高一数学 6 指数与指数函数

人教版高一数学第二章指数函数知识点小结
人教版高一数学第二章指数函数知识点小结
新高一数学第二章的内容是基本初等函数，下面是查字典数学网整理的第二章指数函数知识点，请大家学习。

(一)指数与指数幂的运算
1.根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根(n th root)，其中 1，且 *.
当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.此时，的次方根用符号表示.式子叫做根式(radical)，这里叫做根指数(radical exponent)，叫做被开方数(radicand).
当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号- 表示.正的次方根与负的次方根可以合并成 ( 0).由此可得：负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0，记作。

注意：当是奇数时，，当是偶数时，
2.分数指数幂
正数的分数指数幂的意义，规定：
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂.
3.实数指数幂的运算性质
纵坐标都大于1
图象上升趋势是越来越陡图象上升趋势是越来越缓函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快; 函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢;
注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
(1)在[a，b]上，值域是或 ;
(2)若，则 ; 取遍所有正数当且仅当 ;
(3)对于指数函数，总有 ;
(4)当时，若，则 ;
第二章指数函数知识点的全部内容就是这些，查字典数学网预祝大家在新学期取得更好的成绩。

高一指数运算知识点归纳指数运算是数学中一个重要的概念，它在高中数学中占据着重要的地位。

在高一阶段学习中，我们需要掌握指数运算的基本知识和技巧，以便能够灵活运用于各种实际问题。

本文将对高一指数运算的知识点进行归纳总结，以便同学们系统地复习和掌握。

一、指数的基本定义和性质指数是数字在乘方运算中的角色，它用于表示底数被乘的次数。

指数运算具有以下基本定义和性质：1. 指数的定义：若a和n为实数，n为正整数，则a的n次方运算定义为a^n=a*a*a*...*a（共有n个a相乘）。

2. 幂运算的性质：a) 同底数相乘，指数相加：a^m * a^n = a^(m+n)；b) 同底数相除，指数相减：a^m / a^n = a^(m-n)；c) 乘方的乘方，指数相乘：(a^m)^n = a^(m*n)；d) 乘方的分配律：a^m * b^m = (a * b)^m。

二、指数的运算规则在指数运算中，我们需要掌握如下几个重要的运算规则：1. 同底数幂相乘：a^m * a^n = a^(m+n)。

这条规则表明，在指数幂相乘时，只需保持底数不变，指数相加即可。

2. 同底数幂相除：a^m / a^n = a^(m-n)。

这条规则表明，在指数幂相除时，只需保持底数不变，指数相减即可。

3. 幂的乘方：(a^m)^n = a^(m*n)。

这条规则表明，在幂的乘方运算中，先求得幂内的乘方结果，然后将指数相乘。

4. 零次幂规定：a^0 = 1。

这条规定表明，任何非零数的0次方都等于1。

5. 负指数的规定：a^(-n) = 1 / a^n。

这条规定表明，一个数的负指数幂等于这个数的倒数的正指数幂。

6. 科学计数法：对于形如a * 10^b的科学计数法，可以将其转化为指数形式：a * 10^b = m * 10^n，其中1 ≤ m < 10，且满足a =m * 10^(b-n)。

三、指数的特殊运算在指数运算中，有几个特殊的形式需要注意和灵活应用：1. 平方数和立方数：a^2表示a的平方，a^3表示a的立方。

第8课时 指数运算性质及指数函数知识点一 分数指数幂 给定正实数a ，对于任意给定的整数m ，n (m ，n 互素)，存在唯一的正实数b ，使得b n ＝a m，我们把b 叫作a 的mn次幂，记作b ＝mn a .指数运算性质 一般地，在研究实数指数幂的运算性质时，约定底数为大于零的实数.当a >0，b >0时，有： (1)a m ·a n ＝ ；(2)(a m )n ＝ ；(3)(ab )n ＝ ，其中m ，n ∈R . 例1 计算下列各式(式中字母都是正数).(1)10.5233277(0.027)21259-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；2)211511336622(2)(6)(3)a b a b a b ÷－－；2152.530.064-0⎡⎤-π.⎢⎥⎣⎦（） 知识点二 指数函数一般地，函数 叫作指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R .注意①底数是大于0且不等于1的常数；②指数函数的自变量必须位于指数的位置上；③a x 的系数必须为1；④指数函数等号右边不会是多项式，如y ＝2x ＋1不是指数函数. 知识点三 指数函数的图像和性质例2 (1)下列函数中是指数函数的是________.(填序号) ①y ＝2·(2)x ；②y ＝2x －1；③y ＝⎝⎛⎭⎫π2x；④y ＝13x-；⑤y ＝13x . (2)若函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x 是指数函数，则实数a ＝________. (3)若函数y ＝(2a －3)x 是指数函数，则实数a 的取值范围是________. 例3 (1)函数y ＝a x －1a(a >0，且a ≠1)的图像可能是( )(2)函数f (x )＝1＋a x －2(a >0，且a ≠1)恒过定点________.(3)已知函数y ＝3x 的图像，怎样变换得到y ＝⎝⎛⎭⎫13x ＋1＋2的图像？并画出相应图像.跟踪训练3 (1)已知函数f (x )＝4＋a x ＋1(a >0，且a ≠1)的图像经过定点P ，则点P 的坐标是( ) A.(－1,5) B.(－1,4) C.(0,4) D.(4,0) 例4 比较下列各题中两个值的大小. (1)1.7－2.5，1.7－3；(2)1.70.3，1.50.3；(3)1.70.3，0.83.1.跟踪训练4 比较下列各题中的两个值的大小.(1)0.8－0.1，1.250.2；(2)⎝⎛⎭⎫1π－π，1；(3)0.2－3，(－3)0.2.例5 (1)不等式4x <42－3x的解集是________.(2)解关于x 的不等式：a 2x ＋1≤a x －5(a >0，且a ≠1).例6 判断f (x )＝2213x x⎛⎫ ⎪⎝⎭－的单调性，并求其值域.反思感悟研究y ＝a f (x )型单调区间时，要注意a >1还是0<a <1.当a >1时，y ＝a f (x )与f (x )的单调性相同.当0<a <1时，y ＝a f (x )与f (x )的单调性相反.跟踪训练6 求函数y ＝223x x a ＋－的单调区间.课后作业1.化简238的值为( ) A.2 B.4 C.6 D.82.下列根式与分数指数幂的互化正确的是( ) A.－x ＝12()x －(x >0) B.1263=y y (y <0) C.33441=xx ⎛⎫⎪⎝⎭－(x >0) D.133=x x －(x ≠0) 3.式子a 2a ·3a 2(a >0)经过计算可得到( ) A.a B.1a6 C.5a 6 D.6a 5 4.计算124－⎝⎛⎭⎫12－1＝________.5.下列各函数中，是指数函数的是( ) A.y ＝(－3)x B.y ＝－3x C.y ＝3x －1D.y ＝⎝⎛⎭⎫13x6.若函数y ＝(2a －1)x (x 是自变量)是指数函数，则a 的取值范围是( ) A.a >0，且a ≠1 B.a ≥0，且a ≠1 C.a >12，且a ≠1 D.a ≥127.函数f (x )＝a x －b的图像如图所示，其中a ，b 均为常数，则下列结论正确的是( )A.a >1，b <0B.a >1，b >0C.0<a <1，b >0D.0<a <1，b <08.函数y ＝a x －3＋3(a >0，且a ≠1)的图像恒过定点_________________________________. 9.函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为________. 10.下列各式中成立的是( )A.⎝⎛⎭⎫m n 7＝177n m B.12(－3)4＝3－3 C.4x 3＋y 3＝34()x y + D.39＝3311.下列大小关系正确的是( )A.0.43<30.4<π0B.0.43<π0<30.4C.30.4<0.43<π0D.π0<30.4<0.43 12.方程42x －1＝16的解是( )A.x ＝－32B.x ＝32 C.x ＝1 D.x ＝213.函数f (x )＝2112x ⎛⎫⎪⎝⎭－的递增区间为( )A.(－∞，0]B.[0，＋∞)C.(－1，＋∞)D.(－∞，－1) 14.函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x，y ＝2x ，y ＝3x的图像(如图)分别是________.(用序号作答)15.设0<a <1，则关于x 的不等式22232223x x x x aa －＋＋－＞的解集为________.16.已知a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a >b >c B.b >a >c C.c >b >a D.c >a >b 17.已知函数f (x )＝3x －⎝⎛⎭⎫13x ，则f (x )( ) A.是奇函数，且在R 上是增函数 B.是偶函数，且在R 上是增函数 C.是奇函数，且在R 上是减函数 D.是偶函数，且在R 上是减函数18.计算：⎝⎛⎭⎫2590.5－⎝⎛⎭⎫27813-－⎝⎛⎭⎫－780＋160.25＝__________________________________.19.已知函数f (x )＝2|x －a |(a 为常数)，若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________. 20.已知函数f (x )＝4x －14x ＋1.(1)解不等式f (x )<13；(2)求函数f (x )的值域.能力提升 已知定义在R 上的函数f (x )＝a ＋14x ＋1是奇函数.(1)求a 的值；(2)判断f (x )的单调性(不需要写出理由)；(3)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求实数k 的取值范围.。

新高一数学指数函数知识点一、指数函数的定义指数函数是指形如f(x) = a^x的函数，其中a是一个正实数且a≠1。

二、指数函数的性质1. 定义域：指数函数的定义域为实数集R。

2. 值域：当a>1时，指数函数的值域为(0, +∞)；当0<a<1时，指数函数的值域为(0, 1)。

3. 增减性：当a>1时，指数函数是严格单调递增函数；当0<a<1时，指数函数是严格单调递减函数。

4. 连续性：指数函数在其定义域上连续。

5. 零点：指数函数在x=0处有且仅有一个零点，即a^0 = 1。

6. 渐近线：当x趋近负无穷时，指数函数趋近于0；当x趋近正无穷时，指数函数趋近于正无穷。

三、指数函数的图像1. 当a>1时，指数函数的图像是逐渐上升的曲线，经过点(0,1)。

2. 当0<a<1时，指数函数的图像是逐渐下降的曲线，经过点(0,1)。

3. 指数函数的图像在y轴上没有与x轴交点。

四、指数函数的基本性质1. a^m * a^n = a^(m+n)：指数函数的乘法法则。

2. (a^m)^n = a^(m*n)：指数函数的指数乘法法则。

3. a^m / a^n = a^(m-n)：指数函数的除法法则。

4. (a*b)^m = a^m * b^m：指数函数的乘方法则。

5. a^0 = 1：任何正实数的0次幂等于1。

五、指数方程与指数不等式1. 指数方程：形如a^x = b的方程，其中a和b是已知的正实数。

解指数方程的基本步骤是取对数，将指数方程转化为对数方程求解。

2. 指数不等式：形如a^x > b或a^x < b的不等式，其中a和b是已知的正实数。

解指数不等式的基本步骤是通过对数性质将不等式转化为对数不等式，并得到解集合。

六、指数函数的应用1. 复利问题：指数函数常用于复利计算中。

例如，计算存款在多年后的本息和。

2. 指数增长问题：指数函数也可用于描述人口增长、细菌繁殖等指数型增长问题。

高中数学中的指数函数定义与性质总结指数函数是高中数学中的一个基础知识点，其定义与性质是学习指数函数的重要基础。

本文将对指数函数的定义、性质进行总结，以便帮助读者更好地理解和掌握该知识点。

一、指数函数的定义指数函数是以常数e为底数，x为自变量的一个函数，通常用符号$y=e^{x}$表示。

其中，e是自然对数的底数，表达式e≈2.71828，是一个无理数。

指数函数y=e^x的定义域为实数集合，值域为正实数集合，其函数图像为一条从左上向右上弯曲的曲线。

当x=0时，指数函数的值为1，当x>0时，y=e^x是递增的；当x<0时，y=e^x是递减的。

二、指数函数的性质1.指数函数的导数、微分指数函数的导数、微分公式分别为：$(e^x)'=e^x$$dy/dx=e^x$这意味着指数函数在任意一点上的斜率都等于该点上的函数值，这一性质使指数函数在数学和自然科学中具有广泛的应用。

2.指数函数的对数函数指数函数和对数函数是互逆的。

如果y=e^x，则x=log_{e}y。

其中，log_{e}y是以e为底数的对数函数。

3.指数函数的幂函数与幂指函数幂函数是指数函数的特殊形式，表示为y=a^x，其中a是一个正实数。

幂指函数是以指数函数为底数的幂函数，表示为y=(e^x)^a，其中a是一个实数。

4.指数函数的图像指数函数的图像是一条从左上向右上弯曲的曲线。

当x=0时，函数图像的纵坐标为1；当x>0时，函数图像在x轴的右侧逐渐上升；当x<0时，函数图像在x轴的左侧逐渐下降。

5.指数函数的性质指数函数具有以下基本性质：（1）y=e^x是递增函数。

（2）指数函数的值域是正实数集合。

（3）当x=0时，y=e^x的值为1。

（4）指数函数曲线经过点(0,1)，函数图像在y轴的截距为1。

（5）对于任意正实数a，有a^x=e^{xlna}，其中a是幂指函数的底数，lna为以e为底数的对数。

三、总结指数函数是以常数e为底数，x为自变量的一个函数。