第5章 两自由度系统的振动
应用单自由度系统的振动理论，可以解决机械振动中的一些问题。但是，工程中有很多实际问题必须简化成两个或两个以上自由度，即多自由度的系统，才能描述其机械振动的主要特征。多自由度系统的振动特性与单自由度系统的振动特性有较大的差别，例如，有多个固有频率、主振型、
主振动和多个共振频率等。本章主要介绍研究两自由度系统机械振动的基本方法。
如图5-1所示。平板代表车身，它的位置可以由质心C 偏离其平衡位置的铅直位移z 及平板的转角θ 来确定。这样，车辆在铅直面内的振动问题就被简化为一个两自由度的系统。
5.1 双质量弹簧系统的自由振动
5.1.1 运动微分方程
图5-2(a)表示两自由度的弹簧质量系统。略去摩擦力及其它阻尼，以它们各自的静平衡位置为坐标x 1、x 2的原点，物体离开其平衡位置的位移用x 1、
x 2表示。两物体在水平方向的受力图如图5-2(b)所
示，由牛顿第二定律得 ⎭
⎬
⎫
=+-=-++00)(2212222212111x k x k x m x k x k k x m &&&&
(5-1)
这就是两自由度系统的自由振动微分方程。习惯上写成下列形式
⎭⎬⎫
=+-=-+00212211dx cx x bx ax x &&&& (5-2)
显然此时
2
2
1
2
1
2
1,,m k d c m k b m k k a =
==
+=
但对不同的系统， 式(5-2)中各系数的意义并不相同。
图5-2两自由度的弹簧质量系统
5.1.2 固有频率和主振型
根据微分方程的理论，设方程(5-2)的解，即两自由度无阻尼自由振动系统的解为
⎪⎭
⎪
⎬⎫+=+=)sin()sin(2211ααpt A x pt A x
(5-3)
或写成以下的矩阵形式
)sin(2121α+⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧pt A A x x (5-4)
将式(5-4)代入式(5-2)，可得代数齐次方程组
⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡----002122
A A p d c b p a (5-5)
保证式(5-5)具有非零解的充分必要条件是式(5-5)的系数行列式等于零，即 0)(2
2
2
=----=
∆p
d c
b
p a p
展开后为
0)(24=-++-bc ad p d a p
(5-6)
式(5-6)唯一确定了频率p 满足的条件，通常称为频率分程或特征方程。它是2p 的二次代数方程，它的两个特征根为
)(222
22
,1bc ad d a d a p --⎪⎭
⎫
⎝⎛++=μ
bc d a d a +⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+=2
22μ
(5-7)
由于式(5-7)确定的2p 的两个正实根仅取决于系统本身的物理性质，与运动的初始条件无关，因此p 称为系统的固有频率。较小的一个称为第一阶固有频率，较大的一个称为第二阶固有频率。
5.2.2 主振型
将固有频率p 1和p 2分别代入式(5-5)的任一式，可得到对应于它们的振幅比
⎪⎪⎭
⎪
⎪
⎬⎫-=-==-=-==222
2)2(1)2(222121)1(1)1(21p d c b p a A A p d c b p a A A νν (5-8)
以上二式说明，虽然振幅的大小与振动的初始条件有关，但当系统以任一阶固有频率作同步谐振动时，振幅比却和固有频率一样只决定于系统本身的物理性质。同时联系到式(5-3)不难看出两个质量块任意瞬时位移的比值
1
2
x x 也同样是确定的，并且等于振幅比，即：
2)2(1
)2(2
1)
1(1)
1(2
,νν==x x x x (5-9) 其它各点的位移则都可以由1x 和2x 所决定。这样在振动过程中，系统各点位移的相对比值都可由振幅比确定。也就是说，振幅比决定了整个系统的振动形态，因之称为主振型。与1p 对应的振幅比1ν称为第一阶主振型，与2p 对应的振幅比2ν称为第二阶主振型。
将式(5-7)中的p 1、p 2之值带入式(5-8)，得
⎪⎪⎪⎭
⎪⎪⎪⎬⎫
<⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫
⎝⎛-+
-=>⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣
⎡+⎪⎭⎫
⎝⎛-+
-=0
2210
2212221bc d a d a b bc d a d a b νν (5-10)
这表明，系统以频率1p 振动时，质量m 1与m 2按同一方向运动；以频率2p 振动时，总是按相反的方向运动。
系统以某一阶固有频率按其相应的主振型运动，称为系统的主振动。第一阶主振动为
)
sin()sin()sin(11)1(1
111)1(2
)1(2
11)1(1)
1(1ϕν
ϕϕ+=+=
+=t p A t p A x t p A x (5-11)
第二阶主振动为
)
sin()sin()sin(22)2(1
222)2(2
)2(2
22)2(1)2(1ϕν
ϕϕ+=+=
+=t p A t p A x t p A x (5-12)
可见系统作主振动时，各点同时经过平衡位置和最大偏离位置，以确定的频率和振型作简谐振动。但必须指出，并非任何情况下系统都可能作主振动。
根据微分方程理论，两自由度系统的自由振动微分方程(5-1)的通解，是它的两个主振动的线性组合，即
⎪⎭
⎪⎬⎫+++=+
=
+++=+=)sin()sin()()
sin()sin()(22)
2(1211)1(11)2(2
)
1(2
222)2(111)1(1)
2(1)1(11ανανααt p A t p A x x t x t p A t p A x x t x (5-13)
