江苏师范大学数学教育专业
《常微分方程》练习测试题库参考答案
一、判断说明题
1、在线性齐次方程通解公式中C 是任意常数而在常数变易法中C （x ）是x 的可微函数。将任意常数C 变成可微函数C （x ），期望它解决线性非齐次方程求解问题，这一方法成功了，称为常数变易法。
2、因p(x)连续，y(x)= y 0exp(-dx x
⎰0
x p(x))在p(x)连续的区间有意义，而exp(-dx x
⎰
x p(x))＞0。
如果y 0＝0，推出y(x)=0,如果y(x)≠0,故零解y(x)=0唯一。
3、
（1） 它是常微分方程，因为含有未知函数的导数，f,g 为已知函数，y 为一元函数，所建
立的等式是已知关系式。
（2） 它是常微分方程，理由同上。
（3） 它不是常 微分方程，因y 是未知函数，y(y(y(x)))也是未知的，所建立的等式不是
已知关系式。
4、微分方程求解时，都与一定的积分运算相联系。因此，把求解一个微分方程的过程称为一个微分方程。微分方程的解又称为（一个）积分。
5、 把微分方程的通解用初等函数或通过它们的积分来表达的方法。注意如果通解能归结为初等函数的积分表达，但这个积分如果不能用初等函数表示出来，我们也认为求解了这个微分方程，因为这个式子里没有未知函数的导数或微分。
6、 y `
＝f(x,y)主要特征是f(x,y)能分解为两个因式的乘积，其中一个因式仅含有x,另一因式仅含y ，而方程p(x,y)dx+q(x,y)dy=0是可分离变量方程的主要特征，就像f(x,y)一样，p,q 分别都能分解成两个因式和乘积。
7、二元函数f(x,y)满足f(rx,ry)=r m
f(x,y),r.>0,则称f(x,y)为m 次齐次函数。m=0则称它为0次齐次函数。
8、如果f(x,y)是0次齐次函数，则y `＝f(x,y)称为齐次方程。 如果p(x,y)和q(x,y)同为m 次齐次函数，则pdx+qdy=0为齐次方程。 如果q ≠0则
dx
dy
＝－y)q(x,y)p(x,≡ f(x,y)，由p,q 为m 次齐次函数推知f(x,y)为0次齐次函数故
y `
＝f(x,y)为齐次方程。
9、 求解齐次方程经常用变换y=zx.用函数乘积导数的公式得 dx dy =x dx
dz
＋z
10
、
二、计算题
1、方程变形为
dx
dy =2642-+-+-y x y x ，它的分子，分母两条直线交点为（1,2）
作变换⎩
⎨
⎧+=+=21v y u x ，于是得到du dv ＝v u v u ++-42，它已经是齐次方程。
2、令z=x+y+1,则
dx dz ＝1＋dx dy ，于是dx
dz
=1+f(z),
只要＋f(z)≠0,可分离变量得 x=
⎰+)(1z f dz
+C
3、p(x)=-cosx 用线性齐方程初值问题解公式即得 y=exp(sinx)
4、用线性方程通解公式：
y=exp(-⎰xdx 2)(C+⎰
xdx 2)dx)=exp(-x 2)(C+2exp (-x 2))=2+Cexp(-x 2
) 5、公式求得方程通解 y(x)=exp(2x) (C+
⎰
x 2
exp(2x) exp(-2x)dx)=exp(2x)(c’+
3
1x 3) 利用初始条件代入上式y(0)=0=C,故y=
3
1x 3
exp(2x) 6、x 看作自变量，y 看成函数，则它是非线性方程，经变形为
dy
dx
＝x+y 以x 为未知函数,y 是自变量，它是线性方程，则通积分为
x=exp(⎰dy )(c+))exp(dy y y ⎰
-=cexp(y)-y-1
7、解：将方程变形为x 2
y 2
dy=(y-1)dx 或1-y y 2＝2x
dx
，当xy ≠0,y ≠1时积分得
22x ＋y+ln 1-y +x
1=c 8、解： 这是齐次方程。令y=zx 原方程化为
－321u u +du=x dx 两边积分得 2
21z
－ln|z|=ln|cx| 用z=
x
y
代入得 y=c 1exp(22
2y
x ) y=0也是原方程的解。
9、解：. 方程右边分子，分母两条直线交点为（x 0 , y 0）=(-2,1)作变换u=x+2,v=y-1,原方程化为
du dv ＝v u u v --22，此为齐次方程，令v=uz,经简单计算得1
22--z z dz=u du ,积分得3
3)1(1
u
z z +-＝C 原方程通积分为 y=x+c(x+y+1)3+3 10、解 当0≠y 时，分离变量得
x x
x y y d 1d 2+= 等式两端积分得 C x y ln )1ln(2
1
ln 2++= 即通解为
21x C y +=
11、解 齐次方程的通解为
x C y 3e -= 令非齐次方程的特解为 x x C y 3e )(-=
代入原方程，确定出 C x C x +=5e 5
1
)(
原方程的通解为
