2020年高考数学试题分项版—立体几何(解析版)
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2020年高考数学试题分项版——立体几何（解析版）
一、选择题
1.(2020·全国Ⅰ理，3)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )
A.5－14 B.5－12 C.5＋14 D.5＋12
答案 C
解析 设正四棱锥的底面正方形的边长为a，高为h，
侧面三角形底边上的高(斜高)为h′，
则由已知得h2＝12ah′.
如图，设O为正四棱锥S－ABCD底面的中心，E为BC的中点，
则在Rt△SOE中，h′2＝h2＋a22，
∴h′2＝12ah′＋14a2，
∴h′a2－12·h′a－14＝0，
解得h′a＝5＋14(负值舍去)．
2．(2020·全国Ⅰ理，10)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆，若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为( )
A．64π B．48π C．36π D．32π
答案 A
解析 如图，设圆O1的半径为r，球的半径为R，正三角形ABC的边长为a.
由πr2＝4π，得r＝2，
则33a＝2，a＝23，OO1＝a＝23.
在Rt△OO1A中，由勾股定理得
R2＝r2＋OO21＝22＋(23)2＝16，
所以S球＝4πR2＝4π×16＝64π.
3．(2020·全国Ⅱ理，7)如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为( )
A．E B．F C．G D．H
答案 A
解析 由三视图还原几何体，如图所示，
由图可知，所求端点在侧视图中对应的点为E.
4．(2020·全国Ⅱ理，10)已知△ABC是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为( )
A.3 B.32 C．1 D.32
答案 C
解析
如图所示，过球心O作OO1⊥平面ABC，
则O1为等边三角形ABC的外心． 设△ABC的边长为a，
则34a2＝934，解得a＝3，
∴O1A＝23×32×3＝3.
设球O的半径为r，则由4πr2＝16π，得r＝2，即OA＝2.
在Rt△OO1A中，OO1＝OA2－O1A2＝1，
即O到平面ABC的距离为1.
5．(2020·全国Ⅲ理，8)下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是( )
A．6＋42 B．4＋42
C．6＋23 D．4＋23
答案 C
解析 如图，该几何体为三棱锥，且其中有三个面是腰长为2的等腰直角三角形，第四个面是边长为22的等边三角形，所以该几何体的表面积为3×12×2×2＋12×22×22×32＝6＋23.
6.(2020·新高考全国Ⅰ，4)日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为( )
A．20° B．40° C．50° D．90°
答案 B
解析 如图所示，⊙O为赤道平面，⊙O1为A点处的日晷面所在的平面，
由点A处的纬度为北纬40°可知∠OAO1＝40°，
又点A处的水平面与OA垂直，晷针AC与⊙O1所在的面垂直，
则晷针AC与水平面所成角为40°.
7.(2020·新高考全国Ⅱ，4)日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为( )
A．20° B．40° C．50° D．90°
答案 B
解析 如图所示，⊙O为赤道平面，⊙O1为A点处的日晷面所在的平面，
由点A处的纬度为北纬40°可知∠OAO1＝40°，
又点A处的水平面与OA垂直，晷针AC与⊙O1所在的面垂直，
则晷针AC与水平面所成角为40°.
8．(2020·北京，4)某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为( )
A．6＋3 B．6＋23 C．12＋3 D．12＋23 答案 D
解析 由三视图还原几何体，该几何体为底面是边长为2的正三角形，高为2的直三棱柱，
S底＝2×34×22＝23.
S侧＝3×2×2＝12，
则三棱柱的表面积为23＋12.
9．(2020·北京，10)2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(π Day)．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形(各边均与圆相切的正6n边形)的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是( )
A．3nsin30°n＋tan30°n B．6nsin30°n＋tan30°n
C．3nsin60°n＋tan60°n D．6nsin60°n＋tan60°n
答案 A
解析 设内接正6n边形的周长为C1，外切正6n边形的周长为C2，如图(1)所示，sin360°12n＝BC1，
∴BC＝sin30°n，
∴AB＝2sin30°n，C1＝12nsin30°n.
如图(2)所示，tan360°12n＝B′C′1，
∴B′C′＝tan30°n，
∴A′B′＝2tan30°n，C2＝12ntan30°n.
∴2π＝C1＋C22＝6nsin30°n＋tan30°n，
∴π＝3nsin30°n＋tan30°n.
10．(2020·天津，5)若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ) A．12π B．24π C．36π D．144π
答案 C
解析 由题意知，正方体的体对角线就是球的直径
∴2R＝232＋232＋232＝6，
∴R＝3，∴S球＝4πR2＝36π.
11．(2020·浙江，5)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积(单位：cm3)是( )
A.73 B.143 C．3 D．6
答案 A
解析 如图，三棱柱的体积V1＝12×2×1×2＝2，
三棱锥的体积V2＝13×12×2×1×1＝13，
因此，该几何体的体积V＝V1＋V2＝2＋13＝73.
12．(2020·浙江，6)已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n，“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 如图，直线l，m，n不过同一点，且l，m，n共面有三种情况：①同一平面内三线平行；②两平行线与另一线相交；③三线两两相交．
因此，“l，m，n两两相交”是“l，m，n共面”的一种情况，即“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的必要不充分条件．
13.(2020·全国Ⅰ文，3)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )
A.5－14 B.5－12 C.5＋14 D.5＋12
答案 C
解析 设正四棱锥的底面正方形的边长为a，高为h，
侧面三角形底边上的高(斜高)为h′，
则由已知得h2＝12ah′.
如图，设O为正四棱锥S－ABCD底面的中心，E为BC的中点，
则在Rt△SOE中，h′2＝h2＋a22，
∴h′2＝12ah′＋14a2，
∴h′a2－12·h′a－14＝0，
解得h′a＝5＋14(负值舍去)．
14．(2020·全国Ⅰ文，12)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为( )
A．64π B．48π C．36π D．32π
答案 A
解析 如图，设圆O1的半径为r，球的半径为R，
正三角形ABC的边长为a.
由πr2＝4π，得r＝2，
则33a＝2，a＝23，
OO1＝a＝23.
在Rt△OO1A中，由勾股定理得
R2＝r2＋OO21＝22＋(23)2＝16，
所以S球＝4πR2＝4π×16＝64π.
15．(2020·全国Ⅱ文，11)已知△ABC是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为( )
A.3 B.32 C．1 D.32
答案 C
解析 如图所示，过球心O作OO1⊥平面ABC，
则O1为等边三角形ABC的外心．
设△ABC的边长为a，
则34a2＝934，解得a＝3，
∴O1A＝23×32×3＝3.
设球O的半径为r，则由4πr2＝16π，得r＝2，即OA＝2.
在Rt△OO1A中，OO1＝OA2－O1A2＝1，
即O到平面ABC的距离为1.
16．(2020·全国Ⅲ文，9)下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是( )
