初中数学-三角形垂线与中线经典例题

专题01三角形的三边、高线、中线及角平分线考点一三角形的稳定性考点二三角形的三边关系考点三三角形的高线考点四三角形的中线考点五三角形的角平分线考点一三角形的稳定性例题：（2021·广西·南宁十四中七年级期末）下列图形中没有运用三角形稳定性的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】利用三角形的稳定性解答即可．【详解】解：对于A、C、D选项，都含有三角形，故利用了三角形的稳定性；而B选项中，用到了四边形的不稳定性.故选B．【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性，需理解稳定性在实际生活中的应用；明确能体现出三角形的稳定性，则说明物体中必然存在三角形是解题关键．【变式训练】1．（2022·吉林吉林·二模）如图，人字梯中间设计一“拉杆”，在使用梯子时，固定拉杆会增加安全性．这样做蕴含的数学道理是（）A．三角形具有稳定性B．两点之间线段最短C．经过两点有且只有一条直线D．垂线段最短【答案】A【解析】【分析】人字梯中间设计一“拉杆”后变成一个三角形，稳定性提高．【详解】三角形的稳定性如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个特征，叫做三角形的稳定性.故选A【点睛】本题考查三角形的稳定性，理解这一点是本题的关键．2．（2022·广东·佛山市惠景中学七年级期中）如图所示的自行车架设计成三角形，这样做的依据是三角形具有___．【答案】稳定性【解析】【分析】根据是三角形的稳定性，即可求解．【详解】解：自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具有稳定性，故答案为：稳定性．【点睛】本题考查的是三角形的性质，掌握三角形具有稳定性是解题的关键．考点二三角形的三边关系例题：（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级期中）下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（）．A．1，2，3B．3，4，5C．4，5，11D．6，3，3【答案】B【解析】【分析】比较三边中两较小边之和与较大边的大小即可得到解答．【详解】解：A、1+2=3，不符合题意；B、3+4>5，符合题意；C、4+5<11，不符合题意；D、3+3=6，不符合题意；故选B．【点睛】本题考查构成三角形的条件，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键．【变式训练】1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校七年级期中）下列各组长度的三条线段能够组成三角形的是（）A．3，4，8B．5，6，11C．5，6，10D．10，7，3【答案】C【解析】【分析】根据三角形三边关系可直接进行排除选项．【详解】解：A、3+4＜8，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形；B、5+6=11，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形；C、5+6＞10，符合三角形三边关系，故能构成三角形；D、3+7=10，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形；故选C．【点睛】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．2．（2022·海南·海口市第十四中学七年级阶段练习）在△ABC中，三条边长分别为3和6，第三边长为奇数，那么第三边的长是()A．5或7B．7或9C．3或5D．9【答案】A【解析】【分析】先求出第三边长的取值范围，再根据条件具体确定符合条件的值即可．【详解】解：因为三条边长分别为3和6，所以6-3＜第三边＜6+3，所以3＜第三边＜9，因为第三边长为奇数，∴第三边的长为5或7，故选：A．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．3．（2022·江苏·南师附中新城初中七年级期中）已知三角形三边长分别为3，x，14，若x为正整数，则这样的三角形个数为（）A．4B．5C．6D．7【答案】B【解析】【分析】直接根据三角形的三边关系求出x的取值范围，进而可得出结论．【详解】解：三角形三边长分别为3，x，14，x<<．x143143∴-<<+，即1117x为正整数，12x=，13，14，15，16，即这样的三角形有5个．故选：B．【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解答此题的关键．考点三三角形的高线例题：（2022·重庆市育才中学七年级阶段练习）下列各组图形中，BD是ABC的高的图形是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．根据概念即可得到答案．【详解】解：根据三角形高的定义可知，只有选项B中的线段BD是∴ABC的高，故选：B．【点睛】考查了三角形的高的概念，掌握高的作法是解题的关键．【变式训练】1．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，CD ∴AB 于点D ，已知∴ABC 是钝角，则（ ）A ．线段CD 是ABC 的AC 边上的高线B ．线段CD 是ABC 的AB 边上的高线 C ．线段AD 是ABC 的BC 边上的高线D ．线段AD 是ABC 的AC 边上的高线【答案】B【解析】【分析】根据高线的定义注意判断即可．【详解】∴ 线段CD 是ABC 的AB 边上的高线，∴A 错误，不符合题意；∴ 线段CD 是ABC 的AB 边上的高线，∴B 正确，符合题意；∴ 线段AD 是ACD 的CD 边上的高线，∴C 错误，不符合题意；∴线段AD 是ACD 的CD 边上的高线，∴D 错误，不符合题意；故选B ．【点睛】 本题考查了三角形高线的理解，熟练掌握三角形高线的相关知识是解题的关键．2．（2022·湖南怀化·七年级期末）如图，在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，则点C 到AB 的距离为______．【答案】125【解析】【分析】根据面积相等即可求出点C 到AB 的距离．【详解】解：∴在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒， ∴1122AC BC AB CD ⨯=⨯， ∴AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5， ∴1134522CD ⨯⨯=⨯⨯， ∴CD =125， 故答案为：125． 【点睛】本题考查求直角三角形斜边上的高，用面积法列出关系式是解题关键．3．（2022·重庆·七年级期中）如图，点A 、点B 是直线l 上两点，10AB =，点M 在直线l 外，6MB =，8MA =，90AMB ∠=︒，若点P 为直线l 上一动点，连接MP ，则线段MP 的最小值是______．【答案】4.8【解析】【分析】根据垂线段最短可知：当MP AB ⊥时，MP 有最小值，再利用三角形的面积可列式计算求解MP 的最小值．【详解】解：当MP AB ⊥时，MP 有最小值，10AB =，6MB =，8MA =，90AMB ∠=︒，AB MP AM BM ∴⋅=⋅，即1068MP =⨯，解得 4.8MP =．故答案为：4.8．【点睛】本题主要考查垂线段最短，三角形的面积，找到MP 最小时的P 点位置是解题的关键．考点四 三角形的中线例题：（2021·广西·靖西市教学研究室八年级期中）如图，已知BD 是∴ABC 的中线，AB ＝5，BC ＝3，且∴ABD 的周长为12，则∴BCD 的周长是_____．【答案】10【解析】【分析】先根据三角形的中线、线段中点的定义可得AD CD =，再根据三角形的周长公式即可求出结果．【详解】 解：BD 是ABC 的中线，即点D 是线段AC 的中点，AD CD ∴=，5AB =，ABD △的周长为12，12AB BD AD ∴++=，即512BD AD ++=，解得：7BD AD +=，7BD CD ∴+=，则BCD △的周长是3710BC BD CD ++=+=．故答案为：10．【点睛】本题主要考查了三角形的中线、线段中点的定义等知识点，掌握线段中点的定义是解题关键．【变式训练】1．（2022·陕西·西安市曲江第一中学七年级期中）在ABC 中，BC 边上的中线AD 将ABC 分成的两个新三角形的周长差为5cm ，AB 与AC 的和为11cm ，则AC 的长为________．【答案】3cm 或8cm【解析】【分析】根据三角形的中线的定义可得BD CD =，然后求出ABD △与ADC 的周长差是AB 与AC 的差或AC 与AB 的差，然后代入数据计算即可得解．【详解】如图1，图2，∴AD 是BC 边上的中线，∴BD CD =，∴中线AD 将ABC 分成的两个新三角形的周长差为5cm ，∴()()5AB BD AD AC CD AD ++-++=或()()5AC CD AD AB BD AD ++-++=，∴5AB AC -=或者5AC AB -=，∴AB 与AC 的和为11cm ，∴11AB AC +=，∴83AB AC =⎧⎨=⎩或38AB AC =⎧⎨=⎩， 故答案为：3cm 或8cm ．【点睛】本题考查了三角形的中线，熟记概念并求出两个三角形的周长的差等于两边长的差是解题的关键． 2．（2022·江苏·泰州市第二中学附属初中七年级阶段练习）如图，D ，E 分别是∴ABC 边AB ，BC 上的点，AD =2BD ，BE =CE ，设∴ADF 的面积为S 1，∴FCE 的面积为S 2，若S △ABC =16，则S 1－S 2的值为_________．【答案】8 3【解析】【分析】S△ADF−S△CEF＝S△ABE−S△BCD，所以求出三角形ABE的面积和三角形BCD的面积即可，因为AD＝2BD，BE＝CE，且S△ABC＝16，就可以求出三角形ABE的面积和三角形BCD的面积.【详解】解：∴BE＝CE，∴BE＝12BC，∴S△ABC＝16，∴S△ABE＝12S△ABC＝8．∴AD＝2BD，S△ABC＝16，∴S△BCD＝13S△ABC＝163，∴S△ABE−S△BCD＝（S1＋S四边形BEFD）−（S2＋S四边形BEFD）＝S1−S2＝83，故答案为83．【点睛】本题考查三角形的面积，关键知道当高相等时，面积等于底边的比，据此可求出三角形的面积，然后求出差．3．（2022·江苏·苏州市相城实验中学七年级期中）如图，AD 是∴ABC 的中线，BE 是∴ABD 的中线，EF ⊥BC于点F．若24ABCS=，BD =4，则EF 长为___________．【答案】3【解析】【分析】因为S △ABD =12S △ABC ，S △BDE =12S △ABD ；所以S △BDE =14S △ABC ，再根据三角形的面积公式求得即可． 【详解】解：∴AD 是∴ABC 的中线，S △ABC =24，∴S △ABD =12S △ABC =12，同理，BE 是∴ABD 的中线，612BDE ABD SS ==，∴S △BDE =12BD •EF ，∴12BD •EF =6，即1462EF ⨯⨯= ∴EF =3．故答案为：3．【点睛】此题考查了三角形的面积，三角形的中线特点，理解三角形高的定义，根据三角形的面积公式求解，是解题的关键．考点五 三角形的角平分线 例题：（2022·全国·八年级）如图，在ABC 中，90CAB ∠=︒，AD 是高，CF 是中线，BE 是角平分线，BE 交AD 于G ，交CF 于H ，下列说法正确的是（ ）①AEG AGE ∠=∠；②BH CH =；③2EAG EBC ∠=∠；④ACF BCF S S =A．①③B．①②③C．①③④D．②③④【答案】C【解析】【分析】①根据∴CAB=90°，AD是高，可得∴AEG=90°−∴ABE，∴DGB=90°−∴DBG，又因为BE是角平分线，可得∴ABE=∴DBE，故能得到∴AEG=∴DGB，再根据对顶角相等，即可求证该说法正确；②因为CF是中线，BE是角平分线，得不到∴HCB=∴HBC，故该说法错误；③∴EAG+∴DAB=90°，∴DBA+∴DAB=90°，可得∴EAG=∴DBA，因为∴DBA=2∴EBC，故能得到该说法正确；④根据中线平分面积，可得该说法正确．【详解】解：①∴∴CAB=90°，AD是高，∴∴AEG=90°−∴ABE，∴DGB=90°−∴DBG，∴BE是角平分线，∴∴ABE=∴DBE，∴∴AEG=∴DGB，∴∴DGB=∴AGE，∴∴AEG=∴AGE，故该说法正确；②因为CF是中线，BE是角平分线，得不到∴HCB=∴HBC，故该说法错误；③∴∴EAG+∴DAB=90°，∴DBA+∴DAB=90°，∴∴EAG=∴DBA，∴∴DBA=2∴EBC，∴∴EAG=2∴EBC，故该说法正确；④根据中线平分面积，可得S△ACF=S△BCF，故该说法正确．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的高，中线，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握各线的特点和性质．【变式训练】1．（2022·全国·八年级）如图，在∴ABC中，∴C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∴EBC，那么下列说法中不正确的是（）A．BE是∴ABD的中线B．BD是∴BCE的角平分线C．∴1＝∴2＝∴3D．S△AEB＝S△EDB【答案】C【解析】【分析】根据三角形中线、角平分线的定义逐项判断即可求解．【详解】解：A、∴AE＝DE，∴BE是∴ABD的中线，故本选项不符合题意；B、∴BD平分∴EBC，∴BD是∴BCE的角平分线，故本选项不符合题意；C、∴BD平分∴EBC，∴∴2＝∴3，但不能推出∴2、∴3和∴1相等，故本选项符合题意；D、∴S△AEB＝12×AE×BC，S△EDB＝12×DE×BC，AE＝DE，∴S△AEB＝S△EDB，故本选项不符合题意；故选：C【点睛】本题主要考查了三角形中线、角平分线的定义，熟练掌握三角形中，连接一个顶点和它的对边的中点的线段叫做三角形的中线；三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫三角形的角平分线是解题的关键．2．（2022·全国·八年级）如图，AD，BE，CF依次是ABC的高、中线和角平分线，下列表达式中错误的是（ ）A ．AE ＝CEB ．∴ADC ＝90° C ．∴CAD ＝∴CBE D ．∴ACB ＝2∴ACF【答案】C【解析】【分析】 根据三角形的高、中线和角平分线的定义（1）三角形的角平分线定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线；（2）三角形的中线定义：在三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的连线段叫做三角形的中线；（3）三角形的高定义：从三角形一个顶点向它的对边（或对边所在的直线）作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称为高．求解即可．【详解】解：A 、BE 是△ABC 的中线，所以AE ＝CE ，故本表达式正确；B 、AD 是△ABC 的高，所以∴ADC ＝90，故本表达式正确；C 、由三角形的高、中线和角平分线的定义无法得出∴CAD ＝∴CBE ，故本表达式错误；D 、CF 是△ABC 的角平分线，所以∴ACB ＝2∴ACF ，故本表达式正确．故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的高、中线和角平分线的定义，是基础题，熟记定义是解题的关键．3．（2021·全国·八年级课时练习）填空：（1）如图（1）,,AD BE CF 是ABC 的三条中线，则2AB =______，BD =______，12AE =______． （2）如图（2）,,AD BE CF 是ABC 的三条角平分线，则1∠=______，132∠=______，2ACB ∠=______．【答案】 AF 或BF CD AC 2∠ ABC ∠ 4∠【解析】【分析】（1）根据三角形的中线定义：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线可得E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 上的中点，进而得到答案．（2）根据角平分线定义，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线即可解答．【详解】解：（1）∴CF 是AB 边上的中线，∴AB ＝2AF ＝2BF ；∴AD 是BC 边上的中线，∴BD ＝CD ，∴BE 是AC 边上的中线，∴AE ＝12AC ，（2）∴AD 是BAC ∠的角平分线，∴12∠=∠ ，∴BE 是ABC ∠的角平分线， ∴132∠=ABC ∠， ∴CF 是ACB ∠的角平分线，∴2ACB ∠=4∠．故答案为：AF 或BF ；CD ；AC ；2∠；ABC ∠；4∠【点睛】此题主要考查了三角形的中线、角平分线，解题的关键是掌握三角形的中线及角平分线的定义．一、选择题1．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级期中）画ABC的BC边上的高，正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】利用三角形的高线的定义判断即可．【详解】解：画△ABC的BC边上的高，即过点A作BC边的垂线．∴只有选项A符合题意，故选：A．【点睛】本题考查了三角形高线的画法，从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足间的线段，叫做三角形的高线，锐角三角形的三条高线都在三角形的内部，钝角三角形的高有两条在三角形的外部．直角三角形的高线有两条是三角形的直角边．2．（2022·山东潍坊·七年级期末）在数学实践课上，小亮经研究发现：在如图所示的ABC中，连接点A和BC上的一点D，线段AD等分ABC的面积，则AD是ABC的（）．A．高线B．中线C．角平分线D．对角线【答案】B【解析】【分析】直接利用三角形中线的性质即可得出结果．【详解】解：∴线段AD等分∴ABC的面积，∴∴ABD的面积等于∴ACD的面积，∴两个三角形的高为同一条高，∴BD=CD，∴AD为∴ABC的中线，故选：B．【点睛】题目主要考查三角形中线的性质，理解三角形中线将三角形分成两个面积相同的三角形是解题关键．3．（2022·河北保定外国语学校一模）能用三角形的稳定性解释的生活现象是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据各图所用到的直线、线段有关知识，即可一一判定【详解】解：A、利用的是“两点确定一条直线”，故该选项不符合题意；B、利用的是“两点之间线段最短”，故该选项不符合题意；C、窗户的支架是三角形，利用的是“三角形的稳定性”，故该选项符合题意；D、利用的是“垂线段最短”，故该选项不符合题意；故选：C【点睛】本题考查了两点确定一条直线、两点之间线段最短、三角形的稳定性、垂线段最短的应用，结合题意和图形准确确定所用到的知识是解决本题的关键．4．（2022·山东青岛·七年级期末）如图，BD是ABC的边AC上的中线，AE是ABD△的边BD上的中线，BF 是ABE△的边AE上的中线，若ABC的面积是32，则阴影部分的面积是（）A．9B．12C．18D．20【答案】B【解析】【分析】利用中线等分三角形的面积进行求解即可．【详解】∴BD是ABC的边AC上的中线，∴11321622ABD BCD ABCS S S===⨯=△△，∴AE是ABD△的边BD上的中线，∴1116822ABE ADE ABDS S S===⨯=，又∴BF 是ABE △的边AE 上的中线，则CF 是ACE 的边AE 上的中线， ∴118422BEF ABF ABE S S S ===⨯=，182CEF ACF ADE CED ACE S S S S S =====，则4812BEF CEF S SS =+=+=阴影，故选：B ．【点睛】 本题考查了中线的性质，清晰明确三角形之间的等量关系，进行等量代换是解题的关键．5．（2021·江苏·无锡市侨谊实验中学三模）如图为一张锐角三角形纸片ABC ，小明想要通过折纸的方式折出如下线段：①BC 边上的中线AD ，②BC 边上的角平分线AE ，③BC 边上的高AF ．根据所学知识与相关活动经验可知：上述三条线中，所有能够通过折纸折出的有（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】D【解析】【分析】 根据三角形中线，角平分线和高的定义即可判断．【详解】沿着A 点和BC 中点的连线折叠，其折痕即为BC 边上的中线，故①符合题意；折叠后使B 点在AC 边上，且折痕通过A 点，则其折痕即为BC 边上的角平分线，故②符合题意； 折叠后使B 点在BC 边上，且折痕通过A 点，则其折痕即为BC 边上的高，故③符合题意；故选D ．【点睛】本题考查三角形中线，角平分线和高的定义．掌握各定义是解题关键．二、填空题6．（2022·湖南邵阳·八年级期末）若ABC 的三条边长分别为3cm ，xcm ，4cm ，则x 的取值范围______．【答案】17x <<##71x >>【解析】【分析】根据三角形的三边关系进行求解即可.【详解】解：根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”可得到4343x －＜＜＋，∴17x ＜＜.故答案为：17x ＜＜.【点睛】本题主要考查三角形三边关系，熟记“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”是解答此类题目的关键.7．（2022·云南红河·八年级期末）已知a b c 、、是ABC ∆的三边长，a b 、满足()2610a b -+-=，c 为偶数，则c =_______．【答案】6【解析】【分析】根据非负数的性质列式求出a 、b 的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c 的取值范围，再根据c 是偶数求出c 的值．【详解】解：∴a ，b 满足()2610a b -+-=，∴a -6=0，b -1=0，解得a =6，b =1，∴6-1=5，6+1=7，∴5＜c ＜7，又∴c 为偶数，∴c =6，故答案为：6【点睛】本题考查非负数的性质：偶次方，解题的关键是明确题意，明确三角形三边的关系．8．（2021·北京市陈经纶中学分校八年级期中）随着人们物质生活的提高，手机成为一种生活中不可缺少的东西，手机很方便携带，但唯一的缺点就是没有固定的支点．为了解决这一问题，某工厂研制生产了一种如图所示的手机支架．把手机放在上面就可以方便地使用手机，这是利用了三角形的______.【答案】三角形的稳定性【解析】【分析】利用三角形的稳定性的性质直接回答即可．【详解】解：把手机放在上面就可以方便地使用手机，这是利用了三角形的稳定性，故答案为：三角形的稳定性．【点睛】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是掌握三角形具有稳定性．9．（2022·北京市师达中学七年级阶段练习）如图，AB∴BD 于点B，AC∴CD 于点C，且AC 与BD 交于点E，已知AE=10，DE=5，CD=4，则AB 的长为_________．【答案】8【解析】【分析】根据三角形高的定义可判断出边上的高，然后利用三角形面积求解即可．【详解】解：∴AB∴BD，AC∴CD，∴AB是∴ADE的边DE上的高，CD是边AE上的高，∴S △AED =1122DE AB AE CD ⋅=⋅， ∴10485AE CD AB DE ⋅⨯===， 故答案为：8．【点睛】本题考查三角形高的定义，三角形的面积等知识，掌握基本概念是解题关键，学会用面积法求线段的长． 10．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在ABC 中，2AB AC ==，P 是BC 边上的任意一点，PE AB ⊥于点E ，PF AC ⊥于点F .若ABC S =PE PF +=______．【解析】【分析】 根据1122ABC ABP APC S S S AB PE AC PF =+=⋅+⋅，结合已知条件，即可求得PE PF +的值． 【详解】解：如图，连接APPE AB ⊥于点E ，PF AC ⊥于点F1122ABC ABP APC S S S AB PE AC PF ∴=+=⋅+⋅2AB AC ==，ABC S ∴1122AB PE AC PF ⋅+⋅PE PF =+【点睛】本题考查了三角形的高，掌握三角形的高的定义是解题的关键．三、解答题11．（2022·全国·八年级）在∴ABC中，BC＝8，AB＝1；(1)若AC是整数，求AC的长；(2)已知BD是∴ABC的中线，若∴ABD的周长为17，求∴BCD的周长．【答案】(1)8(2)24【解析】【分析】（1）根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”得7＜AC＜9，根据AC是整数得AC＝8；（2）根据BD是∴ABC的中线得AD＝CD，根据∴ABD的周长为17和AB＝1得AD+BD＝16，即可得．(1)解：由题意得：BC﹣AB＜AC＜BC+AB，∴7＜AC＜9，∴AC是整数，∴AC＝8．(2)解：如图所示，∴BD是∴ABC的中线，∴AD＝CD，∴∴ABD的周长为17，∴AB+AD+BD＝17，∴AB ＝1，∴AD +BD ＝16，∴∴BCD 的周长＝BC +BD +CD ＝BC +AD +CD ＝8+16＝24．【点睛】本题考查了三角形，解题的关键是掌握三角形三边的关系和三角形的中线．12．（2022·全国·八年级专题练习）已知：a 、b 、c 满足2(|0a c +-=求：(1)a 、b 、c 的值；(2)试问以a 、b 、c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由．【答案】(1)a =5b =，c =(2)能构成三角形，周长为(51【解析】【分析】（1）根据非负数之和等于零，则每个非负数等于零，分别建立方程求解即可；（2）先比较长三边的大小，再用较小两边之和与最大边比较即可判断能够构成三角形；然后计算三角形的周长即可．(1)解：∴(20a ≥0，0c -≥，a 、b 、c 满足(20a c -=，∴0a =，50b -=，0c -，解得a =5b =，c =；(2)解：∴81825<<，∴5，即a c b <<，∴5=>，∴能构成三角形，三角形的周长)5551a b c =++===． 【点睛】 本题考查了非负数的性质，二次根式有意义的条件和构成三角形的条件，解题的关键是根据非负数之和等于零的条件分别建立方程和如何判定三边能否构成三角形．13．（2022·四川·威远中学校七年级期中）（1）已知一个三角形的两边长分别是4cm 、7cm ，则这个三角形的周长的取值范围是什么？（2）在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，周长为14cm ，BD 是AC 边上的中线，△ABD 比△BCD 周长长4cm ，求△ABC 各边长．【答案】（1）14<c <22；（2）AB =6，AC =6，BC =2．【解析】【分析】（1）根据三角形三边关系，先求出三角形第三边长的范围，即可求出周长范围．（2）根据三角形中线的定义可得,AD CD =，从而可得4,AB BC -=再根据ABC 的周长是14，，以及,AB AC ＝，可得214AB BC +=进行计算即可解答．【详解】解：（1）设第三边长为x ，根据三角形的三边关系得7474,x ∴-<<+3,x ∴<<11∴三角形的周长C 的取值范围为：1422.c <<（2）如图所示：∴BD 是AC 边上的中线，,AD CD ∴=∴△ABD比△BCD周长长4cm，()()4,AB AD BD BC CD BD∴++-++=4,AB BC∴-=4,BC AB∴=-ABC的周长是14，14,AB AC BC∴++=,AB AC＝214,AB BC∴+=2414,AB AB∴+-=6,AB∴=6,AB AC∴==2.BC∴=【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．14．（2022·河北邯郸·七年级阶段练习）如图，在直角三角形ABC中，∴BAC＝90°，AD是BC边上的高，CE 是AB边上的中线，AB＝12cm，BC＝20cm，AC＝16cm，求：（1）AD的长；（2）∴BCE的面积．【答案】（1）485；（2）48．【解析】【分析】（1）利用面积法得到12AD•BC＝12AB•AC，然后把AB＝12cm，BC＝20cm，AC＝16cm代入可求出AD的长；（2）由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，所以S△BCE＝12S△ABC．【详解】解：（1）∴∴BAC ＝90°，AD 是BC 边上的高， ∴12AD •BC ＝12AB •AC ，∴AD ＝121620⨯＝485（cm ）；（2）∴CE 是AB 边上的中线，∴S △BCE ＝12S △ABC ＝12×12×12×16＝48（cm 2）．【点睛】本题考查三角形中线的性质，涉及等积法，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．15．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级期中）如图，在6×10的网格中，每一小格均为正方形且边长是1，已知∴ABC 的每个顶点都在格点上．(1)画出∴ABC 中BC 边上的高线AE ；(2)在∴ABC 中AB 边上取点D ，连接CD ，使3BCD ACD S S =△△；(3)直接写出∴BCD 的面积是__________．【答案】(1)画图见解析(2)画图见解析(3)7.5【解析】【分析】（1）利用网格线过A 作BC 的垂线即可；（2）利用网格线的特点，取格点D ，满足3BD AD =，则D 即为所求作的点；（3）利用三角形的面积公式直接计算即可．(1)解：如图，AE 即为BC 上的高．(2)如图，利用网格特点，可得3BD AD =，∴D 即为所求作的点，满足3BCD ACD S S =△△．(3)1537.52BCD S =⨯⨯=． 【点睛】本题考查的是画三角形的高，三角形的面积的计算，熟悉等高的两个三角形的面积之间的关系是解本题的关键．16．（2022·江苏·沭阳县怀文中学七年级阶段练习）如图，在ABC 中，CD 、CE 分别是ABC 的高和角平分线，,()BAC B ∠α∠βαβ==>．(1)若70,40αβ=︒=︒，求DCE ∠的度数；(2)试用α、β的代数式表示DCE ∠的度数_________．【答案】(1)15DCE ∠=︒(2)2αβ-【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理求出∴ACB 的值，再由角平分线的性质以及直角三角形的性质求出∴DCE ． （2）由（1）的解题思路即可得正确结果．(1) 解：70BAC ∠=︒，40B ∠=︒∴()180()180704070ACB BAC B ∠=︒-∠+∠=︒-︒+︒=︒，CE 是ACB ∠的平分线，∴1352ACE ACB ∠=∠=︒． CD 是高线，∴90ADC ∠=︒，∴9020ACD BAC ∠=︒-∠=︒，∴352015DCE ACE ACD ∠=∠-∠=︒-=︒︒．(2) 解：BAC α∠=，B β∠=∴()180()180ACB BAC B αβ∠=︒-∠+∠=︒-+，CE 是ACB ∠的平分线，∴()1118090222ACE ACB αβαβ+∠=∠=⨯︒-+=︒-⎡⎤⎣⎦． CD 是高线，∴90ADC ∠=︒，∴9090ACD BAC α∠=︒-∠=︒-， ∴909022DCE ACE ACD αβαβα+-∠=∠-∠=︒--︒+=．【点睛】本题主要考查角平分线，高线以及角的转换，掌握角平分线，高线的性质是解题的关键．17．（2022·上海·八年级专题练习）如图，∴ABC 中，∴BAC ＝60º，AD 平分∴BAC ，点E 在AB 上，EG ∴AD ， EF ∴AD ，垂足为F ．(1)求∴1和∴2的度数．(2)联结DE ，若S △ADE ＝S 梯形EFDG ，猜想线段EG 的长和AF 的长有什么关系？说明理由．【答案】(1)30º；60º(2)相等，理由见解析【解析】【分析】(1)利用角平分线的定义求得BAD ∠，然后在直角三角形中利用两锐角互余即可求得∴2，再利用平行线的性质即可求得∴1的度数．(2)根据S △ADE ＝S 梯形EFDG 可得AD =DF +EG ，结合图形即可求解．(1)∴∴BAC ＝60º，AD 平分∴BAC ， ∴1302BAD BAC ∠=∠=︒， 又∴EF ∴AD ，∴29060BAD ∠=︒-∠=︒， ∴EG ∴AD ，∴130BAD ∠=∠=︒．(2)相等． 理由如下： ∴EF ∴AD ，∴S △ADE =12AD EF ⋅，S 梯形EFDG =1()2DE EG EF +⋅ ∴S △ADE = S 梯形EFDG ∴12AD EF ⋅=1()2DE EG EF +⋅∴AD =DF +EG ，∴AD =AF +DF ，∴DF +EG =AF +DF ，即AF =EG ．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义以及三角形和梯形的面积公式，熟练掌握平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键．18．（2021·安徽省六安皋城中学八年级期中）如图，AD 是∴ABC 的边BC 上的中线，已知AB =5，AC =3． （1）边BC 的取值范围是 ；（2）∴ABD 与∴ACD 的周长之差为 ；（3）在∴ABC 中，若AB 边上的高为2，求AC 边上的高．【答案】（1）28BC <<；（2）2；（3）103h =． 【解析】【分析】 （1）直接根据三角形三边关系进行解答即可；（2）根据三角形中线将∴ABD 与∴ACD 的周长之差转换为AB 和AC 的差即可得出答案；（3）设AC 边上的高为h ，根据三角形面积公式列出方程求解即可．【详解】解：（1）∴∴ABC 中AB =5，AC =3，∴5353BC -<<+，即28BC <<，故答案为：28BC <<；（2）∴∴ABD 的周长为AB AD BD ++，∴ACD 的周长为AC AD CD ++，∴AD 是∴ABC 的边BC 上的中线，∴BD CD =，∴AB AD BD ++-(AC AD CD ++)=532AB AC -=-=，故答案为：2；（3）设AC 边上的高为h ， 根据题意得：11222AB AC h ⨯=⨯, 即1152322h ⨯⨯=⨯⨯， 解得103h =． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，三角形的中线，三角形的高等知识点，熟练掌握基础知识是解本题的关键．。

三角形的中线与垂线性质总结三角形是初中数学中非常重要的一个几何图形，其中中线和垂线的性质在解决各种与三角形相关的问题中起着关键作用。

下面让我们来详细探讨一下三角形中线和垂线的性质。

一、三角形的中线1、定义连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。

2、性质（1）三角形的三条中线相交于一点，这个点叫做三角形的重心。

重心到顶点的距离是它到对边中点距离的 2 倍。

比如在△ABC 中，AD、BE、CF 分别是边 BC、AC、AB 的中线，它们交于点 G，则 AG ＝ 2GD，BG ＝ 2GE，CG ＝ 2GF。

（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两个部分。

以△ABC 为例，AD 是 BC 边上的中线，则△ABD 的面积等于△ACD 的面积。

这是因为这两个三角形等底（BD ＝ CD）等高（顶点A 到 BC 的距离）。

（3）三角形一条中线两侧所对的边的长度之和相等。

在△ABC 中，若 AD 是中线，则 AB ＋ AC ＞ 2AD 。

3、中线的作用（1）在计算三角形的面积时，如果知道中线的长度和对应的底边长度，可以通过相关公式求出面积。

（2）在证明线段或角的相等关系时，中线常常能提供有用的思路。

（3）在解决与三角形重心相关的物理问题，如平衡问题时，中线的性质能帮助我们进行分析。

二、三角形的垂线1、定义从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，也就是垂线。

2、性质（1）三角形的三条高所在直线相交于一点。

锐角三角形的三条高都在三角形内部，相交于三角形内一点；直角三角形的两条直角边就是两条高，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点。

（2）三角形的面积等于底乘以高的一半。

假设在△ABC 中，BC 边上的高是 AD，那么△ABC 的面积＝ 1/2× BC × AD 。

三角形中的中线的用法模块一：三角形中位线 1．定义：连接三角形两边中点的线段． 2．定理：三角形中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半．若DE 为ABC △的中位线，则DE//BC ，且12DE BC =．3．三角形中位线里隐含重要性质： ①三角形的三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形．EF 、GE 、GF 是ABC △的三条中位线，则有：①AEG EBF CFG FGE △△△△≌≌≌②12EFG ABC C C =△△，14EFG ABC S S =△△②三角形的三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形的周长的一半，其面积为原三角形面积的四分之一． 模块二：直角三角形斜边中线 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．若AD 为Rt ABC △斜边上的中线，则12AD BC =．相关结论：（1）AD BD DC ==； （2）ABD △，ACD △为等腰三角形 （3）2ADB C ∠=∠，2ADC B ∠=∠拓展：在由两个直角三角形组成的图中，M 为中点．相关结论：（1）AM MD =；（2）2AMD ABD ∠=∠． 模块三：中点辅助线综合E DCB AMMABCDA BCDDCBAFA B CE G（1）如图1-1，在ABC△中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，若ABC△的周长为20cm，则DEF△的周长为__________．（2）如图1-2，在Rt ABC△中，30A∠=︒，1BC=，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为__________．图1-1 图1-2（3）如图1-3，ABC△中，6AB AC==，8BC=，AE平分BAC∠交BC于点E，点D为AB的中点，连接DE，则BDE△的周长是__________．（4）如图1-4，在四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点．求证：1()2EF AC BD<+．图1-3 图1-4【解析】（1）10cm．（2）1．（3）10．（4）证明：取AD的中点M，连结EM和FM．∵E、F是AB、CD中点，∴12EM BD=，12FM AC=．又∵EF EM FM<+，∴1()2EF AC BD<+．【教师备课提示】考察中位线产生的线段长度关系．第（4）题利用中位线构造出长为12AC，12BD的线段并将线段集中；也可以求证1()2EF AD BC<+，方法是取AC 或BD的中点．FEDCBA模块一三角形中位线例题1MAB CDEF（1）如图2-1，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AD BC =，18PEF ∠=︒，则PFE ∠的度数是__________度．（2）如图2-2，已知四边形ABCD 的对角线AC BD =，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连结EF 分别交AC 、BD 于M 、N ，求证：AMN BNM =∠∠．（3）已知，如图2-3四边形ABCD 中，AD BC =，E 、F 分别是AB 和CD 的中点，AD 、EF 、BC 的延长线分别交于M 、N 两点．求证：AME BNE ∠=∠．图2-1 图2-2 图2-3【解析】（1）18．（2）设AB 的中点为G ，连结GE 、GF ，容易证得：GE //BD ，12EG BD =，GF //AC ，12EF AC =，从而GF GE =，GEF GFE ∠=∠， ∴AMN BNM =∠∠．（构造中位线来利用对角线相等的条件，也可以取AC 或BD 的中点．） （3）连接AC ，取AC 中点H ，连接FH 、EH ．∵DF CF =，AH CH =，∴FH//AD ，12FH AD =，同理，12EH BC =，EH//BC ， ∵AD BC =，∴EH FH =，∴HFE HEF ∠=∠， ∵FH//AM ，EH//BC ， ∴AM E HFE ∠=∠，HEF BNE ∠=∠， ∴AME BNE ∠=∠．【教师备课提示】考察中位线的性质，学会通过构造中位线去利用已知的条件．CM FEND B AA CDM FE NB例题2CM FE G NDB AA H C D MF E NB如图，在ABC △中，D 、G 分别为AB 、AC 上的点，且BD CG =，M 、N 分别是BG 、CD 的中点，过MN 的直线交AB 于点P ，交AC 于点Q ，求证：AP AQ =．【解析】连DG ，找DG 的中点E ，连ME 、NE ，∵M 、N 分别是BG 与CD 的中点．∴ME//AB ，12ME BD =，NE//AC ，12NE GC =．∴APQ EMN ∠=∠，AQP ENM ∠=∠．∵BD GC =，∴EM EN =， ∴EMN ENM ∠=∠，∴APQ AQP ∠=∠，∴AP AQ =． 【教师备课提示】还可以取BC 中点．总结：已知四边形对角线中点，则取一边中点，可出两条中位线，学会构造出中位线去利用题目中给出的等量关系．已知：在ABC △中，90ABC ∠=︒，点E 在直线AB 上，ED 与直线AC 垂直，垂足为D ，且点M 为EC 中点，连接BM 、DM ．（1）如图4-1，若点E 在线段AB 上，探究线段BM 与DM 及BM D ∠与BCD ∠所满足的数量关系，并直接写出你得到的结论；（2）如图4-2，若点E 在BA 延长线上，你（1）中的结论是否发生变化？写出你的猜想并证明．图4-1 图4-2【解析】（1）BM DM =，2BMD BCD ∠=∠；（2）结论不变，由题意知MB MC MD ==，∴2BME BCM ∠=∠，2DME DCM ∠=∠，两式相减，得2BMD BCD ∠=∠．NM PQG D C BAEA BC DG Q PM N 图2图1BEM CDAMEDCBA例题3模块二直角三角形斜边中线例题4如图，90MON∠=︒，ABC△中，90BAC∠=︒，2AB=，1AC=，AB在MON∠上滑动，求OC的最大值．【解析】取AB的中点D，连结OD、DC，则1OD=，2DC=，可得12OC≤+，即OC的最大值为12+（O、D、C三点共线时）．在Rt ABC△中，90BAC∠=︒，AD BC⊥，E、F、G分别是AB、AC、BC的中点，M 是DG的中点，求证：ME MF=．【解析】连结DF、EG，可证DF GE=，MDF MGE∠=∠，MD MG=，则MDF MGE△≌△，得证．例题5模块三中点辅助线综合例题6如图，在五边形ABCDE 中，90ABC AED ∠=∠=︒，BAC EAD ∠=∠，F 为CD 的中点．求证：BF EF =．【解析】方法一：如图1，取AC 中点M ，取AD 中点N ，连BM ，MF ，NF ，EN ． ∵90ABC AED ∠=∠=︒，1122BM AC FN EN AD MF ====，，∴BMF FNE △≌△，∴BF EF =，方法二：如图2，延长CB 到M ，使得MB BC =， 延长DE 到N ，使得NE DE =， 连接AM ，AN ，MD ，CN ． 由90ABC AED ∠=∠=°，AMC △，ADN △是等腰三角形，F 是CD 中点，则BF //MD ，12BF MD =，EF//CN ，12EF CN =，MAD CAN △≌△，MD CN =，∴BF EF =，此题的两种解法中综合了中点的三个基本用法：等腰三角形三线合一；直角三角形斜边中线；中位线，即以下三个模型：图2图1MNN MACBDEF F EDB CA例题7FEDB C A（1）如图1-1，在ABC△中，点D是BC中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，延长BE 交AC于F．若AB=10厘米，AC=16厘米，则DE的长度为__________．（2）如图1-2，已知，在四边形ABCD中，AD BC=，P是对角线BD的中点，N是DC 的中点，M是AB的中点，30DBC∠=︒，70ADB∠=︒．求MNP∠度数．图1-1 图1-2【解析】（1）3厘米；（2）∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，M、N分别是AB、CD的中点，∴NP，PM分别是CDB△与DAB△的中位线，∴12PN BC=，12PM AD=，PN//BC，PM//AD，∴30NPD DBC∠=∠=︒，70MPB ADB∠=∠=︒，∴110DPM∠=︒；∴140NPM∠=︒，∵AD BC=；∴PN PM=，故NMP△是等腰三角形．∵140NPM∠=︒，∴20PMN PNM∠=∠=︒．复习巩固模块一三角形中位线演练1（1）如图2-1,ABC △中，过点A 分别作ABC ∠、ACB ∠的外角平分线．．．．．的垂线．．AD 、AE ，垂足为D 、E ．求证：①//ED BC ；②1()2ED AB AC BC =++．（2）（四川省中考题）如图2-2,已知：AD 是ABC △的中线，AE 是ABD △的中线，且AB BD =，求证：2AC AE =．图2-1 图2-2【解析】（1）①分别延长AD 、AE 与直线BC 交于点F 、G ，∵BD ⊥AD ，且BD 为ABF ∠的角平分线∴AD FD =，且AB BF =（等腰三角形的三线合一） 同理可得AE GE =，AC GC =， ∴DE 为AFG △的中位线，∴ED //BC ，且12DE FG =．②由（1）知12DE FG =，且AB BF =，AC GC =，∴111()()222ED FG=FB BC CG AB BC AC =++=++．（2）取AC 的中点F ，连结DF ，易得DF//AB ，12DF AB =，ADF BAD ∠=∠，而1122DE BD AB ==，故DF DE =．再证ADE ADF △≌△，∴AE AF =，∴2AC AE =．C ED BA演练2CF E D B A（1）如图3-1，四边形ABCD 中，90ADC ∠=︒，取AC 中点O ，BC 中点E ，连接OD 、OE 、DE ，20CAD CAB ∠=∠=︒，则DOE ∠=__________．（2）如图3-2所示，ABC △中，AH BC ⊥于H ，点E 、D 、F 分别是AB 、BC 、AC 的中点，10cm HF =，则ED 的长度是__________．图3-1 图3-2【解析】（1）60︒．（2）10cm ．（1）如图4-1，在ABC △中，2B C ∠=∠，M 是BC 中点，AD BC ⊥于D ．求证：12DM AB =．（2）如图4-2，已知：ABD △和ACE △都是直角三角形，且90ABD ACE ∠=∠=︒，BAD CAE ∠=∠．连接DE ，设M 为DE 的中点．求证：MB MC =．【解析】（1）法一：取AB 中点G ，连结GD 、GM ，则12GD AB =，GM AC ∥．则GMD C ∠=∠． 而GD GB B GDB GMD DGM =⇒∠=∠=∠+∠ C DGM =∠+∠，由于2B C ∠=∠，所以DGM C GMD ∠=∠=∠．∴12MD GD AB ==． OEDC B AMEDCBA模块二直角三角形斜边中线演练3模块三中点辅助线综合演练4CAB GNDMC AB D M法二：同理可以取AC的中点N，连接DN，MN．（2）如图，分别取AD、AE的中点P、Q，连接PB、PM、QC、QM，由P、M、Q分别是AD、DE、AE的中点，∴PM//AE，12PM AE=，QM//AD，12QM AD=，∵ABD△、ACE△是直角三角形，∴12PB AD=，12CQ AE=，∴PB QM=，PM QC=，∵BAD CAE∠=∠，∴ADB AEC∠=∠，∴DPB CQE∠=∠，由AD//QM，AE//PM，∴APM AQM∠=∠，∴BPM MQC∠=∠，∴BPM MQC△≌△，∴MB MC=．QPAB CDE M图3。

专题03 三角形的证明——两线（中垂线和角平分线）考点一线段垂直平分线的性质【方法点拨】线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．【典例剖析】1．（2019秋•宁德期末）若有三点A、B、C不在同一条直线上，点P满足P A＝PB＝PC，则平面内这样的点P有（）A．1个B．2个C．1个或2个D．无法确定2．（2019秋•大冶市期末）如图，DE是△ABC中AC边上的垂直平分线，如果BC＝8cm，AB＝10cm，则△EBC的周长为（）A．16 cm B．18cm C．26cm D．28cm3．（2019秋•满城区期末）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABC的周长为22，BE＝4，则△ABD的周长为（）A．14B．18C．20D．264．（2018秋•鞍山期末）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长是cm．5．（2019秋•吉林期末）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长＝cm．6．（2018秋•临河区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的中垂线DE交AC于D，交AB于E，下述结论：（1）BD平分∠ABC；（2）AD＝BD＝BC；（3）△BDC的周长等于AB+BC；（4）D是AC 中点．其中正确的命题序号是．7．（2019•雨花区校级模拟）a，b分别代表铁路和公路，点M、N分别代表蔬菜和杂货批发市场．现要建中转站O点，使O点到铁路、公路距离相等，且到两市场距离相等．请用尺规画出O点位置，不写作法，保留痕迹．8．（2019春•滕州市期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE．（1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数；（2）若△ABC周长13cm，AC＝6cm，求DC长．9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与P A相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝6，BC＝8，P A＝2，求线段DE的长．10．（2019秋•阜宁县期中）如图，已知△ABE，AB、AE边上的垂直平分线m1、m2交BE分别为点C、D，且BC＝CD＝DE，求∠BAE的度数．考点二角平分线的性质【方法点拨】角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE【典例剖析】1．（2019秋•宁德期末）如图，OP平分∠MON，P A⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若P A ＝2，则PQ的最小值为（）A．1B．2C．3D．42．（2019秋•博兴县期中）如图所示，在△ABC中，AC⊥BC，AE为∠BAC的平分线，DE⊥AB，AB＝7cm，AC＝3cm，则BD等于（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm3．（2019秋•樊城区期末）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP 就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（）A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D．以上均不正确4．（2019秋•包河区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD是△ABC的角平分线，BC＝10cm，BD：DC＝3：2，则点D到AB的距离为．5．（2019秋•宁德期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，BC＝10cm，BD＝7cm，则点D 到AB的距离为cm．6．（2019秋•长春期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，CD＝4，则点D 到AB的距离为．7．（2019春•密山市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC 上，BE＝FC．求证：BD＝DF．8．（2018秋•淮上区期末）已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F、G分别是OA、OB上的点，且PF＝PG，DF＝EG．求证：OC是∠AOB的平分线．9．（2019秋•蒙阴县期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．（1）求证：CF＝EB．（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．10．（2018秋•崇左期末）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC 于F．（1）说明BE＝CF的理由；（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．考点三尺规组图【方法点拨】作图—尺规作图的定义（1）尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．（2）基本要求它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同．直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度．圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度．8．作图—基本作图基本作图有：（1）作一条线段等于已知线段．（2）作一个角等于已知角． （3）作已知线段的垂直平分线． （4）作已知角的角平分线． （5）过一点作已知直线的垂线．【典例剖析】1．（2019秋•苍南县期中）用直尺和圆规作一个角的角平分线的示意图如图所示，其中说明△COE ≌△DOE 的依据是（ ）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS2．（2019秋•襄州区期末）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，按以下步骤作图：①分别以A ，B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于两点M ，N ；②作直线MN 交AB 于点D ，交BC 于点E ，连接AE ．若∠B ＝15°，则∠EAC 等于（ ）A ．22.5°B ．30°C ．45°D ．60°3．（2019秋•黄石期末）角平分线的作法（尺规作图）①以点O 为圆心，任意长为半径画弧，交OA 、OB 于C 、D 两点；②分别以C 、D 为圆心，大于CD 长为半径画弧，两弧交于点P ；③过点P 作射线OP ，射线OP 即为所求．角平分线的作法依据的是（ ）A ．SSSB ．SASC ．AASD ．ASA4．（2018秋•单县期末）如图，已知∠AOB ．小明按如下步骤作图：（1）以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于D ，交OB 于点E ．（2）分别以D ，E 为圆心，大于12DE 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点C ．（3）画射线OC ．根据上述作图步骤，下列结论正确的有（ ）个①射线OC 是∠AOB 的平分线②点O 和点C 关于直线DE 对称③射线OC 垂直平分线段DE④OD ＝DCA ．1B ．2C ．3D ．45．（2018秋•兴城市期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，分别以A 和B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于M ，N 两点，作直线MN 分别交AB 、AC 于点F 、D ，作DE ⊥BC 于E ．有下面三个结论：①BD 平分∠ABC②DE ＝DF③BC +CD ＝2AF其中，正确的结论的个数是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．06．（2019秋•硚口区期中）如图，在△ABC 中，分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 、N ，直线MN 与AC 、BC 分别相交于E 和D ，连接AD ，若AE ＝3cm ，△ABC 的周长为13cm ，则△ABD 的周长是（ ）A ．7cmB ．10cmC ．16cmD ．19cm7．（2019秋•临颍县期中）如图是尺规作图法作∠AOB 的平分线OC 时的痕迹图，能判定△OMC ≌△ONC 的理由是（ ）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．HL8．（2019秋•潍城区期中）如图，已知∠AOB ．按照以下步骤作图：①以点O 为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交∠AOB 的两边于C ，D 两点，连接CD ．②分别以点C ，D 为圆心，以大于12CD 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 内交于点E ，连接CE ，DE ③连接OE 交CD 于点M ．下列结论中不一定正确的是A ．∠CEO ＝∠DEOB ．CM ＝MDC ．∠OCD ＝∠ECD D ．S 四边形OCED =12CD •OE9．（2019秋•惠州期末）如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于M 、N 两点，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ．（1）根据作图判断：△ABD 的形状是 ；（2）若BD ＝10，求CD 的长．10．（2019秋•长春期末）如图，AB ∥CD ，以点A 为圆心，小于AC 长为半径作圆弧，分别交AB ，AC 于E ，F 两点，再分别以E ，F 为圆心，大于12EF 长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P ，连接AP ，交CD 于点M ，若∠ACD ＝110°，求∠CMA 的度数．。

专题02 三角形的高、中线、角平分线重点突破知识点一三角形的高概念：从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。

知识点二三角形的中线概念：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。

性质：三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心”。

重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。

（选学）三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。

知识点三三角形的角平分线概念：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。

考查题型考查题型一画三角形的高典例1（2020·泉州市期中）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）A．B．C．D．变式1-1．（2018·梁平区期末）在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为( )A．1个B．2个C．3个D．4个变式1-2．（2020·海淀区期末）用直角三角板，作△ABC的高，下列作法正确的是（）A．B．C．D．变式1-3．（2020·苏州市期中）如图，∠ACB＞90°，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为点D、点E、点F，△ABC中AC边上的高是（）A．CF B．BE C．AD D．CD变式1-4．（2019·杭州市期中）如图AD⊥BC于点D，那么图中以AD为高的三角形的个数有（）A．3 B．4 C．5 D．6考查题型二与三角形高有关的计算典例2．（2019·济南市期中）如图，在直角三角形ABC中，点B沿CB所在直线远离C点移动，下列说法错误的是( )A．三角形面积随之增大B．∠CAB的度数随之增大C ．BC 边上的高随之增大D ．边AB 的长度随之增大变式2-1．（2020·毕节市期末）如图，△ABC 中，D ，E 分别是BC 上两点，且BD=DE=EC ，则图中面积相等的三角形有（ ）A ．4对B ．5对C ．6对D ．7对变式2-2．（2020·龙岩市期中）如图，AD ，CE 是△ABC 的两条高，已知AD=10，CE=9，AB=12，则BC 的长是（ ）A ．10B ．10.8C ．12D ．15变式2-3．（2018·合肥市期中）如图所示，AD CE BF 、、是ABC ∆的三条高，654AB BC AD ===，，，则CE =（ ）A ．245B ．152C ．103D ．3变式2-4．（2018·烟台市期末）如图，在△ABC 中，CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高，并且CD 、BE 交于点P ，若∠A=50°，则∠BPC 等于（ ）A ．90°B ．130°C ．270°D ．315°变式2-5．（2019·荆门市期末）如图，三角形ABC ，∠BAC =90︒，AD 是三角形ABC 的高，图中相等的是（ ）．A ．∠B =∠C B ．∠BAD=∠B C ．∠C =∠BAD D ．∠DAC=∠C变式2-6．（2019·济南市期中）如图△ABC 中，分别延长边AB ，BC ，CA ，使得BD ＝AB ，CE ＝2BC ，AF ＝3CA ，若△ABC 的面积为1，则△DEF 的面积为( )A ．12B ．14C ．16D ．18考查题型三 三角形中线有关的长度计算典例3．（2018·秦皇岛市期中）如图，AE 是ABC 的中线，已知EC 4=，DE 2=，则BD 的长为( )A ．2B ．3C ．4D ． 6变式3-1．（2019·肇庆市期中）已知AD 是△ABC 的中线，且△ABD 比△ACD 的周长大3cm ，则AB 与AC 的差为( ) A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．6cm变式3-2．（2020·哈尔滨市期中）如图，三角形ABC 中，D 为BC 上的一点，且S △ABD =S △ADC ，则AD 为（ ）A ．高B ．角平分线C ．中线D ．不能确定变式3-3．（2019·临清市期末）如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，△ADC 的周长比△ABD 的周长多5cm ，AB 与AC 的和为13cm ，那么AC 的长为（ ）A ．8cmB ．9cmC ．10cmD ．11cm考查题型四 三角形中线有关的面积计算典例4．（2020·渠县期中）如图，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别为边BC ，AD ，CE 的中点， 且△ABC 的面积为4cm 2，则△BEF 的面积等于（ ）A．2cm2B．1cm2C．0．5 cm2D．0．25 cm2变式4-1．（2018·鄂尔多斯市期中）如图，△ABC的面积为12cm2，点D在BC边上，E是AD的中点，则△BCE的面积是（）A．4cm2B．6cm2C．8cm2D．6cm2变式4-2．（2019·沧州市期末）如图，D，E，F分别是边BC，AD，AC上的中点，若S阴影的面积为3，则△ABC 的面积是（）A．5 B．6 C．7 D．8变式4-3．（2019·温州市期中）如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，E，F分别是AD，BE的中点，连结CE，CF，若S△CEF＝5，则△ABC的面积为（）A．15 B．20 C．25 D．30考查题型五三角形重心的有关性质典例5．（2019·北京市期中）如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（）A．三边高的交点B．三条角平分线的交点C．三边垂直平分线的交点D．三边中线的交点变式5-1．（2019·泉州市期中）如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，AD和BE相交于点G，若AD=6，则AG的长度为（）A．2 B．3 C．4 D．5考查题型六三角形的角平分线典例6．（2019·滨州市期末）如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（）A．59°B．60°C．56°D．22°变式6-1．（2019·宁德市期末）如图，已知AE是ΔABC的角平分线，AD是BC边上的高．若∠ABC=34°，∠ACB=64°，则∠DAE的大小是（）A．5°B．13°C．15°D．20°变式6-2．（2019·信阳市期中）如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为7，AB=4，DE=2，则AC的长是（）A．4 B．3 C．6 D．5变式6-3．（2019·合肥市期中）如图所示，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，且∠B=76°，∠C=36°，则∠DAE 等于（）A．20°B．18°C．45°D．30°变式6-4．（2020·泰兴市期中）如图，BE、CF是△ABC的角平分线，∠A=50°，BE、CF相交于D，则∠BDC的度数是（）A．115°B．110°C．100°D．90°变式6-5．（2019·西安市期末）如图，点O在ABC内，且到三边的距离相等，若∠A=60°，则∠BOC的大小为( )A．135°B．120°C．90°D．60°。

三角形的中线与垂心三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条边和三个内角组成。

在三角形的研究中，中线和垂心是两个重要的概念。

本文将介绍三角形的中线和垂心，并探讨它们的性质和应用。

一、中线的定义与性质中线是三角形的内部直线，连接一个顶点与对边的中点。

对于任意三角形ABC，连接顶点A与对边BC中点的线段即为三角形ABC的中线AD（如图1所示）。

[图1：中线示意图]三角形的中线具有以下性质：1. 三角形的三条中线交于一点，该点被称为三角形的重心。

重心是三角形的重要几何中心，它与三角形的顶点到对边的距离成正比。

2. 中线等分对边。

三角形的中线将对边等分为两段，且两段长度相等。

3. 三角形中线的长度满足中线定理，即中线长度的平方等于两段对边长度的平方和的一半。

二、垂心的定义与性质垂心是三角形的内部点，它与三个顶点分别连成的线段，称为三角形的垂线。

对于任意三角形ABC，三个顶点分别与对边上的垂足连线的交点即为三角形ABC的垂心H（如图2所示）。

[图2：垂心示意图]三角形的垂心具有以下性质：1. 垂心是三角形三条垂线的交点，垂心到三边上的垂足的距离相等。

2. 垂心到三条边的距离满足垂心定理，即垂心到三边距离的乘积等于三边上垂足到顶点距离的乘积。

三、中线与垂心的应用中线和垂心是解决三角形相关问题的重要工具。

它们在几何学和应用数学中有广泛的应用。

1. 中线的应用中线在三角形中起到了连接和等分作用，可以用于构造和证明三角形的性质。

比如，利用中线可以证明三角形的对称性、不能成立的等边三角形、面积等分等问题。

在解决实际问题中，中线也有重要的应用，比如求解三角形的重心，确定三角形平衡点等。

2. 垂心的应用垂心是三角形内角的垂线交点，它在求解三角形性质和问题中扮演着重要角色。

例如，垂心可以用于证明三角形的垂直性质、相似性质、共垂线问题等。

在应用数学中，垂心也有许多实际应用，如在雷达站、天文观测、航空导航等领域中，通过测量垂心和其他几何中心的位置可以帮助确定物体的位置和移动方向。

垂线段最短问题是一个经典的几何问题，也是数学中的重要知
识点之一。

下面是一个关于垂线段最短的压轴题，供您参考：
题目：在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D点，E
为CD的中点，延长BE交AC的延长线于点F。

求证：CF=CE。

证明：
第一步，由题意知，CD⊥AB于D点，E为CD的中点，所以
CE=ED。

第二步，因为∠ACB=90°，所以∠ACD+∠BCD=90°。

又因为
CD⊥AB，所以∠B+∠BCD=90°。

所以∠ACD=∠B。

第三步，由于∠ACD=∠B，并且∠ACF=∠BCD=90°，所以
△ACF∽△BCD。

因此，有CD/AF=BD/CF。

第四步，由于E是CD的中点，所以CE=ED=1/2CD。

又因为
BD=ED-BE=1/2CD-BE。

根据第二步得出的∠ACD=∠B和第三步的结论，我们有：CF=2BE。

综上，CF=2BE，且E是CD的中点，所以CF=CE。

第七章三角形【知识要点】一．认识三角形1．关于三角形的概念及其按角的分类定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2．三角形的分类：①三角形按内角的大小分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

②三角形按边分为两类：等腰三角形和不等边三角形。

2．关于三角形三条边的关系（判断三条线段能否构成三角形的方法、比较线段的长短）根据公理“两点之间，线段最短”可得：三角形任意两边之和大于第三边。

三角形任意两边之差小于第三边。

3．与三角形有关的线段．．：三角形的角平分线、中线和高三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与对边相交形成的线段；三角形的中线：连接三角形的一个顶点与对边中点的线段，三角形任意一条中线将三角形分成面积相等的两个部分；三角形的高：过三角形的一个顶点做对边的垂线，这条垂线段叫做三角形的高。

注意：①三角形的角平分线、中线和高都是线段，不是直线，也不是射线；②任意一个三角形都有三条角平分线，三条中线和三条高；③任意一个三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的内部。

但三角形的高却有不同的位置：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有一条高在三角形的内部，另两条高恰好是它两条直角边；钝角三角形一条高在三角形的内部，另两条高在三角形的外部。

④一个三角形中，三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于一点。

（三角形的三条高（或三条高所在的直线）交与一点，锐角三角形高的交点在三角形的内部，直角三角形高的交点是直角顶点，钝角三角形高（所在的直线）的交点在三角形的外部。

）4．三角形的内角与外角（1）三角形的内角和：180°引申：①直角三角形的两个锐角互余；②一个三角形中至多有一个直角或一个钝角；③一个三角中至少有两个内角是锐角。

（2）三角形的外角和：360°（3）三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；——常用来求角度②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。

重难专题03 全等三角形的垂线模型如图，在ABC V 中，90ABC Ð=°，过点C 作CD AC ^，且CD AC =，连接BD ，若92BCD S =V ，则BC 的长为________．证得BC DM =成为解答本题的关键．如图，在ABC V 中，以AB AC 、为腰作等腰直角三角形ABE 和等腰直角三角形ACF ．连接EF AD ，为BC 边上的高线，延长DA 交EF 于点N ，下列结论：（1）FAN ACD Ð=Ð；（2）FNA ADC ≌V V ；（3）EN FN =；（4）AEF ABC S S =V V ，其中正确的结论有____________(填序号)．【分析】根据9090EAN BAD ABC BAD Ð+Ð=°Ð+Ð=°，，利用同角的余角相等即可判断（1）；过E 作EH DN ^于点H ，过F 作FG DN ^，交DN 的延长线于点G ，利用K 字型全等，易证AEH BAD ≌V V ，从而判断（2）；同理可证AFG CAD ≌V V ，可得GF AD EH ==，再证EHN FGN ≌V V ，即可判断（4）；最后根据AEF AEH EHN AFN S S S S =++V V V V ，结合全等三角形即可判断（3）．【详解】解：∵AD 为BC 边上的高，90EAB =°，∴9090EAN BAD ABC BAD Ð+Ð=°Ð+Ð=°，，∴EAN ABC Ð=Ð，故(1)正确；如图所示，过E 作EH DN ^于点H ，过F 作FG DN ^，交DN 的延长线于点G ，∵ABE V 为等腰直角三角形，∴AE AB =，在AEH △与BAD V 中，∵90AHE BDA EAH ABD AE AB Ð=Ð=°ìïÐ=Ðíï=î，∴()AAS AEH BAD ≌V V ，∴EAN V 与BAD V 不全等，故（2）错误；同理可证()AAS AFG CAD ≌V V ，∴FG AD =，又∵AEH BAD ≌V V ，∴EH AD =，∴F G E H =，在EHN △和FGN V 中，∵90ENH FNG EHN FGN EH FG Ð=ÐìïÐ=Ð=°íï=î，∴()AAS EHN FGN ≌V V ，∴EN FN =，故（4）正确；∵AEH BAD AFG CAD EHN FGN ≌，≌，≌V V V V V V ，∴AEF AEH EHN AFNS S S S =++V V V V ABD FGN AFNS S S =++V V V ABD AFGS S =+V V ABD CADS S =+V V ABC S =V ．故（3）正确；综上：正确的有（1）（3）（4）．故答案为：（1）（3）（4）．【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定定理和性质，掌握K 字型全等，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．（1）如图，CAB DAB Ð=Ð，BC BD =．求证：ABC ABD △≌△．（2）如图，ABC ABD Ð=Ð，AC AD =．求证：ABC ABD △≌△．【分析】（1）过点B 分别作BE AC ^，BF AD ^，垂足分别为E 、F ，通过三角形全等得到C D Ð=Ð，即可求解；（2）过点A 分别作AE BD ^，AF BC ^，垂足分别为E 、F ，通过角之间的关系得到点A 在EBF Ð的平分线上，再通过三角形全等得到C D Ð=Ð，即可求解；【详解】（1）证明：过点B 分别作BE AC ^，BF AD ^，垂足分别为E 、F90BEC BFD \Ð=Ð=°．CAB DAB Ð=ÐQ ，即点B 在CAD Ð的平分线上，BE AC ^，BF AD ^，垂足分别为E 、F ，BE BF \=．在Rt BCE V 和Rt BDF △中，,,BC BD BE BF =ìí=îRt Rt ()BCE BDF HL \△≌△．C D \Ð=Ð．在ABC V 和ABD △中，,,,C D CAB DAB AB AB Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î()ABC ABD AAS \V V ≌．（2）证明：如图，过点A 分别作AE BD ^，AF BC ^，垂足分别为E 、F90AED AFC \Ð=Ð=°．180ABC ABF ABD ABE Ð+Ð=Ð+Ð=°Q ，ABC ABD Ð=Ð，ABF ABE \Ð=Ð．即点A 在EBF Ð的平分线上．AE BD ^Q ，AF BC ^，垂足分别为E 、F ，AE AF \=．在Rt AED △和Rt AFC △中，,,AD AC AE AF =ìí=î()Rt Rt AED AFC HL \△≌△．C D \Ð=Ð．在ABC V 和ABD △中，,,,C D ABC ABD AB AB Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î()ABC ABD AAS \△△≌．【点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解题的关键是根据题意构造全等的直角三角形．如图1，已知ABC V 中，90BAC Ð=o ，AB AC =，DE 是过A 的一条直线，且B ，C 在D ，E 的同侧，BD AE ^于D ，CE AE ^于()E BD CE <．（1）证明：ABD CAE @V V ；（2）试说明：BD DE CE =-；（3）若直线DE 绕A 点旋转到图2位置（此时B ，C 在D ，E 的异侧）时，其余条件不变，问BD 与DE ，CE 的关系如何？请证明；（4）若直线DE 绕A 点旋转到图3位置（此时B ，C 在D ，E 的同侧）时()BD CE >其余条件不变，问BD 与DE ，CE 的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由．【分析】（1）根据题意可得ABD EAC Ð=Ð，结合BDA AECÐ=Ð，AB AC =直接用AAS 证明三角形全等即可；（2）根据（1）的结论ABD CAE ≌V V ，进而可得BD DE CE =-；（3）方法同（1）证明ABD CAE ≌V V ，进而可得BD DE CE=+（4）方法同（1）结论同（2）证明ABD CAE ≌V V ，进而可得BD DE CE =-．【详解】（1）证明：∵90BAC Ð=o ，∴90BAD EAC Ð+Ð=o ．又∵BD AE ^ ，CE AE ^，∴90BDA AEC Ð=Ð=o ，90BAD ABD Ð+Ð=o ，∴ABD EAC Ð=Ð．又∵AB AC =，∴()ABD CAE AAS V V ≌．（2） 解：∵ABD CAE ≌V V ，∴BD AE =，AD CE =．又∵ED AD AE =+，∴BD DE CE =-．（3） 解：∵90BAC Ð=o ，∴90BAD EAC Ð+Ð=o ．又∵BD AE ^ ，CE AE ^，∴90BDA AEC Ð=Ð=o ，90BAD ABD Ð+Ð=o ，∴ABD EAC Ð=Ð．又∵AB AC =，∴ABD CAE ≌V V ．∴BD AE =，AD CE =，AE AD DE =+，∴BD DE CE =+．（4） 解：BD DE CE =-．理由如下：∵90BAC Ð=o ，∴90BAD EAC Ð+Ð=o ．又∵BD AE ^ ，CE AE ^，∴90BDA AEC Ð=Ð=o ，90BAD ABD Ð+Ð=o ，∴ABD CAE Ð=Ð．又∵AB AC =，∴ABD CAE ≌V V ，∴BD AE =，AD CE =．又∵ED AD AE =+，∴BD DE CE =-．【点拨】本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图1，在ABC V 中，90ACB Ð=°，AC BC =，线段DE 经过点C ，且AD DE ^于点D ，BE DE ^于点E ．求证：AD CE =，CD BE =”这个问题时，只要证明ADC CEB △≌△，即可得到解决，积累经验：（1）请写出证明过程；类比应用：（2）如图2，在平面直角坐标系中，ABC V 中，90ACB Ð=°，AC BC =，点A 的坐标为()0,2，点C 的坐标为()1,0，求点B 与x 轴的距离．拓展提升：（3）如图3，ABC V 在平面直角坐标系中，90ACB Ð=°，AC BC =，点A 的坐标为()2,1，点C 的坐标为()4,2，求点B 的坐标．【分析】（1）根据AD ⊥DE 、BE ⊥DE得到∠D =∠E =90°，再根据直角三角形的性质以及同角的余角相等，推出∠DAC =∠BCE ，进而证明△ADC ≌△CEB ，最后再根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，通过证明△AOC ≌△CEB ，进而得出CO =BE ，再根据点C 的坐标即可得到结果；（3）过点C 作CF ⊥x 轴于点F ，再过点A 、B 分别作AE ⊥CF ，BD ⊥CF ，通过证明△CDB ≌△AEC ，进而得出BD =CE ，AE =CD ，最后根据点A 的坐标为(2，1)，点C 的坐标为(4，2)即可求出点B 坐标．【详解】解：（1）证明：∵,AD DE BE DE ^^，∴90D E Ð=Ð=°，∴90DAC ACD Ð+Ð=°，又∵90ACB Ð=°，∴90ACD BCE Ð+Ð=°，∴DAC BCE =ÐÐ，在ADC △和CEB V 中，D E DAC BCE AC BC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴ADC △≌CEB V ，∴,AD CE CD BE ==；（2）如图，过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，∵=90AOC а，∴90OAC ACOÐ+Ð=°，又∵90ACB Ð=°，∴90ACO BCE Ð+Ð=°，∴OAC BCE Ð=Ð，在AOC V 和CEB V 中，90AOC CEB OAC ECB AC BC Ð=Ð=°ìïÐ=Ðíï=î，∴AOC V ≌CEB V ，∴CO BE =，又∵点C 的坐标(1，0)，∴1CO =，∴1BE =，即点B 到x 轴的距离是1；（3）如图，过点C 作CF ⊥x 轴于点F ，再过点A 、B 分别作AE ⊥CF ，BD ⊥CF ，∵,AE CF BD CF ^^，∴90AEC CDB Ð=Ð=°，又∵90ACB Ð=°，∴90ACE BCD Ð+Ð=°，∴CAE BCD Ð=Ð，在ACE △和BCD △中，AEC CDB CAE BCD AC BC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴ACE △≌CBD △，∴,BD CE AE CD ==，又∵A 的坐标为(2，1)，点C 的坐标为(4，2)，∴211CE BD==-=，422CD AE ==-=，设B 点坐标为(a ，b )，则a =4－1=3，b =2+2=4，∴点B 的坐标为(3，4)．【点拨】本题综合考查了全等三角形的判定与性质以及平面直角坐标系中求点坐标的综合应用问题，学会构建“一线三等角”模型，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．在ABC V 中，90,ACB AC BC Ð=°=，过点C 作直线MN ，过点A 作AM MN ^于点M ，过点B 作BN MN ^于点N ．（1）如图1，当直线MN 在ABC V 外时，证明：MN AM BN =+．（2）如图2，当直线MN 经过ABC V 内部时，其他条件不变，则,AM BN 与MN 之间有怎样的数量关系？请说明理由．【分析】（1）根据题目条件可以证明AMC CNB △≌△，然后根据全等的性质就可以证得结论；（2）依然是证明AMC CNB △≌△，再根据全等对应边相等即可得出结论；【详解】（1）证明：∵,AM MN BN MN ^^，∴90MAC ACM Ð+Ð=°．∵90ACB Ð=°，∴90NCB ACM Ð+Ð=°，∴MAC NCB Ð=Ð．在AMC V 和CNB V 中，,,,AMC CNB MAC NCB AC CB Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î∴()AMC CNB AAS V V ≌，∴,AM CN MC NB ==．∵MN MC CN =+，∴MN AM BN =+．（2）解：MN BN AM =-．∵,AM MN BN MN ^^，∴90AMC CNB Ð=Ð=°．∴90MAC ACM Ð+Ð=°．∵90ACB Ð=°，∴90NCB ACM Ð+Ð=°，∴MAC NCB Ð=Ð．在AMC V 和CNB V 中，,,,AMC CNB MAC NCB AC CB Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î∴()AMC CNB AAS V V ≌，∴,AM CN MC NB ==．∵MN MC CN =-，∴MN BN AM =-．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，能熟练运用直角三角形的性质，全等三角形的判定是解决本题的关键，本题图形虽然变了，但解题思路不变．一、单选题1．如图，90ACB Ð=°，AC BC =，AE CE ^于点E ，BD CD ^于点D ，5cm AE =，2cm BD =，则DE 的长是（ ）A ．8cmB ．4cmC ．3cmD ．2cm【答案】C 【分析】根据已知条件，观察图形得CAE ACD ACD BCD Ð+Ð=Ð+Ð，CAE BCD Ð=Ð，然后证AEC CDB D @D 后求解．【详解】解：90ACB Ð=°Q ，AC BC =，AE CE ^于E ，BD CE ^于D ，CAE ACD ACD BCD \Ð+Ð=Ð+Ð，CAE BCD \Ð=Ð，又90AEC CDB Ð=Ð=°Q ，AC BC =，AEC CDB \D @D ．2CE BD \==，5CD AE ==，523()ED CD CE cm \=-=-=．故选：C ．【点拨】本题考查了直角三角形全等的判定方法；题目利用全等三角形的判定和性质求解，发现并利用CAE ACD ACD BCD Ð+Ð=Ð+Ð，CAE BCD Ð=Ð，是解题的关键．2．如图，在ABC D 中，90ACB Ð=o ，AC BC =，点C 的坐标为(2,0)-，点A 的坐标为(6,3)-，求点B 的坐标（ ）A ．()3,4B ．()2,3C ．()2,4D ．()1,4【答案】D【分析】由题意过A 和B 分别作AD ⊥OC 于D ，BE ⊥OC 于E ，利用已知条件可证明△ADC ≌△CEB ，再由全等三角形的性质和已知数据即可求出B 点的坐标．【详解】解：过A 和B 分别作AD ⊥OC 于D ，BE ⊥OC 于E ，∵∠ACB =90°，∴∠ACD +∠CAD =90°∠ACD +∠BCE =90°，∴∠CAD =∠BCE ，在△ADC 和△CEB 中，90ADC CBE CAD BCEAC BC ÐаìïÐÐíïî＝＝＝＝∴△ADC ≌△CEB （AAS ），∴DC =BE ，AD =CE ，∵点C 的坐标为（-2，0），点A 的坐标为（-6，3），∴OC =2，AD =CE =3，OD =6，∴CD =OD -OC =4，OE =CE -OC =3-2=1，∴BE =4，∴则B 点的坐标是（1，4）．故选：D .【点拨】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定、坐标与图形特点，本题能根据AAS 证明两三角形全等是关键，利用坐标与图形特点根据坐标写出线段的长，反之，能根据线段的长写出B 的坐标，注意象限的符号问题．3．如图，ABC D 中， BP 平分∠ABC ， AP ⊥BP 于P ，连接PC ，若PAB D 的面积为3.5cm 2，PBC D 的面积为4.5cm 2，则PAC D 的面积为( ).A ．0.25cm 2B ．0.5 cm 2C ．1cm 2D ．1.5cm 2【答案】C 【分析】延长AP ，交BC 于点D ，则可证△ABP ≌△DBP ，可得AP =DP ，△ABP 与△DBP 的面积相等，则△PCD 与△ACP 的面积相等，然后得到△PAC 的面积.【详解】解：如图，延长AP ，交BC 于点D ，∵BP 平分∠ABC ，∴∠ABP =∠DBP ，∵BP =BP ，∠APB =∠DPB =90°，∴△ABP ≌△DBP ，∴AP =DP ， 3.5ABP DBP S S D D ==，∵△PCD 与△ACP 底边相等，高相同，∴APC DPCS S D D =∵ 4.5 3.51DPC PBC DBP S S S D D D =-=-=，∴1APC S D =；故选择：C .【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等．4．如图中，AE ⊥AB 且AE ＝AB ，BC ⊥CD 且BC ＝CD ，若点E 、B 、D 到直线AC 的距离分别为6、3、2，则图中实线所围成的阴影部分面积S 是( )A ．50B ．44C ．38D ．32【答案】D 【分析】由已知和图形根据“K ”字形全等，用AAS 可证△FEA ≌△MAB ，△DHC ≌△CMB ，推出AM =EF =6，AF =BM =3， CM =DH =2，BM =CH =3，从而得出FH =14，根据阴影部分的面积=S 梯形EFHD -S △EFA -S △ABC -S △DHC 和面积公式代入求出即可．【详解】∵AE ⊥AB ，EF ⊥AF ，BM ⊥AM ，∴∠F =∠AMB =∠EAB =90°，∴∠FEA +∠EAF =90°，∠EAF +∠BAM =90°，∴∠FEA =∠BAM ，在△FEA 和△MAB 中F BMA FEA BAM AE AB ÐÐìïÐÐíïî＝＝＝，∴△FEA ≌△MAB （AAS ），∴AM =EF =6，AF =BM =3，同理CM =DH =2，BM =CH =3，∴FH =3+6+2+3=14，∴梯形EFHD 的面积=12EF DH FH +g g （）=126241´+´（）=56，∴阴影部分的面积=S 梯形EFHD -S △EFA -S △ABC -S △DHC =11566322183322-´´-´´-´´=32．故选D．【点拨】本题考查了三角形的面积，梯形的面积，全等三角形的性质和判定等知识点，关键是把不规则图形的面积转化成规则图形的面积．二、填空题5．如图，线段AB =8cm ，射线AN ⊥AB ，垂足为点A ，点C 是射线上一动点，分别以AC ，BC 为直角边作等腰直角三角形，得△ACD 与△BCE ，连接DE 交射线AN 于点M ，则CM 的长为__________．【答案】4cm .【分析】过点E 作EF ⊥AN 于F ，先利用AAS 证出△ABC ≌△FCE ，从而得出AB =FC =8cm ，AC =FE ，然后利用AAS 证出△DCM ≌△EFM ,从而求出CM 的长.【详解】解：过点E 作EF ⊥AN 于F ，如图所示∵AN ⊥AB ，△BCE 和△ACD 为等腰直角三角形，∴∠BAC =∠BCE =∠ACD =∠CFE =90°，BC =CE ，AC =CD∴∠ABC +∠ACB =90°，∠FCE +∠ACB =90°，∴∠ABC =∠FCE ，在△ABC 和△FCE 中BAC CFE ABC FCEBC CE Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î∴△ABC ≌△FCE∴AB =FC =8cm ，AC =FE∴CD =FE在△DCM 和△EFM 中90DMC EMF DCM EFM CD FE Ð=ÐìïÐ=Ð=°íï=î∴△DCM ≌△EFM∴CM =FM =12FC =4cm .故答案为：4cm .【点拨】此题考查的是全等三角形的判定及性质，掌握用AAS 证两个三角形全等是解决此题的关键.6．如图，在平面直角坐标系中，以A （2，0），B （0，1）为顶点作等腰直角三角形ABC （其中∠ABC ＝90°，且点C 落在第一象限），则点C 关于y 轴的对称点C '的坐标为______．【答案】()1,3-【分析】过点C 向y 轴，引垂线CD ，利用△OAB ≌△DBC ，确定DC ，DO 的长度，即可确定点C 的坐标，对称坐标自然确定.【详解】如图，过点C 作CD ⊥y 轴，垂足为D ，∵∠ABC =90°，∴∠DBC +∠OBA =90°，∵∠OAB +∠OBA =90°，∴∠DBC =∠OAB ，∵AB =BC ，∠BDC =∠AOB =90°∴△OAB ≌△DBC ，∴DC =OB ，DB =OA ，∵A （2，0），B （0，1）∴DC =OB =1，DB =OA =2，∴OD =3，∴点C （1,3），∴点C 关于y 轴的对称点坐标为（-1,3），故答案为：（-1,3）.【点拨】本题考查了点的坐标及其对称点坐标的确定，熟练分解点的坐标，利用三角形全等，把坐标转化为线段的长度计算是解题的关键.三、解答题7．如图，在三角形ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，点A ，B 分别在坐标轴上．（1）如图①，若点C 的横坐标为﹣3，点B 的坐标为 ；（2）如图②，若x 轴恰好平分∠BAC ，BC 交x 轴于点M ，过点C 作CD 垂直x 轴于D 点，试猜想线段CD 与AM 的数量关系，并说明理由；（3）如图③，OB ＝BF ，∠OBF ＝90°，连接CF 交y 轴于P 点，点B 在y 轴的正半轴上运动时，△BPC 与△AOB 的面积比是否变化？若不变，直接写出其值，若变化，直接写出取值范围．【答案】（1）（0，3）；（2）AM ＝2CD ，理由见解析；（3）不变，12【分析】（1）过点C 作CH ⊥y 轴于H ，由全等三角形的判定定理可得ABO BCH V V ≌，可得3CH BO ==，即可求解；（2）延长AB ，CD 交于点N ，由全等三角形的判定定理可得ADN ADC V V ≌，得出CD DN =，再依据全等三角形判定定理证明ABM CBN V V ≌，可得AM CN =，即可得结论；（3）如图③，作CG ⊥y 轴于G ，由全等三角形判定定理可得BAO CBG V V ≌，得出BG AO =，CG OB =，再依据全等三角形的判定可证CGP FBP V V ≌，得出PB PG =，可得1122PB BG AO ==，由三角形面积公式可求解．【详解】解：（1）如图①，过点C 作CH ⊥y 轴于H ，∴90BHC ABC Ð=°=Ð，∴90BCH CBH ABH CBH Ð+Ð=Ð+Ð=°，∴BCH ABH Ð=Ð，∵点C 的横坐标为﹣3，∴3CH =，在ABO V 和BCH V 中，BCH ABH BHC AOB BC AB Ð=ÐìïÐÐíï=î＝，∴ABO BCH V V ≌，∴3CH BO ==，∴点B （0，3）；故答案为：（0，3）；（2）2AM CD =，如图②，延长AB ，CD 交于点N，∵AD 平分BAC Ð，∴BAD CAD Ð=Ð，在ADN V 和ADC V 中，90BAD CAD AD AD ADN ADC Ð=Ðìï=íïÐ=Ð=°î，∴ADN ADC V V ≌，∴CD DN =，∴2CN CD =，∵90BAD Ð+Ð=°N ，90BCN Ð+Ð=°N ，∴BAD BCN Ð=Ð，在ABM V 和CBN V 中，BAM BCN BA BC ABM CBN Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴ABM CBN V V ≌，∴AM CN =，∴2AM CD =；（3）△BPC 与△AOB 的面积比不会变化，理由：如图③，作CG ⊥y 轴于G，∵90BAO OBA Ð+а＝，90OBA CBG Ð+а＝，∴BAO CBG ÐÐ＝，在BAO V 和CBG V 中，90AOB BGC BAO CBG AB BC Ð=Ð=°ìïÐÐíï=î＝，∴BAO CBG V V ≌，∴BG AO ＝，CG OB ＝，∵OB BF ＝，∴BF GC ＝，在CGP V 和FBP V 中，90CPG FPB CGP FBP CG BF Ð=ÐìïÐÐ=°íï=î＝，∴CGP FBP V V ≌，∴PB PG ＝，∴1122PB BG AO ==，∵12AOB S OB OA D =´´，111222PBC S PB GC OB OA D =´´=´´´，∴12PBC AOB S S D D =：．【点拨】题目主要考查全等三角形的判定定理和性质，理解题意，作出相应辅助线，充分运用全等三角形的判定是解题关键．8．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求证：AB＝CD．分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF；②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G．（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）见解析；【分析】（1）①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF，△BEF≌△CED，∠BAE＝∠F，AB＝CD；②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G，△BEF≌△CEG△BAF≌△CDG，AB＝CD；（2）如图3，过C点作CM∥AB，交DE的延长线于点M，则∠BAE＝∠EMC，△BAE≌△CFE（AAS），∠F＝∠EDC，CF＝CD，AB＝CD；【详解】（1）①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF，∵点E 是BC 的中点，∴BE ＝CE ，在△BEF 和△CED 中，BE CE BEF CED EF ED =ìïÐ=Ðíï=î，∴△BEF ≌△CED （SAS ），∴BF ＝CD ，∠F ＝∠CDE ，∵∠BAE ＝∠CDE ，∴∠BAE ＝∠F ，∴AB ＝BF ，∴AB ＝CD ；②如图2，分别过点B 、C 作BF ⊥DE ，CG ⊥DE ，垂足分别为点F ，G ，∴∠F ＝∠CGE ＝∠CGD ＝90°，∵点E 是BC 的中点，∴BE ＝CE ，在△BEF 和△CEG 中，90F CGF BEF CEG BE CE Ð=Ð=°ìïÐ=Ðíï=î，∴△BEF ≌△CEG （AAS ），∴BF ＝CG ，在△BAF 和△CDG 中，90BAE CDE F CGD BF CG Ð=ÐìïÐ=Ð=°íï=î，∴△BAF ≌△CDG （AAS ），∴AB ＝CD ；（2）如图3，过C 点作CM ∥AB ，交DE 的延长线于点M ，则∠BAE ＝∠EMC ，∵E 是BC 中点，∴BE ＝CE ，在△BAE 和△CME 中，BAE CME BEA CEM BE CE Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△BAE ≌△CFE （AAS ），∴CF ＝AB ，∠BAE ＝∠F ，∵∠BAE ＝∠EDC ，∴∠F ＝∠EDC ，∴CF ＝CD ，∴AB ＝CD ．【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，对顶角相等，平行线的性质，构造出全等三角形是解本题的关键．9．在△ABC 中，AC =BC ，直线MN 经过点C ，AD ⊥MN 于点D ，BE ⊥MN 于点E ，且AD =CE ；（1）当直线MN 绕点C 旋转到如图1的位置时，求证：AC ⊥BC ．（2）判断AD 、BE 、DE 这三条线段之间的数量关系，并说明理由．（3）当直线MN 绕点C 旋转到如图2的位置时，线段DE 、AD 、BE 之间又有什么样的数量关系？请你直接写出这个数量关系，不必证明．【答案】（1）见解析；（2）DE =AD +BE ；见解析；（3）AD =DE +BE【分析】（1）利用垂直的定义得∠ADC =∠CEB =90°，再利用HL 证明Rt △ADC ≌Rt △CEB ，得到∠DAC =∠BCE ，再根据余角的定义得到∠ACD +∠BCE =∠ACB =90°，可得结论；（2）根据Rt △ADC ≌Rt △CEB 得到DC =BE ，从而利用等量代换得到DE =AD +BE ；（3）同理可证：Rt △ADC ≌Rt △CEB ，利用等量代换可得AD =DE +BE ．【详解】解：（1）证明：∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ，∴∠ADC =∠CEB =90°，在Rt △ADC 和Rt △CEB 中，AC BC AD CE =ìí=î，∴Rt △ADC ≌Rt △CEB （HL ），∴∠DAC =∠BCE ，∵∠ADC =90°，即∠DAC +∠ACD =90°，∴∠ACD +∠BCE =90°，即∠ACB =90°，∴AC ⊥BC ；（2）DE =AD +BE ，理由如下：∵Rt △ADC ≌Rt △CEB ，∴DC =BE ，∵AD =CE ，∴DE =DC +CE =AD +BE ；（3）AD =DE +BE ，同理可证：Rt △ADC ≌Rt △CEB （HL ），∴CD =BE ，∴AD =CE =DE +CD =DE +BE ，∴即AD =DE +BE ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS ”、“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”、“HL ”；全等三角形的对应边、对应角相等．10．如图，已知：ABC V 中，AB AC =，BAC 90Ð=°，分别过B ，C 向经过点A 的直线EF 作垂线，垂足为E ，F ．（1）当EF 与斜边BC 不相交时，请证明EF BE CF(=+如图1)；（2）如图2，当EF 与斜边BC 这样相交时，其他条件不变，证明：EF BE CF =-；【分析】（1）根据已知条件容易证明△BEA ≌△AFC ，然后利用对应边相等就可以证明题目的结论；（2）根据（1）知道△BEA ≌△AFC 仍然成立，则BE =AF ，AE =CF ，就可以求出EF =BE -CF ．【详解】解：（1）BE EA ^Q ，CF AF ^，BAC BEA CFE 90ÐÐÐ\===°，EAB CAF 90ÐÐ\+=°，EBA EAB 90ÐÐ+=°，CAF EBA ÐÐ\=，在ABE V 和CAF V 中，BEA AFC EBA FACAB AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=îBEA \V ≌()AFC AAS V ，EA FC \=，BE AF =，EF EA AF BE CF \=+=+．（2）BE EA ^Q ，CF AF ^，BAC BEA CFE 90ÐÐÐ\===°，EAB CAF 90ÐÐ\+=°，ABE EAB 90ÐÐ+=°，CAF ABE ÐÐ\=，在ABE V 和ACF V 中，EBA FAC BEA CFAAB AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=îBEA \V ≌()AFC AAS V ，EA FC \=，BE AF =，∵EF AF AE =-，∴EF BE CF=-【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用它们解决问题，经常用全等来证线段和的问题．11．已知：如图，90B Ð=°，AB DF P ，3AB cm =，8BD cm =，点C 是线段BD 上一动点，点E 是直线DF上一动点，且始终保持A C CE ^．（1）证明：ACB CED Ð=Ð；（2）若点C 在线段BD 上满足AC CE =时，求DE 的长？（3）在线段BD 的延长线上，是否存在点C ，使得AC CE =，若存在，请求出BC 的长度；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由题意易得90D B Ð=Ð=°，进而可证90ECD CED Ð+Ð=°，90ACB ECD Ð+Ð=°，然后问题得证；（2）由题意可证ABC CDE D D ≌，则有3AB CD cm ==，然后根据线段的和差关系可求解；（3）由题意易得90CDE B Ð=Ð=°，进而可证ECD BAC Ð=Ð，当3CD AB cm ==时，AC CE =，则有ABC CDE D D ≌，最后根据线段的关系可求解．【详解】解：（1）∵90B Ð=°，//AB DF ，∴90D B Ð=Ð=°，∵A C CE ^，∴90ACE Ð=°，∴90ECD CED Ð+Ð=°，90ACB ECD Ð+Ð=°，∴ACB CEDÐ=Ð（2）∵在ABC D 和CDE D 中ACB CED B DAC CE Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î∴()ABC CDE AAS D D ≌，∴3AB CD cm ==，∴835DE BC cm cm cm==-=（3）存在，理由如下：∵90B Ð=°，//AB DF ，∴90CDE B Ð=Ð=°，∵A C CE ^，∴90ACE Ð=°，∴90ECD ACB Ð+Ð=°，90ACB BAC Ð+Ð=°，∴ECD BAC Ð=Ð；∵在ABC D 和CDE D 中B CDE BAC ECDAC CE Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î∴()ABC CDE AAS D D ≌，∴AC CE =，∵3AB cm =，BD =8cm∴8311BC BD CD BD AB cm cm cm =+=+=+=．【点拨】本题主要考查直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键．12．综合与实践数学活动课上，老师让同学们以“过等腰三角形顶点的直线”为主题开展数学探究．(1)操作发现：如图甲，在Rt ABC △中，90BAC Ð=°，且AB AC =，直线l 经过点A ．小华分别过B 、C 两点作直线l 的垂线，垂足分别为点D 、E ．易证ABD CAE △△≌，此时，线段DE 、BD 、CE 的数量关系为：_________；(2)拓展应用：如图乙，ABC V 为等腰直角三角形，90ACB Ð=°，已知点C 的坐标为(2,0)-，点B 的坐标为(1,2)．请利用小华的发现直接写出点A 的坐标：_____；(3)迁移探究：①如图丙，小华又作了一个等腰ABC V ，AB AC =，且90BAC Ð≠°，她在直线l 上取两点D 、E ，使得BAC BDA AEC Ð=Ð=Ð，请你帮助小华判断（1）中线段DE 、BD 、CE 的数量关系是否变化，若不变，请证明；若变化，写出它们的关系式并说明理由；②如图丁，ABC V 中，2AB AC =，90BAC Ð≠°，点D 、E 在直线l 上，且BAC BDA AEC Ð=Ð=Ð，请直接写出线段DE 、BD 、CE 的数量关系．【答案】(1)DE BD CE=+(2)(4,3)-(3)①DE BD CE =+，理由见解析；②122DE BD CE =+【分析】（1）由全等得到边长关系即可．（2）分别按照（1）中情形过A 、B 做出x 轴垂线，得到三角形全等后根据边长关系得到点A 坐标．（3）①将（1）中互余的角度变成计算关系，仍可得角度相等，从而得到全等的三角形，进而得到边长关系．②根据①可证全等，然后根据全等三角形的性质得到边长关系．【详解】（1）由等腰直角ABC V 得AB AC =，AB AC ^，又Q BD AD ^，CE AE^90ABD BAD BAD CAE\Ð+Ð==Ð+Ðo ABD CAE\Ð=Ð又AB CA =∵，90BDA AECÐ==Ðo ABD CAE\V V ≌AD CE \=，BD AE=DE BD CE\=+（2）过A 、B 作出x 轴垂线AD ，BE ，由（1）可得AD CE \=，ED AD BE =+，又(1,2)B Q (2,0)C -得2BE =，1OE =，2CO =，3\==AD CE ，5DE AD BE =+=4DO DE OE \=-=(4,3)A \-（3）①BAC BDA AECÐ=Ð=ÐQ 18018090ABD BAD BDA BAC BAD CAE\Ð+Ð=-Ð=-Ð==Ð+Ðo o o ABD CAE\Ð=Ð又AB CA =∵，BDA AECÐ=ÐABD CAE\V V ≌AD CE \=，BD AE=DE BD CE\=+②与①中同理可得ABD CAEÐ=Ð分别取BD ，AB 中点M ，N 连接MN ．12BM DB \=，12BN BA =MN DA \∥,12MN DA =又2BA AC=Q BN AC\=MN DAQ ∥BMN BDA\Ð=Ð又BDA AECÐ=ÐQ BMN AEC\Ð=Ð在BMN V 与AEC △中NBM CAE BMN AECBN AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=îNBM CAE\V V ≌12MN CE AD \==，12BM AE BD ==122DE DA AE CE BD \=+=+【点拨】本题考查一线三等角模型，注重模仿推理能力，结合一个示范作迁移应用，需要大胆参考示范进行相同位置图像的关系论证．对知识点的充分理解和迁移是解题的关键．。