均捐款多4元，2班的人数比1班的人数少10%．请你依据上述资讯，就这两个班级的“人数”或“人均捐款”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程．分析：本题的等量关係是：两班捐款数之和为1800元；2班捐款数-1班捐款数=4元；1班人数=2班人数×90%，从而提问解答即可．解：解法一：求两个班人均捐款各多少元？设1班人均捐款x元，则2班人均捐款（x+4）元，依据题意得·90%=解得x=36 经检验x=36是原方程的根x+4=40答：1班人均捐36元，2班人均捐40元解法二：求两个班人数各多少人？设1班有x人，则依据题意得4= 解得x=50 ，经检验x=50是原方程的根90x % =45答：1班有50人，2班有45人．评注：对于此类编制开放型问题，是一类新型的开放型问题，它要求同学的思维较发散，写出符合题意的正确答案即可，难度要求不大，但同学简洁犯想当然的错误，叙述不够準确，如单位的问题、符合实际等要求，在解题中应当留意防範．（二）**型问题考点五：动态探究型：此类问题结论明确，而需**发觉使结论成立的条件的题目．例5：（2021临沂）如图1，将三角板放在正方形abcd 上，使三角板的直角顶点e与正方形abcd的顶点a重合，三角扳的一边交cd于点f．另一边交cb的延长线于点g．（1）求证：ef=eg；（2）如图2，移动三角板，使顶点e始终在正方形abcd 的对角线ac上，其他条件不变，（1）中的结论是否照旧成立？若成立，请赐予证明：若不成立．请说明理由：（3）如图3，将（2）中的“正方形abcd”改为“矩形abcd”，且使三角板的一边经过点b，其他条件不变，若ab=a、bc=b，求的值．分析：（1）由∠geb+∠bef=90°，∠def+∠bef=90°，可得∠def=∠geb，又由正方形的性质，可利用sas证得rt △fed≌rt△geb，则问题得证；（2）首先点e分别作bc、cd的垂线，垂足分别为h、i，然后利用sas证得rt△fei≌rt△geh，则问题得证；（3）首先过点e分别作bc、cd的垂线，垂足分别为m、n，易证得em∥ab，en∥ad，则可证得△cen∽△cad，△cem ∽△cab，又由有两角对应相等的三角形相像，证得△gme∽△fne，依据相像三角形的对应边成比例，即可求得答案．解：（1）证明：∵∠geb+∠bef=90°，∠def+∠bef=90°，∴∠def=∠geb，又∵ed=be，∴rt△fed≌rt△geb，∴ef=eg；（2）成立．证明：如图，过点e分别作bc、cd的垂线，垂足分别为h、i，则eh=ei，∠hei=90°，∵∠geh+∠hef=90°，∠ief+∠hef=90°，∴∠ief=∠geh，∴rt△fei≌rt△geh，∴ef=eg；（3）解：如图，过点e分别作bc、cd的垂线，垂足分别为m、n，则∠men=90°，∴em∥ab，en∥ad．∴△cen∽△cad，△cem∽△cab，∴，∴，即，∵∠ief+∠fem=∠gem+∠fem=90°，∴∠gem=∠fen，∵∠gme=∠fne=90°，∴△gme∽△fne，∴，∴．评注：此题考查了正方形，矩形的性质，以及全等三角形与相像三角形的判定与性质．此题综合性较强，留意数形结合思想的应用．考点六：结论**型：此类问题给定条件但无明确结论或结论不惟一，而需探究发觉与之相应的结论的题目．例6：（2021福建省三明市）在矩形abcd中，点p在ad 上，ab=2，ap=1．将直角尺的顶点放在p处，直角尺的两边分别交ab，bc于点e，f，连线ef（如图①）．（1）当点e与点b重合时，点f恰好与点c重合（如图②），求pc的长；（2）**：将直尺从图②中的位置开头，绕点p顺时针旋转，当点e和点a重合时停止．在这个过程中，请你观看、猜想，并解答：①tan∠pef的值是否发生变化？请说明理由；。

【东三省部分】一、选择题1.（2015·黑龙江绥化）如图□ABCD 的对角线AC,BD 交于点O ,AE 平分∠BAD 交BC 于点E ,且∠ADC=600，AB=21BC ,连接OE .下列 结论：①∠CAD=300 ② S □ABCD=AB •AC ③ OB=AB ④ OE=41BC 成立的个数有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C考点：1.平行四边形的性质；2.等边三角形的判定与性质；3.直角三角形的性质；4.三角形的中位线.二、填空题1．(2015·辽宁葫芦岛）（3分）如图，在矩形ABCD 中，AD =2，CD =1，连接AC ，以对角线AC 为边，按逆时针方向作矩形ABCD 的相似矩形AB 1C 1C ，再连接AC 1，以对角线AC 1为边作矩形AB 1C 1C 的相似矩形AB 2C 2C 1，．．．，按此规律继续下去，则矩形AB n C n C n -1的面积为 ．【答案】2152n n -（或254nn ⨯）． 考点：1．相似多边形的性质；2．勾股定理；3．规律型；4．矩形的性质；5．综合题．2.（2015·黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭）菱形ABCD 的对角线AC =6cm ，BD =4cm ，以AC 为边作正方形ACEF ，则BF 长为 ．【答案】5cm 或73cm ．考点：1．菱形的性质；2．正方形的性质；3．分类讨论．3.（2015·黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭）BD 为等腰△ABC 的腰AC 上的高，BD =1，tan ∠ABD =3，则CD 的长为 ．【答案】23+或23-或33．考点：1．解直角三角形；2．等腰三角形的性质；3．勾股定理．4.（2015·黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭）如图，正方形ABCB 1中，AB =1．AB 与直线l 的夹角为30°，延长CB 1交直线l 于点A 1，作正方形A 1B 1C 1B 2，延长C 1B 2交直线l 于点A 2，作正方形A 2B 2C 2B 3，延长C 2B 3交直线l 于点A 3，作正方形A 3B 3C 3D 4，…，依此规律，则A 2014A 2015= ．【答案】20142(3)．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．正方形的性质；3．规律型．3 2或94【答案】考点：1.矩形的折叠；2.直角三角形的性质； 3.相似三角形的判定与性质.6.（2015·辽宁丹东）如图，直线OD 与x 轴所夹的锐角为30°，OA 1的长为1，△A 1A 2B 1、△A 2A 3B 2、△A 3A 4B 3…△A n A n+1B n 均为等边三角形，点A 1、A 2、A 3…A n+1在x 轴的正半轴上依次排列，点B 1、B 2、B 3…B n 在直线OD 上依次排列，那么点B n 的坐标为 . 【答案】 (3×22-n ,3×22-n )［也可写成(21-n ×23, 21-n ×23)］. 【解析】考点：1.点的坐标规律；2.等边三角形及30度角直角三角形边角关系.三、解答题1．(2015·辽宁葫芦岛）（12分）在△ABC 中，AB =AC ，点F 是BC 延长线上一点，以CF 为边，作菱形CDEF ，使菱形CDEF 与点A 在BC 的同侧，连接BE ，点G 是BE 的中点，连接AG 、DG ．（1）如图①，当∠BAC =∠DCF =90°时，直接写出AG 与DG 的位置和数量关系；（2）如图②，当∠BAC =∠DCF =60°时，试探究AG 与DG 的位置和数量关系，（3）当∠BAC =∠DCF =α时，直接写出AG 与DG 的数量关系．第16题图 yxA 4B 2B 3D B 1A 3A 2A 1O【答案】（1）AG⊥DG，AG=DG；（2）AG⊥GD，AG=3DG；（3）DG=AGtan．2考点：1．四边形综合题；2．正方形的性质；3．全等三角形的判定与性质；4．探究型；5．压轴题．2．(2015·辽宁葫芦岛）（14分）如图，直线334y x =-+与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，抛物线234y ax x c =++经过B 、C 两点． （1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，当△BEC 面积最大时，请求出点E 的坐标和△BEC 面积的最大值？（3）在（2）的结论下，过点E 作y 轴的平行线交直线BC 于点M ，连接AM ，点Q 是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得以P 、Q 、A 、M 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）233384y x x =-++；（2）点E 的坐标是（2，3）时，△BEC 的面积最大，最大面积是3；（3）P 的坐标是（﹣3，218-）、（5，218-）、（﹣1，158）．考点：1．二次函数综合题；2．动点型；3．存在型；4．分类讨论；5．最值问题；6．二次函数的最值；7．压轴题．3．(2015·黑龙江哈尔滨）（本题10分）(1)、求a 的值；(2)、点p 是射线CB 上的一个动点，过点P 在作PQ ⊥x 轴，垂足为点Q ，在x 轴上点Q 的右侧取点M ，使MQ=58，在QP 的延长线上取点N ，连接PM ，AN ，已知tan ∠NAQ-tan ∠MPQ=12，求线段PN 的长； (3)、在(2)的条件下，过点C 作CD ⊥AB ，使点D 在直线AB 下方，且CD=AC ，连接P D ，NC ，当以PN ，PD ，NC 的长为三边长构成的三角形面积是258时，在y 轴左侧的抛物线上是否存在点E ，连接NE ，PE ，使得ΔENP 与以PN 、PD 、NC 的长为三边长的三角形全等？若存在，求出点E 坐标；若不存在，请说明理由.考点：二次函数的综合应用、三角形相似、一次函数的性质.4．（2015·黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭）【8分】如图1所示，在正方形ABCD和正方形CGEF 中，点B、C、G在同一条直线上，M是线段AE的中点，DM的延长线交EF于点N，连接FM，易证：DM=FM，DM⊥FM（无需写证明过程）（1）如图2，当点B、C、F在同一条直线上，DM的延长线交EG于点N，其余条件不变，试探究线段DM与FM有怎样的关系？请写出猜想，并给予证明；（2）如图3，当点E、B、C在同一条直线上，DM的延长线交CE的延长线于点N，其余条件不变，探究线段DM与FM有怎样的关系？请直接写出猜想．【答案】（1）DM=FM，DM⊥FM，证明见试题解析；（2）DM=FM，DM⊥FM．考点：四边形综合题．5.（2015·黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭）【10分】如图，在平面直角坐标系中，已知Rt △AOB 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，且OA 、OB 的长满足28(6)0OA OB -+-=，∠ABO 的平分线交x 轴于点C 过点C 作AB 的垂线，垂足为点D ，交y 轴于点E ．（1）求线段AB 的长；（2）求直线CE 的解析式；（3）若M 是射线BC 上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P ，使以A 、B 、M 、P 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）10；（2）443y x =--；（3）存在，P （－3，10）或P (3，2)．考点：一次函数综合题．6.（2015·辽宁营口）某粮油超市平时每天都将一定数量的某些品种的粮食进行包装以便出售，已知每天包装大黄米的质量是包装江米质量的45倍，且每天包装大黄米和江米的质量之和为45千克． (1)求平均每天包装大黄米和江米的质量各是多少千克?(2)为迎接今年6月20日的“端午节”，该超市决定在节日前20天增加每天包装大黄米和江米的质量，二者的包装质量与天数的变化情况如图所示，节日后又恢复到原来每天的包装质量．分别求出在这20天内每天包装大黄米和江米的质量随天数变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围．(3)假设该超市每天都会将当天包装后的大黄米和江米全部出售，已知大黄米成本价为每千克7.9元，江米成本价为每千克9.5元，二者包装费用平均每千克均为0.5元，大黄米售价为每千克10元，江米售价为每千克12元，那么在这20天中有哪几天销售大黄米和江米的利润之和大于120元? [总利润=售价额－成本－包装费用]【答案】（1）大黄米25千克，江米20千克．（2）125y x =+（0≤≤x 15），1385y x =-+（≤x 15<20），26205y x =+ （0≤≤x 15）， 218925y x =-+ （≤x 15<20），（3）第11，12，13，14，15，16天中销售大黄米和江米的总利润大于120元．第24题图每天包装的质量/千克4038考点：1.列二元一次方程组解决实际问题；2.分段函数求解析式；3.一次函数与一元一次不等式的综合应用.7.（2015·辽宁营口）【问题探究】（1）如图1，锐角△ABC 中，分别以AB 、AC 为边向外作等腰△ABE 和等腰△ACD ，使AE=AB ，AD=AC ，∠BAE=∠CAD ，连接BD ，CE ，试猜想BD 与CE 的大小关系，并说明理由．【深入探究】（2）如图2，四边形ABCD 中，AB=7cm ，BC=3cm ，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45º，求BD 的长．（3）如图3，在(2)的条件下，当△ACD 在线段AC 的左侧时，求BD 的长．【答案】（1）BD=CE ．理由参见解析；（2107cm ；（3）(723)cm ．第25题图 图1 BEDC A图3 B D CA 图2B DC A考点：1.三角形全等的判定；2.直角三角形勾股定理的运用；3.图形的变换.8.（2015·辽宁营口）如图1，一条抛物线与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且当x=－1和x=3时，y 的值相等．直线421815-=x y 与抛物线有两个交点，其中一个交点的横坐标是6，另一个交点是这条抛物线的顶点M ． (1)求这条抛物线的表达式．(2)动点P 从原点O 出发，在线段OB 上以每秒1个单位长度的速度向点B 运动，同时动点Q 从点B 出发，在线段BC 上以每秒2个单位长度的速度向点C 运动，当一个点到达终点时，另一个点立即停止运动，设运动时间为t 秒．①若使△BPQ 为直角三角形，请求出所有符合条件的t 值； ②求t 为何值时，四边形ACQ P 的面积有最小值，最小值是多少？(3)如图2，当动点P 运动到OB 的中点时，过点P 作PD ⊥x 轴，交抛物线于点D ，连接OD ，OM ，MD 得△ODM ，将△OPD 沿x 轴向左平移m 个单位长度（02m <<），将平移后的三角形与△ODM 重叠部分的面积记为S ，求S 与m 的函数关系式． 第26题图图2 CPAM DO x B y备用图CPAMDO xB y图1QOCP AMx B y【答案】（1）233384y x x =--；（2）①87t =或2013t =，②当2t =时，四边形ACQP 的面积最小，最小值是335；（3）()2221103(0)10915102()169≤m m m S m m ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪-<<2⎪⎩.考点：1.图形的平移规律；2.二次函数与一次函数综合知识；3.图形面积的计算.9.（2015·黑龙江绥化）如图1，在正方形ABCD中，延长BC至M ,使BM=DN ,连接MN交BD延长线于点E.(1)求证：BD+2DE=2BM .(2)如图2 ，连接BN交AD于点F ，连接MF交BD于点G.若AF:FD=1:2 ,且CM=2，则线段DG=_______.【答案】（1）见解析；（2）22.考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.勾股定理；4.平行线分线段成比例定理. 10.（2015·黑龙江绥化）如图 ，已知抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A 、B ，与直线AC:y=－x －6交y 轴于点C 、D ，点D 是抛物线的顶点 ，且横坐标为－2. （1）求出抛物线的解析式。

探究性问题本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

一、选择题1．〔2021凉山州〕观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数2021应标在〔〕A．第504个正方形的左下角B．第504个正方形的右下角C．第505个正方形的左上角D．第505个正方形的右下角【答案】D．考点：1．规律型：点的坐标；2．规律型．2．〔2021〕以下说法中正确的选项是〔〕A．“翻开电视，正在播放?新闻联播?〞是必然事件B．“x2＜0〔x是实数〕〞是随机事件C．掷一枚质地均匀的硬币10次，可能有5次正面向上D．为了理解夏季冷饮场上冰淇淋的质量情况，宜采用普查方式调查【答案】C．【解析】试题分析：选项A中的事件是随机事件，应选项A错误；．选项B中的事件是不可能事件，应选项B错误；．选项C 中的事件是随机事件，应选项C 正确；．选项D 中的事件应采取抽样调查，普查不合理，应选D 错误；． 应选C ．考点：1．概率的意义；2．全面调查与抽样调查；3．随机事件；4．探究型．3．〔2021〕用大小相等的小正方形按一定规律拼成以下图形，那么第n 个图形中小正方形的个数是〔 〕A ．2n +1B ．21n - C ．22n n + D ．5n ﹣2 【答案】C ．考点：规律型：图形的变化类．4．〔2021〕如下图，以下各三角形中的三个数之间均具有一样的规律，根据此规律，最后一个三角形中y 与n 之间的关系是〔 〕A ．21y n =+B ．2n y n =+C ．12n y n +=+D ．21n y n =++ 【答案】B ．考点：规律型：数字的变化类． 二、填空题5．〔2021〕百子回归图是由1，2，3…，100无重复排列而成的正方形数表，它是一部数化的简史，如：HY 四位“19 99 12 20〞标示回归日期，最后一行中间两位“23 50〞标示面积，……，同时它也是十阶幻方，其每行10个数之和、每列10个数之和、每条对角线10个数之和均相等，那么这个和为 ．【答案】505． 【解析】试题分析：1～100的总和为：〔1+100〕×100÷2=5050，一一共有10行，且每行10个数之和均相等，所以每行10个数之和为：5050÷10=505，故答案为：505． 考点：规律型：数字的变化类．6．〔2021〕下面是“经过直线外一点作这条直线的垂线〞的尺规作图过程：：直线l 和l 外一点P ．〔如图1〕 求作：直线l 的垂线，使它经过点P ． 作法：如图2〔1〕在直线l 上任取两点A ，B ；〔2〕分别以点A ，B 为圆心，AP ，BP 长为半径作弧，两弧相交于点Q ； 〔3〕作直线PQ ．所以直线PQ 就是所求的垂线．请答复：该作图的根据是 ．【答案】到线段两个端点的间隔 相等的点在线段的垂直平分线上〔A 、B 都在线段PQ 的垂直平分线上〕．考点：作图—根本作图．7．〔2021〕我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角〞．这个三角形给出了()na b 〔n =1，2，3，4…〕的展开式的系数规律〔按a 的次数由大到小的顺序〕：请根据上述规律，写出20162()x x展开式中含2014x 项的系数是 ．【答案】﹣4032．考点：1．整式的混合运算；2．阅读型；3．规律型．8．〔2021〕设一列数中相邻的三个数依次为m 、n 、p ，且满足p =m 2﹣n ，假设这列数为﹣1，3，﹣2，a ，﹣7，b …，那么b = ． 【答案】128． 【解析】试题分析：根据题意得：a =23﹣〔﹣2〕=11，那么b =211﹣〔﹣7〕=128．故答案为：128． 考点：规律型：数字的变化类．9．〔2021〕如图，在平面直角坐标系中，函数y =2x 和y =﹣x 的图象分别为直线l 1，l 2，过点〔1，0〕作x 轴的垂线交l 2于点A 1，过点A 1作y 轴的垂线交l 2于点A 2，过点A 2作x 轴的垂线交l 2于点A 3，过点A 3作y 轴的垂线交l 2于点A 4，…依次进展下去，那么点A 2021的坐标为．【答案】〔21008，21009〕．【解析】试题分析：观察，发现规律：A 1〔1，2〕，A 2〔﹣2，2〕，A 3〔﹣2，﹣4〕，A 4〔4，﹣4〕，A 5〔4，8〕，…，∴A 2n +1〔(2)n -，2(2)n⨯-〕〔n 为自然数〕． ∵2021=1008×2+1，∴A 2021的坐标为〔〔﹣2〕1008，2〔﹣2〕1008〕=〔21008，21009〕．故答案为：〔21008，21009〕．考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．规律型；3．一次函数的应用．10．〔2021〕如图，一段抛物线：y =﹣x 〔x ﹣2〕〔0≤x ≤2〕记为C 1，它与x 轴交于两点O ，A 1；将C 1绕A 1旋转180°得到C 2，交x 轴于A 2；将C 2绕A 2旋转180°得到C 3，交x 轴于A 3；…如此进展下去，直至得到C 6，假设点P 〔11，m 〕在第6段抛物线C 6上，那么m = ．【答案】﹣1．考点：1．二次函数图象与几何变换；2．抛物线与x 轴的交点；3．规律型． 11．〔2021〕反比例函数ky x=〔k ≠0〕的图象如下图，那么k 的值可能是 〔写一个即可〕．【答案】答案不唯一，只要k ＜0即可，如k =-1． 【解析】试题分析：∵双曲线的两支分别位于第二、第四象限，∴k ＜0，∴k 可取﹣1．故答案为：答案不唯一，只要k ＜0即可，如k =-1． 考点：1．反比例函数的性质；2．开放型．12．〔2021〕古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律性，假设把第一个三角形数记为x 1，第二个三角形数记为x 2，…第n 个三角形数记为x n ，那么x n +x n +1=． 【答案】2(1)n ．考点：规律型：数字的变化类． 三、解答题13．〔2021〕感知：如图1，AD 平分∠BAC ．∠B +∠C =180°，∠B =90°，易知：D B =DC ． 探究：如图2，AD 平分∠BAC ，∠ABD +∠ACD =180°，∠ABD ＜90°，求证：D B =DC ． 应用：如图3，四边形ABCD 中，∠B =45°，∠C =135°，DB =DC =a ，那么AB ﹣AC = 〔用含a 的代数式表示〕【答案】探究：证明见解析；应用：2a．考点：1．全等三角形的断定与性质；2．探究型．14．〔2021〕如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE=BF．连接DE，过点E 作EG⊥DE，使EG=DE，连接FG，FC．〔1〕请判断：FG与CE的数量关系是，位置关系是；〔2〕如图2，假设点E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其它条件不变，〔1〕中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；〔3〕如图3，假设点E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其它条件不变，〔1〕中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断【答案】〔1〕FG=CE，FG∥CE；〔2〕成立；〔3〕成立．考点：1．四边形综合题；2．探究型；3．变式探究．15．〔2021〕如图1是一个用铁丝围成的篮框，我们来仿制一个类似的柱体形篮框．如图2，它是由一个半径为r、圆心角90°的扇形A2OB2，矩形A2C2EO、B2D2EO，及假设干个缺一边的矩形状框A1C1D1B1、A2C2D2B2、…、A n B n C n D n，OEFG围成，其中A1、G、B1在22A B上，A2、A3…、A n与B2、B3、…B n分别在半径OA2和OB2上，C2、C3、…、C n和D2、D3…D n分别在EC2和ED2上，EF⊥C2D2于H2，C1D1⊥EF于H1，FH1=H1H2=d，C1D1、C2D2、C3D3、C n D n依次等间隔平行排放〔最后一个矩形状框的边C n D n与点E间的间隔应不超过d〕，A1C1∥A2C2∥A3C3∥…∥A n C n．〔1〕求d的值；〔2〕问：C n D n与点E间的间隔能否等于d？假如能，求出这样的n的值，假如不能，那么它们之间的间隔是多少？【答案】〔1224-；〔23242-．考点：1．垂径定理；2．存在型；3．规律型．16．〔2021〕小宇想测量位于池塘两端的A、B两点的间隔．他沿着与直线AB平行的道路EF行走，当行走到点C处，测得∠ACF=45°，再向前行走100米到点D处，测得∠BDF=60°．假设直线AB与EF之间的间隔为60米，求A、B两点的间隔．【答案】40203考点：1．解直角三角形的应用；2．探究型．17．〔2021〕问题背景：如图①，在四边形ADBC中，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，探究线段AC，BC，CD之间的数量关系．小吴同学探究此问题的思路是：将△BCD绕点D，逆时针旋转90°到△AED处，点B，C分别落在点A，E 处〔如图②〕，易证点C，A，E在同一条直线上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以CE2CD，从而得出结论：A C+BC2CD．简单应用：〔1〕在图①中，假设AC2BC=22CD= ．〔2〕如图③，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙上，AD BD，假设AB=13，BC=12，求CD的长．拓展规律：〔3〕如图④，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，假设AC=m，BC=n〔m＜n〕，求CD的长〔用含m，n的代数式表示〕〔4〕如图⑤，∠ACB=90°，AC=BC，点P为AB的中点，假设点E满足AE=13AC，CE=CA，点Q为AE的中点，那么线段PQ与AC的数量关系是．172 2；〔3〕2()2n m-；〔4〕2PQ=1356+AC或者2PQ=3516-AC．【答案】〔1〕3；〔2〕考点：1．圆的综合题；2．探究型；3．分类讨论；4．和差倍分；5．压轴题．18．〔2021〕如图1是一副创意卡通圆规，图2是其平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂，使用时，以点A为支撑点，铅笔芯端点B可绕点A旋转作出圆．OA=OB=10cm．〔1〕当∠AOBcm〕〔2〕保持∠AOB=18°不变，在旋转臂OBcm〕〔参考数据：sin9°≈0.1564，cos9°≈0.9877，sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511，可使用科学计算器〕【答案】〔1〕cm；〔2〕cm．∴BE=2BD=2AB•sincmcm．考点：1．解直角三角形的应用；2．探究型．19．〔2021〕如图，一垂直于地面的灯柱AB被一钢筋CD固定，CD与地面成45°夹角〔∠CDB=45°〕，在C点上方2米处加固另一条钢线ED，ED与地面成53°夹角〔∠EDB=53°〕，那么钢线ED的长度约为多少米？〔结果准确到1米，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33〕【答案】10．考点：1．解直角三角形的应用；2．探究型．本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

专题12 探索性问题一、选择题1.（2016河南第8题）如图，已知菱形OABC的顶点O（0,0），B（2,2），若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为【】（A）（1，-1）（B）（-1，-1）（C）（2，0）（D）（0，-2）【答案】B.考点：规律探究题.2.（2016四川达州第8题）如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是（）A．25 B．33 C．34 D．50【答案】B．【解析】试题分析：由题意可知，第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4+3=7个；第三次操作后，三角形共有4+3+3=10个；…由此可得第n次操作后，三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个；当3n+1=100时，解得n=33，故答案选B．考点：图形规律探究题.3.（2016湖南娄底第9题）“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”，比如在化学中，甲烷的化学式CH4，乙烷的化学式是C2H6，丙烷的化学式是C3H8，…，设碳原子的数目为n（n为正整数），则它们的化学式都可以用下列哪个式子来表示（）A．C n H2n+2B．C n H2n C．C n H2n﹣2D．C n H n+3【答案】A．【解析】试题分析：设碳原子的数目为n（n为正整数）时，氢原子的数目为a n，观察可知：a1=4=2×1+2，a2=6=2×2+2，a3=8=2×3+2，…，即可得a n=2n+2．所以碳原子的数目为n（n为正整数）时，它的化学式为C n H2n+2．故答案选A．考点：数字规律探究题.二、填空题1.（2016浙江宁波第15题）下列图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，图案①需8根火柴棒，图案②需15根火柴棒，……，按此规律，图案⑦需根火柴棒【答案】50.考点：图形规律探究题.2.（2016河北第19题）如图，已知∠AOB=7°，一条光线从点A出发后射向OB边.若光线与OB边垂直，则光线沿原路返回到点A，此时∠A=90°-7°=83°.第19题图当∠A <83°时，光线射到OB 边上的点A 1后，经OB 反射到线段AO 上的点A 2，易知∠1=∠2.若A 1A 2⊥AO ，光线又会沿A 2→A 1→A 原路返回到点A ，此时∠A =_____°. ……若光线从点A 发出后，经若干次反射能沿原路返回到点A ，则锐角∠A 的最小值=_______°.【答案】76°，6°.考点：三角形外角的性质；规律探究题. 3.（2016山东滨州第18题）观察下列式子： 1×3+1=22； 7×9+1=82； 25×27+1=262； 79×81+1=802； …可猜想第2016个式子为 ． 【答案】（32016﹣2）×32016+1=（32016﹣1）2．【解析】试题分析：观察等式两边的数的特点，第n 个等式可以表示为：（3n ﹣2）×3n +1=（3n ﹣1）2，用n 表示其规律，当n=2016时，（32016﹣2）×32016+1=（32016﹣1）2，． 考点：规律探究题.4.（2016山东枣庄第18题）一列数1a ，2a ，3a ，… 满足条件：112a =，111n n a a -=-（n ≥2，且n 为整数），则2016a = ． 【答案】-1. 【解析】试题分析：根据题意可知，112a =，221112=-=a ，1-2113=-=a ，211-114=-=）（a ，.......,由此可得这组数据3个一循环，2016÷3=672，所以2016a 是第672个循环中的第3个数，即2016a =-1. 考点：规律探究题.5.（2016湖北黄石第16题）观察下列等式： 第1个等式：122111-=+=a ，第2个等式233212-=+=a ， 第3个等式：322313-=+=a ，第4个等式：255214-=+=a ， 按上述规律，回答以下问题：（1）请写出第n 个等式：=n a ___________________； （2）=++++n a a a a 321__________________. 【答案】(1)n n n n -+=++111；（2）11-+n .考点：规律探究题.7.（2016湖北鄂州第16题）如图，直线l ：y=－34x ，点A 1坐标为（－3，0）. 过点A 1作x 轴的垂线交直线l 于点B 1，以原点O 为圆心，OB 1长为半径画弧交x 轴负半轴于点A 2，再过点A 2作x 轴的垂线交直线l 于点B 2，以原点O 为圆心，OB 2长为半径画弧交x 轴负半轴于点A 3，…，按此做法进行下去，点A 2016的坐标为 .【答案】（− 3520142015，0）考点：一次函数图像上点的坐标特征，规律型：图形的变化类．8.（2016湖南岳阳第16题）如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，P 1，P 2，P 3，…，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：P 1（0，0），P 2（0，1），P 3（1，1），P 4（1，﹣1），P 5（﹣1，﹣1），P 6（﹣1，2）…根据这个规律，点P 2016的坐标为 ．【答案】（504，-504）.考点：规律探究题.9.（2016山东威海第18题）如图，点A 1的坐标为（1，0），A 2在y 轴的正半轴上，且∠A 1A 2O=30°，过点A 2作A 2A 3⊥A 1A 2，垂足为A 2，交x 轴于点A 3；过点A 3作A 3A 4⊥A 2A 3，垂足为A 3，交y 轴于点A 4；过点A 4作A 4A 5⊥A 3A 4，垂足为A 4，交x 轴于点A 5；过点A 5作A 5A 6⊥A 4A 5，垂足为A 5，交y 轴于点A 6；…按此规律进行下去，则点A 2016的纵坐标为 ．【答案】﹣（3）2015．【解析】试题分析：由题意可得A 1（1，0），A 2[0，（3）1]，A 3[﹣（3）2，0]．A 4[0，﹣（3）3]，A 5[（3）4，0]…，序号除以4整除的在y 轴的负半轴上，余数是1在x 轴的正半轴上，余数是2在y 轴的正半轴上，余数是3在x 轴的负半轴上，因2016÷4=504，所以A 2016在y 轴的负半轴上，纵坐标为﹣（3）2015．考点：规律探究题.10.（2016山东济宁第15题）按一定规律排列的一列数：，1，1，□，119，，，…请你仔细观察，按照此规律方框内的数字应为 ． 【答案】92. 【解析】试题分析：把整数1化为22，得21，22，22，（ ），119，1311，1713…可以发现后一个数的分子恰是前面数的分母，所以，第4个数的分子是2，分母是9，所以此规律方框内的数字应为92.考点：规律探究题.11.（2016新疆生产建设兵团第15题）如图，下面每个图形中的四个数都是按相同的规律填写的，根据此规律确定x 的值为 ．【答案】370．考点：数字规律探究题.。

黔西北州欣宜市实验学校二零二一学年度备战2021中考分类复习专题〔探究性问题专题〕1知识网络梳理探究是人类认识客观世界过程中最生动、最活泼的思维活动，探究性问题存在于一切学科领域之中，在数学中那么更为普遍．初中数学中的“探究发现〞型试题是指命题中缺少一定的题设或者未给出明确的结论，需要经过推断、补充并加以证明的命题，它不像传统的解答题或者证明题，在条件和结论给出的情景中只需进展由因导果或者由果导因的工作，从而定格于“条件——演绎——结论〞这样一个封闭的形式之中，而是必须利用题设大胆猜想、分析、比较、归纳、推理，或者由条件去探究不明确的结论；或者由结论去探究未给予的条件；或者去探究存在的各种可能性以及发现所形成的客观规律．通常情景中的“探究发现〞型问题可以分为如下类型：2条件探究型——结论明确，而需探究发现使结论成立的条件的题目．3结论探究型——给定条件但无明确结论或者结论不惟一，而需探究发现与之相应的结论的题目．4存在探究型——在一定的条件下，需探究发现某种数学关系是否存在的题目．5规律探究型——在一定的条件状态下，需探究发现有关数学对象所具有的规律性或者不变性的题目．由于题型新颖、综合性强、构造独特等，此类问题的一般解题思路并无固定形式或者套路，但是可以从以下几个角度考虑：1.利用特殊值〔特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等〕进展归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律．2.反演推理法(反证法)，即假设结论成立，根据假设进展推理，看是推导出矛盾还是能与条件一致．3．分类讨论法．当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，那么需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果．4．类比猜想法．即由一个问题的结论或者解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或者解决方法，并加以严密的论证．以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因此详细操作时，应更注重数学思想方法的综合运用．2知识运用举例〔一〕、条件探究型例1．〔2021〕在四边形ABCD中，顺次连接四边中点E F G H，，，，构成一个新的四边形，请你对四边形ABCD填加一个条件，使四边形EFGH成为一个菱形．这个条件是__ ．解：AC BD或者四边形ABCD是等腰梯形〔符合要求的其它答案也可以〕例2．〔2021〕将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边为1．〔1〕四边形ABCD是平行四边形吗？说出你的结论和理由：________________________．〔2〕如图2，将Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B1C1D1的位置，四边形ABC1D1是平行四边形吗？说出你的结论和理由：_________________________________________．〔3〕在Rt△BCD沿射线BD方向平移的过程中，当点B的挪动间隔为______时，四边形ABC1D1为矩形，其理由是_____________________________________；当点B的挪动间隔为______时，四边形ABC1D1为菱形，其理由是_______________________________．(图3、图4用于探究)解：〔1〕是，此时AD BC，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．〔2〕是，在平移过程中，始终保持AB C1D1，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．〔333，此时∠ABC1＝90°，有一个角是直角的平行四边形是矩形．3，此时点D与点B1重合，AC1⊥BD1，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．例3．〔2021〕如下列图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，BC∥OA，OA＝7，AB＝4，∠COA＝60°，点P为x轴上的—个动点，点P不与点0、点A重合．连结CP，过点P作PD交AB于点D．〔1〕求点B的坐标；〔2〕当点P运动什么位置时，△OCP为等腰三角形，求这时点P的坐标；〔3〕当点P运动什么位置时，使得∠CPD＝∠OAB，且ABBD＝85，求这时点P的坐标．[解析]〔1〕；过C作CD⊥OA于A，BE⊥OA于E 那么△OCD≌△ABE，四边形CDEB为矩形∴OD＝AE，CD＝BE∵OC＝AB＝4，∠COA＝60°∴CD＝，OD＝2∴CB＝DE＝3∴OE＝OD＋DE＝5∵BE＝CD＝∴B〔5，〕〔2〕∵∠COA＝60°，△OCP为等腰三角形∴△OCP是等边三角形∴OP＝OC＝4∴P〔4，0〕即P运动到〔4，0〕时，△OCP为等腰三角形〔3〕∵∠CPD＝∠OAB＝∠COP＝60°∴∠OPC＋∠DPA＝120°又∵∠PDA＋∠DPA＝120°∴∠OPC＝∠PDA∵∠OCP＝∠A＝60°∴△COP∽△PAD∴OP OC AD AP=∵58BDAB=，AB＝4∴BD＝5 2∴AD＝3 2即4 372OPOP=-∴276 OP OP-=得OP＝1或者6∴P点坐标为〔1，0〕或者〔6，0〕〔二〕、结论探究型例4．〔2021〕：如图，四边形ABCD是矩形〔AD＞AB〕，点E在BC上，且AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F．请探求DF与AB有何数量关系？写出你所得到的结论并给予证明．解：经探求，结论是：DF＝AB．证明如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90，AD∥BC，∴∠DAF＝∠AEB．∵DF⊥AE，∴∠AFD＝90，∵AE＝AD，∴△ABE≌△DFA．∴AB＝DF．例5．〔2021〕我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．〔1〕请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；〔2〕如图，在ABC△中，点D E，分别在AB AC，上，设CD BE，相交于点O，假设60A∠=°，12DCB EBC A∠=∠=∠．请你写出图中一个与A∠相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；〔3〕在ABC△中，假设A∠是不等于60°的锐角，点D E，分别在AB AC，上，且12DCB EBC A∠=∠=∠．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．解：〔1〕答复正确的给1分〔如平行四边形、等腰梯形等〕．〔2〕答：与A∠相等的角是BOD∠〔或者COE∠〕．四边形DBCE是等对边四边形．〔3〕答：此时存在等对边四边形，是四边形DBCE．证法一：如图1，作CG BE⊥于G点，作BF CD⊥交CD延长线于F点．因为12DCB EBC A∠=∠=∠，BC为公一共边，所以BCF CBG △≌△．所以BF CG=．因为BDF ABE EBC DCB ∠=∠+∠+∠，BEC ABE A ∠=∠+∠，所以BDF BEC ∠=∠．可证BDF CEG △≌△．所以BD CE=．所以四边形DBCE是等边四边形．证法二：如图2，以C为顶点作FCB DBC∠=∠，CF交BE于F点．因为12DCB EBC A∠=∠=∠，BC为公一共边，所以BDC CFB △≌△．所以BD CF=，BDC CFB∠=∠．所以ADC CFE ∠=∠．因为ADC DCB EBC ABE ∠=∠+∠+∠，FEC A ABE ∠=∠+∠，所以ADC FEC ∠=∠．所以FEC CFE ∠=∠．所以CF CE=．所以BD CE=．所以四边形DBCE是等边四边形．说明：当AB AC=时，BD CE=仍成立．只有此证法，只给1分．例6．〔07〕如图1所示，在ABC△中，2AB AC==，90A =∠，O为BC的中点，动点E在BA边上自由挪动，动点F在AC边上自由挪动．〔1〕点E F，的挪动过程中，OEF△是否能成为45EOF =∠的等腰三角形？假设能，请指出OEF△为等腰三角形时动点E F，的位置．假设不能，请说明理由．〔2〕当45EOF =∠时，设BE x=，CF y=，求y与x之间的函数解析式，写出x的取值范围．〔3〕在满足〔2〕中的条件时，假设以O为圆心的圆与AB相切〔如图2〕，试探究直线EF与O的位置关系，并证明你的结论． 解：如图，〔1〕点E F ，挪动的过程中，OEF △能成为45EOF ∠=°的等腰三角形．此时点E F ，的位置分别是： ①E 是BA 的中点，F 与A 重合．②BECF ==．③E 与A 重合，F 是AC 的中点．〔2〕在OEB △和FOC △中，135EOB FOC ∠+∠=°，135EOB OEB ∠+∠=°， FOC OEB ∠=∠∴．又BC ∠=∠∵，OEB FOC ∴△∽△．BE BOCO CF =∴．BE x =∵，CF y =，OB OC ===，2(12)y x x =∴≤≤．〔3〕EF 与O 相切．OEB FOC ∵△∽△，BE OE CO OF =∴．BE OEBO OF=∴．即BE BOOE OF =．又45B EOF ∠=∠=∵°，BEO OEF ∴△∽△． BEO OEF ∠=∠∴．∴点O 到AB 和EF 的间隔相等． AB ∵与O 相切，∴点O 到EF 的间隔等于O 的半径． EF ∴与O 相切．〔三〕、存在探究型存在性探究问题是指在某种题设条件下，判断具有某种性质的数学对象是否存在的一类问题.解题的策略与方法是：先假设数学对象存在，以此为条件进展运算或者推理.假设无矛盾，说明假设正确，由此得出符合条件的数学对象存在；否那么，说明不存在．例7．(2021)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)过点A 〔1，－3〕，B 〔3，－3〕，C 〔－1，5〕，顶点为M 点．⑴求该抛物线的解析式．⑵试判断抛物线上是否存在一点P ，使∠POM ＝90.假设不存在，说明理由；假设存在，求出P 点的坐标． 解：⑴y ＝x24x⑵易求得顶点M 的坐标为(2，4)．设抛物线上存在一点P ，使OP ⊥OM ，其坐标为(a ，a24a )．过P 作PE ⊥y 轴，垂足为E ；过M 点作MF ⊥y 轴，垂足为F ， 那么∠POE ＋∠MOF ＝90，∠POE ＋∠EPO ＝90.∴∠EPO ＝∠FOM ． ∵∠OEP ＝∠MFO ＝90，∴Rt △OEP ∽Rt △MFO ．∴OE ∶MF ＝EP ∶OF .即(a24a )∶2＝a ∶4.解得a 1＝0(舍去)，a 2＝29．故抛物线上存在一点P ，使∠POM ＝90，P 点的坐标为(29，49)例8．(2021)：二次函数y ＝x 2(m ＋1)x ＋m 的图象交x 轴于A (x 1，0)、B (x 2，0)两点，交y 轴正半轴于点C ，且x 12＋x 22＝10．⑴求此二次函数的解析式；⑵是否存在过点D (0，25)的直线与抛物线交于点M 、N ，与x 轴交于点E ，使得点M 、N 关于点E 对称？假设存在，求直线MN 的解析式；假设不存在，请说明理由．分析与解答⑴依题意，得x 1x 2＝m ，x 12＋x 22＝10，∵x 1＋x 2＝m ＋1，∴(x 1＋x 2)22x 1x 2＝10，∴(m ＋1)22m ＝10，m ＝3或者m ＝3，又∵点C 在y 轴的正半轴上，∴m ＝3． ∴所求抛物线的解析式为y ＝x24x ＋3．⑵假设存在过点D (0，25)的直线与抛物线交于M (x M ，y M )、N (x N ，y N )两点，与x 轴交于点E ，使得M 、N 两点关于点E 对称．∵M 、N 两点关于点E 对称，∴y M ＋y N ＝0.设直线MN 的解析式为：y ＝kx25．由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=.25-kx y 3x 4x y 2，得x 2(k ＋4)x ＋211＝0，∴x M ＋x N ＝4＋k ，∴y M ＋y N ＝k (x M ＋x N )5＝0．∴k (k ＋4)5＝0，∴k ＝1或者k ＝5．当k ＝5时，方程x2(k ＋4)x ＋211＝0的判别式⊿＜0，∴k ＝1，∴直线MN 的解析式为y ＝x 25．∴存在过点D (0，25)的直线与抛物线交于M 、N 两点，与x 轴交于点E ，使得M 、N 两点关于点E 对称．例9．〔2021〕如图〔13〕，在矩形ABCD 中，4AB =，10AD =．直角尺的直角顶点P 在AD 上滑动时〔点P 与A D ，不重合〕，一直角边经过点C ，另一直角边AB 交于点E ．我们知道，结论“Rt Rt AEP DPC △∽△〞成立． 〔1〕当30CPD=∠时，求AE 的长；〔2〕是否存在这样的点P ，使DPC △的周长等于AEP △周长的2倍？假设存在，求出DP 的长；假设不存在，请说明理由．解〔1〕在Rt PCD △中，由tan CD CPD PD =∠，得44tan tan 30CD PDCPD ===∠10AP AD PD ∴=-=-由AEP DPC △∽△知AE AP PD CD =，1012AP PD AE CD ∴==．〔2〕假设存在满足条件的点P ，设DPx =，那么10AP x =-由AEP DPC △∽△知2CDAP =， 4210x ∴=-，解得8x =， 此时2AP =，4AE =符合题意．〔四〕、规律探究型规律探究问题是根据条件或者所提供的假设干个特例，通过观察、类比、归纳，提示和发现题目所蕴含的本质规律与特征的一类探究性问题． 例10．(2021)观察算式：1＝12；1＋3＝4＝22；1＋3＋5＝9＝32；1＋3＋5＋7＝16＝42；1＋3＋5＋7＋9＝25＝52；……用代数式表示这个规律(n为正整数)：1＋3＋5＋7＋9＋＋(2n1)＝______________________．分析与解答由以上各等式知，等式左端是从1开场的连续假设干个奇数之和，右端是左端奇数个数的平方，由此易得1＋3＋5＋7＋…＋(2n1)＝n2.填n2．例11〔2021〕如图2－2－1，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，第n个图案中白色瓷砖数为___________．分析与解答根据图形提供的信息探究规律，是近几年较流行的一种探究规律型问题.解决这类问题，首先要从简单图形入手，抓住随着“编号〞或者“序号〞增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加(或者倍数)情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．第1个图案有白色瓷砖5(即2＋31)块；第2个图案有白色瓷砖8(即2＋32)块；第3个图案有白色瓷砖11(即2＋33)块.由此可得，第n个图案有白色瓷砖(2＋3n)块.填3n＋2．例12．〔2021〕设a1＝32－12，a2＝52－32，…，a n＝(2n＋1)2－(2n－1)2(n为大于0的自然数)．〔1〕探究a n是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；〔2〕假设一个数的算术平方根是一个自然数，那么称这个数是“完全平方数〞.试找出a1，a2，…，a n，…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n满足什么条件时，a n为完全平方数(不必说明理由)．解：〔1〕∵a n＝(2n＋1)2－(2n－1)2＝224414418n n n n n，又n为非零的自然数，∴a n是8的倍数．这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是8的倍数．说明：第一步用完全平方公式展开各1分，正确化简1分．〔2〕这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16，64，144，256．n为一个完全平方数的2倍时，a n为完全平方数．3知识稳固训练〔题组训练〕1．〔2021年〕如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O．给出以下三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD．〔1〕上述三个条件中，哪两个条件可断定△ABC是等腰三角形〔用序号写出所有情形〕；〔2〕选择第〔1〕小题中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形．2．〔2021年〕如图，矩形ABCD中，M是AD的中点．〔1〕求证：△ABM≌△DCM；〔2〕请你探究，当矩形ABCD中的一组邻边满足何种数量关系时，有BM⊥CM成立，说明你的理由．3．如图，在△ABC中，D为BC上一个动点〔D点与B、C不重合〕，且DE∥AC交AB•于点E，DF∥AB交AC于点F．〔1〕试探究，当AD满足什么条件时，四边形AEDF是菱形？并说明理由．〔2〕在〔1〕的条件下，△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？请说明理由．4．如图，AB是⊙O的直径，EF是⊙O的切线，切点是C．点D是EF上一个动点，连接AD．试探究点D运动到什么位置时，AC是∠BAD的平分线，请说明理由．5．〔2021年〕：如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC•延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连结AE、CF．〔1〕求证：AF＝CE；〔2〕假设AC＝EF，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论．6．〔2021年〕如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，以BP•为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连结CQ．〔1〕观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．〔2〕假设PA：PB：PC＝3：4：5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．7．如图，AB是⊙O的直径，AD、BC、DC都是⊙O的切点，A、B、E分别是切点．〔1〕断定△COD 的形状，并说明理由．〔2〕设AD ＝a ，BC ＝b ，⊙O 的半径为r ，试探究r 与a ，b 之间满足的关系式，并说明理由． 8．〔2021年〕在正方形ABCD 中，点P 是CD 上一动点，连结PA ，分别过点B 、D 作BE ⊥PA 、DF ⊥PA ，垂足分别为E 、F ，如图①．〔1〕请探究BE 、DF 、EF 这三条线段长度具有怎样的数量关系．假设点P 在DC •的延长线上〔如图②〕，那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？假设点P 在CD •的延长线上呢〔如图③〕？请分别直接写出结论；〔2〕请在〔1〕中的三个结论中选择一个加以证明．9．〔2021〕：如图，抛物线2y ax bx c =++经过(1,0)A 、(5,0)B 、(0,5)C 三点． 〔1〕求抛物线的函数关系式；〔2〕假设过点C 的直线y kx b =+与抛物线相交于点E 〔4，m 〕，恳求出△CBE 的面积S 的值； 〔3〕在抛物线上求一点0P 使得△ABP 0为等腰三角形并写出0P 点的坐标；〔4〕除〔3〕中所求的0P 点外，在抛物线上是否还存在其它的点P 使得△ABP 为等腰三角形？假设存在，恳求出一一共有几个满足条件的点P 〔要求简要说明理由，但不证明〕；假设不存在这样的点P ，请说明理由．10．〔2021〕如图，在矩形ABCD 中，AB =1AD =．点P 在AC 上，PQ BP ⊥，交CD于Q ，PE CD ⊥，交于CD 于E ．点P 从A 点〔不含A 〕沿AC 方向挪动，直到使点Q 与点C 重合为止．〔1〕设AP x =，PQE △的面积为S ．请写出S 关于x 的函数解析式，并确定x 的取值范围． 〔2〕点P 在运动过程中，PQE △的面积是否有最大值，假设有，恳求出最大值及此时AP 的取值；假设无，请说明理由．11．〔2021〕在平面直角坐标系xOy中，二次函数2(0)y ax bx c a=++≠的图象与x轴交于A B，两点〔点A在点B的左边〕，与y轴交于点C，其顶点的横坐标为1，且过点(23)，和(312)--，．〔1〕求此二次函数的表达式；〔2〕假设直线:(0)l y kx k=≠与线段BC交于点D〔不与点B C，重合〕，那么是否存在这样的直线l，使得以B O D，，为顶点的三角形与BAC△相似？假设存在，求出该直线的函数表达式及点D的坐标；假设不存在，请说明理由；〔3〕假设点P是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角PCO∠与ACO∠的大小〔不必证明〕，并写出此时点P的横坐标p x的取值范围．12〔2021〕如图，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M〔1，m〕恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为5．设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E．〔1〕求m的值及抛物线的解析式；〔2〕设∠DBC＝，∠CBE＝，求sin〔－〕的值；〔3〕探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？假设存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；假设不存在，请说明理由．13〔07〕如图，直线EF将矩形纸片ABCD分成面积相等的两局部，E、F分别与BC交于点E，与AD交于点F〔E，F不与顶点重合〕，设AB＝a，AD＝b，BE＝x．(Ⅰ)求证：AF＝EC；(Ⅱ)用剪刀将纸片沿直线EF剪开后，再将纸片ABEF沿AB对称翻折，然后平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底边重合，直腰落在边DC的延长线上，拼接后，下方的梯形记作EE′B′C．〔1〕求出直线EE′分别经过原矩形的顶点A和顶点D时，所对应的x︰b的值；〔2〕在直线EE′经过原矩形的一个顶点的情形下，连接BE′，直线BE′与EF是否平行？你假设认为平行，请给予证明；你假设认为不平行，请你说明当a与b满足什么关系时，它们垂直？14．(2021〕如图2－2－2，用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一列图案： ⑴第4个图案中有白色纸片___________张； ⑵第n 个图案台有白色纸片___________张．15．(2021广西)观察图2－2－3中一列有规律的数，然后在“？〞处填上一个适宜的数，这个数是______________．16．(2021广西)如图2－2－4，A 1A 2B 是直角三角形，且A 1A 2＝A 2B ＝a ，A 2A 3⊥A 1B ，垂足为A 3，A 3A 4⊥A 2B ，垂足为A 4，A 4A 5⊥A 3B ，垂足为A 5，……，A n ＋1A n ＋2⊥A n B ，垂足为A n ＋2，那么线段A n ＋1A n ＋2(n 为自然数)的长为〔〕．〔A 〕n)2(a〔B〔C 〕2a〔D 〕2na17．(2021)如图2－2－5，每个正方形点阵均被一直线分成两个三角形点阵，根据图中提供的信息，用含n的等式表示第n 个正方形点阵中的规律_______．18．(2021)如图2－2－6，将边长为1的正方形OAPB 沿x 轴正方向连续翻转2006次，点P 依次落在点P 1，P 2，P 3，P 4，…，P 2021的位置，那么P 2021的横坐标x 2021＝_______________．19．〔2021〕如图〔11〕，某小区有东西方向的3条，南北方向的4条，从位置A 出发沿行进到达位置B ，要求路程最短，研究一共有多少种不同的走法．小东是这样想的：要使路程最短，就不能走“回头路〞，只能分五步来完成，其中三步向右行进，两步向上行进，假设用用数字“1”表示向右行进，数字“2”表示向上行进，那么“11221”与“11212”就表示两种符合要求的不同走法，请你考虑后答复：符合要求的不同走法一共有________种． 20．〔2021〕探究研究〔1〕观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开场，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是________；根据此规律，假设n a 〔n 为正整数〕表示这个数列的第n 项，那么18a =________，n a =________；〔2〕假设欲求232013333+++++的值，可令232013333S =+++++……………………………………………………①将①式两边同乘以3，得_______________________………………………………………………………② 由②减去①式，得S =____________________．〔3〕用由特殊到一般的方法知：假设数列123n a a a a ，，，，，从第二项开场每一项与前一项之比的常数为q，那么n a =________〔用含1a q n ，，的代数式表示〕，假设这个常数1q ≠，那么123n a a a a ++++=________〔用含1a q n ，，的代数式表示〕．21．〔07〕一个叫巴尔末的中学老师成功地从光谱数据59，1216，2125，3236，…中得到巴尔末公式，从而翻开了光谱奥秘的大门，请你按照这种规律，写出第n 〔n ≥1〕个数据是___________．22．〔2021〕如图，在平面直角坐标系中，有假设干个整数点，其顺序按图中“→〞方向排列，如〔1，0〕，〔2，0〕，〔2，1〕，〔3，2〕，〔3，1〕，〔3，0〕根据这个规律探究可得，第100个点的坐标为____________．23．〔2021〕将图①所示的正六边形进展进展分割得到图②，再将图②中最小的某一个正六边形按同样的方式进展分割得到图③，再将图③中最小的某一个正六边形按同样的方式进展分割…，那么第n 个图形中，一共有________个正六边形．24．〔2021〕探究n ×n 的正方形钉子板上(n 是钉子板每边上的钉子数)，连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数：当n ＝2时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1，所以不同长度值的线段只有2种，假设用S表示不同长度值的线段种数，那么S ＝2；当n ＝3时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1，2五种，比n ＝2时增加了3种，即S ＝2＋3＝5．(2)观察图形，填写上下表：(7)写出(n－1)×(n－1)和n×n的两个钉子板上，不同长度值的线段种数之间的关系；(用式子或者语言表述均可)【解】〔3〕对n×n的钉子板，写出用n表示S的代数式．【解】25．〔07〕如图12，平面内有公一共端点的六条射线OA，OB，OC，OD ，OE，OF，从射线OA 开场按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…．〔1〕“17〞在射线________上．〔2〕请任意写出三条射线上数字的排列规律．〔3〕“2021〞在哪条射线上？26．〔07〕图1是由假设干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一一共堆了n层．将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为(1) 1232n nn+++++=．图1图2图3图4假设图1中的圆圈一共有12层，〔1〕我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数1234，，，，，那么最底层最左边这个圆圈中的数是；〔2〕我们自上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数23-，22-，21-，，求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和．27．〔07〕如图〔15〕，在直角坐标系中，点0P 的坐标为(10)，，将线段0OP 按逆时针方向旋转45，再将其长度伸长为0OP 的2倍，得到线段1OP ；又将线段1OP 按逆时针方向旋转45，长度伸长为1OP 的2倍，得到线段2OP ；如此下去，得到线段3OP ，4OP ，，n OP 〔n 为正整数〕〔1〕求点6P 的坐标；〔2〕求56P OP △的面积；〔3〕我们规定：把点()n n n P x y ，〔0123n =，，，，〕的横坐标n x 、纵坐标n y 都取绝对值后得到的新坐标()nnxy ，称之为点nP 的“绝对坐标〞．根据图中点n P 的分布规律，请你猜想点n P 的“绝对坐标〞，并写出来．28．〔07〕根据以下10个乘积，答复以下问题：11×29；12×28；13×27；14×26；15×25； 16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．〔1〕试将以上各乘积分别写成一个“□2－○2〞〔两数平方差〕的形式，并写出其中一个的考虑过程；〔2〕将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来； 〔3〕试由⑴、⑵猜想一个一般性的结论．〔不要求证明〕答案：1．答案不惟一，符合题意即可．2．〔1〕略〔2〕当AD＝2AB时，有BM•⊥CM成立．说明理由〔略〕3．〔1〕当AD平分∠BAC时，四边形AEDF是菱形．理由〔略〕〔2〕在〔1〕的条件下，当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形．说明理由〔略〕4．当点D•运动到满足条件AD⊥EF时，AC平分∠BAD．证明〔略〕5．〔1〕证明△ADF≌△CDE即可〔2〕四边形AFCE是矩形．〔证明略〕6．〔1〕证明△BPA≌△BQC，AP＝CQ〔2〕△PQC是直角三角形，∵PA：PB：PC＝3：4：5，设PA＝3k，PB＝4k，PC＝5k，∵∠PBQ＝60°，BP＝BQ，∴△PBQ是等边三角形，∴PQ＝PB＝4k，在△PQC中，∵PQ2＋QC2＝〔4k〕2＋〔3k〕2＝25k2，PC2＝〔5k〕2＝25k2，∴PQ2＋QC2＝PC2，∴△PQC是Rt△．7．〔1〕△COD是直角三角形，连OE，由圆的切线的性质可证得：•△OAD≌△OED，△OEC≌△OBC，∴∠AOD＝∠EOD，∠EOC＝∠BOC，可证得∠DOC＝90°，•所以△COD是直角三角形．〔2〕r与a、b之间满足的关系是r2＝ab．证明△OAD∽△CBO，得OA ADBC OB，OA·OB＝AD·BC即r2＝ab．8．解：〔1〕①BE＝DF＋EF，②BE＝DF－EF，③EF＝BE＋DF．〔2〕•证明略．9．解：〔1〕∵抛物线经过点(1,0)A 、(5,0)B ，∴(1)(5)y a x x =--．又∵抛物线经过点(0,5)C ，∴55a =，1a =．∴抛物线的解析式为2(1)(5)65y x x x x =--=-+． 〔2〕∵E 点在抛物线上，∴m ＝42–4×6＋5＝－3．∵直线y ＝kx ＋b 过点C 〔0，5〕、E 〔4，–3〕，∴5,4 3.b k b =⎧⎨+=-⎩解得k ＝－2，b ＝5．设直线y ＝－2x ＋5与x 轴的交点为D ，当y ＝0时，－2x ＋5＝0，解得x ＝52． ∴D 点的坐标为〔52，0〕．∴S ＝S △BDC ＋S △BDE＝1515(5)5+(5)32222⨯-⨯⨯-⨯＝10．〔3〕∵抛物线的顶点0(3,4)P -既在抛物线的对称轴上又在抛物线上，∴点0(3,4)P -为所求满足条件的点．〔4〕除0P 点外，在抛物线上还存在其它的点P 使得△ABP 为等腰三角形．理由如下：∵004AP BP ===>， ∴分别以A 、B 为圆心半径长为4画圆，分别与抛物线交于点B 、1P、2P 、3P 、A 、4P 、5P 、6P ，除去B 、A 两个点外，其余6个点为满足条件的点．〔说明：只说出P 点个数但未简要说明理由的不给分〕10．解：〔1〕解：过点P 作PF BC ⊥，垂足为F ．在矩形ABCD 中，PF AB ∥又AP x =∵，1BC AD ==，AB =又∵在Rt ABC △中，又PE CD ⊥∵90PEC ∠=∴°又在四边形PFCE 中，90PFC BCD PEC ∠=∠=∠=°∴四边形PFCE 为矩形90FPE ∠=∴°又PQ BP ⊥∵90BPQ ∠=∴°EPQ BPF ∠=∠∴又90PEQ BFP ∠=∠=°EQ PE BF PF =∴又PE FC =EQ FC BF PF =∴又FC PF BC AB =2S =+∴或者23)S x x =-+过点B 作BK AC ⊥，垂足为K ．在Rt ABC △中，由等积法可得由题意可得当Q 与C 重合时，P 与K 重合即AP AK =，由ABK ABC △∽△得AK AB BK BC ==83x =∴ x ∴的取值范围是803x <≤〔2〕PQE △面积有最大值由〔1〕可得2S =+ ∴当32x =即32AP =时，S面积最大，即S =最大 11．解：〔1〕二次函数图象顶点的横坐标为1，且过点(23)，和(312)--，，∴由1242393212.b a a b c a b ⎧-=⎪⎪++=⎨⎪-+=-⎪⎩，，解得123.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，，∴此二次函数的表达式为 223y x x =-++．〔2〕假设存在直线:(0)l y kx k =≠与线段BC 交于点D 〔不与点B C ，重合〕，使得以B O D ，，为顶点的三角形与BAC △相似．在223y x x =-++中，令0y =，那么由2230x x -++=，解得1213x x =-=， (10)(30)A B ∴-，，，．令0x =，得3y =．(03)C ∴，． 设过点O 的直线l 交BC 于点D ，过点D 作DE x ⊥轴于点E ．点B 的坐标为(30)，，点C 的坐标为(03)，，点A 的坐标为(10)-，．BC ∴==． 要使BOD BAC △∽△或者BDO BAC △∽△，已有B B ∠=∠，那么只需BD BO BC BA =， ① 或者.BO BD BC BA = ②成立．假设是①，那么有3BO BC BD BA ⨯===． 而45OBC BE DE ∠=∴=，．∴在Rt BDE △中，由勾股定理，得222222BE DE BE BD +===． 解得 94BE DE ==〔负值舍去〕．93344OE OB BE ∴=-=-=． ∴点D 的坐标为3944⎛⎫ ⎪⎝⎭，．将点D 的坐标代入(0)y kx k =≠中，求得3k =．∴满足条件的直线l 的函数表达式为3y x =．［或者求出直线AC 的函数表达式为33y x =+，那么与直线AC 平行的直线l 的函数表达式为3y x =．此时易知BOD BAC △∽△，再求出直线BC 的函数表达式为3y x =-+．联立33y x y x ==-+，求得点D 的坐标为3944⎛⎫ ⎪⎝⎭，．］假设是②，那么有332BO BA BD BC ⨯===． 而45OBC BE DE∠=∴=，． ∴在Rt BDE △中，由勾股定理，得222222BE DE BE BD +===． 解得 2BE DE ==〔负值舍去〕．321OE OB BE ∴=-=-=． ∴点D 的坐标为(12)，． 将点D 的坐标代入(0)y kx k =≠中，求得2k =．∴满足条件的直线l 的函数表达式为2y x =．∴存在直线:3l y x =或者2y x =与线段BC 交于点D 〔不与点B C ，重合〕，使得以B O D ，，为顶点的三角形与BAC △相似，且点D 的坐标分别为3944⎛⎫ ⎪⎝⎭，或者(12)，． 〔3〕设过点(03)(10)C E ，，，的直线3(0)y kx k =+≠与该二次函数的图象交于点P ． 将点(10)E ，的坐标代入3y kx =+中，求得3k =-．∴此直线的函数表达式为33y x =-+．设点P 的坐标为(33)x x -+，，并代入223y x x =-++，得250x x -=． 解得1250x x ==，〔不合题意，舍去〕．512x y ∴==-，．∴点P 的坐标为(512)-，． 此时，锐角PCOACO ∠=∠． 又二次函数的对称轴为1x=， ∴点C 关于对称轴对称的点C '的坐标为(23)，． ∴当5p x >时，锐角PCO ACO ∠<∠；当5p x =时，锐角PCO ACO ∠=∠； 当25p x <<时，锐角PCOACO ∠>∠． 12．解：〔1〕由题意可知C 〔0，－3〕，12=-a b ， ∴抛物线的解析式为y ＝ax 2－2ax －3〔a ＞0〕，过M 作MN ⊥y 轴于N ，连结CM ，那么MN ＝1，5=CM，∴CN ＝2，于是m ＝－1．同理可求得B〔3，0〕，∴a×32－2－2a×3－3＝0，得a＝1，∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3．〔2〕由〔1〕得A〔－1，0〕，E〔1，－4〕，D〔0，1〕．∴在Rt△BCE中，23=BC，2=CE，∴313==ODOB，3223==CEBC，∴CEBCODOB=，即CEODBCOB=，∴Rt△BOD∽Rt△BCE，得∠CBE＝∠OBD＝，因此sin〔－〕＝sin〔∠DBC－∠OBD〕＝sin∠OBC＝22=BCCO．〔3〕显然Rt△COA∽Rt△BCE，此时点P1〔0，0〕．过A作AP2⊥AC交y正半轴于P2，由Rt△CAP2∽Rt△BCE，得)31,0(2P．过C作CP3⊥AC交x正半轴于P3，由Rt△P3CA∽Rt△BCE，得P3〔9，0〕．故在坐标轴上存在三个点P1〔0，0〕，P2〔0，1∕3〕，P3〔9，0〕，使得以P、A、C为顶点的三角形与BCE相似．13．解：(Ⅰ)证明：∵AB＝a，AD＝b，BE＝x，S梯形ABEF＝S梯形CDFE．∴21a(x＋AF)＝21a(EC＋b－AF)，∴2AF＝EC＋(b－x)．又∵EC＝b－x，∴2AF＝2EC，即AF＝EC；(Ⅱ)〔1〕当直线EE′经过原矩形的顶点D时，如图〔一〕，∵EC∥E′B′，∴BE''＝BD'．由EC＝b－x，E′B′＝EB＝x，DB′＝DC＋CB′＝2a，得aaxxb2=-，∴x︰b＝3 2；当直线E′E经过原矩形的顶点A时，如图〔二〕，在梯形AE′B′D中，∵EC∥E′B′，点C是DB′的中点，∴CE＝21(AD＋E′B′)，即b－x＝21〔b＋x〕，∴x︰b＝3 1．〔2〕如图〔一〕，当直线EE′经过原矩形的顶点D时，BE′∥EF．证明：连接BF．∵FD∥BE，FD＝BE，∴四边形FBED是平行四边形，∴FB∥DE，FB＝DE，又∵EC∥E′B′，点C是DB′的中点，∴DE＝EE′，∴FB∥EE′，FB＝EE′，∴四边形BE′EF是平行四边形如图〔二〕，当直线EE ′经过原矩形的顶点A 时，显然BE ′与EF 不平行，设直线EF 与BE ′交于点G .过点E ′作E ′M ⊥BC 于M ，那么E ′M ＝a .．∵x ︰b ＝31，∴EM ＝31BC ＝31b ．假设BE ′与EF 垂直，那么有∠GBE ＋∠BEG ＝90°，又∵∠BEG ＝∠FEC ＝∠MEE ′，∠MEE ′＋∠ME ′E ＝90°，∴∠GBE ＝∠ME ′E ．在Rt △BME ′中，tan ∠E ′BM ＝tan ∠GBE ＝BM ME '＝b a 32．在Rt △EME ′中，tan ∠ME ′E ＝M E EM '＝a b 31， ∴b a 32＝a b 31．又∵a ＞0，b ＞0，=b a 32， ∴当=b a 32时，BE ′与EF 垂直．14．⑴13⑵3n ＋115.6316.A17.2)1n(n-＋2)1n(n+＝n2或者1＋2＋…＋(n1)＋1＋2＋…＋n＝n2 18.202119．1020．解：〔1〕2；218；2n；〔2〕3S＝3＋32＋33＋34＋…＋321；S＝)13(2121-；〔3〕a1q n－1；1)1(1--qqa n．21．〔)4()2(2++nnn或者4)2()2(22-++nn〔只填一个均可〕〕22．〔14，8〕23．(3n－2)24．〔1〕4，2＋3＋4＋5〔或者14〕〔2〕类似以下答案均给总分值是：〔i〕n×n的钉子板比(n－1)×(n－1)的钉子板中不同长度的线段种数增加了n种；〔ii〕分别用a，b表示n×n与(n－1)×(n－1)的钉子板中不同长度的线段种数，那么a＝b＋n．〔3〕S＝2＋3＋4＋…＋n25．〔1〕“17”在射线OE上．〔2〕射线OA上数字的排列规律：65n-射线OB上数字的排列规律：64n-射线OC上数字的排列规律：63n-射线OD上数字的排列规律：62n-射线OE上数字的排列规律：61n-射线OF上数字的排列规律：6n〔3〕在六条射线上的数字规律中，只有632007n-=有整数解．解为335n=。