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第6章线性空间与线性变换
6.1本章要点详解
本章要点
■线性空间的定义与性质
■维数、基与坐标
■基变换与坐标变换
■线性变换
■线性变换的矩阵表示式
重难点导学
一、线性空间的定义与性质
1．两种运算
（1）加法运算
设V是一个非空集合，R为实数域．如果在V中定义了一个加法，即对于任意两个元素
α，β∈V，总有唯一的一个元素γ∈V与之对应，称为α与β的和，记作γ＝α＋β．
（2）数乘运算
在V中又定义了一个数与元素的乘法（简称数乘），即对于任一数λ∈R与任一元素α∈V，
总有唯一的一个元素δ∈V与之对应，称为λ与α的数量乘积，记作δ＝λα．
2．线性空间定义
设V是一个非空集合，R为实数域．如果在V中取任意两个元素α，β∈V，加法运算和
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乘法运算满足以下八条运算规律（设α、β、γ∈V，λ、μ∈R）：
（1）α＋β＝β＋α；
（2）（α＋β）＋γ＝α＋（β＋γ）；
（3）在V中存在零元素0，对任何α∈V，都有α＋0＝α；
（4）对任何α∈V，都有α的负元素β∈V，使α＋β＝0；
（5）1α＝α；
（6）λ（μα）＝（λμ）α；
（7）（λ＋μ）α＝λα＋μα；
（8）λ（α＋β）＝λα＋λβ，
则V称为线性空间，又称向量空间．
3．线性空间的性质
（1）零向量是唯一的；
（2）任一向量的负向量是唯一的，α的负向量记作－α；
（3）0α＝0，（－1）α＝－α，λ0＝0；
（4）如果λα＝0，则λ＝0或α＝0．
4．子空间
（1）定义
设V是一个线性空间，L是V的一个非空子集，如果L对于V中所定义的加法和数乘两
种运算也构成一个线性空间，则L称为V的子空间．
（2）定理
线性空间V的非空子集L构成子空间的充分必要条件是：L对于V中的线性运算封闭．
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线性代数承担着培养学生数学素养的任务，它的思想和方法在社会科学和自然科学中有着广泛的应用，是硕士研究生入学考试必考的内容，重要性不言而喻；这门课在150分的考研数学试卷中占有特殊地位，投入小，收获大，一通百通，“性价比”极高；系统性、逻辑性极强，概念多，方法多，方法和概念特别容易混淆，计算多，特别容易出错。
一、行列式
1）由解方程组引入
2）几何背景（n维空间图形的n维体积）
3）重要观点：行列式是由若干个列（行）向量拼成的，并且要把这些向量作运算
4）行列式就是一个算式（数）
二、矩阵
1）由表示信息引入
2）重要观点1：矩阵也是由若干个列（行）向量拼成的
3）重要观点2：矩阵不能运算，但是其若干个列（行）之间存在着某种联系，这种联系就反映了矩阵的本质
三、向量
1）由如何表示方程组的无穷多个解引入
2）矩阵中的若干个列（行）都是向量，它们之间存在着某种联系
3）这种联系说到底，就是独立信息个数的问题，也就是这若干个向量中，有几个就足够了，其他的都可以由这几个线性表示出来
4）能够代表向量组中所有成员的一组向量叫极大无关组，它就是向量组的“代表”
5）这个代表的个数对于同一个向量组来说，是唯一的，事实上，这个个数就是独立信息的个数
6）这个个数就叫做秩。秩就是独立信息的个数，就是“代表”中有这几个信息就足够表示所有的其他信息了
7）极大无关组是向量组的“代表”，而矩阵就是由向量组拼成的，所以矩阵的秩、向量组的秩都反映了“代表”的问题，是一回事
四、方程组
1）方程组的系数矩阵就是若干个列向量拼成的，增广矩阵就是系数阵再添加一个列向量拼成的
2）未知数就是向量组中的组合系数
3）所以从本质上说，方程组问题就是向量组问题，方程组和向量组，是同一个问题的两种表现形式，其本质完全一样，所以解决方法也完全一样
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第3章矩阵的初等变换与线性方程组[视频讲解]
3.1本章要点详解
本章要点
■初等变换的概念与性质
■矩阵之间的等价关系
■初等变换与矩阵乘法的关系
■初等变换的应用
■矩阵的秩
■线性方程组的解重难点导学
一、矩阵的初等变换
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1．初等变换
下面三种变换称为矩阵的初等行变换：
(1)对调两行（对调i，j两行，记作ri↔r
j）；
(2)以数k≠0乘某一行中的所有元（第i行乘k，记为ri×k）；
(3)把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元上去（第j行的k倍加到第i行上，记
作r
i＋kr
j）．
把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义，矩阵的初等行变换与初
等列变换，统称为初等变换．
2．矩阵等价
(1)定义
①若矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B，就称矩阵A与B行等价，记作；
②若矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B，就称矩阵A与B列等价，记作；
③若矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，则称矩阵A与B等价，记作A～B．
（2）矩阵之间的等价关系的性质
①反身性A～A；
②对称性若A～B，则B～A；
③传递性若A～B，B～C，则A～C．
（3）矩阵的类型
①两个矩阵
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，
矩阵B
4和B
5都称为行阶梯形矩阵.
行阶梯形矩阵B
5又称为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一个非零元为1，且非零
元所在的列的其他元素都为0．
结论：对于任何非零矩阵A
m×n总可经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行
最简形矩阵．
②标准形
矩阵F称为矩阵B的标准形，其特点是：F的左上角是一个单位矩阵，其余元素全为0．
对于m×n矩阵A，总可经过初等变换（行变换和列变换）把它化为标准形
此标准形由m，n，r三个数完全确定，其中r就是行阶梯形矩阵中非零行的行数．所有
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2007年研究生入学考试数学三试题
一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
（1）当0x时，与x等价的无穷小量是
（A）1ex （B）1ln1xx （C）11x （D）1cosx [ ]
（2）设函数()fx在0x处连续，下列命题错误的是：
（A）若0()limxfxx存在，则(0)0f （B）若0()()limxfxfxx存在，则(0)0f .
（B）若0()limxfxx存在，则(0)0f （D）若0()()limxfxfxx存在，则(0)0f.
[ ]
（3）如图，连续函数()yfx在区间3,2,2,3上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间2,0,0,2的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设0()()dxFxftt，则下列结论正确的是：
（A）3(3)(2)4FF (B) 5(3)(2)4FF
（C）3(3)(2)4FF （D）5(3)(2)4FF [ ]
（4）设函数(,)fxy连续，则二次积分1sin2d(,)dxxfxyy等于
（A）10arcsind(,)dyyfxyx （B）10arcsind(,)dyyfxyx
（C）1arcsin02d(,)dyyfxyx （D）1arcsin02d(,)dyyfxyx
