2022-2023学年山西省古交市校高一年级上册学期第三次月考(12月)数学试题【含答案】

2022-2023学年高中高三上数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：115 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 已知命题，，则命题为( )A.，B.，C.，D.，2. 如图，有两张全等的矩形纸片和，，把纸片交叉叠放在纸片上，使重叠部分为平行四边形，且点与点重合．当两张纸片交叉所成的角最小时，等于（ ）A.B.C.D.3. 已知，则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件p :∀x ∈R ≥1+sin x e x ¬p ∀x ∈R <1+sin xe x ∀x ∈R ≤1+sin xe x ∃∈R x 0≤1+sin e x 0x 0∃∈R x 0<1+sin e x 0x 0ABCD EFGH BC =FG =4AB ABCD EFGH D G a tan α1412817815x ∈R x <−1>1x 2D.既不充分也不必要条件4. 已知则为（ ）A.B.C.D.5. 已知是正项等比数列的前项和，又 且成等差数列，则（）A.B.C.D.6. 如图，在中，为线段上靠近的三等分点，点在上且，则实数的值为( )A.B.C.D.7. 设变量，满足约束条件 则目标函数的最小值是( )A.B.f (x)={x −5,x ≥6,f (x +2),x <6,f(1)4321S n {}a n n =2a 12，4，a 3a 2a 4=S 10210211−2210−2211△ABC N AC A P BN =AP −→−(m +)+211AB −→−211BC −→−m 113911511x y y ≤4,2x −3y ≤−2,2x +y ≥6,z =x +y 13D.8. 已知函数（且）恒过定点．若直线过点，其中，是正实数，则的最小值是（ ）A.B.C.D.9. 已知函数 ，的图象上的两个相邻最高点和最低点的坐标分别为，，将的图象向左平移个单位，得到的图象．若，是函数和图象的两个不同交点，则的最小值为( )A.B.C.D.10. 若 ，， 且函数 在上单调，则 的解集为( )A.B.C.D.11. 已知定义域为的函数满足，，当时，，则 A.B.C.5y = x +1log a a >0a ≠1A mx +ny =1A m n +1m 2n3+2–√5923+22–√f (x)=2cos(ωx +φ)(ω>0−π<φ<0)(,2)5π12(,−2)11π12f (x)π4g(x)A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2f (x)g(x)|−|x 1x 2π8π4π2πx,y ∈R f(x +y)=f(x)+f(y)f(1)=1y =f(x)R |f(x)|≤2[−2,2][−2，0)[−1,1][0,2]R f(x)f(−x)=f(x)f(x +2)=1f(x)x ∈[0,2]f(x)=2(x +3)log 2f(923)=()16923412. 若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ）A.B.C.D.卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 已知非零向量，满足，与的夹角为，则的取值范围是________．14. 若角的终边经过点，则________.15. 小明以每分钟米的速度向东行走，他在处看到一电视塔在北偏东，行走小时后，到达处，看到这个电视塔在北偏西，则此时小明与电视塔的距离为________米．16. 如图，已知正方形的边长为，点为的中点．以为圆心，为半径，作弧交于点．若为劣弧上的动点，则的最小值为________．三、 解答题 （本题共计 7 小题 ，每题 5 分 ，共计35分 ）17. 已知数列的前项和为，，.求数列的通项公式；若，，求证：.18. 已知函数．4−x <0x 2log a x ∈(0,)14a [,1)1256(,1)1256(0,)1256(0,]1256a b ||=1b a −b a 120∘||a α(1,2)tan(α−)=π4206–√A B 30∘1C 15∘ABCD 2E AB A AE AD F P EF ˆ⋅PC −→−PD −→−{}a n n S n =a 1233(n +1)−n =0S n S n+1(1){}a n (2)=b n 2a n+1S n S n+1n ∈N +++⋯+<3b 1b 2b n f(x)=2x −sin(2x −π)cos 276f(x)（1）求的单调递增区间（2）已知的外接圆半径为，，，的对边分别为，，，若，，求的取值范围． 19. 如图，与在同一个平面内，，，.求；若，且的面积为，求的长． 20. 已知函数．当，时，判断函数在区间内的单调性；已知曲线在点处的切线方程为．求的解析式；判断方程在区间上解的个数，并说明理由． 21. 已知在与时都取得极值．求，的值；求的单调区间和极值．22. 以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，在极坐标系中，已知圆的圆心，半径．求圆的极坐标方程；若，直线的参数方程为（为参数），直线交圆于，两点，求弦长的取值范围． 23. 已知，，均为正实数，函数的最小值为证明：；.f(x)△ABC R A B C a b c f(A)=32sin B +sin C =2R a △ABC △ACD ∠CAD =π4AB =BC 2–√A −B =AC ⋅BC C 2C 22–√(1)∠ACB (2)AB =2−23–√△ACD 3CD f (x)=+b (a,b ∈R)a cos x x(1)a =1b =0f (x)(0,)π2(2)f (x)=+b a cos x x (,f ())π2π2y =−x +26π(ⅰ)f (x)(ⅱ)f (x)=−132π(0,2π]f(x)=+a +bx +1x 3x 2x =1x =−13(1)a b (2)f(x)O x C C (,)2–√π4r =3–√(1)C (2)α∈[0,)π4l {x =2+t cos α，y =2+t sin αt l C A B |AB|a b c f (x)=|x +|+|x −|+1a 21b 214c 2 1.(1)++4≥9a 2b 2c 2(2)++≤11ab 12bc 12ac参考答案与试题解析2022-2023学年高中高三上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1.【答案】D【考点】命题的否定【解析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题，的否定是：，．故选.2.【答案】D【考点】命题的真假判断与应用【解析】由“”可证，可证＝，即可证四边形是菱形，当点与点重合时，两张纸片交叉所成的角最小，可求，即可求的值．【解答】解：如图，p :∀x ∈R ≥1+sin x e x ∃∈R x 0<1+sin e x 0x 0D ASA △CDM ≅△HDN MD DN DNKM B E a CM =154tan α∵,∴，且，.∴.∴，且四边形是平行四边形.∴四边形是菱形.∴.∵,∴当点与点重合时，两张纸片交叉所成的角最小.设，则，∵，∴.∴.∴.∴.故选.3.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】C【考点】函数的求值∠ADC=∠HDF =90∘∠CDM=∠NDH CD=DH ∠H=∠C=90∘△CDM ≅△HDN(ASA)MD =ND DNKM DNKM KM =DM sin α=sin ∠DMC =CD MD B E αMD =a =BM CM =8−a MD 2=C +M D 2C 2a 2=4+(8−a)2a =174CM =154tan α=tan ∠DMC ==CD MC 815D分段函数的应用【解析】由分段函数解析式得到，代入即可求解.【解答】解：∵∴.故选.5.【答案】D【考点】等比数列的前n 项和等差数列的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：成等差数列，故满足所以，，或（舍），可知，所以.故选.6.【答案】D【考点】向量在几何中的应用【解析】此题暂无解析【解答】f(1)=f(7)f (x)={x −5,x ≥6,f (x +2),x <6,f(1)=f(3)=f(5)=f(7)=7−5=2C 2，4，a 3a 2a 48=a 22+，a 3a 48q =2+,+2q −8=0q 2q 3q 2(q +4)(q −2)=0q =2q =−4q =2=S 10=−22(1−)2101−2211D λ−→−−→−解：设，所以．又，所以解得故选．7.【答案】C【考点】简单线性规划求线性目标函数的最值【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域，如图所示，=λBP −→−BN −→−=λ(−)AN −→−AB −→−=λ(−)13AC −→−AB −→−=−λ+(0≤λ≤1)AB −→−λ3AC −→−=+AP −→−AB −→−BP −→−=(1−λ)+AB −→−λ3AC −→−=AP −→−(m +)+211AB −→−211BC −→−=(m +)+(−)211AB −→−211AC −→−AB −→−=m +AB −→−211AC −→− =,λ32111−λ=m, λ=,611m =.511D联立 解得（,），化为，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最小，有最小值为.故选．8.【答案】D【考点】基本不等式在最值问题中的应用对数函数的单调性与特殊点【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】C【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】根据已知条件求出，再根据和的关系求出，根据求出值，根据相邻两个交点的横坐标之差得出答案【解答】解：由题意，，所以.将点代入中，得，所以，{2x −3y =−2,2x +y =6,A 22z =x +y y =−x +z y =−x +z A y z 2+2=4C f (x)f(x)g(x)g(x)f(x)=g(x)x T =2(−)=π11π125π12ω=2(,2)5π12f(x)=2cos(2x +φ)2cos (2×+φ)=25π12+φ=2kπ(k ∈Z)5π6=2kπ−(k ∈Z)5π解得.又因为，所以，所以.因为，由，得，所以，解得，相邻两个交点的横坐标之差为，即．故选．10.【答案】A【考点】奇偶性与单调性的综合函数单调性的性质【解析】由已知条件令有，，令，求得，再令，求出为奇函数，由于在区间上单调递增，则在上是递增函数，将所求不等式化简为．再由单调性即可求得的范围．【解答】解：由于，令，则，则.再令，则，即为奇函数.令，则，则，由可得，故.因为在上单调，，则在上是递增函数，故．故选．11.【答案】φ=2kπ−(k ∈Z)5π6−π<φ<0φ=−5π6f(x)=2cos (2x −)5π6g(x)=f(x +)=2cos [2(x +)−]π4π45π6=2cos (2x −)π32cos (2x −)=2cos (2x −)5π6π32sin (−2x +)=2cos (2x −)π3π3−2x +=kπ+(k ∈Z)π3π4x =−+(k ∈Z)kπ2π24π2=|−|x 1x 2min π2C x =y f(2x)=2f(x)x =y =0f(0)=0y =−x f(x)f(x)(0,+∞)f(x)R f(2a −a)≤f(1)log 2log 2a f(x +y)=f(x)+f(y)x =1，y =0f(1)=f(1)+f(0)=1f(0)=0y =−x f(0)=f(x)+f(−x)=0f(x)x =1，y =1f(2)=f(1+1)=2f(1)=2f(−2)=−2|f(x)|≤2−2≤f(x)≤2f(−2)≤f(x)≤f(2)f(x)R f(1)>f(0)f(x)R −2≤x ≤2AC【考点】函数的周期性函数的求值【解析】根据题意，分析可得＝，即函数是周期为的周期函数，进而可得＝＝＝，结合函数的解析式分析可得答案．【解答】解：因为，所以，所以是周期为的偶函数.所以，所以.故选.12.【答案】A【考点】指、对数不等式的解法【解析】由题意可得，时，函数的图象在函数的图象的下方，可得．再根据它们的单调性可得，解此对数不等式求得的范围．【解答】解：∵不等式对任意恒成立，∴时，函数的图象在函数的图象的下方，∴．再根据它们的单调性可得，即，∴，∴．综上可得，，故选：．f(x +4)f(x)f(x)4f(923)f(−1+231×4)f(−1)f(1)f(−x)=f(x),f(x +2)=1f(x)f(x +4)===f(x)1f(x +2)11f(x)f(x)4f(923)=f(4×231−1)=f(−1)=f(1)f(1)=24=4log 2C x ∈(0,)14y =4x 2y =x log a 0<a <14×(≤14)2log a 14a 4−x <0x 2log a x ∈(0,)14x ∈(0,)14y =4x 2y =x log a 0<a <14×(≤14)2log a 14≤log a a 14log a 14≥a 1414a ≥1256≤a <11256A二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】数量积表示两个向量的夹角【解析】设，，由已知与的夹角为可得，由正弦定理得，从而可求的取值范围【解答】设，，如图所示：则由又∵与的夹角为，∴又由由正弦定理得∴故答案为：．14.【答案】【考点】两角和与差的正切公式(0,]23–√3=AB →a =AC →b a −b a 120∘∠ABC =60∘=||a sin C ||bsin 60∘||=sin C ≤a 23–√323–√3||a =AB →a =AC →b=−BC →AC →AB→a −b a 120∘∠ABC =60∘||=||=1AC ¯¯¯¯¯¯¯¯b =||a sin C ||b sin 60∘||=sin C ≤a 23–√323–√3||∈(0,]a 23–√3(0,brack 23–√313任意角的三角函数【解析】此题暂无解析【解答】解：由题知，所以.故答案为：.15.【答案】【考点】解三角形的实际应用正弦定理【解析】画出图形，求出，利用正弦定理求解即可.【解答】解：由题意得，，所以，（米），所以，所以（米）.故答案为：.16.【答案】tan α=2tan(α−)==π42−11+2×113133600AC ∠BAC =60∘∠ACB =75∘∠B =45∘AC =20×60=12006–√6–√=BC sin 60∘12006–√sin 45∘BC =360036005−25–√【考点】平面向量在三角函数中的应用两角和与差的正弦公式平面向量数量积的运算平面向量的坐标运算【解析】首先以为原点，直线，分别为，轴，建立平面直角坐标系，可设，从而可表示出，根据两角和的正弦公式即可得到，从而可求出的最小值．【解答】解：如图，以为原点，边，所在直线为，轴建立平面直角坐标系，则：，，，设；∴，；∴时，取最小值．故答案为：．三、 解答题 （本题共计 7 小题 ，每题 5 分 ，共计35分 ）17.【答案】解：由得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，于是，故，当时，，又当时，符合上式，所以，.A AB AD x y P(cos θ,sin θ)⋅=5−2(cos θ+2sin θ)PC −→−PD −→−⋅=5−2sin(θ+φ)PC −→−PD −→−5–√⋅PC −→−PD −→−A AB AD x y A(0,0)C(2,2)D(0,2)P(cos θ,sin θ)⋅=(2−cos θ,2−sin θ)⋅(−cos θ,2−sin θ)PC −→−PD −→−=(2−cos θ)(−cos θ)+(2−sin θ)2=5−2(cos θ+2sin θ)=5−2sin(θ+φ)5–√tan φ=12sin(θ+φ)=1⋅PC −→−PD −→−5−25–√5−25–√(1)3(n +1)−n =0S n S n+1=3×S n+1n +1S n n {}S n n ==S 11a 1233=×=2⋅S n n 233n−13n−2=2n ⋅S n 3n−2n ≥2=−=2n ⋅−2(n −1)⋅=(4n +2)⋅a n S n S n−13n−23n−33n−3n =1=a 123=(4n +2)⋅a n 3n−3n ∈N +==2(−)2+12(−)S +1S证明：，.【考点】数列递推式等比数列的通项公式数列的求和【解析】首先构造等比数列，求出，再求出；利用裂项求和及放缩法得出答案.【解答】解：由得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，于是，故，当时，，又当时，符合上式，所以，.证明：，.18.【答案】函数．，令，(2)===2(−)b n 2a n+1S n S n+12(−)S n+1S n S n S n+11S n 1S n+1++⋅⋅⋅+b 1b 2bn=2[(−)+(−)+⋅⋅⋅+(−)]1S 11S 21S 21S 31S n 1S n+1=2(−)<2×=31S 11S n+11S 1Sn a n (1)3(n +1)−n =0S n S n+1=3×S n+1n +1S n n{}S n n ==S 11a 1233=×=2⋅S n n 233n−13n−2=2n ⋅S n 3n−2n ≥2=−=2n ⋅−2(n −1)⋅=(4n +2)⋅a n S n S n−13n−23n−33n−3n =1=a 123=(4n +2)⋅a n 3n−3n∈N +(2)===2(−)b n 2a n+1S n S n+12(−)S n+1S n S n S n+11S n 1S n+1++⋅⋅⋅+b 1b 2b n=2[(−)+(−)+⋅⋅⋅+(−)]1S 11S 21S 21S 31S n 1S n+1=2(−)<2×=31S 11S n+11S 1f(x)=2x −sin(2x −π)cos 276=cos 2x +1+sin(2x −)π6=cos 2x +sin 2x +1123–√2=cos(2x −)+1π32kπ−π≤2x −≤2kπ(k ∈Z)π3π−≤x ≤kπ+(k ∈Z)ππ解得，所以单调递增区间为．由（1）得：，则：，由于：，解得：，所以：．由于：，所以：，即：．所以：则：，解得：，因为故：的取值范围是：．【考点】正弦函数的单调性三角函数的恒等变换及化简求值【解析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成余弦形函数，进一步求出函数的单调区间．（2）利用（1）的结论，首先求出的值，进一步利用正弦定理和余弦定理的应用，及基本关系式求出结果．【解答】函数．，令，解得，所以单调递增区间为．由（1）得：，则：，kπ−≤x ≤kπ+(k ∈Z)π3π6[kπ−,kπ+](k ∈Z)π3π6f(A)=32cos(2A +)=π3120<A <π<2A +<π3π37π3A =2π3sin B +sin C =2R 2R sin B +2R sin C =4b +c =4bc ≤(=4b +c 2)2=+−2bc cos A =++bc ≥(b +−(a 2b 2c 2b 2c 2c)2b +c 2)2a ≥23–√a <b +c =4a [2,4)3–√A f(x)=2x −sin(2x −π)cos 276=cos 2x +1+sin(2x −)π6=cos 2x +sin 2x +1123–√2=cos(2x −)+1π32kπ−π≤2x −≤2kπ(k ∈Z)π3kπ−≤x ≤kπ+(k ∈Z)π3π6[kπ−,kπ+](k ∈Z)π3π6f(A)=32cos(2A +)=π3120<A <π由于：，解得：，所以：．由于：，所以：，即：．所以：则：，解得：，因为故：的取值范围是：．19.【答案】解：因为，，所以，，所以．因为，，所以．又因为，所以，整体得，解得或（舍去）．因为，所以，由余弦定理得，所以.【考点】余弦定理正弦定理【解析】（1）答案未提供解析．（2）答案未提供解析．【解答】解：因为，，所以，0<A <π<2A +<π3π37π3A =2π3sin B +sin C =2R 2R sin B +2R sin C =4b +c =4bc ≤(=4b +c 2)2=+−2bc cos A =++bc ≥(b +−(a 2b 2c 2b 2c 2c)2b +c 2)2a ≥23–√a <b +c =4a [2,4)3–√(1)AB =BC 2–√A −B =AC ⋅BC C 2C 22–√A +B −A C 2C 2B 2=A +B −2B =AC ⋅BCC 2C 2C 22–√cos ∠ACB =A +B −A C 2C 2B 22AC ⋅BC ==AC ⋅BC 2–√2AC ⋅BC2–√2∠ACB =π4(2)AB =BC 2–√AB =2−23–√BC =−6–√2–√A −B =AC ⋅BC C 2C 22–√A −(−=AC ⋅(−)C 26–√2–√)22–√6–√2–√A −2(−1)AC +4(−2)=0C 23–√3–√AC =2AC =2(−2)3–√=AC ⋅AD ⋅sin ∠CAD =AD =3S △ACD 122–√2AD =32–√C =A +A −2AC ⋅AD ⋅cos ∠CAD =10D 2C 2D 2CD =10−−√(1)AB =BC 2–√A −B =AC ⋅BC C 2C 22–√A +B −A C 2C 2B 2=A +B −2B =AC ⋅BCC 2C 2C 22–√∠ACB =A +B −A 222=AC ⋅BC –√–√，所以．因为，，所以．又因为，所以，整体得，解得或（舍去）．因为，所以，由余弦定理得，所以.20.【答案】解：当，时， ，可得．因为，所以，即，所以函数在区间上为单调递减函数．由函数，可得，则．因为函数在点处的切线方程为，所以，解得．当，代入切线方程为，可得，所以函数的解析式为．令，则，①当时，可得，单调递减，又由，，所以函数在区间（上只有一个零点；②当时， ，可得恒成立，所以函数在区间上没有零点；③当时，令，可得，cos ∠ACB =A +B −A C 2C 2B 22AC ⋅BC ==AC ⋅BC 2–√2AC ⋅BC 2–√2∠ACB =π4(2)AB =BC 2–√AB =2−23–√BC =−6–√2–√A −B =AC ⋅BC C 2C 22–√A −(−=AC ⋅(−)C 26–√2–√)22–√6–√2–√A −2(−1)AC +4(−2)=0C 23–√3–√AC =2AC =2(−2)3–√=AC ⋅AD ⋅sin ∠CAD =AD =3S △ACD 122–√2AD =32–√C =A +A −2AC ⋅AD ⋅cos ∠CAD =10D 2C 2D 2CD =10−−√(1)a =1b =0f (x)=cos x x (x)=−f ′sin x ⋅x +cos x x 2x ∈(0,)π2sin x ⋅x +cos x >0(x)<0f ′f (x)(0,)π2(2)(ⅰ)f (x)=+b a cos x x (x)=f ′−a (sin x ⋅x +cos x)x 2()=f ′π2−2a πf (x)(,f ())π2π2y =−x +26π=−−2a π6πa =3x =π2y =−×+2=−16ππ2f ()=b =−1π2f (x)f (x)=−13cos x x (ⅱ)g(x)=f (x)−+1=−32π3cos x x 32π(x)=g ′−3(x sin x +cos x)x 2x ∈(0,]π2(x)<0g ′g(x)g()=−>0π693–√π32πg()=−<0π232πg(x)0,]π2x ∈(,)π23π2cos x <0g(x)=−<03cos x x 32πg(x)(,)π23π2x ∈[,2π]3π2h (x)=x sin x +cos x (x)=x cos x >0h ′,2π]3π()<03π所以在区间单调递增， ，，所以存在，使得在上单调递增，在单调递减，又由，所以函数在上有两个零点，综上可得，方程在（上有个解．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究与函数零点有关的问题【解析】此题暂无解析【解答】解：当，时， ，可得．因为，所以，即，所以函数在区间上为单调递减函数．由函数，可得，则．因为函数在点处的切线方程为，所以，解得．当，代入切线方程为，可得，所以函数的解析式为．令，则，①当时，可得，单调递减，又由，，所以函数在区间（上只有一个零点；②当时， ，可得恒成立，h (x)[,2π]3π2h (2π)>0h ()<03π2∈[,2π]x 03π2g(x)[,)3π2x 0(,2π]x 0g(2π)=0,g()<0π2[,2π]3π2f (x)=−132π0,2π]3(1)a =1b =0f (x)=cos x x (x)=−f ′sin x ⋅x +cos x x 2x ∈(0,)π2sin x ⋅x +cos x >0(x)<0f ′f (x)(0,)π2(2)(ⅰ)f (x)=+b a cos x x (x)=f ′−a (sin x ⋅x +cos x)x 2()=f ′π2−2a πf (x)(,f ())π2π2y =−x +26π=−−2a π6πa =3x =π2y =−×+2=−16ππ2f ()=b =−1π2f (x)f (x)=−13cos x x (ⅱ)g(x)=f (x)−+1=−32π3cos x x 32π(x)=g ′−3(x sin x +cos x)x 2x ∈(0,]π2(x)<0g ′g(x)g()=−>0π693–√π32πg()=−<0π232πg(x)0,]π2x ∈(,)π23π2cos x <0g(x)=−<03cos x x 32π,)3π所以函数在区间上没有零点；③当时，令，可得，所以在区间单调递增， ，，所以存在，使得在上单调递增，在单调递减，又由，所以函数在上有两个零点，综上可得，方程在（上有个解．21.【答案】解：，∵在与时，都取得极值，∴，，即，解得.由知，,又∵，令，即，解得，或，令，即．解得，∴函数的增区间为 ；减区间为，∴函数在时有极大值为 ，在时有极小值为．【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：，∵在与时，都取得极值，g(x)(,)π23π2x ∈[,2π]3π2h (x)=x sin x +cos x (x)=x cos x >0h ′h (x)[,2π]3π2h (2π)>0h ()<03π2∈[,2π]x 03π2g(x)[,)3π2x 0(,2π]x 0g(2π)=0,g()<0π2[,2π]3π2f (x)=−132π0,2π]3(1)(x)=3+2ax +b f ′x 2f(x)x =1x =−13(1)=0f ′(−)=0f ′133×1+2a +b =03×(−+2a(−)+b =013)213a =−1，b =−1(2)(1)f(x)=−−x +1x 3x 2(x)=3−2x −1f ′x 2(x)>0f ′3−2x −1>0x 2x <−13x >1(x)<0f ′3−2x −1<0x 2−<x <113(−∞,−)，(1,+∞)13(−，1)13x =−133227x =10(1)(x)=3+2ax +b f ′x 2f(x)x =1x =−13−)=01∴，，即，解得.由知，,又∵，令，即，解得，或，令，即．解得，∴函数的增区间为 ；减区间为，∴函数在时有极大值为 ，在时有极小值为．22.【答案】解：的直角坐标为，∴圆的直角坐标方程为 ．化为极坐标方程是．将代入圆的直角坐标方程，得，即，∴，，∴ .∵，∴，∴，即弦长的取值范围是．【考点】圆的极坐标方程圆锥曲线中的范围与最值问题【解析】此题暂无解析【解答】解：的直角坐标为，(1)=0f ′(−)=0f ′133×1+2a +b =03×(−+2a(−)+b =013)213a =−1，b =−1(2)(1)f(x)=−−x +1x 3x 2(x)=3−2x −1f ′x 2(x)>0f ′3−2x −1>0x 2x <−13x >1(x)<0f ′3−2x −1<0x 2−<x <113(−∞,−)，(1,+∞)13(−，1)13x =−133227x =10(1)C (,)2–√π4(1,1)C +=3(x −1)2(y −1)2−2ρ(cos θ+sin θ)−1=0ρ2(2){x =2+t cos α，y =2+t sin α，C +=3(x −1)2(y −1)2+=3(1+t cos α)2(1+t sin α)2+2t (cos α+sin α)−1=0t 2+=−2(cos α+sin α)t 1t 2⋅=−1t 1t 2|AB|=|−|t 1t 2=−4(+)t 1t 22t 1t 2−−−−−−−−−−−−−√=22+sin 2α−−−−−−−−√α∈[0,)π42α∈[0,)π22≤|AB|<22–√3–√|AB|[2,2)2–√3–√(1)C (,)2–√π4(1,1)+=322∴圆的直角坐标方程为 ．化为极坐标方程是．将代入圆的直角坐标方程，得，即，∴，，∴ .∵，∴，∴，即弦长的取值范围是．23.【答案】证明：，，，，，由柯西不等式得，当且仅当时取 “=”，．，，，（以上三式当且仅当时同时取“=”），将以上三式相加得，即．【考点】柯西不等式的几何意义绝对值不等式的解法与证明基本不等式在最值问题中的应用【解析】左侧图片未给出解析．左侧图片未给出解析．【解答】证明：，，，C +=3(x −1)2(y −1)2−2ρ(cos θ+sin θ)−1=0ρ2(2){x =2+t cos α，y =2+t sin αC +=3(x −1)2(y −1)2+=3(1+t cos α)2(1+t sin α)2+2t (cos α+sin α)−1=0t 2+=−2(cos α+sin α)t 1t 2⋅=−1t 1t 2|AB|=|−|t 1t 2=−4(+)t 1t 22t 1t 2−−−−−−−−−−−−−√=22+sin 2α−−−−−−−−√α∈[0,)π42α∈[0,)π22≤|AB|<22–√3–√|AB|[2,2)2–√3–√(1)∵a b c >0∴f(x)=|x +|+|x −|+≥|x +−(x −)|+=++1a 21b 214c 21a 21b 214c 21a 21b 214c 2∴++=11a 21b 214c 2(++4)(++)≥=9a 2b 2c 21a 21b 214c 2(1+1+1)2a =b =2c =3–√∴++4≥9a 2b 2c 2(2)∵+≥1a 21b 22ab +≥1b 214c 21bc +≥1a 214c 21ac a =b =2c =3–√++≤2(++)=22ab 1bc 1ac 1a 21b 214c 2++≤11ab 12bc 12ac (1)∵a b c >0f(x)=|x +|+|x −|+≥|x +−(x −)|+=++111111111，，由柯西不等式得，当且仅当时取 “=”，．，，，（以上三式当且仅当时同时取“=”），将以上三式相加得，即．∴f(x)=|x +|+|x −|+≥|x +−(x −)|+=++1a 21b 214c 21a 21b 214c 21a 21b 214c 2∴++=11a 21b 214c 2(++4)(++)≥=9a 2b 2c 21a 21b 214c 2(1+1+1)2a =b =2c =3–√∴++4≥9a 2b 2c 2(2)∵+≥1a 21b 22ab +≥1b 214c 21bc +≥1a 214c 21aca =b =2c =3–√++≤2(++)=22ab 1bc 1ac 1a 21b 214c 2++≤11ab 12bc 12ac。

2022-2023学年高中高三上数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：115 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 已知集合，，则( )A.B.C.D.2. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的为( )A.B.C.D.3. 若函数与函数的部分图象如图所示，则函数图象的一条对称轴的方程可以为（ ）A.B.C.D.4. 已知直线，和平面，．命题：若，，，则直线与直线平行或异面；命题：若，，则；命题：若，，过平面内一点作直线的垂线，则；则下列为真命题的是( )A.B.A ={x|−6x −7<0}x 2B ={x||x|=−x}A ∩B =(−1,0](−7,0][0,7)[0,1)y =xy =−x 3y =x 2y =1−xy =k sin(kx +φ)(k >0,|φ|<)π2y =kx −+6k 2f(x)=sin(kx −φ)+cos(kx −φ)x =−π24x =13π24x =7π24x =−13π24m n αβp m ⊂αn ⊂βα//βm n q m//αa//βm//βs α⊥βα∩β=m αm n n ⊥βp ∨(¬q)(¬p)∧sq ∧(¬s)C.D.5. 若函数的图象在处的切线与直线垂直，则的值为 A.B.或C.D.或6. 函数的图象大致为 A.B.C.D.7. 已知菱形的对角线相交于点，点为的中点，若 ，，则( )A.B.C.D.q ∧(¬s)(¬p)∧(¬q)f (x)=+ln x x 2(a,f (a))2x +6y −5=0a ()12142112f(x)=x 3ln |x|()ABCD O E AO AB =2∠BAD =60∘⋅=AB −→−DE −→−−2−12−72128. 已知两个相邻极值点的横坐标差的绝对值等于，当时，函数取得最小值，将的图象向左平移个单位得到一个奇函数，则的最小正值是( )A.B.C.D.9. 函数是定义域为的奇函数，当时，则当时，的表达式为（ ）A.B.C.D.10. 偶函数在内是增函数，下列不等式一定成立的是（ ）A.B.C.D.11. 已知，函数在[，]上单调递减，则实数的取值范围是（ ）A.B.[，]C.[，]D.[，]12. 已知函数，若时， ，则实数的取值范围为( )f (x)=cos(ωx +φ)(ω>0,|φ|<,x ∈R)π2π2x =2π3f (x)f (x)m m π12π2π35π12f(x)R x >0f(x)=−x +1x <0f(x)f(x)=x +1f(x)=x −1f(x)=−x +1f(x)=−x −1f (x)[,+∞)12f (1)+f (−2)>0f (1)+f (−2)<0f (1)−f (−2)>0f (1)−f (−2)<0ω>0ω(0,1]f (x)=+ln x −x (a ∈R)ae x x x ∈[1,+∞)f (x)≥−2a ,+∞)2A.B.C.D.卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 已知为递增的等比数列，，，则此数列的公比________.14. 已知定义在上的函数满足，，且当时， ，则_______.15. 已知不等式组表示的平面区域为．若直线与区域有公共点，则实数的取值范围是________．16. 已知函数，则＝________；若方程＝在区间有三个不等实根，实数的取值范围为________．三、 解答题 （本题共计 7 小题 ，每题 5 分 ，共计35分 ）17. 已知公差不为的等差数列 的前项和为 ，且，是和的等比中项求数列的通项公式；若 ,求整数的最小值 18. 已知，且．求的值；求的值． 19. 已知曲线在点处的切线斜率为，且时有极值．求函数的解析式；求函数在上的极值和最小值．20. 在中，边，，分别对应角，，，且.求角的值；[,+∞)2e2[,+∞)1e3[,+∞)1e2[,+∞)1e{}a n =3a 2+=36a 3a 4q =R f (x)f (−x)=−f (x)f (x +1)=f (1−x)x ∈[0,1]f (x)=(x +1)log 2f (31)=y ≥0y ≤x2x +y −9≤0D y =a(x +1)D a f(6)f(x)x +a [−4,8]a 0{}a n n S n =25S 5a 2a 1a 5.(1){}a n (2)≥2020S k k .α∈(,π)π2sin α=45(1)tan(α−)π4(2)sin 2α− αcos 21+cos 2αf (x)=+a +bx +13x 3x 213(1,f(1))3x =2y =f (x)(1)f (x)(2)f (x)[0,3]△ABC a b c A B C (2a −c)cos B =b cos C (1)B (2)b =2△ABC若，，求的面积. 21. 已知函数．讨论的单调性；若，判断的零点个数． 22. 在平面直角坐标系中，椭圆的参数方程为 （为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为，且经过椭圆的右焦点．求的普通方程和的直角坐标方程；若点在椭圆上，求点到直线的距离的最大值．23. 已知.当时，求不等式的解集；若时不等式成立，求的取值范围.(2)b =2a +c =4△ABC f (x)=(ln x −)−2ax (ln x −1)x 212(1)f (x)(2)1<a <2f (x)xOy C {x =4cos θ,y =2sin θ3–√θx l ρsin(x +)=t π4l C (1)C l (2)P C P l f(x)=|x +1|−|ax −1|(1)a =1f(x)>1(2)x ∈(0,1)f(x)>x a参考答案与试题解析2022-2023学年高中高三上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1.【答案】A【考点】交集及其运算一元二次不等式的解法【解析】利用集合的交集运算求解即可.【解答】解：，，∴.故选.2.【答案】B【考点】函数的单调性及单调区间函数奇偶性的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：和在定义域内不是减函数，故排除；是减函数，不是奇函数，故排除；是减函数也是奇函数，故符合题意．故选．3.【答案】B【考点】A ={x|−6x −7<0}x 2={x|−1<x <7}B ={x||x|=−x}={x|x ≤0}A ∩B ={x|−1<x ≤0}A y =x y =x 2AC y =1−xD y =−x 3B B正弦函数的对称性【解析】由函数的最大值求出，由特殊点的坐标求出的值，可得函数的解析式，再利用三角恒等变换化简的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性求得的图象的一条对称轴的方程．【解答】解：若函数与函数的部分图象如图所示，根据函数的最大值为，∴，∴．把点代入可得 ，∴，∴入．则函数．令，求得，，故的图象的对称轴的方程为得，当时，可得函数图象的一条对称轴的方程可以为，故选：．4.【答案】A【考点】空间中直线与平面之间的位置关系直线与平面平行的判定平面与平面平行的判定命题的真假判断与应用【解析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系判断．【解答】解：命题：由于直线只有种状态：平行，异面或相交，假设与相交于点，又，则点 ，同理可得，，说明同时在和内，与不符，与不可能相交，故命题是真命题，命题：，，可能是或，故命题是假命题，命题：此为面面垂直性质，故是真命题．对于，为真命题，为真命题，则为真命题；对于，为假命题，为真命题，则为假命题；对于，为假命题，为假命题，则为假命题；对于，为假命题，为真命题，则为假命题.故选．5.【答案】D A φf(x)f(x)y =k sin(kx +φ)(k >0,|φ|<)π2y =kx −+6k 2y =k sin(kπ+φ)(k >0,|φ|<)π2k −+6=k k 2k =2(,0)π12y =2sin(2x +φ)sin(+φ)=0π6φ=−π6y =2sin(2x −)π6f(x)=sin(kx −φ)+cos(kx −φ)=2sin(2x +)+2cos(2x +)=sin(2x ++)=sin(2x +)π6π62–√π6π42–√5π122x +=kπ+5π12π2x =+kπ2π24k ∈Z f(x)x =+kπ2π24k ∈Z k =1f(x)=sin(kx −φ)+cos(kx −φ)13π24B p 3m n A m ⊂Z A ∈αA ∈B A αβα//β∴m n p q m//αα//βm//B m ⊂βq s s A p ¬q p ∨(¬q)B ¬p s (¬p)∧s C q ¬s q ∧(¬s)D ¬p ¬q (¬p)∧(¬q)A【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】解：因为直线的斜率为，且，所以，解得或.故选.6.【答案】D【考点】函数的图象函数奇偶性的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：当时，，所以，排除;当时，，所以，排除.故选.7.【答案】B【考点】向量的加法及其几何意义平面向量数量积【解析】利用菱形的性质得，利用向量的加法运算，再利用向量的数量积运算得解.【解答】2x +6y −5=0−13(x)=2x +f ′1x (a)=2a +=3f ′1a a =112D 0<x <1ln |x|<0f(x)<0A ，B x >1ln |x|>0f(x)>0C D ==,∠BAO =∣∣∣AE −→−∣∣∣12∣∣∣AO −→−∣∣∣3–√230∘=+DE −→−DA −→−AE −→−=⋅(+)=⋅+⋅−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−解：由题设得，又，，所以.故选.8.【答案】D【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换【解析】由周期求出山，由五点法作图求出的值可得的解析式；再根据函数的图象变换规律，三角函数的图象和性质，求得的最小正值．【解答】解：，，，且两个相邻极值点的横坐标差的绝对值等于，∴，∴．∵当时，函数取得最小值，，∴，∴．又将的图象向左平移个单位，得到函数的解析式为，且函数是一个奇函数，∴，，则当时，取得最小正值.故选．9.【答案】D【考点】函数奇偶性的性质⋅=⋅(+)=⋅+⋅AB −→−DE −→−AB −→−DA −→−AE −→−AB −→−DA −→−AB −→−AE −→−⋅=⋅=2×2×cos(−)=−2AB −→−DA −→−DC −→−DA −→−180∘60∘⋅=××cos ∠BAOAB −→−AE −→−∣∣∣AB −→−∣∣∣∣∣∣AE −→−∣∣∣=2××cos =3–√230∘32⋅=−2+=−AB −→−DE −→−3212B φf (x)y =A sin(ωx +φ)m ∵f(x)=cos(ωx +φ)(ω>0|φ|<π2x ∈R)π2×=122πωπ2ω=2x =2π3f (x)∴2×+φ=π2π3φ=−π3f(x)=cos(2x −)π3f (x)m y =cos(2x −+2m)π3f (x)−+2m =kπ+π3π2k ∈Z k =0m 5π12D【解析】根据函数是定义域为的奇函数，当时，要求时，的表达式，转化到时求解．【解答】解：当时，则∵时，∴，∵函数是定义域为的奇函数，∴故选．10.【答案】D【考点】函数奇偶性的性质函数单调性的性质【解析】无【解答】解：因为函数在内是增函数，且，所以，又因为函数是偶函数，所以，所以．故选．11.【答案】D【考点】正弦函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】f(x)R x >0f(x)=−x +1x <0f(x)x >0x <0−x >0x >0f(x)=−x +1f(−x)=−(−x)+1=x +1f(x)R f(x)=−f(−x)=−x −1D f (x)[,+∞)122>1>12f (2)>f (1)⇒f (1)−f (2)<0y =f (x)f (2)=f (−2)f (1)−f (−2)<0D利用导数研究不等式恒成立问题【解析】令，可得恒成立，求出的导函数，对分类讨论，利用导数求得的最小值大于等于零，即可求得的取值范围．【解答】解：令，，则恒成立，，令，若，当时，，则，此时函数单调递减，则，不符合题意；若，，令，解得，①当，即时，当时，，单调递增，即，则，即在上单调递增，则恒成立，符合题意；②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，因为，所以时，，，令，解得，令，则，所以在上单调递减，所以的值域为，因为，所以存在解，即，，所以当时，，当时，，所以，只需即可，则，解得，所以，符合题意．综上，当时，不等式恒成立．故选．二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）g(x)=+ln x −x +2ae x xg(x)≥0g(x)a g(x)a g(x)=+ln x −x +2ae x x x ∈[1,+∞)g(x)≥0(x)=+−1=g ′ax −a e x e x x 21x (x −1)(a −x)e x x 2h (x)=a −x e x a ≤0x ∈[1,+∞)h (x)=a −x <0e x (x)≤0g ′g(x)g(x)≤g(1)=ae +1a >0(x)=a −1h ′e x (x)=0h ′x =ln 1a ln ≤11a a ≥1e x ∈[1,+∞)(x)≥0h ′h (x)h (x)≥h(1)=ae −1≥0(x)≥0g ′g(x)x ∈[1,+∞)g(x)≥g(1)=ae +1>0ln >11a 0<a <1e h (x)x ∈[1,ln )1a h (x)x ∈(ln ,+∞)1ah(1)=ae −1<0x ∈[1,ln )1a h (x)<0(x)<0g ′h (x)=a −x =0e x a =x e x y =x e x =y ′1−x e x y =x e x (1,+∞)y =x e x (0,)1e 0<a <1e h (x)=a −x =0e x x 0a =e x 0x 0ln a =ln −x 0x 0x ∈[1,)x 0(x)<0g ′x ∈[,+∞)x 0(x)≥0g ′g =g()(x)min x 0g()≥0x 0g()=+ln −+2x 0ae x 0x 0x 0x 0=1+ln −+2x 0x 0=ln a +3≥0a ≥1e 3≤a <1e 31e a ≥1e 3f (x)≥−2B【考点】等比数列的通项公式【解析】此题暂无解析【解答】解：，，，解得或(舍去).故答案为：.14.【答案】【考点】函数的求值函数的周期性【解析】根据函数奇偶性和条件求出函数是周期为的周期函数，利用函数周期性和奇偶性的关系进行转化即可得到结论．【解答】解：由题意得，奇函数满足，∴，即有，则，即函数是周期为的函数.∵当时，，∴.故答案为：.15.【答案】【考点】求线性目标函数的最值【解析】3∵=3a 2+=36a 3a 4∴3q +3=36q 2q =3q =−43−14f (x)f (x +1)=f (1−x)f (x +1)=f (1−x)=−f (x −1)f (x +2)=−f (x)f (x +4)=−f (x +2)=f (x)f (x)4x ∈[0,1]f (x)=(x +1)log 2f (31)=f (32−1)=f (−1)=−f (1)=−2=−1log 2−1[0,]34画出满足约束条件不等式组的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入中，求出对应的的端点值即可．【解答】解：满足约束条件不等式组的平面区域如图示：因为过定点．所以当过点，由，解得，得到，解得，又因为直线与平面区域有公共点．所以．故答案为：．16.【答案】,【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、 解答题 （本题共计 7 小题 ，每题 5 分 ，共计35分 ）17.【答案】解：因为，所以 .因为 是 和 的等比中项，所以 .设公差为 ，由题 解得，所以 .，所以 ,因为 ，由 ，故整数的最小值为【考点】y ≥0y ≤x2x +y −9≤0y =a(x +1)y =a(x +1)a y ≥0y ≤x2x +y −9≤0y =a(x +1)(−1,0)y =a(x +1)B {y =x 2x +y −9=0A(3,3)3=a(3+1)a =34y =a(x +1)D 0≤a ≤34[0,]348(−4,0)∪{2}(1)=5=25S 5a 3=5a 3a 2a 1a 5=a 22a 1a 5d(d ≠0){+2d =5，a 1(+d =(+4d)，a 1)2a 1a 1=1,d =2a 1=2n −1a n (2)==S n n(1+2n −1)2n 2=S k k 2=1936，=2025442452≥2020k 2k 45.等差数列的前n 项和等差数列的通项公式【解析】此题暂无解析【解答】解：因为，所以 .因为 是 和 的等比中项，所以 .设公差为 ，由题 解得，所以 .，所以 ,因为 ，由 ，故整数的最小值为18.【答案】解：，，，..原式.【考点】三角函数的化简求值三角函数的恒等变换及化简求值同角三角函数间的基本关系【解析】此题暂无解析(1)=5=25S 5a 3=5a 3a 2a 1a 5=a 22a 1a 5d(d ≠0){+2d =5，a 1(+d =(+4d)，a 1)2a 1a 1=1,d =2a 1=2n −1a n (2)==S n n(1+2n −1)2n 2=S k k 2=1936，=2025442452≥2020k 2k 45.(1)∵α∈(,π)π2sin α=45∴cos α=−35tan α=−43tan(α−)=π4tan α−tan π41−tan αtan π4=−−1431−(−)43=−1(2)=2sin αcos α−αcos 22αcos 2=2××(−)−(−453535)22×(−35)2=−3318解：，，，..原式.19.【答案】解：，则得解得∴．由知，，令得，令得或，则函数在上的极大值为，无极小值，∵，∴函数在上的最小值为，∴在上的极大值为，无极小值，最小值为．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的最值【解析】(1)∵α∈(,π)π2sin α=45∴cos α=−35tan α=−43tan(α−)=π4tan α−tan π41−tan αtan π4=−−1431−(−)43=−1(2)=2sin αcos α−αcos 22αcos 2=2××(−)−(−453535)22×(−35)2=−3318(1)(x)=+2ax +b f ′x 2{(1)=3,f ′(2)=0,f ′{2a +b =2,4a +b =−4,{a =−3,b =8,f (x)=−3+8x +13x 3x 213(2)(1)(x)=−6x +8f ′x 2(x)<0f ′2<x <4(x)>0f ′x <2x >4f (x)[0,3]f (2)=7f (0)=<f (3)=61313f (x)[0,3]13f (x)[0,3]713无无【解答】解：，则得解得∴．由知，，令得，令得或，则函数在上的极大值为，无极小值，∵，∴函数在上的最小值为，∴在上的极大值为，无极小值，最小值为．20.【答案】解：在中，由及正弦定理得：，即.又，所以，从而.又，故.又，所以．∵，，①，∴由余弦定理，可得：，可得：②，解得．【考点】正弦定理两角和与差的正弦公式诱导公式余弦定理【解析】此题暂无解析【解答】(1)(x)=+2ax +b f ′x 2{(1)=3,f ′(2)=0,f ′{2a +b =2,4a +b =−4,{a =−3,b =8,f (x)=−3+8x +13x 3x 213(2)(1)(x)=−6x +8f ′x 2(x)<0f ′2<x <4(x)>0f ′x <2x >4f (x)[0,3]f (2)=7f (0)=<f (3)=61313f (x)[0,3]13f (x)[0,3]713(1)△ABC 2a cos B =b cos C +c cos B sin B cos C +sin C cos B =2sin A cos B sin(B +C)=2sin A cos B A +B +C =πsin(B +C)=sin A sin A =2sin A cos B 0<A <πcos B =120<B <πB =π3(2)b =2B =π3a +c =4=+−2ac cos B b 2a 2c 24=+−ac =−3ac =16−3aca 2c 2(a +c)2ac =4=ac sin =S △ABC 12π33–√(1)△ABC 2a cos B =b cos C +c cos B解：在中，由及正弦定理得：，即.又，所以，从而.又，故.又，所以．∵，，①，∴由余弦定理，可得：，可得：②，解得．21.【答案】解：因为，所以，①当，时，，是减函数，当时，，是增函数；②当，时，，是减函数，当或时，，是增函数；③当时，，在上是增函数；④当，时，，是减函数，当或时，，是增函数．综上可得，当时，在上是减函数，在上是增函数；当时，在上是减函数，在，上是增函数；当时，在上是增函数；当时，在上是减函数，在，上是增函数．由知，当时，在上是减函数，在，上是增函数，.因为，，，所以在上没有零点.，当且时，，所以，所以在上没有零点．综上可得，当时，的零点个数为．【考点】利用导数研究函数的单调性(1)△ABC 2a cos B =b cos C +c cos B sin B cos C +sin C cos B =2sin A cos B sin(B +C)=2sin A cos B A +B +C =πsin(B +C)=sin A sin A =2sin A cos B 0<A <πcos B =120<B <πB =π3(2)b =2B =π3a +c =4=+−2ac cos B b 2a 2c 24=+−ac =−3ac =16−3aca 2c 2(a +c)2ac =4=ac sin =S △ABC 12π33–√(1)f (x)=(ln x −)−2ax (ln x −1)x 212(x)=2x (ln x −)+⋅−2a (ln x −1)−2ax ⋅f ′12x 21x 1x=2(x −a)ln x (x >0)a ≤0x ∈(0,1)(x)<0f ′f (x)x ∈(1,+∞)(x)>0f ′f (x)0<a <1x ∈(a,1)(x)<0f ′f (x)x ∈(0,a)x ∈(1,+∞)(x)>0f ′f (x)a =1(x)≥0f ′f (x)(0,+∞)a >1x ∈(1,a)(x)<0f ′f (x)x ∈(0,1)x ∈(a,+∞)(x)>0f ′f (x)a ≤0f (x)(0,1)(1,+∞)0<a <1f (x)(a,1)(0,a)(1,+∞)a =1f (x)(0,+∞)a >1f (x)(1,a)(0,1)(a,+∞)(2)(1)1<a <2f (x)(1,a)(0,1)(a,+∞)f (a)=(ln a −)−2(ln a −1)a 212a 2=(−ln a)a 232=(−ln a)a 2321<a <2−ln a >032f (a)>0f (x)(1,+∞)f (x)=(ln x −)−2ax (ln x −1)x 212=x [(x −2a)ln x +(2a −x)]121<a <20<x <1x −2a <0，ln x <0，2a −x >012f (x)>0f (x)(0,1)1<a <2f (x)0利用导数研究与函数零点有关的问题【解析】此题暂无解析【解答】解：因为，所以，①当，时，，是减函数，当时，，是增函数；②当，时，，是减函数，当或时，，是增函数；③当时，，在上是增函数；④当，时，，是减函数，当或时，，是增函数．综上可得，当时，在上是减函数，在上是增函数；当时，在上是减函数，在，上是增函数；当时，在上是增函数；当时，在上是减函数，在，上是增函数．由知，当时，在上是减函数，在，上是增函数，.因为，，，所以在上没有零点.，当且时，，所以，所以在上没有零点．综上可得，当时，的零点个数为．22.【答案】解：对于椭圆的参数方程，消参可得，其右焦点为．直线的极坐标方程为，因此平面直角坐标系方程为，由于其过点，可得，故直线的方程为．设点的坐标为，则点到直线的距离为：，(1)f (x)=(ln x −)−2ax (ln x −1)x 212(x)=2x (ln x −)+⋅−2a (ln x −1)−2ax ⋅f ′12x 21x 1x=2(x −a)ln x (x >0)a ≤0x ∈(0,1)(x)<0f ′f (x)x ∈(1,+∞)(x)>0f ′f (x)0<a <1x ∈(a,1)(x)<0f ′f (x)x ∈(0,a)x ∈(1,+∞)(x)>0f ′f (x)a =1(x)≥0f ′f (x)(0,+∞)a >1x ∈(1,a)(x)<0f ′f (x)x ∈(0,1)x ∈(a,+∞)(x)>0f ′f (x)a ≤0f (x)(0,1)(1,+∞)0<a <1f (x)(a,1)(0,a)(1,+∞)a =1f (x)(0,+∞)a >1f (x)(1,a)(0,1)(a,+∞)(2)(1)1<a <2f (x)(1,a)(0,1)(a,+∞)f (a)=(ln a −)−2(ln a −1)a 212a 2=(−ln a)a 232=(−ln a)a 2321<a <2−ln a >032f (a)>0f (x)(1,+∞)f (x)=(ln x −)−2ax (ln x −1)x 212=x [(x −2a)ln x +(2a −x)]121<a <20<x <1x −2a <0，ln x <0，2a −x >012f (x)>0f (x)(0,1)1<a <2f (x)0(1)C +=1x 216y 212(2,0)l ρcos θ+ρsin θ=t 2–√x +y −t =02–√(2,0)t =2–√l x +y −2=0(2)P (4cos θ,2sin θ)3–√P l d ==|4cos θ+2sin θ−2|3–√+1212−−−−−−√|2sin(θ+φ)−2|7–√2–√2+2–√故其最大值为，即．【考点】参数方程与普通方程的互化点到直线的距离公式参数方程的优越性【解析】无无【解答】解：对于椭圆的参数方程，消参可得，其右焦点为．直线的极坐标方程为，因此平面直角坐标系方程为，由于其过点，可得，故直线的方程为．设点的坐标为，则点到直线的距离为：，故其最大值为，即．23.【答案】解：当时，由，得 或解得，故不等式的解集为.当时不等式成立，∴，即，即，∴，∴.∵，∴，∴，∴，∴，2+27–√2–√+14−−√2–√(1)C +=1x 216y 212(2,0)l ρcos θ+ρsin θ=t 2–√x +y −t =02–√(2,0)t =2–√l x +y −2=0(2)P (4cos θ,2sin θ)3–√P l d ==|4cos θ+2sin θ−2|3–√+1212−−−−−−√|2sin(θ+φ)−2|7–√2–√2+27–√2–√+14−−√2–√(1)a =1f(x)=|x +1|−|x −1|= 2,x >1，2x,−1≤x ≤1，−2,x <−1，f(x)>1{2x >1，−1≤x ≤1，{2>1，x >1，x >12f(x)>1(,+∞)12(2)x ∈(0,1)f(x)>x |x +1|−|ax −1|−x >0x +1−|ax −1|−x >0|ax −1|<1−1<ax −1<10<ax <2x ∈(0,1)a >00<x <2a≥12a 0<a ≤2(0,2]故的取值范围为．【考点】绝对值不等式绝对值不等式的解法与证明【解析】本题考查了绝对值不等式的解法和含参数的取值范围，考查了运算能力和转化能力．【解答】解：当时，由，得 或解得，故不等式的解集为.当时不等式成立，∴，即，即，∴，∴.∵，∴，∴，∴，∴，故的取值范围为．a (0,2](1)a =1f(x)=|x +1|−|x −1|= 2,x >1，2x,−1≤x ≤1，−2,x <−1，f(x)>1{2x >1，−1≤x ≤1，{2>1，x >1，x >12f(x)>1(,+∞)12(2)x ∈(0,1)f(x)>x |x +1|−|ax −1|−x >0x +1−|ax −1|−x >0|ax −1|<1−1<ax −1<10<ax <2x ∈(0,1)a >00<x <2a ≥12a0<a ≤2a (0,2]。

2022-2023学年山西省晋城市第二中学校高二上学期12月月考数学试题一、单选题1．抛物线28y x =的焦点到其准线的距离为（ ） A ．132B ．116 C ．18D ．4【答案】B【分析】将抛物线方程转化为标准方程求解.【详解】解：抛物线的标准方程为218x y =， 所以焦点坐标为10,32F ⎛⎫⎪⎝⎭，其准线方程为132y =-，所以抛物线28y x =的焦点到其准线的距离为111323216d ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭， 故选：B2．若直线1:20l x y -+=与直线2:230l x ay +-=平行，则实数a 的值为（ ） A ．2- B ．1- C ．2 D ．1【答案】A【分析】解方程1(1)20a ⨯--⨯=即得解. 【详解】解：由题得1(1)20, 2.a a ⨯--⨯=∴=- 经检验，当2a =-时，满足题意. 故选：A3．已知直线3260x y --=经过焦点在坐标轴上的椭圆的两个顶点，则该椭圆的方程为（ ） A ．22194x y +=B ．22419x y +=C ．22194y x +=D ．22419y x +=【答案】C【分析】求出直线3260x y --=与两坐标轴的焦点为()0,3-，()2,0.根据32->，可设椭圆的方程为22221y x a b+=，求出,a b 即可. 【详解】令0x =，可得=3y -；令0y =，可得2x =. 则由已知可得，椭圆的两个顶点坐标为()0,3-，()2,0.因为32->，所以椭圆的焦点在y 轴上. 设椭圆的方程为22221y x a b +=，则3a =，2b =，所以椭圆的方程为22194y x +=.故选：C.4．若方程222141x y m m-=-+表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围为（ ）A ．()2-∞-，B ．()21--，C ．()22-，D ．()11-，【答案】A【分析】原方程可变形为222141y x m m ---=-，根据已知有21040m m -->⎧⎨-+>⎩，解出即可. 【详解】因为方程222141x y m m -=-+表示焦点在y 轴上的双曲线， 222141x y m m -=-+可变形为222141y x m m ---=-. 所以有21040m m -->⎧⎨-+>⎩，即21040m m +<⎧⎨->⎩，解得2m <-. 故选：A. 5．数列262,4,,203--，…的一个通项公式可以是（ ） A ．()12nn a n =-⋅ B ．()311n nn a n-=-⋅C ．()1221n nn a n+-=-⋅D ．()31n nn na n⋅-=-【答案】B【分析】利用检验法，由通项公式验证是否符合数列的各项结合排除法即可. 【详解】选项A ：()331236a =-⨯⨯=-，不符合题意； 选项C ：()212222132a +-=-⨯=不符合题意； 选项D ：()222327122a -=-⨯=，不符合题意； 而选项B 满足数列262,4,,203--，故选：B6．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1CC 的中点，则1AE BD ⋅=（ ）A ．0B ．1C ．32D ．2【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【详解】解：如图，建立空间直角坐标系， 则()()()()12,0,0,0,2,1,2,2,0,0,0,2A E B D ， 所以，()()12,2,1,2,2,2AE BD =-=--， 所以，14422AE BD ⋅=-+=. 故选：D7．在数列{}n a 中，122,a a a ==，且132(2,N )n n a a n n n *+=-++≥∈，若数列{}n a 单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（2，52）B ．（2，3）C ．（52，4）D ．（2，4）【答案】C【分析】由递推关系，结合条件122,a a a ==，求出数列的通项公式，再结合数列的单调性，列不等式可求实数a 的取值范围.【详解】因为132(2,N )n n a a n n n *+=-++≥∈，所以()21312(N )n n a a n n *++=-+++∈，328a a =-+，所以23(2,N )n n a a n n *+=+≥∈，又2a a =， 328a a =-+，所以数列{}n a 的偶数项按项数从小到大排列可得一公差为3的等差数列，所以当n 为偶数时，332n a n a =+-， 当n 为大于等于3的奇数时，3722n a n a =+-， 因为数列{an }单调递增，所以1n n a a -≥(2,N )n n *≥∈，所以当n 为大于等于3的奇数时，()37313222n a n a +->-+-，化简可得4a <，当n 为大于等于4偶数时，()33731222n a n a +->-+-，解得52a >，由21a a >可得，2a >， 所以542a <<， 故选：C.8．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左，右顶点分别为A ，B ，且椭圆C，点P是椭圆C 上的一点，且1tan 4PAB ∠=，则tan APB ∠（ ）A ．109-B ．1110-C ．1110D ．109【答案】B【分析】设()00,P x y 是椭圆上的点，设11tan 4k PAB =∠=，2tan k PBA =-∠求出12k k ⋅为定值，从而能求出tan PBA ∠的值，然后根据()tan tan APB PAB PBA ∠=-∠+∠求解. 【详解】设()00,P x y 代入椭圆方程，则()22002210x y a b a b+=>>整理得：()2222002,b y a x a=-设11tan 4k PAB =∠=，2tan k PBA =-∠ 又010y k x a =+，020y k x a=-,所以 ()22222000122222000116y y y b a c k k e x a x a x a a a -⋅=⋅==-=-=--=-+-- 而11tan 4k PAB =∠=，所以22tan 3k PBA =-∠=-，所以2tan 3PBA ∠=()12tan tan 1143tan tan 121tan tan 10143PAB PBA APB PAB PBA PAB PBA +∠+∠∠=-∠+∠=-=-=--∠⋅∠-⨯ 故选：B二、多选题9．在等比数列{n a }中，262,32a a ==，则{n a }的公比可能为（ ） A ．1- B ．2-C ．2D ．4【答案】BC【分析】根据等比数列的通项即可求解.【详解】因为在等比数列{n a }中，262,32a a ==，设等比数列的公比为q ，则54611216a a q q a q a ===，所以2q =±， 故选：BC .10．已知圆226430C x y x y +-+-=：，则下列说法正确的是（ ） A ．圆C 的半径为16B ．圆C 截x 轴所得的弦长为C ．圆C 与圆E ：()()22621x y -+-=相外切D ．若圆C 上有且仅有两点到直线340x y m ++=的距离为1，则实数m 的取值范围是()()19,2426,21⋃--【答案】BC【分析】先运用配方法将一般式方程化为标准方程，可确定其圆心个半径;根据点到弦的距离可求出弦长；圆心距和半径的关系可确定圆与圆的位置关系；圆心到直线的距离与半径之间的数量关系可确定圆C 上有且仅有两点到直线的距离为1【详解】A:将一般式配方可得：()()223216,4x y r -++=∴=，A 错；B ：圆心到x 轴的距离为2，弦长为B 对；C:5,C E CE r r ===+外切，C 对；D: 圆C 上有且仅有两点到直线340x y m ++=的距离为111,35r d r ∴-<<+∴<<，解之: ()()14,2426,16m ∈⋃--,D 错；故选：BC11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且151416S S S <<，则下列说法正确的是（ ） A ．0d > B ．0d <C ．300S >D ．当15n =时，n S 取得最小值【答案】ACD【分析】根据题干条件利用()12n n n a S S n -=-≥可得到150a <，15160a a +>，160a >，然后即可根据三个结论依次判断四个选项的正误.【详解】因为151416S S S <<，所以1515140a S S =-<，1616150a S S =->，151616140a a S S +=->. 对于A 、B 选项，因为150a <，160a >，所以16150d a a =->，故选项A 正确，选项B 错误； 对于C ，因为15160a a +>，所以()()130301516301502a a S a a +==+>，故选项C 正确； 对于D ，因为150a <，160a >，可知10a <，0d >，等差数列{}n a 为递增数列，当15n ≤时，0n a <，当16n ≥时，0n a >，所以当15n =时，n S 取得最小值，故D 选项正确. 故选：ACD.12．已知抛物线C ：212y x =，点F 是抛物线C 的焦点，点P 是抛物线C 上的一点，点(4,3)M ，则下列说法正确的是（ ） A ．抛物线C 的准线方程为3x =-B ．若7PF =，则△PMF 的面积为32C ．|PF PM -|D ．△PMF 的周长的最小值为7【答案】ACD【分析】根据抛物线的标准方程可得准线方程为3x =-，即可判断A ，根据抛物线定义得到4P x =，故P 点可能在第一象限也可能在第三象限，分情况计算三角形面积即可判断B ，利用三角形任意两边之差小于第三边结合三点一线的特殊情况即可得到()max ||||PF PM F M -∴=，计算即可判断C ，三角形PMF 的周长PM MF PF PM PF =++=+||||PM PF +的最小值，即得到周长最小值.【详解】212y x =，6p ∴=，()3,0F ∴，准线方程为3x =-，故A 正确； 根据抛物线定义得372P P pPF x x =+=+=，4P x =，()4,3M ,//PM y ∴轴，当4x =时，y =±若P 点在第一象限时，此时(4,P ,故433PM =-，PMF △的高为1，故()1343312322PMFS=⨯-⨯=-， 若点P 在第四象限，此时()4,43P -，故433PM =+，PMF △的高为1，故()1343312322PMFS=⨯+⨯=+，故B 错误； ||||PF PM MF -≤，()()()22max 433010||||M P F PF M ∴+--==-=,故C 正确；（连接FM ，并延长交于抛物线于点P ，此时即为||||PF PM -最大值的情况， 图对应如下）过点P 作PD ⊥准线，垂足为点D ，PMF △的周长1010PM MF PF PM PF PM PD =++=++若周长最小，则PM PD +长度和最小，显然当点,,P M D 位于同一条直线上时，PM MF +的和最小，此时7PM MF PD +==,故周长最小值为710D 正确. 故选：ACD.三、填空题13．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，121916a a =，则28223log log a a +=___________. 【答案】4【分析】由条件，结合等比数列性质可得82316a a =，再对数运算性质求28223log log a a +即可.【详解】因为数列{}n a 为等比数列，所以3122198a a a a =， 又121916a a =，所以82316a a =， 所以2822328234log log log a a a a ==+， 故答案为：4.14．已知向量(2,4,)m a =，(1,,3)n b =-，若n m λ=，则 ||n m -=___________.【答案】【分析】根据n m λ=，列出1243b a λλλ-=⎧⎪=⎨⎪=⎩，分别求出,,a b λ，然后得到,m n ，进而计算，可求出||n m -的值.【详解】n m λ=，故1243b a λλλ-=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得1226b a λ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩，故(2,4,6)m =-，(1,2,3)n =--，(3,6,9)n m -=--，则||(3)n m -=-=故答案为：15．在数列{}n a ，{}n b 中，112a =，3110a =，且11112(2)n n n n a a a -++=≥，记数列{bn }的前n 项和为Sn ，且122n n S +=-，则数列{}n n a b ⋅的最小值为___________.【答案】23【分析】可由题意构建1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差，求出n a 通项公式，{}n b 可由1n n S S --得出n b 的通项公式，再利用作差法求出新数列n n a b ⋅单调性即可求出最小值.【详解】由11112(2)n n nn a a a -++=≥可得111111n n n n a a a a +--=-，即数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，设公差为d ， 首项112a =，311121028d a a =-=-=，可得4d =，则12(1)442n n n a =+-⨯=-，即142n a n =-， 由122n n S +=-，可得当2n ≥时，11222n n nn n n b S S +-=-=-=，112b S ==，代入后符合2n n b =，即{}n b 的通项公式为2n n b =，设新数列{}n c ，242nn n n c a b n ==-，11122(23)24(1)242(21)(21)n n n n n n c c n n n n +-+--=-=+--+-，当10n n c c +->时，得 1.5n >，即2n ≥时，{}n c 是递增数列； 当10n n c c +-<时，得 1.5n <，即21c c <，综上所述223c =是最小值，即数列{}n n a b ⋅的最小值为23，故答案为：2316．已知双曲线2322100x y C a b a b -=>>：（，）的右焦点为F ，离心率为102，点A 是双曲线C 右支上的一点，O 为坐标原点，延长AO 交双曲线C 于另一点B ，且AF BF ⊥，延长AF 交双曲线C 于另一点Q ，则||||QF BQ =___________. 【答案】22【分析】在1Rt F AF △中，由勾股定理可求得||AF 、1||AF 用含有a 的代数式表示，在1Rt F AQ △中，由勾股定理可求得||QF 用含有a 的代数式表示，在Rt BFQ △中，由勾股定理可求得||BQ 可用含有a 的代数式表示，进而求得结果. 【详解】如图所示，∵22101c b e a a ==+ ，则2252c a = ，2232b a =，由双曲线的对称性知：OA OB =，1OF OF = ， 又∵AF BF ⊥，∴四边形1AFBF 为矩形，设||0AF m => ，则由双曲线的定义知：1||2AF a m =+，在1Rt F AF △中，22211||||||F F AF AF =+，即：2224(2)c a m m =++ ，整理得：22230m am a +-=，即：()(3)0m a m a -+= ， ∵0m >，∴m a = ， ∴1||3AF a =设||0QF n => ，则由双曲线的定义知：1||2QF a n =+，在1Rt F AQ △中，22211||||||F Q AQ AF =+，即：222(2)(3)()a n a a n +=++，解得：3n a = ，即：||3QF a =， 又∵1||||3BF AF a ==，∴在Rt BFQ △中，||BQ ==∴||||2QF BQ =四、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为258,224,100n S a a S +==. (1)求{an }的通项公式； (2)若+11n n n b a a =，求数列{n b }的前n 项和Tn . 【答案】(1)31n a n =- (2)2(32)n nT n =+【分析】（1）由等差数列的通项公式以及等差数列的前n 项和公式展开可求得结果； （2）由裂项相消求和可得结果.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意知，1112()4248(81)81002a d a d a d +++=⎧⎪⎨⨯-+=⎪⎩解得：123a d =⎧⎨=⎩ ∴1(1)23(1)31n a a n d n n =+-=+-=-. 故{}n a 的通项公式为31n a n =-. （2）∵1111()(31)(32)33132n b n n n n ==--+-+111111111111()()()()325358381133132111111111 ()325588113132111 =()3232=2(32)n T n n n n n nn =⨯-+⨯-+⨯-++--+=⨯-+-+-++--+⨯-++即：{}n b 的前n 项和2(32)n nT n =+.18．已知圆22:10C x y mx ny ++++=，直线1:10l x y --=，2:20l x y -=，且直线1l 和2l 均平分圆C . (1)求圆C 的标准方程(2)0y a ++-=与圆C 相交于M ，N 两点，且120MCN ∠=，求实数a 的值. 【答案】(1)()()22214x y -+-= (2)1a =或3a =-【分析】（1）根据直线1l 和2l 均平分圆C ，可知两条直线都过圆心，通过联立求出两条直线的交点坐标，由此得到圆心坐标即可得到圆的标准方程.（2）根据120MCN ∠=，及MCN △为等腰三角形可得到30CMN ∠=，可得圆心到直线的距离sin d r CMN =∠，再根据点到直线的距离公式即可求出实数a 的值.【详解】（1）因为直线1l 和2l 均平分圆C ，所以直线1l 和2l 均过圆心C ，因为1020x y x y --=⎧⎨-=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，所以直线1l 和2l 的交点坐标为()2,1，所以圆心C 的坐标为()2,1，因为圆22:10C x y mx ny ++++=，所以圆心坐标为,22m n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以2212m n ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得42m n =-⎧⎨=-⎩，所以圆C 的方程为224210x y x y +--+=，即()()22214x y -+-=， 所以圆C 的标准方程为()()22214x y -+-=.（2）由（1）得圆C 的标准方程为()()22214x y -+-=，圆心()2,1C ，半径2r =，因为120MCN ∠=，且MCN △为等腰三角形，所以30CMN ∠=， 因为CM CN r ==，所以圆心C 到直线3230x y a ++-=的距离sin 2sin301d r CMN =∠==， 根据点到直线的距离公式()222312311231a a d ++-+===+， 即12a +=，解得1a =或3a =-， 所以实数a 的值为1a =或3a =-.19．如图，在四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 是菱形.1202DAB PA AD ∠===，，22PC PD ==，点E 是棱PC 的中点.(1)证明：PC ⊥BD .(2)求平面P AB 与平面BDE 所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 3【分析】（1）首先根据线面垂直的判定定理证明PA ⊥平面ABCD ，然后建立空间直角坐标系，通过空间向量垂直的判定条件证明PC BD ⊥即可；（2）通过第（1）问的空间直角坐标系，根据二面角夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）120DAB ∠=，四边形ABCD 为菱形， 60CAD ∴∠=，又60ADC ∠=，ACD ∴为等边三角形，2AD =，2AC CD ∴==，2PA =，22=PC222PA AC PC +=，PA AC ∴⊥， 222PA AD PD +=，PA AD ∴⊥，ACAD A =，AC ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，PA ∴⊥平面ABCD .过点A 作AF BC ⊥，则PA AF ⊥，AF AD ⊥，PA AD ⊥，∴分别以AF ，AD ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴如图建立空间直角坐标系.2AB =，cos603AF AB ∴=⋅=，1BF =，2BC =，1FC ∴=.)3,0,0F∴，()002P ,,，)3,1,0C，()3,1,0B-，()0,2,0D ，()3,1,2PC ∴=-，()3,3,0BD =-，(33130PC BD ⋅=-⨯=，PC BD ∴⊥.（2）()0,0,2P ，)3,1,0C，E 为PC 中点，31,12E ⎫∴⎪⎪⎝⎭，设平面PAB 的法向量为()1111,,n x y z =，()0,0,2PA =-，()3,1,0AB =-，1112030z x y -=⎧⎪∴⎨-=⎪⎩，()11,3,0n ∴=.设平面BDE 的法向量为()2222,,n x y z =，()3,3,0BD =-，33,122DE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，222223303302x y y z ⎧-+=⎪∴⎨-+=⎪，()23,1,0n ∴=， 设平面PAB 与平面BDE 夹角为θ， 则121213313cos n n n n θ⋅⨯+⨯==⋅∴平面PAB 与平面BDE 320．已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点F 关于抛物线C 的准线的对称点为()9,0P -. (1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作倾斜角为θ的直线l ，交抛物线C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，记OAB 的面积为S ，求证：18sin S θ=. 【答案】(1)212y x = (2)证明见解析【分析】（1）根据抛物线的简单几何性质得到抛物线的焦点坐标和准线方程，结合条件得到()19222p p ⎡⎤⨯+-=-⎢⎥⎣⎦，即可求解. （2）设直线:3l x my =+，且cos sin m θθ=（()0,πθ∈），()11,A x y ，()22,B x y ，联立抛物线的方程结合韦达定理计算得到12y y -，结合图形得到1212OFA OFB S S S OF y y =+=⨯⨯-△△，即可求证.【详解】（1）由题意得：抛物线C 的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程0l ：2p x =-，因为焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭关于准线0:2p l x =-的对称点为()9,0P -，则()19222p p ⎡⎤⨯+-=-⎢⎥⎣⎦，解得：6p ， 所以抛物线C 的方程为：212y x =. （2）由（1）知，焦点()3,0F ，如图：过点F 作倾斜角为θ的直线l ，交抛物线C 于A ，B 两点， ∴直线l 的倾斜角θ不为0，则()0,πθ∈，即sin 0θ>，则设直线:3l x my =+，且cos sin m θθ=（()0,πθ∈），()11,A x y ，()22,B x y ， 联立2312x my y x=+⎧⎨=⎩，得：212360y my --=，由()2124360m ∆=+⨯>，得：12121236y y m y y +=⎧⎨=-⎩，则12y y -==又222cos 111sin sin m θθθ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，所以121212sin y y θ-=（()0,πθ∈）， 又1212111222OFA OFB S S S OF y OF y OF y y =+=⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯-△△，即1121832sin sin S θθ=⨯⨯=. 综上：OAB 的面积18sin S θ=，得证. 【点睛】方法点睛：（1）解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系. （2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.21．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线方程为yx =，且过点(3,.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)若双曲线C 的右焦点为F ，点()0,4P -，过点F 的直线l 交双曲线C 于,A B 两点，且PA PB =，求直线l 的方程.【答案】(1)2213x y -=(2)0y =，或1233y x =-或2y x =-+.【分析】（1）根据题意得22921b a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，进而解方程即可得答案；（2）由题知()2,0F ，进而先讨论直线l 的斜率不存在不满足条件，再讨论l 的斜率存在，设方程为()2y k x =-，设()()1122,,,A x y B x y ，进而与双曲线方程联立得线段AB 中点为22262,1313k k E k k ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭，再结合题意得PE AB ⊥，进而再分0k =和0k ≠两种情况讨论求解即可.【详解】（1）解：因为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线方程为y=，且过点(3,， 所以，22921b a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得221,3b a ==所以，双曲线C 的标准方程为2213x y -=（2）解：由（1）知双曲线C 的右焦点为()2,0F ，当直线l 的斜率不存在时，方程为:2l x =，此时,2,A A ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，PA PB =≠= 所以，直线l 的斜率存在，设方程为()2y k x =-，所以，联立方程()22213y k x x y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩得()222213121230k x k x k -+--= 所以()()422214441331212120k k k k ∆=----=+>，且2130k -≠，所以，k ≠设()()1122,,,A x y B x y ，则2212122212123,1313k k x x x x k k --+=-=-- 所以()3121222124441313k ky y k x x k k k k+=+-=--=---， 所以，线段AB 中点为22262,1313k k E k k ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭， 因为PA PB =，所以，点()0,4P -在线段AB 的中垂线上， 所以PE AB ⊥，所以，当0k =时，线段AB 中点为()0,0E ，此时直线l 的方程为0y =，满足题意；当0k ≠时，22222222424122613,66313PEAB kk k k k k k k k k k k k -+-+--+--====----， 所以，222613PE AB k k k k k k -+-⋅=⋅=--，整理得23210k k +-=，解得13k =或1k =-，满足k ≠综上，直线l 的方程为0y =，或1233y x =-或2y x =-+.22．已知椭圆2222:1(0x y C a b a b +=>>0x y -=相切.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：1y kx =+与椭圆C 交于,A B 两点，点P 是y 轴上的一点，过点A 作直线PB 的垂线，垂足为M ，是否存在定点P ，使得PB PM ⋅为定值？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)22164x y += (2)存在，1(0,)4P【分析】（1）根据题意得,a b ==，由C与直线0x y --=相切，联立方程得22c =，即可解决；（2）1122(0,),(,),(,)P t A x y B x y ，结合韦达定理得PB PM PB PA ⋅=⋅222292(1)(312)23t t k k -+-+-=+，即可解决.【详解】（1）由题知，,c a b a ==， 所以椭圆C 为2222132x y c c+=，即2222360x y c +-=，因为C与直线0x y --=相切，所以22223600x y c x y ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩，消去y得22223(60x x c +-=，所以2253060x c -+-=，所以236045(306)0c ∆=-⨯⨯-=，得22c =，所以椭圆C 的标准方程为22164x y +=； （2）设1122(0,),(,),(,)P t A x y B x y ，由221641x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22222(23)690,3636(23)144720,k x kx k k k ++-=∆=++=+> 所以12122269,2323k x x x x k k +=-=-++， 所以()PB PM PB PA AM PB PA PB AM PB PA ⋅=⋅+=⋅+⋅=⋅1122(,)(,)x y t x y t =-⋅-1212(1)(1)x x kx t kx t =++-+- 221212(1)(1)()(1)k x x k t x x t =++-++-222296(1)()(1)()(1)2323kk k t t k k=+-+-⋅-+-++ 222292(1)(312)23t t k k -+-+-=+，所以2231292(1)32t t --+-=，解得14t =， 所以存在点1(0,)4P ，使得PB PM ⋅为定值.。

2022-2023学年高中高三上数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 5 分 ，共计50分 ）1. 已知集合，，则（ ）A.B.C.D.2. 若，为实数，则""是“"的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. 已知函数在上满足，则曲线在点（）处的切线方程是（ ）A.B.C.D.4. 函数的定义域为（ ）A.B.A ={x|−x −2<0}x 2B ={x|+2x ≤0}x 2A ∩B ={x|0<x <2}{x|−1<x ≤0}{x|−1<x <0}{x|0≤x <2}a b b <1aab <1f(x)R f(1+x)=2f(1−x)−+3x +1x 2y =f(x)1,f(1)x −y −2=0x −y =03x +y −2=03x −y −2=0f (x)=lg(tan x −1){x|x ≠kπ+,k ∈Z}π2{x|kπ−<x <kπ+,k ∈Z}π2π2x|kπ<x <kπ+,k ∈Z}πC.D.5. 已知函数的值域为，则实数的取值范围( )A.B.C.D.6. 复兴号动车组列车是中国标准动车组的中文名称，是由中国铁路总公司牵头组织研制、具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列车．年月日，智能复兴号动车组在京张高铁实现时速自动驾驶，不仅速度比普通列车快，而且车内噪声更小，我们用声强（单位：）表示声音在传播途径中每平方米面积上的声能流密度，声强级（单位：）与声强的函数关系式为，已知时，．若要将某列车的声强级降低，则该列车的声强应变为原声强的( )A.B.C.D.7. 已知是定义在上的奇函数，对任意两个不相等的正数，都有，记，，，则( )A.B.C.D.8. 已知函数是定义在上的偶函数，在区间上递减，且，则不等式的解集为 A.{x|kπ<x <kπ+,k ∈Z}π2{x|kπ+<x <kπ+,k ∈Z}π4π2f(x)={(1−2a)x +3a ，x <1，ln x ，x ≥1R a (−∞,−1](−1,]12[−1,)12(0,)1220191230CR400BF −C 350km I W/m 2L dB I L =10lg(aI)I =W/1013m 2L =10dB 30dB 10−510−410−310−2f(x)R ,x 1x 2>0f()−f()x 2x 1x 1x 2−x 1x 2a =f(−)40.2−40.2b =f(1)c =f()0.42.10.42.1a <c <bc <b <aa <b <cb <c <af(x)R [0,+∞)f(−2)=0<0f(x)x ()(−∞,−2)∪(2,+∞)(−2,0)∪(0,2)B.C.D.9. 在实数集中定义一种运算“”，对任意，，为唯一确定的实数，且具有以下性质：对任意，；对任意，，．则函数的最小值为 A.B.C.D.10. 已知函数对任意都有，当时，（其中为自然对数的底数），若存在实数满足，则的取值范围为（）A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 2 小题 ，每题 5 分 ，共计10分 ）11. 若，下列结论正确的是( )A.B.C.D.(−2,0)∪(0,2)(−2,0)∪(2,+∞)(−∞,−2)∪(0,2)R ∗a b ∈R a ∗b (1)a ∈R a ∗0=a (2)a b ∈R a ∗b =ab +(a ∗0)+(b ∗0)f(x)=()∗e x 1e x ()1234f (x)x ∈R f (x)=f (2−x)x ≤1f (x)= ln −2,0<x ≤1,1x −,x ≤0,e x e a,b,c,d (a <b <c <d)f (a)=f (b)=f (c)=f (d)(a +b +c +d)b −43e a [ln ,−]433e 4e 43[−,)4e 434e 2[ln ,]433e 4e 2[ln ,)433e 4e 2b <a <0<a 2b 2ab <b 2(<(12)b 12)a+>2ab ba (x)={|ln x|,x >0,12. 已知函数若存在，使得成立，则（ ）A.B.C.D.卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. ________.14. 若函数＝的值域为，则其定义域为________．15. 函数是定义在上的偶函数，且，对任意的都有，则________.16. 设则________，不等式的解集为________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ） 17. 计算：（1）（2）．18. 已知函数在时有最大值和最小值，设.求实数，的值；若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．19. 已知函数，且 .当且时，求函数的值域；若时总有，求实数的取值范围．20. 已知函数是定义在 上的奇函数．f (x)={|ln x|,x >0,−+1,x ≤0,x 2a <b <c f (a)=f (b)=f (c)bc =1b +c =1a +b +c >1abc <−1lg2+lg5++(×=20513)25–√3f(x)[4,+∞)f (x)R f (2)=−1x ∈R f (x)=−f (2−x)f (2020)=f(x)={2，x <2，e x−1(−1)，x ≥2，log 3x 2f (f(1))=f(x)>2−(++(⋅0.064−1378)016342–√3–√3)6lg −lg +lg12.5+3⋅81258log 2log 3g(x)=a −2ax +1+b (a,b ≥0)x 2x ∈[1,2]10f (x)=g(x)x(1)a b (2)f (x)−2k x ≤0log 2log 2x ∈[4,8]k f (x)=(−3x +4)−x log a x 2log a a >0a ≠1(1)a =22–√x ∈[1,4]f (x)(2)x ∈[1,4]|f (x)|<2a f (x)=−e x me x R (1)求实数的值；用单调性定义证明函数是上的增函数；若函数满足，求实数的取值范围．21. 已知函数.若使不等式成立，求实数的取值范围；当时，求在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积．22. 设.讨论在上的单调性；令，试判断在上零点的个数，并加以证明.(1)m (2)f (x)R (3)f (x)f (t −1)+f (2)<0t 2t f (x)=m −mx −12x 2(1)∃x ∈R f (x)>0m (2)m =1(1,f (1))f (x)=x sin x +cos x,g(x)=+4x 2(1)f (x)[−π,π](2)h (x)=g(x)−4f (x)h(x)R参考答案与试题解析2022-2023学年高中高三上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 5 分 ，共计50分 ）1.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】D【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】利用特值即可判断其充分性与必要性均不成立即可得解.【解答】解：当， 时，满足 ，但不成立，即充分性不成立；当，时，满足 ，但不成立，即必要性不成立；则“”是“”的既不充分也不必要条件.故选．3.【答案】Ab =−2a =−1b <1a ab <1a =−1b =2ab <1b <1a b <1a ab <1D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程导数的几何意义【解析】对等式两边进行求导数，通过赋值求切线斜率；对等式赋值求切点坐标；据点斜式写出直线方程．【解答】解：∵∴∴∴∴∴∴切线方程为：即故选4.【答案】D【考点】函数的定义域及其求法【解析】由题意，令真数必要大于零得到正切值的大小，再进行求解即可.【解答】解：已知函数，因为，即，所以，，所以函数的定义域为.故选.5.【答案】C【考点】分段函数的应用f(1+x)=2f(1−x)−+3x +1x 2f'(1+x)=−2f'(1−x)−2x +3f'(1)=−2f'(1)+3f'(1)=1f(1+x)=2f(1−x)−+3x +1x 2f(1)=2f(1)+1f(1)=−1y +1=x −1x −y −2=0A f(x)=lg(tan x −1)tan x −1>0tan x >1kπ+<x <kπ+π4π2k ∈Z f(x){x|kπ+<x <kπ+,k ∈Z}π4π2D函数的值域及其求法【解析】利用分段函数的单调性，结合函数的值域．列出不等式求解即可．【解答】解：函数 当时，.∵值域为,∴解得：．故选．6.【答案】C【考点】函数模型的选择与应用对数及其运算【解析】无【解答】解：由已知得，解得，故．设某列车原来的声强级为，声强为，该列车的声强级降低后的声强级为，声强为，则，所以，解得．故选．7.【答案】B【考点】f(x)={(1−2a)x +3a ，x <1，ln x ，x ≥1，x ≥1ln x ≥0R {1−2a >0，1−2a +3a ≥0，−1≤a <12C 10=10lg(a ×)1013a =10−12L =10lg(×I)=10(−12+lgI)10−12L 1I 130dB L 2I 2−L 1L 2=10(−12+lg )−10(−12+lg )I 1I 2=10(lg −lg )I 1I 2=101g =30I 1I 2lg =3I 1I 2=I 2I 110−3C奇偶性与单调性的综合奇函数【解析】此题暂无解析【解答】解：设，，则，∴.易知，由题知，∴，∴函数在上是增函数.又函数为奇函数，即，∴，∴函数在上是减函数，在上是增函数，，，.∵，∴，即.故选.8.【答案】C【考点】其他不等式的解法奇偶性与单调性的综合函数奇偶性的性质函数单调性的判断与证明【解析】此题暂无解析【解答】解：因为，且该函数为偶函数，所以 ，g(x)=f(x)x 0<<x 1x 2g()−g()=−=x 1x 2f()x 1x 1f()x 2x 2f()−f()x 2x 1x 1x 2x 1x 2=g()−g()x 1x 2−x 1x 2f(x −1)−f()x 2x 1x 2(−)x 1x 2x 1x 2>0x 1x 2>0f()−f()x 2x 1x 1x 2−x 1x 2>0g()−g()x 1x 2−x 1x 2g(x)(0,+∞)f(x)f(−x)=−f(x)g(−x)===g(x)f(−x)−x −f(x)−x g(x)(−∞,0)(0,+∞)a =g(−)=g()40.240.2b =g(1)c =g()0.42.10<<1<0.42.140.2g()<g(1)<g()0.42.140.2c <b <a B f(−2)=0f(2)=f(−2)=00f (x)当时, 等价于 ，∵在 上递减，故 在 的解为 ；当时， 等价于 ，∵在 上递减且 为偶函数，故 在 上为增函数，故在 的解为 ，综上，的解集为 .故选9.【答案】C【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】根据性质，，利用基本不等式，即可得出结论．【解答】解：根据性质，，当且仅当 时，的最小值为．故选．10.【答案】D【考点】利用导数研究函数的单调性函数恒成立问题分段函数的应用利用导数研究不等式恒成立问题函数奇偶性的性质x >0<0f (x)xf (x)<0=f (2)f (x)[0,+∞)f(x)<f(2)(0,+∞)x >2x <0<0f (x)x f (x)>0=f (−2)f (x)[0,+∞)f (x)f (x)(−∞,0)f (x)>f (−2)(−∞,0)−2<x <0<0f (x)x(−2,0)∪(2,+∞)C.f(x)=()∗=1++e x 1e x e x 1e x f(x)=()∗e x 1e x =1++≥1+2=3e x 1e x =e x 1e x f(x)=()∗e x 1e x 3C【解析】此题暂无解析【解答】二、 多选题 （本题共计 2 小题 ，每题 5 分 ，共计10分 ）11.【答案】A,B,D【考点】基本不等式不等式比较两数大小【解析】【解答】解：，∵，∴，∴，选项正确；，∵，∴两边同乘以负数得，选项正确；，∵，，∴根据指数函数的性质得，选项错误；，∵，∴，，∴，选项正确．综上，选项正确．故选.12.【答案】A,C【考点】分段函数的应用函数与方程的综合运用【解析】无【解答】A b <a <0−b >−a >0>b 2a 2B b <a<0b >ab b 2C 0<<112b <a (>(12)b 12)aD b <a <0>0a b >0b a +>2=2a b b a ×a b b a −−−−−−√ABD ABD y =f (x)解：如图，画出函数的图象，可知，，，则，且，所以，即．因为，所以，．故选．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】对数的运算性质分数指数幂【解析】此题暂无解析【解答】解：.故答案为：.14.【答案】，]【考点】函数的值域及其求法y =f (x)−1<a ≤0≤b <11e 1<c ≤e b +c >c >1−ln b =ln c ln b +ln c =ln bc =0bc =1bc =1abc =a ∈(−1,0]a +b +c =a ++c >a +2>11c AC 7lg2+lg5++(×20513)25–√3=lg(2×5)+1+×52−−√35–√3=1+1+5=77(3函数的定义域及其求法【解析】利用分子常数化进行化简，利用分式函数的性质进行转化求解即可．【解答】＝＝，∵函数＝的值域为，∴由＝，即，得，得，即对应的定义域为，]，15.【答案】【考点】函数的周期性函数奇偶性的性质函数的求值【解析】根据题意，由函数的奇偶性分析可得，进而可得，即函数是周期为的周期函数，据此可得，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数是定义在上的偶函数，且对任意的，都有，则，变形可得，即函数是周期为的周期函数，∴.故答案为：.16.【答案】,f(x)2+f(x)[4f(x)8+≥43<x −3≤3<x ≤(31f (x)=−f (x −2)f (x)=−f (x −2)=f (x −4)f (x)4f (2020)=f (4+4×504)=f (4)=−f (2)f (x)R x ∈R f (x)=−f (2−x)f (x)=−f (x −2)f (x)=−f (x −2)=f (x −4)f (x)4f (2020)=f (4+4×504)=f (4)=−f (2)=111(1,2)∪(,+∞)10−−√【考点】其他不等式的解法分段函数的应用函数的求值【解析】根据函数的解析式求出的值是，从而求出的值即可；不等式即或，即，或，解出即可．【解答】解：∵∴，故；若，则或，即，或，解得：或.故答案为：；.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：（1）；（2）．【考点】对数的运算性质根式与分数指数幂的互化及其化简运算【解析】f(1)2f(2)f(x)>22>2e x−1(−1)>2log 3x 2>1=e x−1e 0−1>9x 2f(x)={2，x <2，e x−1(−1)，x ≥2，log 3x 2f(1)=2⋅=2e 1−1f(f(1))=f(2)=(4−1)=1log 3f(x)>22>2(x <2)e x−1(−1)>2(x ≥2)log 3x 2>1=e x−1e 0−1>9x 21<x <2x >10−−√1(1,2)∪(,+∞)10−−√−(++(⋅0.064−1378)016342–√3–√3)6=(0．−1+(+(⋅43)−1324)34212313)6=−1++⋅0.4−1232332=−1+8+7252=−1532lg −lg +lg12.5+3⋅81258log 2log 3=−lg2−(lg5−lg8)+lg +⋅54lg3lg2lg8lg3=−lg2−lg5+3lg2+lg5−2lg2+3=3（1）化小数为分数，化根式为分数指数幂，然后利用有理指数幂的运算性质求值；（2）由对数的运算性质及换底公式化简求值．【解答】解：（1）；（2）．18.【答案】解：函数，①当时，，无最值，不成立；②当时，在区间上是增函数，故解得由已知可得，则，所以，不等式，转化为在上恒成立，设，则，即，在上恒成立，即，因为，所以，所以当时，取得最大值，最大值为，则，即，所以的取值范围为．【考点】函数恒成立问题−(++(⋅0.064−1378)016342–√3–√3)6=(0．−1+(+(⋅43)−1324)34212313)6=−1++⋅0.4−1232332=−1+8+7252=−1532lg −lg +lg12.5+3⋅81258log 2log 3=−lg2−(lg5−lg8)+lg +⋅54lg3lg2lg8lg3=−lg2−lg5+3lg2+lg5−2lg2+3=3(1)g(x)=a −2ax +1+b x 2=a +1+b −a (x −1)2a =0g(x)=b +1a >0g(x)[1,2]{g(2)=1+b =1，g(1)=1+b −a =0，{a =1，b =0.(2)g(x)=−2x +1x 2f (x)==x +−2g(x)x 1x f (x)−2k x ≤0log 2log 2x +−2−2k x ≤0log 21xlog 2log 2x ∈[4,8]t =x log 2t ∈[2,3]t +−2−2kt ≤01t t ∈[2,3]2k ≥1+−=1t 22t (−1)1t 2t ∈[2,3]∈[,]1t 1312=1t 13(−1)1t 2=(−1)132492k ≥49k ≥29k [,+∞)29二次函数在闭区间上的最值【解析】（1）求出函数的对称轴，结合函数最大值和最小值建立方程即可求出，的值．（2）利用换元法以及参数分离法进行转化，结合函数最值进行求解即可．【解答】解：函数，①当时，，无最值，不成立；②当时，在区间上是增函数，故解得由已知可得，则，所以，不等式，转化为在上恒成立，设，则，即，在上恒成立，即，因为，所以，所以当时，取得最大值，最大值为，则，即，所以的取值范围为．19.【答案】解：设，∵的单减区间为，单增区间为，∴，∵在上单增，∴函数的值域为 . 由知，①当时，在上单增，得，由，有解得；②当时，在上单减， ，由，有解得；g(x)a b (1)g(x)=a −2ax +1+b x 2=a +1+b −a (x −1)2a =0g(x)=b +1a >0g(x)[1,2]{g(2)=1+b =1，g(1)=1+b −a =0，{a =1，b =0.(2)g(x)=−2x +1x 2f (x)==x +−2g(x)x 1x f (x)−2k x ≤0log 2log 2x +−2−2k x ≤0log 21xlog 2log 2x ∈[4,8]t =x log 2t ∈[2,3]t +−2−2kt ≤01t t ∈[2,3]2k ≥1+−=1t 22t (−1)1t 2t ∈[2,3]∈[,]1t 1312=1t 13(−1)1t 2=(−1)132492k ≥49k ≥29k [,+∞)29(1)t =x +−34x t [1,2][2,4]1≤t ≤2y =t log 22√[1,2]f (x)[0,]23(2)(1)1≤t ≤2a >1y =t log a [1,2]0≤t ≤2log a log a |y|<2{a >1,2<2,log a a >2–√0<a <1y =t log a [1,2]2≤t ≤0log a log a |y|<2{0<a <1,2>−2,log a 0<a <2–√20,)∪(,+∞)–√综上所述，实数的取值范围为 .【考点】复合函数的单调性函数的值域及其求法函数的定义域及其求法函数恒成立问题【解析】【解答】解：设，∵的单减区间为，单增区间为，∴，∵在上单增，∴函数的值域为 . 由知，①当时，在上单增，得，由，有解得；②当时，在上单减， ，由，有解得；综上所述，实数的取值范围为 . 20.【答案】解：因为是定义在上的奇函数，所以，得．经检验当时，是奇函数．所以．证明：设，，且，则因为，所以，因此，即在上的增函数．解：由是奇函数，所以．又是上的增函数，所以，解得，a (0,)∪(,+∞)2–√22–√(1)t =x +−34x t [1,2][2,4]1≤t ≤2y =t log 22√[1,2]f (x)[0,]23(2)(1)1≤t ≤2a >1y =t log a [1,2]0≤t ≤2log a log a |y|<2{a >1,2<2,log a a >2–√0<a <1y =t log a [1,2]2≤t ≤0log a log a |y|<2{0<a <1,2>−2,log a 0<a <2–√2a (0,)∪(,+∞)2–√22–√(1)f (x)R f (0)=−=0e 0m e 0m =1m =1f (x)=−e x 1e x m =1(2)x 1∈R x 2<x 1x 2f ()−f ()=−−+x 1x 2e x 11e x 1e x 21e x 2=(−)(1+)e x 1e x 21e x 1e x 2<x 1x 20<<e x 1e x 2f ()<f ()x 1x 2f (x)R (3)(1)f (x)f (2)<−f (t −1)=f (1−t)t 2f (x)R 2<1−t t 2−1<t <12−1,)1故实数的取值范围是．【考点】函数奇偶性的性质函数单调性的判断与证明奇偶性与单调性的综合函数恒成立问题【解析】无无无【解答】解：因为是定义在上的奇函数，所以，得．经检验当时，是奇函数．所以．证明：设，，且，则因为，所以，因此，即在上的增函数．解：由是奇函数，所以．又是上的增函数，所以，解得，故实数的取值范围是．21.【答案】解：①当时， ，显然不成立；②当时，显然成立；③当时，要使使不等式成立，则，解得或，又，所以，综上，实数的取值范围为或.当时， ，则，， 所以，则切线方程为，在点处的切线与坐标轴的交点分别为，.所以切线与坐标轴围成的三角形面积为．t (−1,)12(1)f (x)R f (0)=−=0e 0m e 0m =1m =1f (x)=−e x 1e x m =1(2)x 1∈R x 2<x 1x 2f ()−f ()=−−+x 1x 2e x 11e x 1e x 21e x 2=(−)(1+)e x 1e x 21e x 1e x 2<x 1x 20<<e x 1e x 2f ()<f ()x 1x 2f (x)R (3)(1)f (x)f (2)<−f (t −1)=f (1−t)t 2f (x)R 2<1−t t 2−1<t <12t (−1,)12(1)m =0f (x)=−12m >0m <0∃x ∈R f (x)>0Δ=+48m >0m 2m <−48m >0m <0m <−48m m <−48m >0(2)m =1f (x)=−x −12x 2f (1)=−12(x)=2x −1f ′(1)=1f ′y +12=x −1(1,f (1))(0,−13)(13,0)1692【考点】函数恒成立问题利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】解：①当时， ，显然不成立；②当时，显然成立；③当时，要使使不等式成立， 则，解得或，又，所以，综上，实数的取值范围为或.当时， ，则，，所以，则切线方程为，在点处的切线与坐标轴的交点分别为，.所以切线与坐标轴围成的三角形面积为．22.【答案】解：，令，则或，时，单调递增,时，单调递减,时，单调递增,时，单调递减．，．∴是的一个零点.，∴是偶函数，∴要确定在上的零点个数，只需确定时，的零点个数即可.①当时，，令，即或，时，单调递减，，时，单调递增，，(1)m =0f (x)=−12m >0m <0∃x ∈R f (x)>0Δ=+48m >0m 2m <−48m >0m <0m <−48m m <−48m >0(2)m =1f (x)=−x −12x 2f (1)=−12(x)=2x −1f ′(1)=1f ′y +12=x −1(1,f (1))(0,−13)(13,0)1692(1)(x)=sin x +x cos x −sin x =x cos x f ′(x)=0f ′x =0,x =±π2x ∈(−π,−)π2(x)>0,f (x)f ′x ∈(−,0)π2(x)<0,f (x)f ′x ∈(0,)π2(x)>0,f (x)f ′x ∈(,π2π)(x)<0,f (x)f ′(2)h (x)=+4−4x sin x −4cos x x 2h (0)=0x =0h(x)h (−x)=+4−4(−x)sin(−x)−4cos(−x)(−x)2=+4−4x sin x −4cos x =h (x)x 2h(x)h(x)R x >0h(x)>x >05π3(x)=2x −4x cos x =2x (1−2cos x)h ′(x)=0h ′cos x =,x =+2kx 12π3−+2kx (k ∈N)π3x ∈(0,)π3(x)<0,h (x)h ′h ()<0π3x ∈(,π)π353(x)>0,h (x)h ′h (π)=+π+2>053259π2103–√3,π)5∴在（有唯一零点．②当时，由于,,而在单调递增，，∴恒成立，故在（）无零点．∴在有一个零点，由于是偶函数，在有一个零点，而,∴在上有且仅有个零点．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究与函数零点有关的问题【解析】【解答】解：，令，则或，时，单调递增,时，单调递减,时，单调递增,时，单调递减．，．∴是的一个零点.，∴是偶函数，∴要确定在上的零点个数，只需确定时，的零点个数即可.①当时，，令，即或，时，单调递减，，时，单调递增，，h(x)0,π)53x ≥π53sin x ≤1,cos x ≤1h (x)=+4−4x sin x −4cos xx 2≥+4−4x −4=−4x =t (x)x 2x 2t(x)(π,+∞)53t (x)≥t (π)>053h (x)>0h(x)π,+∞53h(x)(0,+∞)h(x)∴h(x)(−∞,0)h (0)=0h(x)R 3(1)(x)=sin x +x cos x −sin x =x cos x f ′(x)=0f ′x =0,x =±π2x ∈(−π,−)π2(x)>0,f (x)f ′x ∈(−,0)π2(x)<0,f (x)f ′x ∈(0,)π2(x)>0,f (x)f ′x ∈(,π2π)(x)<0,f (x)f ′(2)h (x)=+4−4x sin x −4cos x x 2h (0)=0x =0h(x)h (−x)=+4−4(−x)sin(−x)−4cos(−x)(−x)2=+4−4x sin x −4cos x =h (x)x 2h(x)h(x)R x >0h(x)>x >05π3(x)=2x −4x cos x =2x (1−2cos x)h ′(x)=0h ′cos x =,x =+2kx 12π3−+2kx (k ∈N)π3x ∈(0,)π3(x)<0,h (x)h ′h ()<0π3x ∈(,π)π353(x)>0,h (x)h ′h (π)=+π+2>053259π2103–√3,π)5∴在（有唯一零点．②当时，由于,,而在单调递增，，∴恒成立，故在（）无零点．∴在有一个零点，由于是偶函数，在有一个零点，而,∴在上有且仅有个零点．h(x)0,π)53x ≥π53sin x ≤1,cos x ≤1h (x)=+4−4x sin x −4cos xx 2≥+4−4x −4=−4x =t (x)x 2x 2t(x)(π,+∞)53t (x)≥t (π)>053h (x)>0h(x)π,+∞53h(x)(0,+∞)h(x)∴h(x)(−∞,0)h (0)=0h(x)R 3。

2022-2023学年山西省太原市高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合，则（ ）{}{}1,0,1,2,12A B x x =-=-<<A B = A ．B ．C ．D ．{1,0,1,2}-{1,0,1}-{0,1,2}{0,1}D【分析】根据交集的含义即可得到答案.【详解】，根据交集的含义则.{1,0,1,2},{12}A B x x =-=-<< ∣{}0,1A B = 故选：D.2．已知集合，则M 与N 的关系可用Venn 图表示为（ ）{}{}3,2M x x N x x =>=>A ．B ．C ．D ．D【分析】由集合关系与Venn 图的关系判断．【详解】由已知，选项D 符合．M N ⊆故选：D ．3．命题“”的否定为（ ）2R,11x x ∀∈+≥A ．B ．C ．D ．2R,11x x ∃∈+≤2R,11x x ∀∈+≤2R,11x x ∃∈+<2R,11x x ∀∈+<C【分析】根据全称命题的否定是存在量词命题即可求解.【详解】由于全称命题的否定是存在量词命题，所以命题“”的否定为“”.2R,11x x ∀∈+≥2R,11x x ∃∈+<故选：C.4．“”是“”的（ ）24x ≥2x >A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B【分析】直接解出不等式，根据两不等式所表示的集合间的关系即可得到答案.24x ≥【详解】解得或，故“”能推出“或”，但“或”无法推24x ≥2x ≥2x ≤-2x >2x ≥2x ≤-2x ≥2x ≤-出，2x >故“”是“”的必要不充分条件，24x ≥2x >故选：B.5．下列函数中，与的奇偶性和单调性都相同的是（ ）y x =A ．B ．C ．D ．1y x =+exy =1y x=3y x=D【分析】首先易得为奇函数，且单调递增，根据常见的一次函数，指数函数，幂函数的图像y x =及其性质一一判断即可.【详解】首先，，且定义域关于原点对称，故其为奇函数，易知其为增y x =()()f x x f x -=-=-函数，对于A ，其定义域为，但，故它不是奇函数，故A 错误，R ()010f =≠对于B ，根据指数函数图像易得此函数不关于原点对称，故其不是奇函数，故B 错误，对于C ，其定义域为，其在各自区间内单调递减，故C 错误，()(),00,∞-+∞ 对于D ，其定义域为，关于原点对称，且，故其为奇函数，根据常R ()()()33f x x x f x -=-=-=-见幂函数图像知为单调增函数，故D 正确，3y x =故选：D.6．已知，则的最小值是（ ）02a <<192a a +-A ．4B ．6C ．8D ．16C【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得.【详解】解：因为，所以，，02a <<10a >902a >-所以[]19119(2)222a a a a a a ⎛⎫+=+-+ ⎪--⎝⎭，当且仅当，即时等号成立.129110108222a a a a ⎛⎫-⎛⎫=++≥⨯= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭292a a aa -=-12a =故选：C 7．已知是定义域为R 的奇函数，当时，，则不等式的解集为()f x 0x >()223f x x x =--()0f x <（ ）A ．B ．(3,0)(0,3)-⋃(,3)(0,3)-∞-⋃C ．D ．(3,0)(3,)-⋃+∞(3,1)(1,3)-- B【分析】先求得时，的解集，再利用函数的奇偶性求得当时的解析式，进0x >()0f x <0x <()f x 而求得其解集，最后检验一下即可.0x =【详解】因为当时，，0x >()223f x x x =--所以由得，即，解得，故；()0f x <2230x x --<()()310x x -+<13x -<<03x <<当时，，所以，0x <0x ->()()()222323f x x x x x -=----=+-因为是定义域为R 的奇函数，所以，()f x ()()223f x f x x x =--=--+故由得，即，解得或，故；()0f x <2230x x --+<()()310x x +->3x <-1x >3x <-当时，易得，显然不满足；0x =()0f x =()0f x <综上：或，故.3x <-03x <<(,3)(0,3)x ∈-∞-⋃故选：B.8．已知函数，若存在，使得，则实数2()241,()2f x x x g x x a =-+=+121,,22x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()12f x g x =a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．[5,0]-[0,5](5,0)-(,5)(0,)-∞-+∞ A【分析】先求出两个函数的值域，再根据两个函数的值域不能是空集解不等式得解.【详解】当时，121,,22x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的图象的对称轴为，2()241f x x x =-+4122x -=-=⨯所以.min max ()(1)2411,()(2)8811f x f f x f ==-+=-==-+=所以.()[1,1]f x ∈-.()2[1,4]g x x a a a =+∈++因为存在，使得，121,,22x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()12f x g x =所以两个函数的值域的交集不能是空集.假设两个函数的值域的交集是空集，则或，11a +>41a +<-即或，5a <-0a >所以两个函数的值域的交集不能是空集时.50a -≤≤故选：A二、多选题9．若 则（ ）0a b >>A ．B ．C ．D ．22ac bc >a c b c->-22a b>11a b<BCD【分析】利用特殊值法可以排除A ，利用不等式的基本性质可判断B 正确，再利用函数的单调性可判断CD 正确.【详解】对于A ，当时，，故A 错误；0c =22ac bc =对于B ，不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，故B 正确；对于C ，因为在上单调递增，又，故，故C 正确；2x y =R 0a b >>22a b >对于D ，因为在上单调递减，又，故，故D 正确.1y x =()0,+∞0a b >>11a b <故选：BCD10．已知抛物线上部分点的横坐标x 纵坐标y 的对应值如下表：2:C y ax bx c =++x (1)-01…y…31-…则下列结论正确的是（ ）A ．该抛物线开口向下B ．方程的根为20ax bx c ++=120,2x x ==C ．该抛物线的对称轴为直线D ．当时，x 的取值范围是1x =0y <02x <<BCD【分析】根据图表得到方程组，解得，一一对照选项即可.()23101a b cc a b c ⎧=⋅--+⎪=⎨⎪-=++⎩120a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩【详解】根据图表得到方程组解得，所以，()23101a b cc a b c ⎧=⋅--+⎪=⎨⎪-=++⎩120a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩22y x x =-所以其开口向上，故A 错误，令得，则，故B 正确，0y =220x x -=120,2x x ==对称轴为，当，则，解得，故D 正确，21221b x a -=-=-=⋅0y <220x x -<02x <<故选：BCD.11．已知幂函数的图象经过函数（且）的图象所过的定点，则()bf x x=()212x g x a -=-0a >1a ≠幂函数具有的特性是（ ）()f x A ．在定义域内单调递减B ．图象过点()1,1C ．是奇函数D ．定义域是RBC【分析】求出函数的图象所过定点的坐标，代入函数的解析式，求出的值，再利用幂()g x ()f x b 函数的基本性质逐项判断，可得出合适的选项.【详解】由，即，可得，20x -=2x =()112122g =-=故函数（且）的图象过定点，()212x g x a-=-0a >1a ≠12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭则，解得，则，定义域为，且为奇函数，()1222b f ==1b =-()1f x x ={}0x x ≠函数在上单调递减，在上单调递减，但在定义域内不单调递减.()f x (),0∞-()0,∞+因为，所以函数的图象经过点，所以选项B 、C 正确.()11f =()f x ()1,1故选：BC.12．若，则下列结论正确的是（ ）3344x y x y---<-A ．B．C D ．x y <33y x--><22yx--<AD【分析】构造函数，根据其单调性判断的大小关系，再结合指数函数单调性以及()34x xf x -=-,x y 根式有意义的范围，对每个选项进行逐一分析即可判断和选择.【详解】对A ：令，因为，都是上的单调增函数，故也是()34x xf x -=-3x y =4xy -=-R ()f x 上的单调增函数，R 又，即，，故，故A 正确；3344x y x y ---<-3434x x y y ---<-()()f x f y <x y <对B ：当时，满足 ，但没有意义，故B 错误；0,0x y <=x y <3y -对C ：当0x y <<对D ：由可得，又是上的单调增函数，故，D 正确.x y <x y ->-2x y =R 22x y-->故意选：AD.三、填空题13．已知，则___________．122,0(),0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪->⎩((4))f f =##0.2514【分析】根据复合函数先内后外的运算法则计算求解即可．【详解】解：，()12442=-=-f ．()()()214224-∴=-==f f f 故．1414．函数的定义域为___________.1()f x x=+(]0,2【分析】根据具体函数定义域的求法求解即可.【详解】因为，1()f x x =所以，解得，故，2200x x x ⎧-+≥⎨≠⎩020x x ≤≤⎧⎨≠⎩02x <≤所以的定义域为.()f x (]0,2故答案为.(]0,215．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元. 要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则最小值是____________ 万元.240【分析】列出总运费与总存储费用之和的表达式，结合均值不等式求最小值即可.【详解】总运费与总存储费用之和为，当且仅当，即60064240x x ⋅+≥=36004x x =时取等号，故最小值为240万元.30x =故24016．已知函数，若，则实数a 的取值范围是___________.3,0()3,0xx x f x x ⎧≤=⎨>⎩(1)()f a f a -≥-1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】根据函数图像或分段讨论易得为上的增函数,则，解出即可.()f x R 1a a -≥-【详解】根据题意,函数,当时，易知此时为增函数，且在分界点处3,0()3,0xx x f x x ⎧≤=⎨>⎩0x ≤()f x ，当时，此时为增函数，且，又因为，所以为上的()00f =0x >()f x ()()01f x f >=10>()f x R 增函数,若,则有,解可得,即实数的取值范围是;(1)()f a f a -≥-1a a -≥-12a ≥a 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭故答案为.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭四、解答题17．(1)求值：11332293-⎛⎫⨯-+ ⎪⎝⎭(2)若的值.1122x x -+=1x x --(1)3(2)【分析】（1）根据指数幂运算规则计算即可；（2）运用完全平方公式计算即可.【详解】（1）；210111211132333333321292133232332⨯----⎛⎫⎛⎫⨯-+=⨯+⨯-=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）由，得 ，1122x x -+=()2112111222225,3,29x x x x x x x x x x -----⎛⎫+=++=∴+=+=++= ⎪⎝⎭ ，；227x x-+=()212212725,x x xx x x ----=+-=-=∴-=综上，（1）原式=3，（2）原式 .=18．已知函数的图象经过点，其中.2()x f x a -=11,2⎛⎫⎪⎝⎭0,1a a >≠(1)若，求实数t 的值；1(2)8f t +=(2)设函数请你在平面直角坐标系中作出函数的简图，并根据图象写出该函1,0,()1,0,xx x gx a x ⎧+≤=⎨->⎩()g x 数的单调递增区间.(1)3t =-(2)作图见解析，单调递增区间为.[1,0],(0,)-+∞【分析】（1）把已知点的坐标代入函数解析式求得值，再由求解；a 1(2)8f t +=t （2）直接由函数解析式作出简图，再由图象可得函数的增区间.【详解】（1）函数的图象经过点,,即,则， 2()x f x a -=11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1212a -∴=2a =2()2x f x -=又，，即，得；1(2)8f t +=22128t +-∴=322t -=3t =-（2）函数1,01,0()1,021,0x xx x x x g x a x x ⎧⎧+≤+≤⎪==⎨⎨->->⎪⎩⎩在平面直角坐标系中作出的简图如下:()gx 根据图象可得该函数的单调递增区间为,[1,0]-(0,)+∞19．已知集合.{}{}233,30x A x B x x x =>=-∣∣ (1)求；()B A R (2)若，且，求实数的取值范围.{12}C x a x a =-∣ B C C = a (1)(],3-∞(2)()3,11,2∞⎡⎤--⋃⎢⎥⎣⎦【分析】（1）把集合A 求出，再利用集合的并和补运算，求出答案即可；（2）先将转化为，再分类讨论，从而求出的范围.B C C = C B ⊆a 【详解】（1）由可得：，故，则，33x >1x >(1,)A =+∞(]R ,1A =-∞ 故.()(]R ,3B A ∞⋃=- （2）由，得，B C C = C B ⊆①当，即时，，满足题意；12a a ->1a <-C =∅②当，即时，，因为，所以解得.12a a - 1a - C ≠∅C B ⊆10,23,a a -⎧⎨⎩ 312a综上，实数的取值范围是.a ()3,11,2∞⎡⎤--⋃⎢⎥⎣⎦20．某城市规划部门为改善早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度v （单位：千米/小时）和车流密度x （单位：辆/千米）所满足的关系式（k 单位：辆/小时）.研究发现：当隧道内的车流密度达到120辆/千米60,030,80,30120,150x v kx x <≤⎧⎪=⎨-<≤⎪-⎩时造成堵塞，此时车流速度是0千米小时.(1)若车流密度为50辆/千米.求此时的车流速度；(2)若车流速度v 不小于40千米/小时.求车流密度x 的取值范围.(1)56千米/小时(2)(0,90]【分析】（1）将，代入函数第二段，得到，解出值，再代入，120x =0v =080150120k=--k 50x =得到值；v （2）根据（1）中得到的分段函数解析式，在各自范围内解不等式即可，最后取并集.【详解】（1）由题意知当(辆/千米)时,(千米小时),120x =0v =代入,得，解得,所以,80150k v x =--080150120k=--2400k =60,030240080,30120150x v x x <≤⎧⎪=⎨-<≤⎪-⎩当时，50x =2400805615050v =-=-故当车流密度为50辆/千米时，此时车流速度为56千米/小时.（2）,60,030240080,30120150x v x x <≤⎧⎪=⎨-<≤⎪-⎩当时,,符合题意;当时,令,解得,所以030x <≤6040v =≥30120x <≤24008040150x -≥-90x ≤.3090x <≤所以,若车流速度不小于40千米/小时,则车流密度的取值范围是.v x (0,90]21．某城市规划部门为改善早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度v （单位：千米/小时）和车流密度x （单位：辆/千米）所满足的关系式（k 单位：辆/小时）.研究发现：当隧道内的车流密度达到120辆/千米60,030,80,30120,150x v kx x <≤⎧⎪=⎨-<≤⎪-⎩时造成堵塞，此时车流速度是0千米小时.(1)若车流密度为50辆/千米，求此时的车流速度；(2)若隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足，求隧道内车y x v =⋅流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.（参）2.236≈(1)56千米/小时(2) 隧道内车流量的最大值约为3667辆/小时, 此时车流密度约为83 辆/千米.【分析】（1）将，代入函数第二段，得到，解出值，再代入，120x =0v =080150120k =--k 50x =得到值；v （2）由题意写出，分范围讨论最值比较大小即可.60,030240080,30120150x x y x x x x <≤⎧⎪=⎨-<≤⎪-⎩【详解】（1）由题意知当(辆/千米)时,(千米/小时),120x =0v =代入,得，解得,所以,80150k v x =--080150120k =--2400k =60,030240080,30120150x v x x <≤⎧⎪=⎨-<≤⎪-⎩当时，50x =2400805615050v =-=-故当车流密度为50辆/千米时，此时车流速度为56千米/小时.（2）由题意得，当时,为增函数,60,030240080,30120150x x y x x x x <≤⎧⎪=⎨-<≤⎪-⎩030x < 60y x =所以,当时等号成立;1800y 30x =当时，，30120x <≤1500x ->22400(150)180(150)45008080150150x x x y x x x--+--=-=⋅--(45008018015080180480033667150x x ⎡⎡⎤⎛⎫=--+≤-=≈⎢ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦⎣当且仅当,即时等号成立.4500150150x x -=-30(583x =≈所以,隧道内车流量的最大值约为3667辆/小时,此时车流密度约为83辆/千米.22．已知函数为偶函数.91()3x mx f x +=(1)求实数m 的值；(2)若成立，求y 的取值范围.222,2()1y y x f x --+∀∈⋅≥R (1)；1m =(2).[]3,1-【分析】（1）根据函数为偶函数，则，化简得，即，则；()()f x f x -=239mx x =22m =1m =（2）原题意转化为对任意的,成立, 即，利用基本不R x ∈2221233y y x x --+-≥+222max 1233y y x x --+-⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭等式求出其最大值为，得到，则，解出范围即可.12222221y y --+≥2221y y --+≥-y 【详解】（1）函数为偶函数,91()3x mx f x +=函数定义域为,且,∴R ()()f x f x -=,即,919133x x mx mx --++∴=239mx x =,解得；22m ∴=1m =（2）由（1）知,()33,()0x x f x f x -=+>对任意的,成立,R x ∈()22221y y f x --+⋅≥转化为对任意的,成立,R x ∈2221233y y x x --+-≥+即,222max 1233yy x x --+-⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭，,30,30x x ->> ()332x x f x -∴=+≥=当且仅当,即时,等号成立,33x x -=0x =max 11332x x -⎛⎫∴= ⎪+⎝⎭所以，即，根据指数函数单调性知，222221y y --+≥212222y y --+-≥2221y y --+≥-解得，则的取值范围为.31y -≤≤y []3,1-23．已知函数为偶函数.91()3x mx f x +=(1)求实数m 的值；(2)若对任意的，总存在，使得成立，求n 的取值范围.x ∈R y ∈R 222()1y y n f x --+≥(1)1m =(2)[)2,-+∞【分析】（1）根据函数奇偶性即可求得值；m （2）先由基本不等式求得的最小值，再通过变形得到成立，即()f x 221n y y ≥+-即可.2min (21)n y y ≥+-【详解】（1）因为（）为偶函数，91()3x mx f x +=x ∈R 所以有，取，即，()()f x f x -=1x =(1)(1)f f -=所以有，解得.经检验成立1919133m m --++=1m =（2）由（1）知，，91()333x x x x f x -+==+将变形为，222()1y y n f x --+≥22332x x y y n -+-+≥因为，，所以，30x >30x ->332x x -+≥=当且仅当，即时，有最小值2.33x x -=0x =33x x -+所以存在，使得成立，R y ∈2222y y n +-≥即存在，使得成立，R y ∈221y y n +-≤亦即存在，使得成立，R y ∈221n y y ≥+-因为，当且仅当时取等号，2221(1)22y y y +-=+-≥-1y =-所以有，所以n 的取值范围是.2n ≥-[)2,-+∞。

2022-2023学年高中高三上数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：95 分考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息;2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I（选择题）一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计60分）1. 已知复数z满足(1−2i)z=|1+2i|⋅(1−i)，则复数z的虚部为（ ）A.−√55B.−√55iC.√55D.−i2. 假设有两个分类变量X，Y，它们的可能取值分别为{x1,x2}，{y1,y2}，其2×2列联表如下，则选项中各组数据最有可能说明“X与Y有关系”的是( )y1y2总计x1a b a+bx2c d c+d总计a+c b+d a+b+c+dA.a=10,b=10,c=25,d=5B.a=15,b=10,c=10,d=15C.a=20,b=5,c=10,d=15D.a=25,b=10,c=5,d=103. 已知全集为R，集合A＝{x|2x≥1}，B＝{x|x2−3x+2<0}，则A∩∁R B＝（ ）A.{x|0≤x≤1}B.{x|0≤x≤1或x≥2}C.{x|1<x<2}D.{x|0≤x<1或x>2}4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某个零件的三视图，则这个零件的体积等于( )A.6πB.8πC.12πD.14π5. 函数f(x)=xln|x||x|的大致图象为( )A.B.C.D.6. 定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈[0,+∞)(x1≠x2)，有(x2−x1)[f(x2)−f(x1)]<0，则( )A.f(1)<f(−2)<f(3)B.f(3)<f(1)<f(−2)C.f（一2）<f(1)<f(3)D.f(3)<f(−2)<f(1)7. 《九章算术·商功》记载：斜解立方，得两堑堵．堑堵是指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，如图所示的堑堵AED−BFC中，点G在边BC上，且CG=2GB，AB=4，AD=AE=3，则直线EG与平面EFCD所成角的正弦值为( )A.√23B.√33C.2√3913D.√13138. 已知等比数列{a n}的前n项积为T n，若log2a3+log2a7＝2，则T9的值为（ ）A.±512B.512C.±1024D.10249. 已知a，b>0，ab=a+b+8，则ab的最小值为( )A.4B.8C.12D.1610. 若双曲线的一条渐近线被圆x2+y2−4y+2＝0所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为（ ）A.B.C.2D.11. 已知a=log32,b=20.1，c=sin789∘，则a，b，c的大小关系是（）A. a<b<cB. a<c<bC. c<a<bD. b<c<a12. 已知点A，B，C在半径为5的球面上，且AB=AC=2√14，BC=2√7，P为球面上的动点，则三棱锥P−ABC体积的最大值为( )A.56√73B.52√73C.49√73D.14√73卷II（非选择题）二、填空题（本题共计 1 小题，共计5分）13. （5分） 如图所示，B ，C 是线段AD 的三等分点，分别以图中各点为起点或终点，与→AC 相等的向量是________．三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）14. 已知等差数列{a n }中，a 3=8，a 6=17，d 为公差．(1)求a 1，d ；(2)设b n =a n +2n−1，求数列{b n }的前n 项和S n ． 15. 已知四棱锥P −ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，AC =AB ，平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为AB 的中点，F 为PD 的中点.(1)求证：AF//平面PCE ；(2)若平面PAD 与平面PCE 所成的锐二面角的余弦值为√155，求直线PD 与平面PCE 所成角的正弦值. 16. 为了解某地区某种农产品的年产量x （单位：吨）对价格y （单位：千元/吨）的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如表：x 23456y 86542已知x 和y 具有线性相关关系．(1)求¯x ，¯y ；(2)求y 关于x 的线性回归方程y =ˆbx +ˆa ；(3)若年产量为3.5吨，试预测该农产品的价格．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为ˆb =n∑i=1(x i −¯x)(y i −¯y )n∑i=1(x i −¯x )2，ˆa =¯y −ˆb ⋅¯x.17. 已知椭圆C 1的离心率为√63，一个焦点坐标为(0,2√2)，曲线C 2上任一点到点(94,0)和到直线x =−94的距离相等．(1)求椭圆C 1和曲线C 2的标准方程；(2)点P 为C 1和C 2的一个交点，过P 作直线l 交C 2于点Q ，交C 1于点R ，且Q ，R ，P 互不重合，若→PQ =→RP ，求直线l 与x 轴的交点坐标．18. 已知函数f(x)=(x +1)lnxx ，g(x)=ax −x ，F(x)=f(x)+g(x)，且f(x)与g(x)在x =1处切线的倾斜角互补．(1)求F(x)的单调区间；(2)求证：1+12+13+⋯+1n >ln(n +1)，(n ∈N ∗).19. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的普通方程是xsinα−ycosα=0(π2<α<π)，曲线C 1的参数方程是{x =2+2cosφy =2sinφ(φ为参数)，在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程是ρ=2sinθ.(1)写出l及C1的极坐标方程；(2)已知l与C1交于O，M两点，l与C2交于O，N两点，求|ON|2+|OM|的最大值.参考答案与试题解析2022-2023学年高中高三上数学月考试卷一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计60分）1.【答案】C【考点】复数代数形式的混合运算【解析】求出|1+2i|，分母实数化，求出z，从而求出z的虚部．【解答】解：∵(1−2i)z=|1+2i|⋅(1−i)，√5(1−i)1−2i=3√55+√55i，∴z=√55，∴复数z的虚部为：故选：C．2.【答案】C【考点】变量间的相关关系【解析】此题暂无解析【解答】解：比较各选项中|ad−bc|的值，A中，|50−250|=200，B中，|225−100|=125，C中，|300−50|=250，D中，|250−50|=200．故选C．3.【答案】B【考点】交、并、补集的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】A【考点】由三视图求体积（组合型）【解析】本题考查了三视图的基本知识，属于基础题.【解答】解：通过三视图，可以看出这是一个由圆柱和圆锥拼接而成的几何体，上面是圆柱，下面是圆锥.V圆锥=π×12×2=2π，V圆锥=13π×22×3=4π，V总=V圆柱+V圆锥=2π+4π=6π.故选A.5.【答案】A【考点】函数奇偶性的性质函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】解：因为f(x)=xln|x||x|={lnx,x>0，−ln(−x),x<0，是奇函数，且当x>1时，f(x)>0.故选A.6.【答案】D【考点】函数单调性的性质【解析】由(x2−x1)[f(x2)−f(x1)]<0和函数单调性的定义判断出函数f(x)在[0,+∞)上单调递减，再由偶函数的关系式将f(−2)转化为f(2)，再由自变量的大小判断出三者的大小关系．【解答】解：由题意得，对任意的x1，x2∈[0,+∞)(x1≠x2),(x2−x1)[f(x2)−f(x1)]<0，∴f(x)在[0,+∞)上单调递减.∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(−2)=f(2).∵0<1<2<3，∴f(1)>f(2)>f(3).故选D.7.【答案】D【考点】棱柱的结构特征直线与平面所成的角【解析】由题可知EF⊥平面FBC，所以过点C作GH⊥FC于点H，连接EH，FC，EB，易知∠CEH为直线EG与平面EFCD所成的角，再求出该角对应的正弦值即可．【解答】解：由题可知EF⊥平面FBC，所以过点C作GH⊥FC于点H，连接EH，FC，EB，如图，则GH⊥EF,所以GH⊥平面EFCD，所以∠GEH为直线EG与平面EFCD所成的角．由CG=2GB，AB=4，AD=3，AE=3，可知BG=1，CG=2，√12+32=√10，所以FG=FC=3√2，在△FGC中，FC⋅GH=CG⋅FB，即CH=CG⋅FBFC=2×33√2=√2.又由题意知CB⊥平面ABFE，所以GB⊥EB，√EB2+GB2=√26,所以EG=所以sin∠GEH=GHEG=√2√26=√1313,故选D．8.【答案】B【考点】等比数列的性质【解析】利用已知条件求出a3a7的值，然后利用等比数列的性质求解T9的值．【解答】由log 2a 3+log 2a 7＝2可得：log 2(a 3a 7)＝2，可得：a 3a 7＝4，则a 5＝2或a 5＝−2（舍去负值），等比数列{a n }的前9项积为T 9＝a 1a 2...a 8a 9＝(a 5)9＝5(12)9.【答案】D【考点】基本不等式及其应用基本不等式在最值问题中的应用【解析】由均值不等式a +b ≥2√ab （当且仅当a =b 时等号成立））ab =a +b +8≥2√ab +8，即(√ab −4)(√ab +2)≥0，∴ab ≥16，当且仅当a =b =4时ab 取到最小值16 .【解答】解：由均值不等式，得a +b ≥2√ab ，（当且仅当a =b 时等号成立）则ab =a +b +8≥2√ab +8，即(√ab −4)(√ab +2)≥0，所以ab ≥16，当且仅当a =b =4时等号成立，此时ab 取到最小值，且最小值为16 .故选D.10.【答案】C【考点】双曲线的离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】B【考点】指数式、对数式的综合比较【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】A【考点】柱体、锥体、台体的体积计算球内接多面体余弦定理【解析】利用数形结合以及转化的思想进行求解.【解答】解：如图所示，在△ABC 中，AB =AC =2√14，BC =2√7，由余弦定理可得cosA =AC 2+AB 2−BC 22⋅AC ⋅AB=(2√14)2+(2√14)2−(2√7)22×2√14×2√14=34，所以sinA =√1−cos 2A =√74.设△ABC 的外接圆半径为r ，所以2√72r =√74，即可得r =4.又因为S △ABC =12×2√14×2√14×√74=7√7为定值，所以当点P 距离平面ABC 越远，三棱锥P −ABC 的体积越大，所以当以△ABC 为底面的三棱锥P −ABC 的高过球心，其高最大.设球的半径为R ，则OB 2=(OP ′)2+(BP ′)2，所以R 2=(OP ′)2+r 2.由题意可知R =5，又因为r =4，解得OP ′=3，所以PP ′=3+R =8，三棱锥P −ABC 最大值为V P−ABC =13×S △ABC ×PP ′=13×7√7×8=56√73.故选A.二、 填空题 （本题共计 1 小题 ，共计5分 ）13.【答案】→BD【考点】相等向量与相反向量向量在几何中的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：设线段AD 的长度为3，则|→AC|=2，与→AC 的方向相同且模等于2的向量仅有→BD ．故答案为：→BD ．三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）14.【答案】解：(1)由{a 3=a 1+2d =8，a 6=a 1+5d =17，解得：a 1=2，d =3．(2)由(1)可得a n =3n −1，所以b n =3n −1+2n−1，所以 S n =b 1+b 2+⋯+b n=[2+5+8+⋯+(3n −1)]+[1+21+22+⋯+2n−1]=n[2+(3n −1)]2+1−2n 1−2=3n 2+n2+2n −1=3n 2+n −22+2n .【考点】数列的求和等差数列的通项公式【解析】（1）设公差为d ，则得到{a 3=a 1+2d =8a 6=a 1+5d =17解得即可，（2）由（1）求出a n 的通项公式，得到b n 的通项公式，根据等差数列和等比数列的求和公式计算即可．【解答】解：(1)由{a 3=a 1+2d =8，a 6=a 1+5d =17，解得：a 1=2，d =3．(2)由(1)可得a n =3n −1，所以b n =3n −1+2n−1，所以 S n =b 1+b 2+⋯+b n=[2+5+8+⋯+(3n −1)]+[1+21+22+⋯+2n−1]=n[2+(3n −1)]2+1−2n 1−2=3n 2+n2+2n −1=3n 2+n −22+2n .15.【答案】(1)证明：取PC 的中点H ，连接EH,FH,∵E 为AB 的中点，ABCD 是边长为2的菱形，∴AE//CD ，且AE =12CD ，又F 为PD 的中点，∴FH//CD,FH =12CD ，{∴AE//FH ，AE=FH}，故四边形{AEHF}是平行四边形，{∴AF//EH}，又{∵AF\not\subset}平面{PCE,EH\subset}平面{PCE},{∴AF//}平面{PCE}.{(2)}解：∵平面{PAB ⊥}平面{ABCD}，平面{PAD ⊥}平面{ABCD},{∴PA ⊥}平面{ABCD}，以{BD}为{x}轴，{CA}为{y}轴，设{AC}与{BD}的交点为{O}，过{O}作平面{ABCD}的垂线为{z}轴，建立空间直角坐标系，如图：设{P A=m(m\gt 0)}.则{A(0,1,0), B(-\sqrt{3}, 0,0), C(0,-1,0),}{ D(\sqrt{3}, 0,0)}{P(0,1, m), E\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{1}{2}, 0\right)}.设平面{PAD}的法向量{\overrightarrow{n}=(x ，y ，z),}{\overrightarrow{A P}=(0,0, m), \overrightarrow{A D}=(\sqrt{3},-1,0).}所以{\left\{\begin{array}{l}{m z=0} \\ {\sqrt{3} x-y=0}\end{array}\right.}，令{x=1，}所以{\overrightarrow{n}=(1,\sqrt{3},0)}设平面{PCE}的法向量为{\overrightarrow{m}=(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime})}，{\overrightarrow{E P}=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac{1}{2}, m\right), \overrightarrow{P C}=(0,-2,-m),}所以{\left\{\begin{array}{l}{\dfrac{\sqrt{3}}{2} x^{\prime}+\dfrac{1}{2} y^{\prime}+m z^{\prime}=0} \\ {-2 y^{\prime}-m z^{\prime}=0}\end{array}\right.},令{z^{\prime}=2}，故{\overrightarrow{m}=(-\sqrt{3}m,-m,2)}.因为平面{PAD}与平面{PCE}所成的锐二面角的余弦值为{\dfrac{\sqrt{15}}{5}}，{\therefore | \cos <\overrightarrow{n}, \overrightarrow{m}>|}{=\dfrac{2 \sqrt{3} m}{2 \times \sqrt{4 m^{2}+4}}=\dfrac{\sqrt{15}}{5}}，解得：{m=2}，{\therefore \overrightarrow{P D}=(\sqrt{3},-1,-2), \overrightarrow{m}=(-2 \sqrt{3},-2,2)}，设直线{PD}与平面{PCE}所成角为{α}，{\therefore \sin \alpha=|\cos <\overrightarrow{P D}, \overrightarrow{m}>|}{=| \dfrac{-6+2-4}{\sqrt{8} \times \sqrt{20}}|=\dfrac{\sqrt{10}}{5}}.【考点】用空间向量求平面间的夹角直线与平面平行的判定【解析】此题暂无解析【解答】{(1)}证明：取{PC}的中点{H}，连接{EH,FH,}∵{E}为{AB}的中点，{ABCD}是边长为{2}的菱形，∴{AE//CD}，且{A E=\dfrac{1}{2} C D}，又{F}为{PD}的中点，{\therefore F H / / C D, F H=\dfrac{1}{2} C D}，{∴AE//FH，AE=FH}，故四边形{AEHF}是平行四边形，{∴AF//EH}，又{∵AF\not\subset}平面{PCE,EH\subset}平面{PCE},{∴AF//}平面{PCE}.{(2)}解：∵平面{PAB⊥}平面{ABCD}，平面{PAD⊥}平面{ABCD},{∴PA⊥}平面{ABCD}，以{BD}为{x}轴，{CA}为{y}轴，设{AC}与{BD}的交点为{O}，过{O}作平面{ABCD}的垂线为{z}轴，建立空间直角坐标系，如图：设{P A=m(m\gt 0)}.则{A(0,1,0), B(-\sqrt{3}, 0,0), C(0,-1,0),}{ D(\sqrt{3}, 0,0)}{P(0,1, m), E\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{1}{2}, 0\right)}.设平面{PAD}的法向量{\overrightarrow{n}=(x，y，z),}{\overrightarrow{A P}=(0,0, m), \overrightarrow{A D}=(\sqrt{3},-1,0).}所以{\left\{\begin{array}{l}{m z=0} \\ {\sqrt{3} x-y=0}\end{array}\right.}，令{x=1，}所以{\overrightarrow{n}=(1,\sqrt{3},0)}设平面{PCE}的法向量为{\overrightarrow{m}=(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime})}，{\overrightarrow{E P}=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{1}{2}, m\right), \overrightarrow{P C}=(0,-2,-m),}所以{\left\{\begin{array}{l}{\dfrac{\sqrt{3}}{2} x^{\prime}+\dfrac{1}{2} y^{\prime}+m z^{\prime}=0} \\ {-2 y^{\prime}-mz^{\prime}=0}\end{array}\right.},令{z^{\prime}=2}，故{\overrightarrow{m}=(-\sqrt{3}m,-m,2)}.因为平面{PAD}与平面{PCE}所成的锐二面角的余弦值为{\dfrac{\sqrt{15}}{5}}，{\therefore | \cos <\overrightarrow{n}, \overrightarrow{m}>|}{=\dfrac{2 \sqrt{3} m}{2 \times \sqrt{4 m^{2}+4}}=\dfrac{\sqrt{15}}{5}}，解得：{m=2}，{\therefore \overrightarrow{P D}=(\sqrt{3},-1,-2), \overrightarrow{m}=(-2 \sqrt{3},-2,2)}，设直线{PD}与平面{PCE}所成角为{α}，{\therefore \sin \alpha=|\cos <\overrightarrow{P D}, \overrightarrow{m}>|}{=| \dfrac{-6+2-4}{\sqrt{8} \times \sqrt{20}}|=\dfrac{\sqrt{10}}{5}}.16.【答案】解：{(1)}{\overline{x}=\dfrac{2+3+4+5+6}{5}=4}，{\overline{y}=\dfrac{8+6+5+4+2}{5}=5}.{(2)}由题意，{\sum\limits ^{n}_{i=1}\left(x_{i}-\overline {x}\right)\left(y_{i}-\overline {y}\right)=-14}，{\sum\limits ^{n}_{i=1}\left(x_{i}-\overline {x}\right)^{2}=10}，{\therefore \hat{b}=-1.4}，{\hat{a}=5-(-1.4)\times 4=10.6}，{\therefore} {y}关于{x}的线性回归方程为{y=-1.4x+10.6}.{(3)}当{x=3.5}时，{y=-1.4\times 3.5+10.6=5.7}，{\therefore}当年产量为{3.5}吨时，预计该农产品的价格为{5.7}千元/吨.【考点】众数、中位数、平均数、百分位数求解线性回归方程【解析】【解答】解：{(1)}{\overline{x}=\dfrac{2+3+4+5+6}{5}=4}，{\overline{y}=\dfrac{8+6+5+4+2}{5}=5}.{(2)}由题意，{\sum\limits ^{n}_{i=1}\left(x_{i}-\overline {x}\right)\left(y_{i}-\overline {y}\right)=-14}，{\sum\limits ^{n}_{i=1}\left(x_{i}-\overline {x}\right)^{2}=10}，{\therefore \hat{b}=-1.4}，{\hat{a}=5-(-1.4)\times 4=10.6}，{\therefore} {y}关于{x}的线性回归方程为{y=-1.4x+10.6}.{(3)}当{x=3.5}时，{y=-1.4\times 3.5+10.6=5.7}，{\therefore}当年产量为{3.5}吨时，预计该农产品的价格为{5.7}千元/吨.17.【答案】解：{(1)}设{C_{1}:\dfrac{x^{2}}{b^{2}}+\dfrac{y^{2}}{a^{2}}=1\left(a\gt b\gt 0\right)}，根据条件可知{\sqrt{a^{2}-b^{2}}=2\sqrt{2}}，且{\dfrac{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{a}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}}，得{a^{2}=12, b^{2}=4}，所以{C_{1}}的标准方程为{\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{12}=1}．曲线{C_{2}}是以{\left(\dfrac{9}{4}, 0\right)}为焦点，{x=-\dfrac{9}{4}}为准线的抛物线，故{C_{2}}的标准方程为{y^{2}=9x}．{(2)}联立{\left\{ \begin{array} {l}{3x^{2}+y^2=12}, \\ {y^{2}=9x}, \end{array} \right.}解得{\left\{ \begin{array} {l}{x=1}, \\ {y=\pm 3},\end{array} \right.}不妨取{P\left(1, 3\right)}．若直线{l}的斜率不存在，{Q}和{R}重合，不符合条件，故可设直线{l:y=k\left(x-1\right)+3}，由题意可知{k\ne 0}，联立{\left\{ \begin{array} {l}{y=kx+3-k}, \\ {y^{2}=9x}, \end{array} \right.}可得{y_Q=\dfrac{9-3k}{k}}．联立{\left\{ \begin{array} {l}{y=kx+3-k}, \\ {3x^{2}+y^{2}=12}, \end{array} \right.}可得{y_{R}=\dfrac{9-3k^{2}-6k}{3+h^{2}}}，因为{\overrightarrow {PQ}=\overrightarrow {RP}}，所以{P}是{QR}的中点，所以{\dfrac{y_{Q}+y_{R}}{2}=3}，即{\dfrac{9-3k}{k}+\dfrac{9-3k^{2}-6k}{3+k^2}=6}．解得{k=1}，所以直线{l}的方程为{y=x+2}，其与{x}轴的交点坐标为{\left(-2, 0\right)}．【考点】抛物线的标准方程椭圆的标准方程圆锥曲线的综合问题【解析】本题考查椭圆和抛物线的标准方程和性质．{(Ⅱ)}答案未提供解析．【解答】解：{(1)}设{C_{1}:\dfrac{x^{2}}{b^{2}}+\dfrac{y^{2}}{a^{2}}=1\left(a\gt b\gt 0\right)}，根据条件可知{\sqrt{a^{2}-b^{2}}=2\sqrt{2}}，且{\dfrac{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{a}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}}，得{a^{2}=12, b^{2}=4}，所以{C_{1}}的标准方程为{\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{12}=1}．曲线{C_{2}}是以{\left(\dfrac{9}{4}, 0\right)}为焦点，{x=-\dfrac{9}{4}}为准线的抛物线，故{C_{2}}的标准方程为{y^{2}=9x}．{(2)}联立{\left\{ \begin{array} {l}{3x^{2}+y^2=12}, \\ {y^{2}=9x}, \end{array} \right.}解得{\left\{ \begin{array} {l}{x=1}, \\ {y=\pm 3},\end{array} \right.}不妨取{P\left(1, 3\right)}．若直线{l}的斜率不存在，{Q}和{R}重合，不符合条件，故可设直线{l:y=k\left(x-1\right)+3}，由题意可知{k\ne 0}，联立{\left\{ \begin{array} {l}{y=kx+3-k}, \\ {y^{2}=9x}, \end{array} \right.}可得{y_Q=\dfrac{9-3k}{k}}．联立{\left\{ \begin{array} {l}{y=kx+3-k}, \\ {3x^{2}+y^{2}=12}, \end{array} \right.}可得{y_{R}=\dfrac{9-3k^{2}-6k}{3+h^{2}}}，因为{\overrightarrow {PQ}=\overrightarrow {RP}}，所以{P}是{QR}的中点，所以{\dfrac{y_{Q}+y_{R}}{2}=3}，即{\dfrac{9-3k}{k}+\dfrac{9-3k^{2}-6k}{3+k^2}=6}．解得{k=1}，所以直线{l}的方程为{y=x+2}，其与{x}轴的交点坐标为{\left(-2, 0\right)}．18.【答案】{(1)}解：由题意，知{f'\left(x\right)=\dfrac{x-\ln x+1}{x^2}}，{g'\left(x\right)=-\dfrac a{x^2}-1}，由于{f\left(x\right)}与{g\left(x\right)}在{x=1}处切线倾斜角互补，则{f'\left(1\right)=-g'\left(1\right)}，即{{\dfrac{1-\ln1+1}{1^2}}={\dfrac a1}+1} ，解得{a=1}，所以{F\left(x\right)={\dfrac{\left(x+1\right)\ln x}x}+{\dfrac1x}-x}，定义域为{\left(0,+\infty\right)}，则{F'\left(x\right)=\dfrac{x-\ln x+1}{x^2}-\dfrac1{x^2}-1=\dfrac{x-\ln x-x^2}{x^2}}.令{h(x)=x-\ln x-x^2}，{h'\left(x\right)=1-\dfrac1x-2x=\dfrac{-2\left(x-{\frac14}\right)^2-{\frac78}}x \lt 0}，所以{h\left(x\right)}在{\left(0,+\infty\right)}上单调递减.又{h\left(1\right)=0}，所以{F\left(x\right)}的单调递增区间为{\left(0,1\right)}，单调递减区间为{\left(1,+\infty\right)}.{(2)}证明：由{(1)}知{x=1}是函数{F\left(x\right)}的极大值点也是最大值点，所以{F\left(x\right)\leq F\left(1\right)=0} ,即{{\dfrac{\left(x+1\right)\ln x}x}+{\dfrac1x}-x\leq0}，即{{\dfrac{(x+1)\ln x}x}\leq{\dfrac{(x+1)(x-1)}x}}，又{x \gt 0}，所以{\ln x\leq x-1}，当且仅当{x=1}时取等号.令{x={\dfrac{n+1}n} \gt 1}，则{\ln{\dfrac{n+1}n} \lt {\dfrac{n+1}n}-1={\dfrac1n}}，所以{\ln{\dfrac21} \lt 1}，{\ln{\dfrac32} \lt {\dfrac12}} ，{\ln{\dfrac43} \lt {\dfrac13}}，{\cdots}，{\ln{\dfrac{n+1}n} \lt {\dfrac1n}}，以上各式相加，得{\ln2+\ln\dfrac32+\ln\dfrac43+...+\ln\dfrac{n+1}n }{\lt 1+\dfrac12+\dfrac13\cdots+\dfrac1n}，即{\ln\left(2\times\dfrac32\times\dfrac43\times \cdots \times\dfrac{n+1}n\right)}{=\ln(n+1) \lt 1+\dfrac12+\dfrac13\cdots+\dfrac1n}，所以原不等式得证.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性利用导数证明不等式【解析】(1)由题知{f'\left(1\right)=-g'\left(1\right)},解得{a=1},则{F\left(x\right)={\dfrac{\left(x+1\right)\ln x}x}+{\dfrac1x}-x},定义域为{\left(0,+\infty\right)},利用导数求解单调区间即可.（2）由（{1}）知{x=1}是函数{F\left(x\right)}的极大值点也是最大值点,{F\left(x\right)\leq F\left(1\right)=0},则{\ln x\leq x-1},令{x= {\dfrac{n+1}n} \gt 1},则{\ln{\dfrac{n+1}n} \lt {\dfrac{n+1}n}-1={\dfrac1n}},可得{\ln{\dfrac21} \lt 1,\ln{\dfrac32} \lt{\dfrac12}} ,{\ln{\dfrac43} \lt {\dfrac13}} ...{\ln{\dfrac{n+1}n} \lt {\dfrac1n}},以上各式相加,可证得结果.【解答】{(1)}解：由题意，知{f'\left(x\right)=\dfrac{x-\ln x+1}{x^2}}，{g'\left(x\right)=-\dfrac a{x^2}-1}，由于{f\left(x\right)}与{g\left(x\right)}在{x=1}处切线倾斜角互补，则{f'\left(1\right)=-g'\left(1\right)}，即{{\dfrac{1-\ln1+1}{1^2}}={\dfrac a1}+1} ，解得{a=1}，所以{F\left(x\right)={\dfrac{\left(x+1\right)\ln x}x}+{\dfrac1x}-x}，定义域为{\left(0,+\infty\right)}，则{F'\left(x\right)=\dfrac{x-\ln x+1}{x^2}-\dfrac1{x^2}-1=\dfrac{x-\ln x-x^2}{x^2}}.令{h(x)=x-\ln x-x^2}，{h'\left(x\right)=1-\dfrac1x-2x=\dfrac{-2\left(x-{\frac14}\right)^2-{\frac78}}x \lt 0}，所以{h\left(x\right)}在{\left(0,+\infty\right)}上单调递减.又{h\left(1\right)=0}，所以{F\left(x\right)}的单调递增区间为{\left(0,1\right)}，单调递减区间为{\left(1,+\infty\right)}.{(2)}证明：由{(1)}知{x=1}是函数{F\left(x\right)}的极大值点也是最大值点，所以{F\left(x\right)\leq F\left(1\right)=0} ,即{{\dfrac{\left(x+1\right)\ln x}x}+{\dfrac1x}-x\leq0}，即{{\dfrac{(x+1)\ln x}x}\leq{\dfrac{(x+1)(x-1)}x}}，又{x \gt 0}，所以{\ln x\leq x-1}，当且仅当{x=1}时取等号.令{x={\dfrac{n+1}n} \gt 1}，则{\ln{\dfrac{n+1}n} \lt {\dfrac{n+1}n}-1={\dfrac1n}}，所以{\ln{\dfrac21} \lt 1}，{\ln{\dfrac32} \lt {\dfrac12}} ，{\ln{\dfrac43} \lt {\dfrac13}}，{\cdots}，{\ln{\dfrac{n+1}n} \lt {\dfrac1n}}，以上各式相加，得{\ln2+\ln\dfrac32+\ln\dfrac43+...+\ln\dfrac{n+1}n }{\lt 1+\dfrac12+\dfrac13\cdots+\dfrac1n}，即{\ln\left(2\times\dfrac32\times\dfrac43\times \cdots \times\dfrac{n+1}n\right)}{=\ln(n+1) \lt 1+\dfrac12+\dfrac13\cdots+\dfrac1n}，所以原不等式得证.19.【答案】解：{\left ( {1} \right )}把{x=\rho {\rm cos} \theta, \quad y=\rho {\rm sin} \theta}代入直线{l}的方程得：{\rho {\rm cos} \theta {\rm sin} \alpha - \rho {\rm sin} \theta {\rm cos} \alpha=0}，整理得：{{\rm sin} (\theta-\alpha)=0}所以{l}极坐标方程是{\theta=\alpha(\rho \in \rm \textbf R, \dfrac{\pi}{2}\lt \alpha\lt \pi)}.{C_{1}}的普通方程是{x^{2}+y^{2}-4 x=0}，其极坐标方程是{\rho=4 {\rm cos} \theta}.{\left ( {2} \right )}{C_{1} : \rho=4 {\rm cos} \theta, \quad C_{2} : \rho=2 {\rm sin} \theta}，将{\theta=\alpha}分别代入{C_{1}，C_{2}}得{|O M|=-4 {\rm cos} \alpha, \quad|O N|=2 {\rm sin} \alpha}.所以{|O N|^{2}+|O M|=4 {\rm sin} ^{2} \alpha-4 {\rm cos} \alpha}{=-4 {\rm cos} ^{2} \alpha-4 {\rm cos} \alpha+4}{=-4({\rm cos} \alpha+\dfrac{1}{2})^{2}+5}又{\dfrac{\pi}{2}\lt \alpha\lt \pi}，所以{-1\lt {\rm cos}\alpha\lt 0}.所以，当{{\rm cos}\alpha=-\dfrac{1}{2}}时，即{\alpha=\dfrac{2\pi}{3}}时，{|O N|^{2}+|O M|}取得最大值{5}.【考点】圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化圆的参数方程直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化函数最值的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：{\left ( {1} \right )}把{x=\rho {\rm cos} \theta, \quad y=\rho {\rm sin} \theta}代入直线{l}的方程得：{\rho {\rm cos} \theta {\rm sin} \alpha - \rho {\rm sin} \theta {\rm cos} \alpha=0}，整理得：{{\rm sin} (\theta-\alpha)=0}所以{l}极坐标方程是{\theta=\alpha(\rho \in \rm \textbf R, \dfrac{\pi}{2}\lt \alpha\lt \pi)}. {C_{1}}的普通方程是{x^{2}+y^{2}-4 x=0}，其极坐标方程是{\rho=4 {\rm cos} \theta}.{\left ( {2} \right )}{C_{1} : \rho=4 {\rm cos} \theta, \quad C_{2} : \rho=2 {\rm sin} \theta}，将{\theta=\alpha}分别代入{C_{1}，C_{2}}得{|O M|=-4 {\rm cos} \alpha, \quad|O N|=2 {\rm sin} \alpha}.所以{|O N|^{2}+|O M|=4 {\rm sin} ^{2} \alpha-4 {\rm cos} \alpha}{=-4 {\rm cos} ^{2} \alpha-4 {\rm cos} \alpha+4}{=-4({\rm cos} \alpha+\dfrac{1}{2})^{2}+5}又{\dfrac{\pi}{2}\lt \alpha\lt \pi}，所以{-1\lt {\rm cos}\alpha\lt 0}.所以，当{{\rm cos}\alpha=-\dfrac{1}{2}}时，即{\alpha=\dfrac{2\pi}{3}}时，{|O N|^{2}+|O M|}取得最大值{5}.。

2022-2023学年高中高三上数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息;2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I（选择题）一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计60分）1. 直线√3x+3y−1=0的倾斜角是（ ）A.120∘B.135∘C.150∘D.30∘2. 下列说法正确的是（）①棱柱的侧棱都相等；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得到旋转体是圆台；③圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台；④通过圆台侧面上一点有无数条母线．A.①②B.①③C.②④D.③④3. 直线y=ax+a−1(a∈R)所过定点的坐标为( )A.(−1,−1)B.(−1,1)C.(1,−1)D.(1,1)4. 已知直线l，两个不同的平面α和β.下列说法正确的是( )A.若l⊥α，α⊥β，则l//βB.若l//α，α⊥β，则l⊥βC.若l//α，l//β，则α//βD.若l⊂α，α//β，则l//β5. 过三点A(1,3)，B(6,−2)，C(1,−7)的圆交x轴于M、N两点，则MN＝（ ）A.2B.2√21C.4D.4√216. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13+π12B.13+π4C.1+π4D.1+π127. 直线3x−2y+7=0在y轴上的截距是（ ）A.73B.−73C.72D.−728. 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正弦值为（）A.√22B.√53C.√52D.√329. 已知点A(3,0)，B(0,3)，M(1,0)，O为坐标原点，P，Q分别在线段AB，BO上运动，则△MPQ的周长的最小值为（ ）A.4B.5C.2√5D.√3410. 如图，在四棱锥P−ABCD中，底面四边形ABCD是矩形，BC=2，△PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，点E，F分别在线段PA,CD上，若EF//平面PBC，且DF=2FC，则点E到平面ABCD的距离为( )A.√33B.23C.2√33D.4311. 已知圆C1:x2+(y−2)2=1，圆C2:(x−7)2+(y−1)2=9，M，N分别是圆C1，C2上动点，P为直线y=x上的动点，则|PN|−|PM|的最大值为( )A.5√2−4B.5√2+4C.√26+4D.√26−412. 已知棱长等于2√3的正方体ABCD−A1B1C1D1，它的外接球的球心为O，点E是AB的中点，则过点E的平面截球O的截面面积的最小值为（ ）A.πB.2πC.3πD.4π卷II（非选择题）二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13. 如图，△A′B′C′是△ABC用“斜二测画法”画出的直观图，其中O′B′=O′C′=1，O′A′=√32，那么△ABC的周长是________.14. 已知直线l1:x+ysinθ−1=0和直线l2:2xsinθ+y+3=0，则当l1//l2时θ=________；当l1⊥l2时θ=________．15. 将正方形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥D′−ABC，使得BD′=4，若三棱锥D′−ABC的外接球的半径为2√2，则三棱锥D′−ABC的体积为________.16. 设直线y=x+2a与圆C:x2+y2−2ay−2=0相交于A，B两点，若|AB|=2√3，则圆C的面积为________．三、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）17. 已知方程(m2−2m−3)x+(2m2+m−1)y+6−2m=0(m∈R)．（1）求该方程表示一条直线的条件；（2）当m为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出这时的直线方程；（3）已知方程表示的直线l在x轴上的截距为−3，求实数m的值．18. 已知曲线C:f(x)=3x2−1，C上的两点A，A n的横坐标分别为2与a n(n=1,2,3,…)，a1=4，数列{x n}满足x n+1=t3[f(x n−1)+1]+1(t>0且t≠12，t≠1)、设区间D n=[1,a n](a n>1)，当x∈D n时，曲线C上存在点p n（x n,f(x n)），使得点p n处的切线与AA n平行，（1）建立x n与a n的关系式；+1}是等比数列；（2）证明：{log(xn−1)t（3）当D n+1⊈对一切{n\in N_{+ }}恒成立时，求{t}的范围．19. 在平面直角坐标系{xOy}中，已知圆心在{x}轴上、半径为{2}的圆{C}位于{y}轴右侧，且与直线{x - \sqrt{3}y + 2 = 0}相切．（1）求圆{C}的方程；（2）在圆{C}上，是否存在点{M( \rm{m} ,\, n)}，使得直线{l: mx+ ny}＝{1}与圆{O: x^{2}+y^{2}}＝{1}相交于不同的两点{A}，{B}，且{\triangle OAB}的面积最大？若存在，求出点{M}的坐标及对应的{\triangle OAB}的面积；若不存在，请说明理由．20. 如图，在四棱锥{S-ABCD}中底面{ABCD}是直角梯形，{AD//BC,AB⊥BC}，{△SAB}是等边三角形，且侧面{SAB⊥}底面{ABCD,AB=BC=3，AD=1},点{M}是棱{SB}上的动点.{(1)}求证：{BC⊥AM;}{(2)}当{SM}等于何值时，{AM//}平面{SCD}，并证明你的结论.21. 已知圆{M: x^{2}+ y^{2}-2x-6y-6=0}，直线{l: 3x-4y+ m=0}平分圆{M}．{(1)}求直线{l}的方程；{(2)}设点{A(-5,\, 3)}，圆{M}的圆心是点{M}，对圆{M}上任意一点{P}，在直线{AM}上是否存在与点{A}不重合的点{B}，使{\dfrac{\mathrel{|} PB\mathrel{|} }{\mathrel{|} PA\mathrel{|} }}是常数？若存在，求出点{B}的坐标；若不存在，说明理由．22. 如图所示，在四棱锥{P-ABCD}中，{AB\perp}平面{PAD}，{AB//CD}，{PD=AD}，{E}是{PB}中点，{F}是{DC}上的点，{AB=2DF}，{PH}为{\triangle PAD}中{AD}边上的高．{(1)}证明：{PH\perp}平面{ABCD}；{(2)}若{PH=1}，{ AD=\sqrt{2}}，{ FC=1}，求三棱锥{E-BCF}的体积；{(3)}证明：平面{EFC\perp}平面{PAB}．参考答案与试题解析2022-2023学年高中高三上数学月考试卷一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计60分）1.【答案】C【考点】直线的倾斜角【解析】求出直线的斜率．然后求解直线的倾斜角．【解答】解：直线{\sqrt{3}x+ 3y-1= 0}的斜率为：{-\dfrac{\sqrt{3}}{3}}，直线的倾斜角为{\alpha }，则{\tan \alpha = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}}，∴{\alpha = 150^{{\circ} }}．故选：{C}．2.【答案】B【考点】构成空间几何体的基本元素旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【解析】此题暂无解析【解答】解：由棱柱定义可知，棱柱的侧面是平行四边形，所有侧棱都相等，①正确；以直角梯形垂直于底边的一腰为轴旋转才可以得到圆台，故②错误；用平行于底面的截面截圆锥，上部分为小圆锥，下部分为圆台，故③正确；通过圆台侧面上一点，只有一条母线，故④错误．故选{\rm B}．3.【答案】A【考点】直线恒过定点【解析】利用直线方程变形可得过定点.【解答】解：由题设直线方程变形为：{y+1=a\left(x+1\right)}，令{\left\{\begin{array}{l}x+1=0,\\y+1=0,\end{array}\right.}解得：{\left\{\begin{array}{l}x=-1,\\y=-1,\end{array}\right.}即所过定点为{\left(-1,-1\right)}.故选{\rm A}.4.【答案】D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系命题的真假判断与应用【解析】根据空间直线与直线位置关系，直线与平面位置关系，平面与平面位置关系分析解答．【解答】解：{\rm A}，{\because \alpha\perp \beta} ，设{\alpha\cap\beta=a}，在面{\beta}内作直线{b\perp a}，则{b\perp \alpha}，又{\because l\perp \alpha}，{\therefore l//b}，若{l \not\subset \beta}，则{l//\beta}，若{l \subset\beta}，也成立，{\therefore l//\beta}或{l \subset \beta}，故{\rm A}错误；{\rm B}，若{l//\alpha}，{\alpha\perp\beta}，则{l//\beta}或{l}与{\beta}相交，故{\rm B}错误；{\rm C}，若{l//\alpha}，{l//\beta}，则{\alpha //\beta}或{\alpha}与{\beta }相交，故{\rm C}错误；{\rm D}，若{l\subset \alpha}，{ \alpha //\beta}，则{l//\beta}，故{\rm D}正确.故选{\rm D}．5.【答案】B【考点】圆的一般方程设出圆的一般方程，由已知可得关于{D}、{E}、{F}的方程组，求得{D}、{E}、{F}的值，得到圆的方程，取{y}＝{0}得到关于{x}的一元二次方程，再由弦长公式及根与系数的关系求解．【解答】设过三点{A(1,\, 3)}，{B(6,\, -2)}，{C(1,\, -7)}的圆的方程为：{x^{2}+ y^{2}+ Dx+ Ey+ F}＝{0}．则{\left\{ \begin{matrix} 1 + 9 + D + 3E + F = 0 \\ 36 + 4 + 6D - 2E + F = 0 \\ 1 + 49 + D - 7E + F = 0 \\ \end{matrix} \right.\ }，解得{D}＝{-2}，{E}＝{4}，{F}＝{-20}．∴圆的方程为{x^{2}+ y^{2}-2x+ 4y-20}＝{0}，取{y}＝{0}，得{x^{2}-2x-20}＝{0}，∴{MN}＝{\mathrel{|} x_{1}-x_{2}\mathrel{|} = \sqrt{({x}_{1} + {x}_{2}{)}^{2} - 4{x}_{1} {x}_{2}} = \sqrt{{2}^{2} - 4 \times ( - 20)} = 2\sqrt{21}}．6.【答案】D【考点】由三视图求体积【解析】此题暂无解析【解答】解：根据三视图可得该几何体是一个四分之一圆锥与三棱柱的组合体，四分之一圆锥的底面半径为{1}，高为{1}，故体积为{\dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{4} \pi \times 1=\dfrac{\pi}{12}}，三棱柱的底面是两直角边分别为{1}和{2}的直角三角形，高为{1}，故体积为{\dfrac{1}{2} \times 1 \times 2 \times 1=1}，故组合体的体积{V=1+\dfrac{\pi}{12}}，故选{\rm D}.7.【答案】C【考点】直线的截距式方程【解析】把直线方程改写为斜截式方程，根据直线的斜截式方程即可求得结果．解：∵直线{3x-2y+ 7= 0}，∴{y= \dfrac{3}{2}x+ \dfrac{7}{2}}，由{b= \dfrac{7}{2}}所以直线{3x-2y+ 7= 0}在{y}轴上的截距是{\dfrac{7}{2}}．故选{C}．8.【答案】C【考点】异面直线及其所成的角【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，连接{BE}，因为{AB//C^{\prime }D}所以异面直线{AE}与{CD}所成的角等于相交直线{AE}与{AB}所成的角即{\angle EAB}不妨设正方体的棱长为{2}，则{CE=1, BC=2}，由勾股定理得{BE=\sqrt{5}}，又由{AB\perp}平面{BCC_{1}B_{1}}，可得{AB\perp BE}，所以{\tan \angle EAB=\dfrac{BE}{AB}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}}，故选{\rm C}.9.【答案】C【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程【解析】分别求出设{M(1,\, 0)}关于直线{x+ y-3}＝{0}对称的点{N}，{M}关于{O}对称的点{E}，当{N}，{P}，{Q}，{E}共线时{\triangle MPQ}的周长{MQ+ PQ+ QM}＝{NP+ EQ+ PQ}取得最小值{NE}，利用两点间的距离公式可求【解答】∵过{A(3,\, 0)}，{B(0,\, 3)}两点的直线方程为{x+ y-3}＝{0}设{M(1,\, 0)}关于直线{x+ y-3}＝{0}对称的点{N(x,\, y)}，则{\left\{ \begin{matrix} \dfrac{y}{x - 1} = 1 \\ \dfrac{x + 1}{2} + \dfrac{1}{2}y - 3 =0 \\ \end{matrix} \right.\ }，解可得，{x}＝{3}，{y}＝{2}，即{N(3,\, 2)}，同理可求{M}关于{O}对称的点{E(-1,\, 0)}，当{N}，{P}，{Q}，{E}共线时{\triangle MPQ}的周长{MQ+ PQ+ QM}＝{NP+ EQ+ PQ}取得最小值{NE = \sqrt{(3 + 1{)}^{2} + 4} = 2\sqrt{5}}10.【答案】C【考点】点、线、面间的距离计算【解析】此题暂无解析【解答】解：连结{A F}并延长{A F}交线段{B C}的延长线于{G},连结{P G}，因为{E F / /}平面{PBC}，平面{P A F \cap}平面{P B C=P G}，{E F \subset}平面{PAF}，所以{E F / / P G}.又{D F=2 F C}，得：{\dfrac{G C}{B C}=\dfrac{G F}{F A}=\dfrac{P E}{E A}=\dfrac{1}{2}} ，过{E}作{E H \perp A D}，由平面{P A D \perp}平面{ABCD}可得，{E H \perp}平面{A B C D}，在直角三角形{A E H}中，{E H=\sin 60^{\circ} \cdot E A}{=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot 2=\dfrac{2 \sqrt{3}} {3}}.故选{\rm C}.11.【答案】C【考点】直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系及其判定【解析】此题暂无解析【解答】解：如图：圆{C_{1}: x^{2}+ \left(y- 2\right)^{2}= 1}的圆心为{C_{1}\left(0, 2\right)}，半径等于{1}，{C_{2}: \left(x- 7\right)^{2}+ \left(y- 1\right)^{2}= 9}的圆{C_{2}(7,1)}，半径等于{3}，则{| PN | - | PM | \le \left( | PC_{2} | + 3\right)- \left( | PC_{1} | - 1\right)= 4+ | PC_{2} | - | PC_{1} | }，{C_{1}\left(0, 2\right)}关于直线{l:x- y= 0}的对称点为{C_{3}\left(2,0\right)}，则{4+ | PC_{2} | - | PC_{1} | = 4+ | PC_{2} | - | PC_{3} | \lt |C_{2}C_{3} | + 4}{= \sqrt{\left(7- 2\right)^{2}+ \left(1- 0\right)^{2}}+ 4= \sqrt{26}+ 4}，即当点{P}是直线{C_{2}C_{3}}和直线{l}的交点时，{| PN | - | PM |}取得最大值为{\sqrt{26}+ 4}.故选{\rm C}．12.【答案】C【考点】球内接多面体【解析】当过球内一点{E}的截面与{OE}垂直时，截面面积最小可求截面半径，即可求出过点{E}的平面截球{O}的截面面积的最小值．【解答】解：棱长等于{2\sqrt{3}}的正方体{ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}，它的外接球的半径为{3}，{\mathrel{|} OE\mathrel{|} = \sqrt{6}}当过点{E}的平面与{OE}垂直时，截面面积最小，{r= \sqrt{9-6}= \sqrt{3}}，{S= \pi \times 3= 3\pi }，故选：{C}．二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13.【答案】{6}【考点】斜二测画法画直观图【解析】根据斜二侧画法还原直线{\triangle ABC}在直角坐标系的图形，即可得解三角形的周长．【解答】解：根据斜二侧画法还原直线{\triangle ABC}在直角坐标系的图形，如图所示：由图易得{AB=BC=AC=2}，所以{\triangle ABC}的周长为{2+2+2=6}.故答案为：{6}.14.【答案】{k\pi\pm \dfrac{\pi }{4}(k\in \textbf Z)},{k\pi (k\in \textbf Z)}【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【解析】此题暂无解析【解答】当{\sin \theta =0}时，{l_{1}}的斜率不存在，{l_{2}}的斜率为零，{l_{1}}显然不平行于{l_{2}}，显然{l_{1}\perp l_{2}}；当{\sin \theta \ne 0}时，{l_{1}}的斜率{k_{1}=-\dfrac{1}{\sin \theta }，l_{2}}的斜率{k_{2}=}{-2\sin \theta}，当{l_{1}//l_{2}}时，{-\dfrac{1}{\sin \theta }=-2\sin \theta}，则{\sin ^{2}\theta =\dfrac{1}{2}\Rightarrow \sin \theta =\pm \dfrac{\sqrt{2}}{2}}，∴{\theta =k\pi \pm \dfrac{\pi }{4}，k\in \textbf Z}，当{l_{1}\perp l_{2}，k_{1}\cdot k_{2}=-1}，但{k_{1}\cdot k_{2}=-\dfrac{1}{\sin \theta }\cdot \left(-2\sin \theta \right)=}{2\ne -1}{\therefore}仅有{\sin \theta =0}，即{\theta =k\pi}{(k\in \textbf Z)}．{\bigg(}或{\theta =\dfrac{1} {2}k\pi +\dfrac{\pi }{4}，k\in \textbf Z\bigg )}∴综上{l_{1}//l_{2}}时，{\theta =k\pi \pm \dfrac{\pi }{4}\left(k\in \textbf Z\right)，l_{1}\perpl_{2}}时{\theta =k\pi (k\in}{\textbf Z})．15.【答案】{\dfrac{16\sqrt{2}}{3}}【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】解：由题可知，三棱锥{D^{\prime }-ABC}的外接球的球心{O}位于{AC}的中点，所以{|OD^{\prime } | = | OB | =2\sqrt{2}}，又{| BD^{\prime } | =4}，所以{DO^{\prime }\perp OB}，易得{DO^{\prime }\perp}平面{ABC}，{V_{D}-ABC=\dfrac{1}{3}\times 2\sqrt{2}\times \dfrac{1} {2}\times 4\sqrt{2}\times 2\sqrt{2}=\dfrac{16\sqrt{2}}{3}}．故答案为：{\dfrac{16\sqrt{2}}{3}} ．16.【答案】{4\pi }【考点】直线与圆的位置关系点到直线的距离公式【解析】圆{C: x^{2}+ y^{2}-2ay-2= 0}的圆心坐标为{(0,\, a)}，半径为{\sqrt{a^{2}+ 2}}，利用圆的弦长公式，求出{a}值，进而求出圆半径，可得圆的面积．【解答】解：圆{C: x^{2}+ y^{2}-2ay-2= 0}的圆心坐标为{(0,\, a)}，半径{r}为{\sqrt{a^{2}+ 2}}，∵直线{y= x+ 2a}与圆{C: x^{2}+ y^{2}-2ay-2= 0}相交于{A}，{B}两点，且{\mathrel{|}AB\mathrel{|} = 2\sqrt{3}}，∴圆心{(0,\, a)}到直线{y= x+ 2a}的距离{d={\dfrac{|a|}{{\sqrt{2}}}}}，由垂径分弦可得：{({\dfrac{|AB|}{2}})^2+d^2=r^2}，∴{3+{\dfrac{a^2}{2}}=a^2+2}，解得：{a^{2}= 2}，故圆的半径{r= 2}．故圆的面积{S= 4\pi }.故答案为：{4\pi }.三、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）17.【答案】解：（1）由{\left\{ {\begin{matrix} {m^{2}-2 \rm{m} -3= 0} \\ {2m^{2}+ m-1= 0}\end{matrix}} \right.}，解得{m= -1}，因此若方程{(m^{2}-2 \rm{m} -3)x+ (2m^{2}+ m-1)y+ 6-2\rm{m} = 0( \rm{m} \in R)}表示一条直线，则{m\neq -1}．（2）当{\left\{ {\begin{matrix} {2m^{2}+ m-1= 0} \\ {m^{2}-2 \rm{m} -3\neq 0}\end{matrix}} \right.}时，解得{m= \dfrac{1}{2}}，此时直线为{(\dfrac{1}{4}-1-3)x+ 6-1= 0}，化为{x= \dfrac{4}{3}}．（3）把{(-3,\, 0)}代入直线方程点到{-3(m^{2}-2 \rm{m} -3)+ 0+ 6-2 \rm{m} = 0}，化为{3m^{2}-4 \rm{m} -15= 0}，解得{m= -\dfrac{5}{3}}或{3}．【考点】直线的一般式方程【解析】（1）由{\left\{ {\begin{matrix} {m^{2}-2 \rm{m} -3= 0} \\ {2m^{2}+ m-1= 0} \end{matrix}} \right.}，解得{m= -1}，因此若方程{(m^{2}-2 \rm{m} -3)x+ (2m^{2}+ m-1)y+ 6-2 \rm{m} = 0( \rm{m} \in R)}表示一条直线，就是{m^{2}-2 \rm{m} -3}与{2m^{2}+ m-1}不能同时为{0}．（2）当{\left\{ {\begin{matrix} {2m^{2}+ m-1= 0} \\ {m^{2}-2 \rm{m} -3\neq 0}\end{matrix}} \right.}时，解得{m}即可；（3）把{(-3,\, 0)}代入直线方程点到{-3(m^{2}-2 \rm{m} -3)+ 0+ 6-2 \rm{m} = 0}，即可解得．【解答】解：（1）由{\left\{ {\begin{matrix} {m^{2}-2 \rm{m} -3= 0} \\ {2m^{2}+ m-1= 0}\end{matrix}} \right.}，解得{m= -1}，因此若方程{(m^{2}-2 \rm{m} -3)x+ (2m^{2}+ m-1)y+ 6-2\rm{m} = 0( \rm{m} \in R)}表示一条直线，则{m\neq -1}．（2）当{\left\{ {\begin{matrix} {2m^{2}+ m-1= 0} \\ {m^{2}-2 \rm{m} -3\neq 0}\end{matrix}} \right.}时，解得{m= \dfrac{1}{2}}，此时直线为{(\dfrac{1}{4}-1-3)x+ 6-1= 0}，化为{x= \dfrac{4}{3}}．（3）把{(-3,\, 0)}代入直线方程点到{-3(m^{2}-2 \rm{m} -3)+ 0+ 6-2 \rm{m} = 0}，化为{3m^{2}-4 \rm{m} -15= 0}，解得{m= -\dfrac{5}{3}}或{3}．18.【答案】解：（1）因为曲线在{p_{n}}处的切线与{AA_{n}}平行∴{6x_{n}= \dfrac{3a^{2}_{n}-1-11}{a_{n}-2}\Rightarrow 2x_{n}= a_{n}+ 2}（2）∵{x_{n+ 1}= \dfrac{t}{3}[f(x_{n}-1)+ 1]+ 1}∴{x_{n+ 1}= \dfrac{t}{3}[3(x_{n}-1)^{2}-1+ 1]+ 1}，{\Rightarrow x_{n+ 1}= t(x_{n}-1)^{2}+ 1}从而{\log _{t}(x_{n+ 1}-1)= 1+ 2\log _{t}(x_{n}-1)\Rightarrow \log _{t}(x_{n+ 1}-1)+ 1= 2[\log _{t} (x_{n}-1)+ 1]}∴{\{\log _{t}(x_{n}-1)+ 1\}}是一个公比为{2}的等比数列（3）由（2）知：{\log _{t}(x_{n}-1)+ 1= (\log _{t}2+ 1)2^{n-1}}∴{x_{n}= 1+ \dfrac{1}{t}(2t)^{2^{n-1}}}，从而{a_{n}= 2x_{n}-2= \dfrac{2}{t}(2t)^{2^{n-1}}}∴{a_{n+ 1}\lt a_{n}}，∴{(2t)^{2^{n}}\lt (2t)^{2^{n-1}}}∴{0\lt 2t\lt 1\Rightarrow 0\lt t\lt \dfrac{1}{2}}【考点】数列递推式函数恒成立问题等比关系的确定两条直线平行的判定【解析】（1）因为曲线在{p_{n}}处的切线与{AA_{n}}平行，所以{6x_{n}= \dfrac{3a^{2}_{n}-1-11}{a_{n}-2}}，由此可知{2x_{n}= a_{n}+ 2}．（2）由题意知{x_{n+ 1}= \dfrac{t}{3}[3(x_{n}-1)^{2}-1+ 1]+ 1}，所以{x_{n+ 1}= t(x_{n}-1)^{2}+ 1}，{\log _{t}(x_{n+ 1}-1)+ 1= 2[\log _{t}(x_{n}-1)+ 1]}，由此可知{\{\log _{t}(x_{n}-1)+ 1\}}是一个公比为{2}的等比数列（3）由题设知：{\log _{t}(x_{n}-1)+ 1= (\log _{t}2+ 1)2^{n-1}}，所以{x_{n}= 1+ \dfrac{1}{t}(2t)^{2^{n-1}}}，从而{a_{n}= 2x_{n}-2= \dfrac{2}{t}(2t)^{2^{n-1}}}，由此可求出{t}的范围．【解答】解：（1）因为曲线在{p_{n}}处的切线与{AA_{n}}平行∴{6x_{n}= \dfrac{3a^{2}_{n}-1-11}{a_{n}-2}\Rightarrow 2x_{n}= a_{n}+ 2}（2）∵{x_{n+ 1}= \dfrac{t}{3}[f(x_{n}-1)+ 1]+ 1}∴{x_{n+ 1}= \dfrac{t}{3}[3(x_{n}-1)^{2}-1+ 1]+ 1}，{\Rightarrow x_{n+ 1}= t(x_{n}-1)^{2}+ 1}从而{\log _{t}(x_{n+ 1}-1)= 1+ 2\log _{t}(x_{n}-1)\Rightarrow \log _{t}(x_{n+ 1}-1)+ 1= 2[\log _{t} (x_{n}-1)+ 1]}∴{\{\log _{t}(x_{n}-1)+ 1\}}是一个公比为{2}的等比数列（3）由（2）知：{\log _{t}(x_{n}-1)+ 1= (\log _{t}2+ 1)2^{n-1}}∴{x_{n}= 1+ \dfrac{1}{t}(2t)^{2^{n-1}}}，从而{a_{n}= 2x_{n}-2= \dfrac{2}{t}(2t)^{2^{n-1}}}∴{a_{n+ 1}\lt a_{n}}，∴{(2t)^{2^{n}}\lt (2t)^{2^{n-1}}}∴{0\lt 2t\lt 1\Rightarrow 0\lt t\lt \dfrac{1}{2}}19.【答案】设圆心是{(x_{0},\, 0)(x_{0}\gt 0)}，它到直线{x - \sqrt{3}y + 2 = 0}的距离是{d = \dfrac{\mathrel{|}{x}_{0} + 2\mathrel{|} }{\sqrt{1 + 3}} = 2}，解得{x_{0}}＝{2}或{x_{0}}＝{-6}（舍去）∴所求圆{C}的方程是{(x-2)^{2}+ y^{2}}＝{4}∵点{M( \rm{m} ,\, n)}在圆{C}上∴{( \rm{m} -2)^{2}+ n^{2}}＝{4}，{n^{2}}＝{4-( \rm{m} -2)^{2}}＝{4 \rm{m} -m^{2}}且{0\leqm\leq 4}又∵原点到直线{l: mx+ ny}＝{1}的距离{h = \dfrac{1}{\sqrt{{m}^{2} + {n}^{2}}} = \dfrac{1} {\sqrt{4 \rm{m} }}\lt 1\cdots}解得{\dfrac{1}{4}\lt m \leq 4\cdots}而{\mathrel{|} AB\mathrel{|} = 2\sqrt{1 - {h}^{2}}}∴{{S}_{ \bigtriangleup OAB} = \dfrac{1}{2}\mathrel{|} AB\mathrel{|} \cdot h =\sqrt{{h}^{2} - {h}^{4}} = \sqrt{\dfrac{1}{4 \rm{m} } - {(\dfrac{1}{4 \rm{m} })}^{2}} =\sqrt{ - {(\dfrac{1}{4 \rm{m} } - \dfrac{1}{2})}^{2} + \dfrac{1}{4}}\cdots}∵{\dfrac{1}{16} \leq \dfrac{1}{4 \rm{m} }\lt 1\cdots}∴当{\dfrac{1}{4 \rm{m} } = \dfrac{1}{2}}，即{m = \dfrac{1}{2}}时取得最大值{\dfrac{1}{2}}，此时点{M}的坐标是{(\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt{7}}{2})}与{(\dfrac{1}{2}, - \dfrac{\sqrt{7}}{2})}，面积的最大值是{\dfrac{1}{2}}．【考点】圆的标准方程点到直线的距离公式【解析】（1）设圆心是{(x_{0},\, 0)(x_{0}\gt 0)}，由直线{x - \sqrt{3}y + 2 = 0}于圆相切可知，圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式可求{x_{0}}，进而可求圆{C}的方程（2）把点{M( \rm{m} ,\, n)}代入圆的方程可得，{m}，{n}的方程，结合原点到直线{l: mx+ny}＝{1}的距离{h\lt 1}可求{m}的范围，根据弦长公式求出{AB}，代入三角形的面积公式，结合二次函数的性质可求最大值【解答】设圆心是{(x_{0},\, 0)(x_{0}\gt 0)}，它到直线{x - \sqrt{3}y + 2 = 0}的距离是{d = \dfrac{\mathrel{|} {x}_{0} + 2\mathrel{|} }{\sqrt{1 + 3}} = 2}，解得{x_{0}}＝{2}或{x_{0}}＝{-6}（舍去）∴所求圆{C}的方程是{(x-2)^{2}+ y^{2}}＝{4}∵点{M( \rm{m} ,\, n)}在圆{C}上∴{( \rm{m} -2)^{2}+ n^{2}}＝{4}，{n^{2}}＝{4-( \rm{m} -2)^{2}}＝{4 \rm{m} -m^{2}}且{0\leqm\leq 4}又∵原点到直线{l: mx+ ny}＝{1}的距离{h = \dfrac{1}{\sqrt{{m}^{2} + {n}^{2}}} = \dfrac{1} {\sqrt{4 \rm{m} }}\lt 1\cdots}解得{\dfrac{1}{4}\lt m \leq 4\cdots}而{\mathrel{|} AB\mathrel{|} = 2\sqrt{1 - {h}^{2}}}∴{{S}_{ \bigtriangleup OAB} = \dfrac{1}{2}\mathrel{|} AB\mathrel{|} \cdot h =\sqrt{{h}^{2} - {h}^{4}} = \sqrt{\dfrac{1}{4 \rm{m} } - {(\dfrac{1}{4 \rm{m} })}^{2}} =\sqrt{ - {(\dfrac{1}{4 \rm{m} } - \dfrac{1}{2})}^{2} + \dfrac{1}{4}}\cdots}∵{\dfrac{1}{16} \leq \dfrac{1}{4 \rm{m} }\lt 1\cdots}∴当{\dfrac{1}{4 \rm{m} } = \dfrac{1}{2}}，即{m = \dfrac{1}{2}}时取得最大值{\dfrac{1}{2}}，此时点{M}的坐标是{(\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt{7}}{2})}与{(\dfrac{1}{2}, - \dfrac{\sqrt{7}}{2})}，面积的最大值是{\dfrac{1}{2}}．20.【答案】证明：{(1)}因为侧面{SAB⊥}底面{ABCD}，侧面{SAB\cap }底面{ABCD=AB,BC⊥AB,}{B C \subset}底面{ABCD}，所以{BC⊥}平面{SAB}.又因为{AM\subset }平面{SAB}，所以{BC⊥AM}.{(2)}当{SM=1}时，{AM//}平面{SCD.}证明如下：取棱{SC}上靠近点{S}的一个三等分点{N,}连接{MN,DN,}如图所示：因为{\dfrac{S M}{S B}=\dfrac{S N}{S C}=\dfrac{1}{3}}，所以{MN//BC}，且{MN=\dfrac{1}{3}BC=1.}因为{AD//BC，AD=1}，所以{\mathrm{MN} / / \mathrm{AD}}，且{MN=DN}.所以四边形{MNDA}是平行四边形，所以{AM//DN}.又因为{AM\not⊂}平面{SCD,}{DN\subset }平面{SCD},所以{AM//}平面{SCD.}【考点】两条直线垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】此题暂无解析【解答】证明：{(1)}因为侧面{SAB⊥}底面{ABCD}，侧面{SAB\cap }底面{ABCD=AB,BC⊥AB,}{B C \subset}底面{ABCD}，所以{BC⊥}平面{SAB}.又因为{AM\subset }平面{SAB}，所以{BC⊥AM}.{(2)}当{SM=1}时，{AM//}平面{SCD.}证明如下：取棱{SC}上靠近点{S}的一个三等分点{N,}连接{MN,DN,}如图所示：因为{\dfrac{S M}{S B}=\dfrac{S N}{S C}=\dfrac{1}{3}}，所以{MN//BC}，且{MN=\dfrac{1}{3}BC=1.}因为{AD//BC，AD=1}，所以{\mathrm{MN} / / \mathrm{AD}}，且{MN=DN}.所以四边形{MNDA}是平行四边形，所以{AM//DN}.又因为{AM\not\subset}平面{SCD,}{DN\subset }平面{SCD},所以{AM//}平面{SCD.}21.【答案】解：{(1)}圆{M}的标准方程为{(x-1)^{2}+ (y-3)^{2}=16}，因为直线{l: 3x-4y+ m=0}平分圆{M}，所以直线{l}经过圆{M}的圆心{(1,\, 3)}，所以{3-12+ m=0}，得{m=9}，从而可得直线{l}的方程为{3x-4y+ 9=0}；{(2)}存在.理由：点{M(1,\, 3)}，{A(-5,\, 3)}，直线{AM}方程为{y=3}，假设存在点{B(t,\, 3)(t\neq -5)}，满足条件.设{P(x,\, y)}，则有{(x-1)^{2}+ (y-3)^{2}=16}，{\mathrel{|} PA\mathrel{|} ^{2}}{=(x+ 5)^{2}+ (y-3)^{2}}{=(x+ 5)^{2}+ 16-(x-1)^{2}}{=12x+ 40}，{\mathrel{|} PB\mathrel{|} ^{2}}{=(x-t)^{2}+ (y-3)^{2}}{=(x-t)^{2}+ 16-(x-1)^{2}}{=(2-2t)x+ t^{2}+ 15},当{\dfrac{\mathrel{|} PB\mathrel{|} }{\mathrel{|} PA\mathrel{|} }}是常数时，{\dfrac{{\mathrel{|} PB\mathrel{|} }^{2}}{{\mathrel{|} PA\mathrel{|} }^{2}} = \dfrac{(2 - 2t)x + {t}^{2} + 15}{12x +40}}是常数，∴{\dfrac{2 - 2t}{12} = \dfrac{{t}^{2} + 15}{40}}，∴{(3t+ 5)(t+ 5)=0}.∵{t\neq -5}，∴{t = - \dfrac{5}{3}}，∴存在{B( - \dfrac{5}{3},3)}满足条件．【考点】直线和圆的方程的应用两点间的距离公式【解析】（1）结合直线{l}平分圆，则可知该直线过圆心，代入圆心坐标，计算参数，即可．（2）结合{A}，{M}坐标，计算直线{AM}方程，采取假设法，假设存在该点，计算{\dfrac{{\mathrel{|} PA\mathrel{|} }^{2}}{{\mathrel{|} PB\mathrel{|} }^{2}}}，对应项成比例，计算参数{t}，即可．【解答】解：{(1)}圆{M}的标准方程为{(x-1)^{2}+ (y-3)^{2}=16}，因为直线{l: 3x-4y+ m=0}平分圆{M}，所以直线{l}经过圆{M}的圆心{(1,\, 3)}，所以{3-12+ m=0}，得{m=9}，从而可得直线{l}的方程为{3x-4y+ 9=0}；{(2)}存在.理由：点{M(1,\, 3)}，{A(-5,\, 3)}，直线{AM}方程为{y=3}，假设存在点{B(t,\, 3)(t\neq -5)}，满足条件.设{P(x,\, y)}，则有{(x-1)^{2}+ (y-3)^{2}=16}，{\mathrel{|} PA\mathrel{|} ^{2}}{=(x+ 5)^{2}+ (y-3)^{2}}{=(x+ 5)^{2}+ 16-(x-1)^{2}}{=12x+ 40}，{\mathrel{|} PB\mathrel{|} ^{2}}{=(x-t)^{2}+ (y-3)^{2}}{=(x-t)^{2}+ 16-(x-1)^{2}}{=(2-2t)x+ t^{2}+ 15},当{\dfrac{\mathrel{|} PB\mathrel{|} }{\mathrel{|} PA\mathrel{|} }}是常数时，{\dfrac{{\mathrel{|} PB\mathrel{|} }^{2}}{{\mathrel{|} PA\mathrel{|} }^{2}} = \dfrac{(2 - 2t)x + {t}^{2} + 15}{12x + 40}}是常数，∴{\dfrac{2 - 2t}{12} = \dfrac{{t}^{2} + 15}{40}}，∴{(3t+ 5)(t+ 5)=0}.∵{t\neq -5}，∴{t = - \dfrac{5}{3}}，∴存在{B( - \dfrac{5}{3},3)}满足条件．22.【答案】{(1)}证明：∵{AB\perp }平面{PAD}，{PH\subset}平面{PAD}，∴{ PH\perp AB}，又{PH\perp AD}，{ AD\cap AB=A}，{ AB}，{AD\subset}平面{ABCD}，∴{PH\perp}平面{ABCD}.{(2)}解：∵{E}是{PB}的中点，∴点{E}到平面{BCF}的距离{h=\dfrac{1}{2}PH=\dfrac{1}{2}}，∵{AB\perp}平面{PAD}，{AD\subset}平面{PA D}，∴{AB\perp AD}，∵{AB//CD}，∴{CD\perp AD}，则三棱锥{E-BCF}的体积：{V=\dfrac{1}{3}S_{\triangle BCF}\cdot h}{=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{2} FC\cdot AD\cdot h}{ =\dfrac{1}{6}\times 1\times \sqrt{2}\times\dfrac{1}{2}}{=\dfrac{\sqrt{2}}{12}}.{(3)}证明：取{PA}的中点为{G}，连接{DG}，{EG}，∵{PD=AD}，∴{DG\perp PA}，又{AB\perp}平面{PAD }，∴平面{PAD\perp}平面{PAB}，又平面{PAD\cap}平面{PAB=PA}，{DG\perp PA}，{ DG\subset}平面{PAD}，∴{DG\perp}平面{PAB}，由点{E}，{G}是棱{PB}，{PA}的中点，则{EG {=}\dfrac{1}{2}AB}，{EG//AB}，可知{ DF//AB}，{ DF=\dfrac{1}{2}AB}，∴{ DF//EG}，{ DF=EG}，∴{ DG//EF}，∴{EF\perp}平面{PAB}，∵{ EF\subset}平面{EFC}，∴平面{EFC\perp}平面{PAB}.【考点】直线与平面垂直的判定柱体、锥体、台体的体积计算平面与平面垂直的判定【解析】【解答】{(1)}证明：∵{AB\perp }平面{PAD}，{PH\subset}平面{PAD}，∴{ PH\perp AB}，又{PH\perp AD}，{ AD\cap AB=A}，{ AB}，{AD\subset}平面{ABCD}，∴{PH\perp}平面{ABCD}.{(2)}解：∵{E}是{PB}的中点，∴点{E}到平面{BCF}的距离{h=\dfrac{1}{2}PH=\dfrac{1}{2}}，∵{AB\perp}平面{PAD}，{AD\subset}平面{PA D}，∴{AB\perp AD}，∵{AB//CD}，∴{CD\perp AD}，则三棱锥{E-BCF}的体积：{V=\dfrac{1}{3}S_{\triangle BCF}\cdot h}{=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{2} FC\cdot AD\cdot h}{ =\dfrac{1}{6}\times 1\times \sqrt{2}\times\dfrac{1}{2}}{=\dfrac{\sqrt{2}}{12}}.{(3)}证明：取{PA}的中点为{G}，连接{DG}，{EG}，∵{PD=AD}，∴{DG\perp PA}，又{AB\perp}平面{PAD }，∴平面{PAD\perp}平面{PAB}，又平面{PAD\cap}平面{PAB=PA}，{DG\perp PA}，{ DG\subset}平面{PAD}，∴{DG\perp}平面{PAB}，由点{E}，{G}是棱{PB}，{PA}的中点，则{EG {=}\dfrac{1}{2}AB}，{EG//AB}，可知{ DF//AB}，{ DF=\dfrac{1}{2}AB}，∴{ DF//EG}，{ DF=EG}，∴{ DG//EF}，∴{EF\perp}平面{PAB}，∵{ EF\subset}平面{EFC}，∴平面{EFC\perp}平面{PAB}.。

山大附中2022～2023学年第一学期期中一、单选题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1. 设全集，集合，，则（ ）{}1,2,3,4,5U ={}1,2A ={}2,3B == () U A B A. B.C.D.{}1,3,4,5{}4,5{}2,3,4,5{}2B【分析】先求出，再求即可.A B ⋃ ()U A B 【详解】因为集合，，{}1,2A ={}2,3B =所以，{}1,2,3A B = 因为，{}1,2,3,4,5U =所以，= () U A B {}4,5故选：B2. 命题“，”的否定形式是（ ）x ∃∈R 12y <≤A. ， B. ，或x ∀∈R 12y <≤x ∃∈R 1y <2y >C. ，或 D. ，或x ∀∈R 1y ≤2y >x ∃∈R 1y ≤2y >C【分析】根据特称命题的否定直接求解即可.【详解】命题“，”的否定形式是，或.x ∃∈R 12y <≤x ∀∈R 1y ≤2y >故选：C.3. 不等式成立的一个充分不必要条件是（）()20x x -<A. B. (]0,2x ∈()0,2x ∈C. D.()0,1x ∈(],0x ∈-∞C【分析】解一元二次不等式，可得不等式的解集为，再根据充分不必要条件的概念，()02,即可得到结果.【详解】不等式的解集为，()20x x -<()02,又，所以是不等式成立的一个充分不必要条件.()()0,10,2 ()0,1()20x x -<故选：C.4. 下列命题为真命题的是（）A. 若，则B. 若，则a b >11a b<a b >22ac bc>C. 若，则 D. 若，则a b >22a b >22ac bc >a b>D【分析】通过举反列即可得ABC 错误，利用不等式的性质可判断D ．【详解】A.当时，，但，故A 错；1,1a b ==-a b >11a b >B. 当时，，故B 错；0c =22a cbc =⋅⋅C. 当时，，但，故C 错；1,1a b ==-a b >22a b =D. 若，则，D 正确．22ac bc >a b >故选：D ．5. 已知，设，则函数的图象大2()||,()f x x g x x ==()()()()()()(),,f x f x g x h x g x f x g x ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩()h x 致是（）A. B.C. D.C【分析】在同一直角坐标系中画出的函数图象，根据的定义，即可求得()(),f x g x ()h x 其图象.【详解】在同一直角坐标中画出的函数图象如下所示：()(),f x g x根据的定义，上图中实线部分即为的图象.()h x ()h x 故选：C.6. 已知,,则的大小关系是330.2,log 0.2a b ==0.23c =,,a b c A. B. C. D. a c b <<b a c <<a b c<<b<c<aB【详解】,选B30.230.2(0,1),log 0.20,31b a c∈∴<< 7. 若函数的定义域为R ，则实数k 的取值范围是（）()f x =A. B. C. D. (0,4)[0,4)[0,4](0,4]B【分析】由题意可知的解集为R ，分，两种情况讨论，即可求210kx kx ++>=0k 0k ≠解.【详解】函数R ，可知的解集为R ，()f x =210kx kx ++>若，则不等式为恒成立，满足题意；=0k 10>若，则，解得．0k ≠2>0Δ=4<0k k k -⎧⎨⎩04k <<综上可知，实数k 的取值范围是．04k ≤<故选：B ．8. 已知函数，则满足不等式的的取值范围是（ ()121e1xf x x +=-+()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭x ）A. B. C. D. 12,33⎛⎫⎪⎝⎭12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭12,23⎛⎫⎪⎝⎭12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭A【分析】根据函数解析式判断函数的奇偶性和单调性，再根据以上的性质解不等式即可.()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭【详解】由于，所以是偶函数；()()()112211ee11xxf x f x x x +-+-=-=-=++-()f x 当 时， ，由复合函数的单调性知f (x )是增函数，所以函数大致0x >()121e 1xf x x +=-+图像如下图：对于，就是 ，解得 ；()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭112133x -<-<1233x <<故选：A.二、多选题（本题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的四个选项中，不只一得项符合题目要求，错选得0分，漏选得2分）9. 中国清朝数学家李善兰在年翻译代数学中首次将“”译做：“函数”，1859《》function 沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合，.1930{}1,1,2,4M =-，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到的{}1,2,4,16N =MN 函数的是（ ）A. B. C. D.2y x =2y x =+2xy =2y x =CD 【分析】利用函数的定义逐项判断可得出合适的选项.【详解】在A 中，当时，，故A 错误；4x =8y N =∉在B 中，当时，，故B 错误；1x =3y N =∉在C 中，任取，总有，故C 正确；x M ∈2xy N =∈在D 中，任取，总有，故D 正确．x M ∈2y x N =∈故选：CD ．本题考查函数的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．10. 已知正数满足，则下列选项正确的是（）,x y 2x y +=A. 的最小值是2B. 的最大值是111x y +xy C.的最小值是4D. 的最大值是22x y+(1)x y +94ABD【分析】根据题设条件和基本不等式，逐项判定，即可求解.【详解】因为正数满足，,x y 2x y +=由，()1111111222222y x x y x y x y x y ⎛⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=⨯++=⋅++≥+= ⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝当且仅当时，即时，等号成立，所以A 正确；y xx y =1x y ==由，即，当且仅当时成立，所以B正确；x y +≥2≤1xy ≤1x y ==由，当且仅当时成立，所以C 错误；222()242422x y xy xy x y =+-=-≥-=+1x y ==由正数满足，可得，,x y 2x y +=(1)3x y ++=则，当且仅当时，()221391224x y x y ++⎛⎫⎛⎫+≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1x y =+即时，等号成立，即的最大值是，所以D 正确.31,22x y ==(1)x y +94故选：ABD11. 下列说法正确的是（）A. ，,R a b ∃∈()2210a b -++≤B. 若不等式的解集为或，则220ax x c ++<{1x x <-2}x >2a c +=C.（且）的图象恒过定点()12x f x a -=-0a >1a ≠()1,2-D. 函数的单调减区间为()12g x ⎛= ⎪⎝⎭1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦AB【分析】根据特例可判断A 的正误，根据一元二次不等式的解集可判断B 的正误，根据指数函数的性质可判断C 的正误，根据“同增异减”的原则可判断D 的正误.【详解】对于A ，取，则成立，故A 正确；2,1a b ==-()2100a b -++=≤对于B ，因为的解集为或，220ax x c ++<{1x x <-2}x >故为方程的根，故即，故B 正确；1,2-220ax x c ++=()2120a c ⨯--+=2a c +=对于C ，，故的图象恒过，故C 错误；(1)121f =-=-()f x ()1,1-对于D ，由可得，220x x --+≥21x -≤≤因为为减函数，故若求的减区间，12ty ⎛⎫= ⎪⎝⎭()g x 即求上的增区间，t =[]2,1-而在上为增函数，在上为减函数，22s x x =--+12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦当时，；当时，；12,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦90,4s ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦1,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦90,4s ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦且在上为增函数，故的增区间为，t =90,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦t =12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦故的减区间为，故D 错误.()g x 12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦故选：AB.12. 已知函数的定义域为，满足对任意，都有()f x ()0,∞+(),0,x y ∈+∞，且时，．则下列说法正确的是()()()()()2f xy f x f y f x f y =⋅--+1x >()2f x >（ ）A.()12f =B. 当时，()0,1x ∈()2f x <C.在是减函数()f x ()0,1D. 存在实数使得函数在是减函数k ()y f x k=+()0,1ABD【分析】对A 选项，利用赋值法，令，求出，再令，进行检验，1x y ==()1f 1x =2y =即可判断A ；对B 选项，当时，则，故，令，得出与关系，()0,1x ∈11x >12f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭1y x =()f x 1f x ⎛⎫⎪⎝⎭进而得出的范围，即可判断B ；()f x 对C 选项，利用函数单调性的定义，由，结合已知()()()212111x f x f x f x f x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭⋅条件可得，从而得出函数的单调性，即可判断C ；()()12f x f x <对D 选项，因为函数在上为增函数，若在上递减，则()f x ()0,1()y f x k=+()0,1时，，则，由此可求得，即可()0,1x ∈()()y f x k f x k =+=--()0f x k +<2k ≤-判断D ．【详解】令，则，即1x y ==()()()()()111112f f f f f =⋅--+，()()213120f f -+=解得或，()11f =()12f =当时，令，，则，解得()11f =1x =2y =()()()()()212122f f f f f =⋅--+，()21f =与时，矛盾，所以，故A 正确；1x >()2f x >()12f =当时，则，故，()0,1x ∈11x >12f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭令，则，1y x =()()2111f x x x f x f f x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=⋅--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭整理得，则，()()011f x f f f x x x ⎛⎫⎛⎫⋅--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1111111f f x x f f x x ⎛⎫⎪⎝⎭==+⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵，∴，，∴，故B 正确；12f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭111f x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭10111f x <<⎛⎫- ⎪⎝⎭()12f x <<设，则，1201x x <<<211x x >()()()()()()22212111111112x x x f x f x f x f x f x f x f f x f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-⋅=-⋅--+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()()222211*********x x x x f x f x f f f x f f x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅+-=-⋅-+-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，()21112x f x f x ⎡⎤⎛⎫⎡⎤=-⋅-⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎣⎦∵，，∴，，1201x x <<<211x x >()112f x <<212x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭∴，∴，()211120x f x fx ⎡⎤⎛⎫⎡⎤-⋅-<⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎣⎦()()12f x f x <所以函数在上单调递增，故C 错误；()f x ()0,1因为函数在上为增函数，所以在上也为增函数，()f x ()0,1()y f x k =+()0,1若在上递减，则时，，()y f x k =+()0,1()0,1x ∈()()y f x kf x k=+=--则时，，即，()0,1x ∈()0f x k +<()k f x <-又因为当时，，所以，故D 正确．()0,1x ∈()12f x <<2k ≤-故选：ABD ．三、填空题共（本题共4小题，每小题4分，共16分）13. 函数的定义域为_____．()1xf x x =+-{}11x x x ≤->或【分析】根据分母不为0以及根号下大于等于0得到不等式组，解出即可，最21010x x -≠⎧⎨-≥⎩后答案注意写成解集或区间形式.【详解】由题意得，解得或，21010x x -≠⎧⎨-≥⎩1x ≤-1x >故或.{|1x x ≤-1}x >14. 已知函数，则等于______．()()1,11,1f x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩()2f 1【分析】直接将代入计算即可.2x =【详解】()()1,11,1f x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩ ()()()2101f f f ∴===故115. 濮阳市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为，第二年的增长率为，则p q 我市这两年生产总值的年平均增长率为__________．1【分析】设该市这两年生产总值的年平均增长率为，由题意，解x 2(1)(1)(1)x p q +=++方程即可.【详解】设该市这两年生产总值的年平均增长率为,由题意,x 2(1)(1)(1)x p q +=++所以.1x =-1本题主要考查了平均增长率的问题，属于容易题.16. 已知是定义在上的函数，对任意的，恒有成立.，()y f x =R x R ∈2()()f x f x x +-=若在上单调递增，且，则的取值范围为()y f x =(,0]-∞(2)()22f a f a a --≥-a __________.(,1]-∞【分析】由已知令，可确定的奇偶性与单调性，而题设不等式可化2()()2x g x f x =-()g x 为，由的单调性可解．(2)()g a g a -≥()g x 【详解】令，则，则2()()2x g x f x =-22()()()()022x x g x g x f x f x +-=-+--=是奇函数，()g x 又在上单调递增，()y f x =(,0]-∞∴在上也单调递增，从而在上单调递增，()y g x =(,0]-∞()g x R，即，(2)()22f a f a a --≥-22(2)(2)()022a a f a f a -⇒---+≥(2)()0g a g a --≥∴，∴，所以．(2)()g a g a -≥2a a -≥1a ≤故．(,1]-∞本题考查函数的性质和运用，主要考查运用函数的奇偶性与单调性解不等式，解题关键是构造函数，确定单调性．2()()2x g x f x =-四、解答题（本题共5小题，17、18、19题每题8分，20、21题每题10分，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 计算：（1）；223033(2019)328-⎛⎫⎛⎫-+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）.20182log 13log lg 25lg 42018+-（1；（2）.1+32-【分析】（1）由幂的运算法则计算；（2）由对数的运算法则计算．【详解】解：（1）223033(2019)328-⎛⎫⎛⎫-+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2302127(2019)832⎛⎫=-+⋅+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭233431|1|92⎡⎤⎛⎫=+⋅+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦2431192⎛⎫=+⋅+-⎪⎝⎭491194=+⋅+-111=++-.1=+（2）20182log 13log lg25lg42018+-(lg25lg4)2=++-3lg32lg1002lg3=+--3222=-+-.32=-18. 已知幂函数在上单调递增，.()()12232mf x m m x-=-()0,∞+()24g x x x t=-+（1）求实数m的值；（2）当时，记，的值域分别为集合A，B，设命题p：，命题[]1,4x∈()f x()g x x A∈q：，若命题q是命题p的必要不充分条件，求实数t的取值范围.x B∈（1）1m=（2）[]2,5【分析】(1)利用幂函数定义和性质列关系式即可求解；(2)先求出,的值域，，()f x()g x A B 再利用命题是命题的必要不充分条件可以推出A⫋B，由此列不等式即可求解.q p【小问1详解】因为是幂函数，所以，()f x2321m m-=解得或.1m=13m=-又因为在上单调递增，()f x()0,∞+所以即，故.12m->12m>1m=【小问2详解】又(1)知，()12f x x=因为在上单调递增，()12f x x=[]1,4所以当时，，，14x ≤≤()()11f x f ≥=()()42f x f ≤=所以在上的值域为，()f x []1,4{}12A x x =≤≤函数在上单调递减，在上单调递增，()()224g x x t =-+-[]1,2[]2,4所以，，()()min 24g x g t ==-()()max 4g x g t ==所以的值域为，()g x {}4B x t x t =-≤≤因为命题q 是命题p 的必要不充分条件，所以A ⫋B ，所以或，解得，412t t -≤⎧⎨>⎩412t t -<⎧⎨=⎩25t ≤≤所以实数t 的取值范围是.[]2,519. 为了节能减排，某农场决定安装一个可使用10年旳太阳能供电设备．使用这种供电设备后，该农场每年消耗的电费C （单位：万元）与太阳能电池面积x （单位：平方米）之间的函数关系为，（m 为常数），已知太阳能电池面积为5平方4,0105(),10m x x C x m x x -⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩米时，每年消耗的电费为12万元．安装这种供电设备的工本费为（单位：1万元），0.5x 记为该农场安装这种太阳能供电设备的工本费与该农场10年消耗的电费之和()F x （1）写出的解析式；()F x （2）当x 为多少平方米时，取得最小值？最小值是多少万元？()F x （1）；1607.5,010()8000.5,10x x F x x x x -≤≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩（2）40平方米，最小值40万元.【分析】（1）根据给定的条件，求出m 值及的解析式，进而求出的解析式作()C x ()F x 答.（2）结合均值不等式，分段求出的最小值，再比较大小作答.()F x 【小问1详解】依题意，当时，，即有，解得，则5x =()12C x =45125m -⨯=80m =，804,0105()80,10x x C x x x -⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩于是得，1607.5,010()10()0.58000.5,10x x F x C x x x x x -≤≤⎧⎪=+=⎨+>⎪⎩所以的解析式是.()F x 1607.5,010()8000.5,10x x F x x x x -≤≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩【小问2详解】由（1）知，当时，在上递减，010x ≤≤()1607.5F x x =-[0,10]，min ()(10)85F x F ==当时，，当且仅当，即时取等10x >800()402x F x x =+≥=8002x x =40x =号，显然，所以当x 为40平方米时，取得最小值40万元.4085<()F x 方法点睛：在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．20. 已知定义在上的偶函数满足：当时，[]22-,()f x []0,2x ∈()f x x =-+（1）求函数的解析式；()f x （2）设函数，若存在，对于任意的，都有()2g x a ax =+-[]12,2x ∈-[]22,2x ∈-的取值范围．()()12g x f x <a （1）()[)[]2,00,2x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨-+∈⎪⎩（2）或23a <-2a >【分析】（1）根据偶函数的性质可求函数的解析式；（2）求出后根据有解可求参数的取值范围.()min f x ()()1min g x f x <【小问1详解】设，则，∴[]2,0x ∈-[]0,2x -∈()f x x -=+∵定义在偶函数，∴()f x []2,2x ∈-()()f x f x x =-=+∴．()[)[]2,00,2x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨-+∈⎪⎩【小问2详解】由题意得“存在，对于任意的，都有成立”，[]12,2x ∈-[]22,2x ∈-()()12g x f x <因为是定义在上的偶函数．()f x []22-,所以在区间和区间上的值域相同．()f x []2,0-[]0,2当时，[]2,0x ∈-()f x x =+设，则，t =t ⎡∈⎣令，，()()222314ht t t t =+-=+-t ⎡∈⎣则当时，函数取得最小值，所以．1t =()h t ()10h =()min 0f x =∵有解，()()1min 0g x f x <=∴由，，∴或，20a ax +-<[]12,2x ∃∈-()20g -<()20g <∴或.23a <-2a >21. 已知为偶函数，为奇函数，且满足．()f x ()g x ()()12x f x g x --=（1）求、；()f x ()g x （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围．()()229mf x g x m ≤++⎡⎤⎣⎦m （1）， ()22x x f x -=+()22x x g x -=-（2）(]-10∞，【分析】（1）利用函数的奇偶性构造方程组，解方程组求得与的解析式；()f x ()g x （2）将与的解析式代入，并令，将原问题转化为()f x ()g x 222x x t -=+≥=恒成立，其中，然后利用二次函数性质解决恒成立问题.2250t mt m -++≥2t ≥【小问1详解】因为为偶函数，为奇函数，()f x ()g x由已知可得，()()12x f x g x +---=即，()()12xf xg x ++=所以，，解得；()()()()1122x x f x g x f x g x -+⎧-=⎪⎨+=⎪⎩()()2222x x x x f x g x --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩【小问2详解】由可得，()()229mf x g x m ≤++⎡⎤⎣⎦()()224427x x x x m m --+≤+++令，当且仅当时，等号成立，222x x t -=+≥=0x =故有恒成立，其中，2250t mt m -++≥2t ≥令，其中，则函数在上恒成立，()225F t t mt m =-++2t ≥()0F t ≥[)2,+∞最小值≥0()F t ①当时，即当时，则在上单调递增，所以，22m ≤4m ≤()F t [)2,+∞，符合题意；()()290F t F ≥=>②当时，即当时，则有，解得，22m >4m >28200m m =--≤△10m ≤此时．410m <≤综上所述，实数的取值范围是；m (],10-∞。

2022-2023学年高中高三上数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：95 分考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息;2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I（选择题）一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计60分）1. 设z=1+i（i是虚数单位），则2z+z2=( )A.−1−iB.1+iC.1−iD.−1+i2. 下列两个变量不是相关关系的是（ ）A.人的身高和体重B.降雪量和交通事故发生率C.匀速行驶的车辆的行驶距离和时间D.每亩施用肥料量和粮食亩产量3. 设集合A＝{x|log2(x+1)<2}，B＝{y|y=√16−2x}，则(∁R A)∩B＝（ ）A.(0,3)B.[0,4]C.[3,4)D.(−1,3)4. 鼎被誉为中国历史上的传国重器，是青铜器文化的代表，是国家权力的象征，有着鼎盛千秋的寓意.年在河南安阳出土的后母戊鼎是一件形制巨大、工艺精巧、威武庄严的商后期青铜祭器，该器重，口长，口宽，连耳高，厚，某中学青铜文化研究小组的同学发现鼎的耳、身、足的高度之比约为．据此推算，后母戊鼎的器腹容积最贴近的是( )A. B. C. D.5. 函数f(x)=tanx−2xx 2+2在(−π2,π2)上的图象大致为( )A.B.C.D.6. 已知函数f(x)=lnx−0.5x+1，则不等式f(2x−3)<0.5的解集为（ ）A.{x|−1<x<1.5}B.{x|0.5<x<2}C.{x|x<2}D.{x|1.5<x<2}7. 《九章算术·商功》记载：斜解立方，得两堑堵．堑堵是指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，如图所示的堑堵AED−BFC中，点G在边BC上，且CG=2GB，AB=4，AD=AE=3，则直线EG与平面EFCD所成角的正弦值为( )A.√23B.√33C.2√3913D.√13138. 已知等比数列{a n}的首项为1，公比q≠−1，且a5+a4=3(a3+a2)，则9√a1a2a3⋯a9=( )A.−9B.9C.−81D.819. 对于实数x，y，若|x−1|≤1，|y−2|≤1，则|x−2y+1|的最大值为（）A.9B.7C.5D.310. 双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点为F，以F为圆心，√a2+b2为半径的圆与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点（异于原点O），若四边形OAFB为菱形，则双曲线C的离心率等于（）A.√2B.2√33C.√3D.211. 已知a=e 12,b=21e,c=ln2（e为自然对数的底），则a，b，c的大小关系为( )A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.b>c>a12. 已知锐角三角形的三边长分别为1，3，a，则a的取值范围( )A.(8,10)B.(2√2,√10)C.(2√2,10)D.(√10,8)卷II（非选择题）二、填空题（本题共计 1 小题，共计5分）13. （5分）已知点M是边长为2的正△ABC内一点，且→AM=λ→AB+μ→AC，若λ+μ=13，则→MB⋅→MC的最小值为________.三、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）14. 已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=−10．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{a n2n−1}的前n项和．15. 如图，三棱锥D−ABC中，已知AC⊥BC，AC⊥DC，BC=DC，E，F分别为BD，CD的中点，求证：(1)EF//平面ABC ；(2)BD ⊥平面ACE. 16. 为了解某地区某种农产品的年产量x （单位：吨）对价格y （单位：千元/吨）的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如表：x 23456y 86542已知x 和y 具有线性相关关系．(1)求¯x ，¯y ；(2)求y 关于x 的线性回归方程y =ˆbx +ˆa ；(3)若年产量为3.5吨，试预测该农产品的价格．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为ˆb =n∑i=1(x i −¯x)(y i −¯y )n∑i=1(x i −¯x )2，ˆa =¯y −ˆb ⋅¯x.17. 已知椭圆C 1的离心率为√63，一个焦点坐标为(0,2√2)，曲线C 2上任一点到点(94,0)和到直线x =−94的距离相等．(1)求椭圆C 1和曲线C 2的标准方程；(2)点P 为C 1和C 2的一个交点，过P 作直线l 交C 2于点Q ，交C 1于点R ，且Q ，R ，P 互不重合，若→PQ =→RP ，求直线l 与x 轴的交点坐标．18. 已知函数f(x)=xe x −x −alnx −b(a,b ∈R)．（1）若曲线y =f(x)在x =1处的切线的斜率为2e ，求a 的值；（2）若a =1,f(x)在(0,+∞)上存在唯一零点，求b 的值．19. 在直角坐标系xOy 中，直线l 1：x =−2，曲线C ：{x =2cosθ，y =2+2sinθ （θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l 1及曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 2的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R)，设l 2与曲线C 的交点为M ，N ，求△CMN 的面积及l 1与l 2交点的极坐标．参考答案与试题解析2022-2023学年高中高三上数学月考试卷一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计60分）1.【答案】B【考点】复数代数形式的混合运算【解析】将复数z代入2z+z 2，然后进行化简计算即可．【解答】解：由复数z=1+i得2z+z 2=1−i+2i=1+i；故选：B．2.【答案】C【考点】变量间的相关关系【解析】相关关系是不确定性的关系，由定义判断．【解答】解：由选项A、B、C、D知，匀速行驶的车辆的行驶距离和时间是函数关系，不是相关关系，故选：C．3.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】A＝{x|log2(x+1)<2}＝{x|0<x+1<4}＝{x|−1<x<3}，则∁R A＝{x|x≥3或x≤−1}，B＝{y|y=√16−2x}＝{y|0≤y<4}，则(∁R A)∩B＝{x|3≤x<4}＝[3,4)，4.【答案】C【考点】由三视图求体积（组合型）【解析】根据题中信息求出鼎的器腹容积，即可得出合适的选项．【解答】由题意可知鼎的器腹容积约为(112−6×2)×(19−6×2)×(4×1333+4+4+−6)≈100×67×42.383283812(cm3)与选项C最贴近，故选：C．5.【答案】B【考点】函数奇偶性的性质函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】解：因为f(−x)=−tanx+2xx 2+2=−f(x)，所以f(x)为奇函数，排除C．因为直线y=2x与函数y=tanx在(−π2,π2)上有3个交点，所以f(x)在(−π2,π2)上有3个零点.故选B．6.【答案】D【考点】函数单调性的性质【解析】判断f(x)的单调性，当x=1时，可得f(1)=0.5，不等式f(2x−3)<转化为f(2x−3)<f(1)，利用单调性求解．【解答】解：∵y=lnx 和y=−0.5x在它们的定义域内都是增函数，故函数f(x)=lnx−0.5x+1在它的定义域(0,+∞)上单调递增，由于f(1)=0−0.5+1=0.5，故当x>1时，f(x)>0.5．则不等式f(2x−3)<0.5，即2x−3<1 且2x−3>0，即32<x<2，故选：D．7.【答案】D【考点】棱柱的结构特征直线与平面所成的角【解析】由题可知EF⊥平面FBC，所以过点C作GH⊥FC于点H，连接EH，FC，EB，易知∠CEH为直线EG与平面EFCD所成的角，再求出该角对应的正弦值即可．【解答】解：由题可知EF⊥平面FBC，所以过点C作GH⊥FC于点H，连接EH，FC，EB，如图，则GH ⊥EF,所以GH ⊥平面EFCD ，所以∠GEH 为直线EG 与平面EFCD 所成的角．由CG =2GB ，AB =4，AD =3，AE =3，可知BG =1，CG =2，所以FG =√12+32=√10，FC =3√2，在△FGC 中，FC ⋅GH =CG ⋅FB ，即CH =CG ⋅FBFC =2×33√2=√2.又由题意知CB ⊥平面ABFE ，所以GB ⊥EB ，所以EG =√EB 2+GB 2=√26,所以sin ∠GEH =GHEG =√2√26=√1313,故选D ．8.【答案】B【考点】等比数列的性质【解析】等比数列{a n }的首项为1，公比q ≠−1，且a 5+a 4=3(a 3+a 2)，可得a 2q 3+a 2q 2=3(a 2q +a 2)，化为：q 2=3．由等比数列的性质可得：a 1a 2……a 9=q 1+2+……+8=q 4×9，代入9√a 1a 2a 3⋯a 9=q 4．即可得出．【解答】等比数列{a n }的首项为1，公比q ≠−1，且a 5+a 4=3(a 3+a 2)，∴a 2q 3+a 2q 2=3(a 2q +a 2)，化为：q 2=3．由等比数列的性质可得：a 1a 2……a 9=q 1+2+……+8=q 8×(8+1)2=q 4×9则9√a1a2a3⋯a9=9√q4×9=q4=9．9.【答案】C【考点】基本不等式及其应用基本不等式在最值问题中的应用【解析】此题暂无解析【解答】解析|x−2y+1|=|(x−1)−2(y−2)−2|≤|(x−1)−2(y−2)|+2≤|x−1|+2|y−2|+2≤5．10.【答案】D【考点】双曲线的离心率【解析】【解答】解：∵c=√a2+b2，∴圆F过原点O，依题意知△OFB是正三角形，∴∠BOF=60∘，∴ba=√3，∴e=√1+(ba)2=2 .故选D .11.【答案】A【考点】指数式、对数式的综合比较【解析】根据函数的性质，分别求出a ，b ，c 的取值范围，即可求出结果.【解答】解：因为a =e 12>e 1e >21e >b >1，0<c =ln2<1，所以a >b >c.故选A.12.【答案】B【考点】余弦定理【解析】由已知中△ABC 三边长分别为1、3、a ，根据余弦定理的推论得到△ABC 为锐角三角形时，由两边长1和3求出a 的范围，但3与a 边均有可能为最大边，分类讨论即可求解．【解答】解：∵△ABC 三边长分别为1、3、a ，又∵△ABC 为锐角三角形，当3为最大边时3≥a ，设3所对的角为α，则根据余弦定理得：cosα=a 2+1−322a >0，∵a >0，∴a 2−8>0，解得3≥a >2√2；当a 为最大边时a >3，设a 所对的角为β，则根据余弦定理得：cosβ=1+9−a 26>0，∴10−a 2>0，解得：3<a <√10，综上，实数a 的取值范围为(2√2,√10)．故选B.二、 填空题 （本题共计 1 小题 ，共计5分 ）13.【答案】13【考点】向量在几何中的应用平面向量数量积的运算【解析】此题暂无解析【解答】解：已知点M 是边长为2的正△ABC 内一点，以B 点为坐标原点建立坐标系，则B(0,0)，C(2，0)，A(1，√3)，设点M 的坐标为(x ，y)，则→AM =(x −1，y −√3)，λ→AB =(−λ，−√3λ)，μ→AC =(μ，−√3μ)，∵→AM =λ→AB +μ→AC ，∴{x −1=λ+μ，y −√3=−√3(λ+μ)，∵λ+μ=13，∴y =2√33.又∵→MB ⋅→MC =(−x ，−y)⋅(2−x ，−y)=x 2−2x +y 2=x 2−2x +43.∴当x =1时取得最小值，最小值为13.故答案为：13.三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）14.【答案】解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 2=0，a 6+a 8=−10．∴{a 1+d =0，2a 1+12d =−10，解得{a 1=1，d =−1，∴a n =2−n ．(2)a n 2n−1=2−n2n−1，∴数列{a n 2n−1}的前n 项和S n =1+0+−122+−223+...+2−n2n−1，12S n =12+0+−123+...+3−n2n−1+2−n2n ，∴12S n =1−12+−122+...+−12n−1−2−n2n=1−12(1−12n−1)1−12−2−n2n =n2n ，∴S n =n2n−1．【考点】数列的求和等差数列的通项公式【解析】（1）设等差数列{a n }的公差为d ，由于a 2=0，a 6+a 8=10．利用等差数列的通项公式即可得出．（2）a n 2n−1=n −22n−1．利用“错位相减法”与等比数列的前n 项和公式即可得出．【解答】解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 2=0，a 6+a 8=−10．∴{a 1+d =0，2a 1+12d =−10，解得{a 1=1，d =−1，∴a n =2−n ．(2)a n 2n−1=2−n2n−1，∴数列{a n 2n−1}的前n 项和S n =1+0+−122+−223+...+2−n2n−1，12S n =12+0+−123+...+3−n2n−1+2−n2n ，∴12S n =1−12+−122+...+−12n−1−2−n2n =1−12(1−12n−1)1−12−2−n2n =n2n ，∴S n =n2n−1．15.【答案】证明：(1)三棱锥D −ABC 中.∵E 为DC 的中点,F 为DB 的中点，∴EF//BC,∵BC ⊂平面ABC,EF ⊄平面ABC,∴EF//平面ABC.(2)∵AC ⊥BC,AC ⊥DC,BC ∩DC =C∴AC ⊥平面BCD.∵BD ⊂平面BCD ，∴AC ⊥BD.∵DC =BC,E 为BD 的中点，∴CE ⊥BD ，∵AC ∩CE =C,∴BD ⊥平面ACE.【考点】直线与平面垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】此题暂无解析【解答】证明：(1)三棱锥D−ABC中.∵E为DC的中点,F为DB的中点，∴EF//BC,∵BC⊂平面ABC,EF⊄平面ABC,∴EF//平面ABC.(2)∵AC⊥BC,AC⊥DC,BC∩DC=C∴AC⊥平面BCD.∵BD⊂平面BCD，∴AC⊥BD.∵DC=BC,E为BD的中点，∴CE⊥BD，∵AC∩CE=C,∴BD⊥平面ACE.16.【答案】解：(1)¯x=2+3+4+5+65=4，¯y=8+6+5+4+25=5.(2)由题意，n∑i=1(x i−¯x)(y i−¯y)=−14，n∑i=1(x i−¯x)2=10，∴ˆb=−1.4，ˆa=5−(−1.4)×4=10.6，∴ y关于x的线性回归方程为y=−1.4x+10.6.(3)当x=3.5时，y=−1.4×3.5+10.6=5.7，∴当年产量为3.5吨时，预计该农产品的价格为5.7千元/吨.【考点】众数、中位数、平均数、百分位数求解线性回归方程【解析】【解答】解：(1)¯x=2+3+4+5+65=4，¯y=8+6+5+4+25=5.(2)由题意，n∑i=1(x i −¯x)(y i −¯y )=−14，n∑i=1(x i −¯x )2=10，∴ˆb =−1.4，ˆa =5−(−1.4)×4=10.6，∴ y 关于x 的线性回归方程为y =−1.4x +10.6.(3)当x =3.5时，y =−1.4×3.5+10.6=5.7，∴当年产量为3.5吨时，预计该农产品的价格为5.7千元/吨.17.【答案】解：(1)设C 1:x 2b 2+y 2a 2=1(a >b >0)，根据条件可知√a 2−b 2=2√2，且√a 2−b 2a =√63，得a 2=12,b 2=4，所以C 1的标准方程为x 24+y 212=1．曲线C 2是以(94,0)为焦点，x =−94为准线的抛物线，故C 2的标准方程为y 2=9x ．(2)联立{3x 2+y 2=12,y 2=9x,解得{x =1,y =±3,不妨取P(1,3)．若直线l 的斜率不存在，Q 和R 重合，不符合条件，故可设直线l:y =k(x −1)+3，由题意可知k ≠0，联立{y =kx +3−k,y 2=9x,可得y Q =9−3kk ．联立{y =kx +3−k,3x 2+y 2=12,可得y R =9−3k 2−6k3+h 2，因为→PQ =→RP ，所以P 是QR 的中点，所以y Q +y R 2=3，即9−3kk +9−3k 2−6k3+k 2=6．解得k =1，所以直线l 的方程为y =x +2，其与x 轴的交点坐标为(−2,0)．【考点】抛物线的标准方程椭圆的标准方程圆锥曲线的综合问题【解析】本题考查椭圆和抛物线的标准方程和性质．(Ⅱ)答案未提供解析．【解答】解：(1)设C 1:x 2b 2+y 2a 2=1(a >b >0)，根据条件可知√a 2−b 2=2√2，且√a 2−b 2a =√63，得a 2=12,b 2=4，所以C 1的标准方程为x 24+y 212=1．曲线C 2是以(94,0)为焦点，x =−94为准线的抛物线，故C 2的标准方程为y 2=9x ．(2)联立{3x 2+y 2=12,y 2=9x,解得{x =1,y =±3,不妨取P(1,3)．若直线l 的斜率不存在，Q 和R 重合，不符合条件，故可设直线l:y =k(x −1)+3，由题意可知k ≠0，联立{y =kx +3−k,y 2=9x,可得y Q =9−3kk ．联立{y =kx +3−k,3x 2+y 2=12,可得y R =9−3k 2−6k3+h 2，因为→PQ =→RP ，所以P 是QR 的中点，所以y Q +y R 2=3，即9−3kk +9−3k 2−6k3+k 2=6．解得k =1，所以直线l 的方程为y =x +2，其与x 轴的交点坐标为(−2,0)．18.【答案】解：（1）f(x)=xe ′−x −alnx −b,f ′(x)=(x +1)e ′−1−ax ．又曲线y =f(x)在x =1处的切线的斜率为2e ，∴f ′(1)=2e −1−a =2e ，解得a =−1；（2）若a =1，则f(x)=x (e x −1)−lnx −b f ′(x)=(x +1)e x −x +1x =(x +1)(e x −1x)令f ′(x)=0，得e x −1x =0，当x >0时，e x =1x 有唯一解x 0，即e x 0=1x 0，当x ∈(0,x 0)时，f ′(x)<0；当x ∈(x 0,+∞)时，f ′(x)>0．∴f(x)在(0,x 0)单调递减，在(x 1,+∞)单调递增．又∵f(x)有且只有1个零点，∴f (x 0)=0．即x 0e x 0−x 0−lnx 0−b =0．∵x 0e x 0=1,lnx 0+x 0=0，整理可得1−b =0，故b =1．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值导数的几何意义利用导数研究不等式恒成立问题【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）f(x)=xe ′−x −alnx −b,f ′(x)=(x +1)e ′−1−ax ．又曲线y =f(x)在x =1处的切线的斜率为2e ，∴f ′(1)=2e −1−a =2e ，解得a =−1；（2）若a =1，则f(x)=x (e x −1)−lnx −b f ′(x)=(x +1)e x −x +1x =(x +1)(e x −1x)令f ′(x)=0，得e x −1x =0，当x >0时，e x =1x 有唯一解x 0，即e x 0=1x 0，当x ∈(0,x 0)时，f ′(x)<0；当x ∈(x 0,+∞)时，f ′(x)>0．∴f(x)在(0,x 0)单调递减，在(x 1,+∞)单调递增．又∵f(x)有且只有1个零点，∴f (x 0)=0．即x 0e x 0−x 0−lnx 0−b =0．∵x 0e x 0=1,lnx 0+x 0=0，整理可得1−b =0，故b =1．19.【答案】解：（Ⅰ）∵直线l 1：x =−2，x =ρcosθ，y =ρsinθ．∴直线l 1的极坐标方程为ρcosθ+2=0，∵曲线C ：{x =2cosθ，y =2+2sinθ （θ为参数），则x 2+(y −2)2=4，圆心C(0,2)，半径r =2，将x =ρcosθ，y =ρsinθ代入 上式，∴曲线C 的极坐标方程为ρ=4sinθ．（Ⅱ）联立{ρ=4sinθ，θ=π4，得{ρ=2√2，θ=π4.∴|MN |=2√2．∵曲线C 是半径为r =2的圆，∴CM ⊥CN ．∴S △CMN =12r 2=2．联立{ρcosθ+2=0，θ=π4，解得ρ=−2√2，∴两直线交点的极坐标为(−2√2,π4)．【考点】直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化三角形求面积参数方程与普通方程的互化【解析】本题考查极坐标方程与直角坐标方程和参数方程与普通方程的转化、直线与直线的位置关系、三角形的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l 1：x =−2，x =ρcosθ，y =ρsinθ．∴直线l 1的极坐标方程为ρcosθ+2=0，∵曲线C ：{x =2cosθ，y =2+2sinθ （θ为参数），则x 2+(y −2)2=4，圆心C(0,2)，半径r =2，将x =ρcosθ，y =ρsinθ代入 上式，∴曲线C 的极坐标方程为ρ=4sinθ．（Ⅱ）联立{ρ=4sinθ，θ=π4，得{ρ=2√2，θ=π4.∴|MN |=2√2．∵曲线C 是半径为r =2的圆，∴CM ⊥CN ．∴S △CMN =12r 2=2．{ρcosθ+2=0，θ=π4，解得ρ=−2√2，联立∴两直线交点的极坐标为(−2√2,π4)．。

山西省晋中市2023届高三三模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
A． AB B．
6．已知α，β为锐角，且
A．
310
10
-B．
GF平面PCD；
(1)求证：//
(2)若平面PAD⊥平面ABCD，PAD
线AG与平面PBD所成角的正弦值．
参考答案：
则()(PA PB PO OA PO ⋅=+⋅+ 当P 在正方体表面上运动时，运动到所以2
22max 1PO D D DA AO =++ 所以PA PB ⋅
的最大值为8.
所以当0t <时，方程()f x t =没有实根；当0=t 或1
e
t >时，方程()f x =当1
t e
=
时，方程()f x t =有2个实根；当1
0e t <<时，方程()f x t =有
所以函数e x
y=的图象与曲线2x+所以存在两个不同的a，使得圆
过F 作平面ABD 的垂线n ，则四面体因为3
A π
=
，D 是AC 边的中点，且
故答案为：(1,2]. 17．(1)证明见解析
(2)10
5
．
取BC中点M，以O为坐标原点，
【点睛】关键点点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
22．(1)答案见解析
+
(2)3ln21
答案第17页，共17页。