08-09高数(1)试题A答案

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。

2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米墨水签字笔在答题卡上书写。

在试题卷上作答无效。

4．考试结束，监考人员将试题卷和答题卡一并收回。

参考公式：如果时间A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果时间A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()()1n kk kn n P k C P P -=-球的表面积公式24S R π=，其中R 表示球的半径 球的体积公式343V R π=，其中R 表示球的半径 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，集合{1,3,5}S =，{3,6}T =，则()U C S T ⋃等于（ ） A ．∅ B ．{2,4,7,8} C ．{1,3,5,6} D ．{2,4,6,8} 解：{1,3,5,6}S T ⋃=，则()U C S T ⋃＝{2,4,7,8}，故选B（2）不等式112x <的解集是（ ） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(0,2) D ．(,2)-∞⋃(2,)+∞解：由112x <得：112022xx x--=<，即(2)0x x -<，故选D 。

北京工业大学2008-2009学年第二学期期末 “高等数学(工)—2”课程试卷(A 卷)参考答案考试方式：闭卷考试时间：2009年6月29 口注：木试卷共四大题，满分100分一、单项选择题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。

在每小题给出的四 个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项的字母写在括号内. 若函数z = f(x,y)在点(0,0)处间断,贝！J 必有(A)爲％5)不存在(B)在点(0,0)无定义(C) /(X,y)在点(0,0)不可微(D) 彳(0,0)工(0,0)不存在已知点(1,1)是函数f(x,y) = 2x^3y-x a-y b的一个极值点，其中°上是大于1 的实数，则(B) a = 3.b = 25. 若级数》Q ”发散且色工0,则下列结论正确的是n=l二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分•将答案填写在题中的横 线上.% >1(C)5>1(D )弘14丨n71=1发散(A) \\ma n 0(B) lim 川T8川一>81. 2.(C) a = 2,b = 2(D) a = 3= 33. 设曲面工为上半球面z = ^l-x 2-y 2,则曲面积分口疔(C)匹3+ y 2 + z 2JS=[]4. (A) 4兀(B) 2/r(D )T下列方程不是线性微分方程的是(A) y /+ xy = e x(B) y" + 2y' + y = sin x6.方程= X +j确定了隐函数z = z(x,j),贝9z = z(兀，刃在点(L 0,1)处的全微分为_________________________________ .7.设空间区域Q由锥面z = + b与平面*3围成，则三重积分\\\ /(x2 +尸+ z 2)dV在球面坐标下的三次积分为 __________________________ Q8.设有向曲线厶的方程为F+y2_2y = 0,方向为顺时针方向。

广州大学2008-2009学年第一学期考试卷课 程：高等数学（A 卷）（90学时） 考 试 形 式： 闭卷 考试一．填空题（每空2分，本大题满分16分）1．设⎩⎨⎧≤>=1,1,1)(2x x x x f ，则=-))2((f f . 2. 若函数 ⎩⎨⎧>≤-+=0,)arctan(0,2)(2x ax x b x x x f 在0=x 处可导，则=a ，=b .3．曲线xx x y 122sin -=有水平渐近线=y ______和铅直渐近线=x ______. 4．已知1)(0-='x f ，则=+--→hh x f h x f h )2()(lim000.5．设50()(1)xf t dt x C =++⎰，则常数=C ______，=)(x f ____________.二．选择题 (每小题3分, 本大题满分15分)1. 当0→x 时, )ln(21x +是x 的( )无穷小.(A) 高阶 (B) 低阶 (C) 同阶 (D) 等价学 院专 业班级姓名学号2. 函数12+=x y 在点(1,2)处的法线方程为 ( ).(A) 252--=x y (B) 2521+-=x y (C) 252-=x y (D) 2521--=x y3．2x x f =)(在闭区间],[10上满足拉格朗日中值定理，则定理中的=ξ( ).(A)31 (B) 21 (C) 22 (D) 21-4. 若函数)(x f 在点0x x =处取得极值, 且)(0x f '存在，则必有 ( ) . (A) 0)(0='x f (B) 00>')(x f (C) 0)(0>''x f (D) )(0x f '的值不确定5. x x f ln )(=在),(+∞0内是 ( ).(A) 周期函数 (B) 凹函数 (C) 凸函数 （D ）单减函数三．解答下列各题（每小题6分，本大题满分30分）1．212xxy -=arctan ，求dy .2．=y )sin(12+x ，求n （N n ∈）阶导数)()(x y n .3．设曲线参数方程为⎩⎨⎧-=-=321t t y t x ，求dxdy.4．求xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛+∞→2lim .5．求)sin (lim xx x 110-→.四．计算下列积分（每小题6分，本大题满分18分）1．⎜⎠⎛++dx x x x )(132222.2．⎜⎠⎛+901dx xx.3．⎰∞+-02dx e x x .五．（本题满分7分）.)(所围平面图形的面积求椭圆012222>>=+b a by a x六．（本题满分7分）设0>>a b ，()x f 在[]b a ,连续，在()b a ,可导。

2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 第Ⅰ卷参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(01,2)k k n kn n P k C P P k n -=-=，，， 一、选择题 1．函数y ）A ．{}|0x x ≥B ．{}|1x x ≥C ．{}{}|10x x ≥D ．{}|01x x ≤≤2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ ）3．在ABC △中，AB =c ，AC =b ．若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ）A ．2133+b cB ．5233-c bC ．2133-b cD ．1233+b cA ．B ．C ．D ．4．设a ∈R ，且2()a i i +为正实数，则a =（ ） A ．2 B ．1 C ．0D ．1-5．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ）A ．138B ．135C ．95D ．236．若函数(1)y f x =-的图像与函数1y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =（ ） A ．21x e-B ．2xeC ．21x e+D ．22x e+7．设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ） A ．2B ．12C ．12-D ．2-8．为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ） A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平移5π12个长度单位C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位9．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()f x f x x --<的解集为（ ）A ．(10)(1)-+∞，，B ．(1)(01)-∞-，，C ．(1)(1)-∞-+∞，，D ．(10)(01)-，，10．若直线1x y a b +=通过点(cos sin )M αα，，则（ ） A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C ．22111a b +≤ D ．22111a b +≥11．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ）A ．13B． C． D ．2312．如图，一环形花坛分成A B C D ，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ） A ．96B ．84C ．60D ．48第Ⅱ 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．13．若x y ，满足约束条件03003x y x y x ⎧+⎪-+⎨⎪⎩，，，≥≥≤≤则2z x y =-的最大值为 ．14．已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．15．在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．16．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为，M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3cos cos 5a B b A c-=． （Ⅰ）求tan cot A B 的值；（Ⅱ）求tan()A B -的最大值． 18．（本小题满分12分）四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，2BC =，CD =AB AC =．（Ⅰ）证明：AD CE ⊥；（Ⅱ）设CE 与平面ABE 所成的角为45，求二面角C AD E --的大小．19．（本小题满分12分）已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数()f x 在区间2133⎛⎫--⎪⎝⎭，内是减函数，求a 的取值范围．20．（本小题满分12分）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率； （Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望．C DE AB21．（本小题满分12分）双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、、成等差数列，且BF 与FA 同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 22．（本小题满分12分）设函数()ln f x x x x =-．数列{}n a 满足101a <<，1()n n a f a +=． （Ⅰ）证明：函数()f x 在区间(01)，是增函数； （Ⅱ）证明：11n n a a +<<；（Ⅲ）设1(1)b a ∈，，整数11ln a bk a b -≥．证明：1k a b +>．答案与解析：1.C解析： 由(1)x x x -≥≥0,0得0x x =≥1,或； 2.A解析：根据汽车加速行驶212s at =，匀速行驶s vt =，减速行驶212s at =-结合函数图象可知. 3. A解析：2(),322AD AB AC AD AD AB AC -=-=+=c +b ,1233AD =c +b4. D解析：222()(21)2(1)0,1a i i a ai i a a i a +=+-=-+->=- 5.C解析：243511014,104,3,10454013595a a a a a d S a d +=+==-==+=-+=由得6. B解析：2(1)2(1)21,(1),()y x xy x e f x e f x e --=⇒=-==7. D解析：3212211,,11(1)2x x y y y x x x =+''==+=-=----,2,2a a -==-8.A解析：π55cos 2sin(2)sin 2()3612y x x x ππ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，只需将函数sin 2y x =的图像向左平移5π12个单位得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像. 9.D解析：由奇函数()f x 可知()()2()0f x f x f x x x --=<，而(1)0f =，则(1)(1)0f f -=-=，当0x >时，()0(1)f x f <=；当0x <时，()0(1)f x f >=-，又()f x 在(0)+∞，上为增函数，则奇函数()f x 在(,0)-∞上为增函数，01,10x x <<-<<或. 10.D解析：由题意知直线1x ya b +=与圆221x y +=22111a b+1,≥.另解：设向量11(cos ,sin ),(,)a b ααm =n =，由题意知cos sin 1a b αα+=由⋅≤m n m n可得cos sin 1a b αα=+11.C解析：由题意知三棱锥1A ABC -为正四面体，设棱长为a，则1AB =，棱柱的高13AO a ==（即点1B 到底面ABC 的距离），故1AB 与底面ABC所成角的正弦值为11AO AB =. 另解：设1,,AB AC AA 为空间向量的一组基底，1,,AB AC AA 的两两间的夹角为060长度均为a ，平面ABC 的法向量为111133OA AA AB AC=--,11AB AB AA =+ 2111126,,333OA AB a OA AB ⋅===则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为111123OA AB AO AB ⋅=.12.B解析：分三类：种两种花有24A 种种法；种三种花有342A 种种法；种四种花有44A 种种法.共有234444284A A A ++=. 另解：按A B C D ---顺序种花，可分A C 、同色与不同色有43(1322)84⨯⨯⨯+⨯= 13.答案：9解析：如图，作出可行域，作出直线0:20l x y -=，将0l 平移至过点A 处时，函数2z x y =-有最大值9. 14. 答案：2解析：由抛物线21y ax =-的焦点坐标为1(0,1)4a -为坐标原点得，14a =，则2114y x =-与坐标轴的交点为(0,1),(2,0),(2,0)--，则以这三点围成的三角形的面积为14122⨯⨯= 15.答案：38解析：设1AB BC ==，7cos 18B =-则222252cos 9AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅=53AC =，582321,21,3328c a c e a =+====.16.答案：16解析：设2AB =，作CO ABDE ⊥面，OH AB ⊥，则CH AB ⊥，CHO ∠为二面角C AB D --cos 1CH OH CH CHO =⋅∠=，结合等边三角形ABC与正方形ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥，则AN EM CH ===11(),22AN AC AB EM AC AE =+=-,11()()22AN EM AB AC AC AE ⋅=+⋅-=12 故EM AN ，所成角的余弦值16AN EMAN EM⋅=另解：以O 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系， 则点(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),A B E C ----,1111(,,(,,222222M N ---,则3121321(,,),(,,),,322222AN EM AN EM AN EM ==-⋅===故EM AN ，所成角的余弦值16AN EMAN EM ⋅=.17.解析：（Ⅰ）在ABC △中，由正弦定理及3cos cos 5a B b A c-= 可得3333sin cos sin cos sin sin()sin cos cos sin 5555A B B A C A B A B A B-==+=+即sin cos 4cos sin A B A B =，则tan cot 4A B =； （Ⅱ）由tan cot 4A B =得tan 4tan 0A B =>2tan tan 3tan 3tan()1tan tan 14tan cot 4tan A B B A B A B B B B --===+++≤34当且仅当14tan cot ,tan ,tan 22B B B A ===时，等号成立，故当1tan 2,tan 2A B ==时，tan()A B -的最大值为34.18．解：（1）取BC 中点F ，连接DF 交CE 于点O ，AB AC =，∴AF BC ⊥，又面ABC ⊥面BCDE ，∴AF ⊥面BCDE ，∴AF CE ⊥．tan tan 2CED FDC ∠=∠=，∴90OED ODE ∠+∠=，90DOE ∴∠=，即CE DF ⊥，CE ∴⊥面ADF ，CE AD ∴⊥．（2）在面ACD 内过C 点作AD 的垂线，垂足为G ．CG AD ⊥，CE AD ⊥，AD ∴⊥面CEG ，EG AD ∴⊥，则CGE ∠即为所求二面角的平面角．23AC CD CG AD==，DG =，EG ==，CE =222cos 2CG GE CE CGE CG GE +-∠==，πarccos CGE ∴∠=-⎝⎭，即二面角C AD E --的大小πarccos -⎝⎭．19. 解：（1）32()1f x x ax x =+++求导：2()321f x x ax '=++ 当23a≤时，0∆≤，()0f x '≥，()f x 在R 上递增当23a >，()0f x '=求得两根为x =即()f x在3a ⎛--∞ ⎪⎝⎭，递增，33a a ⎛--+ ⎪⎝⎭，递减，3a ⎛⎫-++∞⎪ ⎪⎝⎭递增 （2）2313--，且23a >解得：74a ≥20．解：（Ⅰ）对于甲：对于乙：0.20.40.20.80.210.210.64⨯+⨯+⨯+⨯=．（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，ξ的期望为20.430.440.2 2.8E ξ=⨯+⨯+⨯=． 21. 解：（Ⅰ）设OA m d =-，AB m =，OB m d =+ 由勾股定理可得：222()()m d m m d -+=+得：14d m =，tan b AOF a ∠=，4tan tan 23AB AOB AOF OA ∠=∠==由倍角公式∴22431ba b a =⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得12b a =,则离心率e =． （Ⅱ）过F 直线方程为()a y x c b =--,与双曲线方程22221x y a b -=联立将2a b =，c =代入，化简有22152104x x b b -+=124x =-=将数值代入，有4=解得3b = 故所求得双曲线方程为：221369x y -=．22. 设函数()ln f x x x x =-．数列{}n a 满足101a <<，1()n n a f a +=． （Ⅰ）证明：函数()f x 在区间(01)，是增函数； （Ⅱ）证明：11n n a a +<<；（Ⅲ）设1(1)b a ∈，，整数11ln a bk a b -≥．证明：1k a b +>． 22.解析：（Ⅰ）证明：()ln f x x x x =-,()ln f x x '=-,当(01)x ∈，时，()ln 0f x x '=-> 故函数()f x 在区间(01)，是增函数； （Ⅱ）证明：（数学归纳法证明）（ⅰ）当1n =时，101a <<，11ln 0a a < 211111()ln a f a a a a a ==->由函数()f x 在区间(01)，是增函数，且函数()f x 在1x =处连续，则()f x 在区间(01]，是增函数，21111()ln 1a f a a a a ==-<，即121a a <<成立； （ⅱ）假设当(*)x k k N =∈时，11k k a a +<<成立，即1101k k a a a +<<<≤那么当1n k =+时，由()f x 在区间(01]，是增函数，1101k k a a a +<<<≤得 1()()(1)k k f a f a f +<<.而1()n n a f a +=，则121(),()k k k k a f a a f a +++==， 121k k a a ++<<，也就是说当1n k =+时，11n n a a +<<也成立； 根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数n ，11n n a a +<<恒成立.（Ⅲ）证明：由()ln f x x x x =-．1()n n a f a +=可得 k k k k a a b a b a ln 1--=-+11ln k i i i a b a a ==--∑ 若存在某i k ≤满足i a b ≤，则由⑵知：1k i a b a b +-<-≥0 若对任意i k ≤都有b a i >，则k k k k a a b a b a ln 1--=-+ 11ln k i i i a b a a ==--∑11ln k i i a b a b ==--∑11()ln k i i a b a b==--∑b ka b a ln 11--> b ka b a ln 11--≥)(11b a b a --->0=，即1k a b +>成立.。

考分：630分方案一：您的成绩高于2011年新疆本科一批（理科）录取控制分数线157分，高于2011年新疆本科二批（理科）录取控制分数线223分。

系统根据高校往年录取分数线及各省最低录取控制分数线，结合您的成绩为您推荐如下高校：系统为您推荐的本科一批次院校序号院校名称所在地类别教育部直属985工程211工程1 浙江大学浙江公办√√√2 复旦大学上海公办√√√3 上海交通大学上海公办√√√4 北京大学北京公办√√√方案二：参考年份：2011年考生来源：新疆考生科类：理工高考分数：630注：录取线差 = 高校平均分 - 省市分数线以下高校的录取平均分所在区间为630±10分高校名称所在地层次录取批次高校平均分省市分数线录取线差走势图中国人民大学北京本科 2 639 473(第一批) 166 查看北京航空航天大学北京本科 2 627 473(第一批) 154 查看对外经济贸易大学北京本科 2 623 473(第一批) 150 查看南开大学天津本科 2 633 473(第一批) 160 查看同济大学上海本科 2 631 473(第一批) 158 查看上海财经大学上海本科 2 638 473(第一批) 165 查看考分625分：方案一：您的成绩高于2011年新疆本科一批（理科）录取控制分数线152分，高于2011年新疆本科二批（理科）录取控制分数线218分。

系统根据高校往年录取分数线及各省最低录取控制分数线，结合您的成绩为您推荐如下高校：系统为您推荐的本科一批次院校序号院校名称所在地类别教育部直属985工程211工程1 中国科学技术大学安徽公办×√√2 南京大学江苏公办√√√3 浙江大学浙江公办√√√4 复旦大学上海公办√√√5 上海交通大学上海公办√√√方案二：考分620分：您的成绩高于2011年新疆本科一批（理科）录取控制分数线147分，高于2011年新疆本科二批（理科）录取控制分数线213分。

2008年高考数学全国一卷试题和答案2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（全国Ⅰ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页，第II 卷3至9页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷考生注意：1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答．．．．．．．无效．．． 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R表示球的半径 ()()()P A B P A P B =g g 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R =n次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(01,2)k kn k n n P k C P P k n -=-=L ，，，一、选择题 1．函数(1)y x x x- ）A ．{}|0x x ≥B ．{}|1x x ≥C ．{}{}|10x x U ≥D ．{}|01x x ≤≤2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t 的函数，其图像可能是（ ）3．在ABC △中，AB =u u u r c ，AC =u u u r b ．若点D 满足2BD DC =u u u r u u u r，则AD =u u u r （ ）s OA s t Os t Os OB C DA ．2133+b cB ．5233-c bC ．2133-b c D ．1233+b c 4．设a ∈R ，且2()a i i +为正实数，则a =（ ）A ．2B ．1C ．0D ．1- 5．已知等差数列{}na 满足244aa +=，3510aa +=，则它的前10项的和10S =（ ）A ．138B ．135C ．95D ．23 6．若函数(1)y f x =-的图像与函数1y x =的图像关于直线y x =对称，则()f x =（ ） A ．21x e - B ．2xe C ．21x e + D ．22x e +7．设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ）A ．2B ．12C ．12- D ．2- 8．为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x=的图像（ ）A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位9．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x --<的解集为（ ） A ．(10)(1)-+∞U ，， B ．(1)(01)-∞-U ，， C ．(1)(1)-∞-+∞U ，， D ．(10)(01)-U ，，10．若直线1x y a b+=通过点(cos sin )M αα，，则（ ） A ．221ab +≤ B ．221ab +≥ C ．22111a b +≤D ．22111a b +≥11．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ） A ．13B 2C 3D ．2312．如图，一环形花坛分成A B C D ，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）A ．96B ．84C ．60D ．48DB CA2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．第Ⅱ卷共7页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试．．题卷上作答无效．．．．．．．．3．本卷共10小题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）13．若x y，满足约束条件3003x yx yx⎧+⎪-+⎨⎪⎩，，，≥≥≤≤则2z x y=-的最大值为 ． 14．已知抛物线21y ax=-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．15．在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e =．16．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为3，M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）（注意：在试题卷上作答无．．．．．．．．效．） 设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3cos cos 5a Bb A c-=．（Ⅰ）求tan cot A B 的值； （Ⅱ）求tan()A B -的最大值．（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，2BC =，2CD =AB AC =． （Ⅰ）证明：AD CE ⊥；（Ⅱ）设CE 与平面ABE 所成的角为45o，求二面角C AD E--的大小．19．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知函数32()1f x xax x =+++，a ∈R ．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数()f x 在区间2133⎛⎫--⎪⎝⎭，内是减函数，求a 的取值范围．CDE A B（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止． 方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验． （Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望．21．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB u u u r u u u r u u u r 、、成等差数列，且BFu u u r与FAu u u r同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．22．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 设函数()ln f x x x x =-．数列{}na 满足101a <<，1()n n af a +=．（Ⅰ）证明：函数()f x 在区间(01)，是增函数； （Ⅱ）证明：11nn aa +<<；（Ⅲ）设1(1)b a ∈，，整数11ln a bk a b-≥．证明：1k a b+>．2008年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案1.C.2.A．3.A.4.D.5.C.6.B.7.D.8.A.9.D ．10.D ．11.B12.B.13.答案：9．14. 答案：2.15.答案：38.16.答案：16. 三、17.解：（Ⅰ）由正弦定理得 ,sin sin ,sin sin CB c bC A c a == c A CBB C A A b B a )cos sin sin cos sin sin (cos cos ⋅-⋅=-,1cot tan )1cot (tan sin cos cos sin sin cos cos sin )sin(cos sin cos sin +-=⋅+-=⋅+-=B A c B A c B A B A B A B A cB A AB B A依题设得：.4cot tan .531cot tan )1cot (tan ==+-B A c B A c B A 解得（Ⅱ）由（Ⅰ）得tanA=4tanB,故A 、B 都是锐角，于是tanB>0.,43tan 41tan 3tan tan 1tan tan )tan(2≤+=+-=-B B BA B A B A且当tanB=21时，上式取等号。

绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学本试卷分第I 卷（填空题）和第II 卷（解答题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的 准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4.保持卡面清洁，不折叠，不破损．5.作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 参考公式: 样本数据1x ,2x ,,n x 的标准差s =其中x 为样本平均数柱体体积公式V Sh =其中S 为底面积，h 为高一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分． 1.()cos 6f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为5π，其中0ω>，则ω= ▲ ．2．一个骰子连续投2 次，点数和为4 的概率 ▲ ． 3.11ii+-表示为a bi +(),a b R ∈，则a b +== ▲ ．4.A={()}2137x x x -<-，则A Z 的元素的个数 ▲ ．锥体体积公式13V Sh =其中S 为底面积，h 为高球的表面积、体积公式24S R π=，343V R π= 其中R 为球的半径5.a ，b 的夹角为120︒，1a =，3b = 则5a b -= ▲ ．6.在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域， E 是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投的点落入E 中的概率是 ▲ ．7.某地区为了解70-80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h ），随即选择了50为老人进行调查，下表是这50为老人日睡眠时间的频率分布表。

绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学本试卷分第I 卷（填空题）和第II 卷（解答题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的 准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4.保持卡面清洁，不折叠，不破损．5.作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 参考公式: 样本数据1x ,2x ,,n x 的标准差s =其中x 为样本平均数柱体体积公式V Sh =其中S 为底面积，h 为高一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分． 1.()cos 6f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为5π，其中0ω>，则ω= ▲ ．2．一个骰子连续投2 次，点数和为4 的概率 ▲ ． 3.11ii+-表示为a bi +(),a b R ∈，则a b +== ▲ ．4.A={()}2137x x x -<-，则A Z 的元素的个数 ▲ ．锥体体积公式13V Sh =其中S 为底面积，h 为高球的表面积、体积公式24S R π=，343V R π= 其中R 为球的半径5.a ，b 的夹角为120︒，1a =，3b = 则5a b -= ▲ ．6.在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域， E 是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投的点落入E 中的概率是 ▲ ．7.某地区为了解70-80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h ），随即选择了50为老人进行调查，下表是这50为老人日睡眠时间的频率分布表。

一、填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．不等式11x -＜的解集是 ．2．若集合{}|2A x x =≤，{}|B x x a =≥满足{2}A B = ，则实数a = ． 3．若复数z 满足(2)z i z =- (i 是虚数单位)，则z = ． 4．若函数f (x )的反函数为12()log f x x -=，则()f x = ．5．若向量a ，b 满足12a b == ，且a 与b 的夹角为3π，则a b += ． 6．若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点，则实数a = ． 7．若z 是实系数方程220x x p ++=的一个虚根，且2z =，则p = ．8．在平面直角坐标系中，从六个点：(00)(20)(11)(02)(22)A B C D E ，，，，，，，，，中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）．9．若函数()()(2)f x x a bx a =++（常数a b ∈R ，）是偶函数，且它的值域为(]4-∞，，则该函数的解析式()f x = ．10．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5．若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是 ．11．在平面直角坐标系中，点A B C ，，的坐标分别为(01)(42)(26)，，，，，．如果()P x y ，是ABC △围成的区域（含边界）上的点，那么当w xy =取到最大值时，点P 的坐标是 ．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．12．设p 是椭圆2212516x y +=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于（ ） A ．4 B ．5 C ．8 D ．1013．给定空间中的直线l 及平面α．条件“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ）Ａ．充分非必要条件 Ｂ．必要非充分条件C ．充要条件 Ｄ．既非充分又非必要条件 14．若数列{}n a 是首项为l ，公比为32a -的无穷等比数列，且{}n a 各项的和为a ，则a 的值是（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．12 Ｄ．5415．如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成的区域（含边界），A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点．若点()P x y ，、点()P x y '''，满足x x '≤且y y '≥，则称P 优于P '．如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧（ ） Ａ． ABB ． BCC ． CDD ． DA 三、解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．16．(本题满分12分)如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E 是BC 1的中点．求直线DE 与平面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．17．（本题满分13分）如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC ．小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，小区里有两条笔直的小路AD DC ，，且拐弯处的转角为120．已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）．18．（本题满分15分）本题共有2个小题，第1个题满分5分，第2小题满分10分． 已知函数f (x )=sin2x ，g (x )=cos π26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，直线()x t t =∈R 与函数()()f x g x ，的图像分别交于M 、N 两点．（1）当π4t =时，求｜MN ｜的值； A BCD A 1B 1C 1D 1 EA BCD OxyΩ120° CD OA（2）求｜MN ｜在π02t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时的最大值．19．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分． 已知函数||1()22xx f x =-． （1）若()2f x =，求x 的值；（2）若2(2)()0t f t mf t +≥对于[12]t ∈，恒成立，求实数m 的取值范围．20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．已知双曲线2212x C y -=：．（1）求双曲线C 的渐近线方程；（2）已知点M 的坐标为(01)，．设p 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点． 记MP MQ λ=．求λ的取值范围；（3）已知点D E M ，，的坐标分别为(21)(21)(01)---，，，，，，P 为双曲线C 上在第一象限内的点．记l 为经过原点与点P 的直线，s 为DEM △截直线l 所得线段的长．试将s 表示为直线l 的斜率k 的函数． 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分４分，第2小题满分６分，第3小题满分8分． 已知数列{}n a ：11a =，22a =，3a r =，32n n a a +=+（n 是正整数），与数列 {}n b ：11b =，20b =，31b =-，40b =，4n n b b +=（n 是正整数）． 记112233n n n T b a b a b a b a =++++ ．（1）若1231264a a a a ++++= ，求r 的值；（2）求证：当n 是正整数时，124n T n =-；（3）已知0r >，且存在正整数m ，使得在121m T +，122m T +， ，1212m T +中有4项为100．求r 的值，并指出哪4项为100．2008年全国普通高等学校招生统一考试 上海数学试卷（文史类）答案要点及评分标准说明1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分． 一、（第1题至第11题） 1．(02)， 2．2 3．1i + 4．2()x x ∈R5．76．1- 7．48．459．224x -+10．10.510.5a b ==，11．552⎛⎫ ⎪⎝⎭，二、（第12题至第15题） 12．D 13．C 14．B 15．D 三、（第16题至第21题）16．解：过E 作EF BC ⊥，交BC 于F ，连接DF ． EF ⊥ 平面ABCD ，EDF ∴∠是直线DE 与平面ABCD 所成的角． ································································· 4分 由题意，得1112EF CC ==． 112CF CB == ，5DF ∴=． ························· 8分EF DF ⊥ ，5tan 2EF EDF DF ∴∠==．························ 10分 故直线DE 与平面ABCD 所成角的大小是5arctan5．··················································· 12分 17．解法一：设该扇形的半径为r 米．由题意，得ABCD A 1B 1C 1D 1EF500CD =（米），300DA =（米），60CDO ∠= ． ······················································· 4分在CDO △中，2222cos60CD OD CD OD OC +-= ， ················································ 6分 即2221500(300)2500(300)2r r r +--⨯⨯-⨯=， ··························································· 9分 解得490044511r =≈（米）． 答：该扇形的半径OA 的长约为445米． ··········································································· 13分 解法二：连接AC ，作OH AC ⊥，交AC 于H ． ···························································· 2分由题意，得500CD =（米），300AD =（米），120CDA ∠= ． ·································· 4分在ACD △中，2222cos120AC CD AD CD AD =+-222150030025003007002=++⨯⨯⨯=， 700AC ∴=（米）， ·· ················································· 6分22211cos 214AC AD CD CAD AC AD +-∠== ． ·········································································· 9分在直角HAO △中，350AH =（米），11cos 14HAO ∠=， 4900445cos 11AH OA HAO ∴==≈∠（米）．答：该扇形的半径OA 的长约为445米． ··········································································· 13分18．解：（1）πππsin 2cos 2446MN ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭······································································· 2分 2π31cos32=-=． ··············································································································· 5分 （2）πsin 2cos 26MN t t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭33sin 2cos 222t t =- ·········································································································· 8分 π3sin 26t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． ··········································································································· 11分 π02t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，πππ2π666t ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，， ··········································································· 13分 CDOAHMN ∴的最大值为3． ···································································································· 15分 19．解：（1）当0x <时，()0f x =；当0x ≥时，1()22xx f x =-． ··························· 2分 由条件可知1222xx -=，即222210x x --= ， 解得212x=±． ················································································································· 6分 20x > ， 2log (12)x ∴=+ ··························································································· 8分 （2）当[12]t ∈，时，2211222022t t t ttm ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥， ················································ 10分 即()()242121ttm ---≥．2210t -> ，()221t m ∴-+≥． ··················································································· 13分 [12]t ∈ ，，()212[175]t ∴-+∈--，， 故m 的取值范围是[)5-+∞，． ··························································································· 16分 20．解：（1）所求渐近线方程为202y x -=，202y x +=． ······································ 3分 （2）设P 的坐标为00()x y ，，则Q 的坐标为00()x y --，． ·············································· 4分 0000(1)(1)MP MQ x y x y λ==----，，2220003122x y x =--+=-+． ······························································································· 7分02x ≥，λ∴的取值范围是(]1-∞-，． ······························································································ 9分 （3）若P 为双曲线C 上第一象限内的点， 则直线l 的斜率202k ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，． ···························································································· 11分 由计算可得，当102k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，时，222()11s k k k=+-； 当1222k ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，时，2221()1k s k k k k +=++． ··································································· 15分s ∴表示为直线l 的斜率k 的函数是2222211012()2112122k k k s k k k k k k ⎧+<⎪-⎪=⎨+⎪+<<⎪+⎩，≤，，． ·········· 16分 21．解：（1）12312a a a a ++++1234(2)56(4)78(6)r r r r =++++++++++++++484r =+． ···························································································································· 2分48464r += ，4r ∴=． ·································································································· 4分证明：（2）用数学归纳法证明：当m +∈Z 时，124n T n =-．①当1n =时，1213579114T a a a a a a =-+-+-=-，等式成立． ··································· 6分 ②假设n k =时等式成立，即124k T k =-， 那么当1n k =+时，12(1)121211231251271291211k k k k k k k k T T a a a a a a +++++++=+-+-+- ············································ 8分 4(81)(8)(84)(85)(84)(88)k k k r k k k r k =-++-+++-++++-+ 444(1)k k =--=-+，等式也成立．根据①和②可以断定：当n +∈Z 时，124n T n =-． ··························································· 10分 解：（3）124(1)m T m m =-≥．当121n m =+，122m +时，41n T m =+； 当123n m =+，124m +时，41n T m r =-+-； 当125n m =+，126m +时，45n T m r =+-； 当127n m =+，128m +时，4n T m r =--； 当129n m =+，1210m +时，44n T m =+；当1211n m =+，1212m +时，44n T m =--． ······························································ 13分41m + 是奇数，41m r -+-，4m r --，44m --均为负数，∴这些项均不可能取到100． ······························································································ 15分 4544100m r m ∴+-=+=，解得24m =，1r =，此时293T ，294T ，298T 为100． ···························································································· 18分。