九年级上册数学《圆》单元测试卷[考试时间：90分钟满分：120分]一．选择题（共8小题）1．（2020•锦州一模）如图,在△A B C 中,A B ＝A C ,以A B 为直径作半圆O,交B C 于点D ,交A C 于点E,若∠C ＝72°,则∠D OE的度数是（）A ．30°B ．35°C ．36°D ．40°2．（2020•新北区一模）如图,A B 是半圆的直径,点D 是弧A C 的中点,∠A B C ＝50°,则∠B C D ＝（）A ．105°B ．110°C ．115°D ．120°3．（2020•西宁一模）如图,⊙O的直径A B 垂直于弦C D ,垂足是点E,∠C A O＝22.5°,OC ＝8,则弦C D 的长为（）A ．8√2B ．4√2C ．8√3D ．4√34．（2020•铜山区一模）如图,在平面直角坐标系中．点A 的坐标是（20,0）,点B 的坐标是（16,0）,点C ,D 在以OA 为直径的半圆M 上,四边形OC D B 是平行四边形．则点C 的坐标为（ ）A ．（1,7）B ．（2,6）C ．（2,7）D ．（1,6）5．（2020春•宜兴市校级月考）如图,▱A B C D 的三个顶点A 、B 、D 均在⊙O 上,且对角线A C 经过点O ,B C 与⊙O 相切于点B ,已知⊙O 的半径为6,则▱A B C D 的面积为（ ）A ．36B ．3845C ．54√3D ．72+72√556．（2020•内乡县一模）如图,A B 是⊙O 的直径,弦C D 与A B 相交,连接C O ,过点D 作⊙O 的切线,与A B 的延长线交于点E ,若D E ∥A C ,∠B A C ＝40°,则∠OC D 的度数为（ ）A ．65°B ．30°C ．25°D ．20°7．（2020•拱墅区校级一模）如图,已知A B 是⊙O 的直径 P 为⊙O 外一点,PC 切⊙O 于C ,PB 与⊙O 交于A 、B 两点．若P A ＝1,PB ＝5,则PC ＝（ ）A ．3B ．√5C ．4D ．无法确定8．（2020•郯城县一模）如图,点A 、B 、C 在⊙O 上,若∠B A C ＝45°,OC ＝2,则图中阴影部分的面积是（ ）A ．π﹣2B ．π﹣4C ．23π−1D ．23π−2 二．填空题（共10小题）9．如图,A B ⊙O 的直径,C D 为⊙O 的弦,若A B ⊥C D 于E ,下列结论：①C E ＝D E ,②BĈ=BD ̂．③AC ̂=AD ̂,④A C ＝A D ．其中正确的有 （填序号）．10．⊙O 的弦A B 长为4√3C m ,弦A B 所对的圆心角为120°,则弦A B 的弦心距为 C m ．11．（2020•碑林区校级四模）如图,在正六边形A B C D EF 中,A B ＝1,B F 是正六边形A B CD EF 的一条对角线,则B F 的长为 ．12．如图,四边形A B C D 是⊙O的内接正方形,点P是劣弧A B 上任意一点（与点B 不重合）,则∠B PC 的度数为．13．如图,A B 为⊙O的弦,点C 在A B 上,若A B ＝4,OC =√2,∠OC B ＝45°,则⊙O的半径为．14．如图,在直角平面坐标系中,⊙O是以原点为圆心、半径为4的圆,已知有一条直线y＝kx﹣2（k+1）与⊙O有两个交点A 、B ,则弦A B 长的最小值为．15．如图,已知Rt△A B C 中,∠C ＝90°∠A ＝36°,以C 为圆心,C B 为半径的圆交A B 于P,则弧B P的度数是°．̂的中点,则四边形A 16．如图,A 、B 是半径为3的⊙O上的两点,若∠A OB ＝120°,C 是AB OB C 的周长等于．17．如图,P A ,PB 是⊙O的两条切线,切点分别为A ,B ．连接OA ,OB ,A B ,PO,PO与A B 交于点C ．若∠A PB ＝60°,OC ＝1,则△P A B 的周长为．18．（2020•碑林区校级四模）如图,正六边形A B C D EF的边长为2,则△A C E的周长为．三．解答题（共7小题）19．已知⊙O的半径为5,点A 、B 、C 都在⊙O上,∠C A B 的平分线交⊙O于点D ．（1）如图1,若B C 为⊙O的直径,A B ＝6,求A C 和B D 的长；（2）如图2,若∠C A B ＝60°,过圆心O作OE⊥B D 于点E,求OE的长．20．如图,A B 为圆O的直径,C D 为弦,A M⊥C D 于M,B N⊥C D 于N．（1）求证：C M＝D N．（2）若A B ＝10,C D ＝8,求B N﹣A M的值．21．如图,在⊙O中,A D 、B C 相交于点E,OE平分∠A EC ．（1）求证：A B ＝C D ；（2）如果⊙O的半径为5,A D ⊥C B ,D E＝1,求A D 的长．22．如图,在△A B C 中,A B ＝A C ,以A B 为直径的⊙O交A C 于点D ,交B C 于点E,延长A E至点F,使EF＝A E,连接FB ,FC ．（1）求证：四边形A B FC 是菱形；（2）若A D ＝7,B E＝3,求⊙O和菱形A B FC 的面积．23．已知：如图,A B 是⊙O的直径,弦C D ⊥A B 于点E,G是A C 上一动点,A G,D C 的延长线交于点F,连接B C ．（1）若A B ＝4,∠B ＝60°,求C D 的长；（2）设∠D GF＝β°,∠B C D ＝α°,求β关于α的函数表达式．24．（2020•通州区一模）如图,⊙O的圆心O在△A B C 的边A C 上,A C 与⊙O分别交于C ,D 两点,⊙O与边A B 相切,且切点恰为点B ．（1）求证：∠A +2∠C ＝90°；（2）若∠A ＝30°,A B ＝6,求图中阴影部分的面积．25．如图,在⊙O中,半径OA ⊥OB ,过点OA 的中点C 作FD ∥OB 交⊙O于D 、F两点,̂,交OB 于E点．且C D =√3,以O为圆心,OC 为半径作CE（1）求⊙O的半径OA 的长；（2）计算阴影部分的面积．答案与解析一．选择题（共8小题）1．（2020•锦州一模）如图,在△A B C 中,A B ＝A C ,以A B 为直径作半圆O,交B C 于点D ,交A C 于点E,若∠C ＝72°,则∠D OE的度数是（）A ．30°B ．35°C ．36°D ．40°[考点]等腰三角形的性质和圆周角定理．[答案]C[解析]解：如图,连接A D ．∵A B ＝A C ,∠C ＝72°,∴∠A B C ＝∠C ＝72°．∴∠C A B ＝36°．∵A B 是圆O的直径,∴A D ⊥B D ．又∵A B ＝A C ,∴B D ＝C D ．∴A D 是∠C A B 的平分线,∴∠C A D =12∠C A B ＝18°．∴∠D OE＝2∠C A D ＝36°．故选：C ．[小贴士]本题主要考查了圆周角定理,等腰三角形的性质,圆心角、弧、弦的关系等知识点,正确作出辅助线是解题的难点．2．（2020•新北区一模）如图,A B 是半圆的直径,点D 是弧A C 的中点,∠A B C ＝50°,则∠B C D ＝（）A ．105°B ．110°C ．115°D ．120°[考点]圆心角、弧、弦和圆周角定理．[答案]C[分析]连接A C ,然后根据圆内接四边形的性质,可以得到∠A D C 的度数,再根据点D 是弧A C 的中点,可以得到∠D C A 的度数,直径所对的圆周角是90°,从而可以求得∠B CD 的度数．[解析]解：连接A C ,∵∠A B C ＝50°,四边形A B C D 是圆内接四边形,∴∠A D C ＝130°,∵点D 是弧A C 的中点,∴C D ＝A C ,∴∠D C A ＝∠D A C ＝25°,∵A B 是直径,∴∠B C A ＝90°,∴∠B C D ＝∠B C A +∠D C A ＝115°,故选：C ．3．（2020•西宁一模）如图,⊙O的直径A B 垂直于弦C D ,垂足是点E,∠C A O＝22.5°,OC ＝8,则弦C D 的长为（）A ．8√2B ．4√2C ．8√3D ．4√3[考点]垂径定理和圆周角定理．[答案]A[分析]先根据垂径定理得到C E＝D E,再根据圆周角定理得到∠B OC ＝2∠A ＝45°,则△OC E为等腰直角三角形,所以C E=√22OC ＝4√2,从而得到C D 的长．[解析]解：∵C D ⊥A B ,∴C E＝D E,∵∠B OC ＝2∠A ＝2×22.5°＝45°,∴△OC E为等腰直角三角形,∴C E=√22OC =√22×8＝4√2,∴C D ＝2C E＝8√2．故选：A ．4．（2020•铜山区一模）如图,在平面直角坐标系中．点A 的坐标是（20,0）,点B 的坐标是（16,0）,点C ,D 在以OA 为直径的半圆M上,四边形OC D B 是平行四边形．则点C 的坐标为（）A ．（1,7）B ．（2,6）C ．（2,7）D ．（1,6）[考点]平行四边形的性质和圆周角定理．[答案]B[解析]解：如图,连接OD ,A D ,D M,作D F⊥OA 于F．∵A （20,0）,B （16,0）,∴OA ＝20,OB ＝16,∴A B ＝20﹣16＝4,∵四边形A B C D 是平行四边形,∴C D ∥OB ,C D ＝OB ＝16,OC ＝B D ,∴∠C D O ＝∠D OA ,∴OĈ=AD ̂, ∴OC ＝A D ＝B D ,∵D F ⊥B A ,∴B F ＝F A ＝2,∴OF ＝18,∴在Rt △D MF 中．D F =√DM 2−MF 2=√102−82=6,∴D （18,6）,C （2,6）,故选：B ．[小贴士]平行四边形的性质,圆周角定理,垂径定理,解直角三角形等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型．5．（2020春•宜兴市校级月考）如图,▱A B C D 的三个顶点A 、B 、D 均在⊙O 上,且对角线A C 经过点O ,B C 与⊙O 相切于点B ,已知⊙O 的半径为6,则▱A B C D 的面积为（ ）A ．36B ．3845C ．54√3D ．72+72√55[考点]圆周角定理和切线的性质．[答案]C[分析]连接OB ,延长B O交A D 于E,如图,先根据切线的性质得OB ⊥B C ,再利用平行四边形的性质得A D ∥B C ,A D ＝B C ,所以B E⊥A D ,接着根据垂径定理得到A E＝D E,然后证明△A OE∽△C OB ,利用相似比求出OE＝3,OC ＝12,则根据勾股定理可计算出B C ,然后利用平行四边形的面积公式求解．[解析]解：连接OB ,延长B O交A D 于E,如图,∵B C 与⊙O相切于点B ,∴OB ⊥B C ,∵四边形A B C D 为平行四边形,∴A D ∥B C ,A D ＝B C ,∴B E⊥A D ,∴A E＝D E=12A D =12B C ,∵A E∥B C ,∴△A OE∽△C OB ,∴OEOB =OAOC=AEBC=12,∴OE=12OB ＝3,OC ＝2OA ＝12,在Rt△OC B 中,B C =√122−62=6√3,∴▱A B C D 的面积＝B E•B C ＝（3+6）×6√3=54√3．故选：C ．6．（2020•内乡县一模）如图,A B 是⊙O的直径,弦C D 与A B 相交,连接C O,过点D 作⊙O 的切线,与A B 的延长线交于点E,若D E∥A C ,∠B A C ＝40°,则∠OC D 的度数为（）A ．65°B ．30°C ．25°D ．20°[考点]圆周角定理和切线的性质．[答案]C[分析]连接OD ,如图,先利用平行线的性质得∠E＝∠B A C ＝40°,再根据切线的性质得OD ⊥D E,则可计算出∠D OE＝50°,接着根据圆周角定理得到∠B OC ＝2∠A ＝80°．然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠OC D 的度数．[解析]解：连接OD ,如图,∵D E∥A C ,∴∠E＝∠B A C ＝40°,∵D E为切线,∴OD ⊥D E,∴∠D OE＝90°﹣40°＝50°,∵∠B OC ＝2∠A ＝80°．∴∠C OD ＝80°+50°＝130°,∵OC ＝OD ,∴∠OC D ＝∠OD C =12（180°﹣130°）＝25°．故选：C ．7．（2020•拱墅区校级一模）如图,已知A B 是⊙O的直径P为⊙O外一点,PC 切⊙O于C ,PB 与⊙O交于A 、B 两点．若P A ＝1,PB ＝5,则PC ＝（）A ．3B ．√5C ．4D ．无法确定[考点]切线的性质．[答案]B[分析]求出半径的长,求出PO长,根据切线的性质求出∠PC O＝90°,再根据勾股定理求出即可．[解析]解：∵P A ＝1,PB ＝5,∴A B ＝PB ﹣P A ＝4,∴OC ＝OA ＝OB ＝2,∴PO＝1+2＝3,∵PC 切⊙O于C ,∴∠PC O＝90°,在Rt△PC O中,由勾股定理得：PC =√PO2−OC2=√32−22=√5,故选：B ．[小贴士]圆的切线垂直于过切点的半径．8．（2020•郯城县一模）如图,点A 、B 、C 在⊙O 上,若∠B A C ＝45°,OC ＝2,则图中阴影部分的面积是（ ）A ．π﹣2B ．π﹣4C ．23π−1D ．23π−2 [考点圆周角定理和扇形面积的计算．[答案]A[分析]根据S 阴＝S 扇形OB C ﹣S △OB C ,计算即可．[解析]解：∵∠B OC ＝2∠B A C ＝90°,∴S 阴＝S 扇形OB C ﹣S △OB C =90⋅π⋅22360−12×2×2＝π﹣2,故选：A ． [小贴士]本题考查扇形的面积,圆周角定理,三角形的面积等知识,属于中考常考题型．二．填空题（共10小题）9．如图,A B ⊙O 的直径,C D 为⊙O 的弦,若A B ⊥C D 于E ,下列结论：①C E ＝D E ,②BĈ=BD ̂．③AC ̂=AD ̂,④A C ＝A D ．其中正确的有 ①②③④ （填序号）．[考点]圆心角、弧、弦的关系．[答案]①②③④．[分析]根据垂径定理得到C E＝D E,BĈ=BD̂,AĈ=AD̂,根据圆心角、弧、弦的关系定理得到A C ＝A D ,得到答案．[解析]解：∵A B ⊙O的直径,C D 为⊙O的弦,A B ⊥C D ,∴C E＝D E,BĈ=BD̂,AĈ=AD̂,①②③正确,∵AĈ=AD̂,∴A C ＝A D ,④正确,10．⊙O的弦A B 长为4√3C m,弦A B 所对的圆心角为120°,则弦A B 的弦心距为2 C m．[考点]垂径定理和圆心角、弧、弦的关系．[答案]2[分析]OC ⊥A B 于C ,如图,根据垂径定理得A C =12A B ＝2√3,再利用∠A ＝∠B ,∠AOB ＝120°,得到∠A ＝30°,然后根据含30度的直角三角形三边的关系可计算出OC =√33A C ＝2．[解析]解：作OC ⊥A B 于C ,如图,∴A C ＝B C =12A B ＝2√3C m,∵OA ＝OB ,∴∠A ＝∠B ,而∠A OB ＝120°,∴∠A ＝30°,∴OC =√33A C =√33×2√3=2,即A B 的弦心距为2C m．故答案为：2．11．（2020•碑林区校级四模）如图,在正六边形A B C D EF中,A B ＝1,B F是正六边形A B CD EF的一条对角线,则B F的长为√3．[考点]正多边形和圆．[答案]见试题解析内容[分析]根据正多边形的性质得出A B ＝A F,求出∠B A F度数,解直角三角形即可得到结论．[解析]解：∵六边形A B C D EF是正六边形,∴A B ＝A F,∠B A F=(6−2)×180°6=120°,∴∠A FB ＝∠A B F=12（180°﹣∠B A F）＝30°,过A 作A H⊥B F于H,则∠A HB ＝90°,B F＝2B H,∵A B ＝1,∴B H=√32A B =√32,∴B F＝2B H=√3,故答案为：√3．12．如图,四边形A B C D 是⊙O的内接正方形,点P是劣弧A B 上任意一点（与点B 不重合）,则∠B PC 的度数为45°．[考点]正多边形和圆．[答案]45°[分析]接OB ,OC ,根据四边形A B C D 是正方形可知∠B OC ＝90°,再由圆周角定理即可得出结论．[解析]解：连接OB ,OC ,∵四边形A B C D 是正方形,∴∠B OC ＝90°,∴∠B PC =12∠B OC ＝45°．故答案为：45°．[小贴士]本题考查的是圆周角定理,熟知在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半是解析此题的关键．13．如图,A B 为⊙O的弦,点C 在A B 上,若A B ＝4,OC =√2,∠OC B ＝45°,则⊙O的半径为√5．[考点]勾股定理和垂径定理．[答案]√5[分析]作OD ⊥A B ,连接OB ,据此得B D =12A B ＝2,根据OC =√2,∠OC B ＝45°得OD ＝1,利用勾股定理可得答案．[解析]解：如图,过点O作OD ⊥A B 于点D ,连接OB ,则B D =12A B ＝2,∵OC =√2,∠OC B ＝45°,∴OD ＝1,则OB =√OD2+BD2=√12+22=√5,故答案为：√5．14．如图,在直角平面坐标系中,⊙O是以原点为圆心、半径为4的圆,已知有一条直线y＝kx﹣2（k+1）与⊙O有两个交点A 、B ,则弦A B 长的最小值为4√2．[考点]一次函数图象上点的坐标特征和垂径定理．[答案]4√2[分析]如图,设⊙O交x轴于D （4,0）,交y轴于C （0,﹣4）,连接OE．而直线y＝kx﹣2（k+1）,经过定点E（2,﹣2）,由OE⊥C D ,推出当直线A B 与直线C D 重合时,弦C D 的值最小．[解析]解：如图,设⊙O交x轴于D （4,0）,交y轴于C （0,﹣4）,连接OE．∵C D 的中点E（2,﹣2）,又∵直线y＝kx﹣2（k+1）,经过定点E（2,﹣2）,∵OE⊥C D ,∴当直线A B 与直线C D 重合时,弦C D 的值最小,最小值为4√2,故答案为4√2．[小贴士]本题考查垂径定理,一次函数的应用,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型．15．如图,已知Rt△A B C 中,∠C ＝90°∠A ＝36°,以C 为圆心,C B 为半径的圆交A B 于P,则弧B P的度数是72°．[考点]圆心角、弧、弦的关系．[答案]72[分析]连C P,由∠C ＝90°∠A ＝36°,根据互余求得∠B ＝90°﹣36°＝54°,又根据等腰三角形的性质得∠C PB ＝∠B ＝54°,再根据三角形的内角和定理得到∠PC B ＝180°﹣54°﹣54°＝72°,最后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到即可弧B P的度数．[解析]解：连C P,如图,∵∠C ＝90°∠A ＝36°,∴∠B ＝90°﹣36°＝54°,又∵C B ＝C P,∴∠C PB ＝∠B ＝54°,∴∠PC B ＝180°﹣54°﹣54°＝72°,∴弧B P的度数＝72°．故答案为72．̂的中点,则四边形A 16．如图,A 、B 是半径为3的⊙O上的两点,若∠A OB ＝120°,C 是ABOB C 的周长等于12．[考点]等边三角形的判定与性质和圆心角、弧、弦的关系．[答案]12．[分析]通过等弧所对的圆心角相等和∠A OB ＝120°,得到△A OC 和△B OC 都是等边三角形,再求出四边形A OB C 的周长．̂的中点[解析]解：∵C 是AB∴∠A OC ＝∠B OC ,而∠A OB ＝120°∴∠A OC ＝∠B OC ＝60°∴△A OC 和△B OC 都是等边三角形∴OA ＝OB ＝C A ＝C B ＝3所以四边形A OB C 的周长等于12．故填12．17．如图,P A ,PB 是⊙O的两条切线,切点分别为A ,B ．连接OA ,OB ,A B ,PO,PO与A B 交于点C ．若∠A PB ＝60°,OC ＝1,则△P A B 的周长为6√3．[考点]切线的性质．[答案]6√3[分析]根据切线的性质得到OA ⊥P A ,OB ⊥PB ,OP平分∠A PB ,P A ＝PB ,推出△P A B 是等边三角形,根据直角三角形的性质求出A C ,由A B ＝2A C ,于是得到结论．[解析]解：∵P A 、PB 是⊙O的两条切线,∴OA ⊥P A ,OB ⊥PB ,OP平分∠A PB ,P A ＝PB ,∵∠A PB ＝60°,∴△P A B 是等边三角形,A B ＝2A C ,PO⊥A B ,∴∠P A B ＝60°,∴∠OA C ＝∠P A O﹣∠P A B ＝90°﹣60°＝30°,∴A O＝2OC ,∵OC ＝1,∴A O＝2,∴A C =√3,∴A B ＝2A C ＝2√3,∴△P A B 的周长＝6√3．故答案为：6√3．18．（2020•碑林区校级四模）如图,正六边形A B C D EF的边长为2,则△A C E的周长为6√3．[考点]正多边形和圆．[答案]6√3[解析]解：作B G⊥A C ,垂足为G．如图所示：则A C ＝2A G,∵A B ＝B C ,∴A G＝C G,∵六边形A B C D EF是正六边形,∴∠A B C ＝120°,A B ＝B C ＝2,∴∠B A C ＝30°,∴A G＝A B •C os30°＝2×√32=√3,∴A C ＝2×√3=2√3,∴△A C E的周长为3×2√3=6√3．故答案为6√3．三．解析题（共7小题）19．已知⊙O的半径为5,点A 、B 、C 都在⊙O上,∠C A B 的平分线交⊙O于点D ．（1）如图1,若B C 为⊙O的直径,A B ＝6,求A C 和B D 的长；（2）如图2,若∠C A B ＝60°,过圆心O作OE⊥B D 于点E,求OE的长．[考点]圆周角定理．[解析]解：（1）如图1,∵B C 为⊙O的直径,∴B C ＝10,且∠B A C ＝∠B D C ＝90°,则在Rt△A B C 中,B C ＝10,A B ＝6,∴AC=√BC2−AB2=8,又∵A D 是∠C A B 的平分线∴∠C A D ＝∠B A D ,̂=BD̂,∴CD∴C D ＝B D ,∴△B D C 是等腰直角三角形,∵B C ＝10∴BD=5√2；（2）如图2,连接B O,D O,∵A D 是∠C A B 的平分线,∠C A B ＝60°,∴∠B A D ＝30°,∴∠B OD ＝2∠B A D ＝60°,又∵OB ＝OD ,∴△B OD 是等边三角形,又∵OE⊥B D ,∴∠B OE＝30°,B E＝B D ,又∵OB ＝5,∴BE=12OB=52,∴OE=√OB2−BE2=√52−(52)2=52√3．[小贴士]解题的关键是学会添加常用辅助线．20．如图,A B 为圆O的直径,C D 为弦,A M⊥C D 于M,B N⊥C D 于N．（1）求证：C M＝D N．（2）若A B ＝10,C D ＝8,求B N﹣A M的值．[考点]勾股定理和垂径定理．[解析]（1）证明：过O作OF⊥C D 于F,∵A M⊥C D 于M,B N⊥C D 于N,∴A M∥FO∥NB ,∵OA ＝OB ,∴MF ＝NF ,∵OF ⊥C D ,O 为圆心,∴C F ＝FD ,∴C F ﹣MF ＝FD ﹣FN ,即MC ＝ND ；（2）解：连结OD ,∵A B ＝10,C D ＝8,∴OD ＝5,FD ＝4,∴OF ＝3,设OE ＝x ,则EB ＝x +5,A E ＝5﹣x ,∵NB ∥FO ,∴△EB N ∽△EOF ,∴BN OF =BE OE ,即B N ：3＝（5+x ）：x ,∴B N =15+3x x,① ∵MA ∥FO ,∴△A ME ∽△OFE ,∴A M ：3＝（5﹣x ）：x ,∴A M =15−3x x ② 两式相减即可得到,B N ﹣A M ＝6．21．如图,在⊙O中,A D 、B C 相交于点E,OE平分∠A EC ．（1）求证：A B ＝C D ；（2）如果⊙O的半径为5,A D ⊥C B ,D E＝1,求A D 的长．[考点]垂径定理和圆心角、弧、弦的关系．̂= [分析]（1）过点O作OM⊥A D ,ON⊥B C ,从而得出OM＝ON,根据垂径定理可得出AD BĈ,然后可得AB̂=CD̂,继而得出结论．（2）先判断OM＝ME,然后利用勾股定理得出A M的方程,解出后,根据A D ＝2A M,即可得出答案．[解析]证明：（1）过点O作OM⊥A D ,ON⊥B C ,∵OE平分∠A EC ,∴OM＝ON,̂=BĈ,AD̂−BD̂=BĈ−BD̂,即AB̂=CD̂,∴AD∴A B ＝C D ．（2）∵OM⊥A D ,∴A M＝D M,∵A D ⊥C B ,OE平分∠A EC ,∴∠OEM＝45°,∴∠MOE＝45°,∴∠OEM＝∠EOM,∴OM＝ME,在Rt△A OM中,OA 2＝OM2+A M2,即25＝（A M﹣1）2+A M2,解得：A M＝4或A M＝﹣3（舍去）故A D 的长为8．22．如图,在△A B C 中,A B ＝A C ,以A B 为直径的⊙O交A C 于点D ,交B C 于点E,延长A E至点F,使EF＝A E,连接FB ,FC ．（1）求证：四边形A B FC 是菱形；（2）若A D ＝7,B E＝3,求⊙O和菱形A B FC 的面积．[考点]圆周角定理．[解析]（1）证明：∵A B 是直径,∴∠A EB ＝90°,∴A E ⊥B C ,∵A B ＝A C ,∴B E ＝C E ,∵A E ＝EF ,∴四边形A B FC 是平行四边形,∵A C ＝A B ,∴四边形A B FC 是菱形．（2）设C D ＝x ．连接B D ．∵A B 是直径,∴∠A D B ＝∠B D C ＝90°,∴A B 2﹣A D 2＝C B 2﹣C D 2,∴（7+x ）2﹣72＝62﹣x 2,解得x ＝2或﹣9（舍弃）∴A B ＝9,B D =√92−72=4√2,∴S 菱形A B FC ＝36√2．∴S ⊙O ＝π•（92）2=814π．[小贴士]本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定、线段的垂直平分线的性质勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型．23．已知：如图,A B 是⊙O的直径,弦C D ⊥A B 于点E,G是A C 上一动点,A G,D C 的延长线交于点F,连接B C ．（1）若A B ＝4,∠B ＝60°,求C D 的长；（2）设∠D GF＝β°,∠B C D ＝α°,求β关于α的函数表达式．[考点]圆周角定理．[分析]（1）连接OC ．证明△OB C 是等边三角形,解Rt△OEC 即可解决问题；（2）利用圆周角定理即可解决问题；[解析]解：（1）连接OC ．∵OB ＝OC ,∠B ＝60°,∴△OB C 是等边三角形,∴∠B OC ＝60°,OB ＝OC ＝2,∴D E＝EC ,∠OEC ＝90°,∴EC ＝OC •sin60°=√3,∴C D ＝2EC ＝2√3．（2）连接OD ．∵∠A OD ＝2∠A GD ＝2（180﹣β°）,∠D OB ＝2∠D C B ＝2α°,∵∠A OD +∠D OB ＝180°,∴2（180°﹣β°）+2α°＝180°∴2β﹣2α＝180,∴β＝90+α（0＜α＜90）．[小贴士]本题考查圆周角定理,垂径定理,勾股定理,等边三角形的判定和性质,解直角三角形等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型．24．（2020•通州区一模）如图,⊙O的圆心O在△A B C 的边A C 上,A C 与⊙O分别交于C ,D 两点,⊙O与边A B 相切,且切点恰为点B ．（1）求证：∠A +2∠C ＝90°；（2）若∠A ＝30°,A B ＝6,求图中阴影部分的面积．[考点]切线的性质和扇形面积的计算．[解析]（1）证明：连接OB ,如图,∵O与边A B 相切,且切点恰为点B ．∴∠OB A ＝90°,∴∠A +∠A OB ＝90°,∵∠A OB ＝2∠C ,∴∠A +2∠C ＝90°；（2）解：在Rt △A OB 中,∵∠A ＝30°,∴∠A OB ＝60°,OB =√33A B ＝2√3,作OH ⊥B C 于H ,则B H ＝C H ,∵∠C =12∠A OB ＝30°,∴OH =12OC =√3,C H =√3OH ＝3,∴B C ＝2C H ＝6,∴图中阴影部分的面积＝S △OB C +S 扇形B OD=12×6×√3+60×π×(2√3)2360 ＝3√3+2π．25．如图,在⊙O 中,半径OA ⊥OB ,过点OA 的中点C 作FD ∥OB 交⊙O 于D 、F 两点,且C D =√3,以O 为圆心,OC 为半径作CÊ,交OB 于E 点． （1）求⊙O 的半径OA 的长；（2）计算阴影部分的面积．[考点]垂径定理和扇形面积的计算．[解析]解；（1）连接OD ,∵OA ⊥OB ,∴∠A OB ＝90°,∵C D ∥OB ,∴∠OC D ＝90°,在RT△OC D 中,∵C 是A O中点,C D =√3,∴OD ＝2C O,设OC ＝x,∴x2+（√3）2＝（2x）2,∴x＝1,∴OD ＝2,∴⊙O的半径为2．（2）∵sin∠C D O=COOD=12,∴∠C D O＝30°,∵FD ∥OB ,∴∠D OB ＝∠OD C ＝30°,∴S阴＝S△C D O+S扇形OB D ﹣S扇形OC E=12×1×√3+30π×22360−90π⋅12360=√32+π12．[小贴士]本题考查扇形面积、垂径定理、勾股定理、有一个角是30度的直角三角形的性质等知识,解题的关键是学会利用分割法求面积．学会把求不规则图形面积转化为求规则图形面积,属于中考常考题型．。
