2019年高考数学总复习：线性相关性

2019年高考数学总复习：线性相关性 1．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r如下表： 甲 乙 丙 丁 r －0.82 －0.78 －0.69 －0.85 则哪位同学的试验结果体现A，B两变量有更强的线性相关性( ) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 答案 D 2．(2018·湖北七市联考)广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费x和销售额y进行统计，得到统计数据如下表(单位：万元)： 广告费x 2 3 4 5 6

销售额y 29 41 50 59 71

由上表可得回归方程为y^＝10.2x＋a^，据此模型，预测广告费为10万元时销售额约为( ) A．101.2万元 B．108.8万元 C．111.2万元 D．118.2万元 答案 C

解析 根据统计数据表，可得x－＝15×(2＋3＋4＋5＋6)＝4，y－＝15×(29＋41＋50＋59＋71)＝50，而回归直线y^＝10.2x＋a^经过样本点的中心(4，50)，∴50＝10.2×4＋a^，解得a^＝9.2，∴回归方程为b^＝10.2x＋9.2，∴当x＝10时，y^＝10.2×10＋9.2＝111.2，故选C. 3．(2018·赣州一模)以下四个命题： ①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样； ②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；

③在回归直线方程y^＝0.2x＋12中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均增加0.2个单位； ④分类变量X与Y，对它们的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的把握程度越大． 其中真命题为( ) A．①④ B．②④ C．①③ D．②③ 答案 D 解析 ①为系统抽样；④分类变量X与Y，对它们的随机变量K2的观测值k来说，k越大，“X与Y有关系”的把握程度越大． 4．下面是一个2×2列联表 y1 y2 总计 x1 a 21 73 x2 22 25 47 合计 b 46 120 其中a，b处填的值分别为( ) A．94 72 B．52 50 C．52 74 D．74 52 答案 C 解析 由a＋21＝73，得a＝52，a＋22＝b，得b＝74.故选C. 5．(2018·湖南衡阳联考)甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两个变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m，如下表： 甲 乙 丙 丁 r 0.82 0.78 0.69 0.85 m 106 115 124 103 则哪位同学的试验结果体现A，B两变量有更强的线性相关性( ) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 答案 D 解析 r越大，m越小，线性相关性越强．故选D. 6．(2018·衡水中学调研)以下四个命题中，真命题是( ) A．对分类变量x与y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“x与y有关系”的把握程度越大 B．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于0 C．若数据x1，x2，x3，…，xn的方差为1，则2x1，2x2，2x3，…，2xn的方差为2 D．在回归分析中，可用相关指数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好 答案 D 解析 对于A，对分类变量x与y的随机变量K2的观测值k来说，k越大，判断“x与y有关系”的把握程度越大，故A错误；对于B，两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，故B错误；对于C，若数据x1，x2，x3，…，xn的方差为1，则2x1，2x2，2x3，…，2xn的方差为4，故C错误；对于D，根据离散变量的线性相关及相关指数的有关知识可知D正确． 7．2015年年度史诗大剧《芈月传》风靡大江南北，影响力不亚于以前的《甄嬛传》．某记者调查了大量《芈月传》的观众，发现年龄段与爱看的比例存在较好的线性相关关系，年龄在[10，14]，[15，19]，[20，24]，[25，29][30，34]的爱看比例分别为10%，18%，20%，30%，t%.现用这5个年龄段的中间值代表年龄段，如12代表[10，14]，17代表[15，19]，根据前四个数据求得爱看比例y关于x的线性回归方程为y＝(kx－4.68)%，由此可推测t的值为( ) A．33 B．35 C．37 D．39 答案 B

解析 依题意，x＝14×(12＋17＋22＋27)＝19.5，

y＝14×(10%＋18%＋20%＋30%)＝19.5%， 又∵回归直线必过点(x，y)，∴19.5%＝(k×19.5－4.68)%，解得k＝2 4181 950，∴当x＝32时，(2 4181 950×32－4.68)%＝35%，∴t≈35. 8．(2018·广西南宁月考)某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如下列联表： 偏爱蔬菜 偏爱肉类 合计 50岁以下 4 8 12 50岁以上 16 2 18

合计 20 10 30 则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为( )

附：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）. P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A.90% B．95% C．99% D．99.9% 答案 C

解析 由2×2列联表知，K2＝30×（4×2－16×8）212×18×20×10＝10.∵K2>6.635，K2<10.828，∴有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关． 9．2017世界特色魅力城市200强新鲜出炉，包括黄山市在内的28个中国城市入选，美丽的黄山风景和人文景观迎来众多宾客．现在很多人喜欢“自助游”，某调查机构为了了解“自助游”是否与性别有关，在黄山旅游节期间，随机抽取了100人，得如下所示的列联表： 赞成“自助游” 不赞成“自助游” 合计 男性 30 15 45

女性 45 10 55 合计 75 25 100

参照公式，得到的正确结论是( ) A．有99.5%以上的把握认为“赞成‘自助游’与性别无关” B．有99.5%以上的把握认为“赞成‘自助游’与性别有关” C．在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为“赞成‘自助游’与性别无关” D．在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为“赞成‘自助游’与性别有关”

参考公式：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），其中n＝a＋b＋c＋d. P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 答案 D

解析 将2×2列联表中的数据代入计算，得K2＝100×（30×10－45×15）245×55×75×25≈3.030，∵2.706<3.030<3.841，∴在犯错误的概率不超过0.1的前提下，可以认为“赞成‘自助游’与性别有关”． 10．某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，所得数据如下表： x 6 8 10 12 y 2 3 5 6 则y对x的线性回归直线方程为( )

A．y^＝2.3x－0.7 B．y^＝2.3x＋0.7 C．y^＝0.7x－2.3 D．y^＝0.7x＋2.3

(相关公式：b^＝∑ni＝1xiyi－nx·y∑ni＝1xi2－nx2，a^＝y－b^x) 答案 C 解析 ∵∑4i＝1xiyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，x＝6＋8＋10＋124＝9，y＝2＋3＋5＋64＝4. ∴b^＝158－4×9×436＋64＋100＋144－4×81＝0.7，a^＝4－0.7×9＝－2.3. 故线性回归直线方程为y^＝0.7x－2.3. 11．在一次考试中，5名学生的数学和物理成绩如下表：(已知学生的数学和物理成绩具有线性相关关系) 学生的编号i 1 2 3 4 5

数学成绩x 80 75 70 65 60 物理成绩y 70 66 68 64 62

现已知其线性回归方程为y^ ＝0.36x＋a^ ，则根据此线性回归方程估计数学得90分的同学的物理成绩为________(四舍五入到整数)． 答案 73

解析 x－＝60＋65＋70＋75＋805＝70，y－＝62＋64＋66＋68＋705＝66， 所以66＝0.36×70＋a^ ，解得a^ ＝40.8. 所以0.36×90＋40.8＝73.2≈73. 12．某工厂为了对一种新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据： 单价x(元) 4 5 6 7 8 9

销量y(件) 90 84 83 80 75 68

由表中数据，求得线性回归方程为y^＝－4x＋a^.若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为________．

答案 13 解析 由表中数据得x＝6.5，y＝80，由y＝－4x＋a^，得a^＝106，故线性回归方程为y^＝－4x＋106.将(4，90)，(5，84)，(6，83)，(7，80)，(8，75)，(9，68)分别代入回归方程，可知有6个基本事件，因84<－4×5＋106＝86，68<－4×9＋106＝70，故(5，84)和(9，68)在直

线的左下方，满足条件的只有2个，故所求概率为26＝13. 13．已知某学校的特长班有50名学生，其中有体育生20名，艺术生30名，在学校组织的一次体检中，该班所有学生进行了心率测试，心率全部介于50次/分到75次/分之间，现将数据分成五组，第一组[50，55)，第二组[55，60)，…，第五组[70，75]，按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示．因为学习专业的原因，体育生常年进行系统的身体锻炼，艺术生则很少进行系统的身体锻炼，若前两组的学生中体育生有8名．