高考数学二轮复习专题一三角函数与平面向量微点深化极化恒等式的应用学案201812242198

第3讲 平面向量1.考查平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题，难度为中低档．2．考查平面向量的数量积，以选择题、填空题为主，难度为低档；向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现．热点一 平面向量的线性运算1．在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化．2．在用三角形加法法则时，要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所得的向量；在用三角形减法法则时，要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．例1 (1)(2017届河南息县第一高级中学检测)已知平行四边形ABCD 的对角线分别为AC ，BD ，且AE →＝2EC →，点F 是BD 上靠近D 的四等分点，则( )A.FE →＝－112AB →－512AD →B.FE →＝112AB →－512AD →C.FE →＝512AB →－112AD →D.FE →＝－512AB →－112AD →答案 C解析 AE →＝2EC →，点F 是BD 上靠近D 的四等分点， ∴FO →＝14DB →，OE →＝16AC →，∴FE →＝FO →＋OE →＝14DB →＋16AC →，∵AB →＋AD →＝AC →，AD →－AB →＝BD →， ∴FE →＝14(AB →－AD →)＋16(AB →＋AD →)＝512AB →－112AD →.故选C. (2)(2017届湖南师大附中月考)O 为△ABC 内一点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，AD →＝tAC →，若B ，O ，D 三点共线，则t 的值为( )A.13B.14C.12D.23 答案 A解析 由AD →＝tAC →，得OD →－OA →＝t (OC →－OA →)， 所以OD →＝tOC →＋(1－t )OA →，因为B ，O ，D 三点共线，所以BO →＝λOD →， 则2OA →＋OC →＝λt OC →＋(1－t )λOA →，故有⎩⎪⎨⎪⎧2＝(1－t )λ，1＝λt ，t ＝13，故选A.思维升华 (1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意平面向量基本定理的灵活运用． (2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．跟踪演练1 (1)(2017·河北省衡水中学三调)在△ABC 中，AN →＝14NC →，P 是直线BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋25AC →，则实数m 的值为( ) A ．－4 B ．－1C ．1 D ．4 答案 B解析 因为AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋kBN →＝AB →＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫15AC →－AB →＝(1－k )AB →＋k 5AC →，且AP →＝mAB →＋25AC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－k ＝m ，k 5＝25，解得k ＝2，m ＝－1，故选B.(2)(2017届福建连城县二中期中)已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( ) A ．(－5，－10) B ．(－4，－8) C ．(－3，－6) D ．(－2，－4)答案 B解析 因为a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，所以m ＋4＝0，m ＝－4,2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)，故选B. 热点二 平面向量的数量积1．数量积的定义：a ·b ＝|a ||b |cos θ. 2．三个结论(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2.(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(3)若非零向量a ＝(x 1，y 1)，非零向量b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22. 例2 (1)(2017届湖北省部分重点中学联考)若等边△ABC 的边长为3，平面内一点M 满足CM →＝13CB →＋12CA →，则AM →·MB →的值为( ) A ．2 B ．－152C.152 D. －2答案 A解析 因为AM →＝CM →－CA →，MB →＝CB →－CM →，则AM →·MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13CB →－12CA →⎝ ⎛⎭⎪⎫23CB →－12CA →，即AM →·MB →＝29CB →2－12CA →·CB →＋14CA →2＝2－94＋94＝2，故选A.(2)(2017届河北省衡水中学六调)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a －b ＝(3，2)，则|a ＋2b |等于( ) A ．2 2 B.17 C.15 D ．2 5答案 B解析 向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a －b ＝(3，2)， 可得|a －b |2＝5，即|a |2＋|b |2－2a ·b ＝5，解得a ·b ＝0. |a ＋2b |2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ＝1＋16＝17， 所以|a ＋2b |＝17.故选B.思维升华 (1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义． (2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算．跟踪演练2 (1)(2017·全国Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43 D ．－1答案 B解析 方法一 (解析法)建立平面直角坐标系如图①所示，则A ，B ，C 三点的坐标分别为A (0,3)，B (－1,0)，C (1,0)．图①设P 点的坐标为(x ，y )， 则PA →＝(－x ，3－y )， PB →＝(－1－x ，－y )， PC →＝(1－x ，－y )，∴PA →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y ) ＝2(x 2＋y 2－3y )＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322－34≥2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－32.当且仅当x ＝0，y ＝32时，PA →·(PB →＋PC →)取得最小值，最小值为－32.故选B. 方法二 (几何法)如图②所示，PB →＋PC →＝2PD →(D 为BC 的中点)，则PA →·(PB →＋PC →)＝2PA →·PD →.图②要使PA →·PD →最小，则PA →与PD →方向相反，即点P 在线段AD 上，则(2PA →·PD →)min ＝－2|PA →||PD →|，问题转化为求|PA →|·|PD →|的最大值．又|PA →|＋|PD →|＝|AD →|＝2×32＝3，∴|PA →||PD →|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PA →|＋|PD →|22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝34， 当且仅当|PA →|＝|PD →|时取等号，∴[PA →·(PB →＋PC →)]min ＝(2PA →·PD →)min ＝－2×34＝－32.故选B.(2)(2017届湖北重点中学联考)已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为2π3，则|a ＋2b |＝________.答案 2解析 因为|a |＝2，|b |＝1，〈a ，b 〉＝2π3，故a ·b ＝2cos 〈a ，b 〉＝－1，则(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4－4＋4＝4，即|a ＋2b |＝2. 热点三 平面向量与三角函数平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的“双重型”，高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题，通过向量运算作为题目条件．例3 (2017·江苏)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]．(1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值． 解 (1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ， 所以－3cos x ＝3sin x .若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾， 故cos x ≠0. 于是tan x ＝－33. 又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6.(2)f (x )＝a·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32，于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取得最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取得最小值－2 3.思维升华 在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．跟踪演练3 已知平面向量a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(sin x ，－cos x )，c ＝(－cos x ，－sin x )，x ∈R ，函数f (x )＝a·(b －c )．(1)求函数f (x )的单调递减区间； (2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝22，求sin α的值． 解 (1)因为a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(sin x ，－cos x )，c ＝(－cos x ，－sin x )，所以b －c ＝(sin x ＋cos x ，sin x －cos x )，f (x )＝a·(b －c )＝sin x (sin x ＋cos x )＋cos x (sin x －cos x )＝sin 2x ＋2sin x cos x －cos 2x ＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4.当2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8，k ∈Z 时，函数f (x )为减函数．所以函数f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，k π＋7π8，k ∈Z .(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝22，则2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝22，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝12. 因为sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝±32. 又sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4cos π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4sin π4，所以当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝32时， sin α＝12×22＋32×22＝2＋64；当cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－32时， sin α＝12×22－32×22＝2－64.综上，sin α＝2±64.真题体验1．(2017·北京改编)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m·n <0”的___________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案 充分不必要解析 方法一 由题意知|m |≠0，|n |≠0. 设m 与n 的夹角为θ. 若存在负数λ，使得m ＝λn ， 则m 与n 反向共线，θ＝180°，∴m ·n ＝|m ||n |cos θ＝－|m ||n |＜0.当90°＜θ＜180°时，m ·n ＜0，此时不存在负数λ，使得m ＝λn . 故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的充分不必要条件． 方法二 ∵m ＝λn ，∴m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2. ∴当λ＜0，n ≠0时，m ·n ＜0.反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉<0⇔cos 〈m ，n 〉＜0⇔〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，当〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，m ，n 不共线．故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的充分不必要条件．2．(2017·山东)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________． 答案33解析 由题意知|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝0，|3e 1－e 2|＝(3e 1－e 2)2＝3e 21－23e 1·e 2＋e 22＝3－0＋1＝2. 同理|e 1＋λe 2|＝1＋λ2.所以cos 60°＝(3e 1－e 2)·(e 1＋λe 2)|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|＝3e 21＋(3λ－1)e 1·e 2－λe 2221＋λ2＝3－λ21＋λ2＝12， 解得λ＝33. 3．(2017·天津)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2.若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________．答案311解析 由题意知|AB →|＝3，|AC →|＝2，AB →·AC →＝3×2×cos 60°＝3，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →，∴AD →·AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →)＝λ－23AB →·AC →－13AB →2＋2λ3AC →2＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22＝113λ－5＝－4，解得λ＝311.4．(2017·北京)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2,0)，O 为原点，则AO →·AP →的最大值为________． 答案 6解析 方法一 根据题意作出图象，如图所示，A (－2,0)，P (x ，y )． 由点P 向x 轴作垂线交x 轴于点Q ，则点Q 的坐标为(x,0)．AO →·AP →＝|AO →||AP →|cos θ，|AO →|＝2，|AP →|＝(x ＋2)2＋y 2， cos θ＝|AQ →||AP →|＝x ＋2(x ＋2)2＋y 2， 所以AO →·AP →＝2(x ＋2)＝2x ＋4.点P 在圆x 2＋y 2＝1上，所以x ∈[－1,1]． 所以AO →·AP →的最大值为2＋4＝6.方法二 如图所示，因为点P 在圆x 2＋y 2＝1上， 所以可设P (cos α，sin α)(0≤α＜2π)， 所以AO →＝(2,0)，AP →＝(cos α＋2，sin α)，AO →·AP →＝2cos α＋4≤2＋4＝6，当且仅当cos α＝1，即α＝0，P (1,0)时“＝”号成立． 押题预测1．如图，在△ABC 中，AD →＝13AB →，DE ∥BC 交AC 于E ，BC 边上的中线AM 交DE 于N ，设AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示向量AN →，则AN →等于( )A.12(a ＋b ) B.13(a ＋b ) C.16(a ＋b ) D.18(a ＋b ) 押题依据 平面向量基本定理是向量表示的基本依据，而向量表示(用基底或坐标)是向量应用的基础． 答案 C解析 因为DE ∥BC ，所以DN ∥BM ， 则△AND ∽△AMB ，所以AN AM ＝ADAB.因为AD →＝13AB →，所以AN →＝13AM →.因为M 为BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(a ＋b )，所以AN →＝13AM →＝16(a ＋b )．故选C.2．如图，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF →＝2FO →，则FD →·FE →等于( )A ．－34B ．－89C ．－14D ．－49押题依据 数量积是平面向量最重要的概念，平面向量数量积的运算是高考的必考内容，和平面几何知识的结合是向量考查的常见形式． 答案 B解析 ∵BF →＝2FO →，圆O 的半径为1，∴|FO →|＝13，∴FD →·FE →＝(FO →＋OD →)·(FO →＋OE →)＝FO →2＋FO →·(OE →＋OD →)＋OD →·OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋0－1＝－89.3．在△ABC 中，AB →＝(cos 32°，cos 58°)，BC →＝(sin 60°sin 118°，sin 120°sin 208°)，则△ABC 的面积为( )A.14B.38C.32D.34押题依据 平面向量作为数学解题工具，通过向量的运算给出条件解决三角函数问题已成为近几年高考的热点． 答案 B解析 |AB →|＝cos 232°＋cos 258°＝cos 232°＋sin 232°＝1，BC →＝⎝⎛⎭⎪⎫32cos 28°，－32sin 28°，所以|BC →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 28°2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32sin 28°2＝32. 则AB →·BC →＝cos 32°×32cos 28°－sin 32°×32sin 28°＝32(cos 32°cos 28°－sin 32°sin 28°) ＝32cos(32°＋28°)＝32cos 60°＝34，故cos 〈AB →，BC →〉＝AB →·BC →|AB →||BC →|＝341×32＝12.又〈AB →，BC →〉∈[0°，180°]，所以〈AB →，BC →〉＝60°， 故B ＝180°－〈AB →，BC →〉＝180°－60°＝120°. 故△ABC 的面积为S ＝12·|AB →|·|BC →|sin B＝12×1×32×sin 120°＝38.故选B. 4．如图，在半径为1的扇形AOB 中，∠AOB ＝60°，C 为AB 上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP →·BP →的最小值是________．押题依据 本题将向量与平面几何、最值问题等有机结合，体现了高考在知识交汇点命题的方向，本题解法灵活，难度适中． 答案 －116解析 因为OP →＝OB →＋BP →，所以OP →·BP →＝(OB →＋BP →)·BP →＝OB →·BP →＋BP →2.又因为∠AOB ＝60°，OA ＝OB ，所以∠OBA ＝60°，OB ＝1.所以OB →·BP →＝|BP →|cos 120°＝－12|BP →|.所以OP →·BP →＝－12|BP →|＋|BP →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|BP →|－142－116≥－116，当且仅当|BP →|＝14时，OP →·BP →取得最小值－116.A 组 专题通关1. 设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →答案 A解析 ∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)， 即4AC →－AB →＝3AD →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →.2．(2017届广西省教育质量诊断性联合考试)设向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,5)，c ＝(4，x )，若a ＋b ＝λc (λ∈R )，则λ＋x 的值为( )A ．－112B.112 C ．－292D.292答案 C解析 由已知可得(1,2)＋(－3,5)＝λ(4，x )⇒⎩⎪⎨⎪⎧4λ＝－2，xλ＝7⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，x ＝－14⇒λ＋x ＝－292，故选C.3．已知向量a ，b ，其中a ＝(－1，3)，且a ⊥(a －3b )，则b 在a 上的投影为( ) A.43 B ．－43C.23 D ．－23答案 C解析 由a ＝(－1，3)，且a ⊥(a －3b )，得a ·(a －3b )＝0＝a 2－3a·b ＝4－3a·b ，a·b ＝43，所以b 在a 上的投影为a·b |a |＝432＝23，故选C.4．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝3，BE →＝2EC →，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝3，则AE →·BF →的值为()A ．4 B.833C ．0D ．－4答案 D解析 如图所示，BE →＝2EC →⇒BE ＝23BC ＝233，AB →·AF →＝3⇒AF cos∠BAF ＝1⇒DF ＝1，以点A 为原点建立平面直角坐标系，AD 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，则B (0,3)，F (3，1)，E (233，3)，因此BF →＝(3，－2)，AE →·BF →＝233×3－2×3＝2－6＝－4.5．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝6，若B ＝2C ，则向量BC →在BA →方向上的投影是( ) A ．－75B ．－77125C.77125D.75答案 B解析 由正弦定理得ACsin B＝ABsin C ⇒6sin 2C ＝5sin C ⇒cos C ＝35，由余弦定理得cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22AC ·BC ⇒BC ＝115或5，经检验知BC ＝5不符合，舍去，所以BC ＝115，cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝－725，则|BC →|cos B ＝－77125，故选B.6．(2017届吉林省普通中学调研)在等腰直角△ABC 中，AC ＝BC ，D 在AB 边上且满足CD →＝tCA →＋(1－t )CB →，若∠ACD ＝60°，则t 的值为( ) A.3－12 B.3－1C.3－22D.3＋12答案 A解析 因为D 在AB 边上且满足CD →＝tCA →＋(1－t )CB →，所以BD →＝tBA →，不妨设AC ＝BC ＝1，则AB ＝2，AD ＝2(1－t )，在△ACD 中，∠ACD ＝60°，∠CAD ＝45°，则∠ADC ＝75°，由正弦定理，得1sin 75°＝2(1－t )sin 60°，解得t ＝3－12.故选A. 7．(2017届河南南阳一中月考)已知△ABC 的外接圆半径为1，圆心为点O ，且3OA →＋4OB →＋5OC →＝0，则△ABC 的面积为( ) A.85 B.75C.65 D.45 答案 C解析 如图所示，|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝1，由3OA →＋4OB →＋5OC →＝0，可得3OA →＋4OB →＝－5OC →，两边平方可得9＋24OA →·OB →＋16＝25，所以OA →·OB →＝0，因此OA →⊥OB →.同理3OA →＋5OC →＝－4OB →，4OB →＋5OC →＝－3OA →，两边分别平方可得cos 〈OB →，OC →〉＝－45，cos 〈OA →，OC →〉＝－35，根据同角三角函数基本关系可得sin 〈OB →，OC →〉＝35，sin 〈OA →，OC →〉＝45，所以S △ABC ＝S △AOB ＋S △AOC ＋S △OBC＝12×1×1＋12×1×1×45＋12×1×1×35＝65，故选C. 8．已知向量OA →＝(1,1)，OB →＝(1，a )，其中O 为原点，若向量OA →与OB →的夹角在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12内变化，则实数a 的取值范围是__________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，3 解析 因为OA →＝(1,1)，OB →＝(1，a )， 所以OA →·OB →＝1＋a .又OA →·OB →＝2·1＋a 2cos θ， 故cos θ＝1＋a2(1＋a 2)， 因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12，故cos θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤6＋24，1，即1＋a2(1＋a 2)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤6＋24，1，解得33≤a ≤ 3. 9．(2017·辽宁省大连市双基测试)已知平面内三个单位向量OA →，OB →，OC →，〈OA →，OB →〉＝60°，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的最大值是______．答案233解析 由已知条件OC →＝mOA →＋nOB →，两边平方可得1＝m 2＋mn ＋n 2＝(m ＋n )2－mn ，∴(m ＋n )2－1＝mn ，根据向量加法的平行四边形法则，判断出m ，n >0，∴(m ＋n )2－1＝mn ≤14(m ＋n )2，当且仅当m ＝n 时取等号，∴34(m ＋n )2≤1，则m ＋n ≤233，即m ＋n 的最大值为233. 10．(2017届陕西西安铁一中三模)已知向量m ＝(sin x ，－1)，向量n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3cos x ，－12，函数f (x )＝(m ＋n )·m .(1)求f (x )的单调递减区间；(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，a ＝23，c ＝4，且f (A )恰是f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值，求A ，b 和△ABC 的面积S . 解 (1)f (x )＝(m ＋n )·m ＝sin 2x ＋1＋3sin x cos x ＋12＝1－cos 2x 2＋1＋32sin 2x ＋12 ＝32sin 2x －12cos 2x ＋2 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2.由2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6(k ∈Z )．所以f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋5π6(k ∈Z )．(2)由(1)知f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＋2， 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6，由正弦函数图象可知，当2x －π6＝π2时f (x )取得最大值3.所以2A －π6＝π2，A ＝π3.由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得12＝b 2＋16－2×4b ×12，所以b ＝2.所以S ＝12bc sin A ＝12×2×4sin 60°＝2 3.B 组 能力提高11. (2017届江西师大附中、临川一中联考)在Rt△ABC 中，∠BCA ＝90°，CA ＝CB ＝1，P 为AB 边上的点，AP →＝λAB →，若CP →·AB →≥PA →·PB →，则λ的最大值是( ) A.2＋22B. 2－22C ．1 D. 2答案 C解析 因为CP →＝AP →－AC →＝λAB →－AC →，PB →＝AB →－AP →＝AB →－λAB →，故由CP →·AB →≥PA →·PB →，可得2λ－1≥－2λ(1－λ)，即2λ－1≥－2λ＋2λ2， 也即λ2－2λ≤－12，解得1－22≤λ≤1＋22，由于点P ∈AB ，所以1－22≤λ≤1， 故选C.12．(2017届荆、荆、襄、宜四地七校联考)如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边B 3C 3上有10个不同的点P 1，P 2，…，P 10, 记m i ＝AB →2·AP →i (i ＝1,2，…，10)，则m 1＋m 2＋…＋m 10的值为( )A ．15 3B ．45C ．60 3D ．180 答案 D解析 因为AB 2与B 3C 3垂直，设垂足为C ，所以AP i →在AB 2→上的投影为AC ，m i ＝AB 2→·AP i →＝|AB 2→||AC →|＝23×33＝18，从而m 1＋m 2＋…＋m 10的值为18×10＝180.故选D.13.(2017届江西上饶一模)已知在Rt△AOB 中，AO ＝1，BO ＝2，如图，动点P 是在以O 点为圆心，OB 为半径的扇形内运动(含边界)且∠BOC ＝90°.设OP →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y 的取值范围是__________． 答案 [－2,1]解析 由已知图形可知OP →，OA →的夹角∠AOP ∈[90°，180°]，所以x ≤0，OP →，OB →的夹角∠BOP ∈[0°，90°]，所以y ≥0，由平行四边形法则可知，当点P 沿着圆弧CB 由C 到B 移动时，负数x 逐渐增大，正数y 逐渐增大，所以当点P 在C 处时x ＋y 取得最小值，因为OC ＝2OA ，OC ⊥OB ，所以x ＝－2，y ＝0，所以x ＋y ＝－2，当点P 在点B 处时x ＋y 取得最大值，因为OA ⊥OB ，所以x ＝0，y ＝1， 所以x ＋y ＝1，所以x ＋y 的取值范围为[－2,1]．14．(2017届云南曲靖一中月考)已知向量a ＝(－1,0)，b ＝(cos α，sin α)，c ＝(cos β，sin β)． (1)求|a ＋c |的最大值；(2)若α＝π4，且向量b 与向量(a ＋c )垂直，求cos β的值．解 (1)a ＋c ＝(cos β－1，sin β)，|a ＋c |＝(cos β－1)2＋sin 2β＝2－2cos β， 当cos β＝－1时，|a ＋c |＝2，|a ＋c |的最大值为2.(2)若α＝π4，则b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，a ＋c ＝(cos β－1，sin β)，∵向量b 与向量a ＋c 垂直， ∴22(cos β－1)＋22sin β＝0， ∴sin β＋cos β＝1，故sin 2β＝(1－cos β)2＝1－2cos β＋cos 2β， cos 2β－cos β＝0，∴cos β＝0或1.当cos β＝1时，sin β＝0，a ＋c ＝(0,0)不符合条件， ∴cos β＝0.。

2019年高三二轮复习讲练测之讲案专题三三角函数与平面向量考向一三角恒等变形【高考改编☆回顾基础】1. 【两角和差的三角函数、特殊角的三角函数值】【2018年全国卷II文】已知- ’，则tuna-___________ .【答案】2. 【三角函数的定义、诱导公式】【2018年浙江卷改编】已知角a的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P (-- --).(I)求sin ( o+ n)的值;【答案】(I) -.【解析】(I)由角二的终边过点- ---------- -得--，所以- - -.3. 【同角三角函数、两角和差的三角函数、二倍角公式】【2018年江苏卷】已知认E为锐角，汕乳“ =§,cos(a十二---- .5(1 )求心阿抚的值；(2 )求扫心;-毬的值., 7 f… lan2a- lan(a + fi) 2【答案】(1)匸阿2疋=2不加勺_ I =_〒(2) tan{a-p) = tan[2a- (or + )?)]= ---------- ------- ——2S 1 + ran2aian(a + (f)【解析】1 I sinu . 4 7, 29 (1)因为呦也=亍，加昨=茁賂，所以stna = ^oscr.因为|商d直+他八“ =1，所以cos a =—，因此，27os2a= 2 cos or - 1 =--25亦, _____________ 2^/5 (2)因为权..界;为锐角，所以■■ ■ ；' 1 in/-.又因为'，所以：：3i ,' J,因此k心＜：■/(吨-旳=讪加-s 5] 护二呛+旳―菩•1 + tan2atan(a +历【命题预测☆看准方向】三角部分主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换及解三角形等基本知识•三角函数与解三角形相结合或三角函数与平面向量相结合是考向的主要趋势，试题难度为中低档•三角恒等变换是高考的热点内容，主要考查利用各种三角函数进行求值与化简，其中降幕公式、辅助角公式是考查的重点，切化弦、角的变换是常考的三角变换思想•(1)预计2019年高考仍将在角的变换、角的范围方面对三角恒等变形进行考查，对两角和与差、二倍角公式将重点考查；(2)对三角恒等变换的考查力度可能会加大，对角的变换的考查，使问题更具有综合性,复习时需加强这方面的训练；(3)通过三角恒等变换，化简三角函数式，进一步研究函数的性质、解三角形等是常考题型•【典例分析☆提升能力】【例1】【重庆市第一中学2019届10月月考】在平面直角坐标系xOy中，角a与角3均以Ox为始边，它们的终边关于轴对称，若，则—I；(【答案】【解析】由角a与角3终边关于X轴对称,得 a + 3 =2k n( k€ Z),二討乂_ -一，又两边平方可得：1- -,故选：B【趁热打铁】【2018河南省名校联盟第一次段考】已知圆 ：: - ，点 :: ，记射线OA 与％轴正半轴所夹的锐角为 盯，将点B 绕圆心0逆时针旋转仃角度得到点f ,则点亡的坐标为 __________ __【答案】::二0 02cos10 sin20 sin 700A.1B. 3C. 2D. 3 2 2【答案】D【解析】• cos a <0.214sin a cos a =2cos a , • sin【方法总结☆全面提升】(1)巧记六组诱导公式k对于“，k Z 的三角函数值”与“角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变,2符号看象限.【例2】【2018江西省赣州厚德外国语学校上学期第一次测试】的值是(【解析】s in 70°5 in 70*C0S1U ■故选D.【趁热打铁】【2018届江西省六校第五次联考】已知 一27si n2 2cos ，则sin11 n 2 【答案】4.3 7•' 7sin2 a =2cos a ,即 则sin11cos1 sin 224、3 7（2）几个常见的变形切入点：sin cos 可凑倍角公式;1 a 2由已知得丄旦4【反思提高】善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分，完成统一角和角与角转换的目的是三角函数 式的求值的常用方法.三角函数求值有三类（1） “给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化 为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解.（2） “给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系. （3） “给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.【误区警示】 已知表达式中要根据诱导公式以及二倍角公式的降幕变形，最后利用辅助角公式将函数转化为关于 角函数的表达式，用错公式是本题易于出错的原因1 cos可用升次公式；21 sinsin — cos-22④ asin bcos2-ab 2 sin1 sin 可化为1 cos 一2再用升次公式；或（其中tan -）这一公式应用广泛，熟练掌握a般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式;⑥当“已知角”有一个时, 此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系, 然后应用诱导公式把 “所求角”变成“已知角” ⑦常见的配角技巧：1 2[()]；1[()]；).【典例】若函数f(x)cos2x 4sin(2x)【规范解答】••• f(x)2cos 2 x 4cosx【规范示例☆避免陷阱】asin - cos(-)的最大值为 2 2 .xx 1 1 .asin cos cosx asinx 2 2 2 22，试确定常数a 的值.1 asin(x ) , tan4 4x 的三⑤当“已知角”有两个时,考向二三角函数的图象和性质【高考改编☆回顾基础】个单位长度，所得图象对应的函数1.【三角函数图象的变换、三角函数的单调性】【2018年理天津卷】将函数y = sin(2x + 的图象向右平移A.在区间哼严上单调递增4 4C.在区间［玄‘三］上单调递增B.在区间［―上单调递减4.3TTD.在区间［丑忆刑上单调递减【答案】A2.【同角三角函数、二倍角公式、三角函数的周期性及最值】【2018年新课标I卷文】已知函数f(x)二2COS2X - sir^x+ 2,则A. f(此的最小正周期为n最大值为3B. /(r)的最小正周期为n最大值为4C. 帀的最小正周期为，最大值为3D.帀的最小正周期为，最大值为4【答案】B3.【辅助角公式、三角函数的周期】【2017山东改编】函数y 「3sin2x cos2x最小正周期为【答案】n【解析】因为y 3sin2x cos2x 2sin 2x f，所以其周期T年n,4 .【三角函数的解析式】【2017天津改编】设函数f(x) 2sin( x ), x R，其中0 , | | .若5f( ) 2 , f ( ) 0,且f(x)的最小正周期大于2，则8 82 _3，12【答案】【解析】由題竜--- 十3=2恳斗十一. r = Q1 42 2扩< 丄,其中，所以⑵=一他一2血)一一，又卩=一>2扛」所11^ , L3 38 丄［T叹OuquI,所臥①二一』段二2盘尹十—兀、由得® =二312 :亠5.【和差倍半的三角函数、三角函数周期及单调性】【2017浙江改编】已知函数f(x) =sin2xpos2x-2「3 sin x cos x f x R).求f(X)的最小正周期及单调递增区间.2【答案】最小正周期为，单调递增区间为[―k , k ]k Z .6 3【解析】由COS2.Y = C0扌 r-siil2.Y与sin 2DC= 2 sin得【命题预测☆看准方向】三角函数的图象与性质是高考考查的重点及热点内容•三角函数的图象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定函数解析式问题，常以选择题、填空题的形式考查，目前浙江高考也以解答题形式考查•试题难度为中低档•三角函数的性质，通常是给出函数解析式，先进行三角变换,将其转化为y=Asin( 3 x+ $ )的形式再研究其性质或知道某三角函数的图象或性质求其解析式，再研究其他性质，既有直接考查的客观题，也有综合考查的主观题•预测：三角函数的图象与性质考查方式较灵活，主要考查方式以综合三角恒等变换求性质为主，通过三角恒等变换，化简三角函数式，进一步研究函数的性质，考试题型选择题、填空题和解答题都可能出现【典例分析☆提升能力】【例1】【2018年文北京卷】已知函数f(X)= + nxctjsx.(I)求的最小正周期；(H)若在区间…上的最大值为，求的最小值•【答案】(I)卜| (H)卄【解析】(I)扛町=_ + —= —sinljc - -cos2x + - = -，所以的最小正周期2 2 2 2 26 2 L 2rr」为一. 帀 1 , n , /r ” 5斤7T,(H)由(I)知f(x)=sm(2x--) +-.因为"[—孑：m],所以[- —.2m --].& 斗J 6 6 6,W , 3 . 7T , 7T' . TT n n要使得fX在I - 3，m上的最大值为㊁，即抽(2兀-詁在1-于阀上的最大值为1•所以饷一g王㊁，即巾芒-.所以的最小值为•【趁热打铁】已知函数f x sin x ,其中 0,2n3 n(1 )右 cos —cos sin sin 0,求 的值；4 4(2)在(1)的条件下，若函数f X 的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 -,求函数f X 的解析式;3并求最小正实数 m ，使得函数f x 的图象向左平移m 个单位所对应的函数是偶函数.【答(1( 2) m —412【解析】(1 )由 cos — cos sin 3sin0 得 cos —cos sin—sin 044 4 4即cos40又J24(2)由 (1) 得，f Xsin x—,依题意，T ，又T —,故3, f x sin 3x —42 34【解析】所以f(x)的最小正周期是7t函数f x 的图象向左平移m 个单位后所对应的函数为 x sing x是偶函数当且仅当3m； k23 12从而，最小正实数 m —.12【2017浙江，18】已知函数f (x ) 【例2】・ 2=sin x — 2cos x 2G sincos x ( x R ).([)求f(2 )的直3(n)求f (x)的最小正周期及单调递增区间.【答案】(i) 2；(n)最小正周期为 ，单调递增区间为［—k ,—6 3]k Z .(n)由 cos2x cos 2 x sin 2 x 与sin2x2sinxcosx 得 f (x) cos2x • 3 si n2x2sin (2x6)3解得一k x — k ,k Z6 3【趁热打铁】已知函数f x1sin 2x 73sinxcosx — cos 2x .22(1)求函数y f x 在0, n 上的单调递增区间.(2 )若n 7 n 且f3，求f卫的值3' 12512【答案】(1)0, 冗和5n, n ；(2)3343610【解析】 函数f x1sin 2x.3s in xcosx1cos 21x,3sinxcosx1cos2xnsin 2x — ,2226(1) 令 2kn nnnnn — 2x2k n , kZ，得 k n x — k n , ■- k Z ,26 263所以函数yf x 在0, n 上的单调递增区间为0,-和5 n ,n .36(2)因为n 7 nn,，所以2n n .3 12 62，因为fsin 2n3，所以 cos 2 n46565所以fnnnsin 2nn c n . nsi n2sin 2cos- cos 2 sin ,126 66 66 634 1 3、3 45 25 210由正弦函数的性质得2k 2x 2k ,k Z所以f(x)的单调递增区间是［石 k ，2【例3】【2018广东广州海珠区综合测试(一)设函数f x cos 2x，则下列结论错误的是()C. f x-的一个零点为2x i D. f x在区间—,一上单调递减3 2【答案】D【解析】f x cos 2x—的周期为T=k,所以A对；32当x 时，2x ?,cos =-1,所以B对；33x —时: 2x —?,cos 2x — 1 0,所以C错；333x 一，一时，2x —,2, y=cosx 在，2上递减，所以D对；3 2333 3 3故选C.【趁热打铁】已知函数r(©=+傘)⑧> 0)的部分图象如图所示，下面结论正确的个数是1 J/♦一仁fj J/①函数fCO的最小正周期是加；②函数严:M在区间上是增函数;③函数无沁的图象关于直线：；=匚对称;④函数兀癣;的图象可由函数贰城;：•瓏同啓的图象向左平移个单位长度得到A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】C【解析】根据函数f(x)=sin( 3 x+0 )( 3 >0)的部分图象知,：=-(-)=,T—=n,3 =2;A. f X的一个周期为B. y f x的图像关于直线x对称卫包百盘U根据五点法画图知,2 X( - )+ $ =0,解得$=;Af(x)=sin(2x+ 二);3对于①,函数f(x)的最小正周期是T=n,①错误；对于②,x € ［,］时,2x+ € ［，二］,12 B 込 2 3f(x)在［,］上是减函数，②错误；对于③，x= 二时,2x+ -=,13, 3 2.函数f(x)的图象关于直线x=对称，③正确；对于④，由f(x)=sin(2x+ )=sin2(x+ )知，号-fi函数f(x)的图象可由函数g(x)=sin2x 的图象向左平移个单位长度得到，④错误；综上，正确的命题是③故选：C.【方法总结☆全面提升】1. 利用待定系数法求解析式•若设所求解析式为y=Asin( 3 x+$ ),可按以下规律来确定A, 3 , $:(1) 一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|,或代入点的坐标解关于A的方程.⑵因为T-,所以往往通过求周期T来确定3 .可通过已知曲线与x轴的交点确定周期T,或者利用结论“相邻的两个最高点与最低点之间的距离为_；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T等”来确定T.⑶代入点的坐标，通过先解三角方程，再结合图象确定 $.特别提醒：求y=Asin( 3 x+ $ )的解析式，最难的是求$ ,第一零点常常用来求$ ,只要找准第一零点的横坐标列方程就能求出 $ .若对A, 3的符号或对$的范围有要求，可用诱导公式变换，使其符合要求•2. 图象变换理论：⑴平移变换①沿x轴平移，按“左加右减”法则；②沿y轴平移，按“上加下减”法则•(2)伸缩变换①沿x轴伸缩时，横坐标x伸长(0<3<1)或缩短(3>1)为原来的(纵坐标y不变);②沿y轴伸缩时，纵坐标y伸长(A>1)或缩短(0<A<1)为原来的A倍(横坐标x不变).特别提醒：对于图象的平移和伸缩变换都要注意对应解析式是在x或在y的基础上改变了多少，尤其当x与y 前的系数不为1时一定要先将系数提出来再判断•3. 三角函数的综合性问题，常将三角函数与三角形及向量结合在一起，需要综合运用三角函数的性质，运用各种三角函数公式、三角恒等变换以及三角形的有关知识等方法求解【规范示例☆避免陷阱】【典例】已知函数f(x)= : cos| ；二-)-2sin xcos x.(1) 求f(x)的最小正周期；(2) 求证:当x €…时，f(x) > - _.【规范解答】⑴解:f(x)= —cos 2x+-sin 2x-sin 2x1 嬉=sin 2x+ - cos 2x所以f(x)的最小正周期T= = n . ------------------------- 6分(2)证明因为-;w x w寸，所以 sin *- \>sin (--J =-.所以当x € °弓时,f(x) > -半. ________ 14分【反思提升】解答题解题过程要求“解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤” 程中应该有规范的书写步骤 ，分步得分.【误区警示】解答本题易出错之处有，一是不能正确的进行三角恒等变换；二是利用2x —的范围，并根据三角函数图象，正确对待三角函数的范围3考向三解三角形【高考改编☆回顾基础】— -1 .【二倍角公式、余弦定理的应用】 【2018年理数全国卷II 】在 ’中，，则\A& =A..B. 'C.D..【答案】A2. 【正弦、余弦定理定理的应用】 【2018年浙江卷】在厶ABC 中，角A , B , C 所对的边分别为a , b , c.若 a=、了， b=2, A=60 ° 贝U sin B= _______ , c= __________ .【答案】 3【解析】势析抿据IE 弦定理得社込根据余弦定理解出c. 〜—锌解:由正弦定理得？=瓷所以§歸= ^x £in^ =嗥由齟玄定理得a 2 =b 2 +c 2 — 2bccas>4J 7 = 4 + G 2 — 2c, -- c = 3 (员倩舍去)・3. 【正弦定理、三角形面积】【2018年全国卷川理】’的内角•的对边分别为•，，，若所以-广2x+:-alt-10分,因此 ，在解答题答题过x 的范围进一步确定的面积为 u 2 + b z -c 2再，则()(I )求角B 的大小;(II )设a=2，c=3，求b 和略能-嵋的值• 【答案】(I 人;(n)bf 冈，皿(2「刃=書(叮在厶ABC 中，由余弦定理及 a=2, c=3 , B=，有•1，‘. ，故b =.3【命题预测☆看准方向】三角部分主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换及解三角形等基本知识.三角函数与解三角形相结合或三角函数与平面向量相结合是考向的主要趋势 ，试题难度为中低档.正弦定理、余弦定理以及解三角形问题 是高考的必考内容，主要考查：①边和角的计算；②三角形形状的判断；③面积的计算；④有关的范围问题.(1) 预计2019年高考将以正弦、余弦定理的直接应用为主要考查目标，以解答题形式出现的可能性较大， 难度以中档题为主；(2) 结合向量或几何知识构建综合性题目是可能的发展方向，复习时需加以关注【典例分析☆提升能力】【例1】【2018年天津卷文】在一-二「中，内角A , B , C 所对的边分别为 a , b , c.已知沁G 二 辰曲■彩(I )求角B 的大小;(II )设a=2 , c=3，求b 和艷心卅一蛙的值.【答案】(I )= ； (n 冲一 J 丁，屜■：〔 - - _ .【解析】n n Ttn A. 2 B. 3C.环D.百4.【三角恒等变换、正弦定理、余弦定理】 【2018年理数天津卷】在 「中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a , b , c.已知 hsiriA =一£）•71 由 bsinA — uco5（/?—），可得 sinA 二斗 6，2 1 os2A = A - 1 =-.因为a<c ，故' .因此—'.：■■.： , r L'-—所以「心—皿ms —一 dr* 一三【答案】C(1)在厶ABC 中，由正弦定理二 二，可得二又由心―"一卡，得曲浒；-二匚焦｛_ £ 一二〕，即•，可得•工一 ：•又因为石：；■「)，可得B= •丐'fi3(□*△ ABC 中，由余弦定理及a =2, c=3 , B=，有一故b= •由佔?沁二：梟霁［卢一 ?)，可得 -_ .因为a<c ,故 一.因此和吃一 - -'_ ,cos2A = 2OK 2A — 1 = T -所以，sin(2A ~B}= sinlAcosB - cor2AEWLff = x |_ 7 x =■【趁热打铁】【2017 •天津卷改编】在厶ABC 中，内角A ，B, C 所对的边分别为 a ，b ，c.已知asin A = 4bsin B , ac = .''5 i (a 2— b 2— c 2)，则 cos A 的值为【答案】— 55ab【解析】由 asin A = 4bsin B 及QnA = sinB ，得 a =22 2— ac222 Ab +c — a 5由ac = 5(a — b — c )及余弦定理，得 cos A = ----------------- = -----------bc ac【例2】【2018年理北京卷】在 △ABC 中，a=7, b=8, cosB= (I)求/ A ;(H)求AC 边上的高.【答案】⑴/ A=(H)在 Z\ABC 中，I sinC=sin (A+B ) =sinAcosB+sinBcosA=hL/5 1 1^-xC-^)+-x: -,••• AC 边上的高为•/ sinC=，二 h==⑵AC 边上的高为如图所示，在△ ABC 中, g【趁热打铁】如图，在一-三「中，£二二逬二“，点二在边-上上，「 ------------- 为垂足,(1 )若二二的面积为二，求二的长;(2)若--，求角蓟的大小.2【答案】(I) ; (II).【解析】(I)连接二’，由题意得，又凳一，际#三字得•由余弦定理得2i 3 丸生，所以，边’「二的长为空二由正弦定理知：——二，且■ ?=(n)方法因为c匸一.一.一jLn A盘s ETL4S LirSO c'?(2)求函数f(x)=cos 2x+4sin Asin x 在区间'的值域.所以角-二的大小为-方法2:由正弦定理得，得AE - . —'■—'又，则.-S S：;：.-L = "5 L-3 5.-1 - ' ■■ i - 'Cd工通工3得，•所以角二的大小为•2 4 4【方法总结☆全面提升】利用正弦定理与余弦定理解题,经常需要转化思想，一种是边转化为角，另一种是角转化为边•具体情况应根据题目给定的表达式进行确定，不管哪个途径，最终转化为角的统一或边的统一，在解题过程中常用到以下规律：(1)分析已知等式中的边角关系，若要把“边”化为“角”，常利用“a 2RsinA,b 2Rs in B，c 2Rs inC ”，若要把“角”化为“边”，常利用sin A= —，sin B= ，sinC「cos C=(2) 如果已知等式两边有齐次的边的形式或齐次的角的正弦的形式，可以利用正弦定理进行边角互换.如果已知中含有形如b2c2a2bc(为常数)的代数式，一般向余弦定理靠拢.(3) 余弦定理与完全平方式相联系可有：2 2 2 2a2 b2 c2 2bccosA b c 2bc 1 cosA .可联系已知条件，利用方程思想进行求解三角形的边；与重要不等式相联系，由b2c22bc，得a2 b2 c2 2bccosA 2bc 2bccosA 2bc 1 cosA，可探求边或角的范围问题.【规范示例☆避免陷阱】【典例】已知△ ABC三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acos C+、用csin A-b-c=0， (1)求角A的值;(2)求函数f(x)=cos 2x+4sin Asin x 在区间'的值域.【规范解答】 ⑴ 因为acos C+曲;csin A-b-c=0, 由正弦定理得 sin Acos C+ : sin Csin A-sin B-sin C=0, 因为 sin C 丰 0,得 p/^sin A-cos A=1,所以sin 3紛碍.所以A 二二二或A 二尸二(舍去),解得A=. -------------- 6分(2)由(1)得 sin A= —^,所以 f(x)=cos 2x+4sin Asin x=1-2sin因为x €愕用,所以sin x €鲁丄故函数f(x)的值域为卜握爲. ----------- 12分【反思提升】解答题解题过程要求“解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤” ，因此，在解答题答题过程中应该有规范的书写步骤 ，分步得分•【误区警示】特别提醒：在画图和识图过程中要准确理解题目中所涉及的几种角 ，如仰角、俯角、方位角以防出错•有些时候也必须注意到三角形的特殊性，如直角三角形、等腰三角形、锐角三角形等•考向四 平面向量的数量积及其应用【高考改编☆回顾基础】1.【平面向量的数量积、平面向量的坐标运算】【2018年理数天津卷】如图，在平面四边形 ABCD 中，即：sin Cs in A-cos As in C-si n C=0;2x+2松 sin x=-21,' ，心怙-12亍，* .若点E为边CD上的动点，贝U 的最小值为(2)求函数f(x)=cos 2x+4sin Asin x 在区间'的值域.【2018年全国卷川理】已知向量0 = （12）, b 珂乙-2）, “（1刀.若d[2a^b ）,则丘- _____ 11【答案】5.【解析几何、平面向量的数量积】【2018年理新课标I 卷改编】设抛物线C ： y 2=4x 的焦点为F ，过点（E, 0）2 --且斜率为q 的直线与C 交于M , N 两点，则I'M - FN = ___________ .【答案】D.结合二次函数的性质可知，当 入=寸时，匪•应•取得最小值 21仝•本题选择A 选项.lb夹角】【2017山东，理12】已知e n e 2是互相垂直的单位向量,的夹角为60°，则实数【答案】3的值是 .3.【平面向量的线性运算、平面向量的数量积】【2017天津，文理】在 △ ABC 中，/ A 60 , AB 3,uuu uur uuuAC 2.若 BD 2DC , AEuuur uuu AC AB(umr uuuR ），且AD AE4，贝U 的值为【答案】3 114.【平面向量的坐标运算】 2.【平面向量的数量积、i."【答案】8【解析】根据题意，过点（ -,0）且斜率为？的直线方程为y = -（r+2},与抛物线方程联立/ =+,33I yi消兀整理得：“-「；■■；辻二门，解得吃，又歹」;.：；，所以m ：，从而可以求得-'.;：7-3- / 亠？ -_ ＜：..【命题预测☆看准方向】本部分内容在高考题中主要以选择题和填空题的形式出现，有时也以向量为工具在解答题中研究三角函数或圆锥曲线的性质，从近几年的高考试题来看，向量的线性运算、共线问题和平面向量的数量积、几何意义、模 与夹角、垂直等问题是考查的重点，紧扣定义，理解其运算和性质的几何背景 ，学会应用是复习的重点.【典例分析☆提升能力】【例1】【北京市第八十中学 2019届10月月考】已知向量- -，汨…閔，闕「蛙加用厂；；■■.；：：.若"「＜'.-：；则实数m 的值为（）A . --B • -一：C •―D • y【答案】B 【解析】乔!疣，卫賢一订,贝则.二-一二 …-:-. 因为丽〕济，寒■ ：沪汁“，”禎3, 二=「.选三.【趁热打铁】已知向量 m 1,1 , n2 D.12,2，若 m nm n ，贝U（）A. 4B.3 C.【答案】 B【解析】 Q m nm n ,m n2 2m n =m n = ( 2 2+D +1- ( +2) -4=0 ,解得 =-3.【例2】【江苏省无锡市 2019届上期末】如图，已知平行四边形ABCD 中, E , M 分别为DC 的两个三等分点,2rF , N 分别为BC 的两个三等分点，珏・拆= 25,药■丽二43,则阪| +||丽「= ____________ .【答案】90【解析】•••平行四边形二三二中，三，二分别为二［的两个三等分点，二，•分别为「「的两个三等分点, —U 一一，」二…，就-和=（而+半丽）•（乔十中阴=2£无Q 丽=（扁4■中函）•（丽+彳元）=輻| -1丽|ms山肋+ -b|l^B||lSD|coarse =254 3 丁|乔| •丽|c«ZMB4■詡丢+2而豐十計而||忑曲肚础D =43H K17麻『=(丽+ AD)2= 丽f + ］旋「+ 2丽・商迪四初|BDp = (B1+BC)3=\BA\2+ |旋f +2|茹| - |BC|cosZ^UC=|丽『+|耐-2|乔卜丽|COM B肋••••■_」一.:--. -■-,故答案为90.【趁热打铁】在如图的平面图形中，已知0W 1 , ON= 2, / MO M120。

第 3 讲平面向量高考定位平面向量这局部内容在高考中的要求全局部都为 B 级，只有平面向量的应用为A 级要求，平面向量的数量积为 C 级要求. 主要观察：(1) 平面向量的根本定理及根本运算，多以熟知的平面图形为背景进行观察，填空题难度中档；(2) 平面向量的数量积，以填空题为主，难度低；(3) 向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、剖析几何结合，以解答题形式出现.真题感悟1.(2021 ·江苏卷 ) 向量a ＝(2 ，1) ，＝(1 ，－ 2) ，假设＋nb＝ (9 ，－ 8)(，∈R)，b ma m n那么－的值为 ________.m n剖析∵＝(2 ，1)，＝(1，－2) ，∴ma ＋nb＝(2 ＋，－ 22m＋n＝9，) ＝(9，－8)，即a b m n m n m－2n＝－8，m＝2，解得故 m－n＝2－5＝－3.n＝5，答案－ 3→ →→1，1，→ →2.(2021 ·江苏卷 ) 如图，在同一个平面内，向量OA，OB，OC的模分别为2，OA与OC的夹角为α，且 tanα＝ 7，→与→的夹角为45°. 假设→ ＝→ ＋→ (，∈R)，那么＋＝OB OC OC mOA nOB m n m n________.→→→→剖析如图，设 OD＝ mOA，DC＝ nOB，那么在△ ODC中有 OD＝ m，DC＝ n，OC＝2，∠OCD＝45°，由 tan α＝ 7，得 cosα2＝10，又由余弦定理知2＝ n2＋〔2〕2－22n cos 45 °，m2222m cos α，n＝ m＋〔2〕－22 2①m － n ＝ 2－2n ，即2－ 2＝ 2－ 2 ，②nm5m2277①＋②得 4－2n － 5m ＝0，即 m ＝10－ 5n ，代入①得12n － 49n ＋49＝ 0，解得 n ＝ 4或 n ＝ 3，7 7 5) ，当 n 7 7 5＋当 ＝ 时， ＝10－5× ＝－<0( 不合题意，舍去＝ 时， ＝ 10－5× ＝ ，故 n 3 m3 34 m 4 4 m n ＝5＋ 7＝ 3.4 4 答案33.(2021 ·江苏卷 ) 如图，在△中， 是 的中点， ， 是 上的两个三均分点， → · →ABC DBCE F ADBA CA→ → → →＝4， BF ·CF ＝－ 1，那么 BE · CE 的值是 ________.→ →→ → 剖析 设 AB ＝ a ， AC ＝ b ，那么 BA ·CA ＝ ( － a ) ·( － b ) ＝a · b ＝ 4.又∵D 为中点， ， 为 的两个三均分点，BCE FAD→1 → →1 1那么AD ＝ 2( AB ＋AC )＝ 2a ＋2b ，→2→11AF ＝ 3AD ＝ 3a ＋3b ，→1→11 AE ＝ 3AD ＝ 6a ＋6b ，→ → → 1 12 1BF ＝ BA ＋ AF ＝－ a ＋ 3a ＋3b ＝－ 3a ＋ 3b ，→→ →1 11 2CF ＝ CA ＋ AF ＝－ b ＋ 3a ＋3b ＝ 3a － 3b ，那么 →· →2112＝ － a ＋ b · a － b ＝BF CF 3 3 332 2 2 2 52 2 2 5－ 9a － 9b ＋ 9a ·b ＝－ 9( a ＋ b ) ＋ 9×4＝－ 1.可得 2 ＋ 229 a b ＝ .2→ → → 11 5 1 又BE ＝ BA ＋ AE ＝－ a ＋ a ＋ b ＝－ a ＋ b ，666 6→ → → 11 1 5CE＝ CA＋ AE＝－ b＋6a＋6b＝6a－6b，→ →5 1b ·1 5那么BE · CE ＝－ a ＋a －b66 665 (2226 5 2926 7 ＝－a ＋b ) ＋36a·＝－ × ＋×4＝.36b36 2 368答案7 84.(2021 ·江苏卷 ) 向量 a ＝(cos x ，sin x ) ，b ＝ (3 ，－ 3) ， x ∈ [0 ，π ].(1) 假设 a ∥b ，求 x 的值；(2) 记 f ( x ) ＝ a · b ，求 f ( x ) 的最大值和最小值以及对应的 x 的值 .解 (1) ∵a ∥ b ，∴ 3sin x ＝－ 3cos x ，∴3sinx ＋3cos x ＝ 0，即 sin xπ＝ 0.＋6∵0≤ x ≤π，∴ π ≤ x ＋ π ≤ 7π，∴ x ＋π ＝π，∴ x ＝ 5π .6 6 666＝＝－＝－x － π(2) f ( x )a ·b 3cos x3sin x 2 3sin 3.ππ 2π∵x ∈ [0 ，π ] ，∴ x － 3 ∈ －，3 ，3∴－ 3 ≤ sin x － π≤ ，∴－2 ≤ ( x ) ≤ ， 2 313 f 3当 x －π＝－π时， f ( x ) 获取最大值 3；3，即 x ＝03π π5π当 x － 3 ＝ 2 ，即 x ＝6 时， f ( x ) 获取最小值－ 23.考点整合1. 平面向量的两个重要定理(1) 向量共线定理：向量a ( a ≠0) 与b 共线当且仅当存在唯一实数 λ，使 b ＝ λ a .(2) 平面向量根本定理：若是 e 1， e 2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任向来量 a ，有且只有一对实数 λ 1， λ2，使 a ＝ λ1e 1＋ λ2e 2，其中 e 1， e 2 是一组基底 . 2. 平面向量的两个充要条件假设两个非零向量＝ ( x ， y )， ＝( x ， y ) ，那么1 221(1) a ∥ b ? a ＝λb ? x 1y 2－ x 2y 1 ＝0.(2) a ⊥ b ? a ·b ＝ 0? x 1x 2＋ y 1y 2＝ 0.3. 平面向量的三个性质(1) 假设 a ＝ ( x ， y ) ，那么 | a | ＝a · a ＝ x 2＋ y 2.(2) 假设 A ( x 1， y 1 ) ， B ( x 2， y 2) ，那么→2 1 2 2 1 2.| AB | ＝ 〔 x － x 〕 ＋〔 y － y 〕 (3) 假设 a ＝ ( x 1， y 1) ， b ＝ ( x 2， y 2) ， θ 为 a 与 b 的夹角，那么 cos θ＝|a · bx 1x 2＋ y 1y 2|| |＝2 222.a b x 1 ＋ y 1 x 2＋ y 24. 平面向量的三个锦囊→ →(1) 向量共线的充要条件： O 为平面上一点，那么A ，B ， P 三点共线的充要条件是 OP ＝ λ1OA ＋→＋λ2＝ 1). λ2OB ( 其中 λ1(2) 三角形中线向量公式：假设P 为△ OAB 的边 AB 的中点，那么向量→→ → →OP 与向量 OA ，OB 的关系是OP1 → →＝ 2( OA ＋ OB ).(3) → → →x A ＋ x B ＋ x C y A ＋y B ＋ y C三角形重心坐标的求法： G 为△ ABC 的重心 ? GA ＋ GB ＋ GC ＝ 0?G，.33热点一 平面向量的相关运算[ 命题角度 1]平面向量的线性运算【例 1－ 1】→→ →(1)(2021 ·天津卷 ) 在△ ABC 中，∠ A ＝60°， AB ＝ 3，AC ＝2，假设 BD ＝ 2DC ，AE＝→ － → ( ∈R) ，且 →· →＝－ 4，那么λ的值为 ________.λAC AB λ AD AE(2) 菱形 ABCD 的边长为 2，∠ BAD ＝120°，点 E ， F 分别在边 BC ， DC 上， BC ＝ 3BE ， DC＝. 假设 → · → ＝ 1，那么λ的值为 ________.λDF AE AF剖析 (1) →· →＝3×2×cos 60°＝ →1→ ＋ 2→ ，那么 → · →＝ 1→ 2→→－ →)3， ＝ AB ＋ AC ·(AB ACAD 3AB 3AC AD AE 3 3 λAC ABλ － 2→ → 1→ 2 2λ→ 2 λ －21 2 2λ 2 113＝3 AB · AC － 3AB ＋ 3 AC ＝ 3 ×3－ 3×3＋3 ×2＝ 3 λ－ 5＝－ 4，解得 λ ＝ 11.→→→→1→→→→→1→ → 1(2) 法一 如图， AE ＝ AB ＋ BE ＝AB ＋ 3BC ，AF ＝ AD ＋DF ＝ AD ＋ λDC ＝BC ＋ λ→ → → → 1→→ 1 → 1＋ 1 → → 1 → 2 1→AB ，所以 AE · AF ＝ AB ＋ 3BC· BC ＋ AB ＝ 3 AB · BC ＋ λ AB ＋ BCλ λ 321 4 4 ＝1＋ 3λ ×2×2×cos 120 °＋ λ＋ 3＝ 1，解得 λ＝ 2.法二建立以以下图平面直角坐标系. 由题意知：A(0，1)，C(0，－1)，B(－3，0) ，D ( 3， 0).由 BC ＝ 3BE ， DC ＝ λDF ，可求点， F 的坐标分别为EE －2 3，－1， F 3 1，－1，1－λ33λ→→2 3 4 3 1－11－ 1∴ ·＝－ 3 ，－ ·λ ，－λAE AF 31 41＝－ 2 1－ λ ＋ 3 1＋λ ＝ 1，解得 λ＝ 2.3 答案(1)(2)211研究提高用平面向量根本定理解决此类问题的要点是先选择一组基底， 并运用平面向量的根本定理将条件和结论表示成基底的线性组合，再经过对照等式求解.[ 命题角度 2]平面向量的坐标运算【例 1－ 2】 (1)(2021 ·江苏冲刺卷 ) 向量 a ＝ (2 ， 1) ， b ＝(0 ，－ 1). 假设 ( a ＋ λb ) ⊥ a ，那么实数 λ＝ ________.(2)(2021 ·全国Ⅲ卷改编→1， 3 →3， 1 ) 向量 BA ＝， BC ＝，那么∠ ABC ＝ ________.2222剖析 (1) 由题意可得 a ＋ λb ＝(2 ，1－ λ) ，那么 ( a ＋ λb ) · a ＝ (2 ，1－ λ ) ·(2 ， 1) ＝ 5－ λ＝0，解得 λ＝ 5.→→→ →3BA · BC(2)| BA | ＝ 1，| BC | ＝ 1，cos ∠ ABC ＝ →→ ＝ 2 ，| BA | ·|BC |那么∠ ABC ＝30°.答案(1)5 (2)30 °研究提高假设向量以坐标形式表现时， 那么用向量的坐标形式运算； 假设向量不是以坐标形式呈现，那么可建系将之转变为坐标形式，再用向量的坐标运算求解更简捷.[ 命题角度 3]平面向量的数量积【例 1－ 3】 (1)(2021 ·全国Ⅰ卷 ) 向量a ，b 的夹角为 60°， | a | ＝ 2， | b | ＝ 1，那么 | a＋ 2b | ＝ ________.(2)(2021 ·佛山二模 ) 在等腰梯形 ABCD 中， AB ∥ DC ，AB ＝ 2， BC ＝ 1，∠ ABC ＝60°，动点 E 和F 分别在线段BC和→ → → 1→ → →DC 上，且BE ＝ λBC ，DF ＝ 9λDC ，那么 AE · AF 的最小值为________.剖析(1)|a ＋ 2b |2＝ | a |2＋ 2| a | ·|2 b | ·cos 60 °＋ (2|b |)2＝ 22＋ 2×2×2× 1＋ 22＝ 4＋ 4＋ 4＝ 12，2∴| a ＋ 2b | ＝ 12＝ 2 3.(2) 法一 在梯形中， ＝2， ＝ 1，∠ ＝60°， 可得＝ 1，→＝→＋ →，→ ＝ABCDABBCABC DCAE AB λBC AF→1 →AD ＋ 9λDC ，→→→→→1→→→→1→→→→1 →∴ AE · AF ＝ ( AB ＋ λBC ) ·(AD ＋ 9λ DC ) ＝ AB · AD ＋ AB · 9λDC ＋ λBC · AD ＋ λBC · 9λDC ＝1 12 λ 17 2×1×cos60° ＋ 2× 9λ ＋ λ ×1×cos 60° ＋ λ· 9λ ×cos 120° ＝ 9λ ＋ 2 ＋ 182 λ 17 29 2 λ 2 29≥29λ·2 ＋18＝18，当且仅当 9λ＝ 2 ，即λ＝ 3时，获取最小值为 18.法二以点 A 为坐标原点， AB 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，那么 B (2，0)，C3， 3，D 1，3 .2 2 2 2又→＝→ ，→＝ 1 → ，BE λBC DF9λDC1 31， 3那么 E 2－ λ， λ，F 1＋， λ ＞ 0，2 2 2 9λ 2→ → 1 λ1 13 17 21 172 1 29 所以 AE · AF ＝ 2－＋＋ λ＝ ＋＋ λ≥ ＋ 2· λ＝ ，λ＞ 0，当22 9λ418 9λ2189λ218212且仅当 9λ＝ 2λ，即 λ＝ 3时取等号，→ → 29故AE · AF 的最小值为18.答案(1)23 (2)2918研究提高(1) ①数量积的计算平时有三种方法：数量积的定义、坐标运算、数量积的几何意义， 特别要注意向量坐标法的运用； ②能够利用数量积求向量的模和夹角， 向量要分解成题中模和夹角的向量进行计算；③在用| | ＝2求向量的模时，必然要把求出的a 2进a a行开方 .(2) 求解几何图形中的数量积问题，经过对向量的分解转变为向量的数量积计算是根本方法，但是若是建立合理的平面直角坐标系， 把数量积的计算转变为坐标运算也是一种较为简捷的方法 .【训练 1】 (1)(2021 ·全国Ⅱ卷改编 ) △ ABC 是边长为 2 的等边三角形， P 为平面 ABC→→ →的最小值是 ________.内一点，那么 PA ·(PB ＋PC )(2)(2021 ·南京、盐城模拟) 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝ 2，点E为BC的中点，点 F在边→→CD上，假设 AB· AF＝→→2，那么AE·BF的值是 ________.剖析(1) 如图，以等边三角形的底边所在直线为x 轴，以BC的垂ABC BC直均分线为 y 轴建立平面直角坐标系，那么A(0，3) ，B( － 1，0) ，C(1 ，0).→→→设 P( x，y)，那么 PA＝(－x，3－y)，PB＝(－1－ x，－ y)，PC＝(1－ x，－ y).所以→→→， 3－)·(－ 2 ，－2) ＝22＋ 2323·( ＋)＝(－y y x y－2－ . PA PB PC x x2当x ＝ 0，＝3→→→3时，·( ＋) 获取最小值为－ .y2PA PB PC2(2)法一以A 为原点，AB所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系( 以射AD线 AB，AD的方向分别为x 轴、 y 轴的正方向)，那么 B(→2，0) ，E( 2，1). 设F( x， 2) ，那么AF＝( x，→→ →2x＝2，∴x＝ 1，∴F(1 ，→ →2) ，又AB＝ (2， 0) ，∴AB·AF＝2) ，∴AE·BF＝ 2.法二→→→→∠ BAF＝→2，∴→∠ BAF＝1，∵ AB· AF＝|AB||AF|cos2，| AB|＝| AF|cos即|→| ＝1，∴ |→| ＝ 2－1，DF CF→→→→→→→→→→→→→→→→→→∴ AE· BF＝(AB＋ BE)·(BC＋ CF)＝ AB· BC＋ AB· CF＋ BE· BC＋BE· CF＝ AB· CF＋ BE· BC＝2×( 2－1) ×( － 1) ＋1×2×1＝ 2.答案(1) －3(2)2 2热点二平面向量与三角的交汇【例 2】 (2021 ·南京模拟 ) 向量a＝ (2cos2α)，b＝(2sinα，t)，α∈πα，sin0，2，t 为实数.2，求 t 的值；(1) 假设a－b＝， 05π(2)假设 t ＝1，且 a·b＝1，求tan 2α＋4的值.解(1) 由于向量a＝(2cosα ，sin2α)，b＝(2sinα，t)，且 a － b ＝2，0 ，所以 cosα－sin α＝1， t ＝ sin2α.55由 cos α－ sin121 ， α＝ ，得 (cos α－ sin α) ＝525124即 1－ 2sin αcosα＝ 25，从而 2sin αcos α＝ 25.249所以 (cos α ＋ sin α) ＝ 1＋ 2sin αcos α＝ 25.π7由于 α∈ 0，，所以 cosα＋ sin α＝ 5，2所以 sinα＝ 〔 cos α＋ sinα 〕－〔 cos α －sinα〕＝ 3，25所以 t ＝ sin 2α＝ 9 .25(2) 由于 t ＝ 1，且 a ·b ＝ 1，所以 4sin αcos α＋ sin 2α＝ 1，即 4sinαcos α＝ cos 2α.由于 α∈0，π ，所以 cos α≠0，从而tanα＝ 1，24所以 tan 22tan α8α＝ 1－ tan 2α＝ 15，tan 2 α＋ tan π8＋ 123π415所以 tan 2α＋ 4 ＝π＝8 ＝ 7 .1－ tan 2 α·tan 4 1－ 15研究提高 三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支， 内容繁琐， 且平面向量与三角函数交汇点很多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都能够与三角函数进行交汇 . 不论是哪一种向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点， 对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件“脱去外衣〞转变为三角函数中的“数量关系〞， 再利用三角函数的相关知识进行求解 .【训练 2】 (2021 ·苏北四市模拟 ) 在锐角三角形ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ，b ，c ，向量 p ＝ (cos B ＋ sin B ，2sin B －2) ， q ＝ (sin B － cos B ， 1＋ sin B ) ，且 p ⊥ q .(1) 求 B 的大小；(2) 假设 b ＝ 2，△ ABC 的面积为 3，求 a ， c . 解 (1) 由于 p ⊥ q ，所以 p · q ＝ (cosB ＋ sinB )(sinB － cosB ) ＋ (2sinB －2) ·(1 ＋ sin B ) ＝0，即sin2B － cos 2 B ＋ 2sin2B － 2＝ 0，即 sin 2B ＝ 3，4又角 B 是锐角三角形 ABC 的内角，3所以 sin B ＝ 2 ，所以 B ＝60°.(2) 由 (1) 得 ＝60°，又△ 的面积为3，BABC所以△ ABC ＝1sin ＝ 3，即ac ＝4. ①S2acB由余弦定理得 b 2＝ a 2＋ c 2－ 2ac cos B ，又 b ＝2，所以 a 2＋ c 2＝ 8，②联立①②，解得a ＝c ＝ 2.1. 平面向量的数量积的运算有两种形式：(1) 依照模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求也许不能求，可经过选择易求夹角和模的基底进行转变；(2) 利用坐标来计算，向量的平行和垂直都能够转变为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数量化.2. 依照平行四边形法那么，对于非零向量a ， b ，当 | a ＋ b | ＝ | a －b | 时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件| a ＋ b | ＝ | a －b | 等价于向量 a ， b 互相垂直 .3. 两个向量夹角的范围是 [0 ，π ] ，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是 0 或 π 的情况，如两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能够反向共线 .一、填空题1.(2021 ·山东卷 ) e ，e 是互相垂直的单位向量， 假设 3e － e与 e ＋ λe 的夹角为 60°，121 2 1 2那么实数 λ 的值是 ________.〔 3e 1－ e 2〕·〔 e 1＋ λ e 2〕3－ λ剖析 cos 60 °＝1212＝3＋1 1＋ λ 2|3e －e || e ＋ λe |1＝ 2，解之得λ＝33.3答案32.(2021·北京卷) 在△ ABC 中，点→ →→ → → → →M ，N 满足 AM ＝ 2MC ，BN ＝ NC . 假设 MN ＝ xAB ＋ yAC ，那么 x ＝ __________ ；y ＝ __________.→ →→1→1→剖析 MN ＝MC ＋ CN ＝ 3AC ＋ 2CB→1→ →＝ 3AC ＋ 2( AB － AC )11→1→11＝ 2AB － 6AC ，∴ x ＝ 2，y ＝－ 6. 答案1 － 12 6→ 1 → →→ →3. A ，B ， C 为圆 O 上的三点，假设 AO ＝( AB ＋ AC ) ，那么 AB 与 AC 的夹角为 ________.2→ 1 → →→ →剖析由 AO ＝ 2( AB ＋ AC ) ，可得 O 为 BC 的中点，故 BC 为圆 O 的直径，所以 AB 与 AC 的夹角为90°.答案90°4. O 是平面上的必然点， A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，假设动点→ →P 满足 OP ＝ OA ＋→ → ，λ∈(0 ，＋∞ ) ，那么点 P 的轨迹必然经过△ ABC 的 ________( 填重心、垂心、内 λ( AB ＋ AC ) 心或外心 ).剖析→ → → → → → →由，得 OP －OA ＝ λ(AB ＋AC ) ，即 A P ＝ λ( AB ＋ AC ) ，依照平行四边形法那么， 设△ABC→ → →中 BC 边的中点为 D ，知 AB ＋ AC ＝ 2AD ，所以点 P 的轨迹必过△ ABC 的重心 . 故填重心 . 答案重心→5.(2021 ·苏、 锡、常、镇调研 ) 在△ ABC 中， AB ＝ 1，AC ＝ 2，∠ A ＝60°， 假设点 P 满足 AP＝ → ＋→，且→· →＝ 1，那么实数λ的值为 ________.AB λACBP CP剖析222A ＝ 3，即 BC ＝ 3.由 AB ＝ 1， AC ＝ 2，∠ A ＝60°，得 BC ＝ AB ＋ AC － 2AB · AC ·cos 2 2 2π → → x 轴， y 轴的正方 又 AC ＝ AB ＋ BC ，所以∠ B ＝ . 以点 A 为坐标原点， AB ，BC 的方向分别为2 向建立平面直角坐标系，那么B (1 ， 0)，C (1 ，→ →→P (1 ＋ λ， 3 λ) ，3). 由 AP ＝ AB ＋ λAC ，得 →→λ， 3λ ) ·(λ， 3λ－2＋ 3λ ( λ－1) ＝ 1，即2那么BP· CP＝(3) ＝λ4λ－ 3λ－ 1＝0，1解得 λ＝－ 或 λ ＝ 1.1 答案－ 或 146.(2021 ·江苏卷 ) 如图，在平行四边形 ABCD 中， AB ＝ 8，AD ＝5，→＝ 3→， → · →＝2，那么 → · → 的值是 ________.CPPD AP BPAB AD→→ → →1→剖析由题图可得， AP ＝ AD ＋ DP ＝ AD ＋ 4AB ，→ → → →3→→3→BP ＝ BC ＋ CP ＝BC ＋ 4CD ＝ AD － 4AB .∴ → · → → 1→ → 3→＝ AD ＋ AB · AD － ABAP BP 44＝ →2－1→·→－ 3 → 2＝2，AD 2AD AB 16AB1→ → 3 →→故有 2＝ 25－ AD · AB －×64，解得 AD · AB ＝ 22.216答案227. △ ABC 是边长为 2 的等边三角形，向量→ →a ，b 满足 AB ＝ 2a ，AC ＝ 2a ＋ b ，那么以下结论中 正确的选项是 ________( 写出所有正确结论的编号).→ →①a 为单位向量；② b 为单位向量；③ a ⊥b ；④ b ∥ BC ；⑤ (4 a ＋b ) ⊥ BC .剖析∵ → 2 2a | ＝ 1，故①正确；A B ＝4| a | ＝ 4，∴ |→ → →→ ，故②错误； ∵BC ＝ AC － AB ＝ (2 a ＋ b ) － 2a ＝ b ，又△ ABC 为等边三角形，∴ | BC | ＝ | b | ＝2 ∵ b ＝ → － → ，∴＝ 1→→ →1 1·( －) ＝ ×2×2×cos 60°－×2×2＝－ 1≠0，故③错误；AC AB a ·b2AB AC AB22∵ → ＝ ，故④正确；BC b→ → → → → 2 → 2∵( AB ＋ AC ) ·(AC － AB ) ＝ AC － AB ＝ 4－4＝ 0，→∴(4 a ＋ b ) ⊥ BC ，故⑤正确 .答案①④⑤→ → → →8. 如图，在△ ABC 中，C ＝90°，且 AC ＝ BC ＝3，点 M 满足 BM ＝ 2MA ，那么CM · CB＝ ________.剖析法一 如图，建立平面直角坐标系 .由题意知： A (3 ， 0) ， B (0 ， 3) ，→ →设 M ( x ， y ) ，由 BM ＝ 2MA ，x ＝ 2〔3－ x 〕， x ＝ 2， 得解得y － 3＝－ 2y ，y ＝ 1，即 M 点坐标为 (2 ， 1) ，→ →所以 CM · CB ＝(2 ，1) ·(0 ， 3) ＝3.法二→→→→→→2→ CM ·CB ＝ ( CB ＋ BM ) · CB ＝ CB ＋CB ·→ 2＝ CB ＝ 3.312→ →2 2→ → → 3BA ＝ CB ＋ 3CB ·(CA － CB )答案 3二、解答题9. 向量 a ＝ cos3x， sin 3x， b ＝ cosx，－ sin x0，π2 222 ，且 x ∈2.(1) 求 a ·b 及| a ＋ b | ；(2) 假设 f ( x ) ＝ a · b － 2λ | a ＋ b | 的最小值是－ 3 ，求 λ 的值 .23x x3x x解(1) a ·b ＝ cos2 cos 2－ sin 2 sin 2＝ cos 2 x ，3x 2 3x 2| ＋ | ＝cosx＋ cos＋ sinx－ sinab2 222＝ 2＋ 2cos 2 x ＝ 2 cos 2x ，π由于 x ∈ 0， 2 ，所以 cos x ≥0，所以 | a ＋ b | ＝2cos x .(2) 由 (1) ，可得 f ( x ) ＝ a · b －2λ| a ＋ b | ＝ cos 2 x － 4λcos x ，即 f ( x ) ＝2(cos x － λ) 2－ 1－ 2λ 2.π由于 x ∈ 0， 2 ，所以 0≤cos x ≤1. ①当 λ＜ 0 时，当且仅当cos x ＝ 0 时， f ( x ) 获取最小值－ 1，这与矛盾；②当 0≤ λ≤1时，当且仅当cos x ＝λ 时，f ( x ) 获取最小值－ 1－ 2λ2，由得－ 1－ 2λ2＝－ 3，解得 λ＝ 1；2 23cos x ＝ 1 时， f ( x ) 获取最小值 1－ 4λ，由得 1－ 4λ＝－ ， 251解得 λ＝8，这与 λ＞ 1 相矛盾 . 综上所述 λ＝2.10.(2021 ·镇江模拟 ) 向量 m ＝ (cos α，－ 1) ，n ＝ (2 ， sinπα) ，其中 α∈ 0， 2 ，且 ⊥ .m n(1) 求 cos 2 α 的值；10 π(2) 假设 sin( α－ β) ＝ 10，且 β∈ 0， 2 ，求角 β 的值 .解 (1) 由 m ⊥ n ，得 2cos α－ sin α＝ 0， sin α＝ 2cos α，代入 cos 2α＋sin 2α＝ 1，得 5cos 2α＝ 1，π5又 α∈ 0， 2 ，那么cosα＝5 ，2 5223故 sin α＝ 5，那么 cos 2 α＝ cos α－sin α ＝－ 5.π ππ π (2) 由 α ∈ 0， 2 ， β∈ 0， 2 ，得 α－ β∈ － 2 ， 2 .10310由于 sin( α－ β ) ＝ 10 ，所以 cos( α－ β) ＝10 ，那么sinβ＝ sin[ α－ ( α － β)]＝ s in αcos( α－ β) － cos αsin( α－ β )2 53 10 5 10 2 ＝5×10－5×10＝2.ππ 由于 β∈ 0， 2 ，所以 β＝4.11.(2021 ·南师附中调研) △ABC 的内角A ，B ，C所对的边分别为a ，b ，c . 向量 m ＝ ( a ，3b ) 与 n ＝ (cos A ， sin B ) 平行 .(1) 求 A ；(2) 假设 a ＝ 7， b ＝2，求△ ABC 的面积 .解(1) 由于m ∥ n ，所以 a sin B －3b cos A ＝ 0，sinA sinB －3sinB cos A ＝0，又 sin B ≠0，从而 tan A ＝ 3，π由于 0＜ A ＜π，所以 A ＝ 3 .(2) 法一由余弦定理，得a 2＝b 2 ＋c 2－ 2bc cos A ，而 a ＝ 7， b ＝ 2， A ＝ π ，得 7＝ 4＋ c 2－ 2c ， 3 即 c 2－ 2c － 3＝ 0，由于 c ＞ 0，所以 c ＝3，1 3 3 故△ ABC的面积为 S ＝ 2bc sin A ＝ 2.7 2 法二 由正弦定理，得π ＝ sin B ，sin 321 从而 sin B＝7，又由 a ＞ b，知 A ＞ B，27所以 cos B ＝ 7 ，故 sin C ＝ sin( A ＋ B ) ＝ sin＝sincos π ＋ cos sin π ＝ 3 21 .B 3 B 3 1413 3 所以△ ABC 的面积为 S ＝ ab sin C ＝.22πB ＋ 3。