【S】【G2讲义】上海市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练：数列

上海市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练数列一、填空、选择题1、（2016年上海高考）无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________.2、（2015年上海高考）记方程①：x 2+a 1x+1=0，方程②：x 2+a 2x+2=0，方程③：x 2+a 3x+4=0，其中a 1，a 2，a 3是正实数．当a 1，a 2，a 3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ） A ．方程①有实根，且②有实根 B ． 方程①有实根，且②无实根 C ．方程①无实根，且②有实根 D ． 方程①无实根，且②无实根3、（2014年上海高考）设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若()134lim n n a a a a →∞=+++，则q = .4、（虹口区2016届高三三模）若等比数列{}n a 的公比1q q <满足，且24344,3,a a a a =+=则12lim()n n a a a →∞+++=___________.5、（浦东新区2016届高三三模）已知公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若533S S =，则53aa = 6、（杨浦区2016届高三三模）若两整数a 、b 除以同一个整数m ，所得余数相同，即a bk m-=()k Z ∈，则称a 、b 对模m 同余，用符号(mod )a b m ≡表示，若10(mod 6)a ≡(10)a >，满足条件的a 由小到大依次记为12,,,,n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，则数列{}n a 的前16项和为7、（黄浦区2016届高三二模）已知数列{}n a 中，若10a =，2i a k =*1(,22,1,2,3,)k k i N i k +∈≤<=，则满足2100i i a a +≥的i 的最小值为8、（静安区2016届高三二模）已知数列{}n a 满足181a =，1311log ,2,(*)3,21n n n a a n k a k N n k ---+=⎧=∈⎨=+⎩，则数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值为 .9、（闵行区2016届高三二模）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，22|2016|n S n a n（0a >），则使得1n n a a +≤（n ∈*N ）恒成立的a 的最大值为 .10、（浦东新区2016届高三二模）已知数列{}n a 的通项公式为(1)2n n n a n =-⋅+，*n N ∈，则这个数列的前n 项和n S =___________．11、（徐汇、金山、松江区2016届高三二模）在等差数列{}n a 中，首项13,a =公差2,d =若某学生对其中连续10项进行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为__________________． 12、（宝山区2016届高三上学期期末）数列1212312341213214321⋅⋅⋅，，，，，，，，，，，则98是该数列的第 项. 13、（崇明县2016届高三上学期期末）已知数列的各项均为正整数，对于，有其中k 为使1n a +为奇数的正整数. 若存在， 当n ＞m 且n a 为奇数时，n a 恒为常数p ，则p 的值为14、（奉贤区2016届高三上学期期末）数列}{n a 是等差数列，2a 和2014a 是方程01652=+-x x 的两根，则数列}{n a 的前2015项的和为__________．15、（虹口区2016届高三上学期期末）在等差数列{}n a 中，1352469,15,a a a a a a ++=++= 则数列{}n a 的前10项的和等于_____.二、解答题1、（2016年上海高考）若无穷数列{}n a 满足：只要*(,)p q a a p q N =∈，必有11p q a a ++=，则称{}n a 具有性质P .（1）若{}n a 具有性质P ，且12451,2,3,2a a a a ====，67821a a a ++=，求3a ；（2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，151b c ==，5181b c ==，n n n a b c =+判断{}n a 是否具有性质P ，并说明理由；（3）设{}n b 是无穷数列，已知*1sin ()n n n a b a n N +=+∈.求证：“对任意1,{}n a a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”.2、（2015年上海高考）已知数列{a n }与{b n }满足a n+1﹣a n =2（b n+1﹣b n ），n ∈N *． （1）若b n =3n+5，且a 1=1，求数列{a n }的通项公式；（2）设{a n }的第n 0项是最大项，即0n a ≥a n （n ∈N *），求证：数列{b n }的第n 0项是最大项；（3）设a 1=λ＜0，b n =λn （n ∈N *），求λ的取值范围，使得{a n }有最大值M 与最小值m ，且∈（﹣2，2）．3、（2014年上海高考）已知数列{}n a 满足1133n n n a a a +≤≤，*n ∈N ，11a =.(1) 若2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围； (2) 设{}n a 是公比为q 的等比数列，12n n S a a a =+++. 若1133n n n S S S +≤≤，*n ∈N ，求q 的取值范围；(3) 若12,,,k a a a 成等差数列，且121000k a a a +++=，求正整数k 的最大值，以及k 取最大值时相应数列12,,,k a a a 的公差.4、（虹口区2016届高三三模）若数列12:,,,(,2)n n A a a a n N n *∈≥满足110,1(1,2,,1),k k a a a k n +=-==-则称n A 为L 数列.记12().n n S A a a a =+++（1）若5A 为L 数列,且50,a =试写出5()S A 的所有可能值； （2）若n A 为L 数列，且0,n a =求()n S A 的最大值；（3）对任意给定的正整数(2),n n ≥是否存在L 数列,n A 使得()0?n S A =若存在，写出满足条件的一个L 数列n A ；若不存在，请说明理由.5、（静安区2016届高三二模）已知数列{}n a 满足nn n a a 331+=-（*∈≥N n n ,2），首项31=a ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （3）数列{}n b 满足na b nn 3log =，记数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅+11n n b b 的前n 项和为n T ，A 是△ABC 的内角，若n T A A 43cos sin >对于任意n N *∈恒成立，求角A 的取值范围．6、（闵行区2016届高三二模）已知n ∈*N ,数列{}n a 、{}n b 满足:11n n a a +=+,112n n n b b a +=+,记24n n n c a b =-．（1）若11a =，10b =，求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）证明：数列{}n c 是等差数列；（3）定义2()n n n f x x a x b =++，证明：若存在k ∈*N ，使得k a 、k b 为整数，且()k f x 有两个整数零点，则必有无穷多个()n f x 有两个整数零点．7、（闸北区2016届高三二模）已知数列{}n a ，n S 为其前n 项的和，满足(1)2n n n S +=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列1{}na 的前n 项和为n T ，数列{}n T 的前n 项和为n R ，求证：当2,*n n N ≥∈时1(1)n n R n T -=-； （3）（理）已知当*n N ∈，且6n ≥时有1(1)()32n m m n -<+，其中1,2,,m n =，求满足34(2)(3)n a n n n n n a ++++=+的所有n 的值．8、（长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届高三二模）已知正项数列}{n a ，}{n b 满足：对任意*N ∈n ，都有n a ，n b ，1+n a 成等差数列，n b ，1+n a ，1+n b 成等比数列，且101=a ，152=a ．（1）求证：数列{}nb 是等差数列；（2）求数列}{n a ，}{n b 的通项公式； （3）设12111n nS a a a =+++，如果对任意*N ∈n ，不等式n n n a b aS -<22恒成立，求实数a 的取值范围．9、（宝山区2016届高三上学期期末）已知函数()log k f x x =（k 为常数，0k >且1k ≠），且数列{}()n f a 是首项为4，公差为2的等差数列.(1)求证：数列{}n a 是等比数列； (2) 若()n n n ba f a =+，当k ={}n b 的前n 项和n S 的最小值； （3）若lg n n n c a a =，问是否存在实数k ，使得{}n c 是递增数列？若存在，求出k 的范围；若不存在，说明理由．10、（奉贤区2016届高三上学期期末）数列{}n a 的前n 项和记为n S 若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，则称{}n a 是“H 数列”．(1)、若数列{}n a 的通项公式2nn a =，判断{}n a 是否为“H 数列”；（2）、等差数列{}n a ，公差0d ≠，12a d =，求证：{}n a 是“H 数列”； （3）、设点()1,n n S a +在直线()1q x y r -+=上，其中120a t =>，0≠q ．若{}n a 是“H 数列”，求,q r 满足的条件．11、（虹口区2016届高三上学期期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且20,2().n n S S n na n N *=+=∈（1） 计算1234,,,,a a a a 并求数列{}n a 的通项公式；（2） 若数列{}n b 满足12335(21)23,n n n b b b n b a ++++-=⋅+求证：数列{}n b 是等比数列；（3）由数列{}n a 的项组成一个新数列{}n c ：1122334567,,,,c a c a a c a a a a ==+=+++1112212221,n n n n n c a a a a ---++-=++++. 设n T 为数列{}n c 的前n 项和，试求lim4nnn T →∞的值.12、（黄浦区2016届高三上学期期末）已知1a ，2a ，…，n a 是由n （*n ∈N ）个整数1，2，…，n 按任意次序排列而成的数列，数列{}n b 满足1k k b n a =+-（1,2,,k n =），1c ，2c ，…，n c 是1，2，…，n 按从大到小的顺序排列而成的数列，记122n n S c c nc =+++．（1）证明：当n 为正偶数时，不存在满足k k a b =（1,2,,k n =）的数列{}n a ．（2）写出k c （1,2,,k n =），并用含n 的式子表示n S ．（3）利用22212(1)(2)()0n b b n b -+-++-≥， 证明：1212(1)(21)6n b b nb n n n +++++≤及122n n a a na S +++≥．（参考：222112(1)(21)6n n n n +++=++．）13、（静安区2016届高三上学期期末）李克强总理在很多重大场合都提出“大众创业，万众创新”. 某创客，白手起家，2015年一月初向银行贷款十万元做创业资金，每月获得的利润是该月初投入资金的20%.每月月底需要交纳房租和所得税共为该月全部金额（包括本金和利润）的10%，每月的生活费等开支为3000元，余款全部投入创业再经营.如此每月循环继续.(1)问到2015年年底(按照12个月计算)，该创客有余款多少元？(结果保留至整数元) (2)如果银行贷款的年利率为5%，问该创客一年(12个月)能否还清银行贷款？参考答案一、填空、选择题 1、【答案】4 【解析】试题分析：要满足数列中的条件，涉及最多的项的数列可以为2,1,1,0,0,0,-⋅⋅⋅，所以最多由4个不同的数组成.2、解：当方程①有实根，且②无实根时，△1=a12﹣4≥0，△2=a22﹣8＜0，即a12≥4，a22＜8，∵a1，a2，a3成等比数列，∴a22=a1a3，即方程③的判别式△3=a32﹣16＜0，此时方程③无实根，故选：B3、【解析】：223111510112a a qa q q qq q-±==⇒+-=⇒=--，∵01q<<，∴51q-=4、165、【答案】179【解析】()()53151315333422S S a a a a d a=⇒+=⋅+⇒=，所以5117a a=，319a a=，所以53179aa=6、9767、1288、1279、1201610、1122,252,22nnnnnSnn++⎧+-⎪⎪=⎨⎪--⎪⎩为偶数为奇数11、20012、12813、1或54、120915、80二、解答题【答案】（1）316a=．（2）{}n a不具有性质P．（3）见解析．【解析】试题分析：（1）根据已知条件，得到678332a a a a++=++，结合67821a a a++=求解．（2）根据{}n b的公差为20，{}n c的公比为13，写出通项公式，从而可得520193nn n na b c n-=+=-+．通过计算1582a a==，248a=，63043a=，26a a≠，即知{}n a不具有性质P．（3）从充分性、必要性两方面加以证明，其中必要性用反证法证明．试题解析：（1）因为52a a=，所以63a a=，743a a==，852a a==．于是678332a a a a++=++，又因为67821a a a++=，解得316a=．（2）{}n b的公差为20，{}n c的公比为13，所以()12012019n b n n =+-=-，1518133n n n c --⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭．520193n n n n a b c n -=+=-+．1582a a ==，但248a =，63043a =，26a a ≠， 所以{}n a 不具有性质P ． （3）[证]充分性：当{}n b 为常数列时，11sin n n a b a +=+．对任意给定的1a ，只要p q a a =，则由11sin sin p q b a b a +=+，必有11p q a a ++=． 充分性得证． 必要性：用反证法证明．假设{}n b 不是常数列，则存在k *∈N ，使得12k b b b b ==⋅⋅⋅==，而1k b b +≠．下面证明存在满足1sin n n n a b a +=+的{}n a ，使得121k a a a +==⋅⋅⋅=，但21k k a a ++≠． 设()sin f x x x b =--，取m *∈N ，使得m b π>，则()0f m m b ππ=->，()0f m m b ππ-=--<，故存在c 使得()0f c =．取1a c =，因为1sin n n a b a +=+（1n k ≤≤），所以21sin a b c c a =+==， 依此类推，得121k a a a c +==⋅⋅⋅==．但2111sin sin sin k k k k a b a b c b c ++++=+=+≠+，即21k k a a ++≠． 所以{}n a 不具有性质P ，矛盾． 必要性得证．综上，“对任意1a ，{}n a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”． 2、（1）解：∵a n+1﹣a n =2（b n+1﹣b n ），b n =3n+5， ∴a n+1﹣a n =2（b n+1﹣b n ）=2（3n+8﹣3n ﹣5）=6， ∴{a n }是等差数列，首项为a 1=1，公差为6， 则a n =1+（n ﹣1）×6=6n ﹣5；（2）∵a n =（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1 =2（b n ﹣b n ﹣1）+2（b n ﹣1﹣b n ﹣2）+…+2（b 2﹣b 1）+a 1 =2b n +a 1﹣2b 1，②当λ=﹣1时，a 2n =3，a 2n ﹣1=﹣1， ∴M=3，m=﹣1，（﹣2，2），不满足条件．③当λ＜﹣1时，当n→+∞时，a 2n →+∞，无最大值；当n→+∞时，a 2n ﹣1→﹣∞，无最小值． 综上所述，λ∈（﹣，0）时满足条件．3、【解析】：（1）依题意，232133a a a ≤≤，∴263x ≤≤，又343133a a a ≤≤，∴327x ≤≤， 综上可得36x ≤≤；（2）由已知得1n n a q -=，又121133a a a ≤≤，∴133q ≤≤ 当1q =时，n S n =，1133n n n S S S +≤≤，即133nn n ≤+≤，成立 当13q <≤时，11n n q S q -=-，1133n n n S S S +≤≤，即1111133111n n n q q q q q q +---≤≤---，∴111331n n q q +-≤≤-，此不等式即11320320n n n nq q q q ++⎧--≥⎨-+≤⎩，∵1q >， ∴132(31)2220n n n n qq q q q +--=-->->，对于不等式1320n n qq +-+≤，令1n =，得2320q q -+≤，解得12q ≤≤，又当12q <≤时，30q -<，∴132(3)2(3)2(1)(2)0n n n qq q q q q q q +-+=-+≤-+=--≤成立，∴12q <≤当113q ≤<时，11n n q S q -=-，1133n n n S S S +≤≤，即1111133111n n n q q q q q q +---≤≤---，即11320320n n n nq q q q ++⎧--≤⎨-+≥⎩，310,30q q ->-< ∵132(31)2220n n n n qq q q q +--=--<-<132(3)2(3)2(1)(2)0n n n q q q q q q q q +-+=-+≥-+=-->∴113q ≤<时，不等式恒成立 综上，q 的取值范围为123q ≤≤（3）设公差为d ，显然，当1000,0k d ==时，是一组符合题意的解， ∴max 1000k ≥，则由已知得1(2)1(1)3[1(2)]3k dk d k d +-≤+-≤+-，∴(21)2(25)2k d k d -≥-⎧⎨-≥-⎩，当1000k ≥时，不等式即22,2125d d k k ≥-≥---， ∴221d k ≥--，12(1) (10002)k k k da a a k -+++=+=， ∴1000k ≥时，200022(1)21k d k k k -=≥---，解得10001000k ≤≤，∴1999k ≤， ∴k 的最大值为1999，此时公差2000219981(1)199919981999k d k k -==-=--⨯4、解：（1）满足条件的L 数列5A ，及对应的5()S A 分别为：（i ） 0, 1, 2，1, 0. 5()4;S A =(ii) 0, 1, 0，1, 0. 5()2;S A =（iii ） 0, 1, 0，-1, 0. 5()0;S A = (iv) 0, -1, -2，-1, 0. 5()4;S A =- （v ） 0, -1, 0，-1, 0 . 5()2;S A =-(vi) 0, -1, 0, 1, 0. 5()0.S A =因此，5()S A 的所有可能值为：4,2,0,2,4.-- ……5分(2) 由于n A 为L 数列，且10,n a a ==11(1,2,,1),k k a a k n +-==-故n 必须是不小于3的奇数. ……7分于是使()n S A 最大的n A 为：0,1,2,3,,2,1,,1,2,,3,2,1,0.k k k k k ---- ……9分这里213(),n k k n N *=+≥∈、 并且[]21()212(1),.2n n S A k k k k -=+++-+==因此，2max1()(3).2n n S A n -⎛⎫= ⎪⎝⎭为不小于的奇数 ……11分 （3）令1(1,2,,1),1,k k k k c a a k n c +=-=-=±则于是由10,a =得213221243312311121,,,,.n n n n a c a a c c c a a c c c c a a c c c c ---==+=+=+=++=+=+++[]12312321123211232()(1)(2)(3)2(1)(2)(3)21(1)(1)(2)(1)(3)(1)2(1)(1)(1)(1)(1)(2)(1)(3)(1)2(1)(12n n n n n n n S A a a a a n c n c n c c c n n n n c n c n c c c n n n c n c n c c -----=+++++=-+-+-+++=-+-+-+++++--+--+--++-+--=---+--+--++-+-故[]1).n c -1,1(1,2,,1)k k c c k n =±-=-因故为偶数，所以12321(1)(1)(2)(1)(3)(1)2(1)(1)n n n c n c n c c c ----+--+--++-+-为偶数.于是要使(1)()0,2n n n S A -=必须为偶数，即(1)n n -为4的倍数，亦即 4,41().n m n m m N *==+∈或 ……14分（i ）当4()n m m N *=∈时，L 数列n A 的项在满足： 4143420,=k k k a a a ---==1,41(1,2,,)k a k m =-=时，()0.n S A = ……16分(ii)当41()n m m N *=+∈时，L 数列n A 的项在满足：4143420,=k k k a a a ---==1，441=1(1,2,,),0k m a k m a +-==时()0.n S A = ……18分5、（1）数列{}n a 满足nn n a a 331+=-（*∈≥N n n ,2）∴nn n a a 331=--，∵03≠n ，∴13311=---n n n n a a 为常数，…………2分∴数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a 3是等差数列，首项为131=a ，公差为1…………4分 n a n n=3∴n n n a 3⋅= )(*∈N n …………6分 （2）23413233343(1)33n n n S n n -=+⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅2345133233343(1)33n n n S n n +=+⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅234112333333n n n S n -+-=+++++-⋅1133322n n n S n ++=⋅-+…………10分 （3）数列{}n b 满足na b n n 3log =，则n b nn ==3log 3，…………11分11n n b b +=111(1)1n n n n =-++因此有： 1111111(1)()()()223341n T n n =-+-+-++-+ =111+-n…………13分 ∴由题知△ABC 中，1sin cos sin 22n A A A =>恒成立，而对于任意n N *∈，1n T <成立，所以1sin 224A ≥即232sin ≥A ， …………16分 又),0(π∈A ，即)2,0(2π∈A∴3223ππ≤≤A ，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,6ππA ． …………18分 6、（1）n a n =， ………………………………………………………………2分1122n n n n nb b a b +=+=+，∴由累加法得121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-+⋅⋅⋅+- …………………4分1(1)0[12(2)(1)]24n n n n -=+++⋅⋅⋅+-+-=．……………………………………6分（2）221114(4)n n n n n n c c a b a b +++-=---……………………………………………8分221(1)4()(4)12n n n n n a a b a b =+-+--=∴{}n c 是公差为1的等差数列．……………………………………………………11分(3)由解方程得：x =，由条件，()0k f x =两根x =为整数，则k c ∆=必为完全平方数，不妨设2()k c m m =∈N ， …………12分此时2k a mx -±==为整数，∴k a 和m 具有相同的奇偶性，………13分 由（2）知{}n c 是公差为1的等差数列，取21n k m =++∴()222121211k m k c c m m m m ++=++=++=+ ………………………………15分此时(21)(1)2k a m m x -++±+==k a 和m 具有相同的奇偶性，∴21k a m ++和1m +具有相同的奇偶性， …17分所以函数21()k m f x ++有两个整数零点.由递推性可知存在无穷多个()n f x 有两个整数零点.………………………18分 7、解：（1）当2n ≥时，1(1)(1)22n n n n n n na S S n -+-=-=-= 又111a S == ，所以n a n = ……………………………5分(2)、<法一> 11n a n =，1112n T n∴=+++， 1111111(1)(1)(1)22321n R n -∴=++++++++++-111(1)1(2)(3)1231n n n n =-⋅+-⋅+-⋅++⋅-11111111(11)(11)(1)(2)231231n n n n T n n n n n=++++-+=+++++-=-≥--…6分<法二>：数学归纳法①2n =时，11111R T a ===，212112(1)2(1)1T a a -=+-= ………………………1分 ②假设(2,*)n k k k N =≥∈时有1(1)k k R k T -=- ………………………1分当1n k =+时，1111(1)(1)(1)()k k k k k k k k R R T k T T k T k k T k a -++=+=-+=+-=+-- 111(1)(11)(1)(1)1k k k T k k T k ++=+-+--=+-+1n k ∴=+是原式成立由①②可知当2,*n n N ≥∈时1(1)n n R n T -=-； ………………………4分 (3)、（理）1(1)()32n m m n -<+，1,2,,m n =231211)32112)()3213)()32411)()3231)()32n n n n n n n n m n n m n n m n m n n m n n -+⎫=<⎪+⎪+⎪=<⎪+⎪⎪=<⎪+⎬⎪⎪⎪=-<⎪+⎪⎪=<⎪+⎭时，（时，（时，（时，（时，（⇒相加得，231214311111()()()()()()()()333322222n nn n n n n n n n n n -++++++<+++++++++231111111()()()()1()1222222n n n -+++++=-<， 34(2)(3)n n n n n n ∴++++<+ ………………………4分6n ∴≥时，34(2)(3)n n n n n n ∴++++=+无解又当1n =时；34<，2n =时，222345+=；3n =时，33333456++=4n =时，44443456+++为偶数，而47为奇数，不符合 5n =时，5555534567++++为奇数，而58为偶数，不符合综上所述2n =或者3n = ……………………………4分(3)、易知0q ≠，否则若0q =，则1()f x p =，与lim ()0(*)n n f a n N →∞=∈矛盾因为函数()f x 的定义域为R ，所以(1)31qx p -⋅+恒不为零，而3qx的值域为(0,)+∞，所以10p -≥，又1p =时，()1f x =，与lim ()0(*)n n f a n N →∞=∈矛盾，故1p >11()(1)31(1)(3)1n qn q nf a p p ==-⋅+-+且lim ()0n n f a →∞=31q∴>，0q ∴> 即有1p q +>。

B ． 3 2．在正项等比数列{a }中，已知 a 4 = 2 ， a = ，则 a 5 的值为（ 8= 2 ， a = ，可得 8 q 4 = 8 = ，又因为 q > 0 ，所以 q = 1 2 2127B ．35063C ．28051D ． 3502第 7 单元 数列（基础篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ，若 a 1=12，S 5=90，则等差数列{a n }公差 d =（）A ．2【答案】C2 C ．3D ．4【解析】∵a =12，S =90，∴ 5 ⨯12 + 1 5 5 ⨯ 4 2d = 90 ，解得 d=3，故选 C ．n 8 1 ）1 1 A ． B ． - C ． -1 D ．14 4【答案】D【解析】由题意，正项等比数列{a }中，且 a n 48 1 a 1 a 16 41，则 a = a ⋅ q = 2 ⨯ = 1 ，故选 D ．5 43．在等差数列{a n}中， a 5+ a = 40 ，则 a + a + a = （ ） 13 8 9 10A ．72B ．60C ．48D ．36【答案】B【解析】根据等差数列的性质可知： a 5 + a 13 = 40 ⇒ 2a 9 = 40 ⇒ a 9 = 20 ，a + a + a = 2a + a = 3a = 60 ，故本题选 B ．8 9109994．中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”．其大意：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里程数是前一天的一半，连续走了7 天，共走了 700 里，则这匹马第 7 天所走的路程等于（）A ．700里里 里【答案】A127里【解析】设马每天所走的路程是 a 1, a 2 ,.....a 7 ，是公比为1的等比数列，a 1 - ( )7 ⎪a = a q 6= 7005．已知等差数列{a n } 的前 n 项和 S n 有最大值，且 a=10(a +a )2= 5(a + a ) = 5(a + a ) > 0 ， S =2 = 11a < 0 ， (a + 2d - 1)2 = (a + d - 1)(a + 4d - 1) ⎩ d = 2这些项的和为 700， S = 7 ⎛ 1 ⎫ 1 ⎝ 2 ⎭1 - 12 = 700 ⇒ a =1 64 ⨯ 700 127 ，7 1 127 ，故答案为 A ．a 5< -1 ，则满足 S 6n> 0 的最大正整数 n 的值为（）A ．6B ．7C ．10D ．12【答案】C【解析】设等差数列{a n } 的公差为 d ，因为等差数列{a n } 的前 n 项和 S n 有最大值，所以 d < 0 ，a又 a 5 < -1 ，所以 a 5 > 0 ， a 6 < 0 ，且 a 5 + a 6 > 0 ，6 所以 S1 101 10 5 6 11 所以满足 S n > 0 的最大正整数 n 的值为 10．11(a + a )1 1166．已知等差数列{a n}的公差不为零， Sn为其前 n 项和， S 3 = 9 ，且 a 2 - 1 ， a 3 - 1， a 5 - 1构成等比数列，则 S 5 = （ ）A ．15B ． -15C ．30D ．25【答案】D【解析】设等差数列{a n}的公差为 d (d ≠ 0)，⎧⎪3a + 3d = 9⎧a = 1 由题意 ⎨ 1 ，解得 ⎨ 1 ⎪⎩ 1 1 1．∴ S = 5 ⨯1 +5 5 ⨯ 4 ⨯ 22 = 25 ．故选 D ．7．在等差数列{a n } 中， a 3 ， a 9 是方程 x 2 + 24 x + 12 = 0 的两根，则数列{a n } 的前 11 项和等于（A ．66B ．132C ． -66D ． -132【答案】D）S = 11⨯ (a + a ) 2 2 2 = 15 ，解得 n = 5 ，( )nC ． a = 3n -1D ． a =3n【解析】因为 a 3 ， a 9 是方程 x 2 + 24 x + 12 = 0 的两根，所以 a 3 + a 9 = -24 ，又 a 3 + a 9 = -24 = 2a 6 ，所以 a 6 = -12 ，11⨯ 2a1 11 = 6 = -132 ，故选 D ． 118．我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第n 行的所有数字之和为 2n -1 ，若去除所有为 1 的项，依次构成数列 2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前 15 项和为（）A ．110B ．114C ．124D ．125【答案】B【解析】由题意， n 次二项式系数对应的杨辉三角形的第 n +1行， 令 x = 1 ，可得二项展开式的二项式系数的和 2n ，其中第 1 行为 2 0 ，第 2 行为 21 ，第 3 行为 22 ，L L 以此类推，即每一行的数字之和构成首项为 1，公比为 2 的对边数列，则杨辉三角形中前 n 行的数字之和为 S = n 1- 2n1- 2 = 2n - 1，若除去所有为 1 的项，则剩下的每一行的数字的个数为1,2,3, 4,L ，可以看成构成一个首项为 1，公差为 2 的等差数列，则T =n n (n + 1)2 ，令 n (n + 1)所以前 15 项的和表示前 7 行的数列之和，减去所有的 1，即 27 - 1 - 13 = 114 ，即前 15 项的数字之和为 114，故选 B ．9．已知数列{a }的前 n 项和为 S nn，满足 2S n =3a n -1 ，则通项公式 a n 等于（）A ． a = 2n- 1n【答案】CB ． a= 2nn n： ， + ， + + ， + + + ， ，那么数列 {b }= ⎧⎨ 1 ⎩ a an n +1 ⎭n + 1 ⎭C ． 4 ⨯ ⎝ 2 n + 1 ⎭D ．⎝ 1 + 2 + ⋅⋅⋅ + n n2 a an (n + 1) ⎝ n n + 1 ⎭ = = = 4 ⨯ - ⎪ ， ∴ S = 4 ⨯ 1 - + - + - + ⋅⋅⋅ + - = 4 ⨯ 1 - ⎪ 2 2 3 3 4 n n + 1 ⎭ ⎝ ⎝⎪ ， 1 1 ⎫【解析】当 n = 1 时， 2S 1 = 3a 1 -1 ，∴ a 1 = 1 ，当 n ≥ 2 且 n ∈ N * 时， 2S n -1 = 3a n -1 - 1 ，则 2S n - 2Sn -1 = 2a n = 3a n - 1 - 3a n -1 + 1 = 3a n - 3a n -1 ，即 a n = 3an -1，∴ 数列 {a }是以1 为首项， 3 为公比的等比数列∴ a nn= 3n -1 ，本题正确选项 C ． 10．已知数列 满足，且 ，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】利用排除法，因为，当当当当时，时，时，时， ，排除 A ；，B 符合题意；，排除 C ；，排除 D ，故选 B ．11．已知数列为（）1 12 1 23 1 2 34 2 3 3 4 4 45 5 5 5⋯ n ⎫ ⎬ 前 项和A ．1 - 1 ⎛ n + 1B ． 4 ⨯ 1 - 1 ⎫ ⎛ 1 ⎪ - 1 ⎫⎪1 1-2 n + 1【答案】B【解析】由题意可知： a =nn (n + 1)= = ， n + 1 n + 1 2∴ b = 1n n n +11 4 ⎛ 1 1 ⎫ n n + 1 ⋅2 2⎛ 1 1 1 1 1 ⎛ n本题正确选项 B ．1 ⎫n + 1 ⎭12．已知数列{a }满足递推关系： a ， a = ，则 a 2017= （12016B ． 12018D ． 1=a 2 -= 1 ． ⎩ a∴ 1=1}满足 a 2 q ，可设三数为 ， a ， aq ，可得 ⎪⎨ a⎪ q 求出 ⎨ ，公比 q 的值为 1．=3an n +1 = a 1 n a + 12 n）A ．12017C ．12019【答案】C【解析】∵ ana + 1 n1， a = ，∴ 1 1 1 a a n +1 n⎧ 1 ⎫∴数列 ⎨ ⎬ 是等差数列，首项为 2，公差为 1．n ⎭a2017= 2 + 2016 = 2018 ，则 a2018 ．故选 C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分．13．已知等比数列{a n 1 = 12 ，且 a 2a 4 = 4(a3 - 1) ，则 a 5 = _______．【答案】8【解析】∵ a 2a 4 = 4(a 3 - 1) ，∴ a 3 = 4(a 3 -1) ，则 a 3 = 2 ，∴ a = 5 a 2 3 = a122 1 2= 8 ，故答案为 8．14．若三数成等比数列，其积为 8，首末两数之和为 4，则公比 q 的值为_______．【答案】1【解析】三数成等比数列，设公比为⎧a = 2⎩ q = 1⎧ a3 = 8 a q + aq =4 ⎩，15．在数列 {an}中，a 1= 1 ， an 3 + a n(n ∈ N *)猜想数列的通项公式为________．=3a4 3 + a 53 + a 6 3a 3a 32 数列的通项公式为 a = 3n + 2 n + 2+ = (m + n) + ⎪ = 10 + + ⎪ ≥ 10 + 2 ⋅ ⎪⎪ = 2 ， n m ⎭ 8 ⎝ n m ⎭【答案】3n + 2【解析】由 an 3 + a n， a = 1 ，可得 a = 1 2 3a 1 3 + a 13 3 3= ， a = = ， a == ，……，∴ 猜想 3 4 2 33，本题正确结果 ．n16．已知正项等比数列{a n } 满足 2a 5 + a 4 = a 3 ，若存在两项 a m ， a n ，使得 8 a m a n = a 1 ，则9 1+ 的最小值 mn为__________．【答案】2【解析】Q 正项等比数列{a n } 满足 2a 5 + a 4 = a 3 ，∴ 2a 1q 4 +a 1q 3 =a 1q 2 ，整理得 2q 2 +q - 1 = 0 ，又 q > 0 ，解得 q = 12，Q 存在两项 a ， a 使得 8 a ⋅ a = a ，∴ 64a 2 q m +n -2 = a 2 ，整理得 m + n = 8 ，m nmn111∴则 9 1 1 ⎛ 9 1 ⎫ 1 ⎛ m 9n ⎫ 1 ⎛ m 9n ⎫ m n 8 ⎝ m n ⎭ 8 ⎝9 1 m 9n+ 的最小值为 2，当且仅当 = 取等号，但此时 m ， n ∉ N * ．m n n m又 m + n = 8 ，所以只有当 m = 6 ， n = 2 时，取得最小值是 2．故答案为 2．三、解答题：本大题共6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10 分）已知等差数列{a n（1）求 {a}的通项公式；n}的公差不为 0， a 1= 3 ，且 a , a , a 成等比数列．2 4 7（2）求 a 2 + a 4 + a 6 + L + a 2n ．【答案】（1） a n = n + 2 ；（2） n 2 + 3n ．【解析】（1）Q a 2 , a 4 , a 7成等比数列，∴a42= a a ，2 7即 (a 1 + 3d )2 = (a 1 + d )(a 1 + 6d ) ，化简得 (a 1 - 3d )d = 0 ，∵公差 d ≠ 0 ，∴ a 1 = 3d ，6=n (a +a ) （2）若b= 4 { ⎪ 12 由题意得 ⎨，则 ⎨ ， ⎩ 7 ⎪(a + 6d )2 = (a + d )(a + 21d )⎩ 1化简得 ⎨⎧a + 2d = 7（2）证明： b = 42n (2n + 4) n (n + 2) 2 ⎝ n n + 2 ⎭ - + - + - + L +⎪1 + - - = - ⎪ < ． ⎪Q a = 3 ，∴ d = 1，∴ a = a + (n - 1)d = n + 2 ．1 n1（2）由（1）知 a 2n = 2n + 2 ，故{a 2n } 是首项为 4、公差为 2 的等差数列，所以 a + a + a + L + a2 4 6 n (4 + 2n + 2)2 2n = = n 2 + 3n ． 2 218．（12 分）已知公差不为零的等差数列{a n } 满足 S 5 = 35 ，且 a 2 ， a 7 ， a 22 成等比数列．（1）求数列{a n } 的通项公式；n nn(a - 1)(a + 3) ，且数列 b n }的前 n 项和为 T n ，求证： T < 3n 4．【答案】（1） a n = 2n + 1；（2）见详解．【解析】（1）设等差数列{a n } 的公差为 d ( d ≠ 0 )，⎧ 5 ⨯ 4⎧S = 355a + d = 35 5a 2 = a a2 221 11 ⎩2a 1 = 3d ⎧a = 3 ，解得 ⎨ 1⎩d = 2，所以 a = 3 + 2 (n -1) = 2n +1． nn nn(a -1)(a + 3) =4 11⎛1 1 ⎫ = = - ⎪ ，所以 T = n 1 ⎛ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ⎫- + - 2 ⎝ 1 3 2 4 3 5 n - 1 n + 1 n n + 2 ⎭= 1 ⎛ 1 1 1 ⎫ 3 1 ⎛ 1 1 ⎫ 3 + 2 ⎝ 2 n + 1 n + 2 ⎭ 4 2 ⎝ n + 1 n + 2 ⎭ 419．（12 分）已知数列{a n}的前 n 项和为 Sn且 S = 2a - 1 (n ∈ N * ) ．n n（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前 n 项和 T n．【答案】（1） a = 2n- 1 ；（2） T = n ⋅ 2n - 2n + 1 ．nn【解析】（1）因为 S = 2a - 1 ，当 n ≥ 2 时， S = 2a - 1 ，7= 2a + 1 ， n ∈ N * ．+1)，数列 ⎨ 15 ≤ T n < ； 即 a ∴ 数列 {a }的通项公式为 a = 2n - 1 n ∈ N * ．(2n + 1)(2n + 3) 2⎝ 2n + 1 2n + 3⎪⎭ ， - ⎪ + - ⎪ +⋅⋅⋅+⎪⎥ 2 ⎢⎣⎝ 3 5 ⎭ ⎝ 5 7 ⎭ ⎝ 2n + 2n + 3 ⎭⎦ 6 4n + 6整理可得 a n = 2a n -1 ，Q a = S = 2a - 1 ，解得 a = 1 ，1 111所以数列 {a n}为首项为1 ，公比为 2 的等比数列，∴a = 2n -1 ．n（2）由题意可得：T = 1⨯ 20 + 2 ⨯ 21 + ⋅⋅⋅ + n ⋅ 2n ，n所以 2T = 1⨯ 21 + 2 ⨯ 22 + ⋅⋅⋅ + (n - 1)2n -1 + n ⋅ 2n ，n两式相减可得 -T = 1 + 21 + 22 + ⋅⋅⋅+ 2n -1 - n ⋅ 2n = n∴ T = n ⋅ 2n - 2n + 1 ．n1 - 2n 1 - 2- n ⋅ 2n = 2n - 1 - n ⋅ 2n ，20．（12 分）已知数列{a n}满足 a 1= 1 ， an +1n（1）求证数列{a n +1}是等比数列，并求数列{a n } 的通项公式；（2）设 b = log (a n 2 2n +1 ⎧ 1 ⎫ 1 1b b ⎬ 的前 n 项和 T n ，求证：6 ⎩ n n +1 ⎭．【答案】（1）证明见解析， a = 2n - 1(n ∈ N * )（2）见解析． n【解析】（1）由 an +1 = 2a n + 1 ，得 a n +1 + 1 = 2 (a + 1)，n+ 1n +1 a + 1n= 2 ，且 a + 1 = 2 ，1∴ 数列 {a +1}是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列，n∴ a + 1 = 2 ⨯ 2n -1 = 2n ，n( )nn（2）由（1）得： b = logn2(a2n +1+ 1) = log (22n +1- 1 + 1)= 2n + 1 ，2∴1b bn n +11 1 ⎛ 1 1 ⎫ = = -∴T = n1 ⎡⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫⎤ 1 1 - = - (n ∈ N * )，8又 0 < 1即 1n （2）设数列满足 b = a sin a π2的前 项和 ．⎪⎩n,2 3 L 2 3 L 2 (a + 4) = S + S 2a = d + 4 d = 2 ⎪ ⎩= asin n π + ⎪ = a cos (n π ) ， 2 ⎭ ⎝n +1，2n -1，⎪⎩n, 2 3 L 2 3 L a ⋅ a1 1 1 1 1 1 1≤ ，∴- ≤- < 0 ，∴ ≤ - < ，4n + 6 10 10 4n + 6 15 6 4n + 6 61≤ T < ．15 621．（12 分）已知等差数列的前 项和为 ，且 是 与 的等差中项．（1）求的通项公式；n ，求n n【答案】（1）⎧⎪- (n + 2), ；（2） T = ⎨n n = 2k - 1(k = 1，，， ) n = 2k (k = 1，，， ) ．⎧a = 7⎧a + 2d = 7 ⎧a = 3 【解析】（1）由条件，得 ⎨ 3 ，即 ⎨ 1 ， ⎨ 1⎪715⎩1⎩，所以{a n }的通项公式是（2）由（1）知， b = a sinnn．(2n + 1)π 2n n⎛ π ⎫（1）当 n = 2k -1 （k =1，2，3，…）即 n 为奇数时， b = -a ， b nnn +1= aT = -a + a - a + L + a n 1 2 3 n -1 - a = -a + (-2) n - 1= -n - 2 ；n 1（2）当 n = 2k （k =1，2，3，…）：即 n 为偶数时， b = a ， bnnn -1= -aT = -a + a - a +⋯- a n 1 2 3 n -1+ a = 2 ⋅ n n 2= n ，⎧⎪- (n + 2), 综上所述， T = ⎨n22．（12 分）设正项数列n = 2k - 1(k = 1，，， ) n = 2k (k = 1，，， ) ．的前 n 项和为 ，已知 ．（1）求证：数列 是等差数列，并求其通项公式；（2）设数列的前 n 项和为 ，且 b = 4n nn +1，若对任意 都成立，求实数 的取值范围．9（2）由（1）可得 b = 1 n (n + 1) n n + 1∴ T = 1 - ⎪ + - ⎪ + L + - ⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫1 n = 1 -= ， ⎪ 2 ⎭ ⎝ 2 3 ⎭⎝ n n + 1 ⎭n + 1 n + 1⎝，即 nλ < n + (-1)n ⋅ 2 对任意⎢⎣ ⎥⎦n 恒成立，令 f (n ) = (n + 2)(n + 1)Q f (n + 1)- f (n ) = n (n + 1)- 2②当 为奇数时， λ < (n - 2)(n + 1)又 (n - 2)(n + 1)= n - - 1 ，易知：f (n ) = n - 在【答案】（1）见证明，【解析】（1）证明：∵；（2），且．，当当即时，时，有，解得 ．，即．，于是，即．∵ ，∴为常数，∴数列是 为首项， 为公差的等差数列，∴．1 1= - ，nnn + 1都成立⎡ n (n + 1)+ (-1)n ⋅ 2 (n + 1)⎤⇔ λ <⎢⎥ nmin(n ∈ N *)，①当 为偶数时， λ < (n + 2)(n + 1) = n + 2+ 3 ，n nn (n + 1) > 0 ，在 上为增函数，；n 恒成立，2 2 n n n为增函数，，102⨯ 4 ⨯ 3 = 0 ⎧a = -3 ⎪S 4 = 4a 1 + ⎪⎩a = a + 4d = 516 4⎩q3 (a + a + a ) = 120 ∴由①②可知：，综上所述 的取值范围为．第 7 单元 数列（提高篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．记 S 为等差数列{a } 的前 n 项和．已知 S = 0 ， a = 5 ，则（）n n45A ． a n = 2n - 5B ． a n = 3n - 10C ． S = 2n 2 - 8nD ． S = 1n nn 2 - 2n【答案】A2．已知等比数列{a }中， a n 3 ⋅ a = 20 ， a = 4 ，则 a 的值是（ ）13 6 10A ．16B ．14C ．6D ．5【答案】D【解析】由等比数列性质可知 a ⋅ a = a 2 = 20 ，3138由 a 6 = 4 ，得 q 4= a 2 8 = a 2620 5= ，∴ a = a q 4 = 5 ，本题正确选项 D ．10 63．等比数列{a } 中， a + a + a = 30 ， a + a + a = 120 ，则 a + a + a = （ ）n123456789A ．240B ．±240C ．480D ．±480【答案】C【解析】设等比数列{a } 中的公比为 q ，由 a + a + a = 30 ， a + a + a = 120 ，n 1 2 3 4 5 6⎧ 得 ⎨a + a + a = 301 2 31 2 3，解得 q 3 = 4 ，∴ a + a + a = q 3 (a + a + a ) = 480．7 8 9 4 5 6112 ， N = 4．我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，…，9 填入3 ⨯ 3 的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于 15．一般地，将连续的正整数1,2,3,L , n 2 填入 n ⨯ n 个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做n 阶幻方．记 n 阶幻方的对角线上的数字之和为 N n ，如图三阶幻方的 N 3 = 15 ，那么 N 9 的值为（）A ．369B ．321C ．45D ．41【答案】A【解析】根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，根据等差数列的性质可知对角线的两个数相加正好等于1 + n 2，根据等差数列的求和公式 S = n (1+ n 2 ) 9 9 ⨯ (1+ 92 ) 2 = 369 ，故选 A ．5．已知 1， a 1 ， a 2 ，9 四个实数成等差数列，1， b 1 ， b 2 ， b 3 ，9 五个数成等比数列，则b 2 (a 2 - a 1 ) = （ A ．8 B ．-8 C ．±8 D ．98【答案】A）【解析】由 1， a 1 ， a 2 ，9 成等差数列，得公差 d = a 2 - a 1 = 9 - 1 84 - 1 = 3 ，由 1， b ， b ， b ，9 成等比数列，得 b 2 = 1⨯ 9 ，∴ b = ±3 ，12322当 b = -3 时，1， b ， -3 成等比数列，此时 b 2 = 1⨯ (-3) 无解，2 11所以 b = 3 ，∴ b (a - a 2 2 2 1 ) = 3 ⨯ 8= 8 ．故选 A ．36．已知数列{a n }是公比不为 1 的等比数列， S n为其前 n 项和，满足 a = 2 ，且16a ， 9a ， 2a2 1 4 7成等差数列，则 S = （）3A ． 5B ．6C ．7D ．9【答案】C【解析】数列{a n } 是公比 q 不为 l 的等比数列，满足 a 2 = 2 ，即 a 1q = 2 ，122 ⨯ 2 + 3)⨯ 2 ； 2 ⨯ 2 + 4 )⨯3 ；22- 5 =，且 A n =7n + 45a7= （10B ．172C ． 143A ． 93【解析】因为 7 = 7 = a + a a 2a A = 13 = 7 ⨯13 + 45 = 17 1 13 2 且16a ， 9a ， 2a 成等差数列，得18a = 16a + 2a ，即 9a q 3 = 8a + a q 6 ，1 47417111解得 q = 2，a = 1 ，则 S = 1 3 1 - 23 1 - 2= 7 ．故选 C ．7．将石子摆成如图的梯形形状，称数列 5，9，14，20，L ，为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第 2016 项与 5 的差，即 a 2016- 5 = （）A ． 2018⨯ 2014B ． 2018⨯ 201C ．1011⨯ 2015D ．1010⨯ 2012【答案】C【解析】由已知的图形我们可以得出图形的编号与图中石子的个数之间的关系为：n =1 时， a = 2 + 3 = 11(n =2 时， a = 2 + 3 + 4 = 2…，由此我们可以推断：1 (a = 2 + 3 + L + (n + 2 ) = 1n⎡⎣2 + (n + 2)⎤⎦ ⨯ (n + 1)，∴ a 1⨯ ⎡⎣2 + (2016 + 2)⎤⎦ ⨯ (2016 + 1)- 5 = 1011⨯ 2015 ．故选 C ．20168．已知两个等差数列{a }和 {b }的前 n 项和分别为 A 和 BnnnnB n + 3 b n 7）17D ．15【答案】B771131313(a + a )1 131 13= 2 b 2b b + b 13(b + b ) B 13 + 3 2，故答案选 B ．9．已知数列{ }的前 n 项和为 ， ， （ ），则 （ ）A．32B．64C．128D．25613，∴ S B ．C ． 1a - 1 a - 1，n⎧B ． 2019 ) =+ = + = + =2 ，1 1 + 1 + a 2a 2【答案】B【解析】由，得，又，∴- 1 n +1 S - 1n= 2 ，即数列{则∴10．数列1}是以 1 为首项，以 2 为公比的等比数列，，则 ．．故选 B ．满足： ，若数列 是等比数列，则 的值是（）A ．1 【答案】B2 D ．【解析】数列为等比数列 ⇒ a- 1λa - 2上式恒成立，可知 ⎨λ =q⎩-2 = -q⇒ λ = 2 ，本题正确选项 B ．11．已知函数 f (x ) =2( 1 + x 2x ∈ R )，若等比数列满足 a a1 2019= 1 ，则A ．2019【答案】A （ ）2 C ．2D ． 1 2【解析】∴ f (a )+ f (a12019，1 + a2 1 + a 2 1 + a 2 1 + a 21 2019 1 1 1为等比数列，则，14b b3B ． 16 C ． 115D ． 2b b= = - ⎭ 数列 的前 项和 T = - + - ⎪ ⎪ ， 2 ⎝ 3 5 5 72n + 1 2n + 3 ⎭ 2 ⎝ 3 2n + 3 ⎭可得 λ ≤ 12，即12．已知是公比不为 1 的等比数列，数列．满足： ， ， 成等比数列，c =1n2n 2n +2，若数列的前 项和对任意的恒成立，则 的最大值为（ ）A ．115【答案】C【解析】由 ， ，成等比数列得 a 2 =a a ，2 2nb n又是公比不为 1 的等比数列，设公比为 q ，则 a 2 q2b n-2 = a 2 q 2n ，整理得 b = n + 1，c =111n n2n 2n +21 1 ⎛ 1 1 ⎫ (2n + 1)(2n + 3)2 ⎝ 2n + 1 2n +3 ⎪ ，1 ⎛ 1 1 1 11 1 ⎫ 1 ⎛ 1 1 ⎫+ ⋅⋅⋅ +- = - n数列 是单调递增数列，则当 n =1 时取到最小值为1151 ，即 的最大值为，故选 C ．1515，第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分．13．已知{a n } 是等差数列， a 2 + a 4 + a 6 + a 8 = 16 ，则 S 9 = _________．【答案】36【解析】{a n } 是等差数列， a 2 + a 4 + a 6 + a 8 = 16 ， a 2 + a 8 = a 4 + a 6 = 2a 5 ，得出 a 5 = 4 ，又由 S = 9 ⋅ (a 1 + a 9 )9 = 9a = 36 ．514．在数列 {a }中， a n 1= 1,an +1- a = 2n + 1 ，则数列的通项 a = ________．n n15x【答案】 n 2【解析】当 n ≥ 2 时，a = (a - a ) + (ann n -1n -1- a n -2) + (an -2- a n -3) + L + (a - a ) + (a - a ) + a ，3 2 2 1 1⇒ a = (2n - 1) + (2n - 3) + (2 n - 5) + L + 5 + 3 + 1 = n当 n = 1 ， a 也适用，所以 a = n 2 ．1nn (2n - 1 + 1) 2= n 2 ，15．设数列{a n } 的前 n 项和为 S n ，且 ∀n ∈ N *, a n +1a = ________．n【答案】 n - 6(n ∈ N * ) （答案不唯一）> a , S ≥ S ．请写出一个满足条件的数列{a } 的通项公式n n 6 n【解析】 ∀n ∈ N * , a n +1> a ，则数列{a } 是递增的， ∀n ∈ N * , S ≥ S ，即 S 最小，n n n 6 6只要前 6 项均为负数，或前 5 项为负数，第 6 项为 0，即可，所以，满足条件的数列{a n } 的一个通项公式 a n = n - 6(n ∈ N * ) （答案不唯一）．16．已知函数 f ( x ) = x 2 cosπx2，数列 {a }中， a = f (n )+ f (n + 1)(n ∈ N * ) ，则数列{a }的n n n前 40 项之和 S 40 = __________．【答案】1680【解析】函数 f (x ) = x 2 cos π 2且数列 {a }中， a = f (n )+ f (n +1)，n n可得 a = f (1)+ f (2) = 0 - 4 = -4 ； a = f (2)+ f (3) = -4 + 0 = -4 ；12a = f (3)+ f (4) = 0 +16 = 16 ； a = f (4)+ f (5) = 16 ；3 4a = f (5)+ f (6) = 0 - 36 = -36 ； a = f (6)+ f (7) = -36 ；…，5 6可得数列 {a n 即有数列 {a n}为 -4 ， -4 ， 16 ，16 ， -36 ， -36 ， 64 ， 64 ， -100 ， -100 ，…， }的前 40 项之和：S = (-4 - 4 +16 +16)+ (-36 - 36 + 64 + 64)+ (-100 -100 +144 +144)+ 40⋅⋅⋅+ (-1444 -1444 +1600 +1600) = 24 + 56 + 88 +⋅⋅⋅+ 31216= ⨯10 ⨯ (24 + 312 ) = 1680 ， （ a b a 1 - 22n 2 + n (n ∈ N * )．2 2 222212本题正确结果1680 ．三、解答题：本大题共6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．10 分）已知数列{a n}是等比数列，数列 {b }是等差数列，且满足： n 1= b = 1 ， + b = 4a ， - 3b = -5 ．1 2 3 2 3 2（1）求数列{a n }和 {b }的通项公式；n（2）设 c n = a n + b n ，求数列 {c n}的前 n 项和 S n ．【答案】（1） a = 2n -1 , n ∈ N * ， b = 2n - 1,n ∈ N * ；（2） S = 2n + n 2 - 1 ．nn n【解析】（1）设 {an}的公比为 q ， {b }的公差为 d ，由题意 q > 0 ，n⎧(1+ d ) + (1+ 2d ) = 4q ⎧-4q + 3d = -2由已知，有 ⎨ ，即 ⎨⎩q 2 - 3(1+ d ) = -5 ⎩ q 2 - 3d = -2⇒ q 2 - 4q + 4 = 0 ⇒ d = q = 2 ，所以 {a n }的通项公式为 an= 2n -1 , n ∈ N * ， {b }的通项公式为 b = 2n - 1,n ∈ N * ．n n（2） c = a + b = 2n -1 + 2n - 1 ，分组求和，分别根据等比数列求和公式与等差数列求和公式得到nnn1 - 2nn (1+ 2n - 1)S =+= 2n + n 2 - 1 ．n18．（12 分）己知数列{a }的前 n 项和为 S n（1）求 {a}的通项公式；nn且 S = n 1 12 2（2）设 b n =1a an n +1，求数列 {b n}的前 100 项和．【答案】（1） a n = n ；（2） T100 =100 101．【解析】（1）当 n ≥ 2 时， S =n两式相减得 a n = S n - S n -1 = n ， n 2 + n ， S = (n - 1)2 + (n - 1)= n 2 + n- n ，17当 n =1时， a = S = + = 1，满足 a = n ，\ a = n ． 2 2骣 1 骣 1 骣1 1 1 1 1001 - + - +L + - +2 = - ， n +1 =2 n∈ N * )． ⎧⎬（2）若数列{b }满足： ba + 1 3n4 4 == 3 +n⎩ a n +1⎭a + 1 = 3n ，所以 a =1 - 1 ． 3n ( )⇒ S = 2n - 144（2）令 b = 2n + 1，求数列 {b }的前 n 项和 T 及 T 的最小值．a + 2 nn1 11 1 n n（2）由（1）可知 b n =1 1 1= - ，n (n + 1) n n + 1所以数列 {b n}的前 100 项和 T100= b +b +?1 2b100= 琪 琪 琪 琪 - = 1 - = ．桫 2桫 3 ? 99 100100 101 101 10119．（12 分）已知数列{a }满足： a n 1 3a -2a n - 3 ( 3a + 4 n（1）证明数列 ⎨ 1 ⎫ 为等差数列，并求数列{a n }的通项公式；⎩ a n + 1⎭nn =3n (n ∈ N * )，求 {b }的前 n 项和 S ． nn n【答案】（1）证明见解析， a = n1 2n - 1 9- 1；（2） S = ⨯ 3n +2 + ．n【解析】（1）因为 an +1+ 1 = -2a - 3 a + 1 1 3a + 4 1 n + 1 = n ，所以 ， 3a + 4 3a + 4 a + 1 a a + 1 n n n +1 n +1 n⎧ 1 ⎫所以 ⎨ ⎬ 是首项为 3，公差为 3 的等差数列，所以n1 n（2）由（1）可知： a =n 1 3n- 1，所以由 b = n 3n a + 1 nn ∈ N * ⇒ b = n ⋅ 3n +1 ， nS = 1 ⨯ 32 + 2 ⨯ 33 + L + (n - 1) ⨯ 3n + n ⨯ 3n +1 ①；n3S = 1 ⨯ 33 + 2 ⨯ 34 + L + (n - 1) ⨯ 3n +1 + n ⨯ 3n +2 ②，n①-②得 -2S = 32 + 33 + L + 3n +1 - n ⨯ 3n +2 = n 32 (3n - 1)3 - 1 - n ⨯ 3n +2n9⨯ 3n +2+ ．20．（12 分）已知数列{a n}的前 n 项和为 Sn，且 S n = 2a n - 2n -1 ．（1）求数列{a n}的通项公式；n nn185 ⨯ 2n -1 （2）Q b = 2n + 1 1 1 1 ⎛ 3 5 7 2n + 1 ⎫ ，则 T n = ⎪ ， a + 2 52n -1 5 ⎝ 20 21 22 2n -1 ⎭ T = ⎪ 两式作差得 1 - T = ⨯ ⎢3 + ⎛ 1 ⎫ 1 ⎡ ⎛ 2 2 2 ⎫ 2n + 1⎤ 2n + 5 + +⋅⋅⋅+ - = 1 -2n ⎥⎦ ⎝ 2 ⎭ n 5 ⎣21 22 2n -1 ⎭ 5 ⨯ 2n 5 ⨯ 2n -1 5 ⨯ 2n 5 ⨯ 2n -1 5 ⨯ 2n 5 ⎧( ⎧ n - 1)2n + , n 是奇数 3 - 3n ⎪b n = 2 2 , n 是奇数2 ， b = ⎨ ；（2） T = ⎨ ．3n ⎪(n - 1)2n + 1 + , n 是偶数 n -2 ⎪b = 2 2 , n 是偶数n n【答案】（1）a = 5 ⨯ 2n -1- 2 (n ∈ N *)；（2） T = 2 - 2n +5 3，最小值 ． 5【解析】（1）当 n =1 时， a 1 = S 1 = 2a 1 - 2 - 1 ，解得 a 1 = 3 ，当 n ≥ 2 时， a n = S n - S n -1 = 2a n - 2a n -1 - 2 ，解得 a n = 2 a n -1 + 2 ．则 a + 2 = 2 (an n -1+ 2)，故 {a n + 2}是首项为 a 1 + 2 = 5 ，公比为 2 的等比数列，∴ a = 5 ⨯ 2n -1 - 2 (n ∈ N * )． n = ⨯ (2n + 1)⨯ + + + ⋅⋅⋅ +nn1 1 ⎛2 n 5 ⎝3 5 7 2n - 1 2n + 1 ⎫+ + + ⋅⋅⋅ + +21 22 23 2n -1 2n ⎭⎪ ⎪⎝，所以 T = 2 - n 2n + 5 5 ⨯ 2n -1，2n + 5 2n + 7 2n + 5 -2n - 3令 c = ，有 c - c =- = < 0 ，对 n ∈ N * 恒成立， n n +1 n则数列{c n }是递减数列，故{T n } 为递增数列，则 (T n )min 3= T = ． 121．（12 分）已知正项数列且．的前 项和为 ，且 ， ，数列 满足 ，（1）求数列（2）令【答案】（1）， 的通项公式；，求数列 的前 项和 ．n +1 ⎪⎪ n n⎩ n ⎪⎩ 2【解析】（1）当时， ，即 ，，19⎧⎪S + S = a 2 由 ⎨ ，可得= a 2 (n ≥ 2) ，⎪⎩ n由 ⎨ 两式相除，得 n +1 = 2 (n ≥ 2 )，⎧b b = 2n b⎪⎩b n -1b n = 2n -1 (n ≥ 2)综上：b = ⎨ n ⎪b = 2 n -22 , n 是偶数 ⎩ ⎧ 3n ⎪⎪ 2 , 的前 项和为 B ，∴ B = ⎨ ， -3n + 1 ⎪ , n 是奇数 ⎧(n - 1)2n + , n 是奇数 ⎪⎪ 2综上： T = ⎨ ．3n ⎪(n - 1)2n + 1 + , n 是偶数n +1 n n +1 S + S n -1 n即，又是公差为 ，首项为 的等差数列，，由题意得：，n n +1 b n -1是奇数时，是公比是 ，首项 的等比数列，∴ b = 2nn +1 2 ，同理 是偶数时是公比是 ，首项的等比数列，∴ b = 2nn -2 2 ，n ⎧ n +1⎪b = 2 2 , n 是奇数n．（2）令，即 ，⎧⎪ A = 1⋅ 20 + 2 ⋅ 21 + 3 ⋅ 22 + ⋅⋅⋅ + n ⋅ 2n -1的前 项和为 ，则 ⎨ n⎪⎩2 A n = 1⋅ 21 + 2 ⋅ 22 + 3 ⋅ 23 + ⋅⋅⋅ + n ⋅ 2n，两式相减得 - A = 20 + 21 + 22 + 2n -1 - n ⋅ 2n = n，1 - 2n 1 - 2- n ⋅ 2n ，令n n⎪⎩ 2n 是偶数3 - 3nn⎪⎩ 220ln 22 ln 32 ln n 2 (n - 1)(2n + 1) (当 x ≥ a 时， f '( x ) = 1 - = ，此时要考虑 a 与 1 的大小．（2）由（1）可知当 a = 1 ， x > 1 时， x -1 - ln x > 0 ，即 ln x > 1 - x ，所以 ln x = n - 1 - = n - 1 - - ⎪ < n - 1 - + + L + ⎝ 2 n 2 ⎭ ⎝ 2 ⨯ 3 3 ⨯ 4 n(n + 1) ⎭ 1 ⎫ n - 1 = (n - 1) - n + 1 ⎭ 2(n + 1) ⎛ 122．（12 分）已知函数 f ( x ) =| x - a | - ln x(a > 0) ．（1）讨论 f ( x ) 的单调性；（2）比较 + +⋯+ 与 的大小 n ∈ N * 且 n > 2) ，并证明你的结论．22 32 n 2 2(n + 1)【答案】（1）见解析；（2）见解析．⎧ x - ln x - a, 【解析】（1）函数 f ( x ) 可化为 f ( x ) = ⎨⎩a - x - ln x,x ≥ a0 < x < a ，当 0 < x < a 时， f '( x ) = -1 - 1 x< 0 ，从而 f ( x ) 在 (0, a) 上总是递减的，1 x - 1x x①若 a ≥ 1 ，则 f '( x ) ≥ 0 ，故 f ( x ) 在 [a, +∞ ) 上递增；②若 0 < a < 1 ，则当 a ≤ x < 1 时， f '( x ) < 0 ；当 x > 1 时， f '( x ) > 0 ，故 f ( x ) 在 [a,1) 上递减，在 (1, +∞) 上递增，而 f ( x ) 在 x = a 处连续，所以当 a ≥ 1 时， f ( x ) 在 (0, a) 上递减，在[a, +∞ ) 上递增；当 0 < a < 1 时， f ( x ) 在 (0,1) 上递减，在[1, +∞ ) 上递增．1< 1 - ．x x所以 ln 22 ln 32 ln n 2 1 1 1+ + L + < 1 - + 1 - + L 1 -22 32 n 2 22 32 n 2⎛ 1 1 + ⎝ 22 32 + L + 1 ⎫ 1 1 ⎫ ⎛ 1 ⎪ ⎪2n 2 - 2 - n + 1 (n - 1)(2n + 1) = = ．2(n + 1) 2(n + 1)21。

2017年高考全国卷文科数学第一轮复习--讲义一----数列（2017高考文科数学）2016-4-30讲义一数列一、高考趋势1、考纲要求（1）．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)．（2）．了解数列是自变量为正整数的一类函数．（3）．理解等差数列的概念．（4）．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．（5）．了解等差数列与一次函数的关系．（6）．理解等比数列的概念．（7）．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．（8）．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．（9）．了解等比数列与指数函数的关系．2、命题规律数列一般在全国文科卷中平均考查分值为12分。

考察形式一般有两种，第一种是选择题+填空题的形式，第二种是解答题的形式。

并且全国文科卷解答题第一题是数列和三角函数二选一。

因此数列题在高考中属于“要尽量全部做对且拿到满分”的“高期待值”题。

二、基础知识+典型例题1、等差数列的概念与运算（1）．等差数列的定义如果一个数列从第二项开始每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．（2）．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则它的通项公式是1(1)n a a n d =+-.）（*∈N n （3）．等差中项如果2a bA +=，那么A 叫做a 与b 的等差中项．（4）．等差数列的前n 项和等差数列{a n }的前n 项和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-=+=）（*∈N n （5）．等差数列的判定通常有两种方法：① 第一种是利用定义，a n －a n －1＝d (常数) (n ≥2)，② 第二种是利用等差中项，即2a n ＝a n ＋1＋a n －1 (n ≥2)．[来源学科网]背诵知识点一：（1）等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-）（*∈N n （2）等差中项：b c a a,b,c 2=+构成等差数列，则（3）等差数列的前n 项和：11()(1)22n n n a a n n S na d +-=+=）（*∈N n（6）．对于等差数列问题一般要给出两个条件，可以通过列方程求出a 1，d . 如果再给出第三个条件就可以完成a n ，a 1，d ，n ，S n 的“知三求二”问题．这体现了用方程的思想解决问题．考点一：等差数列通项公式及前n 项和公式例1、（15全国卷一）已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（） A 、 172 B 、19 2C 、10D 、12例2、（15安徽卷）已知数列}{n a 中，11=a ，211+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前9项和等于 .2、等差数列的性质（1）通项推广：a n ＝a m ＋(n －m )d ，）（*∈N n (d 为数列{a n }的公差)．（2）若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . 特别地：a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n－2＝….（3）项数成等差数列，则相应的项也成等差数列，即若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p . （4）S n ＝a 1＋a n2n ＝a 2＋a n －12n ＝a 3＋a n －22n ＝…. （5）等差数列的单调性① 等差数列公差为d ，若d >0，则数列递增．② 若d <0，则数列递减．③ 若d ＝0，则数列为常数列．背诵知识点二：（1）等差中项的性质：若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . （2）等差中项的性质：若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p . （3）等差数列的性质：d m n a a m n )(-=-考点二：等差数列中项的性质例3、（15全国卷二）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =（） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11例4、（15陕西卷）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________．3、等比数列的概念与运算（1）．等比数列的定义如果一个数列从第二项开始每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示．（2）．等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项11n n a a q -=.）（*∈N n （3）．等比中项若20G ab =≠，那么G 叫做a 与b 的等比中项．（4）．等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ，① 当q ＝1时，S n ＝na 1；）（*∈N n ② 当q ≠1时，S n ＝qq a a q q a n n --=--11)1(11）（*∈N n （5）．在涉及等比数列前n 项和公式时要注意对公式q 是否等于1的判断和讨论．（6）．等比数列的判定方法：① 定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数)或a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2)，则{a n }是等比数列．② 中项公式法：若数列{a n }中a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列．背诵知识点三：（1）等比数列的通项公式：11n n a a q -=.）（*∈N n （2）等比中项：2b c a a,b,c =?构成等比数列，则（3）等比数列的前n 项和：① 当q ＝1时，S n ＝na 1；）（*∈N n ② 当q ≠1时，S n ＝q q a a q q a n n --=--11)1(11）（*∈N n考点三：等比数列定义与前n 项和公式例5、（15全国卷一）数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = .例6、（12全国卷）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若3230S S +=,则公比q =________例7、（13全国卷一）设首项为1，公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（）A.21n n S a =-B.32n n S a =-C.43n n S a =-D.32n n S a =-例8、（12全国卷）数列{}n a 满足1(1)21n n n a a n ++-=-,则{}n a 的前60项和为( ) A.3690B.3660C.1845D.18304、等比数列的性质（1）通项公式的推广：m n n m a a q -=，(n ，m ∈N *)．（2）若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N *)，则n m l k a a a a ?=? （3）若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列：则{λa n }(λ≠0)，{1a n }，{a 2n }，{a n ·b n }，{a nb n }仍是等比数列．（4）等比数列的单调性．① a 1>0q >1或??a 1<00<="" bdsfid="210" n="" p="" }为递增数列；="" ②="">a 1>00<1或??<="" bdsfid="212" p="">a 1<0q >1{a n }为递减数列；③ q ＝1?{a n }为非零常数列；④ q <0?{a n }为摆动数列．（5） a n a m＝q n －m (m ，n ∈N *)背诵知识点四：（1）等比中项的性质：若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则n m l k a a a a ?=?（2）等比中项的性质：若m ＋n ＝2p ，则2p n m a a a =? （3）等比数列的性质：a n a m＝q n －m (m ，n ∈N *)考点四：等比数列中项的性质例9、（14全国卷二）等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（）A. (1)n n +B. (1)n n -C. (1)2n n +D. (1)2n n -例10、（15全国卷二）已知等比数列{}n a 满足114a =,()35441a a a =-,则2a =（）A.2B.1 1C.2 1D.8例11、（15浙江卷）已知{a n}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝________，d＝________．例12、（15广东卷）若三个正数a，b，c成等比数列，其中a＝5＋26，c＝5－26，则b＝________．5、数列的通项（1）．数列的通项公式：若数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 之间的关系可以用一个式子表示出来，记作()n a f n =，称作该数列的通项公式.（2）．等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-()m a n m d =+-．（3）．等比数列的通项公式：11n n m n m a a q a q --== （4）．等差数列性质：① ()n m a a n m d =+-；② 若*,,,m n p q N m n p q ∈+=+且，则m n p q a a a a +=+；（5）．等比数列性质：① n mn m a a q-=；② 若*,,,m n p q N m n p q ∈+=+且，则m n p q a a a a = （6）．等差数列的判定：①定义法；②等差中项法（7）．等比数列的判定：①定义法；②等比中项法（8）．数列通项公式求法① 累加法：对于可转化为)(1n f a a n n +=+形式数列的通项公式问题② 累乘法：对于可转化为1()n n a a f n +=形式数列的通项公式问题③ 构造法：对于化为1()n n a pa f n +=+（其中p 是常数）型的通项公式问题④ 利用前n 项和n S 与第n 项n a 关系求通项公式问题对递推公式为n S 与n a 的关系式(或()n n S f a =)，利用??≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n 进行求解.注意n a =1n n S S --成立的条件是n ≥2，求n a 时不要漏掉n =1即n a =1S 的情况，当1a =1S 适合n a =1n n S S --时，n a =1n n S S --；当1a =1S 不适合n a =1n n S S --时，用分段函数表示.背诵知识点五：（1）数列通项公式求法：① 累加法：对于可转化为)(1n f a a n n +=+形式数列的通项公式问题② 累乘法：对于可转化为1()n n a a f n +=形式数列的通项公式问题③ 构造法：对于化为1()n n a pa f n +=+（其中p 是常数）型的通项公式问题④ 利用前n 项和n S 与第n 项n a 关系求通项公式问题考点五：求数列的通项公式①、累加法例13、已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

高中数学上海历年高考经典真题专题汇编专题：圆锥曲线姓名：学号：年级：专题7：圆锥曲线一、填空、选择题1、（2016年上海高考）已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离_______________2、（2015年上海高考）抛物线y 2=2px （p ＞0）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p= ．3、（2014年上海高考）若抛物线22y px =的焦点与椭圆22195x y +=的右焦点重合， 则该抛物线的准线方程为 .4、（虹口区2016届高三三模）若双曲线2221y x b-=的一个焦点到其渐近线的距离为，则该双曲线的焦距等于________.5、（浦东新区2016届高三三模）抛物线214y x =-的准线方程是6、（杨浦区2016届高三三模）已知双曲线22214x y a -=*()a N ∈的两个焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上一点，满足21212||||||F F PF PF =⋅，P 到坐标原点O 的距离为d ，且59d <<，则2a =7、（虹口区2016届高三三模）过抛物线28x y =的焦点F 的直线与其相交于A ，B 两点，O 为坐标原点． 若6,AF =则OAB ∆的面积为8、（浦东新区2016届高三三模）直线1y kx =+与抛物线22y x =至多有一个公共点，则k 的取值范围是9、（浦东新区2016届高三三模）设P 为双曲线()22210x y a a -=>上的一点，12F F 、是左右焦点，1223F PF π∠=，则12F PF ∆的面积等于（ ） A.23a B.23a C.3 D.2310、（崇明县2016届高三二模）已知双曲线22221x y a b-=00a b >>（,）的一条渐近线方程是3y x =，它的一个焦点与抛物线216y x =的焦点相同，则双曲线的标准方程为 ．11、（奉贤区2016届高三二模）双曲线2241x y -=的一条渐近线与直线10tx y ++=垂直，则t =________．12、（虹口区2016届高三二模）如图, 2222+1(0)x y A B a b a b=>>、为椭圆的两个顶点，过椭圆的右焦点F 作x 轴的垂线，与其交于点C. 若//AB OC (O 为坐标原点)，则直线AB 的斜率为___________.13、（黄浦区2016届高三二模）若椭圆上的点到焦点的距离的最小值为5，最大值为15，则椭圆短轴长为14、（静安区2016届高三二模）已知双曲线2221(0)y x m m-=>的渐近线与圆22(2)1x y ++=没有公共点，则该双曲线的焦距的取值范围为 .15、（静安区2016届高三上学期期末）已知抛物线2y ax =的准线方程是14y =-，则a = .16、（普陀区2016届高三上学期期末）设P 是双曲线22142x y -=上的动点，若P 到两条渐近线的距离分别为12,d d ，则12d d ⋅=_________.17、（杨浦区2016届高三上学期期末）抛物线C 的顶点为原点O ，焦点F 在x 轴正半轴，过焦点且倾斜角为4π的直线l 交抛物线于点,A B ，若AB 中点的横坐标为3，则抛物线C 的方程为_______________.18、（宝山区2016届高三上学期期末）抛物线212y x =-的准线与双曲线22193x y -=的两条渐近线所围成的三角形的面积等于 ．19、（松江区2016届高三上学期期末）已知双曲线2215x y m -=的右焦点与抛物线212y x =的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为 ( ).A 2y x =±.B 5y x =± .C 3y x =± .D 5y x =±二、解答题1、（2016年上海高考） 有一块正方形菜地EFGH ,EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。