高等数学习题课两个重要公式

不定积分是一组导数相同的原函数，定积分 则是一个数值。
求一个函数的原函数，叫做求它的不定积分；
求一个函数相应于闭区间的一个带标志点划 分的黎曼和关于这个划分的参数趋于零时的 极限，叫做这个函数在这个闭区间上的定积 分。
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下面主要讲下不定积分的求解；求定积 分，可先求不定积分，再利用牛顿-莱 布尼兹公式，可得结果。
1
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3、分部积分法
d d
(1) Pm (x)为m次多项式， eax ,sin axቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ cos ax (2) ln x, arctan x, arcsin x， Pm (x) (3) eax， cos x,sin x (3)会出现循环，注意， 选取的函数不能改变。
I1
认真观察被积函数，找特点，应用 恰当的方法，再求解
•1、直接积分法。
所谓直接积分法，就是被积函数比较简单的情况下 ，可直接利用基本积分公式（3.1-P131）或积分基 本性质（3.2-P133）（这两个一定要记牢）求解或 者稍微拆分变型一下再求积分。
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习题3.1——1 求不定积分
3
1 x dx
0
2
2 x2d cos x
0
2
2
x
2
cos
x 2
0
2
0
x cos
x 2
dx
x
80 xd sin 2
8
x
sin
x 2
0
0
sin
x 2
dx
8
16 cos x 2
0
8 16
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4
1
0
x
arctan
xdx
1 1arctan xdx2

f
(y, dy) dx
令 p(y) dy dx
p dp f (y, p) dy
2. 二阶线性微分方程的解法 齐次
• 常系数情形 非齐次
• 欧拉方程
代数法
x2 y pxy qy f (x)
令 x et , D d dt
D(D 1) pD q y f (et )
练习题: P353 题 2 (2);
,
并利用
y
x0
0,
定常数
C2
.
思考
若问题改为求解
y
1 2
y3
0
y x0 0 , y
x0
1
则求解过程中得
p2
1 1 x
,
问开方时正负号如何确定?
例1. 求微分方程
y y x,
x
π 2
满足条件
y 4 y 0 ,
x
π 2
y
x0
0,
y
x0
0,
在x
π 2
处连续且可微的解.
提示:
当x
π 2
时,
解满足
y
y
m k
v
m
(
m
g k2
B
)
ln
m
g B k m g B
v
作业
P348 4 , 6 ; P353 3 (8) ; 4 (2) ,(4) ；
7 ; *11(1)
第十一节
备用题 1. 设二阶非齐次方程 y (x)y f (x) 有特 解 y 1 , 而对应齐次方程有解 y x2 , 求 (x), f (x) 及
(r)
2 r
f
(r)
0
y2 2u

（３） xd x ＝ d（ x２ ） ；
（４） xd x ＝ d（５ x２ ） ；
（５） xd x ＝ d（１ － x２ ） ；
（６） x３ d x ＝ d（３ x４ － ２） ；
（７） e２ x d x ＝ d（e２ x ） ；
（８）
e－
x ２
dx
＝
d（１
＋
e－
x ２
）
；
（９）
１
x －
x都是
１的 x － x２
原函数 畅
证 ［arcsin（２ x － １）］′ ＝
１
·２＝
１ － （２ x － １）２
１， x － x２
［arccos（１ － ２ x）］′ ＝ －
１
· （ － ２） ＝
１ － （１ － ２ x）２
１， x － x２
２arctan
x １－ x
′
＝
２
１
＋
１ １
x －
dx ＝３
dx １ ＋ x２
－２
dx １ － x２
＝ ３arctan x － ２arcsin x ＋ C ．
∫ ∫ ∫ （１５）
ex
１ － e－ x x
dx＝
exd x －
x－
１ ２
d
x
＝
ex
１
－ ２x２
＋
C．
∫ ∫ （１６） ３x ex d x ＝
（３e） x d x
＝
（３e） x ln（３e）
＋
t＝ ０
（２）
求使
d d
s t
＝
０的
t值
；
（３） 求使 s ＝ ５０ 的 k 值 畅

当0 x 2时, f ( x) 3x2 4x;
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当x 2时,
f ( 2)

lim
x2
f ( x) f (2) x2
lim x2 ( x 2) 4. x2 x 2
f ( 2)

lim
f (0) lim f (0 x) f (0)
x0
x
lim f (0 x) f (0)
x0
x
f (0).
2 f (0) 0, 即 f (0) 0.
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例13. 设
x2, f (x)
d(a x ) a x ln adx
d(e x ) e xdx
d (loga
x)

1 dx x lna
d(arcsin x) 1 dx 1 x2
d
(arctan
x
)

1
1 x
2
dx
d(ln x) 1 dx x
d(arccos x) 1 dx 1 x2
d
(arc
cot
x)
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例9. 设 y xab abx axb , 求 y.
解 y [x(ab ) ] [a(bx ) ] [a(xb ) ]
ab xab 1 (abx ln a) (bx ln b) (axb ln a) (b xb1).
(1)n n! ( x 1)n1
,