数理方程大作业

北京交通大学硕士研究生 2010-2011学年第一学期

《数学物理方程》期末试题(A 卷)

(参考答案)

学院 __________ 专业 ___________ 学号 __________ 姓名 ____________

题号 -一- -二二 三 四 五 六 七 总分

分值 10 15 15 20 15 15

10 100

得分

阅卷人

1、 ( 10分)试证明：圆锥形枢轴的纵振动方程为：

玫［I h .丿&」 V h .丿&

其中E是圆锥体的杨氏模量， 「是质量密度，h是圆锥的高(如下图所示)

【提示：已知振动过程中，在 x处受力大小为ES ，S为x处截面面积。】

ex

【证明】在圆锥体中任取一小段，截面园的半径分别是 r1和r2，如图所示。于是，我们有

2、：：u(x dx,t) 2 u(x,t) — 2 u2(x,t) E( D) E( * ) ( A )dx 于 x x t

r1 = (h「x)tan :

r2 = (h _(x dx)) tan :

上式化简后可写成

2

2 ：：U(X,t) 2 :：u(x,t) 2, ；u (x,t)

E[(h -x) 卜亠 & -(h -'X) 〔x J - - (h -'X)dx 2

从而有

E ：：[(^x)2；：U(x,t)H-(^x)2：：u2(x,t)

.x :X :t

或成

2

::[(1「)2汽("]“2(1「)小叩)

.x h ：：x h ；：t

其中a^E，证明完毕。

2、 (20分)考虑横截面为矩形的散热片， 它的一边y=b处于较高温度U，其它三边y=0.

x = 0和x = a则处于冷却介质中，因而保持较低的温度 uo。试求该截面上的稳定温度

分布u(x,y)，即求解以下定解问题:

u|y卫二 %, u|y生二 U, 0 x a.

【提示：可以令u(x, y)二u0 v(x, y)，然后再用分离变量方法求解。】

200__～200__学年第___学期《数理方程》期末模拟试卷1

题号 一 二 三 四 五 六 总分

得分

一、 选择题(每题只有一个正确答案， 每小题4分，共28分）

1、34233(,,)vvvxyvgxyzxxyz 是( )偏微分方程

A、 一阶 B、二阶 C、 三阶 D、 四阶

2、2(,)ttxxuauxt (其中0a) 属于( )型偏微分方程

A、

抛物 B、双曲 C、 椭圆 D、 混合

3、在用分离变量法求解定解问题

200,0,0|0,|0|()txxxxxltuauxltuuux

时，得到的固有函数系为( )

A、,...2,1,sinnxln B、,...2,1,0,cosnxln

C、(21)cos,1,2,...2nxnl D、 (21)sin,1,2,...2nxnl

4、下列方程是非线性偏微分方程的是（ ）

A 22()()sinuuxxy抖+=抖

B (,)uufxyxy抖+=抖

C 22(,)(,)cosuuaxtbxtxxt抖+=抖 D 3433(,,)vvvgxyzxxyz

5、对Laplace变换的性质下列式子错误的是（ ）

A 22[sin](Re0)Ltppwww=>+

B []2[][]LfgLfLgp*=?

C 0[()]()(Re)pLfteFppttg--=>

D 0000[()]()(ReRe)ptLeftFppppg=->+

6、在弱相等意义下，对d 函数的说法错误的是（ ）

A ()()xxdd=-

B ()xxxd=

第一章 曲线论

§1 向量函数

1. 证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。

略

2. 求证常向量的微商等于零向量。

证：设，为常向量，因为

所以 。 证毕

3. 证明

证：

证毕

4. 利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。

证：设，为定义在区间上的向量函数，因为

在区间上可导当且仅当数量函数 ，和在区间上可导。所以，，根据数量函数的Lagrange中值定理，有

其中，，介于与之间。从而

上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中。如果在区间上处处有，则在区间上处处有，从而，于是。

证毕

5. 证明具有固定方向的充要条件是。

证：必要性：设具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，于是。

充分性：如果，可设，令，其中为某个数量函数，为单位向量，因为，于是

因为，故，从而

为常向量，于是，，即具有固定方向。 证毕

6. 证明平行于固定平面的充要条件是。

证：必要性：设平行于固定平面，则存在一个常向量，使得，对此式连续求导，依次可得 和 ，从而，，和共面，因此

。

充分性：设，即，其中，如果，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，任取一个与垂直的单位常向量，于是作以为法向量过原点的平面，则平行于。如果，则与不共线，又由 可知，，，和共面，于是 ，

其中，为数量函数，令，那么，这说明与共线，从而，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，作以为法向量，过原点的平面，则平行于。 证毕

§2曲线的概念

1. 求圆柱螺线在点的切线与法平面的方程。

解：，点对应于参数，于是当时，，

1 第一章． 波动方程

§1 方程的导出。定解条件

1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x点处的点在时刻t离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明),(txu满足方程

xuExtuxt

其中为杆的密度，E为杨氏模量。

证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x与xx。现在计算这段杆在时刻t的相对伸长。在时刻t这段杆两端的坐标分别为：

),();,(txxuxxtxux

其相对伸长等于 ),()],([)],([txxuxxtxuxtxxuxxx

令x，取极限得在点x的相对伸长为xu),(tx。由虎克定律，张力),(txT等于

),()(),(txuxEtxTx

其中)(xE是在点x的杨氏模量。

设杆的横截面面积为),(xS则作用在杆段),(xxx两端的力分别为

xuxSxE)()(xuxxSxxEtx)()();,().,(txx

于是得运动方程 ttuxxsx)()(xESutx),(xxxxxESuxx|)(|)(

利用微分中值定理，消去x，再令0x得

uxsx)()(xxESu()

若)(xs常量，则得

22)(tux=))((xuxEx

即得所证。

2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。

解：(1)杆的两端被固定在lxx,0两点则相应的边界条件为

.0),(,0),0(tlutu

(2)若lx为自由端，则杆在lx的张力xuxEtlT)(),(|lx等于零，因此相应的边界条件为 xu|lx=0