一、选择题（每小题4分，共16分）
1、设22{(,)|1,0,0}D x y x y x y =+≤≥≥，则σ=⎰⎰（ ）
(A)
43π (B) 23π (C) 13π (D) 16
π 2、若级数1n n u ∞
=∑和1
n n v ∞
=∑都发散，则下列级数中必发散的是（ ）
(A) 1()n
n n u
v ∞
=+∑ (B)
2
21
()n
n
n u
v ∞
=+∑ (C)
1
n n
n u v
∞
=∑ (D)
1
()n
n n u
v ∞
=+∑
3、若
1
(1)
n
n
n a x ∞
=-∑在2x =-处收敛，则此级数在3x =处（ ）
(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 收敛性不能确定
4、计算d I z V Ω
=⎰⎰⎰，其中Ω为曲面22z x y =+及平面1z =所围成的立体，则正确的解法为（ ）
(A) 2110
d d d I r r z z πθ=⎰⎰⎰ (B) 2211
d d d r
I r r z z πθ=⎰⎰⎰
(C) 2110
d d d r
I r r z z πθ=⎰⎰⎰ (D) 120
d d d z
I z zr r πθ=⎰⎰⎰
二、填空题（每小题4分，共24分）
1、设Ω是由球面222x y z z ++=所围成的闭区域，则=V ⎰⎰⎰
。
2、设曲线Γ：22210
x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩，则2()d x y s Γ
+=⎰ 。
3、设L 为上半圆周y (0)a >及x 轴所围成的区域的整个边界，沿逆时针方向， 则
2
d L
y
x =⎰ 。
4、设∑是平面
1234
x y z
++=在第一卦限的部分，则4(2)d 3x y z S ∑++=⎰⎰ 。
5、函数()arctan f x x =在0x =处的幂级数展开式为 ，其收敛域为 。
6、设1
()sin n n S x b nx ∞
==
∑，x -∞<<+∞，其中0
2
sin d n
b
x nx x π
π
=
⎰
，则在[,]ππ-上
()S x = 。
三、解答题（分A 、B 类题，A 类题每小题10分，共60分；B 类题每小题8分，共48分）
每道题必须且只需选做一道题，或做A 类，或做B 类，不必A 、B 类题都做
1、(A 类)计算
22d d 2()
L
y x x y
x y -+⎰
，其中L 分别为
（１）圆周22(2)2x y -+=，沿逆时针方向；
（２）圆周22(1)2x y -+=，沿逆时针方向。 (Ｂ类)计算
(sin 2)d (cos 2)d x
x L
e
y y x e y y -+-⎰，其中L 为上半圆周222()(0),x a y a y -+=≥
沿逆时针方向。（常数0a >）
2、(A 类)计算]22
[()2d I x y z yz S ∑
=+++⎰⎰ ，其中∑是球面22222x y z x z ++=+。
(Ｂ类)计算2
2()d I x y S ∑
=
+⎰⎰
，其中∑
为锥面z 1z =所围成的区域的整个
边界曲面。
3、(A 类)计算3222()d d d d d d I x z x y z x yz z x x z x y ∑
=+--⎰⎰，其中∑是抛物面
222z x y =--(12)z ≤≤的上侧。
(Ｂ类)计算222()d d ()d d ()d d I y z y z z x z x x y x y ∑
=-+-+-⎰⎰，其中∑是锥面
z (01)z ≤≤的下侧。
4、(A 类) 设012,,,a a a 为等差数列0(0)a ≠，试求：
（1）幂级数
n
n n a x ∞
=∑的收敛半径； （2）数项级数02
n
n
n a ∞
=∑
的和。 (Ｂ类) 求幂级数1(1)
n
n x n n ∞
=+∑的收敛域以及和函数；
5、(A 类) 判断级数111
2
2
1(1)[ln(1)]n n n
n ∞
--
-=--+∑的收敛性，是绝对收敛还是条件收敛？
(Ｂ类) 判断级数1
1
ln (1)n n n
n
∞
-=-∑的收敛性，是绝对收敛还是条件收敛？ 6、(A 类)将函数()2f x x =+ (01)x ≤≤展开成以2为周期的余弦级数，并求2
11
n n
∞
=∑
的和。 (B 类)将函数2
()f x x = (0)x π≤≤展开成以2π为周期的余弦级数。
附加题（10分）（选做题）
设函数()f x 在(,)-∞+∞内具有一阶连续导数，L 是上半平面(0)y >内的有向分段光滑 曲线,起点为(,)a b ,终点为(,)c d ,当ab cd =时,求
2
221[1()]d [()1]d L x I y f xy x y f xy y y y
=
++-⎰
