第四讲 插值运算

写成通式，满足下列条件的多项式lk(x) ：
lk (a1 ) = lk (a2 ) = L = lk (ak −1 ) = 0
lk ( a k ) = 1
lk (ak +1 ) = lk (ak + 2 ) = L = lk (an ) = 0
lk ( x ) =
(x − a1 )L(x − ak −1 )(x − ak +1 )L(x − an ) (ak − a1 )L(ak − ak −1 )(ak − ak +1 )L(ak − an )
l2 (a1 ) = l2 (a3 ) = L = l2 (an ) = 0
同理，可以得到满足以下条件的多项式l2(x) ：
l 2 ( a2 ຫໍສະໝຸດ = 1l2 ( x ) =
(x − a1 )(x − a3 )(x − a4 )L(x − an ) (a2 − a1 )(a2 − a3 )(a2 − a4 )L(a2 − an )
M k −1 ( xk − x) 2 M k ( x − xk −1 ) 2 yk − yk −1 ( M k − M k −1 )lk S ' ( x) = − + + − 2lk 2lk 6 lk
M k −1 ( xk − x)3 M k ( x − xk −1 )3 y M l y M l S ( x) = + + ( k − k k )( x − xk −1 ) + ( k −1 − k −1 k )( xk − x) lk lk 6lk 6lk 6 6
第四讲 插值运算
影响线坐标值，一般用两个数组来 记录。数组A(N)用来记录影响结点的横 坐标，数组B(N)则记录影响线各点的纵 坐标，N是影响点的总数。 用这种方式表达的影响线适应性强、效果好，但 荷载作用的位置，未必刚好是数组的节点，集中荷载 下影响线的数值必须通过插值计算来求得。 常用的插值方法有直线插值和曲线插值。本节介 绍常用的直线插值、拉格朗日插值及三次样条插值。
由 S ' ( xk− ) = S ' ( xk+ ) ，得：
lk l +l l y − y k y k − y k +1 M k −1 + k k +1 M k + k +1 M k +1 = k +1 − 6 3 6 l k +1 lk k = 2， 3， L，n − 1
n-2个方程，有共n个未知数，利用S”(x1)= S”(xn)=0，得M1=Mn=0 ，
L，M n−1 ，则可得到各段的插值函数S(x)。 可以解出 M 2，M 3，
k =1 ， 2， L，n
bn = φ (an ) 的多项式 于是满足条件 b1 = φ (a1 ) ，b2 = φ (a2 ) ，…，
可以表达如下 ：
φ ( x) = b1l1 ( x) + b2l2 ( x) + L + bk lk ( x) + L + bnln ( x) = ∑ bk ⋅ lk ( x)
k =1 n
2、分段插值 如果x在A数组的界外，可以求得外插值。这种情况在梁式桥横向 影响续加载时会遇到。 用拉格朗日曲线插值比直线插值精确一些，但在某些情况下还应 采用直线内插，因而程序中应包括直线内插。
插值可通过形式参数P来进行分类： 当P=1时，按直线内插及外插； 当P=N时，按全部N点曲线值迸行内插； 当1<P<N时，将以P点为界，取左右两段进行插值，当x在P 左段时，取1，2，…，P点求插值函数，当x在P的右段时，也取 P，P+1，…，N点求插值函数。
4.1 直线插值
已知自变量x取某些值Ai (i=1，2，…，n)时，相 应的函数值为Bi (i=1，2，…，n)时，并且相邻两点Ai 和Ai+l之间的函数值均为直线变化。当x取任意值时， 对应的函数值Fy可用直线插值法求得，其公式是：
Fy = Bi −1 + (Bi − Bi −1 ) × x − Ai −1 Ai − Ai −1
L，xn 点上的值可用下式表示： 它在 x1，x2，
k =1 ， 2， L，n x −x x − xk −1 S " ( x ) = M k −1 ⋅ k + Mk ⋅ lk lk S " ( x) = M k
xk −1 ≤ x ≤ xk
lk = xk − xk −1
S ( xk ) = yk 可得 ： S"(x)积分两次，再由 S ( xk −1 ) = yk −1 ，
先来解决一个最简单的问题，求一个多项式l1(x)，使得在
a1，a2， L，an 上满足：
l1 (a1 ) = 1
l1 (a2 ) = l1 (a3 ) = L = l1 (an ) = 0
l1 ( x) =
(x − a2 )(x − a3 )L(x − an ) (a1 − a2 )(a1 − a3 )L(a1 − an )
由区间[ xk −1 ，xk ]的S´(x)表达式，当 x = xk 时得：
− S ' ( xk )=
M k −1lk M k lk yk − yk −1 + + 6 3 lk
xk +1 ]的S´(x)表达式，当 x = xk 时得： 由区间[ xk ，
S ' ( xk+ ) = − M k +1lk +1 M k lk +1 yk +1 − yk − + 6 3 lk +1
4.2 拉格朗日插值
拉格朗日插值是把全部函数点用一根曲线联 接起来，当自变量x取任意值时，对应的函数值也 在这条曲线上。
1、原理及计算公式 可以归结为寻找一个多项式 φ (x ) ，使在几个互不相同的插
L，an 上依次得到 b1 = φ (a1 ) ，b2 = φ (a2 ) ，…， bn = φ (an )。 值点 a1，a2，
4.3三次样条插值
如果有一个函数S(x)，它具有如下性质： 1）在每一个子区间[ xk −1 ， xk ] (k= 2，3，…，n)上，函数 S(x)是一个不超过三次的多项式； 2）S(xk)= yk ，k=1，2，…，n； 3）S(x)在区间[a，b]上为二次连续可微。 函数S(x)就叫为在各节点上插值于y的三次样条函数。样条函 数是把插值函数逐段多项化，使整个函数成为“装配式”的，同时 又保证了在分段“接缝”处具有一定的光滑性。 在区间[ xk −1， xk ]上，样条函数的二阶微分S"(x)是线性函数，