福建省莆田市莆田四中、六中2020届高三数学下学期第一次模拟考试试题 理

莆田六中2020届高三第一次模拟考试理科数学卷试题（时间120分钟，满分150分）一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确（每小题5分，共60分）． 1．已知集合{}220A x x x =+≤,(){}10B xx x =+>,则=⋂B A ( )A ．∅B ．()1,0-C ．(]1,0-D ．(]1,2-2．欧拉（Leonhard Euler,国籍瑞士）是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他发明的公式cos sin ixe x i x =+（i 为虚数单位），将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式在复变函数理论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式可知，表示的复数54i eπ-在复平面内位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D.第四象限3．已知△ABC 中，点D 为BC 中点，若向量()()1,2,2,3AB AC ==u u u r u u u r ，则AD DC ⋅u u u r u u u r=( )A ．2B ．4C ．2-D ．4-4．若直线0bx ay -=()0,0a b >>的倾斜角为60o，则双曲线22221x y a b-=的离心率为( )A ．2B ．3 C.5 D ．55．若[],2,2x y ∈-,则224x y +≤的概率为 ( )A ．14 B.12 C ．π8 D.π46．若函数ππ()sin()(0,0,,)22f x A x A x =+>>-<<∈R ωϕωϕ的部分图象如图所示,则π3f ⎛⎫- ⎪⎝⎭=( ) A ．1 B.1- C ．3 D.3- 7．如图所示,棱长为1的正方形网格中画出的是某几何体的三视图，则该几何体的所有棱长的和为( )A ．12B ．4+45C ．8+46D ．4+83 8．若01a b <<<,则1,,log ,log ba b aa b a b 的大小关系为( )A ．1log log ba b aab a b >>> B ．1log log a b b ab a b a >>>C ．1log log ba b aa ab b >>> D ．1log log a b b aa b a b >>>9．如图所示，若程序框图输出的所有实数对(x ,y )所对应的点都在函数()bf x ax c x=++的图象上，则实数,,a b c 的值依次为( ) A ．1,2,2- B ．2,3-,2 C ．59,3,22- D ．311,,22- 10．已知直线()0y t t =≠与曲线()220y p x p =>交于N M ,两点，若x 轴上存在关于原点对称的两点B A ,(A M ,均在y 轴右侧)，使得MN NB MA -+恒为定值2，则p =( )A ．1B ．2C ．3D ．411．在三棱锥A BCD -中，1,AB AC ==2DB DC ==，3AD BC ==，则三棱锥A BCD -的外接球表面积为( ) A ．πB ．7π4C ．4πD ．7π 12. 定义在R 上的函数()f x ，当[]0,2x ∈时，()()411f x x =--，且对任意实数()122,22,2n n x n N n +*⎡⎤∈--∈≥⎣⎦，都有()1122x f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.若()()log a g x f x x =-有且仅有三个零点，则a 的取值范围是( ) A. []2,10 B. 2,10⎡⎤⎣⎦C. ()2,10D.[)2,10二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分) 13．若()()2ln 1e4xaf x x =+-是偶函数，则数据3，6，8，a 的中位数是 . 14．成书于公元前1世纪左右的中国古代数学名著《周髀算经》曾记载有“勾股各自乘，并而开方除之”，用现代数学符号表示就是222a b c +=，可见当时就已经知道勾股定理.如果正整数,,a b c 满足222a b c +=，我们就把正整数,,a b c 叫做勾股数，下面给出几组勾股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25；9,40,41，这几组勾股数有如下规律：第一个数是奇数m ,且第二个、第三个数都可以用含m 的代数式来表示，依此规律,当13m =时，得到的一组勾股数是 ．15．已知不等式组1010330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩表示的平面区域为D ,若存在()00,x y D ∈，使得()0011y k x +=+，则实数k 的取值范围是 . 16．四边形ABCD 中22AD AB ==,CB CD ⊥，2BC CD BD +≥，则四边形ABCD 面积的取值范围为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或或演算步骤.第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答）(一)必考题：共60分17．（本小题满分12分）已知()12112n n n S na n a a a -=+-+++L .(1)若{}n a 是等差数列,且15S =,218S =,求n a ； (2)若{}n a 是等比数列,且123,15S S ==,求n S .18．（本小题满分12分）如图，直三棱柱-'''ABC ABC ，=90BAC ∠︒，=='AB AC AA λ，点,M N 分别为'AB 和''BC的中点. （Ⅰ）证明：//''MN AACC平面； （Ⅱ）若二面角'--A MN C 为直二面角，求λ的值.19． （本小题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量 1至4件5至8件 9至12件13至16件17件及以上顾客数（人）x3025y10已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％，将频率视为概率. （Ⅰ）确定,x y 的值，并求顾客一次购物的结算时间X 的分布列与数学期望；（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过．．．2.5分钟的概率.20．(本题满分12分) 已知圆2220x y x +-=关于椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的一个焦点对称，且经过椭圆的一个顶点． (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：1y kx =+与椭圆C 相交于A 、B 两点，已知O 为坐标原点，以线段OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB ，若点P 在椭圆C 上，求k 的值及平行四边形OAPB 的面积. 21．（本小题满分12分）已知函数()()22ln f x x a x a x =-++,其中常数0a >．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）已知1a =,()f x 在()0x t t =>处的切线为()y g x =,求证：当()0x t t ⎛-> ⎝⎭时,()()()0xt f x g x -->⎡⎤⎣⎦恒成立. (二)选考题：共10分. 请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为222cos24sin 3ρθρθ+=.(1)求出直线l 的普通方程及曲线1C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线1C 交于A ，B 两点，点C 是曲线1C 上与A ，B 不重合的一点，求∆ABC 面积的最大值.23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|3||2|f x x x =-++．(Ⅰ)若不等式()|1|f x m ≥+恒成立，求实数m 的最大值M ； (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若正数,,a b c 满足2a b c M ++=，求证：111a b b c+≥++．2020年度莆田六中高三第一次模拟考文科数学试卷班级： 姓名： 座号：第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,3,9,27A =，{}3log ,B y y x x A ==∈，则A B =I ( )A ．{}13，B ．{}139，，C ．{}3927，，D ．{}13927，，， 2. 已知复数z 满足2zi i =--（i 为虚数单位），则z = ( ) A ．2 B ． 3 C ．2 D ．5 3. 已知等差数列{}n a 的首项1a 和公差d 均不为零，且2a ，4a ，8a 成等比数列， 则15923+++a a a a a = ( ) A ．6 B ． 5 C ． 4 D ．34. 折纸已经成为开发少年儿童智力的一种重要工具和手段，已知在折叠“爱心”活动中，会产生如右上图所示的几何图形，其中四边形ABCD 为正方形，G 为线段BC 的中点，四边形AEFG 与四边形DGHI 也为正方形，连接EB 、CI ，则向多边形AEFGHID 中投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为 ( ) A ．112 B ． 18C ．16D ．524 5. 已知直线m ⊥平面α，则“直线n m ⊥”是“n α∥”的( )A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件6. 已知圆C ：223x y +=，点(0,23)A -，(,23)B a ．从点A 观察点B ，要使视线不被圆C 挡住，则 实数a 的取值范围为( )A ．(,23)(23,)-∞-+∞UB ．(,4)(4,)-∞-+∞UC ． (,2)(2,)-∞-+∞UD ．(4,4)-7.将函数()2cos 23sin f x x x =-的图象向左平移ϕ（0ϕ>）个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则ϕ的最小值为 ( ) A ．6π B ． 3π C ．23π D ．56π8. 某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于( )A ．13 B ．23 C ．12 D ．349.定义123nnp p p p ++++L 为n 个正数123,,,,n p p p p L 的“均倒数”．若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121n +，又14n n a b +=，则12233410111111b b b b b b b b ++++=L ( ) A ．111 B ．109 C ．1110 D ．121110.已知向量a r ，b r 满足+3a b =r r ，2a b -=r r ，则+a b r r的取值范围是 ( )A ．[2,3]B ．[3,4]C ．[2,13]D ．[3,13] 11.已知MOD 函数是一个求余函数，记(,)MOD m n 表示m 除以 n 的余数，例如(8,3)2MOD =．右图是某个算法的程序框图，若输入m 的值为56，则输出的值为 ( ) A ．6 B ． 7 C ．8 D ．9 12.已知2,0(),0x x f x xx ⎧≥=⎨-<⎩ ，则关于x 的方程(())f f x t =，给出下列五个命题：①存在实数t ，使得该方程没有实根； ②存在实数t ，使得该方程恰有1个实根；③存在实数t ，使得该方程恰有2个不同实根； ④存在实数t ，使得该方程恰有3个不同实根； ⑤存在实数t ，使得该方程恰有4个不同实根． 其中正确的命题的个数是( )A ．4B ． 3C ．2D ．1 二、填空题（本题共 4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.设0.63.152,0.5,sin6a b c π-===，则a ，b ，c 的大小关系是________(用“<”连接)14.若变量x 、y 满足约束条件2020y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =-的最大值为 ；15.设1F 、2F 分别是双曲线()222210,0 x y a b a b-=>>的左、右焦点，点P 在双曲线上，若120PF PF ⋅=u u u r u u u u r，12PF F ∆的面积为9，且7a b +=，则该双曲线的离心率为 ；16.已知函数11()3sin()22f x x x =+-+，则12()()20192019f f +2018()2019f +⋅⋅⋅+= ；三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (一)必考题：共60分.17. (本小题满分12分) 已知函数23()3sin()sin()cos 12f x x x x π=-+-+． (Ⅰ)求函数() f x 的递增区间；(Ⅱ)若ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，角A 的平分线交BC 于D ，3()2f A =，22AD BD ==，求cos C ．18. (本小题满分12分)交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为950元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表（其中浮动比率是在基准保费上上下浮动）：交强险浮动因素和浮动费率比率表浮动因素浮动比率 1A上一个年度未发生有责任道路交通事故 下浮10% 2A上两个年度未发生有责任道路交通事故 下浮20% 3A上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故下浮30%4A 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故0%5A 上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故上浮10% 6A上一个年度发生有责任道路交通死亡事故上浮30%年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：类型1A 2A3A 4A 5A6A数量 105520155(Ⅰ)求这60辆车普通6座以下私家车在第四年续保时保费的平均值（精确到0.1元） (Ⅱ)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基准保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元，且各种投保类型车的频率与上述机构调查的频率一致．试完成下列问题：①若该销售商店内有六辆（车龄已满三年）该品牌二手车，某顾客欲在该店内随机挑选3辆车，求这3辆车恰好有一辆为事故车的概率；②若该销售商一次购进120辆车（车龄已满三年）该品牌二手车，求一辆车盈利的平均值．19. (本小题满分12分)如图，在三棱锥P ABC -中，PA AB ⊥，4PA AB BC ===，90ABC ∠=o ，43PC =，D 为线段AC 的中点，E 是线段PC上一动点． （1）当DE AC ⊥时，求证：PA ∥面DEB ； （2）当BDE ∆的面积最小时，求三棱锥E BCD -的体积．20. (本小题满分12分)已知一定点(0,1)F ，及一定直线l ：1y =-，以动点M 为圆心的圆M 过点F ，且与直线l 相切．(Ⅰ)求动点M 的轨迹C 的方程；(Ⅱ)设P 在直线l 上，直线PA ，PB 分别与曲线C 相切于A ，B ，N 为线段AB 的中点．求证： 2AB NP =，且直线AB 恒过定点．21. (本小题满分12分) 已知函数()sin cos f x x x x =+.(Ⅰ)若(0,2)x π∈，求函数()f x 的极值；(Ⅱ)若0x >，记i x 为()f x 的从小到大的第i （i N *∈）个极值点，证明：222223411111+9n x x x x +++<L （2n n N *≥∈，）．(二)选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.[选修4—4：坐标系与参数方程] (本小题满分10分)已知直线l的参数方程为1x ty =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为24cos sin 4ρρθθ=+-．(Ⅰ) 求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程； (Ⅱ) 设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求OA OB ⋅的值．23.选修4-5：不等式选讲 (本小题满分10分)设函数()1f x x x a =++-．(Ⅰ)当2a =时，求不等式()5f x >的解集；(Ⅱ)对任意实数x ，都有()3f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．2020年度莆田六中高三第一次模拟考文科数学试卷参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）A ．2. D 【解析】：∵2zi i =--，∴12z i =-+，∴z =D ．3. D【解析】：∵2a ，4a ，8a 成等比数列，∴2428a a a =，∴2111(3)()(7)a d a d a d +=++，∴21d a d =，又0d ≠，10a ≠，∴1d a =，∴11(1)0n a a n d na =+-=≠，∴1591112311+++5+93+2+3a a a a a a a a a a ==，故应选D ．4. C 【解析】：设2AB =，则1BG =，AG ，故多边形AEFGHID 的面积155222122S =⨯⨯+⨯⨯=，∵2sin cos 5AB EAB GAB AG ∠=∠==，∴112sin 522225S AE AB EAB =⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯=阴影部分，故所求概率为21126P ==．故应选C ． 5. B 【解析】： 由m ⊥α，n m ⊥推不出n α∥（可能n α⊂），由m ⊥α，n α∥能推出n m ⊥； 6. B 【解析】：点B 在直线23y =上，过点(0,23)A -作圆的切线，设该切线的斜率为k ，则该切线的方程为23y kx =-，即230kx y --=．由圆心到切线的距离等于半径得：22331k =+，∴3k =±，∴该切线的方程为323y x =±-，它和直线23y =的交点为(4,2)-、(4,2)．故要使视线不被圆C挡住，则实数a 的取值范围为(,4)(4,)-∞-+∞U ，故应选B ．（或作出图形，利用平几法，求相关线段）7. C 【解析】：∵()2cos 23sin 4cos()3f x x x x π=-=+向左平移ϕ（0ϕ>）单位后得到函数()g x =4cos()3x πϕ++，又()g x 为偶函数，故3k πϕπ+=，k Z ∈，故3k πϕπ=-+，k Z ∈，故min 23πϕ=，故应选C ． 8. A 【解析】：抠点法:在长方体1111ABCD A B C D -中抠点，①由正视图可知：11C D 上没有点； ②由侧视图可知：11B C 上没有点； ③由俯视图可知：1CC 上没有点；④由正（俯）视图可知：,D E 处有点，由虚线可知,B F 处有点，A 点排除．由上述可还原出四棱锥1A BEDF -，如右上图所示，∴111BEDF S =⨯=，∴1111133A BEDF V -=⨯⨯=．故选A .9. C 【解析】：依题意得：121n n S n =+，∴22n S n n =+，故可得41n a n =-，∴14n n a b n +==，11111(1)1n n b b n n n n +==-++，再由裂项求和法，可得1223341011111111011111b b b b b b b b ++++=-=L ，故应选C ．10. D 【解析】：∵+3a b =r r ，2a b -=r r ，∴2(+)9a b =r r ，2()4a b -=r r ，∴22(+)()13a b a b +-=r r r r ，∴2213+2a b =r r ，∴2213+2a b =r r ，∴2213+22a b a b =≥r r r r ，（当且仅当13a b ==r r 时，等号成立），∴2222(+)13()a b a b =≥+r r r r ，∴13a b +≤r r ，又a b a b +≥±r r r r ，∴3a b +≥r r，故应选D ．11. B 【解析】：此框图的功能是求56大于1的约数的个数，其约数有2，4，7，8，14，28，56，共有7个，故应选B ．12. B 【解析】：设()m f x =，则()f m t =，先作出2,0(),0m m f m m m ⎧≥=⎨-<⎩的图象，及直线y t =，结合图象可以看出：①当0t <时，m 不存在，从而x 不存在；②当0t =时，0m =，则0x =，原方程有唯一根；③当01t <<时，则存在唯一负数m 与之对应，再作出2,0()0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，的图象，及直线y m =，结合图象，可以看出：x 不存在；④当1t ≥时，则存在一个负数1m 或一个非负数2m 与之对应，再作出2,0()0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，的图象，及直线i y m =（1,2i =），结合图象，可以看出：⑴对于负数1m ，没有x 与之对应，⑵当21m ≥时，则有两个不同的x 与之对应，⑶当201m <<时，则有唯一的x 与之对应，综上所述：原方程的根的情况有：无实根，恰有1实根，恰有2实根，从而可得①、②、③正确．故应选B ．二、填空题：（本题共 4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. b c a << 【解析】∵0.6 3.1 3.1152,0.52,sin 26a b c π---=====， 3.110.6-<-<-，∴b c a <<；14.3 【解析】：画出可行域后可得最优解为(1,1)P -，故max 3z =； 15.54【解析】：由1212222121824PF PF PF PF a PF PF c ⎧⋅=⎪⎪-=⎨⎪⎪+=⎩u u u r u u u u r u u ur u u u u r u u u r u u u 得：29b =，故3b =，又7a b +=，∴4a =，∴5c =，∴54e =； 16.2018【解析】：∵11()3sin()22f x x x =+-+，∴1111(1)13sin()13sin()2222f x x x x x -=-+-+=---+，∴()(1)2f x f x +-=，又设1232018()()()()2019201920192019S f f f f =+++⋅⋅⋅+，则20183()()20192019S f f =+⋅⋅⋅+ 21()()20192019f f ++，∴1201822017320162[()()][()()][()()]201920192019201920192019S f f f f f f =++++++⋅⋅⋅ 20181[()()]22222201820192019f f ++=++++=⨯L ，∴2018S =． 三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (一)必考题：共60分. 17. (本小题满分12分) 解：(Ⅰ)∵23()3sin()sin()cos 12f x x x x π=-+-+=231cos23sin cos sin 22x x x x x -⋅+=+ 1sin(2)62x π=-+，………3分，令222262k x k πππππ-≤-≤+，k Z ∈，∴63k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，∴函数() f x 的递增区间为[,]63k k ππππ-+，k Z ∈，………6分；(Ⅱ) ∵3()2f A =，∴13sin(2)622A π-+=，∴sin(2)16A π-=，又0A π<<，∴112666A πππ-<-<， ∴262A ππ-=，∴3A π=，又AD 平分BAC ∠，∴6BAD π∠=，……8分；又22AD BD ==，又由正弦定理得：sin sin BD ADBAD B =∠，22sin sin 6B =，∴2sin B ，又203B π<<，∴=4B π；……10分∴()34C πππ=-+，∴123262cos cos()()342C ππ-=-+=-⨯-⨯=．……12分18. (本小题满分12分)解：(Ⅰ)这60辆普通6座以下私家车在第四年续保时保费高的平均值为105520155119(0.9+0.8+0.7+1+ 1.1+ 1.3)950950942.1606060606060120⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯≈元；…5分 (Ⅱ) ①由统计数据可知，该销售商店内的6辆该品牌车龄已满三年的二手车中有2辆事故车，设为a ，b ，4辆非事故车，设为1，2，3，4．从这6辆车中随机挑选3辆车的情况有(,,1)a b ，(,,2)a b ，(,,3)a b ，(,,4)a b ，(,1,2)a ，(,1,3)a ，(,1,4)a ，(,2,3)a ，(,2,4)a ，(,3,4)a ，(,1,2)b ，(,1,3)b ， (,1,4)b ，(,2,3)b ，(,2,4)b ，(,3,4)b ，(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)，共20种情况．…6分其中3辆车中恰好有一辆为事故车的情况有：(,1,2)a ，(,1,3)a ，(,1,4)a ，(,2,3)a ，(,2,4)a ，(,3,4)a ，(,1,2)b ，(,1,3)b ，(,1,4)b ，(,2,3)b ，(,2,4)b ，(,3,4)b ，共12种．…7分，故该顾客在店内随机挑选3辆车，这3辆车中恰好有一辆事故车的概率为123=205.…9分， ②由统计数据可知，该销售商一次购进120辆该品牌车龄已满三年的二手车有事故车40辆，非事故车80辆，所以一辆车盈利的平均值为1[(5000)401000080]5000120-⨯+⨯=(元)．…12分19. (本小题满分12分)解：(Ⅰ)在直角ABC ∆中，90ABC ∠=o，4AB BC ==，∴42AC =，又∵ 在PAC ∆中，4PA =，42AC =，43PC =，∴222PC PA AC =+，∴PA AC ⊥…3分，又DE AC ⊥，∴PA DE ∥，又PA ⊄面DEB ，DE ⊂ 面DEB ，∴PA ∥面DEB …6分(Ⅱ)∵PA AC ⊥，PA AB ⊥，AB AC A =I ，∴PA ⊥面ABC ，又DB ⊂面ABC ，∴PA DB ⊥，又∵AB BC =，AD DC =，∴DB AC ⊥，又PA AC A =I ，∴DB ⊥面PAC ，又DE ⊂面PAC ，∴DB DE ⊥，…9分，又1222DB AC ==，∴当DE 最小时，BDE ∆的面积最小，又当DE PC ⊥时，DE 最小，故此时126sin 222343PA DE DC PCA AC PC ==⨯=⨯=， ∴cos 22ACEC DC PCA PC =⨯=⨯424322343=⨯=， ∴112434262233DEC S DE EC ∆=⨯=⨯⨯=，又DB ⊥面PAC ， ∴11421622339E BCD B CDE CDE V V S BD --∆==⨯=⨯⨯= ……12分．20. (本小题满分12分)解：(Ⅰ) ∵圆M 过点F ，且与直线l 相切，∴点M 到点F 的距离等于点M 到直线l 的距离，∴点M 的轨迹是以(0,1)F 为焦点，以直线l ：1y =-为准线的一抛物线，∴12p=即2p =，∴动点M 的轨迹C 的方程为24x y =；…4分(Ⅱ)依题意可设0(,1)P x -，2111(,)4A x x ，2221(,)4B x x ，…5分，又24x y =，∴214y x =，∴12y x '=， ∴切线PA 的斜率1112k x =，∴切线PA ：211111()42y x x x x -=-，即211240x x y x --=，…6分， 同理可得： 切线PB 的斜率2212k x =，PB ：222240x x y x --=，…7分，又0(,1)P x -，∴21012+40x x x -=且22022+40x x x -=，故方程202+40x x x -=即20240x x x --=有两根1x ，2x ，∴124x x =-，…8分， ∴1212121111224k k x x x x =⨯==-，∴PA PB ⊥，…9分，又N 为线段AB 的中点，∴2AB NP =…10分，又由21012+40x x x -=得：21101+1024x x x -=，即1011+102x x y -=，同理可得：2021+102x x y -=，故直线AB 的方程为01+102x x y -=…11分，故直线AB 恒过定点(0,1)F ．…12分．21. (本小题满分12分)解：(Ⅰ) ∵()sin cos f x x x x =+，02x π<<，∴()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=，02x π<<…1分令()0f x '=，则2x π=或32x π=，…2分，∴当02x π<<或322x ππ<<时，()0f x '>，当322x ππ<<时，()0f x '<，∴()f x 在(0,)2π上递增，在3(,)22ππ上递减，()f x 在3(,2)2ππ上递增，∴当2x π=时，()f x取得极大值，()()22f x f ππ==极大值，当32x π=时，()f x 取得极小值，33()()22f x f ππ==-极小值；…5分(Ⅱ)∵i x 为()f x 的从小到大的第i （i N *∈）个极值点，又令()0f x '=，0x >，则(21)2i i x π-=， i N *∈，…6分，∴222221441(21)(21)1i x i i ππ=<⨯---2222(22)i i π=⨯-2111()1i iπ=⨯--，2i ≥，i N *∈，…9分， ∴22222341111+n x x x x +++L 22111111111111[()()()()]()12233411n n n ππ<-+-+-++-=⨯--L 2119π<<．…12分．22. (本小题满分10分)解：(Ⅰ)∵直线l 的参数方程为1x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），∴直线l 的普通方程为1)y x -，即y =，∴直线l 的极坐标方程：=3πθ…2分；又∵曲线C 的极坐标方程为24cos sin 4ρρθθ=+-，cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴2244x y x +=+-，即22(2)(3x y -+=，∴曲线C的直角坐标方程为22(2)(3x y -+=，…5分；(Ⅱ)∵将直线l ：=3πθ代入曲线C的极坐标方程：24cos sin 4ρρθθ=+-得：2540ρρ-+=，…7分；设直线l 与曲线C 的两交点,A B 的极坐标分别为11(,)A ρθ，22(,)B ρθ，∴124ρρ=，…8分；∴12124OA OB ρρρρ⋅=⋅==的值．…10分．23．解：(Ⅰ)∵()1f x x x a =++-，∴当2a =时，21,1()123,1221,2x x f x x x x x x -+<-⎧⎪=++-=-≤≤⎨⎪->⎩，…2分；又()5f x >，∴1215x x <-⎧⎨-+>⎩或1235x -≤≤⎧⎨>⎩或2215x x >⎧⎨->⎩，…3分；∴12x x <-⎧⎨<-⎩或x ∈∅或23x x >⎧⎨>⎩， ∴2x <-或3x >，…4分；∴()5f x >的解集为(,2)(3,)-∞-+∞U ；…5分；(Ⅱ) ∵()11f x x x a a =++-≥+（当且仅当(1)()0x x a +-≤时，等号成立），…6分； ∴min ()1f x a =+…7分；又对任意实数x ，都有()3f x ≥恒成立，∴min ()3f x ≥，…8分；∴13a +≥，∴13a +≥或13a +≤-，∴2a ≥或4a ≤-．…9分；故实数a 的取值范围为2a ≥或4a ≤-．…10分．。