2.2求导法则及运算

们有如下求导法则：即
y x yu u v v x




y f (u) (v) ( x)
熟悉了复合函数的求导法则后，中间变 量默记在心，由外及里、逐层求导。
例2、（1） 求 y (3x 2) 的导数
5
（2）求
y cos x 的导数
2
（3）求 y ln sin 4 x 的导数 （4）求
5
(2) 求函数
y ln(1 x ) 的导数
2
(3)求函数 (4)求函数 y
y cos x
2
的导数
e
tan x
的导数
(5)求y ln sin x的导数
复合函数的求导法则可推广到有限次复合的情形。
如设 y f (u), u (v), v ( x), 那么对于复合函数 y f {[ ( x)]}，我
/ x / /
或记作 y y .u
/ / u
/ x
求 y sin 2 x 的导数
因为
y sin u
u 2x
u x (sin u ) 于是 y x yu u (2 x) x
cosu 2 2 cos 2 x
二、举例
例1:(1) 求函数 y (3x 2) 的导数
复合函数的求 导法则
一、复合函数的求导法则
1、引例
(1)求 解1 解2ຫໍສະໝຸດ y sin 2 x 的导数
y (sin 2 x) cos 2 x
因为 所以
y sin 2 x 2 sin x cos x
y 2[(sin x) cos x sin x(cos x)]

3cos2 x2 (sin x2)(x2)
3cos2 x2 (sin x2) 2x 6xsin x2 cos2 x2
（2） y ln( x 1 x2 )
解： y [ln(x 1 x2 )]
1
(x 1 x2 )
x 1 x2
1 (1 1 (1 x2 )) x 1 x2 2 1 x2
例 1．求下列函数的导数
（1） y x5 x 13x cos x ；
x3
解：
y
x2
x
5 2
x
3
3x
cosx
，
y
(
x2
)
(x
5 2
)(
x3
)(3x
)co
sx
3x
(cosx)
2x
5
7
x2
3x
4
3x
ln3cosx
3x
sin
x
。
2
（2） y x3 sin x(ln x 1 )
x
解： y[x3 sin x(ln x 1 )] x
解： f (e) 2 ，
∵ f (x) 在x e 的某邻域内是严格单调增加的连续函数，
且
f
(e)
(1 x
3x2 e3
)
xe
4 e
0
，
∴ ( f 1)(2) 1 e 。 f (e) 4
例 7．（1）求 y arcsin x ，x (1, 1) 的导数。
解：∵ y arcsin x 在(1, 1) 内严格单调增加且连续，
§2.2 求导法则与导数公式
2.2.1 若干基本初等函数的导数
1.(C)0 ；
2.(x ) x1 (R) ；

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复合函数的求导法则: dy = f ′(u)⋅ g′(x) 或 dy = dy ⋅ du . dx dx du dx
求 dy . 例10 y = ln sin x, dx
解 dy =(ln sin x)′= 1 ⋅(sin x)′ = 1 ⋅cosx=cot x . dx sin x sin x dy 3 2 , 求 例11 y = 1−2x ． . dx 1 dy −4x 1 (1−2x2)− 2 ⋅(1−2x2)′ = 2)3 ]′ = 解 3 =[( −2x 1 . 3 ( −2x2)2 dx 3 3 1 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形. 例如, 设y=f(u), u=ϕ(v), v=ψ(x), 则
详细证明 首页 上页 返回 下页 结束 铃
复合函数的求导法则: dy = f ′(u)⋅ g′(x) 或 dy = dy ⋅ du . dx dx du dx 例8 y=ex3 , 求 dy . 9 dx 解 函数 y=ex3可看作是由y=e u, u=x3复合而成的, 因此
dy dy du u 2 = ⋅ =e ⋅3x =3x2ex3 . dx du dx dy 例9 y =sin 2x2 , 求 . 10 1+ x dx 解 函数 y =sin 2x 是由 y=sin u , u = 2x 复合而成的, 1+ x2 1+ x2 dy dy du 2(1+ x2) −(2x)2 2(1− x2) = ⋅ =cosu⋅ = ⋅cos 2x2 . 因此 dx du dx (1+ x2)2 (1+ x2)2 1+ x
u(x) u′(x)v(x) −u(x)v′(x) >>> [ ]′ = . 2(x) v(x) v

§2.2 导数的基本公式与运算法则利用定义 xy x ∆∆→∆0lim 求函数()x f y = 的导数是比较复杂的。

自然希望有一些基本公式和运算法则来简化求导过程。

（一） （二） 幂函数的导数公式：（三） 若()x u ，()x v 都可导，则此公式可以推广为()()()[]()()()x u x u x u x u x u x u n n '+⋅⋅⋅+'+'='+⋅⋅⋅++2121.（四） 乘积的导数公式：()()[]()()()()x v x u x v x u x v x u ⋅'+'⋅='⋅.即当 ()c x u = 时，则有或写为如果计算()()()[]'⋅⋅x w x v x u 可以用如下步骤：()()()[]()()[]()()()[]()x w x v x u x w x v x u x w x v x u '⋅⋅+⋅'⋅='⋅⋅()w uv w v u vw u w uv w v u v u '+'+'='+'+'=（五）商的导数特别，当c u =而21)1(xx -='. (六) 对数的导数这是因为.log 1log log 111ln 1)'(ln ln 1)'ln ln ()'(log e xea x x a x a a x x a a a a ⋅=⋅=⋅=== （七） 三角函数的导数（1利用 xx x sin cos cot = 可证明 利用 xx cos 1sec =，可证明 ()().cot csc csc .tan sec sec 'x x x x x x ⋅-='⋅= （八） 复合函数的求导法则定理2.1 设函数()u f y = 与 ()x u ϕ= 构成复合函数()[]x f y ϕ=. 若 ()x u ϕ= 在点x 处有导数()x u x ϕ'='，且()u f y=在对应点u 处有导数 ()u f y u'='，则复合函数 ()[]x f y ϕ= 在点x 处也有导数，且对于多层复合函数，有类似求导法则。