二次函数讲义

二次函数

重要知识点和典型例题

知识点一、二次函数的解析式三种形式

定义：一般地，如果cbacbxaxy,,(2是常数，)0a，那么y叫做x的二次函数.

二次一般式 y=ax2 +bx+c(a≠0) 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。x是自变量，y是x的函数。

顶点式 2()yaxhk 224()24bacbyaxaa

交点式 12()()yaxxxx

（1）一般式：cbxaxy2.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.

（2）顶点式：khxay2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标1x、2x，通常选用交点式：21xxxxay.

例1、二次函数的顶点坐标为 .

例2、二次函数y=2(x+3)(x-1)的x轴的交点的个数有_______个，交点坐标为_____.

例3、已知抛物线y=ax2+bx+c经过点（－1,5）、（1,1）及（2,2），求它的解析式。

例4、已知某抛物线过点（0，1），它的顶点坐标是（2,－1），求这条抛物线的角析式。

例5．物线与x轴的交点（-1，0）（3，0）且过点（1，4），求此二次函数的解析式．

知识点二、函数的图像和性质

1.二次函数2axy的性质

(1)抛物线2axy）（0a的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.(2)函数2axy的图像与a的符号关系.

①当0a时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当0a时抛物线开口向下顶点为其最高点

2.几种特殊的二次函数的图像特征如下：

函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标

2axy

当0a时

开口向上

当0a时

开口向下 0x(y轴) (0,0)

kaxy2 0x(y轴)

(0,

k)

2hxay hx (h,0)

khxay2 hx (h,k)

cbxaxy2 abx2 (abacab4422，)

增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大

当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小

3.二次函数 cbxaxy2的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线.

4.二次函数cbxaxy2用配方法可化成：khxay2的形式，其中abackabh4422，.

5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

①2axy；②kaxy2；③2hxay；④khxay2；⑤cbxaxy2.

6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

①a决定抛物线的开口方向：

当0a时，开口向上；当0a时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于y轴(或重合)的直线记作hx.特别地，y轴记作直线0x.

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

9.抛物线cbxaxy2中，cba,,的作用

(1)a决定开口方向及开口大小，这与2axy中的a完全一样.

(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线cbxaxy2的对称轴是直线abx2,故：

①0b时，对称轴为y轴；②0ab(即a、b同号)时,对称轴在y轴左侧；

③0ab(即a、b异号)时,对称轴在y轴右侧.

(3)c的大小决定抛物线cbxaxy2与y轴交点的位置.

当0x时，cy，∴抛物线cbxaxy2与y轴有且只有一个交点(0，c)：

①0c，抛物线经过原点; ②0c,与y轴交于正半轴；③0c,与y轴交于负半轴.

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 0ab.

例1、已知抛物线mmxmy2)1(的开口向下，则m的值为 。

例2、抛物线与的形状相同，则=

例3、二次函数y=－x2＋6x－5，当 时， 随的增大而减小. 例4、二次函数 的图象，如图所示，根据图象可得a、b、c与0的大小关系是（ ）

A．a＞0，b＜0，c＜0 B．a＞0，b＞0，c＞0

C．a＜0，b＜0，c<0 D．a＜0，b＞0，c＜0

例5、若抛物线的开口向下，顶点是（1，3），随的增大而减小，则的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

知识点三、二次函数的对称性

求抛物线的顶点、对称轴的方法

(1)公式法：abacabxacbxaxy442222，∴顶点是），（abacab4422，对称轴是直线abx2.

(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为khxay2的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是hx.

(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★

例1、分别运用公式法和配方法将二次函数y=x2－4x+ 6化为 y=(x—h)2+k的形式：y=___________.

例2、二次函数y=-x2+6x+3的图象顶点为_________对称轴为_________.

例3、已知点A（2，），B（4，）在二次函数的图像上，则 .

例4、二次函数y=(x-1)(x+2)的顶点为_________,对称轴为________.

例5、y=x2-3x-4与x轴的交点坐标是__________,与y轴交点坐标是____________.

例6、若二次函数24yaxbx的图像开口向上，与x轴的交点为（4，0），（-2，0）知，此抛物线的对称轴为直线x=1，此时121,2xx时，对应的y1 与y2的大小关系是（ ）

A．y1 y2 D.不确定

例7、二次函数的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（ ）

A．＝4 B. ＝3 C. ＝－5 D. ＝－1.

知识点四、图像平移步骤

（1）配方 2()yaxhk，确定顶点（h,k） （2）对x轴 左加右减；对y轴 上加下减

例1、把函数y＝－2x2的图像向＿＿平移＿＿个单位，再向＿＿平移＿＿个单位，就得到函数

y＝－2（x－2）2＋3的图像。

例2、把函数的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的二次函数解析式 是 .

知识点五、函数的交点问题

1、直线与抛物线的交点

(1)y轴与抛物线cbxaxy2得交点为(c,0)

(2)与y轴平行的直线hx与抛物线cbxaxy2有且只有一个交点(h,cbhah2).

(3)抛物线与x轴的交点

二次函数cbxaxy2的图像与x轴的两个交点的横坐标1x、2x，是对应一元二次方程

02cbxax的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

①有两个交点0抛物线与x轴相交；

②有一个交点(顶点在x轴上)0抛物线与x轴相切；

③没有交点0抛物线与x轴相离.

(4)平行于x轴的直线与抛物线的交点

同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是kcbxax2的两个实数根.

(5)一次函数0knkxy的图像l与二次函数02acbxaxy的图像G的交点，由方程组

cbxaxynkxy2的解的数目来确定：

①方程组有两组不同的解时l与G有两个交点;

②方程组只有一组解时l与G只有一个交点；③方程组无解时l与G没有交点.

(6)抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线cbxaxy2与x轴两交点为0021，，，xBxA，由于1x、2x是方程02cbxax的两个根，故

acxxabxx2121,

aaacbacabxxxxxxxxAB444222122122121

2、二次函数与一元二次方程的关系：

(1)一元二次方程cbxaxy2就是二次函数cbxaxy2当函数y的值为0时的情况．

(2)二次函数cbxaxy2的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数cbxaxy2的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当0y时自变量x的值，即一元二次方程02cbxax的根．

(3)当二次函数cbxaxy2的图象与x轴有两个交点时，则一元二次方程cbxaxy2有两个不相等的实数根；当二次函数cbxaxy2的图象与x轴有一个交点时，则一元二次方程02cbxax有两个相等的实数根；当二次函数cbxaxy2的图象与x轴没有交点时，则一元二次方程02cbxax没有实数根

例1、已知抛物线24xy与直线1kxy有唯一交点，求k的值。

例2、 二次函数的值永远为负值的条件是 0， 0．

例3、二次函数y=3x与y轴交于B点,与x正半轴交于A点，求点A，B的坐标

例4、二次函数y=x2－2x－3与x轴两交点之间的距离为_________.

例5、已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为 ．

例6、函数与轴的交点坐标为 .

知识点六、二次函数的应用：

1、(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值；

(2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；

运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．

2、解决实际问题时的基本思路：(1)理解问题；(2)分析问题中的变量和常量；

(3)用函数表达式表示出它们之间的关系；(4)利用二次函数的有关性质进行求解；

(5)检验结果的合理性，对问题加以拓展等．

例1、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，