角接触球轴承动刚度的计算分析
赵耿，刘保国，冯伟，王攀
（河南工业大学机电工程学院，河南郑州 450001）
摘要：通过对轴承运动过程进行物理模型简化以及力学分析，运用MATLAB建立了角接触球轴承的刚度数值计算模型，经实例验证能很好地计算出不同参数下的轴承刚度。本文通过对7012C型角接触球轴承进行实例计算分析，发现：轴承刚度随着转速的提高呈减小趋势，但各方向刚度变化趋势存在不同；轴承钢球陀螺力矩以及离心作用惯性力随着转速增大逐渐增大；轴承刚度受轴承滚珠离心作用惯性力以及陀螺力矩的影响，轴承的刚度随着轴承滚珠离心作用惯性力及陀螺力矩的增大呈减小趋势。
关键词：轴承；角接触球轴承；轴承刚度；陀螺力矩；离心作用；Matlab
中图分类号：TH123；TH133.3 文献标志码：A DOI：
10.3969/j.issn.1674-9146.2017.08.075
高速电主轴作为高精密机床的核心部件，已成为世界各国的重点研究对象[1]，高速电主轴的研制能够为高精密数控机床系统提供更好的动力系统。角接触球轴承作为高速电主轴的主要支撑部件，其高速运行情况下的力学特性将会影响电主轴工作性能[2]。轴承刚度被视为衡量轴承性能的重要指标之一，它对轴承的负载能力、极限转速以及使用寿命有重要的影响。李纯洁等人研究发现随着预紧力的增大角接触球轴承的等效动刚度也随之增大，且当预紧力增大到一定范围时动刚度受预紧力影响明显变小[3]。王保民等人通过建立模型分析了预紧力对角接触球轴承的接触角、球的离心力和陀螺力矩的影响[4]。本文通过数值算法建立了轴承刚度计算模型，计算分析了在预紧力一定的情况下，角接触球轴承的动刚度在不同转速下刚度的变化，为高速电主轴主轴系统的模型建立提供数据支持。
1 数学模型的建立
该数学模型以Jones滚道控制理论为基础建立，运用Newton-Raphson迭代方法进行数值计算，在模型建立之前先做如下假设：一是轴承的几何形状理想；二是外圈固定，内圈相对于外圈做旋转运动；三是忽略钢球和内外圈沟道之间的摩擦力；四是轴承构件间的相互作用均符合Hertz接触理论；五是不计轴承内部油膜厚度和油膜阻力带来的影响[5]。
第76页图3为轴承受载前后，在第k个滚珠位置φk处，轴承的滚珠中心以及轴承内外圈沟道曲率中心在受载前后的位置相对变化。
假设外圈是固定不动的[5]，其沟道曲率中心位置也不受力的影响。因轴承受力以后，轴承滚珠及内圈受力后会发生相对变形，钢球中心以及内圈沟道曲率中心位置也都会随之发生变化，内外圈的接触角也随之发生变化。轴承受力变形前内外圈沟道曲率中心的相对距离为Bd，用公式表示为
轴承受力后，图3滚珠中心及内圈沟道曲率中心位置均发生变化，此时轴承的内外圈沟道曲率中心的径向及轴向距离分别为
图4为轴承在工作过程中的钢球受力情况。由于轴承工作过程中，滚珠会做绕轴承轴线的旋转运动，因而会产生离心作用惯性力。且滚珠在自转过程中，因自转轴线不断变化，导致陀螺力矩的产生。因此，在分析滚珠受力情况时，需要考虑滚珠所受的离心作用惯性力以及陀螺力矩。离心作用惯性力以及陀螺力矩分别为[6]：
轴承内圈作用在轴上的力为
3 实例计算及分析
以7012C型轴承为例，其轴承内径60 mm，轴承外径95 mm，轴承宽度18 mm，接触角15°，滚珠个数20，滚珠直径11 mm，内外圈沟道曲率半径系数0.52。将轴承初始参数输入MATLAB程序中，求得轴承刚度，将数据进行整理导入MATLAB绘图程序中，可得所需要的曲线。
图5所示曲线为角接触球轴承径向刚度及轴向刚度随主轴转速的变化曲线。由图5可以看出，径向刚度随着主轴转速的增加逐渐减小。在主轴转速为0 r/min时，径向刚度值最大为4.5×106 N/m，而当主轴转速增加到12 000 r/min时，此时径向刚度已经降到3.64×106 N/m，与最大径向刚度值相比减小了19%。轴向刚度同径向刚度一样也是随主轴转速的增加逐渐减小，但变化趋势不同。主轴转速为0
r/min时，轴向刚度值有最大值为2.25×107 N/m，而当主轴转速增加到12 000 r/min时，此时轴向刚度已经降到2.06×107 N/m，与最大轴向刚度值相比减小了8.4%。
图6为角接触球轴承角刚度随主轴转速的变化曲线。由图6可知，角刚度大小随主轴转速的增加逐渐减小，变化趋势与轴向刚度相似。当主轴转速为0 r/min时，角刚度有最大值为1.65×104 N/m，而主轴转速增加到12 000 r/min时，角刚度减小到1.52×104 N/m，与最大角刚度相比减少了7.9%。
图7所示为角接触球轴承滚珠所受离心力以及陀螺力矩与主轴转速的变化曲线。由图7可以看到滚珠离心作用惯性力大小随着主轴转速的增加也呈增加趋势。在主轴转速达到12 000 r/min时，滚珠离心作用惯性力达到约100 N。陀螺力矩的与离心作用惯性力的变化趋势
相似，都与主轴转速呈正相关关系，在主轴转速达到12 000 r/min 时，滚珠的陀螺力矩达到14 N·mm。
4 结论
一是在预紧力一定的情况下，轴承刚度包括径向刚度、轴向刚度以及角刚度都受主轴转速的影响，且随着主轴转速的增加呈减小趋势，且径向刚度和轴向刚度受转速变化影响更明显。二是通过图形分析，离心作用惯性力和陀螺力矩受主轴转速的影响，且随着主轴转速的增加，滚珠的离心作用惯性力和陀螺力矩随之增大。三是考虑到离心作用惯性力，特别是陀螺力矩的影响因素较多，随着轴承滚珠离心作用惯性力以及陀螺力矩的增大，必然引起轴承的振动以及不平衡进而影响轴承刚度，且轴承刚度会随着离心作用惯性力和陀螺力矩的增加呈减小趋势。
