满分：150 考试时长120广东省惠州市2024-2025学年高三上学期12月月考数学检测试题分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}(){}20,ln 10A x x x B x x =->=+³∣∣.则A B =I （ ）A (),1-¥ B. ()1,1- C. ()1,+¥ D. [)1,+¥【答案】C 【解析】【分析】通过解二次不等式及对数不等式可化简集合,A B ，然后由交集定义可得答案.【详解】{}(){}2010{1A x x x x x x x x =->=->=>或0}x <，(){}(){}{}ln 10ln 1ln10B x x x x x x =+³=+³=³，所以()1,A B ¥Ç=+故选：C.2. 已知复数1i3iz +=-，则z 在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A 【解析】【分析】根据复数的除法运算化简即可求解.【详解】()()()()1i 3i 1i 24i 12i,3i 3i 3i 1055z z ++++====+\--+Q 在复平面内对应的点为12,55æöç÷èø，∴z 在复平面内对应的点位于第一象限.故选：A.3. 且焦距为10cm 的双曲线的一部分.忽略笔筒的厚度，该笔筒中间最窄处的直径为（ ）..A. 4cmB. C. 6cmD. 【答案】B 【解析】【分析】根据题意求出a =，该笔筒中间最窄处的直径为2a 得解.【详解】依题意可得210cm,cc a==，所以a =，所以该笔筒中间最窄处的直径为2a =.故选：B.4. 已知()11cos ,cos cos 32a b a b +==，则()cos a b -=（ ）A.23B. 23- C.13 D. 13-【答案】A 【解析】【分析】根据和差角的余弦公式即可求解.【详解】()11111cos cos cos sin sin ,cos cos ,sin sin ,32236a b a b a b a b a b +=-==\=-=Q ()112cos cos cos sin sin 263a b a b a b \-=+=+=.故选：A5. 已知向量()()3,4,,1a x b x =+=-r r，若a b a b +=-r r r r ，则实数x 的值为（ ）A. 4B. 4-或1C. 1- D. 4或1-【答案】B 【解析】【分析】将a b a b +=-r r r r 平方化简得0a b ×=rr ，然后利用数量积的坐标公式列式计算即可.【详解】将a b a b +=-r r r r 两边平方，得0a b ×=rr，.由()()3,4,,1a x b x =+=-r r得()()3410x x ++´-=，即2340x x +-=，解得4x =-或1.故选：B.6. 已知函数()1413xf x x æö=-ç÷èø，那么在下列区间中含有函数()f x 零点的是（ ）A. 10,4æöç÷èøB. 11,43æöç÷èøC. 1,13æöç÷èøD. ()1,+¥【答案】B 【解析】【分析】由题可得()1413xf x x æö=-ç÷èø在(0,+∞)上单调递增，后由零点存在性定理结合幂函数，指数函数单调性可判断选项正误.【详解】注意到函数()f x 图象在(0,+∞)上连续不间断，因为141,3xy x y æö==-ç÷èø在(0,+∞)上均单调递增，则()1413xf x x æö=-ç÷èø在(0,+∞)上单调递增.对于A ，()0141000103f æö=-=-<ç÷èø.因函数14y x =在(0,+∞)上单调递增，所以11441110443f æöæöæö=-<ç÷ç÷ç÷èøèøèø，则()f x 在10,4æöç÷èø上无零点，故A 错误；对于B ，因为13xy æö=ç÷èø在(0,+∞)上单调递减，则11431110333f æöæöæö=->ç÷ç÷ç÷èøèøèø，结合11441110443f æöæöæö=-<ç÷ç÷ç÷èøèøèø，故()f x 在11,43æöç÷èø上存在零点，故B 正确；对于CD ，由于()f x 在(0,+∞)上单调递增，()1211033f =-=>，可知C ､D 都是错误的.故选：B.7. 已知随机变量x 服从正态分布()3,2,N h 服从二项分布16,3B æöç÷èø，则（ ）A. ()D x =B. ()2D h =C. ()()15P P h h ===，D. ()()241P P x x >+³=【答案】D 【解析】【分析】根据正态分布以及二项分布的期望和方差公式即可求解AB ，根据二项分布的概率公式即可求解C ，根据正态分布的对称性质即可求解D.【详解】()()()()11243,62,2,63333E E D D x h x h ==´===´´=，故AB 错误；()()()()55156612121C ,5C ,153333P P P P h h h h æöæö==´´==´´=¹=ç÷ç÷èøèø，故C 错误；根据正态分布对称性可得()()()24(4)41P P P P x x x x >+³=<+³=，故D 正确.故选:D.8. 已知π()2sin()0,||2f x x w j w j æö=+><ç÷èø，其中相邻的两条对称轴的距离为π3，且()f x 经过点()0,1-，则关于x 的方程()sin f x x =在[]0,2π上的不同解的个数为（ ）A. 6 B. 5C. 4D. 3【答案】A 【解析】【分析】把方程解的个数问题转化为两函数图象的交点个数问题，从而利用数形结合可找到答案.【详解】由已知相邻两条对称轴的距离为π3，可得π2π322T w ==，又0w >，可得3w =，由函数()f x 经过点()0,1-，则2sin 1=-j ，即1sin 2j =-，又π2j <，可得π6j =-，所以()π2sin 36f x x æö=-ç÷èø，因为函数sin y x =的最小正周期为2πT =，所以函数()π2sin 36f x x æö=-ç÷èø的最小正周期为2π3T =，所以在[]0,2π函数()π2sin 36f x x æö=-ç÷èø有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示，由图可知，两函数图象有6个交点，的故选：A.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 为了弘扬奥运会中我国射击队顽强拼博的布斗精神，某校射击兴趣小组组织了校内射击比赛，得到8名同学的射击环数为：6，6，7，8，9，9，9，10（位：环），则这组样本数据的（ ）A. 极差为4 B. 平均数是8C. 75%分位数是9 D. 方差为4【答案】ABC 【解析】【分析】根据极差、方差、平均数、百分位数定义，结合给定数据求对应值，即可判断各项正误.【详解】将这组数据从小到大排序，得6,6,7,8,9,9,9,10，这组数据的极差为1064-=，故A 正确；平均数为66789991088+++++++=，故B 正确；因为80.756´=，所以第75%分位数为9992+=，故C 正确；方差为22222222(68)(68)(78)(88)(98)(98)(98)(108)28-+-+-+-+-+-+-+-=，故D 错误.故选：ABC10. 设函数()()()212f x x x =+-，则（）A. ()f x 有三个零点B. 1x =是()f x 的极小值点C. ()f x 的图象关于点()0,2-中心对称D. 当01x <<时，()()2f x f x >【答案】BC 【解析】【分析】根据零点的定义直接判断A 选项，求导判断函数的单调性与极值情况，可判断BD 选项，根据函数图像的对称性可判断C 选项.【详解】对于A ，令()()()2120f x x x =+-=，解得1x =-或2x =，所以()f x 有两个零点，故A 选项错误；对于B ，由()()()()22212133f x x x x x =+-++=-¢，令()2330f x x -¢==，解得1x =-或1x =，当1x <-或1x >时，f ′(x )>0，即()f x 在(),1¥--和(1,+∞)上单调递增，当11x -<<时，f ′(x )<0，即()f x 在(−1,1)单调递减，所以1x =是()f x 的极小值点，故B 选项正确；对于C ，因为()()()()()()2212124f x f x x x x x -+=-+--++-=-，则()f x 的图象关于点()0,2-中心对称，故C 选项正确；对于D ，当x ∈(−1,1)时，()f x 单调递减，则当01x <<时，()f x 单调递减，又当01x <<时，2x x >，所以()()2f x f x <，故D 选项错误；故选：BC.11. 曲线E 上任点(),P x y ，满足点P 到定点()0,5F 的距离与到定直线1y =的距离之和为6，则下列说法中正确的有（ ）A. 曲线E 经过原点B. 曲线E 关于y 轴对称C. 曲线E 上点的横坐标的取值范围为éëD. 直线3y x =+被曲线E 截得的线段长为8-【答案】ABD 【解析】16y +-=，即可化简，作出函数图象即可求解AB ，结合抛物线的性质即可求解C ，联立方程，即可求解D.，【详解】设点P (x,y )，因为点P 到定点()0,5F 的距离与到定直线1y =的距离之和为6，16y +-=，当1y ³7y =-，两边同平方，得()242416x y y =-+££；当1y £5y =+，两边同平方，得()22001x y y =££，对于A ，如图，曲线E 过原点，A 正确；对于B ，由图易知，两段抛物线弧均关于y 轴对称，故曲线E 关于y 轴对称，B 正确；对于C ，若点P (x,y )在()242416x y y =-+££上，得242420x y =-+£，所以x -££若点P (x,y )在()22001x y y =££上，同理得x -££C 错误；对于D ，由()2424163,x y y y x ì=-+££í=+î，得25x y =ìí=或63x y =-ìí=-î（舍去），由()220013x y y y xì=££í=+î，得1013x y ì=-ïí=-ïî或1013x y ì=+ïí=+ïî（（舍去），故3y x =+与曲线E 交于点()(2,5,10P Q --，则1PQ k ==，可得28Q PQ x =-=--=，D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题的关键是由两点间距离公式推导出函数的表达式，再根据yy 的取值范围去掉绝对值符号，得到分段函数.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12. 二项式6的展开式中3x 的系数是__________.【答案】60【解析】【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解.【详解】6的展开式的通项为36662166C )(1)C kk k k k k k k T x---+æ=×=-çè.令3632k -=，则2k =，故3x 的系数是26226(1)C 41560--=´=.故答案为：6013. 在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为4cm ，母线长最短5cm ，最长8cm ，则斜截圆柱的体积为__________3cm【答案】26π【解析】【分析】将如图所示的相同的两个几何体拼接为圆柱，求出圆柱的体积即可得答案.【详解】将如图所示的相同的两个几何体拼接为圆柱，则圆柱底面半径为2cm ，高为()8513cm +=，体积为()23π21352πcm´´=，则该几何体的体积为圆柱体积的一半，即()3152π26πcm 2´=.故答案为：26π14. 若直线y kx =（k 为常数）与曲线()ln f x x =，曲线()e xg x a =均相切，则a =__________.【答案】21e 【解析】【分析】设出切点，求导，根据点斜式求解切线方程，根据两直线相等，列方程可得11e,ex k ==，进而代入()00,ex x a 在直线1ey x =上，求解.【详解】因为()()ln ,0,f x x x ¥=Î+，所以()1f x x¢=，设直线y kx =与f (x )=ln x 的切点为()11,ln x x ，则切线方程为()1111ln y x x x x -=-，即111ln 1y x x x =+-，又因为y kx =，所以111,ln 10,k x x ì=ïíï-=î解得11e,e x k ==，所以切线方程为1e y x =，因为()e xg x a =，所以()()'e exxg x a a =¢=，设直线1ey x =与()e x g x a =的切点为()00,e x x a ，所以()001e e x g x a =¢=①，又因为切点()00,e x x a 在直线1e y x =上，所以001e e xa x =②，由①和②可得01x =，所以1e ea =，解得21e =a .故答案为：21e四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15. 在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知cos2cos cos sin sin A B C B C =-.（1）求角A 的大小；（2）已知6,a c ==求ABC V 的面积.【答案】（1）π3A = （2）【解析】【分析】（1）由两角和的余弦公式化简结合二倍角的余弦公式即可求出cos A 的值，进而可求角A ；（2）由余弦定理可得b ，再利用三角形面积公式即可求出.【小问1详解】因为()()cos2cos cos sin sin cos cos cos A B C B C B C A A p =-=+=-=-，即22cos 1cos A A -=-，解得1cos 2A =或cos 1A =-.因为在ABC V 中，0πA <<，所以π3A =.【小问2详解】在ABC V 中，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222162b =+-´，整理得2240b --=，由0b >，解得b =，所以ABC V 的面积为11sin 22ABC S bc A ==´=V 16. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 是边长为2的菱形，其对角线交于点O .且AO ^平面11BB C C .（1）求证：1B C ^平面1ABC ；（2）若160,B BC OA OB Ð==o，求平面1ABC 与平面ABC 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）通过证明11B C BC ^，1AO B C ^可证明结论；（2）方法1，如图建立空间直角坐标系，求出平面1ABC 与平面ABC 的法向量，然后由空间向量知识可得答案；方法2，取AB 中点D ，连接,OD CD ，由题可得平面1ABC 与平面ABC 的夹角即为ODC Ð，然后可得答案.【小问1详解】证明：因为四边形11BB C C 是菱形，所以11B C BC ^，又因为AO ^平面11BB C C ，且1B C Ì平面11BB C C ，所以1AO B C ^.又11AO BC O AO BC Ç=Ì，，平面1ABC ，所以1B C ^平面1ABC .【小问2详解】方法1，由12BB =，四边形11BB C C 为菱形，160B BC Ð=o，则1BB C △是边长为2的等边三角形.所以11sin6021OC OB BC OB OC OA OB ========o ，.因为AO ^平面111BB C C OB OB ^，，则以点O 为坐标原点，1OB OB OA ，，所在直线分别为x y z ，，轴建立如图所示的空间直角坐标系.则)()()(()110,1,00,1,0BC B A C -，，，，，则()1,0AB BC ==-uuu r uuu r，，设平面ABC 的一个法向量为n =(x,y,z )，则0n AB n BC y ì×==ïí×=-=ïîuuu r r uuu r r，取1x =，则1y z ==，故()1,n =r ，易知平面1ABC 的一个法向量为()0,1,0m =r，则平面1ABC 与平面ABC 夹角q的余弦值cos =cos m qr ，故平面1ABC 与平面ABC方法2，由12BB =，四边形11BB C C 为菱形，160B BC Ð=o，则1BB C △是边长为2的等边三角形，所以11sin6021,OC OB BC OB OC OA OB ========o ，所以AB ==.取AB 中点D ，连接OD CD ，，在等腰直角V AOB 中，OD AB ^且12OD AB ==由勾股定理得2AC ==.因为2BC AC ==，则CD AB ^，CD ===.注意到,OD AB CD AB ^^，平面1ABC I 平面ABC AB =，所以平面1ABC 与平面ABC 的夹角即为ODC Ð.在ODC V 中，1OC OD CD ===，，则222OC OD CD +=，即OC OD ^cos OD ODC CD ÐÞ==故平面1ABC 与平面ABC17. 已知函数()1ln ,f x x a x a =--ÎR .（1）判断函数()f x 的单调性；（2）若()0f x ³恒成立，求a 值.【答案】（1）答案见解析 （2）1a =【解析】【分析】（1）先求出函数()f x 的导函数()f x ¢；再分0a £和0a >两种情况，利用导数的方法分别判定单调性即可.（2）由（1）中函数单调性，当0a £时，根据函数单调性，以及()10f =，可判断当()0,1x Î时，()0f x <，不符合题意；当0a >时，根据函数单调性，得到min ()1ln f x a a a =--，再令()()1ln 0g a a a a a =-->，对其求导，根据导数的方法求出其最值，即可结合题中条件求出结果.【小问1详解】函数()f x 的定义域为()()0,,1a x af x x x¥¢-+=-=，当0a £时，()0f x ¢>恒成立，()f x 在()0,¥+上单调递增.当0a >时，由()0f x ¢<，得()0,x a Î，由()0f x ¢>，得(),x a Î+¥，则函数()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +¥上单调递增.综上，当0a £时，()f x 在()0,¥+上单调递增；当0a >时，()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +¥上单调递增.【小问2详解】由（1）知，当0a £时，()f x 在()0,¥+上单调递增，由()10f =，知当()0,1x Î时，()0f x <，不符合题意；当0a >时，函数()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +¥上单调递增，故()min ()1ln f x f a a a a ==--，由()0f x ³恒成立，得1ln 0a a a --³恒成立，令()()1ln 0g a a a a a =-->，求导得()ln g a a ¢=-，的当01a <<时，()0g a ¢>，当1a >时，()0g a ¢<，于是函数()g a 在()0,1上单调递增，在()1,+¥上单调递减，所以()max ()10g a g ==，故()1ln 0g a a a a =--£恒成立，因此()()10g a g ==，所以1a =.18. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点为12(2,0),(2,0)F F -，P 为椭圆上一点且12PF F V的周长为4+.（1）求椭圆C 的方程.（2）若直线l 过点2F 交椭圆C 于,A B 两点，且线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点1,02M æöç÷èø（i ）求直线l 的方程；（ii ）已知点()4,0Q -，求ABQ V 的面积.【答案】（1）22184x y +=（2）（i）20x --=或20x +-=；（ii）【解析】【分析】（1）根据条件列方程，求出228,4a b ==，即可得答案；（2）（i ）判断直线斜率存在，联立椭圆方程，可得根与系数关系式，结合题意可得1MN k k ×=-，化简即可求得答案；（ii ）利用弦长公式求出AB ，再求出Q 到直线AB 的距离，即可求得答案.【小问1详解】根据题意有2222224c a c b a c =ìï+=+íï=-î，解得228,4a b ==，所以椭圆C 的方程为22184x y +=.【小问2详解】（i ）若直线l 的斜率不存在，其垂直平分线与x 轴重合，不符合题意；不妨设直线l 的方程为()2,y k x AB =-的中点为N ，设()()()112200,,,,,A x y B x y N x y ，l 与椭圆方程联立有222280y kx k x y =-ìí+-=î，整理得()2222128880k x k x k +-+-=，直线过椭圆焦点，必有0D >，则212221228128812k x x k k x x k ì+=ïï+í-ï×=ï+î，所以2120002242,221212x x k kx y k x k k k+===×-=-++，由题意知1MN k k ×=-，即220411612y k k k x ×=-=---，解得k =，即)2y x =-，整理得直线l的方程为20x --=或20.x +-=（ii）由弦长公式可知2ABx=-=2211121211k k ++====++，由直线的对称性，知点Q 到两条直线l的距离相同，即d ==，所以ABQ V 的面积为1122d AB =´=.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意D 的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、21x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.19. 已知数列{}n a 是由正整数组成的无穷数列.若存在常数*N k Î， 212n n n a a ka -+=对任意的*N n Î成立，则称数列{}n a 具有性质()Ψk .（1）若2n n a =，请判断数列{}n a 是否具有性质()Ψ2；（2）若数列{}n a 满足()11,2,3,...n n a a n +=³，求证：“数列{}n a 具有性质()Ψ2”是“数列{}n a 为常数列”的充要条件；（3）已知数列{}n a 中11a =，且()11,2,3,...n n a a n +>=.若数列{}n a 只有性质()Ψ4，求数列{}n a 的通项公式.【答案】（1）数列{}n a 不具有“性质()Ψ2” （2）证明见解析 （3）21n a n =-【解析】【分析】（1）根据性质()Ψ2的定义和递推公式结合放缩法判断即可；（2）先证明充分性，依题意可得2122n n n a a a -+=，即可得到22100n n n n a a a a -£-=-£，从而得12...n n n a a a +===，再根据定义证明必要性即可；（3）首先根据定义证明12n n a a +-³，然后利用反证法证明12n n a a +-£，即可得到12n n a a +-=，结合11a =即可得解.【小问1详解】2nn a =，对于212*111121222N ,222232n n n n n n nn a a n a ----++Î==+³+=，故2122n n n a a a -+¹，所以数列{}n a 不具有“性质()Ψ2”.【小问2详解】先证“充分性”：当数列{}n a 具有“性质()Ψ2”时，有2122n n n a a a -+=，又因为1n n a a +³，所以22100n n n n a a a a -£-=-£，进而有2n n a a =，结合1n n a a +³有12...n n n a a a +===，即“数列{}n a 为常数列”；再证“必要性”：若“数列{}n a 为常数列”，则有212122n n n a a a a -+==，即“数列{}n a 具有”性质()Ψ2".【小问3详解】首先证明：12n n a a +-³，因为{}n a 具有"性质()Ψ4"，所以2124n n n a a a -+=，当1n =时，有2133a a ==，又因为*212,,N n n n a a a -Î，且221n n a a ->，所以有22121,21n n n n a a a a -³+£-，进而有221121122n n n n a a a a +++££-£-，所以()123n n a a +-³，结合*1,N n n a a +Î可得12n n a a +-³，然后利用反证法证明：12n n a a +-£，假设数列{}n a 中存在相邻的两项之差大于2，即存在*N k Î满足：2123k k a a +-³或22213k k a a ++-³，进而有()()()122212214k k k k k k a a a a a a +++--=+-+()()()()()()222212122212122122219k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a ++-++++-éùéù=-+-=-+-+-+-³ëûëû，又因为*1N k k a a +-Î，所以13k k a a +-³，依此类推可得：213a a -³，矛盾，所以有12n n a a +-£，综上有12n n a a +-=，结合11a =可得21n a n =-，经验证，该通项公式满足2124n n n a a a -+=，所以21n a n =-.【点睛】本题考察数列新定义问题，考察学生获取新知识、应用新知识的能力，难度较大.。
