电动力学习题解答3(精品文档)

电动力学第一章习题及其答案1、 当下列四个选项:(A 、存在磁单级, B 、导体为非等势体, C 、平方反比定律不精确成立,D 、光速为非普适常数)中的_ C ___选项成立时,则必有高斯定律不成立、 2、 若 a 为常矢量 , r= (x - x ')i + ( y - y ')j + (z -z ')k 为从源点指向场点的矢量 ,E 0 , k 为常矢量,则∇⋅(r 2 a) =∇⋅(r 2 a ) = (∇r ⋅a =2r ⋅a ,)⋅a ) = ddrr ∇r ⋅a = 2r r r2∇r = (i +j + k ) (x - x ') + (y - y ') + (z - z ') = i +j y-y' + k = rr∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z 2 2 2 x-x' r z-z' rr ⎛ ⎫ ⎪ 2(x -x ') = (x -x ') ,同理, ∂ ∂x(x -x ') 2+(y - y ') 2 +(z -z ') 2 = r 2 (x -x ')2+(y -y ')2+(z -z ')2⎝ ⎪⎪ ⎭(y -y ') (x -x ') +(y - y ') 2 +(z -z ') ∂ ∂y (x -x ') 2 +(y - y ') 2 +(z -z ') 2 = , ∂ ∂z 2 2 = (z -z ') r re e e x x x∇⋅r = ∂(x-x')∇⨯ r = + ∂(y-y') ∂y+ ∂(z-z') = 3∂z, ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂zx - x ' y - y ' z - z '= 0, ∂x∇⋅(a ⨯r )=a ⋅(∇⨯r ) = 0 ,) ⨯ r + r ∇ ⨯ r = ∇r 2r ⨯ r = ⨯ r = 0 r ∇ ⨯ rr = ∇( r1 1 3r a ,,∇ ( ⋅ ) = ∂[ a x (x -x' )]+ ∂[ a y (y - y')] j + [ a z ∂ (z -z')] = a r i k ∂x ∂y ∂z∇⋅ r =∇ ⋅ + ∇⋅ =- ⋅ + = r r r 1r 1 r r 3 r2 3 r ,∇ ⋅ (∇ ⨯ A ) = __0___、 r r∇ ⋅[E 0 sin(k ⋅r )] = k ⋅ E 0 cos(k ⋅ r )= __0__、 ∇ ⋅ (E 0 e ik ⋅r ) =, 当 r ≠ 0 时 , ∇ ⨯ = (r / r 3)ik ⋅ E 0 exp(ik ⋅r ) , ∇ ⨯ [rf (r )] = _0_、 ∇ ⋅ [ r f ( r)] 3f (r )+r df (r )drs3、 矢量场 f 的唯一性定理就是说:在以 为界面的区域V 内,若已知矢量场在V 内各点的旋度与散度,以及该矢量在边界上的切向或法向分量,则在 内唯一确定、 f V ∂ρ = 0 ,若 J为稳恒电流情况下的电流密度 ,则 J 满足4、 电荷守恒定律的微分形式为 ∇⋅ J + ∂t∇ ⋅ J = 0 、5、 场强与电势梯度的关系式为, E = -∇ϕ 、对电偶极子而言 ,如已知其在远处的电势为ϕ = P ⋅ r/(4πε 0r ⎛ 4πε 0 ⎝ ⎫ E = 1 3(P ⋅r )r- P3) ,则该点的场强为 ⎪ ⎪ 、 r 5 r 3⎭a (r > a ) 任意一点 D 的散度为 0,Q 6、 自由电荷 均匀分布于一个半径为 的球体内,则在球外内 (r < a )任意一点 D 的散度为 3Q / 4π a 3 、arbr 7、 已知空间电场为 E = + 3 (a ,b 为常数),则空间电荷分布为______、rr 2ar1 r 1 ∇ = - 3 ⇒ E = -b ∇ ⇒r r r 2 r 2 1 a ∇⋅r - 2r ⋅∇r + 4πb δ(r )]ρ = ε 0∇⋅E = ε 0(∇⋅ arr 2 -b ∇ r ) = ε 0[ r 2 r 33a 2r ⋅r + 4πb δ(r )]⇒ ρ = ε 0[ a 2 + 4πb δ(r )] = ε 0[ - r 2r 4 ra8、 电流 I 均匀分布于半径为 的无穷长直导线内,则在导线外 (r > a ) 任意一点 B 的旋度的大小为 0 , 导线内 (r < a )任意一点 B 的旋度的大小为 μ 0I / πa 2 、D ε9、 均匀电介质(介电常数为 )中 ,自由电荷体密度为 ρ f 与电位移矢量 的微分关系为∇ ⋅ D = ρ f , 束缚电荷体密度为 ρ P 与电极化矢量 的微分关系为 ∇ ⋅ P = - ρ P ,则P ρ = - ε - ε 0 ρ 、f ρ P 与 ρ f 间的关系为 P ε10、 无穷大的均匀电介质被均匀极化,极化矢量为 P ,若在σ = -(P - P )θ 21R= -(P cos θ - 0)介质中挖去半径为 R 的球形区域,设空心球的球心到球 P= - P ⋅R面某处的矢径为 R ,则该处的极化电荷面密度为R- P ⋅ R / R 、q ε 11、 电量为的点电荷处于介电常数为 的均匀介质中,则点电荷附近的极化电荷 为 (ε 0 / ε - 1)q 、H 12、 某均匀非铁磁介质中,稳恒自由电流密度为 J f ,磁化电流密度为 J M ,磁导率 ,磁场强度为 ,磁μ 化强度为M ,则∇⨯ H = Jf ,∇⨯ M =J M , JM 与J f 间的关系为J= (μ/ μ 0 - 1)J f、M13、 在 两 种 电 介 质 的 分 界 面 上 , D , E 所 满 足 的 边 值 关 系 的 形 式 为 n ⋅(D2- D1)=σf,- 1 -n ⨯(E2- E1)= 0、ε14、 介电常数为 的均匀各向同性介质中的电场为 E 、 如果在介质中沿电场方向挖一窄缝 ,则缝中电场强度大小为 E 、ε15、 介电常数为 的无限均匀的各项同性介质中的电场为 E ,在垂1 n2直于电场方向横挖一窄缝,则缝中电场强度大小为________、E⎧D 2n - D 1n = 0 ⇒ ⎧ ⎨ ⎩εE = ε 0E 缝 E 2τ = E 1 sin θ1 = 0 ⇒ E 缝 = εE / ε 0 , 、 E E⎨ E 2τ - E 1τ = 0 ⎩ 16、 在半径为 R 的球内充满介电常数为ε 的均匀介质,球心处放一点电荷,球面为接地导体球壳,如果挖去顶点在球 心的立体角等于 2的一圆锥体介质,则锥体中的场强与介 质中的场强之比为_1:1_、Eσ1nE2ε1Rσ 2极化电荷D 2n = D 1n = 0 ⇒E 1 = E 1τ = E 2τ = E 2 ⇒ E 1 : E 2 = 1:1自由电荷17、 在半径为 R 的球内充满介电常数为ε 的均匀介质,球心处放一点电荷,球面为接地导体球壳,如果挖去顶点在球心的立体角等于 2 的一圆锥体介质,锥体处导体壳上的自由电荷密度与介质 附近导体壳上的自由电荷密度之比为ε 0 / ε 、⎧ ⎨ ⎩ D 2n = D 1n = 0 E = E 1τ = E 2τ = E 2σ = σ 1D ε 0 D 2 ε 内球面上 ⇒ 1= ⇒ ε 0 2 ⇒ σ 1 :σ 2 = ε 0 :ε ε 118、 在 两 种 磁 介 质 的 分 界 面 上 , H , B 所 满 足 的 边 值 关 系 的 矢 量 形 式 为n ⨯ (H 2 - H 1)= α f ,n ⋅ B 2 - B = 0 、( ) 1I μ219、一截面半径为 b 无限长直圆柱导体,均匀地流过电流 I ,则储存在单位长度导 μ1体内的磁场能为__________________、rB ⋅ 2πr = μ 0I ππr 22⇒ B = bμ Ir2, 0 2πb22πrdr =⎰b 0 2μ0b W =⎰B μ I 2r 2 2 2πrdr =⎰ μ0I 2r 3dr4πb 4= μ0I 2b 4 16πb 4 = μ0I 216π12μ01 04π 2b 4 020、在同轴电缆中填满磁导率为 μ1,μ 2的两种磁介质,它们沿轴各占一半空间。

电动力学答案第一章 电磁现象的普遍规律1. 根据算符∇的微分性与向量性，推导下列公式：BA B A A B A B B A )()()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇A A A A )()(221∇⋅-∇=⨯∇⨯A2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明：u uf u f ∇=∇d d )(，uu u d d )(A A ⋅∇=⋅∇，uu u d d )(A A ⨯∇=⨯∇ 证明：3. 设222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-=为源点'x 到场点x的距离，r 的方向规定为从源点指向场点。

（1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系：r r r /'r =-∇=∇ ； 3/)/1(')/1(r r r r -=-∇=∇ ；0)/(3=⨯∇r r ；0)/(')/(33=⋅-∇=⋅∇r r r r ， )0(≠r 。

（2）求r ⋅∇ ，r ⨯∇ ，r a )(∇⋅ ，)(r a ⋅∇ ，)]sin([0r k E ⋅⋅∇及)]sin([0r k E ⋅⨯∇ ，其中a 、k 及0E 均为常向量。

4. 应用高斯定理证明fS f ⨯=⨯∇⎰⎰SVV d d ，应用斯托克斯（Stokes ）定理证明⎰⎰=∇⨯LSϕϕl S d d5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为 'd '),'()(V t t Vx x p ⎰=ρ，利用电荷守恒定律0=∂∂+⋅∇tρJ 证明p 的变化率为：⎰=V V t td ),'(d d x J p6. 若m 是常向量，证明除0=R 点以外，向量3/R）（R m A ⨯=的旋度等于标量3/R R m ⋅=ϕ的梯度的负值，即ϕ-∇=⨯∇A ，其中R 为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。

7. 有一内外半径分别为1r 和2r 的空心介质球，介质的电容率为ε，使介质球内均匀带静止自由电荷f ρ，求：（1）空间各点的电场；（2）极化体电荷和极化面电荷分布。

85. 设有两个偶极子，它们的偶极矩大小相等，并都指向z 轴方向，其一位置在原点，另一位置：（1）θ=2π，距原点为R；（2）θ＝0，距原点为R.求两种情况的相互作用和相互作用力。

解：我们把位于坐标原点的偶极子称为A P v ，另一偶极子称为B P v 。

于是A P v 与B P v的相互作用能，也就是的A P v 场与B P v的相互作用能∴W=B P v•ØϕΑ又A P v 在B P v处所产生的势ϕΑ为：ϕΑ=041πε−A P v R 1∇•=041πεP v 3R R v •=304R z p v πε ∇ϕΑ=304R z p ∇πε=04πεp [53)(3R RR e R e z z vv v v •−] W=B P v•∇ϕΑ=024πεp z e v•[53)(3RR R e R e z z v v v v •−]（1） 当θ=2π，即B P v 位于R v =R x e v处：W 1 =024πεp z e v•[33)(3R e e e R e x x z z v v v v•−]=3024R p πε1F v =1W v ∇−=024πεp −31R ∇=50243R R p πεv （排斥力）（2） 当θ＝0，即B P v 位于R v =R z e v处：W 2=024πεp z e v• [33)(3R e e e R e z z z z v v v v •−]=50223RR p πεv− （吸引力） 86有一个电矩p v为的偶极子，位于距无限大导体平面a 处，求导体平面对偶极子的吸引力。

[解]电偶极子置于无限大平面前，导体上感应电荷的场可能用一镜像偶极子p v′的场来替代。

今取巧p v′的中心坐标原点（如图），两偶极子中心距离为2a，夹角为2α（1）p v′产生的场为：E v ′ =∇−ϕ，=]141[0R p ∇•′−∇−v πε=041πε−)3RR p vv •′∇（=041πε−[)3RRp vv •′∇（ +（)R p v v •′]13R ∇ =041πε])(3[35R p R R R p vr v v ′−•′ 其中应用了常矢C v 的公式：C R C vv v =•∇）（（2）p v 与这个场的相互作用能（并将x e x R vr =代入）为：W=E p v v •−21=•′−p v 081πε])(3[35Rp R R R p v r v v ′−•′ =081πε−2p v •)]())((3[13p p e p C p x x x vv v v v v ′•−••′=)2cos cos 3(82302ααπε−−xp=)cos 1(82302απε+−x p将 x=2a 代入既为p v 与场（常看作p v与导体上感应电荷）的相互作用能。

电动力学答案第一章 电磁现象的普遍规律1. 根据算符∇的微分性与向量性，推导下列公式：B A B A A B A B B A )()()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇A A A A )()(221∇⋅-∇=⨯∇⨯A2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明：u u f u f ∇=∇d d )(， uu u d d )(A A ⋅∇=⋅∇，uu u d d )(A A ⨯∇=⨯∇证明：3. 设222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-=为源点'x 到场点x的距离，r 的方向规定为从源点指向场点。

（1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系：r r r /'r =-∇=∇ ； 3/)/1(')/1(r r r r -=-∇=∇ ；0)/(3=⨯∇r r ；0)/(')/(33=⋅-∇=⋅∇r r r r ， )0(≠r 。

（2）求r ⋅∇ ，r ⨯∇ ，r a )(∇⋅ ，)(r a ⋅∇ ，)]sin([0r k E ⋅⋅∇及)]sin([0r k E ⋅⨯∇ ，其中a 、k 及0E 均为常向量。

4. 应用高斯定理证明fS f ⨯=⨯∇⎰⎰S VV d d ，应用斯托克斯（Stokes ）定理证明⎰⎰=∇⨯LSϕϕl S d d5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为 'd '),'()(V t t Vx x p ⎰=ρ，利用电荷守恒定律0=∂∂+⋅∇tρJ 证明p 的变化率为：⎰=VV t td ),'(d d x J p6. 若m 是常向量，证明除0=R 点以外，向量3/R）（R m A ⨯=的旋度等于标量3/R R m ⋅=ϕ的梯度的负值，即ϕ-∇=⨯∇A ，其中R 为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。

7. 有一内外半径分别为1r 和2r 的空心介质球，介质的电容率为ε，使介质球内均匀带静止自由电荷f ρ，求：（1）空间各点的电场；（2）极化体电荷和极化面电荷分布。