2014年湖南省衡阳市高考数学模拟试卷(5月份)

2014年湖南省某校高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 复数z满足(−1+i)z＝(1+i)2，其中i为虚数单位，则在复平面上复数z对应的点位（）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限2. 已知随机变量X服从正态分布N(3, 1)，且P(l≤X≤5)=0.6826，则P(X>5)=()A 0.1588B 0.1587C 0.1586D 0.15853. 如图所示，程序框图（即算法流程图）运算的结果是（）A 5B 6C 7D 84. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，且在(0, +∞)内有1006个零点，则f(x)的零点共有（）A 1006个B 1007个C 2012个D 2013个5. 在△ABC中的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若b=2ccosA，c=2bcosA则△ABC的形状为（）A 直角三角形B 锐角三角形C 等边三角形D 等腰直角三角形6. 设{a n}是等比数列，则“a1<a2<a4”是“数列{a n}是递增数列”的（）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件7. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（）A 4√3πB 12πC 2√3πD 4√2π8. 用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中，有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为（）A 432B 288C 216D 1449. 已知双曲线T:x2a2−y2b2=1(a, b>0)的右焦点为F(2, 0)，且经过点R(2√33, 0)，△ABC的三个顶点都在双曲线T 上，O 为坐标原点，设△ABC 三条边AB ，BC ，AC 的中点分别为M ，N ，P ，且三条边所在直线的斜率分别为k 1，k 2，k 3，k 1≠0，i =1，2，3．若直线OM ，ON ，OP 的斜率之和为−1．则1k 1+1k 2+1k 3的值为（ ）A −1B −12C 1D 1210. 已知f(x)是定义在(0, +∞)上的单调函数，且对任意的x ∈(0, +∞)，都有f[f(x)−log 2x]=3，则方程f(x)−f′(x)=2的解所在的区间是( ) A (0, 12) B (12, 1) C (1, 2) D (2, 3)二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．选做题（请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）11. 在极坐标系中，圆ρ=4cosθ的圆心到直线ρsin(θ+π4)=2√2的距离为________． 12. 已知函数f(x)=log 2(|x +1|+|x −2|−m)．若关于x 的不等式f(x)≥1的解集是R ，则m 的取值范围是________．13. 如图，已知AB 、AC 、CE 是圆的弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D ，且AC CD=AF FB，AF =3，FB =1，EF =32，则线段CD 的长为________．（二）、必做题（14-16题）14. 设a =∫ π20cosxdx ，则(2x −ax )6展开式的常数项为________．15. 已知实数x ，y 满足约束条{x −y +6≥0x +y ≥0x ≤3，则z =9x3−y 的最小值为________．16. 在当今的信息化社会中，信息安全显得尤为重要，为提高信息在传输中的安全性，通常在原信息中按一定规则对信息加密，设定原信息为A 0=a 1a 2...a n ，a i ∈{0, 1}(i =1, 2, 3...n)，传输当中原信息中的1都转换成01，原信息中的0转换成10，定义这种数字的转换为变换T ，在多次的加密过程中，满足A k =T(A k−1)，k =1，2，3，…． （1）若A 2:10010110，则A 0为________；（2）若A 0为10，记A K 中连续两项都是l 的数对个数为l K ，k =l ，2，3，…，则l K =________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知a →=(2cosx +2√3sinx, 1)，b →=(y, cosx)，且a → // b →．（1）将y 表示成x 的函数f(x)，并求f(x)的最小正周期；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若f(B)=3，BA →⋅BC →=92，且a +c =3+√3，求边长b ．18. 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14；两人租车时间都不会超过四小时．(Ⅰ)求甲乙两人所付的租车费用相同的概率．(Ⅱ)设甲乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．19. 如图所示的几何体，四边形ABCD 中，有AB // CD ，∠BAC =30∘，AB =2CD =2，CB =1．点E 在平面ABCD 内的射影是点C ，EF // AC ，且AC =2EF ． （1）求证：平面BCE ⊥平面ACEF ；（2）若二面角D −AF −C 的平面角为60∘，求CE 的长．20. 有一海湾，海岸线近似为椭圆的一段弧NM ，M 、N 为椭圆弧上两点，且MA ⊥AB ，NB ⊥AB ，AB 间的距离为2公里，椭圆焦点为A 、B ，椭圆的短半轴长为√3公里，在A 、B 处分别有甲、乙两个化工厂，AB 的中点为O ．准备在海岸线上建一度假村P ，不考虑风向等因素影响，化工厂对度假村废气污染程度与排出废气的浓度成正比（比例系数都为正常数m ），与距离的平方成反比（比例系数都为正常数n ），又知化工厂甲排出的废气浓度是化工厂乙的8倍，已知化工厂乙排出的废气浓度为d(d 为常数，0<d <1)，设度假树P 距离甲化工厂x 公里，度假村P 受到甲、乙两化工厂的污染程度之和记为f(x)． （1）求f(x)的表达式并求定义域；（2）度假村P 距离甲化工厂多少时，甲、乙两化工厂对度假村的废气污染程度和最小？ 21. 已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的两个焦点与一个顶点组成一个直角三角形的三个顶点，且椭圆E 过点M(2, √2)，O 为坐标原点． （1）求椭圆E 的方程；（2）是否存在以原点为圆心的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且OA →⊥OB →？若存在，写出该圆的方程，并求该切线在y 轴上截距的取值范围及|AB|的取值范围；若不存在，说明理由． 22. 已知函数f(x)=x(1+alnx)x−1(x >1)．（1）若g(x)=(x −l)2f′(x)在(1, +∞)是增函数，求实数a 的取值范围；（2）当a =1时，若f(x)>n 恒成立，求满足条件的正整数n 的最大值； （3）求证：(1+1×3)×(1+3×5)×...×[1+(2n −l)(2n +l)]>e 2n−32．2014年湖南省某校高考数学模拟试卷（理科）（4月份）答案1. D2. B3. C4. D5. C6. B7. A8. B9. B 10. C 11. √212. (−∞, 1] 13. 4314. −160 15. 127 16. 10、2k −(−1)k3，k ∈N ∗．17. 解：（1）∵ a → // b →， ∴ y =(2cosx +2√3sinx)cosx =2cos 2x +√3sin2x =cos2x +√3sin2x +1 =2sin(2x +π6)+1，即f(x)=2sin(2x +π6)+1，∴ T =2π2=π．即f(x)的最小正周期为π．（2）由f(B)=3，得2sin(2B +π6)+1=3，化为sin(2B +π6)=1， ∴ 2B +π6=2kπ+π2(k ∈Z)，只能取k =0，解得B =π6． ∵ BA →⋅BC →=92，∴ accosB =92，∴√32ac =92，化为ac =3√3．联立{a +c =3+√3ac =3√3，解得{a =3c =√3或{a =√3c =3由余弦定理可得：b 2=a 2+c 2−2accosB =32+(√3)2−6√3×√32=3，∴ b =√3．18. （1）甲乙两人租车时间超过三小时的概率分别为：14，14 甲乙两人所付的租车费用相同的概率p =14×12+12×14+14×14=516（2）随机变量ξ的所有取值为0，2，4，6，8 P(ξ＝0)=14×12=18P(ξ＝2)=14×14+12×12=516P(ξ＝4)=12×14+12×14+14×14=516P(ξ＝6)=12×14+14×14=316 P(ξ＝8)=14×14=116 分布列：数学期望Eξ=516×2+516×4+316×6+116×8=7219. （1）证明：在△ABC 中，∵ ∠BAC =30∘，AB =2CD =2，CB =1， ∴ BC 2=AB 2+AC 2−2AB ⋅ACcos30∘，解得AC =√3，∴ AB 2=AC 2+BC 2， 由勾股定理知∠ACB =90∘，∴ BC ⊥AC ，∵ EC ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴ BC ⊥EC ， ∵ AC ∩EC =C ，∴ BC ⊥平面ACEF ， 又BC ⊂平面BCE ，∴ 平面BCE ⊥平面ACEF ．（2）解：∵ EC ⊥平面ABCD ，由（1）知BC ⊥AC ， ∴ 以C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设CE =ℎ，则C(0, 0, 0)，A(√3, 0, 0)， F(√32, 0, ℎ)，D(√32,−12,0)，AD →=(−√32, −12, 0)，AF→=(−√32, 0, ℎ)，设平面DAF 的法向量n →=(x,y,z)， 则{n →⋅AF →=−√32x +ℎz =0˙，令x =√3，得n →=(√3, −3, 32ℎ)，又平面AFC 的法向量m →=(0, 1, 0)， ∵ 二面角D −AF −C 的平面角为60∘， ∴ |cos <n →，m →>|=|−3√3+9+(32ℎ)2|=cos60∘=12，解得ℎ=√68， ∴ CE 的长为√68．20. 解：（1）由点P 在椭圆上，知|PA|+|PB|=4，设|PA|=x ，则|PB|=4−x ， P 点受甲油井污染程度为8dmn x 2， P 点受乙油井污染程度为dmn(4−x)2，污染程度和为f(x)=8dmn x 2+dmn (4−x)2，定义域为[32, 52]（2）令f(x)=8dmn x 2+dmn (4−x)2=dmn(8x 2+1(4−x)2)，求导函数，可得f′(x)=dmn(−16x 3+−2(4−x)3)=−2dmn(8x 3+1(4−x)3)， 令f′(x)>0，解得x >83．令f′(x)<0，解得x <83． 故x ∈[32, 52]时，函数为减函数；当x =52时，f(x)取得最小值．即度假村距离甲化工厂52km 时，度假村的废气污染程度和最小． 21. 解：（1）∵ 椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1，(a >b >0)过M(2, √2)， ∴ 4a 2+2b 2=1，又E:x 2a 2+y 2b 2=1，(a >b >0)的两个焦点与一个顶点组成一个直角三角形的三个顶点，∴ a 2=2b 2，解得{a 2=8b 2=4，∴ 椭圆E 的方程为：x 28+y 24=1．（2）假设存在圆心在原点的圆，使得廖圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 且OA →⊥OB →，该椭圆的切线方程为y =kx +m ， 解方程组{y =kx +m x 28+y 24=1，得(1+2k 2)m 2+4km +2m 2−8=0，则△=16k 2m 2−4(1+2k 2)(2m 2−8)>0， 整理，得8k 2−m 2+4>0， x 1+x 2=−4km1+2k 2，x 1x 2=2m 2−81+2k 2，y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2 =k 2(2m 2−8)1+2k 2+m 2=m 2−8k 21+2k 2，要使OA →⊥OB →，需使x 1x 2+y 1y 2=0， 即2m 2−81+2k 2+m 2−8k 21+2k 2=0，∴ 3m 2−8k 2−8=0， ∴ k 2=3m 2−88≥0，又8k 2−m 2+4>0，∴ {m 2>23m 2≥8，∴ m 2≥83，即m ≥2√63或m ≤−2√63． ∵ 直线y =kx +m 为圆心在原点的圆的一条切线， ∴ 圆的半径为r =√1+k 2，r 2=m 21+k2=m 21+3m 2−88=83，∴ r =2√63， 所求圆的方程为x 2+y 2=83， |AB|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2 =√1+k 2√(−4km 1+2k 2)2−4⋅2m 2−81+2k 2=4√63√(4k 2+1)(k 2+1)(1+2k 2)=4√63√4k 4+4k 2+1+k 24k 4+4k 2+1 =4√63√1+k 24k 4+4k 2+1∈(4√63, 2√3]， 此时圆的切线y =kx +m 都满足m ≥2√63或m ≤−2√63，而当切线的斜率不存在时切线为x =±2√63与椭圆x 28+y 24=1的两个焦点为(2√63, ±2√63)或(−2√63, ±2√63)满足OA→⊥OB →，|AB|=4√63， 综上所述，存在圆心在原点的圆x 2+y 2=83， 使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ， 且OA →⊥OB →，|AB|∈[4√63, 2√3]，m ≥2√63或m ≤−2√63， 且当切线的斜率不存在时，y 轴上的截距不存在． 22. （1）解：f′(x)=ax−alnx−a−1(x−1)2，∴ g(x)=ax −alnx −a −1， 由g′(x)=a(x−1)x≥0，得a ≥0，又a =0时，g(x)=−1，函数不具有单调性，∴ a >0；（2）解：a =1时，g(x)=x −lnx −2，g(3)=3−ln3−2<0，g(4)=4−ln4−2>0， 设g(b)=0，则b ∈(3, 4)，∴ x ∈(1, b)时，g(x)<0，x ∈(b, +∞)时，g(x)>0， ∴ x ∈(1, b)时，f′(x)<0，x ∈(b, +∞)时，f′(x)>0， ∴ x =b 时，f(x)min =f(b)=b(1+lnb)b−1，∵ g(b)=0，∴ b =lnb −2=0，即lnb =b −2， ∴ f(b)=b ∈(3, 4)， ∴ n ≤3，∴ 满足条件的正整数n 的最大值为3；（3）证明：由（2）知a =1时，f(x)>3恒成立，即x(1+lnx)x−1>3，∴ lnx >2−3x (x >1)， 令x =1+(2n −1)(2n +1)，则ln[1+(2n −1)(2n +1)]>2−32(12n−1−12n+1)，n 取1，2，…，n 再相加可得：ln{(1+1×3)×(1+3×5)×...×[1+(2n −l)(2n +l)]}>2n−3，2∴ (1+1×3)×(1+3×5)×...×[1+(2n−l)(2n+l)]>e2n−32．。

①正方形②圆锥③三棱台④正四棱锥 2014高考数学模拟试卷（二）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第⒂题为选考题,其他题为必考题.考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1.答题前,考生务必先将自己的姓名,准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2.选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号,非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整,笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答,超出答题区域书写的答案无效.4.保持卷面清洁,不折叠,不破损.5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 参考公式：锥体的体积公式:13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高.球的表面积、体积公式：24S R π=、343V R π=,其中R 为球的半径.样本数据n x x x ,,21的标准差s =其中x 为样本平均数.用最小二乘法求线性回归方程系数公式：1221ˆni i i ni i x y nx yx nxb==-⋅∑-∑=,ˆay bx =-. 第I 卷一.选择题:本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合 题目要求的.1.已知全集U R =,集合{|1,}M x x x R =≤-∈,集合{|}N x y x R =∈,则()U M N = ð( ). A.{|13}x x -≤≤ B.{|13}x x -<≤ C.{|31}x x -≤≤- D.∅ 2.函数3()f x ax bx =+在1ax =处有极值,则ab 的值为( ).A.3B.3-C.0D.13.已知命题p ：函数2()21(0)f x ax x a =--≠在(0,1)内恰有一个零点；命题q ：函数2a y x -=在(0,)+∞上是减函数.若p 且q ⌝为真命题,则实数a 的取值范围是( ).A.1a >B.2a ≤C.12a <≤D.1a ≤或2a > 4.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( ).A.①②B.①③C.①④D.②④5.已知ABC ∆的三顶点坐标为(3,0)A ,(0,4)B ,(0,0)C ,D 点的坐标为(2,0),向ABC ∆内部投一点P ,那么点P 落在ABD ∆内的概率为( ).A.13B.12C.14D.166.已知正项数列{}n a 的各项均不相等,且112(*,2)n n n a a a n N n -+=+∈≥,则下列各不等式中一定成立的是( ).A.2243a a a ≤B.2243a a a <C.2243a a a ≥D.2243a a a >7.已知钝角α的终边经过点(sin2,sin4)θθ,且12cos θ=,则tan α的值为( ).A.1-B.12- C.12D.18.已知1F 、2F 分别是双曲线22221(0,0)x y aba b -=>>的左、右焦点,P 为双曲线上的一点,若1290F PF ∠=︒,且12F PF ∆的三边长成等差数列,则双曲线的离心率是( ).A.2B.3C.4D.59.已知动点(,)P x y 在椭圆2225161x y+=上,若A 点坐标为(3,0),||1AM = ,且0PM AM ⋅= ,则||PM 的最小值是( ).C.2D.310.定义在R 上的函数()f x ,如果存在函数()(,g x kx b k b =+为常数),使得()()f x g x ≥对一切实数x 都成立,则称()g x 为函数()f x 的一个“承托函数”.现有如下命题：①对给定的函数()f x ,其承托函数可能不存在,也可能有无数个；②()2g x x =为函数()2x f x =的一个承托函数；③定义域和值域都是R 的函数()f x 不存在承托函数.其中正确的命题是( ).A.①B.②C.①③D.②③第Ⅱ卷二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卷中对应题号后的横线上.11.已知数组11(,)x y ,22(,)x y , ,1010(,)x y 满足线性回归方程y bx a =+,则 “00(,)x y 满足线性回归方程 y bx a =+”是“1210010x x x x +++= ,1210010y y y y +++= ”的_________条件.(填充分不必要、必要不充分、充要)12.已知x 、y 满足5003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,若使得z ax y =+取最大值的点(,)x y 有无数个,则a 的值等于___.13.程序框图如图所示：如果输入5x =, 则输出结果为_________.14.某校对文明班的评选设计了,,,,a b c d e 五个方面的多元评价指标,并通过经验公式 1ac b deS =++来计算各班的综合得分,S 的值越高则评价效果越好.若某班在自测过程中各项指标显示出0c d e b a <<<<<,则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位,而使得S 的值增加最多,那么该指标应为__________.(填入,,,,a b c d e 中的某个字母)15.(请在下列两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)⑴(坐标系与参数方程选做题)已知曲线1C 、2C 的极坐标方程分别为cos 1ρθ=,4cos (0ρθρ=≥,20)πθ≤<,则曲线1C 与2C 交点的极坐标为__________.⑵(不等式选讲选做题) 若x ，y ，z 是正数，且满足xyz (x ＋y ＋z )＝1，则(x ＋y )(y ＋z )的最小值是 . .三.解答题：本大题共75分。

2014年湖南省郴州市高考数学三模试卷（理科）一、选择题1. 复数z 满足(z −2)(1−i)=2（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z ¯为（ ） A 1−i B 1+i C 3−i D 3+i2. 若随机变量x ∼N(1, 4)，P(x ≤0)=m ，则P(0<x <2)=( ) A 1−2m B1−m 2C1−2m 2D 1−m3. 设函数f(x)={x 2+x(x ≥0)g(x)(x <0)，且函数f(x)为偶函数，则g(−2)=( )A 6B −6C 2D −24. 已知α，β角的终边均在第一象限，则“α>β”是“sinα>sinβ”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 5. 若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积等于( )A 10cm 3B 20cm 3C 30cm 3D 40cm 36. 阅读下边程序，若输入x 为987654，则输出a 的值为（ ）A 5B 6C 7D 87. 已知在△ABC 中，AB =BC =3，AC =4，设O 是△ABC 的内心，若AO →=mAB →+nAC →，则m:n =( )A 5:3B 4:3C 2:3D 3:48. 在长度为3的线段上随机取两点，将其分成三条线段，则恰有两条线段的长大于1的概率为（ ）A 23 B 59 C 19 D 139. 抛物线y 2＝2px(p >0)的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝120∘．过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则|MN||AB|的最大值为（ ）A √33B 1 C2√33D 2 10. 设集合A ⊆R ，如果x 0∈R 满足：对任意a >0，都存在x ∈A ，使得0<|x −x 0|<a ，那么称x 0为集合A 的一个聚点．则在下列集合中： (1)Z +∪Z −； (2)R +∪R −；(3){x|x =1n , n ∈N ∗}；(4){x|x =nn+1, n ∈N ∗}．其中以0为聚点的集合有（ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个二、填空题（一）选做题（11-13题，考生只能从中选做二题，三题都做记前两题的得分） 11. 在极坐标系中，曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为________． 12. 已知a ，b 均为正数且acos 2θ+bsin 2θ≤6，则√acos 2θ+√bsin 2θ的最大值为________． 13. 如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E ．若AB ＝6，ED ＝2，则BC ＝________．（二）必做题：14-16题14. 设y =f(x)为区间[0, 1]上的连续函数，且恒有0≤f(x)≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分∫f 10(x)dx ，先产生两组（每组N 个）区间[0, 1]上的均匀随机数x 1，x 2，…x N 和y 1，y 2，…y N ，由此得到N 个点(x i , y i )(i =1, 2,…,N)，再数出其中满足y i ≤f(x i )(i =1, 2,…,N)的点数N 1，那么由随机模拟方案可得积分∫f 10(x)dx 的近似值为________． 15. 数列{a n }共有11项，a 1=0，a 11=4，且|a k+1−a k |=1，k =1、2、3．…，10．满足这样条件的不同数列的个数为________．16. 已知函数y =sin 4x +cos 4x(x ∈R)的值域是[12, 1]，则（1）函数y =sin 6x +cos 6x(x ∈R)的值域是________；（2）类比上述结论，函数y =sin 2n x +cos 2n x(n ∈N ∗)的值域是________．三、解答题17. 据《中国新闻网》10月21日报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改”引起广泛关注．为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3600人调查，就是否“取消英语听力”的问题，调查统计的结果如下表：已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05．(Ⅰ)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？(Ⅱ)在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数ξ的分布列和数学期望．18. 如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在的平面互相垂直，BE // CF，BE<CF，∠BCF=π2，AD=√3，EF=2CD=2．（1）求证：DF // 平面ABE；（2）求直线AF与平面ABCD所成的角的大小．19. 如图，ABCD是边长为1百米的正方形区域，现规划建造一块景观带△ECF，其中动点E、F分别在CD、BC上，且△ECF的周长为常数a（单位：百米）．（1）求景观带面积的最大值；（2）当a=2时，请计算出从A点欣赏此景观带的视角（即∠EAF）．20. 已知数列{a n}满足a1=1，a2=3，且a n+2=(1+2|cos nπ2|)a n+|sin nπ2|，n∈N∗．（1）证明：数列{a2n}(n∈N∗}为等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设b k=a2k+(−1)k−1λ⋅2a2k−1（λ为非零整数），试确定λ的值，使得对任意k∈N∗都有b k+1>b k成立．21. 已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任意一点到两焦点距离之和为2√3，离心率为√33，左、右焦点分别为F1，F2，点P是右准线上任意一点，过F2作直线PF2的垂线F2Q交椭圆于Q点．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）证明：直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值；（3）点P 的纵坐标为3，过P 作动直线l 与椭圆交于两个不同点M 、N ，在线段MN 上取点H ，满足MPPN =MH HN，试证明点H 恒在一定直线上．22. 设函数f(x)=sinx −cosx +1．（1）若f(x)≥ax 在[0, π]上恒成立，求a 的取值范围； （2）求证：∑sin n+1k=1kπ2n+1≥3√2(n+1)4(2n+1)．2014年湖南省郴州市高考数学三模试卷（理科）答案1. C2. A3. A4. D5. B6. C7. B8. D9. A 10. B 11.√5+1212. √6 13. 2√3 14. N1N 15. 12016. [14, 1]，[12n−1, 1]17. （I ）∵ 抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05， ∴120+x 3600=0.05，解得x ＝60．∴ 持“无所谓”态度的人数共有3600−2100−120−600−60＝720． ∴ 应在“无所谓”态度抽取720×3603600=72人． （2）由(I)知持“应该保留”态度的一共有180人，∴ 在所抽取的6人中，在校学生为120180×6=4人，社会人士为60180×6=2人， 于是第一组在校学生人数ξ＝1，2，3， P(ξ＝1)=C 41C22C 63=15，P(ξ＝2)=C 42C21C 63=35，P(ξ＝3)=C 43C20C 63=15，即ξ的分布列为：∴ Eξ＝1×15+2×35+3×15=2．18. （1）证明：∵ ABCD 是矩形，∴ AB // CD ， ∵ BE // CF ，AB ∩BE =B ， ∴ 平面ABE // 平面DCF ，∵ DF ⊂平面DCF ，∴ DF // 平面ABE ． （2）解：过点E 作GE ⊥CF 交CF 于点G ，由已知可得：EG // BC // AD ，且EG =BC =AD ， ∴ EG =AD =√3，又EF =2，∴ GF =1 ∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ DC ⊥BC ∵ ∠BCF =π2，∴ FC ⊥BC ，又平面ABCD ⊥平面BEFC ，平面ABCD ∩平面BEFC =BC ∴ FC ⊥平面ABCD ，∴ FC ⊥CD ，∴ 分别以C 为原点，CB 、CD 、CF 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设BE =m ，AB BE=λ，则AB =λm ，∴ A(√3, λm, 0)，E(√3,0,m)，F(0, 0, m +1)，D(0, λm, 0)， 平面AFE 的法向量n →=(λ,√3,√3λ)，又CD ⊥面CEF ， ∴ CD →=(0, λm, 0)是平面CEF 的一个法向量， ∴ cos π3=|CD →，n →|=√3λmλm⋅√λ2+3+3λ2=12，解得λ=32，∵ AD =√3，EF =2CD =2，∴ AB =1， ∴ BE =23，∴ CF =53，∴ F(0, 0, 53)，A(√3, 1, 0)，AF →=(−√3,−1,53)， 又平面ABCD 的法向量n →=(0, 0, 1)， 设直线AF 与平面ABCD 所成的角为θ，则sinθ=|cos <AF →，n →>|=53√3+1+259=5√6161． ∴ 直线AF 与平面ABCD 所成的角为arcsin5√6161． 19. 解：（1）设EC =x ，CF =y ，则x +y +√x 2+y 2=a(※) 由基本不等式，x +y +√x 2+y 2≥2√xy +√2xy =(2+√2)√xy ， 所以，△ECF 的面积S =12xy ≤12(2+√2)2=3−2√24a 2， 当且仅当x =y =2−√22a 时等号成立故景观带面积的最大值为3−2√24a 2百米平方米； （2）记∠EAD =α，∠FAB =β，α，β∈(0, π2)，α+β∈(0, π2)， 则tanα=1−x ，tanβ=1−y ， 故tan(α+β)=2−x−y 1−(1−x)(1−y)=2−(x+y)x+y−xy由(※)可得，xy =a(x +y)−a 22，即xy =2(x +y)−2，代入上式可得，tan(α+β)=1， 所以α+β=π4，所以∠EAF =π2−(α+β)=π4， 故当a =2时，视角∠EAF 为定值π420. 解：（1）设n =2k(k ∈N ∗)∵ a 2k+2=(1+2|coskπ|)a 2k +|sinkπ|=3a 2k ，又a 2=3， ∴ 当n ∈N ∗时，数列{a 2n }为首项为3，公比为3的等比数列；…4′ （2）设n =2k −1(k ∈N ∗)由a 2k+1=(1+2|cos(k −12)π|)a 2k−1+|sin(k −12)π|=a 2k−1+1 ∴ 当k ∈N ∗时，{a 2k−1}是等差数列 ∴ a 2k−1=a 1+(k −1)⋅1=k...6′又由（1）当k ∈N ∗时，数列{a 2k }为首项为3，公比为3的等比数列 ∴ a 2k =a 2⋅3k−1=3k ...6′综上，数列{a n }的通项公式为a n ={n+12(n 为奇数)3n 2(n 为偶数)…8′（3）b k =a 2k +(−1)k−1λ⋅2a 2k−1=3k +(−1)k−1λ⋅2k ，∴ b k+1−b k =3k+1+(−1)k λ⋅2k+1−3k −(−1)k−1λ⋅2k =2⋅3k +(−1)k λ⋅3⋅2k 由题意，对任意k ∈N ∗都有b k+1>b k 成立∴ b k+1−b k=2⋅3k+(−1)kλ⋅3⋅2k>0恒成立即2⋅3k>(−1)k−1λ⋅3⋅2k对任意k∈N∗恒成立…11′①当k为奇数时，2⋅3k>λ⋅3⋅2k⇒λ<2⋅3k3⋅2k =23⋅(32)k对任意k∈N∗恒成立∵ k∈N∗，且k为奇数，∴ 23⋅(32)k≥23⋅32=1∴ λ<1...13′②当k为偶数时，2⋅3k>−λ⋅3⋅2k⇒λ>−2⋅3k3⋅2k =−23⋅(32)k对任意k∈N∗恒成立∵ k∈N∗，且k为偶数，∴ −23⋅(32)k≤−23⋅(32)2=−32，∴ λ>−32...15′综上：有−32<λ<1...12′∵ λ为非零整数，∴ λ=−1．…16′21. 解：（1）由题意可得{2a=2√3e=ca=√33a2=b2+c2，解得a=√3，c=1，b=√2所以椭圆E:x 23+y22=1．（2）由（1）可知：椭圆的右准线方程为x=a 2c=3，设P(3, y0)，Q(x1, y1)，因为PF2⊥F2Q，所以k QF2k PF2=y02⋅y1x1−1=y0y12(x1−1)=−1，所以−y1y0=2(x1−1)又因为k PQ⋅k OQ=y1x1⋅y1−y0x1−3=y12−y1y0x12−3x1且y12=2(1−x123)代入化简得k PQ⋅k OQ=−23．即直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值−23．（3）设过P(3, 3)的直线l与椭圆交于两个不同点M(x1, y1)，N(x2, y2)，点H(x, y)，则2x12+3y12=6，2x22+3y22=6．设MPPN =MHHN=λ，则MP→=−λPN→，MH→=λNH→，∴ (3−x1, 3−y1)=−λ(x2−3, y2−3)，(x−x1, y−y1)=λ(x2−x, y2−y)整理得3=x1−λx21−λ，x=x1+λx21+λ，3=y1−λy21−λ，y=y1+λy21+λ，∴ 从而3x=x12−λ2x221−λ2，3y=y12−λ2y221−λ2，由于2x12+3y12=6，2x22+3y22=6，∴ 我们知道x12与y12的系数之比为2:3，x22与y22的系数之比为2:3．∴ 6x+9y=2x12−2λ2x22+3y12−3λ2y221−λ2=2x12+3y12−λ2(2x22+3y22)1−λ2=6，所以点H恒在直线2x+3y−2=0上．22. 解：（1）∵ 函数f(x)=sinx−cosx+1．设函数F(x)=sinx−cosx+1−ax，∴ F′(x)=cosx+sinx−a∵ f(x)≥ax在[0, π]上恒成立，∴ 函数F(x)=sinx−cosx+1−ax≥F(0)=0，∴ 只需F′(x)=cosx+sinx−a≥0恒成立，即：a≤(sinx+cosx)min，∵ sinx+cosx=√2sin(x+π4)，x∈[0, π]，∴ x=π时，sinx+cosx的最小值为−1．∴ a≤−1．∴ a的取值范围(−∞．−√2]；（2）（用数学归纳法证明）当n=1时，sinπ3=√32>√22，成立，假设当n=m，m∈N⋅时成立，即sinπ3+sin2π5+sin3π7+...+sin mπ2m+1≥3√2(m+1)4(2m+1)，∴ 当n=m+1，m∈N⋅时，sin π3+sin2π5+sin3π7+...+sinmπ2m+1+sin(m+1)π2m+3≥3√2(m+1)4(2m+1)+sin(mπ2m+1+π2m+1)≥3√2(m+2)4(2m+3)，∴ 当n=m+1，m∈N⋅时成立，∴ 原命题成立．。

2014年湖北省高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一.选择题：每小题5分，共50分1. 已知集合A ={x|x 2−2x ≤0}，B ={x|x ≥a}，若A ∪B =B ，则实数a 的取值范围时（ ）A (−∞, 0)B (−∞, 0]C (0, +∞)D [0, +∞)2. 命题“∃x ∈R ，x 2+2x +2≤0”的否定是（ ）A ∃x ∈R ，x 2+2x +2>0B ∃x ∈R ，x 2+2x +2≥0C ∀x ∈R ，x 2+2x +2>0D ∀x ∈R ，x 2+2x +2≤03. 已知m ，n 分别是两条不重合的直线，a ，b 分别垂直于两不重合平面α，β，有以下四个命题：①若m ⊥α，n // b ，且α⊥β，则m // n ； ②若m // a ，n // b ，且α⊥β，则m ⊥n ； ③若m // α，n // b ，且α // β，则m ⊥n ； ④若m ⊥α，n ⊥b ，且α⊥β，则m // n ． 其中真命题的序号是（ ）A ①②B ③④C ①④D ②③4. 设a →=(4,3)，a →在b →上的投影为5√22，b →在x 轴上的投影为2，且|b →|≤14，则b →为（ ） A (2, 14) B (2,−27) C (−2,27) D (2, 8)5. 设角α、β是锐角，则“α+β=π4”是“(1+tanα)(1+tanβ)=2”成立的（ ） A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 既非充分也非必要条件6. 定义：函数f(x)的定义域为D ，如果对于任意的x 1∈D ，存在唯一的x 2∈D ，使得√f(x 1)f(x 2)=c （其中c 为常数）成立，则称函数f(x)在D 上的几何均值为c 则 下列函数在其定义域上的“几何均值”可以为2的是（ ）A y =x 2+1B y =sinx +3C y =e x （e 为自然对数的底）D y =|lnx|7. 已知x =lnπ，y =log 52，z =e −12，则( )A x <y <zB z <x <yC z <y <xD y <z <x8. 经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系，对每小组学生每周用于数学的学习时间x 与数学成绩y 进行数据收集如下：是（ ）A 点在直线左侧B 点在直线右侧C 点在直线上D 无法确定9. 设x ，y 满足约束条件{x −y +2≥0,3x −y −2≤0,x ≥0,y ≥0,若目标函数z =ax +by(a >0, b >0)的最大值为6，则log 3(1a +2b )的最小值为___________.10. 过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左焦点F(−c, 0)(c >0)，作圆x 2+y 2=a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若OP →=2OE →−OF →，则双曲线的离心率为（ ） A √10 B √105 C √102 D √2二.填空题每小题5分，共35分11. 设A 为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A 连接，则弦长超过半径√2倍的概率是________．12. 某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[40, 50)，[50, 60)，[60, 70)，[70, 80)，[80, 90)，[90, 100)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有600名，据此估计，该模块测试成绩的平均分为________分．13. 已知a n =32n−11(n ∈N ∗)，数列{a n }的前n 项和为S n ，则使S n >0的n 的最小值是________．14. 如图是一程序框图，则其输出结果为26，则判断框内为________．15. 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是________．16. 某一几何体的三视图如图所示，其中圆的半径都为1，则该几何体的体积为________．17. 在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1，第二次取2个连续偶数2、4；第三次取3个连续奇数5、7、9；第四次取4个连续偶数10、12、14、16；第五次取5个连续奇数17、19、21、23、25．按此规则一直取下去，得到一个子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…．则在这个子数列中，由1开始的第29个数是________，第2014个数是________．三.解答题共5小题，满分65分18. 已知向量m →=(cos x 2, −1)，n →=(√3sin x 2, cos 2x 2)，设函数f(x)=m →⋅n →+12． （1）若x ∈[0, π2]，f(x)=√33，求cosx 的值； （2）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足2acosB ≤2c −√3b ．求f(A)的取值范围．19. 已知公差不为0的等差数列{a n }的前3项和S 3=9，且a 1，a 2，a 5成等比数列．（1）求数列{a n }的通项公式和前n 项和S n（2）设T n 为数列{1a n a n+1}的前n 项和，若T n ≤λa n+1对一切n ∈N ∗恒成立，求实数λ的最小值．20. 在四棱锥P −ABCD 中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD ⊥CD ，E 为PC 中点，底面ABCD 是直角梯形，AB // CD ，∠ADC ＝90∘，AB ＝AD ＝PD ＝1，CD ＝2．(Ⅰ)求证：BE // 平面PAD ；(Ⅱ)求证：BC ⊥平面PBD ；(Ⅲ)设Q 为侧棱PC 上一点，PQ →=λPC →，试确定λ的值，使得二面角Q −BD −P 为45∘．21. 设函数f(x)=x 2−x +alnx ，其中a ≠0．（1）a =−6，求函数f(x)在[1, 4]上的最值；（2）设函数f(x)既有极大值，又有极小值，求实数a 的取值范围；（3）求证：当n ∈N ∗时，e n(n 2−1)≥(n !)3．22. 已知定点A(1, 0)，B 为x 轴负半轴上的动点，以AB 为边作菱形ABCD ，使其两对角线的交点H 恰好落在y 轴上．（1）求动点D 的轨迹E 的方程；（2）若四边形MPNQ 的四个顶点都在曲线E 上，M 、N 关于x 轴对称，曲线E 在点M 处的切线为l ，且PQ // l ．①证明：直线PN 与QN 的斜率之和为定值；②当点M 的横坐标为34，纵坐标大于0，∠PNQ =60∘，求四边形MPNQ 的面积．2014年湖北省高考数学模拟试卷（文科）（5月份）答案 1. B2. C3. D4. B5. C6. C7. D8. B9. 110. C11. 1212. 7113. 1114. k≥4？15. 46，45，5616. π17. 50,396518. ∵ 向量m→=(cos x2, −1)，n→=(√3sin x2, cos2x2)，∴ 函数f(x)=m→⋅n→+12=√3sin x2cosx2−cos2x2+12=√32sinx−12(2cos2x2−1)=√32sinx−12cosx＝sin(x−π6)，∴ f(x)＝sin(x−π6)，∵ x∈[0, π2]，∴ x−π6∈[−π6, π3]，∴ cos(x−π6)>0，∴ cosx＝cos[(x−π6)+π6]＝cos(x−π6)cosπ6−sin(x−π6)sinπ6=√63×√32−√36=√22−√36．∴ cosx=√22−√36．根据正弦定理，由2acosB ≤2c −√3b ，得2sinAcosB ≤2sin(A +B)−√3sinB ，∴ 2cosAsinB −√3sinB ≥0，∴ cosA ≥√32， ∵ 0<A <π，∴ 0<A ≤π6， ∴ f(A)＝sin(A −π6)，∵ 0<A ≤π6，∴ −π6<A −π6≤0，∴ f(A)∈(−12, 0]， ∴ f(A)的取值范围(−12, 0]． 19. 解：（1）由S 3=9，可得3a 1+3d =9即a 1+d =3①∵ a 1，a 2，a 5成等比数列．∴ a 1(a 1+4d)=(a 1+d)2②；联立①②得a 1=1，d =2；…故a n =2n −1，S n =n 2…（2）∵ 1an a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)… ∴ T n =12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=n 2n+1…由T n ≤λa n+1得：n 2n+1≤λ(2n +1) ∴ λ≥n (2n+1)2=14n+1n +4 令f(n)=14n+1n +4，∵ f(n)单调递减，∴ f(n)≤19 即λ≥19… 20. （1）取PD 的中点F ，连接EF ，AF ，∵ E 为PC 中点，∴ EF // CD ，且EF =12CD =1，在梯形ABCD 中，AB // CD ，AB ＝1，∴ EF // AB ，EF ＝AB ，∴ 四边形ABEF 为平行四边形，∴ BE // AF ，∵ BE ⊄平面PAD ，AF ⊂平面PAD ，∴ BE // 平面PAD ．（2）∵ 平面PCD ⊥底面ABCD ，PD ⊥CD ，∴ PD ⊥平面ABCD ，∴ PD ⊥AD ．如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D −xyz ．则A(1, 0, 0)，B(1, 1, 0)，C(0, 2, 0)，P(0, 0, 1)．DB →=(1,1,0)，BC →=(−1,1,0)，∴ BC →⋅DB →=0，BC ⊥DB ，又由PD ⊥平面ABCD ，可得PD ⊥BC ，∴ BC ⊥平面PBD ．(Ⅲ)由(Ⅱ)知，平面PBD 的法向量为BC →=(−1,1,0)，∵ PC →=(0,2,−1)，PQ →=λPC →，且λ∈(0, 1)∴ Q(0, 2λ, 1−λ)，设平面QBD 的法向量为n →=(a, b, c)，DB →=(1,1,0)，DQ →=(0,2λ,1−λ)，由n ⋅DB →=0，n ⋅DQ →=0，得{a +b =02λb +(1−λ)c =0， ∴ n =(−1,1,2λλ−1)， ∴ cos45=n⋅BC→|n||BC →|=2√2√2+(2λλ−1)2=√22， 因λ∈(0, 1)，解得λ=√2−1．21. （1）解：a =−6，f(x)=x 2−x +alnx ，∴ f′(x)=(2x+3)(x−2)x ，x >0∴ x ∈[1, 2]，f′(x)≤0，x ∈[2, 4]，f′(x)≥0，∴ f(x)min =f(2)=2−6ln2，f(x)max =max{f(1), f(4)}，∵ f(1)=0，f(4)=12−12ln2>0，∴ f(x)max =12−12ln2；（2）解：∵ 函数f(x)既有极大值，又有极小值，∴ f′(x)=2x 2−x+ax =0在(0, +∞)内有两个不等实根，∴ 2x 2−x +a =0在(0, +∞)内有两个不等实根，令g(x)=2x 2−x +a ，则{△=1−8a >0g(0)=a >0，解得0<a <18， （3）证明：a =−1时，f(x)=x 2−x −lnx ，∴ f′(x)=(2x+1)(x−1)x ≥0恒成立，∴ f(x)在[1, +∞)上为增函数，∴ f(x)min =f(1)=0，∴ x 2−x ≥lnx （x =1时取等号），则k 2−k ≥lnk ，∴ (12+22+...+n 2)−(1+2+...+n)≥lnn !，∴n(n+1)(2n+1)6−n(n+1)2≥lnn !， ∴ n(n 2−1)3)≥lnn !， ∴ e n(n 2−1)≥(n !)3．22. （1）解：设D(x, y)，∵ A(1, 0)，由ABCD 为菱形且AC 、BD 的交点在y 轴上，∴ B 、C 两点坐标为(−x, 0)、(−1, y)．由AC ⊥BD 得BD →⋅CA →=(2x, y)⋅(2, −y)=4x −y 2=0，即y 2=4x ．注意到ABCD 为菱形，∴ x ≠0故轨迹E 的方程为y 2=4x(x ≠0)；（2）①证明：设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，M(x 0, y 0)（不妨设y 0>0），则N(x 0, −y 0)， k PQ =4y1+y 2，k PN =4y 1−y 0，k QN =4y 2−y 0， ∵ k l =√x =2y 0，k l =k PQ ， ∴ 4y 1+y 2=2y 0，∴ y 1+y 2=2y 0，∴ y 2−y 0=y 0−y 1，∴ 直线PN 与QN 的斜率之和为4y1−y 0+4y 2−y 0=0； ②解：∵ 点M 的横坐标为34，纵坐标大于0，∴ M(34, √3)，N(34, −√3)， ∵ 直线PN 与QN 的斜率之和为0，MN ⊥x 轴，∴ MN 平分∠PNQ ，∵ ∠PNQ =60∘，∴ k PN =−√3，k QN =√3，∴ 直线PN:y +√3=−√3(x −34)，即y =−√3x −√34；直线QN:y =√3x −7√34，直线PN与抛物线联立，可得48x2−40x+3=0，∴ 34x1=348，∴ x1=112；同理x2=4912，∴ 四边形MPNQ的面积S=12|MN||x2−x1|=√3|x2−x1|=4√3．。

2014年湖南省怀化市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在答题卡上. 1. 复数2+i i在复平面上对应的点位于（ ）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限2. 学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，将支出分区间[20, 30)、[30, 40)、[40, 50)、[50, 60)进行统计，现抽出了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50, 60)元的同学有24人，则n 的值为（ ） A 80 B 800 C 72 D 7203. 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ccosB +bcosC =2acosA ，则角A 为（ ）A π12B π6C π4D π34. 已知实数x ，y 满足条件{x −y +1≥0y +1≥0x +y +1≤0，那么2x −y 的最大值为（ ）A −3B −2C 1D 25. 函数f(x)=2lnx 的图象与函数g(x)=x −1的图象的交点个数为（ ） A 3 B 2 C 1 D 06. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A(2, 0)，将向量OA →绕点O 按逆时针方向旋转π3后得向量OB →，若向量a →满足|a →−OA →−OB →|=1，则|a →|的最大值是（ ）A 2√3−1B 2√3+1C 3D √6+√2+17. 已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，则此几何体的体积V 为（ ）A 323 B 403 C 163 D 408. 在等腰Rt △ABC 中，AB =AC =4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到原来的点P ．若AP =43，则△PQR 的周长等于（ ）A8√53 B 4√53 C 8√33 D 4√33二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分.把答案填在答题卡上的相应横线上.（一）选作题（请考生在9、10、11三题中任选2题作答，如果全做，则按前2题记分）9. 以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线的极坐标方程为ρcosθ=2，它与抛物线{x =8t 2y =8t （t 为参数）相交于两点A 和B ，则|AB|=________．10. 如图，⊙O 的直径AB =6，P 是AB 延长线上的一点，过P 作⊙O 的切线PC ，连接AC ，若∠CPA =30∘，则点O 到AC 的距离等于________．11. 已知函数f(x)=√|x −1|−|x −2|−a 的定义域为R ，则a 的取值范围是________． 12. 若二项式(x +12x)6的展开式的常数项为T ，则∫2T0xdx =________．13. 如图程序运行的结果是________．14. 设F 1，F 2是双曲线C ：x 216−y 2b 2=1(b >0)的两个焦点，P 是双曲线C 上一点，若∠F 1PF 2=90∘且△PF 1F 2的面积为9，则C 的离心率为________．15. 设S n 为数列{a n }的前n 项和，数列{a n }满足a 1=1，a 2=1，且[3+(−1)n ]a n+2=2a n −2[(−1)n −1](n =1, 2, 3,…)． 则S 100=________．16. 将含有3n 个正整数的集合M 分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合A 、B 、C ，其中A ={a 1, a 2, ..., a n }，B ={b 1, b 2, ..., b n }，C ={c 1, c 2, ..., c n }，若A 、B 、C 中的元素满足条件：c 1<c 2<...<c n ，a k +b k =c k ，k =1，2，…，n ，则称M 为“完并集合”． （1）若M ={2, x, 3, 5, 6, 7}为“完并集合”，则x 的一个可能值为________．（写出一个即可） （2）对于“完并集合”M ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}，则集合C 的个数是________．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知向量a →=(cosx,sinx)，向量b →=(cosx,−sinx)，f(x)=a →⋅b →（1）求函数g(x)=f(x)+sin2x 的最小正周期和对称轴方程； （2）若x 是第一象限角且3f(x)=−2f′(x)，求tan(x +π4)的值．18. 某商场在店庆日进行抽奖促销活动，当日在该店消费的顾客可参加抽奖．抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有字“生”“意”“兴”“隆”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“隆”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“生”“意”“兴”三个字的球为三等奖．（1）求分别获得一、二、三等奖的概率；（2）设摸球次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．19.已知三棱锥P −ABC ，∠PAC =∠ABC =90∘，PA =AC =2BC ，平面PAC ⊥平面ABC ，D 、E 分别是PB 、PC 的中点． （1）求证：BC ⊥平面PAB ；（2）求二面角P −ED −A 的余弦值．20. 已知函数g(x)=(2−a)lnx ，ℎ(x)=lnx +ax 2(a ∈R)，令f(x)=g(x)+ℎ′(x)． （1）当a =0时，求f(x)的极值； （2）当a <0时，求f(x)的单调区间；（3）当−3<a <−2时，若存在λ1，λ2∈[1, 3]，使得|f(λ1)−f(λ2)|<(m +ln3)a −2ln3成立，求m 的取值范围． 21. 已知F 1(−c, 0)、F 2(c, 0)是椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦点，点M 在椭圆E 上．（1）若∠F 1MF 2的最大值是π2，求椭圆E 的离心率；（2）设直线x =my +c 与椭圆E 交于P 、Q 两点，过P 、Q 两点分别作椭圆E 的切线l 1，l 2，且l 1与l 2交于点R ，试问：当m 变化时，点R 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，说明理由．22. 已知集合T n ={X|X =(x 1，x 2，…，x n )，x i ∈N ∗，i =1，2，…，n}(n ≥2)．对于A =(a 1, a 2,…,a n )，B =(b 1, b 2,…,b n )∈T n ，定义；AB →=(b 1−a 1,b 2−a 2,…,b n −a n )，λ(a 1, a 2,…,a n )=(λa 1, λa 2,…,λa n )(λ∈R)；A 与B 之间的距离为d(A,B)=∑|n i=1a i −b i |． （1）当n =5时，设A =(1, 2, 1, 2, a 5)，B =(2, 4, 2, 1, 3)．若d(A, B)=7，求a 5； （2）证明：若A ，B ，C ∈T n ，且∃λ>0，使AB →=λBC →，则d(A, B)+d(B, C)=d(A, C)； （3）记I =(1, 1,…,1)∈T n ．若A ，B ∈T n ，且d(I, A)=d(I, B)=p ，求d(A, B)的最大值．2014年湖南省怀化市高考数学一模试卷（理科）答案1. D2. A3. D4. C5. B6. B7. B8. A9. 8 10. 3211. (−∞, −1] 12. 25413. 21 14. 5415. 2502−2−49 16. 9，3．17. 解：（1）∵ g(x)=cos 2x −sin 2x +sin2x =cos2x +sin2x =√2sin(2x +π4)…∴ 最小正周期T =2π2=π；对称轴方程为x =kπ2+π8(k ∈Z)…（2）由3f(x)=−2f ′(x)，得3cos2x =4sin2x… 又x 是第一象限角，∴ cosx =3sinx ，故tanx =13…∴ tan(x +π4)=tanx+11−tanx =2…18. 解：（1）设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件A ，B ，C ． 则P(A)=14×14×14×14=1256，P(B)=A 33−144=5256；三等奖的情况有：“生，生，意，兴”；“生，意，意，兴”；“生，意，兴，兴”三种情况．P(C)=(14×14×14×14×A 42)+(14×14×14×14×A 42)+(14×14×14×14×A 42)=964；（2）设摸球的次数为ξ，则ξ=1，2，3，4．P(ξ=1)=14，P(ξ=2)=34×14=316，P(ξ=3)=34×34×14=964，P(ξ=4)=1−P(ξ=1)−P(ξ=2)−P(ξ=3)=2764． 故取球次数ξ的分布列为Eξ=14×1+316×2+964×3+2764×4=17564．19. （1）证明：∵ 平面PAC ⊥平面ABC ，∠PAC =90∘，∴ AP ⊥AC ，∴ AP ⊥平面ABC ， ∵ BC ⊂平面ABC ，∴ AP ⊥BC ， ∵ AB ⊥BC ，AB ∩BC =B ， ∴ BC ⊥平面PAB ．（2）∵ E 、D 是PB 、PC 中点，∴ DE // BC ， ∵ BC ⊥平面PAB ， ∴ DE ⊥平面PAB ，∴ PD ⊥DE ，AD ⊥DE ，∴ ∠PDA 为A −DE −P 所成的二面角，不妨取BC =2，则AC =AP =4，EP =AE =2√2， 在Rt △ABC 中，AB =√AC 2−BC 2=2√3， 在Rt △PAB 中，PB =√AP 2+AB 2=2√7， ∴ AD =PD =√7．cos∠PDA =PD 2+AD 2−PA 22PD ⋅AD=2×√7×√7=−17． ∴ A −DE −P 所成的二面角的余弦值为−17． 20. 解：（1）依题意，ℎ′(x)=1x +2ax ，∴ f(x)=(2−a)lnx +1x +2ax ，其定义域为(0, +∞)，当a =0时，f(x)=2lnx +1x ，f′(x)=2x −1x 2=2x−1x 2，令f′(x)=0，解得x =12，当0<x <12时，f′(x)<0；当x >12时，f′(x)>0，∴ f(x)的单调递减区间为(0, 12)，单调递增区间为(12, +∞)； ∴ x =12时，f(x)有极小值为f(12)=2−2ln2，无极大值； （2）f′(x)=2−a x−1x 2+2a =2ax 2+(2−a)x−1x 2=a(2x−1)(x+1a)x 2(x >0)，当−2<a <0时，−1a>12，令f′(x)<0，得0<x <12或x >−1a，令f′(x)>0，得12<x <−1a ； 当a =−2时，f′(x)=−(2x−1)2x 2≤0；当a <−2时，−1a <12，令f′(x)<0，得x <−1a 或x >12， 令f′(x)>0，得−1a<x <12；综上所述：当−2<a <0时，f(x)的单调减区间为(0, 12)，(−1a, +∞)，单调增区间为(12, −1a )；当a =−2时，f(x)的单调减区间为(0, +∞)；当a <−2时，f(x)的单调减区间为(0, −1a )，(12, +∞)，单调增区间为(−1a , 12)；（3）由（2）可知，当−3<a <−2时，f(x)在[1, 3]上单调递减， ∴ f(x)max =f(1)=2a +1；f(x)min =f(3)=(2−a)ln3+13+6a ，∴ |f(λ1)−f(λ2)|max =f(1)−f(3)=(1+2a)−[(2−a)ln3+13+6a]=23−4a +(a −2)ln3，∵ 存在λ1，λ2∈[1, 3]，使得|f(λ1)−f(λ2)|<(m +ln3)a −2ln3成立， ∴ (m +ln3)a −2ln3>23−4a +(a −2)ln3，整理得ma >23−4a ，又a <0， ∴ m <23a−4，又∵ −3<a <−2， ∴ −13<23a <−29， ∴ −133<23a −4<−389，∴ m ≤−133．21. 解：（1）∵ F 1(−c, 0)、F 2(c, 0)是椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦点，点M 在椭圆E 上，∠F 1MF 2的最大值是π2，|MF 1|+|MF 2|=2a ， ∴ cos∠F 1MF 2=|MF 1|2+|MF 2|2−|F 1F 2|22|MF 1|⋅|MF 2|=[|MF 1|+|MF 2|]2−2|MF 1|⋅|MF 2|−|F 1F 2|22|MF 1|⋅|MF 2|=4a 2−4c 22|MF 1|⋅|MF 2|−1≥2b 2a 2−1=0，∴ a 2=2b 2=2c 2，∴ a =√2c ， ∴ e =c a=√22． （2）当m 变化时，点R 恒在一条定直线x =a 2c上．证明：先证明椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上一点M(x 0, y 0)的切线方程是x 0xa 2+y 0y b 2=1，当x 0y 0≠0时，设切线方程为：y −y 0=k(x −x 0)， 与椭圆方程联立并整理，得：(b 2+a 2k 2)x 2+2a 2k(y 0−kx 0)x +a 2(y 0−kx 0)2−a 2b 2=0，由△=0及x 02a 2+y 02b 2=1，得(ay 0bk +bx 0a)2=0，∴ k =−b 2x 0a 2y 0，∴ 切线方程是x 0xa 2+y 0y b 2=1设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，则l 1的方程是x 1x a 2+y 1y b 2=1，l 2的方程是x 2x a 2+y 2y b 2=1，联立方程组，解得x =a 2(y 2−y 1)x 1y 2−x 2y 1，又∵ x 1=my 1+c ，x 2=my 2+1，∴ x 1y 2−x 2y 1=(my 1+c)y 2−(my 2+c)y 1=c(y 2−y 1)， ∴ x R =a 2(y 2−y 1)x 1y 2−x 2y 1=a 2c，当m 变化时，点R 恒在一条定直线上，22. （1）解：A =(1, 2, 1, 2, a 5)，B =(2, 4, 2, 1, 3)． 由d(A,B)=∑|n i=1a i −b i |=7，得d(A, B)=|1−2|+|2−4|+|1−2|+|2−1|+|a 5−3|=5+|a 5−3|=7． ∴ |a 5−3|=2，解得：a 5=1或a 5=5；（2）证明：设A =(a 1, a 2,…,a n )，B =(b 1, b 2,…,b n )，C =(c 1, c 2,…,c n )∈T n ∵ AB →=λBC →，∴ AB →=(b 1−a 1,b 2−a 2,…,b n −a n )=λ(c 1−b 1, c 2−b 2,…,c n −b n )，∵ d(A, B)+d(B, C)=∑|n i=1a i −b i |+∑|n i=1b i −c i |，d(A, C)=∑|ni=a i −c i |， ∴ d(A, B)+d(B, C)=d(A, C)；（3）解：∵ I =(1, 1,…,1)，A =(a 1, a 2,…a n )，B =(b 1, b 2,…,b n )， 由d(I, A)=d(I, B)=P ，得|a 1−1|+|a 2−1|+|a 3−1|+...+|a n −1|=P ， |b 1−1|+|b 2−1|+|b 3−1|+...+|b n −1|=P ．∴ d(A, B)=|a 1−b 1|+|a 2−b 2|+|a 3−b 3|+...+|a n −b n |=|(a 1−1)−(b 1−1)|+|(a 2−1)−(b 2−1)|+|(a 3−1)−(b 3−1)|+...+|(a n −1)−(b n −1)|≤|a 1−1|+|b 1−1|+|a 2−1|+|b 2−1|+...+|a n −1|+|b n −1|=2P ． ∴ d(A, B)的最大值为2P ．。

高考数学第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若集合()()1,,,2,AB =+∞=-∞全集,UR =则()U A Bð是A ．(,1)(2,)-∞+∞B ．(,1)[2,)-∞+∞C ．(,1][2,)-∞+∞D ．(,1](2,)-∞+∞2．已知1ta n 2α=，且3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin α的值是A ．55-B ．55C ．255D ．255-3. 已知1，x ，9三数成等比数列，则x 的值为A ．3B ．5C ．3或－3D ．－34．将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，若E 是CD 的中点，则异面直线AE 、BC 所成角的正切值为A ．2B ．22C ．2D ．125．我们知道，函数sin 2yx=的图象经过适当变换可以得到co s 2yx=的图象，则这种变换可以是A ．沿x 轴向右平移4π个单位 B ．沿x 轴向左平移4π个单位 C ．沿x 轴向左平移2π个单位D ．沿x 轴向右平移2π个单位6．若实数x 、y满足2,2,2,x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩则2x ＋y 的最小值是A ．6B ．5C ．3D ．27. 若奇函数()()f x x R∈满足()()()()22,22f fx fx f=+=+，则()5f 的值是A ．0B ．1C ．52D ．58．已知向量p q、的夹角为4π，且22,3p q ==，则以52,3a p q b p q=+=-为邻边的平行四边形的一条对角线的长度为A ．15B ．5C ．14D ．169．若三棱锥P －ABC 的底面ABC 是正三角形，则三个侧面的面积相等是三棱锥P －ABC 为正三棱锥的A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要的条件10．若某课外活动小组共有20人，其中有高一年级学生4名，高二年级学生6名，高三年级学生8名，教师2人，则数据25是高三年级学生占总体分布的A ．频数B ．频率C ．概率D ．累计频率11．过抛物线()220y p x p =>的焦点F 作一直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AF 、BF 的长分别为m 、n ，则m n m n+等于A ．1PB ．2PC ．pD ．2p12. 设0,0,xy >>且()()112x y --≥，则x ＋y 的取值范围是A ．(0,222⎤+⎦B ．)21,⎡++∞⎣C ．()222,++∞D ．)222,⎡++∞⎣第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分. 把答案直接填在题中横线上. 13．当复数()()22815514m m mm i-++--对应的点位于第四象限时，实数m 的取值范围是_____________ .14.设二项式312nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的各项系数和为p ，所有二项式系数和为s ，若p ＋s =97，则n 的值为_____________ . 15． 若()lim ()0x fx kxb →+∞-+=⎡⎤⎣⎦，则称直线ykx b=+是曲线()yfx =当x→+∞时的渐近线 . 由此可知，曲线()12f x x x=+当x→+∞时的渐近线方程为_____________ .16． 从8个数－3,－2,－1,0,1,2,3,4中任选3个不同的数作为二次函数2()f x a x b x c=++的系数a 、b 、c ，若坐标原点在函数f (x )的图象内部，则这样的函数共有___________个 .三、解答题:本大题共6个小题，共74分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的.12、13、16，现在3名工人独立地从中任意一个项目参与建设要求：（I ）他们选择的项目所属类别互不相同的概率；（II ）至少有1人选择的项目属于民生工程的概率。

- 1 - 衡阳市2017年高考适应考试试题 文科数学 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. 设全集，集合，则的子集的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】全集，集合，，共2个元素，所以的子集的个数是22=4，故选D. 2. 命题:,的否定是（ ） A. , B. , C. , D. , 【答案】A 【解析】全称命题：，的否定是， 3. 在复平面内，复数对应的点坐标为（ ） A. （-1,3） B. （3,1） C. （1,3） D. 【答案】C 【解析】, 对应的点坐标为（1,3）,故选C. 4. 在区间上随机选取一个数，则的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为，所以由几何概型的计算公式可得，故选B. 5. 公比为2的等比数列的各项都是正数，且，则（ ） A. 1 B . 2 C.4 D.8 【答案】A 【解析】试题分析：在等比数列中，由知，，故选A． 考点：等比数列的性质． - 2 -

6. 已知向量， 均为单位向量，若它们的夹角为60°，则等于（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】，所以.故选C. 点睛：平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数. 7. 函数的部分图象如图所示，若将图象上所有的点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则的解析式为（ ）

A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由图像得， ，所以，横坐标缩短为原来一半，得到. 8. 中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的等于（ ） - 3 -

2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N=（ ）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，3）D．（﹣2，3）2．（5分）若tanα＞0，则（ ）A．sinα＞0B．cosα＞0C．sin2α＞0D．cos2α＞0 3．（5分）设z=+i，则|z|=（ ）A．B．C．D．24．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为2，则实数a=（ ）A．2B．C．D．15．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（ ）A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数6．（5分）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（ ）A．B．C．D．7．（5分）在函数①y=cos|2x|，②y=|cosx|，③y=cos（2x+），④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（ ）A．①②③B．①③④C．②④D．①③8．（5分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱9．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（ ）A．B．C．D．10．（5分）已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，AF=|x0|，则x0=（ ）A．1B．2C．4D．811．（5分）设x，y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7，则a=（ ）A．﹣5B．3C．﹣5或3D．5或﹣3 12．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（ ）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）　二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为 ．14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为 ．15．（5分）设函数f（x）=，则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是 ．16．（5分）如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°，已知山高BC=100m，则山高MN= m．三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（12分）已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．18．（12分）从某企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组[75，85）[85，95）[95，105）[105，115）[115，125）频数62638228（1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C．（1）证明：B1C⊥AB；（2）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．20．（12分）已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣8y=0，过点P的动直线l与圆C 交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．（1）求M的轨迹方程；（2）当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．21．（12分）设函数f（x）=alnx+x2﹣bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，（1）求b；（2）若存在x0≥1，使得f（x0）＜，求a的取值范围．请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

2014年浙江省某校高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知全集为R ，集合A ={x|(12)x ≤1}，B ={x|x 2−6x +8≤0}，则A ∩(∁R B)=( ) A {x|x ≤0} B {x|2≤x ≤4} C {x|0≤x <2或x >4} D {x|0<x ≤2或x ≥4} 2. 设复数z 满足(1−i)z =2i ，则z =( ) A −1+i B −1−i C 1+i D 1−i3. 设函数f(x)=x 2−2ax +b(a, b ∈R)，则“f(x)=0在区间[1, 2]有两个不同的实根”是“1<a <2”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 4. 一个几何体的三视图及部分数据如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该几何体的体积为( )A 13 B 16 C 23 D 15. 已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β．直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则（ ）A α // β且l // αB α⊥β且l ⊥βC α与β相交，且交线与l 垂直D α与β相交，且交线与l 平行6. f(x)＝Acos(ωx +φ)(A, ω>0)的图象如图所示，为得到g(x)＝−Asin(ωx +π6)的图象，可以将f(x)的图象（ ）A 向右平移5π6个单位长度 B 向右平移5π12个单位长度 C 向左平移5π6个单位长度 D 向左平移5π12个单位长度7. 数列{a n }共有11项，a 1＝0，a 11＝4，且|a k+1−a k |＝1(k ＝1, 2,…,10)，则满足该条件的不同数列的个数为（ ）A 100B 120C 140D 1608. 若正数x ，y 满足x 2+6xy −1=0，则x +2y 的最小值是（ ） A2√23 B √23 C √33 D 2√339. 已知抛物线y 2＝4x ，圆F ：(x −1)2+y 2＝1，过点F 作直线l ，自上而下顺次与上述两曲线交于点A ，B ，C ，D （如图所示），则|AB|⋅|CD|的值正确的是（ ）A 等于1B 最小值是1C 等于4D 最大值是410. 若函数f(x)=(1−x 2)(x 2+ax +b)的图象关于直线x =−2对称，则f(x)的最大值是（ ）A 9B 14C 15D 16二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11. 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是________．12. 若(1+ax)(1+x)5的展开式中x 2的系数为5，则a =________．13. 若满足条件{x −y +2≥0x +y −2≥0kx −y −2k +1≥0的点P(x, y)构成三角形区域，则实数k 的取值范围是________．14. 两个不同的口袋中，各装有大小、形状完全相同的1个红球、2个黄球．现从每一个口袋中各任取2球，设随机变量ξ为取得红球的个数，则Eξ=________． 15. 已知F 1，F 2是双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左、右焦点，若点F 2关于直线y =bax的对称点M 也在双曲线上，则该双曲线的离心率为________．16. 若实数x ，y 满足x ≥y >0，且x =4√y +2√x −y ，则x 的取值范围是________． 17. 在平面上，AB 1→⊥AB 2→，|OB 1→|=|OB 2→|=1，AP →=AB 1→+AB 2→．若|OP →|<13，则|OA →|的取值范围是________．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算过程． 18. 已知函数f(x)=2√3sinxcosx +2cos 2x +m 在区间[0, π3]上的最大值为2．（1）求常数m 的值；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若f(A)=1，sinB =3sinC ，△ABC 面积为9√34，求边长a ．19. 已知数列{a n }是等差数列，a 2=6，a 5=18，数列{b n }的前n 项和为S n ，且S n +12b n =1．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）记c n =a n ⋅b n ，若c n +m ≤0对任意的n ∈N +恒成立，求实数m 的取值范围．20. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD // BC ，∠ADC =90∘，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，PA =PD =2，BC =12AD =1，CD =√3．（1）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（2）若M 为棱PC 的中点，求异面直线AP 与BM 所成角的余弦值； （3）若二面角M −BQ −C 大小为30∘，求QM 的长．21.已知F 1，F 2分别是椭圆E:x 2a 2+y 2=1(a >1)的左、右焦点，A ，B分别为椭圆的上、下顶点，若F 2到直线AF 1的距离为√2． （1）求椭圆E 的方程；（2）过椭圆的右顶点C 的直线l 与椭圆交于点D （点D 不同于点C ），交y 轴于点P （点P 不同于坐标原点O ），直线AD 与BC 交于点Q ，试判断OP →⋅OQ →是否为定值，并证明你的结论． 22. 已知函数f(x)=klnx ，g(x)=e x ．（1）若函数φ(x)=f(x)+x −2x ，求φ(x)的单调区间；（2）设直线l 为函数f(x)的图象上一点A （x 0, f(x 0)）处的切线．若在区间(2, +∞)上存在唯一的x 0，使得直线l 与曲线y =g(x)相切，求实数k 的取值范围．2014年浙江省某校高考数学模拟试卷（理科）（5月份）答案1. C2. A3. A4. A5. D6. D7. B8. A9. A10. D11. 111212. −113. (−∞, −1)14. 4315. √516. (4, 20]17. (√173, √2]18. 解：（1）f(x)=2√3sinxcosx+2cos2x+m=2sin(2x+π6)+m+1，∵ x∈[0, π3]，∴ 2x+π6∈[π6, 5π6]，∴ 当2x+π6=π2即x=π6时，函数f(x)在区间[0, π3]上取到最大值，此时，f(x)max=f(π6)=m+3=2，解得m=−1；（2）∵ f(A)=1，∴ 2sin(2A+π6)=1，即sin(2A+π6)=12，解得A=0（舍去）或A=π3，∵ sinB=3sinC，asinA =bsinB=csinC，∴ b=3c，①∵ △ABC面积为9√34，∴ S=12bcsinA=12bc⋅√32=9√34，即bc=9，②由①②解得b=3√3，c=√3，∵ a2=b2+c2−2bccosA=21，∴ a=√21．19. 解：（1）设a n的公差为d，则：a2=a1+d，a5=a1+4d，∵ a 2=6，a 5=18，∴ a 1+d =6，a 1+4d =18，∴ a 1=2，d =4． ∴ a n =2+4(n −1)=4n −2．（2）当n =1时，b 1=S 1，由S 1+12b 1=1，可得b 1=23 当n ≥2时，∵ S n +12b n =1，S n−1+12b n−1=1，∴ 两式相减，整理可得b n =13b n−1，∴ 数列{b n }是以23为首项，13为公比的等比数列， ∴ b n =23n，∴ c n =a n ⋅b n =4(2n−1)3n，∴ c n+1−c n =16(1−n)3n+1，∴ n ≥1， ∴ c n+1≤c n ，∴ n =1时，c n 取到最大值43，∵ c n +m ≤0对任意的n ∈N +恒成立， ∴ 43+m ≤0， ∴ m ≤−43．20. 解：（1）∵ AD // BC ，BC =12AD ，Q 为AD 的中点，∴ 四边形BCDQ 为平行四边形，∴ CD // BQ又∵ ∠ADC =90∘，∴ ∠AQB =90∘ 即QB ⊥AD ．又∵ 平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD =AD ， ∴ BQ ⊥平面PAD ．∵ BQ ⊂平面PQB ， ∴ 平面PQB ⊥平面PAD ．（2）∵ PA =PD ，Q 为AD 的中点，∴ PQ ⊥AD ．∵ 平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD =AD ， ∴ PQ ⊥平面ABCD ．如图，以Q 为原点建立空间直角坐标系．则Q(0, 0, 0)，A(1, 0, 0)，P(0,0,√3)，B(0,√3，0)，C(−1,√3，0) ∵ M 是PC 中点，∴ M(−12，√32，√32)， ∴ AP →=(−1,0,√3)，BM →=(−12,−√32,√32) 设异面直线AP 与BM 所成角为θ则cosθ=|cos <AP →，BM →>|=||AP →||BM →|˙|=27√7，∴ 异面直线AP 与BM 所成角的余弦值为27√7； （3）由（2）知平面BQC 的法向量为n →=(0,0,1)，由 QM →=λQP →+(1−λ)QC →，且0≤λ≤1，得QM →=(λ−1,√3(1−λ)，√3λ)， 又QB →=(0,√3,0)，∴ 平面MBQ 法向量为m →=(√3,0,1−λλ)．∵ 二面角M −BQ −C 为30∘，∴ cos30∘=||n →||m →|˙|=√32， ∴ λ=14．∴ |QM|=√39421. 解：（1）∵ F 1，F 2分别是椭圆E:x 2a 2+y 2=1(a >1)的左、右焦点， A ，B 分别为椭圆的上、下顶点，F 2到直线AF 1的距离为√2． ∴ {2⋅bca=√2b =1，解得a =√2，∴ 椭圆E 的方程为x 22+y 2=1．（2）OP →⋅OQ →是为定值1．证明：∵ 椭圆的右顶点C(√2, 0)，∴ 设直线CD:y =k(x −√2)，(k ≠0)，则P(0, −√2k)，联立{x 22+y 2=1y =k(x −√2)，得(1+2k 2)x 2−4√2k 2x +4k 2−2=0，∴ x C ⋅x D =4k 2−21+2k 2，∴ x D =4k 2−2(1+2k 2)x C=2√2k 2−√21+2k 2， 设点Q(x ′,y ′)，直线BC 的方程为y =√2−√2)，A 、D 、Q 三点共线，则有{y ′=√2′−√2)y ′−1x ′=y D −1xD，∴ {x ′=√2y ′+√21x ′=y D −1x D (y ′−1)， ∴ √2y ′+√2=x D (y ′−1)y D −1，∴ y ′−1y ′+1=√2(y D −1)x D， 又∵ y D =k(x D −√2)，∴ y ′−1y ′+1=√2kx D −2k−√2x D=√2k −2k+√2x D，将x D =2√2k 2−√21+2k 2代入，得： y ′−1y ′+1=√2k+11−√2√2k ，∴ y′=√2k，∴ OP →⋅OQ →=(0,−√2k)⋅(x ′,√2k)=1．22. 解：（1）∵ f(x)=klnx ，∴ f(x)+x −2x=klnx +x −2x(x >0)，φ′(x)=k x +1+2x 2=x 2+kx+2x 2，方程x 2+kx +2=0的判别式△=k 2−8． 由△>0，得k <−2√2或k >2√2． 当△>0时，x 1=−k−√k 2−82，x 2=−k+√k 2−82．若k >2√2，φ′(x)>0在x ∈(0, +∞)上恒成立，若k <−2√2，当x ∈(0, x 1)，(x 2, +∞)时，φ′(x)>0． 当x ∈(x 1, x 2)时，φ′(x)<0．若−2√2≤k ≤2√2，φ′(x)>0在x ∈(0, +∞)上恒成立．∴ 若k <−2√2，函数φ(x)的增区间为(0, x 1)，(x 2, +∞)，减区间为(x 1, x 2)； 若k ≥−2√2，则函数φ(x)的增区间为(0, +∞)． （2）由f(x)=klnx ，得f ′(x)=kx ，f ′(x 0)=k x 0．∴ 直线l 的方程为y −klnx 0=k x 0(x −x 0)，即y =k x 0x +klnx 0−k ．设l 与y =g(x)切于点B(x 1, y 1)，则l 的方程又可写为y −e x 1=e x 1(x −x 1)，即y =e x 1x +e x 1(1−x 1)．∴ {kx 0=e x 1k(lnx 0−1)=e x 1(1−x 1)⇒k(lnx 0−1)=kx 0(1−x 1)⇒x 0(lnx 0−1)=1−x 1⇒x 1=1+x 0−x 0lnx 0， 又x 1=ln kx 0，化简得：lnk =1+x 0+lnx 0−x 0lnx 0．设ℎ(x)=1+x +lnx −xlnx(x >2)，ℎ′(x)=1+1x −(lnx +1)=1x −lnx ， 当x >2时，1x <lnx ，∴ ℎ′(x)<0恒成立，ℎ(x)在(2, +∞)上单调递减，且ℎ(2)=3−ln2，要使x 0唯一，只要令lnk <3−ln2=ln e 32．∴ 0<k<e3．2)．∴ 实数k的取值范围是(0,e32。