函数及其图象

函数及其图象　专题研究熊　

（山东省枣庄市第九中学　２７７１００）　秦　振　

函数描述了量与量之间的某一个过程中互相依存、互　同的函数的个数是（　）　相制约的关系．函数思想是一种通过构造函数实现问题转　（Ａ）０．　（Ｂ）１．　（Ｃ）２．　（Ｄ）３．　

化的思想方法，也就是用运动的观点构建数学关系，并通　分析：判断两个函数是否同一函数，根据函数的定义：　过分析、研究具体问题中的数量关系和运用函数知识，使　首先把解析式化简、变形后。看是否相同；然后看自变量的　

问题得到解决．　取值范围是否相同（不可化简、变形）；当以上两方面都相　

同时，这两个函数就是相同的函数．　

§３．１　函数图象及其性质　

争’争‘争‘争‘争‘．　学习提示仑　。　．÷．÷．÷．々．÷　１．函数：设在一个变化过程中有两个变量ｚ和　，如　

果对于ｚ的每一个值，　都有唯一的值与它对应，那么就说　

ｚ是自变量．　是ｚ的函数．　函数概念的意义是：　

（１）函数概念的本质是一个变化过程中有两个变量ｚ　

和　．研究它们之间的关系，其对应关系又称为对应法则；　

（２）变量ｚ必须在其允许范围内取值，这些值组成了　

自变量ｚ的取值范围；　（３）对于ｚ的每一个值，　都有唯一的值与它对应，所　

有的　的值．组成了函数值的范围．函数的自变量取值范　

围、函数值的范围及对应法则统称为函数的三要素．　

２．函数的图象：对于一个函数．如果把自变量ｚ和函　数３Ｊ的每一对对应的值分别作为点的横坐标和纵坐标．在　

坐标平面内就有一个相应的点．由这样的点的全体所组成　的图形．叫做这个函数图象．　

３．求函数自变量取值范围：会求解析式为整式、分式、　

根式以及函数涉及实际问题时自变量的取值范围．　

４．求函数值的范围：着重掌握特殊点的函数值的求　

法．　

５．函数的表示方法：一般有解析法、列表法和图象法．　

’　６．函数性质：（１）一些简单函数的函数值随自变量的　变化而增加或减少的自变量的取值范围；（２）一些简单函　

数的对称问题；（３）函数图象的特殊点．　

—警察　争‘争‘争・争・争‘　媳　｜一　裳３　

例１　下面各函数：①　—ｌ　ｚ　ｌ；②　一（　）　；　

③　一　ｚ　；④　一　；⑤　一　中与函数　—ｚ相　…　．．ｆｚ（ｚ≥０）　解‘①　一　一｛一　＜０）．１一Ｚ　Ｚ＜、Ｕ，；　

②　一（　）　一　（　≥ｏ）；　

③　一　－一｛二　

④　一　一ｚ（ｚ≠ｏ）；　

⑤　一　一ｚ．．・．只有　—　与　—ｚ相同．　

．’．应选（Ｂ）．　

说明：函数值的范围是由函数解析式和自变量的取值　

范围确定的，因此判断两个函数是否相同，只要看函数的　

取值范围和解析式是否相同就可以了．　

例２　如图１，下列图形可以表示函数关系的是　

（　）　

／一３　Ｏ　＼～　（Ａ）　

／　／／３　／　Ｏ　－ｙ　

Ｏ　

（Ｂ）　－ｙ　＜　

Ｏ　

（Ｃ）　（Ｄ）　

图１　分析：由函数的定义知：对于给定的一个ｚ的值，与它　

对应的　值是否能唯一确定，如能，则是函数关系；若不　能，则不是函数关系．　解：在四个选项中，只有（ｃ）满足函数定义，故选（Ｃ）．　说明：图形是否表示函数关系，不能只看图形的“形　

象”主观臆断，而是验证它是否满足函数定义．　例３　一学生骑自行车上学，开始以匀速行驶，但是，　

行驶中途，因为自行车出了故障，只好停下来修车。车修好　■　ｔ）０　年１１月下半月　ｉｌ－　一　—　＿＿ｉ

　维普资讯 http://www.cqvip.com 讯ｌ　●●　Ｎ　０　０　车　

＿　月　

豢　月　专题研究　

后，因怕耽误上课，他比修车前加快骑车速度继续匀速行　

驶到达学校．下面是行驶路程Ｓ关于行驶时间ｔ的函数图　

象，如图２，那么符合这个同学行驶情况的图象大致是　

（　）　

（Ａ）　（Ｂ）　

．　图２　分析：由题意知。上学路上分成三个过程：开始匀速行　

驶，然后停下修车，最后修好车后加快速度继续匀速行驶．　

找到这三个过程ｔ与Ｓ的对应关系即可．　

解：图（Ａ）表示自行车修好后，不再继续骑行；图（Ｃ）、　

（Ｄ）表示中途没有停下修车，故选（Ｂ）．　说明：此题的解题关键是找停下修车的图象．因为路　

程不变，反映在图象上就是图象与ｔ轴平行的部分．　

例４　已知函数图象如　图３，根据图象　

（１）确定自变量ｚ的取　

值范围；　（２）求当ｚ一０．４时Ｙ　

的对应值；　

（３）求当ｙ＝０，一２时　

对应的ｚ的值；　Ｄ　４　

。　２　Ｉ　ｔ　Ｉ　ｌ　Ｉ　．＼。　＼　／０　１　｜三　二１一一１　

一一　．－２　ｔ　Ｂ　

图３　

（４）当ｚ为何值时，函数值Ｙ最大？　

（５）当ｚ为何值时，函数值Ｙ最小？　

（６）当Ｙ的值随ｚ的值增大而增大时．求相应的ｚ的值　

在什么范围？　

（７）当ｙ的值随ｚ的值增大而减小时，求相应的ｚ的值　

在什么范围？　

分析：（１）自变量ｚ的取值范围就是图象上从最左边　

端点Ａ的横坐标到最右边端点Ｅ的横坐标；　

（２）观察图象求函数值；　

（３）由图象上的信息求对应的ｚ的值；　（４）函数的最大值就是函数图象上最高点的纵坐标；　

（５）函数的最小值就是函数图象上最高低的纵坐标；　

（６）从图象上找“上升”的曲线对应的ｚ；　

（７）图象上“下降”的曲线对应的ｚ．　解：（１）自变量ｚ的取值范围是一３≤ｚ≤４；　（２）当ｚ一０时，Ｙ一２；当ｚ一４时，Ｙ一一ｌ；　

（３）当ｙ一０时。ｚ＝一２．５或一ｌ或３；当Ｙ一一２时，　

ｚ一一２；　（４）当ｚ＝ｌ时，Ｙ的值最大。此时Ｙ一４；　

（５）当ｚ一一２时，Ｙ的值最小，此时Ｙ一一２；　（６）当ｙ的值随ｚ的值增大而增大时，相应的ｚ的值范　

围是一２≤ｚ≤ｌ；　（７）当ｙ的值随ｚ的值增大而减小时，相应的ｚ的值范　

围是一３≤ｚ≤一２或ｌ≤ｚ≤４．　

说明：用图象表示函数，形象、直观，却不精细。因此利　用图象观察的数值可能是近似值．　

１　Ｏ　例５　如图４。已知反比例函数Ｙ一兰的图象和一次　工　函数Ｙ一妇一７的图象都经过点Ｐ（ｍ，２）．　

（１）求这个一次函数的解析式；　

（２）如果等腰梯形ＡＢＣＤ的顶点Ａ、Ｂ在这个一次函　

数图象上，顶点Ｃ、Ｄ在这个反比例函数图象上，两底ＡＤ，　

ＢＣ与Ｙ轴平行，且Ａ和Ｂ的横坐标分别为ａ和ａ＋２，求ａ　的值．　

分析：（１）因为反比例函数图象　

和一次函数图象都经过Ｐ（ｍ。２）　１　Ｏ　点。可以先把Ｐ（ｍ，２）代人ｙ一兰　

求出ｍ的值．然后代人Ｙ一妇一７　

求出　即可．　（２）因为四边形ＡＢＣＤ是等腰　

梯形。可以利用ＡＢ—ＣＤ列方程，　

解方程就可求出ａ的值．　二ｙ　

０　

图４　

解：（１）・．・点Ｐ（ｍ．２）在函数　一１＿２的图象上．．．．ｍ　

一６．又。．‘函数ｙ一妇一７图象经过Ｐ（６，２），得６ｋ一７—　

２　．　一导．　．这个一次函数的解析式是　一导ｚ一７．　

（２）‘．’点Ａ和Ｂ的横坐标分别为ａ和ａ＋２，　

．Ａ（ｎ，　３　ｎ一７）、Ｂ（ｎ＋２。导ｎ一４）、　

ｃ（ｎ＋２＇　）、Ｄ（ｎ，　

‘　ＡＢ—ＣＤ　．２ｚ　＿２ｚ＋（　一　）ｚ＇　

即　１２一旦ａ一±３．当ａ　一旦ａ一３时．　ｎ十　十　化简得ｎ。＋２ａ＋８—０，方程无实解　

当　邑一詈一一３时。化简得ｎ。＋２ｎ一８一ｏ，　

解得ａ一一４．ａ一２．经检验都是所求的解．　说明：通常所求解析式中有几个参数就要设法找到几　

个条件。列方程求解．目前．函数综合题是各种考试的热　点．廊弓ｌ起大家的雷视。加强练习．　鼍第　研　维普资讯 http://www.cqvip.com 例６　设函数，（ｚ）一船　＋ｂｘ　＋Ｃ．Ｘ一５，其中口、ｂ、ｃ　

为常数．已知，（一７）一７，求，（７）的值．　分析：此题已知条件较少，不可能用常规方法求口、ｂ、ｃ　

的值．确定，（ｚ）的解析式．观察，（ｚ）一船　＋　＋Ｃ．Ｘ一　５的特点，及，（一７）与，（７）关系可知，，（ｚ）表达式的前三　

项都是奇次式，，（一７）与，（７）是互为相反数的函数值，利　

用这些特征就可求出，（７）的值．　解：由，（一７）一７，得　

ａ・（一７）　＋ｂ・（－－７）　＋ｃ・（一７）一５—７，　

即ａ・７　＋ｂ・７　＋ｃ・７一一１２．　

．。．，（７）一ａ・７　＋ｂ・７。＋ｃ・７—５　

一一１２—５一一１７．　评注；解函数问题，数式变换的要求较高．因此根据已　

知条件合理变换表达式的形式也是一种技能．　

暖》　

一、选择题　

ｌ＿下列四个图形中如图，表示函数图象的是（　）　

（Ａ）　（Ｂ）　（Ｄ）　

（第１题）　２．下列函数中，图象一定过原点的是（　）　

（Ａ）　一２ｚ＋３．　（Ｂ）　＝　１－－ｘ．　

（ｃ）　—　．　（Ｄ）　一船。＋ｚ一２　

３．如图，函数　—Ｔ＿　Ｘ　的图象是（　）　

．ｙ　

．ｚ　Ｏ　（Ａ）　．ｙ　

Ｏ　

（Ｂ）　．ｙ　

Ｏ　

（Ｃ）　（Ｄ）　

（第３题）　

４．下面式子中．表示Ｘ的函数的是（　）　

（Ａ）Ｙ＝　（ｚ＜０）．　（Ｂ）一３ｘ。＋Ｙ一１．　

（Ｃ）２ｚ＋５ｙ．　（Ｄ）Ｙ＝－４－（ｚ＋１）。．　专题研究垒　

５．已知Ｙ一一ｚ＋３，当０≤Ｘ≤３时，函数Ｙ的最大值　

为（　）　（Ａ）０．　（Ｂ）３．　（Ｃ）一３．　（Ｄ）无法确定．　

０ｃ　６．已知点（ｚ１．一１）、（ｚ２，一竿）、（ｚ　．一２５）在函数　

１　Ｙ＝一　的图象上．则下列关系式正确的是（　）　Ｚ　（Ａ）　１＜Ｘ２＜Ｘ３．　（Ｂ）　】＞Ｘ２＞Ｘ３．　（Ｃ）Ｘ１＞Ｘ３＞Ｘ２．　（Ｄ）ｚ１＜Ｘ３＜Ｘ２．　

７．父亲节，学校校报登出了某同学回忆父亲的小诗：　

“同辞家门赴车站，别时叮咛语千万．学子满载信心去，老　父怀抱希望还．”如果用纵轴Ｙ表示父亲和学子在行进中　离家的距离，横轴Ｘ表示离家的时间，下面图形如图，与上　

述诗意大致相吻合的图象是（　）　

（Ａ）　（Ｂ）　

（Ｃ）　（Ｄ）　

（第７题）　二、填空题　

８．函数　一　刍＋　笔　的自变量ｚ的取值范　

围是　．　９．写出一个图象经过点（－－１，一１）．且不经过第一象　

限的函数表达式　．　

１０．函数Ｙ一｛（１≤ｚ≤５）的最大值——，最小值　

ｌ１．如图，Ｐ是反比例函数图象　

在第二象限的一点，且矩形ＰＥＯＦ　

的面积为３，则反比例函数解析式为　

１２．点Ｐ（ｍ，ｎ）即在　

＝一　（ｚ＞０）图象上，又在ｙ　

～Ｘ　２的图象上，则以ｍ、　为根　

的一元二次方程为　

三、解答题　｜　．ｙ　Ｐ　Ｆ　

Ｅ　ｏ　

（第ｌ１题）　

１３．已知两直线　一一号ｚ＋３和　一２ｚ一１，求它们　

与Ｙ轴所围成的三角形的面积．　掌ｌ　教ｌ　掌Ｉ　通ｌ　讯ｌ　

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