4.1,2 特征值特征向量与矩阵可对角化(第十三次)

定义2 设A为一n阶方阵, 如存在一对角矩阵B, 使 得A~B, 则称A可对角化.
定理2 n阶方阵A可对角化当且仅当A有n个线性 无关的特征向量.
定理3 属于矩阵A的不同的特征值的特征向量线 性无关.
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20
推论 设λ1, λ2, …, λm是矩阵A的m个不同的特征值, 而 βi1 , βi2 ,L, βiri 是A的属于λi (i=1, 2, …, m)的线性 无关的特征向量. 则向量组
6
1
求方阵特征值和特征向量的方法:
给定一个n 阶方阵A, 1. 写出它的特征多项式det(A−λI)；
2. 求det(A−λI)=0的所有解，即A的所有特征根;
3. 对于每一特征根λ0, 求齐次线性方程组 (A−λ0I)X=O
的一个基础解系, 此基础解系是矩阵A的属于特征 值λ0的线性无关的特征向量组.
21
22
例1 判断上一节例1, 例2和例3中的矩阵是否可对角 化. 如可对角化, 求可逆矩阵T, 使得T-1AT为对角阵.
A
=
⎡0.94 ⎢⎣0.06
0.03⎤ 0.97 ⎥⎦
⎡1 2 2⎤ A = ⎢⎢2 1 2⎥⎥
⎢⎣2 2 1⎥⎦
⎡3 1 0⎤
A = ⎢⎢−4 −1
0
⎥ ⎥
⎢⎣ 4 −8 −2⎥⎦
9
10
定理4 设A=(aij)n×n, 并设A的特征多项式det(A−λI) 为
那么
f (λ)=an λn+ an -1λn-1+…+ a1 λ+ a0
an=(−1)n, a0=det(A), an-1=(−1)n-1 ( a11+a22+…+ann)

考研线性代数历年真题考研线性代数是研究生入学考试中的一门重要科目，通过解答历年真题可以帮助考生更好地了解考试要求和复习重点。

本文将为大家整理归纳考研线性代数历年真题，以供参考。

第一部分：矩阵与行列式1、考点：矩阵的运算【真题一】计算矩阵相乘已知矩阵A=（1 2 3；4 5 6）、B=（7 8；9 10；11 12），求A与B 的乘积AB。

【真题二】矩阵求逆已知矩阵A=（1 2 3；0 4 5；0 0 6），求A的逆矩阵。

2、考点：行列式的性质与运算【真题三】行列式展开已知行列式D=|1 0 2；1 1 1；3 1 0|，计算D的展开式。

【真题四】行列式的性质已知行列式D=|1 2 3；4 k 6；7 8 9|，若D=0，则k的取值范围是多少？第二部分：向量空间与线性变换1、考点：线性相关性【真题五】判断线性相关性已知向量组V={(1, 0, -1)，(2, 1, 1)，(3, 1, 0)}，判断向量组V的线性相关性。

【真题六】线性相关向量组的线性表示已知向量组V={(1, 3, -1)，(2, 5, -2)，(4, a, b)}，若向量(7, 18, -6)可以由向量组V线性表示，则a和b应满足的条件是什么？2、考点：矩阵的特征值和特征向量【真题七】矩阵的特征值与特征向量已知矩阵A=（3 4；1 2），求矩阵A的特征值和特征向量。

【真题八】矩阵对角化已知矩阵A=（1 2 -1；-1 0 3；2 2 -1），求可对角化矩阵和相似矩阵。

第三部分：线性方程组与矩阵的应用1、考点：线性方程组的解【真题九】线性方程组的解已知线性方程组x + 2y + 3z = 62x + y + z = 43x + 3y + z = 7求线性方程组的解。

【真题十】齐次线性方程组的解空间已知齐次线性方程组x + 2y + 3z = 02x + y + z = 0求齐次线性方程组的解空间的维数。

2、考点：矩阵的秩【真题十一】矩阵的秩已知矩阵A=（1 4 5；2 5 1；3 6 2），求矩阵A的秩。

解得特征值为
2•
第二步：对每个特征值 代入齐次线性方程组 求非零解.
齐次线性方程组为 系数矩阵
2•
得基础解系
是对应于
类似可以求得 A的属于特征
值 的全部特征向量分别为
是不为零的常数.
2•
所以
是矩阵f (A)的一个特征值.
2•
3. 特征多项式f )的性质
( 在特征多项式
中有一项是主对角线上元素的连乘积：
f )的展开式的其余各项为
(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2•
设f ) = 0的根
(
为
，则有
性质1 设 n 阶方阵 A 的 n个特征
值为
则
称为矩阵A的迹，记为
2•
性质2 若A的特征值是 , X是A的对应于 的特征向量,
(1) kA的特征值是 ;(k是任意常数) k
(m是正整数)
(3) 若A可逆,则A -1的特征值
是
且X 仍然是矩
阵
-1 , 的特征值是 分别对应于
的特征向量.
2•
为x的多项式, 则f (A)的特征值
为 证
再继续施行上述步骤 m - 2 次, 就
得
2•
其它请同学们自己证明.
3•
例6 已知三阶方阵A的特征值为1、2、3, 求矩阵 的A行*+列E式.
解 由性质1（2）知
则矩阵A*的特征值 所以矩阵A*的特征值分别是6，3，2，A*+E的特征值
是值A, 的属于特征值 λ = 5的特征向
量；
6•
7•
故由定义4.1知， λ = 5也 1、X2、X3 的特征值, 即是对X于 λ = 5的特征向量是不唯一
的.

(1)求A的特征方程|IA|=0的所有解1,2, ,n,即为A的全部特征值 (2)对每一个特征值i (i=1,2,,n),求出齐次 线性方程组(iIA)X=0的基础解系,便是A 的对应于i的线性无关的特征向量,而对应 于i的全部特征向量就是此基础解系的所
有非零线性组合.
1
例1
求对角方阵=
2
的特征值.
a11 a12 L
I
A
a21
L
a22 L
LL
an1
an2 L
称为A的特征矩阵.
a1n
a2n
L
ann
设n阶方阵A=(aij)的特征值为1,2,,n,则有 (1)1+2++n=a11+a22++ann (2)12n=|A| 226页定理5.2
二、特征值和特征向量的计算方法
AX=X(IA)X=0
n
解: 的特征多项式:
1
|I|=
2
n
=(1)(1)(n) 的特征值为: 1,2,,n
1 2 2
例2 求矩阵 向量.
A
2 2
1 2
2的特征值和特征 1
解:
1 2 2
|IA|= 2 1 2
2 2 1
=(5)(+1)2 A的特征值为: 1=5, 2=3= 1
1=5: 解方程组 (5IA)X=0
X=A1X
1X=A1X 1是矩阵A1的特征值,且X是A1的对应 于1的特征向量.
三、特征值和特征向量的性质
定理 设矩阵A,如果,是A的对应于两个不 同特征值的特征向量,则与线性无关.
[证]设,分别是特征值1,2 (12)所对应 的特征向量,则有A=1 , A=2