巧用数学方法处理物理极值问题

物理中的极值问题武穴育才高中 刘敬随着高考新课程改革的深入及素质教育的全面推广，物理极值问题成为中学物理教学的一个重要内容，作为对理解、推理及运算能力都有很高要求的物理学科，如何提高提高学生思维水平，运用数学知识解决物理问题的能力，加强各学科之间的联系，本文筛选出典型范例剖析，从中进行归纳总结。

极值问题常出现如至少、最大、最短、最长等关键词，通常涉及到数学知识有：二次函数配方法，判别式法,不等式法，三角函数法,求导法,几何作图法如点到直线的垂线距离最短,圆的知识等等。

1．配方法：a b ac a b x a c bx ax 44)2(222-++=++ 当a ＞0时，当2b x a =-时，y min =ab ac 442- 当a ＜0时当2b x a =-时，y max =ab ac 442- 2.判别式法：二次函数令0≥∆，方程有解求极值.3.利用均值不等式法：ab 2b a ≥+ a=b 时， y min =2ab4.三角函数法：θθcos sin b a y +==)sin(22θϕ++b a当090=+θϕ，22max b a y += 此时，ba arctan =θ 也可用求导法：ba b a y arctan 0sin cos ==-='θθθ，得令 5.求导法：对于数学中的连续函数，我们可以通过求导数的方式求函数的最大值或最小值.由二阶导数判断极值的方法．某点一阶导数为0，二阶导数大于0，说明一阶导数为增函数，判断为最小值；反之，某点一阶导数为0，二阶导数小于0，说明一阶导数为单调减函数，判断此点为最大值．6.用图象法求极值通过分析物理过程所遵循的物理规律，找到变量之间的函数关系，作出其图象，由图象求极值。

7.几何作图法研究复合场中的运动，可将重力和电场力合成后，建立直角坐标系，按等效重力场处理问题。

研究力和运动合成和分解中，可选择合适参考系，将速度及加速度合成，结合矢量三角形处理问题。

又 Ｃ Ｓ０ Ｌ ｓ ， 即 Ｓ ＝ ０ 。 Ｏ ＝ ／ ８ ｍ
的 选 择 指 导 ，我 们 可 以根 据 这 几 种 方 法 的 特 点有 目 的 地 设 计 或 选 择 具 有 典 型 的 习题 ， 让 学 生 练 习 。使 学生在参与解题过程 中体验这些 方法的优缺点 ，从 而使学生学会优化解题方法 ，提 高解题质 量，特别 是高三 物理的复习课 教学，可能更有必要。
［ 析］两车相距的距离为 ： △ｓ —Ｓ ｌ ｔ 解 ：Ｓ ＝ Ｏ
一
（ ｔｔ ） 一 ８ 二 次 函数 的性 质 有 ： ｘ － ／ ａ ２ ＋ ＝ ｔ ＋ ｔ据 当 ＝ｂ２ 时， ＡＳ 有最 大值 ， ＡＳ ａ ＝ ４ ｃ ｂ ） ４ ， 即当 ｍ ｘ （ａ — ／ ａ
摘 要 ：在 高考 物理 复 习 中，极 值 问题是 一个重 要 的知 识点 ，老师们 一般也 只是 遇 到就讲 ，很 少系 统 的进行 阐述 归纳总 结。本文根据学生的实际情况以及本人的教学实践， 针对高中物理总复习教学中困扰学生的极值 问题， 利用数学方法、图 象法等尝试对物理极值问题的求解进行 归纳与总结 关键 词 ： 二次 函数最 值 三角 函数最值 均值 不 等式 图像 法 极 值
［ 结］ 掌握 图像 法对解 决物理 中极值 问题会 小 有 很大的帮助 ，对于那些 用常规解析法求极值较冗 长的物理 问题 ，有 时用 图像法 会很快地给予解决 ， 能 起 到 事 半 功 倍 的效 果 ， 所 以平 时 训 练 中掌 握 作 图
法是十分必要的 。
参考文献：
１ 马玉 峰． 中物理 第 一轮 复 习用 书 绿色 通 道一 一 非 常讲 练 ． 高 测 ［］人 民 日报 出版社 ．０ １ １月 Ｍ． ２１ 年 ２钟 小 平． 中物理 竞 赛培 优 教 程 ［］浙 江 大 学 出版 社 ．０ ３ ． 高 Ｍ． ２ ０

利用函数思想巧解滑动变阻器的最大电功率摘要：近几年一些省市的中考物理试题中，常常出现一类与“极值问题”有关的命题，这类题目从培养学生的思维能力、运用数学规律解决物理问题的能力来看立意是最好的，但若只用物理方法求解，往往会陷入困境，借助数学方法会化难为易。

关键词：数学规律滑动变阻器最大功率2020年南充市中考物理试卷中有这样一道题目：如图甲所示，滑动变阻器的滑片从a端滑到b端的过过程中，电流表和电压表示数变化规律如图乙所示。

则下列说法正确的是：A．R的阻值为10Ω B．滑动变阻器的最大阻值为60ΩC．电源电压为8V D．滑片在滑动的过程中，滑动变阻器的最大功率为0.9W由图甲可知，定值电阻R与滑动变阻器串联，电压表测滑动变阻器两端电压，当滑片P在a端时，滑动变阻器没有连入电路，电压表示数为0V，由图乙知，此时电路中电流为Ia=0.6A，则有：电源电压 U=Ia R……①当滑片P在b端时，滑动变阻器全部连入电路，电压表示数最大，由图乙知，此时滑动变阻器两端电压为Ub =5V，电路中电流为Ib=0.1A，则有：滑动变阻器的最大值电源电压 U=Ib R+Ub……②联立①②式，代入数据解得：R=10Ω，U=6V。

故A正确，BC错误。

而D选项是求滑片在滑动的过程中，滑动变阻器的最大功率问题，仅利用物理知识是解决不了的，需要利用一些数学规律进行推理，借助数学知识求解物理问题中的极值。

下面我将用二次函数来求滑动变阻器的最大功率。

滑动变阻器的功率为当时，P滑有最大值，，故D正确。

因此本题应选AD。

通过上面的分析，我们发现滑动变阻器消耗的电功率最大时，其接入电路的电阻并不是最大，而是等于与其串联定值电阻的阻值。

因此可总结出以下规律：1、当滑动变阻器的最大阻值大于与其串联定值电阻的阻值时，移动滑片，使滑动变阻器接入电路的阻值由小变大时，滑动变阻器消耗的电功率先变大再变小。

即有如下关系：若 ,当滑动变阻器接入电路中电阻为R滑=R时，即滑动变阻器与定值电阻平分电压时，滑动变阻器消耗的电功率有最大值，即。

个状态均可视为平衡状态.
2.做题流程 受力分析 —化—“—动—”—为—静→画不同状态平衡图构造矢量三角形 —“—静—”—中—求—动→
—定—性—分—析→ 根据矢量三角形边长关系确定矢量的大小变化
三角函数关系
—定—量—计—算→ 正弦定理
找关系求极值
相似三角形
3.三力平衡、合力与分力关系 如图，F1、F2、F3共点平衡，三力的合 力 为 零 ， 则 F1 、 F2 的 合 力 F3′ 与 F3 等 大 反 向 ， F1 、 F2 、 F3′ 构 成 矢 量 三 角 形 ， 即F3′为F1、F2的合力，也可以将F1、F2、 F3直接构成封闭三角形.
√A.MN上的张力逐渐增大
B.MN上的张力先增大后减小
C.OM上的张力逐渐增大
√D.OM上的张力先增大后减小
以重物为研究对象分析受力情况，受重力mg、OM绳上拉力F2、MN上 拉力F1，由题意知，三个力的合力始终为零，矢量三角形如图所示， F1、F2的夹角为π－α不变，在F2转至水平的过程中， 矢量三角形在同一外接圆上，由图可知，MN上的 张力F1逐渐增大，OM上的张力F2先增大后减小， 所以A、D正确，B、C错误.
以结点B为研究对象，分析受力情况，作出力的合成图如图，根据平 衡条件知，F、FN的合力F合与G大小相等、方向相反. 根据三角形相似得AFC合 ＝AFB＝BFCN 又 F 合＝G 得 F＝AACB G，FN＝BACC G ∠BCA缓慢变小的过程中，AB变小，而AC、BC 不变，则F变小，FN不变，故杆BC所产生的弹 力大小不变，故选A.
2.一力恒定(如重力)，另一力与恒定的力不垂直但方向不变，作出不同状 态下的矢量三角形，确定力大小的变化，恒力之外的两力垂直时，有极 值出现. 基本矢量图，如图所示

高中物理解题方法之极值法高中物理中的极值问题，是物理教学研究中的活跃话题。

本文通过例题归纳综合出极值问题的四种主要解法。

一、 二次函数求极值二次函数a ac b a b x a c bx ax y 44)2(222--+=++=，当ab x 2-=时，y 有极值ab ac y m 442-=，若a>0，为极小值，若a<0，为极大值。

例1试证明在非弹性碰撞中，完全非弹性碰撞(碰撞后两物体粘合在一起)动能损失最大。

设第一个物体的质量为1m ，速度为1V 。

第二个物体的质量为2m ，速度为2V 。

碰撞以后的速度分别为'1V 和'2V 。

假使这四个速度都在一条直线上。

根据动量守恒定律有：'+'=+22112211V m V m V m V m （1）如果是完全非弹性碰撞，两物体粘合在一起，（1）则变为V m m V m V m '+=+)(212211，即212211m m V m V m V ++=' （2）现在就是要证明，在满足（1）式的碰撞中，动能损失最大的情况是（2）式。

碰撞中动能损失为ΔE k =()22()22222211222211'+'-+vm v m v m v m （3） 转变为数学问题：ΔE k 为v 的二次函数:由（1）得：v 2ˊ=2112211)(m v m v m v m '-+ （4）将（4）代入（3）得：k =++++-'12221112'1211)(2)(v m v m v m m v m m m m [2222112222112)(22m v m v m v m v m +-+] 二次函数求极值,当v 1ˊ=)()(212211m m v m v m ++ （5） 时∆E k 有极大值。

回到物理问题,将（5）代入（4）得v 2ˊ=)()(212211m m v m v m ++此两式表明,m 1和m 2碰后速度相等,即粘合在一起,此时动能损失(ΔE k )最大。

(1)求该单色光在玻璃材料中发生全反射的临界角的正弦值；
答案
3 3
根据题意可知，光线从AB界面的P点进入玻璃棱
镜，由折射定律画出光路图，如图所示
根据几何关系，可得入射角θ1＝90°－30°＝60° 折射角 θ2＝30°，且 PO 恰好为法线，根据 n＝ssiinn θθ21可得折射率 n＝ 3 又有 sin C＝1n
入射角为θ5＝60°，由于发生全反射的临界角为C。
则有
sin
C＝
33<sin
θ5＝
3 2
即C<θ5 可知在 OD 界面发生全反射，已知 CO＝ 43R。由几何关系得，在三
角形 OFQ 中，由余弦定理得
OQ2＝OF2＋FQ2－2OF·FQcos 150°
其中
OQ＝R，OF＝OP＝
3 2R
13－3 解得 FQ＝ 4 R
答案
52 9m
若mC＝4 kg，mB＝2 kg，则
aC′＝4 m/s2，aB′＝8 m/s2
则B与A碰撞前B、C恰好共速，则v0－aC′t1＝aB′t1 解得 t1＝23 s 共同速度为 v 共 1＝136 m/s 碰后B的速度反向，设第2次共速时间t2，则
v共1－aC′t2＝－v共1＋aB′t2 解得 t2＝89 s
解得
sin
C＝
3 3
(2)现将该光束绕P点沿逆时针方向在纸面内转动
至水平方向，观察到BD面上有光线从Q点射出
(Q点未画出)。求光束在玻璃材料中的传播时间
(不考虑圆柱BD弧面部分的反射光线)。
3 3＋ 39R
答案
4c
根据题意，当光线转至水平方向入射，入射
角大小仍为θ3＝60°，画出光路图，如图所示 由折射定律可知，折射角θ4＝30°，折射光 线交OD边于F点，由题已知∠A＝30°，PC⊥AO，得在OD边界上的

高中物理求极值方法与常用结论总结（一）利用分式的性质求极值[例1] 物体A放在水平面上，作用在A上的推力F与水平方向成30º角，如图示。

使A作匀速直线运动。

试问，当物体A与水平面之间的摩擦系数μ为多大时，不管F增大到多大，都可以使A在水平面上，作匀速直线运动?解：A受力如图所示，由已知，A处于平衡状态，有：Fcosα=fFcos30º=μ（G+Fsin30º），得F=由已知当公式的分母为零，即F→∞的匀速运动时sin30º－μcos30º=0时得μ=tg30º=0.58，则F→∞，此时都可以使A在水平面上作匀速直线运动。

（二）利用一元二次方程求根公式求极值有些问题，通过分析列关系式，最后整理出关于一个未知量的一元二次方程。

它的根就可能是要求的极值。

这种方法应用是很普遍的。

（三）利用一元二次方程判别式△=b2－4ac≥O求极值[例2] 一个质量为M的圆环，用细线悬挂着。

将两个质量为m的有孔的小珠套在环上，且可沿环无摩擦滑动，如图（a）所示。

今将两小珠从环的顶端由静止开始释放。

证明，当m>M 时，圆环能升起。

证明：取小球为研究对象，受力如图（a）。

由牛顿第二定律，得所mgcosθ+N=由机械能守恒定律，得mgR（1－cosθ）=由此二式得N=2mg－3mgcosθ（1）上式中，N>0，即cosθ<以环为研究对象，受力图如（b），在竖直方向，由牛顿第二定律，有T+2N’cosθ—Mg=Ma当环恰好能上升时，a=0，可得2N’cosθ=Mg （3）将（1）代入（3）式中，其中N’为（a）图中N的反作用力。

有2（2mg－3mgcosθ）cosθ=Mg 即6mcos2θ－4mcosθ+M=0 （4）（4）式是关于cosθ的一元二次方程。

cosθ为实数，则△≥0，即（4m）2－4（6m）M≥0，可得m≥M 当m=M时，T恰好为零，但不升起，所以取m>M为升起条件。

物理解题中的数学方法《考试说明》中对学生的能力要求有五个方面，其中第四种能力即为应用数学方法处理物理问题的能力。

所谓数学方法，就是要把客观事物的状态、关系和过程用数学语言表达出来，并进行推导、演算和分析，以形成对问题的判断、解释和预测。

可以说每一物理问题的分析、处理过程，都是数学方法的运用过程。

下面介绍几种处理中学物理问题，常用的数学方法。

一、图像法中学物理中一些比较抽象的习题常较难求解，若能与数学图形相结合，再恰当引入物理图象，则可变抽象为形象，突破难点、疑点，使解题过程大大简化。

【例1】一蚂蚁离开巢沿直线爬行，已知它的速度与蚁巢中心的距离成反比。

当蚂蚁爬到离巢中心L1=1m的A点处时，速度是v1=2cm/s。

试问蚂蚁从A点爬到离巢中心L2=2m的B点时所需要的时间为多少？【解析】此题中蚂蚁的速度随时间的变化是非线性的，不能用匀速运动公式求解。

由题意蚂蚁的速度与蚁巢中心的距离成反比，可知速度的倒数与蚁巢中心的距离成正比。

我们作出与L的关系图像，这个图象是一条过原点的直线。

由图可知，直线下阴影部分的“面积”在数值上就等于所求的时间。

【小结】本题巧妙地采用了-L图像解答，不仅把速度与距离成反比（图像为曲线）转化为速度的倒数与距离成反比（图像为直线），而且同时用它的“面积”能够表示运动的时间，使原来较为复杂的运动求解变得很容易。

二、几何法利用几何法解物理题时，常用到的是“对称点的性質”、“两点间的直线距离最短”、“全等、相似三角形的性质”等相关知识。

【例2】一带电质点，质量为m、电量为q，以平行于ox轴的速度v从y 轴上的a点射入图中第一象限所示的区域。

为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于ox轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。

若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这个圆形区域的最小半径。

（重力忽略不计）【解析】质点在磁场中做半径为R= 的圆周运动。

根据题意，质点在磁场区域中的轨迹是半径等于R的圆上的一段圆弧。

二 应 用
Ｉ 利用 △＝ ２ ４ｃ求解物理极值 问题 ｂ— ａ Ａ、 动力学部分 例题 １ ：一平 如图所 示 ，一 平直 的传送 带 以速度 Ｖ ２ ／ 做匀速运动 ， －ｍｓ 传送带把 Ａ处的＿ 件运输到 Ｂ处 ， Ｔ
Ａ 、Ｂ相距 Ｌ １ｍ ＝０ 。从 Ａ处把 工件 【 无初 速 】 地放 到
点的连线与竖直方 向的夹 角为 Ｏ（ ０＜ ０ ＜９ ０ ） ０ ０ ， 为使小球 能够在 圆周 上运动 ，求磁 感应强度 的最小值
２ ① ②
２
解得 ＝２ Ｓ。即两秒后共速 。由公式１＝ ④ ’ 讲：
・ １０ ・ ２
及小球 Ｐ相应 的速率 。 （ 重力加速度为 ｇ ）
传送带 ｆ，经过 时间 ｔ６ ，能传送 到 Ｂ处。欲用最 短 ＝ｓ
的时间把 工件从 Ａ处 传到 Ｂ处 ，求传送带 的运 行速度
至 少多大？最短的时间是多少？
解： 对外 电路 ：ｐ ， Ｒ① ： 义 ：ｓ＝，Ｒ＋ ） （ ，②
即 ≯
次方程 解 ： 对木块受力分析如 图 分 析 ：木块可能一直加速运动 ，也可能先加 速
例题 １ ：如图 电路 ，电源的 电动势为 ８ 内阻 为 ｒ ， ｂ ：利用问题 的边界 条件求极值 ｃ ：川不等式 的性 质 外 电阻为 Ｒ，求 电路电阻 Ｒ为多大时 ，电路 的输 ｆ 功 Ｉ ｌ 求极值 ｃ ＇ 矢 量图或罔象求极值 ｄ ：￣ Ｊ Ｉ Ｈ ：利Ｊ 导数讨论极值 率最 大？最大值为多少？ ＿ ｛ ＿ ｊ
ｌ
＝ 一
评 价 ： 用 Ｐ＝， 兄 或 构 造 二 次 方 程 ， 用 利 ： 利 例题 ２ 一半径 为 Ｒ的光滑绝 缘半球 面开 口向下 ， ： 固定 在 水 平 面上 ． 整个 空 间 存 在竖 直 向下 的匀 强 磁 场． 一电荷量 ｑｑ Ｏ， （＞ ）质量为 ｍ 的小球 Ｐ 在球 面上做水 平 的匀 速 圆周运 动 ，厕心为 ０ ， 心 ０到该圆 上任一 ／球

300 图1
分析：讨论涉及静摩擦力的临界问题的一般方法是： 1, 抓住静摩擦力方向
的可能性.2,物体即将由相对静止的状态即将变为相对滑动状态的条件是
f=μN（最大静摩擦力）.本题有两个临界状态，当物体具有斜向上的运动趋
势时，物体受到的摩擦力为最大静摩擦力；当物体具有斜向下的运动趋势时，
物体受到的摩擦力为最大静摩擦力。
阐点 述击 观此 点处
请
欣 。 添 加 正 文
赏 ，
文 字 是
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思
想
的
提
炼
，
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尽
量
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简
意
赅
的
牛顿定律运用中的临界和极值问题
一、临界问题： 1 、临界状态：物体的运动状态即将发生突变 而还没有变化的状态.可理解为“恰好现象”或“恰恰不出现” 的状态。 平衡物体（一=0 ）的平衡状态即将被打破而还没有被打 破的瞬间；动态物体（≠ 0 ）的状态即将发生突变而还没有 变化的瞬间.临界状态也可归纳为加速度即将发生突变的状态。 2 、临界条件：加速度发生突变的本质原因是物体的外力发生了 突变，物体处于临界状态，必然隐含着某些力（如弹力、摩擦力 等）的突变.抓住这些力突变的条件，是我们解题的关键。 3 、处理办法（ 1 ）做好受力分析、状态分析和运动过程的分 析建立运动的情景，抓住运动过程中的“转折点”.（ 2 ）寻 找临界状态所隐含的条件。
F2
m1g+ m2g=m1am
B
a m1g m2g
m
m1
图1
am a=0
am
(2 ）研究物块 1 下落的过程，物块 1 落至最低点 B 处，其受到向上的 弹力最大，加速度达到最大值，但方向竖直向上（简谐振动的对称性）. 如图1所示，F2-m1g=m1am

解决极值点偏移的15种方法解决极值点偏移的问题是一个重要的数学和工程问题，涉及到多个领域的知识和技术。

以下是一些常见的方法：1. 数值优化方法，使用数值优化算法，如梯度下降、牛顿法、拟牛顿法等，来寻找函数的极值点。

这些方法可以通过迭代过程逐步逼近极值点，并且对于一些非线性、高维度的问题也能够有效地求解。

2. 约束优化方法，在某些情况下，极值点的偏移可能受到一些约束条件的限制，比如线性约束、非线性约束等。

这时可以使用约束优化方法，如拉格朗日乘子法、KKT条件等，来求解带约束条件的极值点问题。

3. 统计学方法，在统计学中，可以使用最大似然估计、最小二乘法等方法来估计函数的参数，从而找到极值点。

这些方法常用于拟合模型、回归分析等领域。

4. 信号处理方法，在信号处理领域，可以使用滤波器设计、频域分析等方法来寻找信号的极值点，比如峰值检测、谷值检测等。

5. 机器学习方法，在机器学习中，可以使用神经网络、支持向量机、决策树等方法来学习函数的极值点，从而进行分类、回归、聚类等任务。

6. 图像处理方法，在图像处理中，可以使用边缘检测、角点检测等方法来找到图像中的极值点，比如检测图像中的角落、边缘等特征点。

7. 数学分析方法，通过对函数的导数、二阶导数等进行分析，可以找到函数的临界点和拐点，从而找到极值点的位置。

8. 模拟退火算法，模拟退火算法是一种全局优化算法，可以用来寻找函数的全局极值点，它通过模拟退火的过程来逐步逼近最优解。

9. 遗传算法，遗传算法是一种启发式优化算法，可以用来求解复杂的优化问题，包括寻找函数的极值点。

10. 粒子群算法，粒子群算法是另一种启发式优化算法，灵感来源于鸟群觅食的行为，可以用来寻找函数的极值点。

11. 蚁群算法，蚁群算法是模拟蚂蚁觅食的行为，可以用来解决组合优化问题和寻找函数的极值点。

12. 深度学习方法，深度学习技术可以通过神经网络的训练来学习复杂的函数关系，从而找到函数的极值点。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
3.(多选)(2016·全国卷Ⅰ·19)如图3，一光滑的轻滑轮用细绳OO′悬挂于 O点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块a，另一端系一位于水平粗糙 桌面上的物块b.外力F向右上方拉b，整个系统处于静止状态.若F方向不 变，大小在一定范围内变化，物块b仍始终保持静止，则 A.绳OO′的张力也在一定范围内变化
B、D错误.
跟进训练
1.(单个物体的动态平衡问题)(多选)(2020·广东惠州一中质检)如图4所示，
在粗糙水平地面上放着一个截面为四分之一圆弧的柱状物体A，A的左端
紧靠竖直墙，A与竖直墙之间放一光滑圆球B，已知A的圆半径为球B的
半径的3倍，球B所受的重力为G，整个装置处于静止状态.设墙壁对B的
支持力为F1，A对B的支持力为F2，若把A向右移动少许后，它们仍处于
√B.斜面对球的支持力逐渐减小
√C.挡板对小球的弹力先减小后增大
图1
D.挡板对小球的弹力先增大后减小
解析 对小球受力分析知，小球受到重力mg、斜面的支 持力FN1和挡板的弹力FN2，如图，当挡板绕O点逆时针缓 慢地转向水平位置的过程中，小球所受的合力为零，根 据平衡条件得知，FN1和FN2的合力与重力mg大小相等、 方向相反，作出小球在三个不同位置力的受力分析图，
12
2.(多个物体的动态平衡问题)(多选)(2019·全国卷Ⅰ·19)如图5所示，一粗
糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮.一细绳跨过滑轮，其
一端悬挂物块N，另一端与斜面上的物块M相连，系统处于静止状态.现
用水平向左的拉力缓慢拉动N，直至悬挂N的细绳与竖直方向成45°.已知
M始终保持静止，则在此过程中
A.水平拉力的大小可能保持不变

物理解题中常用的数学知识物理解题运用的数学方法通常包括方程(组)法、比例法、数列法、函数法、几何(图形辅助)法、图象法、微元法等．<1>．方程法物理习题中，方程组是由描述物理情景中的物理概念，物理基本规律，各种物理量间数值关系，时间关系，空间关系的各种数学关系方程组成的．列方程组解题的步骤①弄清研究对象，理清物理过程和状态，建立物理模型．②按照物理情境中物理现象发生的先后顺序，建立物理概念方程，形成方程组骨架． ③据具体题目的要求以及各种条件，分析各物理概念方程之间、物理量之间的关系，建立条件方程，使方程组成完整的整体．④对方程求解，并据物理意义对结果作出表述或检验． <2>．比例法比例计算法可以避开与解题无关的量，直接列出已知和未知的比例式进行计算，使解题过程大为简化．应用比例法解物理题，要讨论物理公式中变量之间的比例关系，清楚公式的物理意义，每个量在公式中的作用，所要讨论的比例关系是否成立．同时要注意以下几点：①比例条件是否满足：物理过程中的变量往往有多个．讨论某两个量比例关系时要注意只有其他量为常量时才能成比例．②比例是否符合物理意义：不能仅从数学关系来看物理公式中各量的比例关系，要注意每个物理量的意义(例：不能据R ＝IU认定为电阻与电压成正比)． ③比例是否存在：讨论某公式中两个量的比例关系时，要注意其他量是否能认为是不变量，如果该条件不成立，比例也不能成立．(例在串联电路中，不能认为Ｐ＝RU 2中，P 与R 成反比，因为R 变化的同时，U 随之变化而并非常量)<3>．数列法凡涉及数列求解的物理问题具有多过程、重复性的共同特点，但每一个重复过程均不是原来的完全重复，是一种变化了的重复，随着物理过程的重复，某些物理量逐步发生着“前后有联系的变化”．该类问题求解的基本思路为：①逐个分析开始的几个物理过程。

②利用归纳法从中找出物理量的变化通项公式(是解题的关键)，最后分析整个物理过程，应用数列特点和规律解决物理问题。

动力学中的九类常见模型精讲精练专题3 临界极值问题【问题解读】1．题型概述在动力学问题中出现某种物理现象(或物理状态)刚好要发生或刚好不发生的转折状态即临界问题。

问题中出现“最大”“最小”“刚好”“恰能”等关键词语，一般都会涉及临界问题，隐含相应的临界条件。

2．临界问题的常见类型及临界条件(1)接触与分离的临界条件：两物体相接触(或分离)的临界条件是弹力为零且分离瞬间的加速度、速度分别相等。

临界状态是某种物理现象(或物理状态)刚好要发生或刚好不发生的转折状态，有关的物理量将发生突变，相应的物理量的值为临界值。

(2)相对静止或相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大静摩擦力。

(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子断与不断的临界条件是实际张力等于它所能承受的最大张力；绳子松弛的临界条件是绳上的张力恰好为零。

(4)出现加速度最值与速度最值的临界条件：当物体在变化的外力作用下运动时，其加速度和速度都会不断变化，当所受合力最大时，具有最大加速度；当所受合力最小时，具有最小加速度。

当出现加速度为零时，物体处于临界状态，对应的速度达到最大值或最小值。

【方法归纳】求解临界、极值问题的三种常用方法极限法把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，以达到正确解决问题的目的假设法临界问题存在多种可能，特别是非此即彼两种可能时，变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题数学方法 将物理过程转化为数学公式，根据数学表达式解出临界条件出隐含的临界条件。

【典例精析】【典例】 （2024河北安平中学自我提升）如图所示，A 、B 两个木块静止叠放在竖直轻弹簧上，已知A B 1kg m m ==，轻弹簧的劲度系数为100N/m 。

若在木块A 上作用一个竖直向上的力F ，使木块A 由静止开始以22m/s 的加速度竖直向上做匀加速直线运动，从木块A 向上做匀加速运动开始到A 、B 分离的过程中。

重 物 A、
B
向上运动的速度大 小 均 为v1 =vc
o
sα。 对 由
A、
B、
C 三个 重 物 组 成 的 系 统 应 用 机 械 能 守
恒 定 律 得 3mg
L
L
-2mg
-L =
t
a
nα
s
i
nα
1
1
2
2
× 3mv +2× mv1 ,将 α=3
0
°代 入 解 得
2
2
v=
2
4
gL ,
又 有 重 物 C 的 动 能 EkC =
2
,变 形 得
-L )
2mgL-Ek
=2
mg
2
L +x 2
2
2mgL-Ek
整理得 x2 -2 3yx
=y,
3x。令
mg
2
2
+4L -y =0,这 是 关 于 x 的 一 元 二 次 方
2
2
2
,解
程,
x 有 解,则 (-2 3y)≥4(
4L -y )
得 y ≥ L,
则 Ek ≤mgL。故 Ekmax =mgL,
dEk
L
L
- 2mg
=
3mg
-L ,则
t
a
nα
d
α
s
i
nα
dEk
1
c
o
sα
。当
+2mgL
=0
3mgL 2
2
d
α
s
i
nα
s
i
nα
时,
c
o
sα=

公元前 ６世纪末罗马共和 国建立时 ，罗莫洛是一 个仁慈 、善 良的贵族 ，也是罗马一支军队的首领。他
生前立遗嘱 ，希望把他一半 的财产捐给那些跟随他作 战受伤或战死士兵的家人 。但 罗莫落死后 ，他的家人 却不履行罗莫洛的遗嘱 ，受伤或战死士兵的家人 因此
告 上了法庭 。
Ｂ（ 考查对 罗马法 的作用 的理解 。Ｃ、Ｄ两项 不符 合 史实 ，Ａ、Ｂ两项 根据限定条件 “ 界法 律史 ”可 判 世
成为他家 的奴隶 。法官会如何 判决 ？
荔中
２０ ０ ９年 第 ｛ 期
考
至无法解 出 ，如取物 理量的极值 去求解却 能迎 刃而 解 ，特别在定性分析某些物理量变化时 ，事半功倍．
例 １ 竖 直 放 置 的一 对 平 与绳垂直 ＿、 ， 球相互碰撞 时无机械能损 失 ，轻绳 Ｊ
Ｃ． ｔ ，，＝ ’ ０： ２ Ｉ， Ｄ． Ｉ０ ，， ， ０＜ ２ ｌ ２ ＝
科
综
口
解 析 ： 当 滑 片 滑 至 的最 左 端 的极 限位 置 时 ，
无形 中为法官故意压迫平 民 ，袒护 贵族提供 了方便。
案例二的判决结 果 ：公元前 ５ 世纪 ， 《 十二铜表 法》诞生。根据 《 十二铜 表法 》第五表 ：死者的财产
古罗马大将恺撒进兵埃及 ，与美丽的埃及女王克 丽奥佩特拉 一见钟情 ，两人还有了一个 私生子 ，取名 托勒密 ・ 恺撒 。当恺撤 归国执政之后 ，克丽奥佩特拉 携儿子赴罗马与Ｉ撒 相会 ，并 向罗马法庭为 自己和儿 ｆ 岂
承认财产神 圣不可侵犯 。其 中最重要的就是对债权 的
规定和解释 ，制定 了解决各类债 务纠纷 的适用 条款 ， 另外奴隶制也是不 可侵犯 的，所 以卢修斯家的奴隶只 得乖乖地作为一种财 富或物 品被判定归属于加图家。 责任 编校 李平安

极值法——处理物理问题的基本思维方法作者：潘淑贤熊志权来源：《广东教育·高中》2009年第11期物理极值问题指的是某一物理现象发展、变化的趋势.极值求解问题方法有两种,一种是偏重于通过分析物理现象发生的过程,从物理概念和规律中寻找结果的“物理方法”,一种是侧重通过函数分析和数学归纳的“数学方法”. 一般而言,用物理方法求极值能体现物理过程,但物理方法对物理规律和概念理解要求较高,而用数学方法求极值思路严谨,对数学处理物理问题能力要求较高.一、取物理量的极值分析物理问题就物理方法而言,一般是以概念、规律为依据,求出所研究问题的一般规律,然后再分析、讨论临界值、特殊值和极限值.在物理定律成立的条件下,我们可以把某个物理量推向无穷大或无限小后,对问题作出分析和判断.在中学物理中,很多题通过正常的方法解比较繁琐甚至无法解出,如取物理量的极值去求解却能迎刃而解,特别在定性分析某些物理量变化时,事半功倍.例1. 竖直放置的一对平行金属板的左极板上用绝缘线悬挂了一个带正电的小球,将平行金属板按图1所示的电路图连接,绝缘线与左极板的夹角为θ.当滑动变阻器R的滑片在a位置时,电流表的读数为I1,夹角为θ1;当滑片在b位置时,电流表的读数为I2,夹角为θ2,则A. θ1B. θ1>θ2,I1>I2C. θ1=θ2,I1=I2D. θ1解析:当滑片滑至R的最左端的极限位置时,两金属板间无电压,根据平行板中E=可知此时两版间电场强度为0,所以小球不受电场力,θ变为0,角度最小.而无论滑片在任何位置,与电流表连接的回路电阻没有改变,所以选D.例2. 假设物体所受空气阻力大小不变,以初速度v1竖直向上抛出,物体经过时间t1达到最高点,再经过时间t2物体最高点落回抛出点时,速度变为v2,则A. v2v1,t2>t1C. v2>v1,t2t1解析:假定空气阻力大小十分接近物体重力,物体到达最高点速度减为零,一旦它开始下落,由于受到的几乎全是平衡力作用,它下落时加速度极小,则下落时间将趋近于无穷大.根据v2=2as可知,上升与下降的位移为一常数,下降的加速度比上升的加速度要小,故下落过程中速度变小,故选D.分析物理过程,找出临界条件,这也是处理较为复杂的物理问题的思维方式.常见的临界条件有:静力学中的临界平衡;机车运动中的临界速度;碰撞中的能量临界、速度临界、位移临界;电磁感应中的动态问题的临界速度或加速度;光学中的临界角;光电效应中的极限频率;带电粒子在磁场中运动的边界条件;电路中电学量的临界转折等.例3. 如图2所示,三个质量均为m的弹性小球用两根长均为L的轻绳连成一条直线而静止在光滑水平面上.现给中间的小球B一个水平初速度v0,方向与绳垂直.小球相互碰撞时无机械能损失,轻绳不可伸长.求:运动过程中小球A的最大动能EKA和此时两根绳的夹角θ.解析:根据对称关系,由动量守恒定律和机械能守恒定律mv02=2×mvA2+mvB2可知,当小球A的动能最大时,小球B的动能必须最小,即速度为零.A的速度大小变化是由于AB间绳子拉力对A做功引起的,当绳子无拉力或者拉力与A球速度垂直时,A球速度达到最大.因为两球的速度不可能达到相同,所以在AC有碰撞前绳子必有拉力.那么由于绳子拉力不再做功,所以绳子拉力与A球速度u方向必定垂直,如图3所示,这就是一种极限思维方式.沿v0方向动量守恒:mv0=2mvcos(90°-).系统机械能守恒:mv02=2×mv2.A球此时的动能:EKA=mv2 .由此可解得,小球A的最大动能为EKA=mv02,此时两根绳间夹角为θ=90°.二、用数学方法求物理问题极值“应用数学处理物理问题的能力”是高考物理考试大纲中对考生的五种能力要求之一,而大多都体现在函数求极值方面.这要求考生与实际物理过程与数学知识进行灵活的结合,充分发挥数学的作用,用数学语言描述实际现象的过程,对物理规律或物理概念的描述提供了最简洁、最准确的表达方式,而且在内容上能表述得深刻、精确与简捷.此方法解决极值物理问题的基本思路是根据问题所描述的物理现象,应用有关的物理概念和规律,列出有关物理量之间的函数关系式,转化成单纯的函数求最值的方法,但在求极值过程中要考虑物理条件的约束,如时间、质量和动能等不可能为负值,碰撞过程机械能不增加,同一直线的追赶问题后者速度不能越前者,还有题目本身的几何、时间、空间约束等.通常涉及到的主要数学函数有:基本不等式、二次函数、三角函数、几何关系.采用的方法主要有:凑项构成基本不等式、与圆有关的极值、点到直线的距离最短、二次函数判别式和直接求导数等.1. 利用基本不等式求极值.如果a,b为正数,那么有:a+b≥2,当且仅当a=b时,上式取“=”号.推论:①两个正数的积一定时,两数相等时,其和最小.②两个正数的和一定时,两数相等时,其积最大.例4. 为研究静电除尘,有人设计了一个盒状容器,容器侧面是绝缘的透明有机玻璃,它的上下底面是面积A=0.04m2的金属板,间距L=0.05m,当连接到U=2500V的高压电源正负两极时,能在两金属板间产生一个匀强电场,如图4所示.现把一定量均匀分布的烟尘颗粒密闭在容器内,每立方米有烟尘颗粒1013个,假设这些颗粒都处于静止状态,每个颗粒带电量为q=+1.0×10-17C,质量为m=2.0×10-15kg,不考虑烟尘颗粒之间的相互作用和空气阻力,并忽略烟尘颗粒所受重力.求合上电键后除尘过程中电场对烟尘颗粒共做了多少功.解析:设烟尘颗粒下落距离为时,空间剩余粒子数为:n′=NV′=NA(L-x).每个粒子的动能为:即W0=△EK即qx=mv2.容器内烟尘颗粒的总动能为EK=mv2 NA(L-x)=x(L-x).当x=L-x, EK有最大值,所以,EKmax=NAqUL.2. 利用二次函数极值性质求极值.(1)对于典型的一元二次函数y=ax2+bx+c,(a≠0),则当x=-时,y取极值为ym=;例5. 如图5所示,电流表为理想电表,电源电动势E=6V,内阻r=1Ω ,滑动变阻器的最大阻值R0=11Ω,固定电阻R=3Ω.求变阻器滑动触头P由a端向b端滑动过程中,电流表示数的最小值是多少?解析:设滑动变阻器aP 间的电阻为Rx,代入数据后,aP间的电压为:Uap=I总×=.根据欧姆定律有:I==.根据二次函数求极值关系有:当Rx=6时,分母取最大值,则电流有最小值I=0.25A.3. 利用三角函数的性质求极值.(1) 形如“f(θ)=asinθ+bcosθ”的极值类型,一般先将函数处理为:f(θ)=sin(θ+α)形式,其极值点为:θ0=tan-1().(2)如果所求物理量表达式中含有三角函数,可利用三角函数的有界性求极值.若所求物理量表达式可化为“y=Asinαcosα”的形式,可变为y=Asin2α.例6. 水平地面上有一木箱,木箱与地面之间的动摩擦因数为μ(0≥μA. F先减小后增大B. F一直增大C. F的功率减小D. F的功率不变解析:则由平衡条件得:mg=N+Fsinθ,f=μN=Fcosθ,两式联立解得:F==,在定义范围内,可见F有最小值, F先减小后增大.F的功率P=Fvcosθ==,可见θ在从0逐渐增大到90°的过程中功率P逐渐减小.故选AC.4. 利用矢量三角形求极值.当物体受三力平衡时,三力将构成首尾相连的三角形,利用点到直线的垂直线段最短可求极值.例7. 如图7所示的电灯,用细绳OB将它偏离竖直方向,使电线AO跟天花板成θ角,今保持θ角不变,改变OB的方向,问OB在什么方向上其受力最小?解析:从图中可以看出,将重力mg分解为F1和F2,当OB绳方向改变时与F2平行的那条虚线的位置是不变的,F1的矢量总是在这条线上移动.由几何知识可知,由一点到一条直线作的诸线段中以垂线为最短,所以只有当F1垂直于F2时,也就是OB跟OA相垂直时,OB绳受到的拉力最小,且Fmin=m gcosθ.随堂练习1. 如图8所示,在光滑的水平面上,放着两块长度相同,质量分别为M1和M2的木板,在两木板的左端各放一个大小、形状、质量完全相同的物块,如图所示.开始时,各物均静止.今在两物块上各作用一水平恒力F1、F2,当物块与木板分离时,两木板的速度分别为v1、v2.物块与两木板之间的动摩擦因数相同.下列说法中正确的是A. 若F1=F2,M1>M2,则v1>v2B. 若F1=F2,M1v2C. 若F1>F2,M1=M2,则v1>v2D. 若F1v22. 如图9所示,细绳AO,BO等长,A点固定不动,开始时两绳垂直,在手持B点沿圆弧向C点缓慢运动过程中,绳BO的张力将A. 不断变大B. 不断变小C. 先变小再变大D. 先变大再变小3. 如图10所示,某人站在距平直公路h=50米的B点,一辆汽车以v0=10m/s的速度沿公路由A向C行驶,当人与汽车相距d=200米时,他开始匀速跑动.求:人与汽车相遇所需的最小速度和奔跑方向.4. 如图11所示,R为电阻箱,V为理想电压表.当电阻箱读数为R1=2Ω时,电压表读数为U1=4V;当电阻箱读数为R2=5Ω时,电压表读数为U2=5V.求:当电阻箱R读数为多少时,电源的输出功率最大? 最大值Pm为多少?5. 如图12所示,在方向竖直向下的匀强电场中,电场强度大小为E,一个带负电-q,质量为m 且重力大于其电场力的小球,从光滑的斜面轨道的点A由静止下滑,若小球能通过半径为R的竖直圆形轨道的最高点B而做圆周运动,问点A的高度h至少应为多少?参考答案1. BD解析:用极值方法去解.将M1>M2极值化,认为M1非常的大,当物块从左端运动到右端时,木板几乎不动,获得速度很小;将F1>F2极值化,对物块认为a1远大于a2,对物块产生的加速为F1远大于F2,作用时间很短,使木板获得较小速度.2. A解析:利用矢量三角形求极值,当FB与FA垂直时,FB取最小值.3. vm=2.5m/s,与d成90°方向奔跑.解析:设在P点相遇,相遇时间为t,人沿BP运动,速度为v,由正弦定理知:=,sina==.4. Pm=9W.解析:先求出电源电动势和内阻,再利用基本不等式或者二次函数求极值,当R=r=1 Ω时P有最大值.5. h=R.解析:小球恰能通过圆轨道最高点做圆周运动,取临界条件mg-qE=m.责任编校李平安。