柳卡图解行程问题

数学竞赛讲义之行程问题多车相遇例72、一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站，自隔 5分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站，全程要走 15分钟，有一个人从乙站出发沿着电车线路骑车前往甲站。

他出发的时侯，恰好有一辆电车到达乙站。

在路上他又遇到到了10辆迎面开来的电车，到达甲站时，恰好又有一辆电车从甲站开出。

问他从乙站到甲站用了多少分钟？ 解：一辆车走完全程需要 15分钟，所以一辆车刚发出时，途中有 15-3-1=2 辆车电车甲« ----------------发车间隔农分钟跑完全程疋分钟•乙骑车出发右菊车••»恰发车电车甲••人骑车——骑车到达所以当人骑车出发时，而甲站车时，在中途有两辆车子，可以相遇，所以共相遇10辆车，于是又发车 8辆相遇，恰到达时，又发车，于是发 车9辆时，甲到达，即有8个时间间隔，时间为 5X 8=40分钟。

所以骑 车行完全程的时间为 40分钟。

例73、某人沿电车路线行走，每隔12分钟有一辆电车从后面追上，每4分钟有一辆电车迎面开来。

假设两个起点站的发车间隔是相同的。

求*恰发车时------- •乙人骑车C -------- •电车甲« ------------恰发车这个发车间隔St电丰下-灯W电车下一次16击解：因为两辆电车的间隔目相等， 两次相遇期间，共走了 ［（行人+电车）X 4］，所以两辆电车的间隔为［（行人+电车）x 4］,于是两辆车间隔时间行人电车 __电车__两次追及期间，共行走［电车X 12］,行人行走了 ［行人x 12］,所以电车 行走了 ［（电车-行人）x 12］,两辆电车的间隔为［（电车-行人）x 12］, 于是两辆车的间隔时间为 电车；行人12。

即有：电车=2X 行人 例74、从电车总站每隔一定时间开出辆电车，甲和乙两人在一条街上 沿着同一方向步行，甲每分钟步行82米，每隔10分钟遇上一辆迎面开 来的电车；乙每分钟步行 60米，每隔10分15秒遇上一辆迎面开来的 电车，那么电车总站每隔多少分钟开出一辆电车？于是有电车-行人电车12行人电车 电车4，所以3X （电车-行人）二电车+行人，所以间隔=电车-行人电车12行人电车 电车4=6分钟。

60*1 61Silt4 ：A 8电车共同相遇在A 点，甲、电车下一次相遇在C 点，乙、 电车相遇在B 点。

则B 距A 点距离为 BA=60 10丄615米 4C 距A 点距离为 CA=82X 10=820米所以BC 两点相距的路程需电车 10分钟15秒-10分钟=15秒=-分4路程为820 - 615=205米于是，电车的速度和为 205 1 820米/分4于是，当10分钟前与甲、乙相遇的电车离甲 （820 + 82） X 10 = 9020 米远两电车间隔为 9020米。

所车间隔为 9020 + 820=11分钟。

柳卡问题：这是一个著名的数学问题，由法国数学家柳卡在 19世纪一次数学大会上提出：每天中午有一艘轮船从法国巴黎的勒阿弗尔开往美国纽约， 且每天同一 时间也有一艘轮船从纽约开往勒阿弗尔。

轮船在途中需要7天7夜。

假定所有轮船都以同一速度、 同一航线行驶。

问某艘勒阿弗尔开出的轮船， 在到达纽约时，能遇到几艘从纽约开来的轮船？后来， 一位数学家画出了“路程图”（运程图），才得以解决。

甲:电车下-ftwa乙、电车下一衣囲锻甲. 乙假设甲、乙、勤阿舛尔 1 2 5 4 5 6 7 S 9 10 H 12 13 14 15 16 I-□期纽纳 1 1 3 」5 t 7 8 9 1» II L2 B 14 15 16 17 0 期中途13艘，首尾2艘，共15艘。

从图上可以看山，在某轮船开出的前7天，纽约港已有7艘轮船驶入航程，加上当天的一艘，共计8艘。

之后，纽约港每天还有1艘轮船驶入航程，共计7艘。

这样从勒阿弗尔港驶出的轮船在整个运行过程中，将要和本公司的15艘轮船相遇。

从图上看，当中一列（蓝色〉共有16行相交，除去勒阿弗尔港当天自己开出得一列（红色），相交数也是15 例75、一条双向铁路上有11个车站。

相邻两站都相距7千米，从早晨7时开始，有18列货车由第11站顺次发出，每隔5分钟发出一列，都驶向第一站，速度都为每小时60千米。

早晨8时，由第1站发出一列客车，向第11站驶去，时速是100千米，在到达终点站前，货车与客车都不停靠任何一个站，问在哪两个相邻站之间，货车能与3列客车先后相遇?第十一站早雇8时W0千米/小时图像法：画出示意图，利用示意图求解，但是要求图像一定的精确度。

所以，一般采用图像法与分析法结合使用，对有可能的情况进行分析。

O分析法：客车从一个站到下一个站所需的时间为7 100 60 41分钟由上图可知，客车在5、6两站遇见三辆客车所以客车到第一站的时间为第一站8时0分第二站第三站8第四站8时43分.............5而客车出发时，第一辆货车距它第^一站8时4?分5时42分10 7 60 1 10千米所以客车与第一辆车相遇为8时10 100 60 60 3-分4相邻两货车相距为60 5 60 5千米所以，客车经过两辆货车的时间间隔为 5 100 60 60 1?分钟8则客车与18辆货车相遇时间顺次为第辆：8时33分，即8时36分4 8第二辆：36 17 413 55，即8 时55分8 8 8 8 8第三站：55 17 612 7-，即8 时7-分8 8 8 8 8第四站：74 1 7 811 93，即8 时93分8 8 8 8 8第五辆：93 17 1011 11-，即8 时11-分8 8 8 8 8所以，客车在8时167分到达第五站，8时21分到达第六站。

在此期间，8它于8时..... ,8时 ...... ,8时205分三次与货车相遇。

8所以在第5、6两站之间，客车与货车三次相遇。

例76、长途汽车有甲、乙两个终点站，汽车要用4小时才能驶完全程。

从上午6点开始，每隔1时从甲、乙两站同时发出一辆公共汽车，最后一班车在下午4点发出。

问从甲站发车的汽车司机最多能看到几辆迎面驶来的公共汽车？最少能看到到几辆？解：最多9辆，最少5辆6 * 8 9 丄0 11 1115 14 15 16 P 丄8 19 20乙 6 - 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1* 1S 19 20例77、由A、B、C D、E五名小学生进行马拉松比赛。

不管前半程怎样，当他们从折返点返回跑后半程时， 每人的速度都是固定不变的。

他 们三位朋友X 、丫、Z 分别在不同时间给五个人拍了一张纪念照。

最先拍的是X ，然后是丫，最后按快门的是 乙 照片洗出后他们分别这样说： X : “我是在他们返回跑了10分钟后照的，当时五人的顺序是B 、E 、C 、A 、D 而且他们的间隔相等，都是 30m ”。

Z : “我是在他们返回跑了 30分钟后照的，当时五人的顺序是 A 、B 、 C 、D 、E ，而且他们的间隔相等，都是 20m ”。

丫： “我是什么时侯照的，自己也没记住，不过我照的时候他们的间隔 也相等。

”问：丫是在他们返回跑了几分钟时照的？ 解：先用图表示5个人的顺序变化。

□分钟肓f 人切分钟肓_ q» BB •4 1E:7 .............. 丄h bd间隔20米/* CI 间隔30米 D'| AE ・1 * D从上图可以看出， A C E 经常处于间隔相同的状态，当 A 正好在B和C 中间时，E 也正好在C 和D 的正中间，因此5人中的间隔是相同的。

为 便于分析这个时间，在两侧B 和C 的正中间画上一条线来表示，如右图当此线和A 线相交时，A 就在B 和C 的正中间，所以可以求出这个时刻。

这时， 图中的两个阴影部分的三角形是相似三角形。

因此，两个三角形的对应 边的比（相似比）是 30:60=1:2，所以m n=1:2。

5人的间隔相同，20 — 62，即6分40秒1 23也就是说，丫在他们返回来回跑了 16分40秒后照的。

【巩固练习】某人沿着电车道旁的便道以 4.5千米/小时的速度步行，每 7.2分钟有一辆电车迎面开过，每12分钟有一辆电车从后面追过。

如果电车按相等的时间间隔以同一速度不停地往返运行，那么电车的速度是 多少？电车之间的时间间隔是多少? 优化设计★例78、甲乙两班学生到离校 24千米的飞机场参观，但只有一辆汽车， 一次只能乘坐一个班的学生。

为了尽快到达飞机场， 两个班商定，由甲 班先坐车，乙班先步行，同时出发，甲班学生在途中某地下车后步行去 飞机场，汽车则从某地立即返回接在途中步行的乙班学生，如果甲乙两班学生步行速度相同，汽车速度是他们步行速度的 7倍，那么汽车应在 距飞机场多少千c •• 间隔20米D •..J H 11• E •mn•ADC 间隔却米10分钟后30分钟后* £»米处返回接乙班学生，才能使两班同时到达飞机场？假设甲坐车时间为“ 1”，甲班行驶了 1X 7速度时，乙班行驶了1X 1速度时，然后甲下车，汽车往回行驶，于是汽车与乙相遇，他们的路程 差为7-仁6速度时，速度和8速度时，所需时间为6 8 -时，于是乙步4行1 3 1.75时，换车；甲坐车 1时，步行。

4因为甲乙速度一样，同时到达，所以甲、乙坐车、步行时间一样，于是 甲乙坐车1时，甲乙步行时间 1.75时。

所以，坐车与步行路程比为 1 7 : 1.75 1 4:1于是步行路程为24 — 4- 48千米1 45所以汽车停在距机场 4.8千米处。

例79、甲班与乙班学生同时从学校出发去某公园，甲班步行的速度是乙•…匸甲01, Z 封曲地点452每小时4千米，乙班步行的速度是每小时 3千米。

学校有一辆汽车，它 的速度是每小时48千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学生，为了使两 班学生在最短时间内到达公园， 那么甲班学生与乙班学生需要步行的距 离之比是多少？解：为了使两班最短时间到达， 汽车从一班换车地点至另一班换车地点 时间尽量减小，所以先让速度快得甲班先走， 这样乙班换车地点与甲班行至地点距离小，就节省了时间。

假设甲班先行走时间为“ 1”，则甲班行程4,乙班因为坐车行程 48 现在行程差为48-4=44，乙班下车，甲班坐车，但车、甲行程差为 44车、甲速度和为 4+48=52,于是需44 52 44时，车、甲相遇。

52此时，甲行走4 44，乙行走3 44。

5252 所以，甲乙行程差为44 4 44 3 44 4444525252乙、车速度差为48-3=45，车追上乙时间为44坐45丝岀，于是乙行走 5252 45了见土 3 3 44，甲行走了 4 4 44，所以他们的步行距离比为：52 4551 51所以甲乙两班步行的距离比为15:11方法二：4 4451◎ 351 4515:11甲 ------- X | -- -------- 甲41^45甲.珀•甲班步行走了AC,汽车载着乙班从A出发；当汽车到达D时，放下乙班步行，返回到C 与甲班相遇。