数学归纳法及其应用举例
目的要求：
1．了解数学推理的常用方法：演绎法与归纳法；
2．理解数学归纳原理的科学性；
3．初步掌握数学归纳法的适用场合及证明步骤．
内容分析：
1．本课是数学归纳法及其应用举例的第一课时．教师应从已学过的知识中，选择含有归纳思想方法的内容入手，引导学生体验知识形成、发现的过程．例如等差数列通项公式是通过前有限项归纳出一般结论的；凸n边形内角和公式是根据三角形、四边形、五边形、六边形内角和而发现的，……，由此提炼出不同于演绎法的数学推理方法：归纳法（由特殊到一般）．
2．通过学生易于理解的一些问题，说明归纳法的两难境地：完全归纳法结论可靠，但要“完全”归纳，要么不可能做到，要么很难做到；不完全归纳法虽然简单，但结论的可靠性无法保证．通过介绍近现代数学中有名的“哥德巴赫猜想”或“费尔马猜想”，激发学生的数学兴趣，让学生接触近代的数学，感受归纳法在数学发现中的重要应用．
3．通过对不完全归纳法的分析，引导学生寻求保证结论可靠的办法：关键是“传递性”是否具备，若“传递性”具备，正确的结论就会由一而二，由二而三，以至无穷．这方面例子很多，也很有趣，教师应据具体情况，借助“道具”或多媒体技术展现一、二例，详加分析；在分析过程中向“两个步骤，一个结论”靠拢，向数学归纳法原理靠拢．
以下例子，可供选用：
①古代用烽火台传递军情．结合“烽火戏诸侯”故事，说明数学归纳法两个步骤缺一不可．
②多米诺（D o m i n o）骨牌游戏．学生大多有过体验，借助道具很好演示．
③小孩数数发展过程．引导学生回忆，生动有趣。
4．本节课重点在于讲清数学归纳法的原理、适用范围及证明步骤．指出它对某些与正整数n有关的数学命题往往有用．教师可抓住机会用通俗的例子讲清原理并完整地展示证明步骤。
①证明命题对第一个值n0成立（即n＝n0时命题成立）；
②利用n=k（k≥n0）成立，推出n＝k＋1时命题成立；
根据①、②可知，命题对一切n∈N+，n≥n0均成立．
5．对于例1，教师应规范板书，供学生解题时模仿．严防出现“依此类推”式的不完全归纳法；强调n=k成立必须应用在证明n=k＋1成立的过程中，不可应用等差数列求和公式证明n＝k+1成立．
6．三个课堂练习最好让学生板演．通过板演，发现学生证明过程中的错误．教
师及时纠正、剖析，对书写规范要强调；对学生板演中好的方面予以鼓励．本课中由k到k＋1的推证，不要增加难度，注意它的可接受性．
教学过程
1．介绍归纳法，引出课题
①观察：6＝3＋3，8=5＋3，10=3＋7，12=5＋7，14=3＋11，16＝5＋11，……78=67＋11，……，我们能得出什么结论（教师启发、引导，注意捕捉学生的议论）？这就是由1742年德国数学家哥德巴赫提出的著明的“哥德巴赫猜想”．
②教师根据成绩单，逐一核实后下结论：“全班及格”．
这两种下结论的方法都是由特殊到一般，这种推理方法叫归纳法．归纳法是否能保证结论正确？
①是不完全归纳法，有利于发现问题，形成猜想，但结论不一定正确．
②是完全归纳法，结论可靠，但一一核对困难．
数学中有一种数学归纳法，它也是由特殊到一般，通过它的证明，一定能保证结论正确（出示课题）．
2．讲清原理，得出方法步骤
在等差数列{a n}中，已知首项为a1，公差为d，那么a1＝a1＋0×d，a2＝a1＋1×d，a3=a1＋2×d，a4=a1＋3×d，……，a
=？
n
由以上可知，a n＝a1＋(n－1)d，结论的猜测运用的是归纳法，是完全归纳法还是不完全归纳法？结论正确吗？如何证明呢？
①先看a n＝a1＋(n－1)d，对于n=1成立吗？（成立）
②假设a n＝a1＋(n－1)d，对于n=k成立，那么当n=k＋1时，成立吗？
即若a k＝a1＋(k－1)d成立，当n＝k＋1时，a k+1＝a k＋[(k＋1)－1]d成立吗？
（启发学生从等差数列定义入手，a k+1＝a k＋d，……·，进行推导证明）
③这就是数学归纳法．它一定能保证结论正确．’
举多米诺骨牌的例子，形象地说明数学归纳法成立的道理．
让学生回忆自己小时候学数数的经历。
先会数1，2，3；再数到10；再数到20以内的数；再数到30以内的数，……，终于有一天我们可以骄傲地说：我什么数都会数了．为什么呢？（教师注意激活学生原有的学习体验）
因为会数1，2，3，……有了数数的基础，会在前一个数的基础上加1得到后一个数，进行传递，所以，可以说什么数都会数了．
④得到数学归纳法的两个步骤：
（I）证明当n＝n0（如n＝1或2等）时，结论正确；
（II）假设n＝k（k∈N+且k≥n0）时结论正确，证明n＝k＋1时结论也正确．3．初步应用，让学生形成新的知识体验
例1：用数学归纳法证明1＋3＋5+……＋(2n－1)＝n2.
分析：① 1＋3＋5+……＋(2n－1)=n2是由无数命题组成，
1号命题：1=12；
2号命题：1＋3＝22；
3号命题：1＋3＋5＝32；
……
k号命题：1＋3＋5＋……＋(2k－1)＝k2；
k＋1号命题：1＋3＋5＋……＋(2k－1)＋(2k＋1)=(k＋1)2；
……
②怎样验算n＝1时，等式成立？
③如何实现n=k到n=k＋1的过渡？
④得到什么式子才能称n＝k＋1时等式成立？
⑤书写要体现“两个步骤，一个结论”的模式．
教师边讲边板书，为学生提供一个范例，供证明时模仿．
4．课堂练习，巩固提高
板演①②③，时间紧可采用分组练习，用多媒体平台投影学生解答，教师及时点评，抓住学生板演中“美丽的错误”加深对原理的理解，强调数学归纳法略显“刻板”的证题步骤．
5．归纳小结
①归纳法：由特殊到一般，是数学发现的重要方法；
②数学归纳法的科学性：基础正确；可传递；
③数学归纳法证题程序化步骤：两个步骤，一个结论；
④数学归纳法优点：克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，是一种科学方法，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷．
布置作业
1．教科书习题2．1第1、2题．
2．参考题：①简析我国古代烽火传递军情的合理性；
②分析产生“烽火戏诸侯”闹剧的原因．
简答：古代边疆戍兵，每隔一定距离建筑一高台，发现军情，一台燃起狼烟，邻合见后，也立即起火，这样军情就能很快传告全线戍兵．发生烽火戏诸侯闹剧的原因是第一台谎报军情（为买宠妃一笑而点燃烽火），邻台依次迅速起火，造成“谬误传递”．
