最新人教A版必修四高中数学2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.2-2.3.3 同步习题及答案

2.3 平面向量的基本定理及其坐标表示2.3.1 平面向量基本定理2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示一、教学分析平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点.平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合,这样,如果将平面内向量的始点放在一起,那么由平面向量基本定理可知,平面内的任意一点都可以通过两个不共线的向量得到表示,也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示.这是引进平面向量基本定理的一个原因.在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的特殊情形,向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一种分解,因为在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时,会给问题的研究带来方便.联系平面向量基本定理和向量的正交分解,由点在直角坐标系中的表示得到启发,要在平面直角坐标系中表示一个向量,最方便的是分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底,这时,对于平面直角坐标系内的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x、y,使得a=x i+y j.于是,平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定,而有序数对(x,y)正好是向量a的终点的坐标,这样的“巧合”使平面直角坐标系内的向量与坐标建立起一一映射,从而实现向量的“量化”表示,使我们在使用向量工具时得以实现“有效能算”的思想.二、教学目标1、知识与技能：了解平面向量的基本定理及其意义；理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，掌握平面向量正交分解及其坐标表示。

2、过程与方法：初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达。

3、情感态度与价值观：通过平面向量的正交分解及坐标表示，揭示图形（向量）与代数（坐标）之间的联系。

三、重点难点教学重点:平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义、平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示.教学难点:平面向量基本定理的运用.四、教学设想（一）导入新课思路1.在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来,会产生什么样的结论呢？又如一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G,可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直于斜面且压紧斜面的力F2.我们知道飞机在起飞时若沿仰角α的方向起飞的速度为v ,可分解为沿水平方向的速度vcosα和沿竖直方向的速度vsinα.从这两个实例可以看出,把一个向量分解到两个不同的方向,特别是作正交分解,即在两个互相垂直的方向上进行分解,是解决问题的一种十分重要的手段.如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线的向量,a 是这一平面内的任一向量,那么a 与e 1、e 2之间有什么关系呢？在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底,是否会给我们带来更方便的研究呢?思路2.前面我们学习了向量的代数运算以及对应的几何意义,如果将平面内向量的始点放在一起,那么平面内的任意一个点或者任意一个向量是否都可以用这两个同起点的不共线向量来表示呢？这样就引进了平面向量基本定理.教师可以通过多对几个向量进行分解或者合成,在黑板上给出图象进行演示和讲解.如果条件允许,用多媒体教学,通过相应的课件来演示平面上任意向量的分解,对两个不共线的向量都乘以不同的系数后再进行合成将会有什么样的结论？（二）推进新课、新知探究、提出问题图1①给定平面内任意两个不共线的非零向量e 1、e 2,请你作出向量3e 1+2e 2、e 1-2e 2.平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e 1+λ2e 2的向量表示呢?②如图1,设e 1、e 2是同一平面内两个不共线的向量,a 是这一平面内的任一向量,我们通过作图研究a 与e 1、e 2之间的关系.活动:如图1,在平面内任取一点O,作OA =e 1,OB =e 2,OC =a .过点C 作平行于直线OB 的直线,与直线OA;过点C 作平行于直线OA 的直线,与直线OB 交于点N.由向量的线性运算性质可知,存在实数λ1、λ2,使得OM =λ1e 1,ON =λ2e 2.由于ON OM OC +=,所以a =λ1e 1+λ2e 2.也就是说,任一向量a 都可以表示成λ1e 1+λ2e 2的形式.由上述过程可以发现,平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1、e 2表示出来.当e 1、e 2确定后,任意一个向量都可以由这两个向量量化,这为我们研究问题带来极大的方便.由此可得:平面向量基本定理:如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数λ1、λ2,使a =λ1e 1+λ2e 2.定理说明:(1)我们把不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;(2)基底不唯一,关键是不共线;(3)由定理可将任一向量a 在给出基底e 1、e 2的条件下进行分解;(4)基底给定时,分解形式唯一.讨论结果:①可以.②a =λ1e 1+λ2e 2.提出问题①平面中的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗？②对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？活动:引导学生结合向量的定义和性质,思考平面中的任意两个向量之间的关系是什么样的,结合图形来总结规律.教师通过提问来了解学生总结的情况,对回答正确的学生进行表扬,对回答不全面的学生给予提示和鼓励.然后教师给出总结性的结论:不共线向量存在夹角,关于向量的夹角,我们规定:图2已知两个非零向量a和b(如图2),作OA=a,OB=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.显然,当θ=0°时,a与b同向;当θ=180°时,a与b反向.因此,两非零向量的夹角在区间[0°,180°]内.如果a与b的夹角是90°,我们说a与b垂直,记作a⊥b.由平面向量的基本定理,对平面上的任意向量a,均可以分解为不共线的两个向量λ1a1和λ2a2,使a=λ1a1+λ2a2.在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.如上,重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解,正交分解是向量分解中常见的一种情形.在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时,会为我们研究问题带来方便.讨论结果:①存在夹角且两个非零向量的夹角在区间[0°,180°]内;向量与直线的夹角不一样.②可以.提出问题①我们知道,在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对直角坐标平面内的每一个向量,如何表示呢?②在平面直角坐标系中,一个向量和坐标是否是一一对应的？图3活动:如图3,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量ｉ、j 作为基底.对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x、y,使得a=xｉ+y j①这样,平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y)②其中x 叫做a 在x 轴上的坐标,y 叫做a 在y 轴上的坐标,②式叫做向量的坐标表示.显然,ｉ=(1,0),j =(0,1),0=(0,0).教师应引导学生特别注意以下几点:(1)向量a 与有序实数对(x,y)一一对应.(2)向量a 的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系,只与其相对位置有关系.如图所示,11B A 是表示a 的有向线段,A 1、B 1的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2),则向量a 的坐标为x=x 2-x 1,y=y 2-y 1,即a 的坐标为(x 2-x 1,y 2-y 1). (3)为简化处理问题的过程,把坐标原点作为表示向量a 的有向线段的起点,这时向量a 的坐标就由表示向量a 的有向线段的终点唯一确定了,即点A 的坐标就是向量a 的坐标,流程表示如下:讨论结果:①平面内的任一向量a 都可由x 、y 唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量a 的坐标,记作a =(x,y). ②是一一对应的.（三）应用示例思路1例1 如图4,ABCD,AB =a ,AD =b ,H 、M 是AD 、DC 之中点,F 使BF=31BC,以a ,b 为基底分解向量HF AM 和.图4 活动:教师引导学生利用平面向量基本定理进行分解,让学生自己动手、动脑.教师可以让学生到黑板上板书步骤,并对书写认真且正确的同学提出表扬,对不能写出完整解题过程的同学给予提示和鼓励.解:由H 、M 、F 所在位置,有 +=+=DM a b 212121+=+=AB 21=b +21a . 21312131-+=-+-+=-= =a 61-b . 点评:以a 、b 为基底分解向量AM 与HF ,实为用a 与b 表示向量AM 与HF .变式训练图5已知向量e 1、e 2(如图5),求作向量-2.5e 1+3e 2.作法:(1)如图,任取一点O,作 OA =-2.5e 1,OB =3e 2.(2)作OACB.故OC OC 就是求作的向量.图6例2 如图6,分别用基底ｉ、j 表示向量a 、b 、c 、d ,并求出它们的坐标.活动:本例要求用基底i 、j 表示a 、b 、c 、d ,其关键是把a 、b 、c 、d 表示为基底i 、j 的线性组合.一种方法是把a 正交分解,看a 在x 轴、y 轴上的分向量的大小.把向量a 用i 、j 表示出来,进而得到向量a 的坐标.另一种方法是把向量a 移到坐标原点,则向量a 终点的坐标就是向量a 的坐标.同样的方法,可以得到向量b 、c 、d 的坐标.另外,本例还可以通过四个向量之间位置的几何关系:a 与b 关于y 轴对称,a 与c 关于坐标原点中心对称,a 与d 关于x 轴对称等.由一个向量的坐标推导出其他三个向量的坐标.解:由图可知,a =1AA +2AA =x i +y j ,∴a =(2,3).同理,b =-2i +3j =(-2,3);c =-2i -3j =(-2,-3);d =2i -3j =(2,-3). 点评:本例还可以得到启示,要充分运用图形之间的几何关系,求向量的坐标.变式训练i ,j 是两个不共线的向量,已知AB =3i +2j ,CB =i +λj ,CD =-2i +j ,若A 、B 、D 三点共线,试求实数λ的值.解:∵BD =CD -CB =(-2i +j )-(i +λj )=-3i +(1-λ)j ,又∵A 、B 、D 三点共线,∴向量AB 与BD 共线.因此存在实数υ,使得AB =υBD ,即3i +2j =υ[-3i +(1-λ)j ]=-3υi +υ(1-λ)j .∵i 与j 是两个不共线的向量,故⎩⎨⎧=-=-,2)1(,33λv v ∴⎩⎨⎧=-=.3,1λv ∴当A 、B 、D 三点共线时,λ=3.例3 下面三种说法:①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底;②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底;③零向量不可以作为基底中的向量,其中正确的说法是( )A.①②B.②③C.①③D.①②③活动:这是训练学生对平面向量基本定理的正确理解,教师引导学生认真地分析和理解平面向量基本定理的真正内涵.让学生清楚在平面中对于基底的选取是不唯一的,只要是同一平面内的两个不共线的向量都可以作为基底.解:平面内向量的基底是不唯一的.在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底;而零向量可看成与任何向量平行,故零向量不可作为基底中的向量.综上所述,②③正确.答案:B点评:本题主要考查的是学生对平面向量定理的理解.思路2图7 例1 如图7,M 是△ABC 内一点,且满足条件=++CM BM AM 320,延长CM 交AB 于N,令CM =a ,试用a 表示CN . 活动:平面向量基本定理是平面向量的重要定理,它是解决平面向量计算问题的重要工具.由平面向量基本定理,可得到下面两个推论:推论1:e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量,若存在实数λ1、λ2,使得λ1e 1+λ2e 2=0,则λ1=λ2=0.推论2:e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量,若存在实数a 1,a 2,b 1,b 2,使得a =a 1e 1+a 2e 2=b 1e 1+b 2e 2,则⎪⎩⎪⎨⎧==.,2211b a b a 解:∵,,NM BN BM NM AN AM +=+=∴由CM BM AM 32++=0,得=++++CM NM BN NM AN 3)(2)(0.∴CM BN NM AN 323+++=0. 又∵A 、N 、B 三点共线,C 、M 、N 三点共线,由平行向量基本定理,设,,NM CM BN AN μλ==∴=+++NM BN NM BN μλ3230. ∴(λ+2)BN +(3+3μ)NM =0.由于BN 和NM 不共线,∴⎩⎨⎧=+=+,033,02μλ∴⎩⎨⎧-=-=12μλ ∴.MN NM CM =-=∴CM MN CM CN 2=+==2a .点评:这里选取NM BN ,作为基底,运用化归思想,把问题归结为λ1e 1+λ2e 2=0的形式来解决. 变式训练设e 1与e 2是两个不共线向量,a =3e 1+4e 2,b =-2e 1+5e 2,若实数λ、μ满足λa +μb =5e 1-e 2,求λ、μ的值.解:由题设λa +μb =(3λe 1+4λe 2)+(-2μe 1+5μe 2)=(3λ-2μ)e 1+(4λ+5μ)e 2.又λa +μb =5e 1-e 2.由平面向量基本定理,知⎩⎨⎧-=+=-.154,523λλλλ 解之,得λ=1,μ=-1.图8例2 如图8,△ABC 中,AD 为△ABC 边上的中线且AE=2EC,求GEBG GD AG 及的值. 活动:教师让学生先仔细分析题意,以明了本题的真正用意,怎样把平面向量基本定理与三角形中的边相联系？利用化归思想进行转化完后,然后结合向量的相等进行求解比值.解:设μλ==GEBG GD AG , ∵BD =DC ,即AD -AB =AC -AD ,∴AD =21(AB +AC ). 又∵AG =λGD =λ(AD -AG ),∴AG =λλ+1AD =)1(2λλ+AB +)1(2λλ+.① 又∵BG =μGE ,即AG -AB =μ(AE -AG ), ∴(1+μ)AG =AB +μAG AE ,=AE AB μμμ+++111 又AE =32AC ,∴AG =AB μ+11+)1(32μμ+AC .② 比较①②,∵AB 、AC 不共线, ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=+.)1(32)1(2,11)1(2μμλλμλλ解之,得⎪⎩⎪⎨⎧==23,4μλ∴.23,4==GE BG GD AG 点评:本例中,构造向量在同一基底下的两种不同表达形式,利用相同基向量的系数对应相等得到一实数方程组,从而进一步求得结果.变式训练过△OAB 的重心G 的直线与边OA 、OB 分别交于P 、Q,设OP =h OA ,OB k OQ =,试证:311=+kh 解:设OA =a ,OB =b ,OG 交AB 于D,则OD =21(OB OA +)=21(a +b )(图略). ∴OG =32=31(a +b ),OQ OG QG -==31(a +b )-k b =31a +331k -b , OQ OP QP -==h a -k b .∵P 、G 、Q 三点共线,∴QP QG λ=. ∴31a +331k -b =λh a -λk b .∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.331,31k k h λλ 两式相除,得.3311hk h k k h k =+⇒-=-, ∴kh 11+=3. （四）知能训练1.已知G 为△ABC 的重心,设AB =a ,AC =b ,试用a 、b 表示向量AG .2.已知向量a =(x+3,x 2-3x-4)与AB 相等,其中A(1,2),B(3,2),求x.图9解答: 1.如图9,AG =32, 而=+=+=BC AB BD AB AD 21a +21(b -a )=21a +21b , ∴3232==AD AG (21a +21b )=31a +31b . 点评:利用向量加法、减法及数乘的几何意义.2.∵A(1,2),B(3,2),∴AB =(2,0).∵a=AB ,∴(x+3,x 2-3x-4)=(2,0).∴⎩⎨⎧=--=+043,232x x x 解得⎩⎨⎧=-=-=.41,1x x x 或 ∴x=-1.点评:先将向量AB 用坐标表示出来,然后利用两向量相等的条件就可使问题得到解决.（五）课堂小结1.先由学生回顾本节学习的数学知识:平面向量的基本定理,向量的夹角与垂直的定义,平面向量的正交分解,平面向量的坐标表示.2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,如待定系数法,定义法,归纳与类比,数形结合,几何作图.（六）作业。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作一、选择题：1. 若向量a ＝（x+3，x 2－3x －4）与AB 相等，已知A （1，2）和B （3，2），则x 的值（ ）A 、－1B 、－1或4C 、4D 、1或－42. 已知，A （2，3），B （－4，5），则与AB 共线的单位向量是（ ） A 、)1010,10103(-=e B 、)1010,10103()1010,10103(--=或e C 、)2,6(-=e D 、)2,6()2,6(或-=e3．己知P 1(2,－1) 、P 2(0,5) 且点P 在P 1P 2的延长线上,||2||21PP P P =, 则P 点坐标为( )A 、(－2,11)B 、()3,34C 、(32,3)D 、(2,－7)4.设i 、j 是平面直角坐标系内分别与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，且j i OA 24+=， j i OB 43+=，则△OAB 的面积等于（ ）A 、15B 、10C 、7.5D 、55．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（－1，0），（3，0），（1，－5），则第四个顶点的坐标是（ ）A 、（1，5）或（5，5）B 、（1，5）或（－3，－5）C 、（5，－5）或（－3，－5）D 、（1，5）或（5，－5）或（－3，－5）二、填空题：6．已知向量=⊥=-=m AB OA m OB OA 则若,),,3(),2,1(7.已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与垂直时k 值为8 若向量a = (1,1), b = (1,－1), c =(－1,2),则 c =________（用a 与b 表示）9.已知点A （－1，5），若向量AB 与向量a ＝（2，3）同向，且AB ＝3a ，则点B 的坐标为10．平面上三个点，分别为A （2，－5），B （3，4），C （－1，－3），D 为线段BC 的中点，则向量DA 的坐标为三、解答题:11. 已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，||43OA =，60xOA ∠=，求向量OA 的坐标、12. 已知点A （－1，2），B （2，8）及13AC AB =，13DA BA =-，求点C 、D 和CD 的坐标。

2．3．3平面向量地坐标运算教学目地：<1）理解平面向量地坐标地概念；<2）掌握平面向量地坐标运算；<3）会根据向量地坐标，判断向量是否共线.教学重点：平面向量地坐标运算教学难点：向量地坐标表示地理解及运算地准确性.教学过程：一、复习引入：1．平面向量基本定理：如果，是同一平面内地两个不共线向量，那么对于这一平面内地任一向量，有且只有一对实数λλ2使=λ1+λ2(1>我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量地一组基底；(2>基底不惟一，关键是不共线；(3>由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２地条件下进行分解；(4>基底给定时，分解形式惟一. λλ2是被，，唯一确定地数量二、讲解新课：1．平面向量地坐标运算思考1：已知：，，你能得出、、地坐标吗？设基底为、，则即，同理可得<1）若，，则，两个向量和与差地坐标分别等于这两个向量相应坐标地和与差. <2）若和实数，则.实数与向量地积地坐标等于用这个实数乘原来向量地相应坐标.设基底为、，则，即实数与向量地积地坐标等于用这个实数乘原来向量地相应坐标. 思考2：已知，，怎样求地坐标？<3）若，，则=-=( x2，y2> - (x1，y1>= (x2- x1， y2- y1> 一个向量地坐标等于表示此向量地有向线段地终点坐标减去始点地坐标.思考3：你能标出坐标为(x2- x1， y2- y1>地P点吗？向量地坐标与以原点为始点、点P为终点地向量地坐标是相同地.三、讲解范例：例1 已知=(2，1>，=(-3，4>，求+，-，3+4地坐标. 例 2 已知平面上三点地坐标分别为A(-2， 1>， B(-1， 3>，C(3， 4>，求点D地坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.解：当平行四边形为ABCD时，由得D1=(2， 2>当平行四边形为ACDB时，得D2=(4， 6>，当平行四边形为DACB 时，得D3=(-6， 0>例3已知三个力 (3， 4>，(2，-5>，(x， y>地合力++=，求地坐标.解：由题设++=得：(3， 4>+ (2，-5>+(x， y>=(0，0>即：∴∴(-5，1>四、课堂练习：1．若M(3， -2> N(-5， -1> 且，求P点地坐标2．若A(0， 1>， B(1， 2>， C(3， 4> ，则-2=. 3．已知：四点A(5， 1>， B(3， 4>， C(1， 3>， D(5， -3> ，求证：四边形ABCD是梯形.五、小结：平面向量地坐标运算；六、课后作业：《习案》作业二十申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途.。

第二章 平面向量§2.2 平面向量的线性运算2.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3　平面向量的坐标运算明目标知重点填要点记疑点探要点究所然内容索引010203当堂测查疑缺 04明目标、知重点1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来.1.平面向量的坐标表示(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正交分解.(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个 i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝，则 叫做向量a 的坐标， 叫做向量a 的坐标表示.互相垂直填要点·记疑点单位向量x i ＋y j 有序数对(x ，y )a ＝(x ，y )2.平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和.(x ，y )(x 2－x 1，y 2－y 1)(x 1＋x 2，y 1＋y 2)(2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a －b ＝，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差.(3)若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.(x 1－x 2，y 1－y 2)(λx ，λy )探要点·究所然情境导学我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对于直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？能不能像点一样也用坐标来表示？探究点一　平面向量的坐标表示思考1　如果向量a与b的夹角是90°，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？答　互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一组基底.思考2　把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.如图，向量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|＝4，以向量i、j为基底，向量a如何表示？小结　在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.对于平面内的任一向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝x i＋y j.我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a 在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标.显然有，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0).思考3　在平面直角坐标系中，作向量＝a，若＝(x，y)，此时点A的坐标是什么？根据右图写出向量a，b，c，d的坐标，其中每个小正方形的边长是1.答　A(x，y)；a＝(2,3)，b＝(－2,3)，c＝(－3，－2)，d＝(3，－3).探究点二　平面向量的坐标运算思考1　设i 、j 是与x 轴、y 轴同向的两个单位向量，若设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＝x 1i ＋y 1j ，b ＝x 2i ＋y 2j ，根据向量的线性运算性质，向量a ＋b ，a －b ，λa (λ∈R )如何分别用基底i 、j 表示？答　a ＋b ＝(x 1＋x 2)i ＋(y 1＋y 2)j ，a －b ＝(x 1－x 2)i ＋(y 1－y 2)j ，λa ＝λx 1i ＋λy 1j .思考2　根据向量的坐标表示，向量a ＋b ，a －b ，λa 的坐标分别如何？用数学语言描述上述向量的坐标运算.答　a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2);a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2);λa ＝(λx 1，λy 1).两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)；实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.思考3　已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么向量 的坐标是什么？一般地，一个任意向量的坐标如何计算？点的坐标与向量的坐标有何区别？答 ＝(x 2－x 1，y 2－y 1). 任意一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标.(1)向量a ＝(x ，y )中间用等号连接，而点的坐标A (x ，y )中间没有等号.(2)平面向量的坐标只有当起点在原点时，向量的坐标才与向量终点的坐标相同.(3)在平面直角坐标系中，符号(x，y)可表示一个点，也可表示一个向量，叙述中应指明点(x，y)或向量(x，y).例1　已知a＝(2,1)，b＝(－3,4)，求a＋b，a－b,3a＋4b的坐标.解　a＋b＝(2,1)＋(－3,4)＝(－1,5)，a－b＝(2,1)－(－3,4)＝(5, －3)，3a＋4b＝3(2,1)＋4(－3,4)＝(6,3)＋(－12,16)＝(－6,19).反思与感悟　(1)已知两点求向量的坐标时，一定要注意是终点坐标减去起点坐标；(2)向量的坐标运算最终转化为实数的运算.跟踪训练1　已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：(1)2a＋3b；解　2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1)＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7).(2)a－3b；解　a－3b＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1).例2　已知a＝(－2,3)，b＝(3,1)，c＝(10，－4)，试用a，b表示c.解　设c＝x a＋y b，则(10，－4)＝x(－2,3)＋y(3,1)＝(－2x＋3y,3x＋y)，解得x＝－2，y＝2，∴c＝－2a＋2b.反思与感悟　待定系数法是最基本的数学方法之一，它的实质是先将未知量设出来，再利用方程或方程组求解，把一个向量用其他两个向量表示，这是常用方法.跟踪训练2　已知a＝(10，－5)，b＝(3,2)，c＝(－2,2)，试用b，c 表示a.解　设a＝λb＋μc (λ，μ∈R).则(10，－5)＝λ(3,2)＋μ(－2,2)＝(3λ，2λ)＋(－2μ，2μ)＝(3λ－2μ，2λ＋2μ).解　由A(2，－4)，B(－1,3)，C(3,4)，得＝(－2，－16)＋(－12，－3)＝(－14，－19).∴点M的坐标为(－11，－15).反思与感悟　向量的坐标运算是几何与代数的统一，几何图形的法则是代数运算的直观含义，坐标运算是图形关系的精确表示，二者的法则互为补充，要充分利用这一点，有效解决问题.跟踪训练3　已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(3,7)，(4,6)，(1，－2)，求第四个顶点的坐标.解　不妨设A(3,7)，B(4,6)，C(1，－2)，第四个顶点为D(x，y).则A、B、C、D四点构成平行四边形有以下三种情形.∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x，y)，(2)当平行四边形为ABDC时，仿(1)可得D(2，－3).(3)当平行四边形为ADBC时，仿(1)可得D(6,15).综上所述，第四个顶点的坐标可能为(0，－1)，(2，－3)或(6,15).1.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(3,1)，则b －a 等于( )A.(－2,1)B.(2，－1)C.(2,0)D.(4,3)解析　b －a ＝(3,1)－(1,2)＝(2，－1)，故选B.当堂测·查疑缺 1234BA答案　A12344.已知向量a＝(2，－3)，b＝(1,2)，p＝(9,4)，若p＝m a＋n b，则7m＋n＝________.呈重点、现规律1.在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系.关系图如图所示.2.向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同.当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同.3.向量坐标形式的运算，要牢记公式，细心计算，防止符号错误.。

第二章 2.3 2.3.4A 级 基础巩固一、选择题1．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,2)，若a ∥b ，则实数m 等于导学号 14434775( C ) A ．－ 2 B ． 2 C ．－2或 2D ．0[解析] 本题考查了向量的坐标运算，向量平行的坐标表示等．由a ∥b 知1×2＝m 2，即m ＝2或m ＝－ 2.2．已知点A (－1,1)，点B (2，y )，向量a ＝(1,2)，若AB →∥a ，则实数y 的值为导学号 14434776( C )A ．5B ．6C ．7D ．8[解析] AB →＝(3，y －1)，又AB →∥a ， 所以(y －1)－2×3＝0，解得y ＝7.3．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝导学号 14434777( A ) A ．(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4)D ．(1,4) [解析] 设C (x ，y )，∵A (0,1)，AC →＝(－4，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4，y －1＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2，∴C (－4，－2)，又B (3,2)，∴BC →＝(－7，－4)，选A ． 4．已知向量a ＝(32，sin α)，b ＝(sin α，16)，若a ∥b ，则锐角α为导学号 14434778( A )A ．30°B ．60°C ．45°D ．75°[解析] ∵a ∥b ，∴sin 2α＝32×16＝14，∴sin α＝±12.∵α为锐角，∴α＝30°.5．已知向量a ＝(1,3)，b ＝(2,1)，若a ＋2b 与3a ＋λb 平行，则λ的值等于导学号 14434779( B )A ．－6B ．6C ．2D ．－2[解析] a ＋2b ＝(5,5)，3a ＋λb ＝(3＋2λ，9＋λ)， 由条件知，5×(9＋λ)－5×(3＋2λ)＝0， ∴λ＝6.6．若a ＝(1,2)，b ＝(－3,0)，(2a ＋b )∥(a －m b )，则m ＝导学号 14434780( A ) A ．－12B ．12C ．2D ．－2[解析] 2a ＋b ＝2(1,2)＋(－3,0)＝(－1,4)， a －m b ＝(1,2)－m (－3,0)＝(1＋3m,2) ∵(2a ＋b )∥(a －m b )∴－1＝(1＋3m )×2∴6m ＝－3，解得m ＝－12二、填空题7．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)，若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ的值为 12.导学号 14434781 [解析] a ＋λb ＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2) ∵(a ＋λb )∥c ，∴4(1＋λ)－3×2＝0，∴λ＝12.8．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)．若λa ＋u b 与a ＋b 共线，则λ与u 的关系为__λ＝u __.导学号 14434782[解析] ∵a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)， ∴a ＋b ＝(1,2)＋(－2,3)＝(－1,5)，λa ＋u b ＝λ(1,2)＋u (－2,3)＝(λ－2u,2λ＋3u )．又∵(λa ＋u b )∥(a ＋b )，∴(－1)×(2λ＋3u )－5(λ－2u )＝0.∴λ＝u . 三、解答题9．平面内给定三个向量：a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1).导学号 14434783 (1)求3a ＋b －2c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m 和n ； (3)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k .[解析] (1)3a ＋b －2c ＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2)＝(9－1－8,6＋2－2)＝(0,6)．(2)∵a ＝m b ＋n c ，m ，n ∈R ，∴(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)＝(－m ＋4n,2m ＋n )．∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2.解得⎩⎨⎧m ＝59，n ＝89.∴m ＝59，n ＝89.(3)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)． 又∵(a ＋k c )∥(2b －a )，∴(3＋4k )×2－(－5)×(2＋k )＝0. ∴k ＝－1613.10．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－x ，－3－y ).导学号 14434784 (1)若点A ，B ，C 不能构成三角形，求x ，y 满足的条件． (2)若AC →＝2BC →，求x ，y 的值．[解析] (1)因为点A ，B ，C 不能构成三角形，则A ，B ，C 三点共线． 由OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)， OC →＝(5－x ，－3－y )得 AB →＝(3,1)，AC →＝(2－x,1－y )，所以3(1－y )＝2－x .所以x ，y 满足的条件为x －3y ＋1＝0. (2)BC →＝(－x －1，－y ) 由AC →＝2BC →得(2－x,1－y )＝2(－x －1，－y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x ＝－2x －2，1－y ＝－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－1.B 级 素养提升一、选择题1．已知向量a ＝(－2,4)，b ＝(3，－6)，则a 和b 的关系是导学号 14434785( B ) A ．共线且方向相同 B ．共线且方向相反 C ．是相反向量D ．不共线[解析] 因为a ＝(－2,4)，b ＝(3，－6)，所以a ＝－23b ，由于λ＝－23<0，故a 和b 共线且方向相反．2．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b ，如果c ∥b ，那么导学号 14434786( D )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向[解析] ∵c ∥d ，∴c ＝λd ，即k a ＋b ＝λ(a －b )，又a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝λ，1＝－λ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，k ＝－1..∴c ＝－d ，∴c 与d 反向．3．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是导学号 14434787( D )A ．－2B ．0C ．1D ．2[解析] 因为a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，所以a ＋b ＝(3，x ＋1)，4b －2a ＝(6,4x －2)，由于a ＋b 与4b －2a 平行，得6(x ＋1)－3(4x －2)＝0，解得x ＝2.4．已知向量集合M ＝{a |a ＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R }，N ＝{a |a ＝(－2，－2)＋μ(4,5)，μ∈R }，则M ∩N ＝导学号 14434788( C )A ．{(1,1)}B ．{(1,2)，(－2，－2)}C ．{(－2，－2)}D ．Ø[解析] 设a ∈M ∩N ，则存在实数λ和中μ，使得(1,2)＋λ(3,4)＝(－2，－2)＋μ(4,5)，即(3,4)＝(4μ－3λ，5μ－4λ)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4μ－3λ＝35μ－4λ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝0，∴a ＝(－2，－2)． 二、填空题5．(北京高考)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)．若a －2b 与c 共线，则k ＝__1__.导学号 14434789[解析] a －2b ＝(3，3)．因为a －2b 与c 共线， 所以k 3＝33，解得k ＝1. 6．已知点P 1(2，－1)，点P 2(－1,3)，点P 在线段P 1P 2上，且|P 1P →|＝23|PP 2→|，则求点P的坐标为 (45，35) .导学号 14434790[解析] 设点P 的坐标为(x ，y )，由于点P 在线段P 1P 2上，则有P 1P →＝23PP 2→，又P 1P →＝(x －2，y ＋1)，PP 2→＝(－1－x,3－y )，由题意得⎩⎨⎧x －2＝23(－1－x )，y ＋1＝23(3－y )，解得⎩⎨⎧x ＝45，y ＝35，∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫45，35. 三、解答题7．已知△AOB 中，O (0,0，)，A (0,5)，B (4,3)，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 交于M 点，求点M 的坐标.导学号 14434791[解析] ∵O (0,0)，A (0,5)，B (4,3)， ∴OA →＝(0,5)，OB →＝(4,3)． ∵OC →＝(x C ，y C )＝14OA →＝(0，54)，∴点C 的坐标为(0，54)．同理可得点D 的坐标为(2，32)．设点M (x ，y )，则AM →＝(x ，y －5)， 则AD →＝(2－0，32－5)＝(2，－72)．∵A 、M 、D 共线，∴AM →与AD →共线． ∴－72x －2(y －5)＝0，即7x ＋4y ＝20.①而CM →＝(x ，y －54)，CB →＝(4－0,3－54)＝(4，74)，∵C 、M 、B 共线，∴CM →与CB →共线． ∴74x －4(y －54)＝0，即7x －16y ＝－20.② 联立①②解得x ＝127，y ＝2.∴点M 的坐标为(127，2)．8．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为(－1,0)、(3，－1)、(1,2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →.导学号 14434792(1)求E 、F 的坐标； (2)判断EF →与AB →是否共线．[解析] (1)设E (x 1，y 1)、F (x 2，y 2)， 依题意得AC →＝(2,2)，BC →＝(－2,3)． 由AE →＝13AC →可知(x 1＋1，y 1)＝13(2,2)，即⎩⎨⎧x 1＋1＝23y 1＝23，解得⎩⎨⎧x 1＝－13y 1＝23，∴E (－13，23)．由BF →＝13BC →可知(x 2－3，y 2＋1)＝13(－2,3)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－3＝－23y 2＋1＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝73，y 2＝0. ∴F (73，0)，即E 点的坐标为(－13，23)，F 点的坐标为(73，0)．(2)由(1)可知EF →＝OF →－OE →＝(73，0)－(－13，23)＝(83，－23)，(O 为坐标原点)，又AB →＝(4，－1)，∴EF →＝23(4，－1)＝23AB →，即EF →与AB →共线．C 级 能力拔高如图，已知直角梯形ABCD ，AD ⊥AB ，AB ＝2AD ＝2CD ，过点C 作CE ⊥AB 于E ，M 为CE 的中点，用向量的方法证明：导学号 14434793(1)DE ∥BC ；(2)D 、M 、B 三点共线．[解析] 如图，以E 为原点，AB 所在直线为x 轴，EC 所在直线为y 轴建立直角坐标系，令|AD →|＝1，则|DC →|＝1，|AB →|＝2.∵CE ⊥AB ，而AD ＝DC ，∴四边形AECD 为正方形．∴可求得各点坐标分别为：E (0,0)，B (1,0)，C (0,1)，D (－1,1)，A (－1,0)． (1)∵ED →＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，BC →＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)， ∴ED →＝BC →，∴ED →∥BC →，即DE ∥BC ．(2)∵M 为EC 的中点，∴M (0，12)，∴MD →＝(－1,1)－(0，12)＝(－1，12)，MB →＝(1,0)－(0，12)＝(1，－12)．∴MD →＝－MB →，∴MD →∥MB →.又 MD 与MB 共点于M ，∴D ，M ，B 三点共线．。