2019-2020学年湖南省长沙市天心区长郡中学八年级(上)开学数学试卷

2020-2021学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团八年级（上）开学数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项）1．（3分）下列各数中无理数有()π-，911，2，0，3.725，3.207007⋯，3.14．A．1个B．2个C．3个D．4个2．（3分）下列命题中，真命题的是()A．直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D．图形在平移过程中，对应线段平行且相等3．（3分）在方程1382x y-=中，用含x的代数或表示y，正确的是()A ．43xy-= B ．163xy-= C ．166xy-= D ．166xy-=4．（3分）一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角() A．相等B．相等或互补C．互补D．不能确定5．（3分）如果32.37 1.333≈，323.7 2.872≈，那么32370约等于() A．28.72B．0.2872C．13.33D．0.13336．（3分）点P为直线l外一点，点A、B、C为直线l上的三点，4PA=，5PB=，2PC=，则点P到直线l的距离为()A．2B．4C．不大于2D．小于27．（3分）已知一个多边形的内角和是540︒，则这个多边形的对角线条数是() A．5B．7C．9D．108．（3分）已知图中的两个三角形全等，则α∠度数是()A ．50︒B ．58︒C ．60︒D ．72︒9．（3分）如图//a b ，M 、N 分别在a 、b 上，P 为两平行线间一点，那么123(∠+∠+∠= )A ．180︒B ．270︒C ．360︒D ．540︒10．（3分）已知不等式组2123x a x b -<⎧⎨->⎩的解集为11x -<<，则(1)(1)a b +-值为( ) A ．6 B ．6- C ．3 D ．3-11．（3分）已知等腰三角形的底边长为8，腰长为x ，则x 的取值范围是( )A ．4x >B ．4x <C ．48x <<D ．04x <<12．（3分）已知方程组：23133530.9a b a b -=⎧⎨+=⎩的解是：8.31.2a b =⎧⎨=⎩，则方程组：2(2)3(1)133(2)5(1)30.9x y x y +--=⎧⎨++-=⎩的解是( )A ．8.31.2x y =⎧⎨=⎩B ．10.32.2x y =⎧⎨=⎩C ． 6.32.2x y =⎧⎨=⎩D ．10.30.2x y =⎧⎨=⎩二．填空题（每小题3分，共18分）13．（3()214,x x -=则 ．14．（3分）一次数学测试共有10道题，按规定答对一道题得10分，答错或者不答题扣3分，某学生在这次数学测试中共得61分，则该生答对了 道题．15．（3分）若关于x 的不等式组2x x m >⎧⎨>⎩的解集是2x >，则m 的取值范围是 ． 16．（3分）两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是(210)x -︒和(110)x -︒，则x = ．17．（3分）如图，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，若BD CD =，BE CF =，则下列结论：①DE DF =；②AD 平分BAC ∠；③AE AD =；④2AB AC AE +=中，正确的是 ．18．（3分）如图，在Rt ABC∆，90C∠=︒，12AC=，6BC=，一条线段PQ AB=，P、Q 两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，要使ABC∆和QPA∆全等，则AP=．三、解答题（第19、20题各6分，第21、22题各8分，第23、24题各9分，第25、26题各10分）19．（6分）解方程组：231121x yy x+=⎧⎨-=⎩．20．（6分）解不等式组：212 342163x xx x-<+⎧⎪--⎨⎪⎩．21．（8分）阅读并理解下面的证明过程，并在每步后的括号内填写该步推理的依据．已知：如图，AM，BN，CP是ABC∆的三条角平分线．求证：AM、BN、CP交于一点．证明：如图，设AM，BN交于点O，过点O 分别作OD BC⊥，OF AB⊥，垂足分别为点D，E，F．O是BAC∠角平分线AM上的一点()，(OE OF∴=)．同理，OD OF=．(OD OE∴=)．CP是ACB∠的平分线()，O∴在CP上()．因此，AM，BN，CP交于一点．22．（8分）金都汽车销售公司到某汽车制造厂选购A ，B 两种型号的轿车．用300万元可购进A 型轿车10辆，B 型轿车15辆，用300万元也可以购进A 型轿车8辆，B 型轿车18辆．（1）求A ，B 两种型号的轿车每辆分别为多少万元？（2）若该汽车销售公司销售1辆A 型轿车可获利8000元；销售1辆B 型轿车可获利5000元，该汽车销售公司准备用不超过400万元购进A ，B 两种型号的轿车共30辆，且这两种轿车全部售出后总获利不低于20.4万元，那么有几种购车方案？写出所有的购车方案．23．（9分）已知：如图，点D 、E 、F 、G 都在ABC ∆的边上，//DE AC ，且12180∠+∠=︒（1）求证：//AD FG ；（2）若DE 平分ADB ∠，40C ∠=︒，求BFG ∠的度数．24．（9分）已知：如图，在ABC ∆、ADE ∆中，90BAC DAE ∠=∠=︒，AB AC =，AD AE =，点C 、D 、E 三点在同一直线上，连接BD ．（1）求证：BAD CAE ∆≅∆；（2）请判断BD 、CE 有何大小、位置关系，并证明．25．（10分）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．（1）如图1，已知等腰直角ABC ∆，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，P 为AC 上一点，当AP = 时，ABP ∆与CBP ∆为偏等积三角形．（2）如图2，ABD ∆与ACD ∆为偏等积三角形，2AB =，6AC =，且线段AD 的长度为正整数，过点C 作//CE AB 交AD 的延长线于点E ，求AE 的长度（3）如图3，已知ACD ∆为直角三角形，90ADC ∠=︒，以AC ，AD 为边问外作正方形ACFB 和正方形ADGE ，连结BE ，求证：ACD ∆与ABE ∆为偏等积三角形．26．（10分）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD 以D 为顶点作MDN ∠，交边AC 、BC 于M 、N ．（1）若30ACD ∠=︒，60MDN ∠=︒，当MDN ∠绕点D 旋转时，AM 、MN 、BN 三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；（2）当90ACD MDN ∠+∠=︒时，AM 、MN 、BN 三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；（3）如图③，在（2）的结论下，若将M 、N 改在CA 、BC 的延长线上，完成图3，其余条件不变，则AM 、MN 、BN 之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）2020-2021学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团八年级（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项）1．（3分）下列各数中无理数有( )π-，9110，3.725，3.207007⋯，3.14． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：911是分数，属于有理数； 0是整数，属于有理数；3.725，3.14是有限小数，属于有理数；无理数有π- 3.207007⋯共3个．故选：C ．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001⋯，等有这样规律的数．2．（3分）下列命题中，真命题的是( )A ．直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短B ．两条直线被第三条直线所截，内错角相等C ．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D ．图形在平移过程中，对应线段平行且相等【分析】根据垂线段公理对A 进行判断；根据平行线的性质对B 进行判断；根据垂直公理对C 进行判断；根据平移的性质对D 进行判断．【解答】解：A 、直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短，此命题为真命题， B 、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，所以B 选项为假命题；C 、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以C 选项为假命题；D 、图形在平移过程中，对应线段平行（或共线）且相等，所以D 选项为假命题． 故选：A ．【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．3．（3分）在方程1382x y -=中， 用含x 的代数或表示y ，正确的是( ) A ．43x y -= B ．163x y -= C ．166x y -= D ．166x y -= 【分析】将原方程通过移项、 系数化为 1 ，变换成y ax b =+的形式 ．【解答】解： 移项， 得1382y x -=-， 方程两边同时除以3-，得166x y -=． 故选：C ．【点评】本题考点在于对方程式变形的掌握 ． 重点在于对方程式的变换过程中对方程式两边做同样的运算 ．4．（3分）一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角( )A ．相等B ．相等或互补C ．互补D ．不能确定【分析】本题应分两种情况讨论，根据图形中1∠，2∠，3∠的两边互相平行，由图形可以看出1∠和2∠是邻补角，它们和3∠的关系容易知道一个相等，一个互补．【解答】解：如图，1∠，2∠，3∠的两边互相平行，34∴∠=∠，41∠=∠，42180∠+∠=︒，31∴∠=∠，32180∠+∠=︒，∴这两个角相等或互补．故选：B ．【点评】此题考查了平行线的性质，解题时注意：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补．5．（3 1.333≈ 2.872≈约等于() A．28.72B．0.2872C．13.33D．0.1333【分析】根据立方根，即可解答．【解答】解： 1.333≈，∴ 1.3331013.33⨯=．故选：C．【点评】本题考查了立方根，解决本题的关键是熟记立方根的定义．6．（3分）点P为直线l外一点，点A、B、C为直线l上的三点，4PA=，5PB=，2PC=，则点P到直线l的距离为()A．2B．4C．不大于2D．小于2【分析】根据直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，可得连结直线外一点P与直线上任意点，所得线段中垂线段最短；然后根据4PA=，5PB=，2PC=，可得三条线段的最短的是2，所以点P到直线l的距离不大于2，据此判断即可．【解答】解：连接直线外一点P与直线上任意点，所得线段中垂线段最短；因为4PA=，5PB=，2PC=，所以三条线段的最短的是2，所以点P到直线l的距离不大于2．故选：C．【点评】此题主要考查了点到直线的距离的含义以及特征，考查了分析推理能力的应用，解答此题的关键是要明确：连接直线外一点P与直线上任意点，所得线段中垂线段最短．7．（3分）已知一个多边形的内角和是540︒，则这个多边形的对角线条数是() A．5B．7C．9D．10【分析】设多边形的边数为n，根据题意得出(2)180540n-⨯︒=︒，求出边数，再求出对角线条数即可．【解答】解：设多边形的边数为n，则(2)180540n-⨯︒=︒，解得：5n=，所以这个多边形的对角线的条数是(53)552-⨯=，故选：A ．【点评】本题考查了多边形的内角和定理，能根据题意得出关于n 的方程是解此题的关键，注意：边数为n 的多边形的内角和(2)180n =-⨯︒，边数为n 的多边形的对角线的条数(3)2n n -⨯=． 8．（3分）已知图中的两个三角形全等，则α∠度数是( )A ．50︒B ．58︒C ．60︒D ．72︒【分析】根据全等三角形对应角相等解答即可．【解答】解：两个三角形全等，50α∴=︒．故选：A ．【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图，确定出对应角是解题的关键．9．（3分）如图//a b ，M 、N 分别在a 、b 上，P 为两平行线间一点，那么123(∠+∠+∠= )A ．180︒B ．270︒C ．360︒D ．540︒【分析】首先过点P 作//PA a ，构造三条平行线，然后利用两直线平行，同旁内角互补进行做题．【解答】解：过点P 作//PA a ，则////a b PA ，1180MPA ∴∠+∠=︒，3180NPA ∠+∠=︒，123360∴∠+∠+∠=︒．故选：C ．【点评】两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．10．（3分）已知不等式组2123x ax b-<⎧⎨->⎩的解集为11x-<<，则(1)(1)a b+-值为()A．6B．6-C．3D．3-【分析】先解不等式，求出解集，然后根据题中已告知的解集，进行比对，从而得出两个方程，解答即可求出a、b．【解答】解：不等式组2123x ax b-<⎧⎨->⎩，解得，1223axx b+⎧<⎪⎨⎪>+⎩，即，1 232ab x++<<，11x-<<，231b∴+=-，112a+=，得，1a=，2b=-；(1)(1)2(3)6a b∴+-=⨯-=-．故选：B．【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法，求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．11．（3分）已知等腰三角形的底边长为8，腰长为x，则x的取值范围是() A．4x>B．4x<C．48x<<D．04x<<【分析】等腰三角形的两腰相等，所以另一个腰也为x，根据三边关系可列出不等式组．【解答】解：88x xx x>-⎧⎨<+⎩．4 x>．故选：A．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，第三边大于其他两边之差小于两边之和．12．（3分）已知方程组：23133530.9a b a b -=⎧⎨+=⎩的解是：8.31.2a b =⎧⎨=⎩，则方程组：2(2)3(1)133(2)5(1)30.9x y x y +--=⎧⎨++-=⎩的解是( )A ．8.31.2x y =⎧⎨=⎩B ．10.32.2x y =⎧⎨=⎩C ． 6.32.2x y =⎧⎨=⎩D ．10.30.2x y =⎧⎨=⎩【分析】在此题中，两个方程组除未知数不同外其余都相同，所以可用换元法进行解答．【解答】解：在方程组2(2)3(1)133(2)5(1)30.9x y x y +--=⎧⎨++-=⎩中，设2x a +=，1y b -=， 则变形为方程组23133530.9a b a b -=⎧⎨+=⎩， 由题知8.31.2a b =⎧⎨=⎩， 所以28.3x +=，1 1.2y -=，即 6.32.2x y =⎧⎨=⎩． 故选：C ．【点评】这类题目的解题关键是灵活运用二元一次方程组的解法，观察题目特点灵活解题．二．填空题（每小题3分，共18分）13．（34,x =则 5或3- ．【分析】首先根据平方根概念求出2(1)16x -=，然后根据16的平方根等于4±，求出x 即可．【解答】解：4，2(1)16x ∴-=，14x ∴-=±，所以5x =或3-．故答案为：5或3-．【点评】本题主要考查了平方根、算术平方根概念的运用．如果2(0)x a a =，则x 是a 的平方根．若0a >，则它有两个平方根并且互为相反数，我们把正的平方根叫a 的算术平方根；若0a=，则它有一个平方根，即0的平方根是0，0的算术平方根也是0，负数没有平方根．14．（3分）一次数学测试共有10道题，按规定答对一道题得10分，答错或者不答题扣3分，某学生在这次数学测试中共得61分，则该生答对了7道题．【分析】设该同学答对的题数为x道．根据在这次竞赛中共得了61分，列方程求解．【解答】解：设该同学答对的题数为x道．根据题意得：103(10)61x x--=，解得7x=．故答案为：7【点评】本题是一道一元一次方程的应用题，考查了列方程解应用题的基本步骤，寻找等量关系是关键，此题的等量关系：答对的分数-答错或不答的分数61=．15．（3分）若关于x的不等式组2xx m>⎧⎨>⎩的解集是2x>，则m的取值范围是2m．【分析】根据不等式组的解集，可判断m与2的大小．【解答】解：因为不等式组2xx m>⎧⎨>⎩的解集是2x>，根据同大取较大原则可知：2m<，当2m=时，不等式组2xx m>⎧⎨>⎩的解集也是2x>，所以2m．故答案为：2m．【点评】主要考查了不等式的运用．根据题意分别求出对应的值，利用不等关系求解．16．（3分）两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是(210)x-︒和(110)x-︒，则x=40或80．【分析】根据两条直线交叉相交，形成4个角，对顶角相等，在同一条直线的两个角的和是180︒解答即可．【解答】解：两条直线相交所成的四个角中，对顶角相等，邻补角互补，根据题意可得：(210)(110)x x-︒=-︒或(210)(110)180x x-︒+-︒=︒，解得：40x=或80x=，故答案为：40或80【点评】此题考查对顶角、邻补角问题，解答此题的关键：应明确对顶角相等，邻补角互补，进而根据其含义进行分析、解答．17．（3分）如图，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，若BD CD =，BE CF =，则下列结论：①DE DF =；②AD 平分BAC ∠；③AE AD =；④2AB AC AE +=中，正确的是 ①②④ ．【分析】由HL 证明Rt BDE Rt CDF ∆≅∆，得出对应边相等DE DF =，得出AD 平分BAC ∠，①②正确；由AD AE >，得出③不正确，由全等三角形的对应边相等得出BE CF =，AE AF =，得出④正确，即可得出结果．【解答】解：DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，90E DFC ∴∠=∠=︒，在Rt BDE ∆和Rt CDF ∆中，BD CD BE CF=⎧⎨=⎩， Rt BDE Rt CDF(HL)∴∆≅∆，DE DF ∴=，①正确， AD ∴平分BAC ∠，②正确，在Rt ADE ∆中，AD 是斜边，AD AE ∴>，③不正确， Rt BDE Rt CDF ∆≅∆，BE CF ∴=，AE AF =，2AB AC AB AF CF AB AE BE AE ∴+=++=++=，④正确；正确的是①②④．故答案为：①②④．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定；证明三角形全等得出对应边相等是解决问题的关键18．（3分）如图，在Rt ABC ∆，90C ∠=︒，12AC =，6BC =，一条线段PQ AB =，P 、Q两点分别在AC 和过点A 且垂直于AC 的射线AX 上运动，要使ABC ∆和QPA ∆全等，则AP = 6或12 ．【分析】本题要分情况讨论：①Rt APQ Rt CBA ∆≅∆，此时6AP BC ==，可据此求出P 点的位置．②Rt QAP Rt BCA ∆≅∆，此时12AP AC ==，P 、C 重合．【解答】解：①当AP CB =时，90C QAP ∠=∠=︒，在Rt ABC ∆与Rt QPA ∆中，AP CB AB QP =⎧⎨=⎩， Rt ABC Rt QPA(HL)∴∆≅∆，即6AP BC ==；②当P 运动到与C 点重合时，AP AC =，在Rt ABC ∆与Rt QPA ∆中，AP AC QP AB=⎧⎨=⎩， Rt QAP Rt BCA(HL)∴∆≅∆，即12AP AC ==，∴当点P 与点C 重合时，ABC ∆才能和APQ ∆全等．综上所述，6AP =或12．故答案为：6或12．【点评】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．三、解答题（第19、20题各6分，第21、22题各8分，第23、24题各9分，第25、26题各10分）19．（6分）解方程组：231121x y y x +=⎧⎨-=⎩． 【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：231121x y y x +=⎧⎨-=⎩①②， ①+②得：412y =，解得：3y =，把3y =代入②得：1x =，则方程组的解为13x y =⎧⎨=⎩． 【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．20．（6分）解不等式组：212342163x x x x -<+⎧⎪--⎨⎪⎩．【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：212342163x x x x -<+⎧⎪⎨--⎪⎩①② 解不等式①得：3x <，解不等式②得：2x -，∴不等式组的解集是23x -<．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．21．（8分）阅读并理解下面的证明过程，并在每步后的括号内填写该步推理的依据． 已知：如图，AM ，BN ，CP 是ABC ∆的三条角平分线．求证：AM 、BN 、CP 交于一点．证明：如图，设AM ，BN 交于点O ，过点O 分别作OD BC ⊥，OF AB ⊥，垂足分别为点D ，E ，F ．O 是BAC ∠角平分线AM 上的一点( 已知 )，(OE OF ∴= )．同理，OD OF =．(OD OE ∴= )．CP 是ACB ∠的平分线( )，O ∴在CP 上( )．因此，AM ，BN ，CP 交于一点．【分析】根据角平分线的性质解答即可．【解答】证明：设AM ，BN 交于点O ，过点O 分别作OD BC ⊥，OF AB ⊥，垂足分别为点D ，E ，F ．O 是BAC ∠角平分线AM 上的一点（已知）， OE OF ∴=（角平分线上的一点到这个角的两边的距离相等）． 同理，OD OF =．OD OE ∴=（等量代换）． CP 是ACB ∠的平分线（已知）， O ∴在CP 上（角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）． 因此，AM ，BN ，CP 交于一点；故答案为：已知；角平分线上的一点到这个角的两边的距离相等；等量代换；已知；角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．【点评】此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的两个性质解答．22．（8分）金都汽车销售公司到某汽车制造厂选购A ，B 两种型号的轿车．用300万元可购进A 型轿车10辆，B 型轿车15辆，用300万元也可以购进A 型轿车8辆，B 型轿车18辆．（1）求A ，B 两种型号的轿车每辆分别为多少万元？（2）若该汽车销售公司销售1辆A 型轿车可获利8000元；销售1辆B 型轿车可获利5000元，该汽车销售公司准备用不超过400万元购进A ，B 两种型号的轿车共30辆，且这两种轿车全部售出后总获利不低于20.4万元，那么有几种购车方案？写出所有的购车方案．【分析】（1）等量关系为：10辆A 型轿车总价钱15+辆B 型轿车总价钱300=；8辆A 型轿车总价钱18+辆B 型轿车总价钱300=，把相关数值代入计算即可；（2）关系式为：A 型轿车总价钱B +型轿车总价钱400；A 型轿车总利润B +型轿车总利润20.4，求合适的正整数解即可．【解答】解：（1）设A 型轿车每辆x 万元，B 型轿车每辆y 万元．（1分）根据题意，可得1015300818300x y x y +=⎧⎨+=⎩（3分） 解，得1510x y =⎧⎨=⎩（4分） 所以A 型轿车每辆15万元，B 型轿车每辆10万元．（5分）（2）设购进A 型轿车a 辆，则B 型轿车(30)a -辆．（6分）根据题意，得1510(30)4000.80.5(30)20.4a a a a +-⎧⎨+-⎩， 解这个不等式组，得1820a ．因为a 为整数，所以18a =，19，20．30a -的值分别是12，11，10．因此有三种购车方案：方案一：购进A 型轿车18辆，B 型轿车12辆；方案二：购进A 型轿车19辆，B 型轿车11辆；方案三：购进A 型轿车20辆，B 型轿车10辆．【点评】考查二元一次方程组及一元一次不等式组的应用；得到关于总费用和总利润的关系式是解决本题的关键．23．（9分）已知：如图，点D 、E 、F 、G 都在ABC ∆的边上，//DE AC ，且12180∠+∠=︒（1）求证：//AD FG ；（2）若DE 平分ADB ∠，40C ∠=︒，求BFG ∠的度数．【分析】（1）根据平行线的性质和判定证明即可；（2）利用平行线的性质和判定解答即可．【解答】证明：（1）//DE AC2DAC ∴∠=∠2180l ∠+∠=︒1180DAC ∴∠+∠=︒//AD GF ∴（2）//ED AC40EDB C ∴∠=∠=︒ ED 平分ADB ∠240EDB ∴∠=∠=︒80ADB ∴∠=︒//AD FG80BFG ADB ∴∠=∠=︒【点评】此题考查三角形的内角和定理，关键是根据平行线的判定和性质解答．24．（9分）已知：如图，在ABC ∆、ADE ∆中，90BAC DAE ∠=∠=︒，AB AC =，AD AE =，点C 、D 、E 三点在同一直线上，连接BD ．（1）求证：BAD CAE ∆≅∆；（2）请判断BD 、CE 有何大小、位置关系，并证明．【分析】（1）要证BAD CAE ∆≅∆，现有AB AC =，AD AE =，需它们的夹角BAD CAE ∠=∠，而由90BAC DAE ∠=∠=︒很易证得．（2）BD 、CE 有何特殊位置关系，从图形上可看出是垂直关系，可向这方面努力．要证BD CE ⊥，需证90BDE ∠=︒，需证90ADB ADE ∠+∠=︒可由直角三角形提供．【解答】证明：（1）90BAC DAE ∠=∠=︒，BAC CAD EAD CAD ∴∠+∠=∠+∠，BAD CAE ∴∠=∠，在BAD ∆和CAE ∆中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BAD CAE SAS ∴∆≅∆．（2）BD CE =，BD CE ⊥，理由如下：由（1）知，BAD CAE ∆≅∆，BD CE ∴=；BAD CAE ∆≅∆，ABD ACE ∴∠=∠，45ABD DBC ∠+∠=︒，45ACE DBC ∴∠+∠=︒，90DBC DCB DBC ACE ACB ∴∠+∠=∠+∠+∠=︒，则BD CE ⊥．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；全等问题要注意找条件，有些条件需在图形是仔细观察，认真推敲方可．做题时，有时需要先猜后证．25．（10分）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．（1）如图1，已知等腰直角ABC ∆，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，P 为AC 上一点，当AP = 2 时，ABP ∆与CBP ∆为偏等积三角形．（2）如图2，ABD ∆与ACD ∆为偏等积三角形，2AB =，6AC =，且线段AD 的长度为正整数，过点C 作//CE AB 交AD 的延长线于点E ，求AE 的长度（3）如图3，已知ACD ∆为直角三角形，90ADC ∠=︒，以AC ，AD 为边问外作正方形ACFB 和正方形ADGE ，连结BE ，求证：ACD ∆与ABE ∆为偏等积三角形．【分析】（1）利用三角形的中线的性质即可解决问题．（2）证明()ADB EDC AAS ∆≅∆，推出AD DE =，2AB EC ==，利用三角形的三边关系即可解决问题．（3）过点B 作BH AE ⊥，垂足为H ，先证明ABH ACD ∆≅∆，则CD HB =．，依据三角形的面积公式可知ABE CDA S S ∆∆=，然后再依据偏等积三角形的定义进行证明即可．【解答】解：（1）如图1中，当2AP PC ==时，PAB PBC S S ∆∆=，ABP ∆与PBC ∆不全等，ABP ∴∆与CBP ∆为偏等积三角形，故答案为2．（2）如图2中，ABD ∆与ACD ∆为偏等积三角形，BD CD ∴=，//AB EC ，BAD E ∴∠=∠，ADB EDC ∠=∠，()ADB EDC AAS ∴∆≅∆，AD DE ∴=，2AB EC ==，6AC =，6262AD ∴-<<+，428AD ∴<<，24AD ∴<<， AD 为正整数，3AD ∴=，26AE AD ∴==．（3）如图3中，过点B 作BH AE ⊥，垂足为H ．四边形ABFC 和四边形ADGE 均为正方形，90HAC DAC ∴∠+=︒，90BAH HAC ∠+∠=︒，AB AC =，AD AE =．BAH DAC ∴∠=∠．在ABH ∆和ACD ∆中，90BAH DAC H ADC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()ABH ACD AAS ∴∆≅∆．CD HB ∴=． 12ABE S AE BH ∆=，12CDA S AD DC ∆=，AE AD =，CD BH =，ABE CDA S S ∆∆∴=．ACD ∴∆与ABE ∆为偏等积三角形．【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．26．（10分）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD 以D 为顶点作MDN ∠，交边AC 、BC 于M 、N ．（1）若30ACD ∠=︒，60MDN ∠=︒，当MDN ∠绕点D 旋转时，AM 、MN 、BN 三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；（2）当90ACD MDN ∠+∠=︒时，AM 、MN 、BN 三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；（3）如图③，在（2）的结论下，若将M 、N 改在CA 、BC 的延长线上，完成图3，其余条件不变，则AM 、MN 、BN 之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）【分析】（1）延长CB 到E ，使BE AM =，证DAM DBE ∆≅∆，推出BDE MDA ∠=∠，DM DE =，证MDN EDN ∆≅∆，推出MN NE =即可；（2）延长CB 到E ，使BE AM =，证DAM DBE ∆≅∆，推出BDE MDA ∠=∠，DM DE =，证MDN EDN ∆≅∆，推出MN NE =即可；（3）在CB 截取BE AM =，连接DE ，证DAM DBE ∆≅∆，推出BDE MDA ∠=∠，DM DE =，证MDN EDN ∆≅∆，推出MN NE =即可．【解答】（1）AM BN MN +=，证明：延长CB 到E ，使BE AM =，90A CBD ∠=∠=︒，90A EBD ∴∠=∠=︒，在DAM ∆和DBE ∆中AM BEA DBE AD BD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，DAM DBE ∴∆≅∆，BDE MDA ∴∠=∠，DM DE =，60MDN ADC ∠=∠=︒，ADM NDC ∴∠=∠，BDE NDC ∴∠=∠，MDN NDE ∴∠=∠，在MDN ∆和EDN ∆中DM DEMDN NDE DN DN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，MDN EDN ∴∆≅∆，MN NE ∴=，NE BE BN AM BN =+=+，AM BN MN ∴+=．（2）AM BN MN +=，证明：延长CB 到E ，使BE AM =，连接DE ，90A CBD ∠=∠=︒，90A DBE ∴∠=∠=︒，90CDA ACD ∠+∠=︒，90MDN ACD ∠+∠=︒，MDN CDA ∴∠=∠，MDN BDC ∠=∠，MDA CDN ∴∠=∠，CDM NDB ∠=∠，在DAM ∆和DBE ∆中AM BE A DBE AD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，DAM DBE ∴∆≅∆，BDE MDA CDN ∴∠=∠=∠，DM DE =，90MDN ACD ∠+∠=︒，90ACD ADC ∠+∠=︒，NDM ADC CDB ∴∠=∠=∠，ADM CDN BDE ∴∠=∠=∠，CDM NDB ∠=∠MDN NDE ∴∠=∠，在MDN ∆和EDN ∆中DM DE MDN NDE DN DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，MDN EDN ∴∆≅∆，MN NE ∴=，NE BE BN AM BN =+=+，AM BN MN ∴+=．（3）BN AM MN -=，证明：在CB 截取BE AM =，连接DE ，90CDA ACD ∠+∠=︒，90MDN ACD ∠+∠=︒，MDN CDA ∴∠=∠，ADN ADN ∠=∠，MDA CDN ∴∠=∠，90B CAD ∠=∠=︒，90B DAM ∴∠=∠=︒，在DAM ∆和DBE ∆中AM BE DAM DBE AD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，DAM DBE ∴∆≅∆，BDE ADM CDN ∴∠=∠=∠，DM DE =，ADC BDC MDN ∠=∠=∠，MDN EDN ∴∠=∠，在MDN ∆和EDN ∆中DM DE MDN NDE DN DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，MDN EDN ∴∆≅∆，MN NE ∴=，NE BN BE BN AM =-=-，BN AM MN ∴-=．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，运用了类比推理的方法，题目比较典型，但有一定的难度．。

2019-2020学年八年级（上）期末数学试卷一．选择题（共12小题）1．以下是几种垃圾分类的图标，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列代数式中，分式有（）个．，，，﹣，，，+3，A．5 B．4 C．3 D．23．与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．4．下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（）A．2、3、4 B．3、4、5 C．6、8、10 D．5、12、13 5．下列运算正确的是（）A．a3•a4＝a12B．（a3）2＝a5C．（3a2）3＝27a6D．a6÷a3＝a26．如图，在△ABC中，AC＝4，BC边上的垂直平分线DE分别交BC、AB于点D，若△AEC的周长是11，则AB＝（）A．28 B．18 C．10 D．77．矩形的面积为18，一边长为，则另一边长为（）A．B．C．D．248．如图，长方形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为（）A．﹣1 B．﹣1 C．2 D．9．从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（）A．a2﹣b2＝（a﹣b）2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）10．已知a、b、c是△ABC三边的长，则+|a+b﹣c|的值为（）A．2a B．2b C．2c D．2（a一c）11．若关于x的分式方程无解，则m的值是（）A．m＝2或m＝6 B．m＝2 C．m＝6 D．m＝2或m＝﹣6 12．设a，b是实数，定义关于“*”的一种运算如下a*b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．则下列结论：①a*b＝0，则a＝0或b＝0；②不存在实数a，b，满足a*b＝a2+4b2；③a*（b+c）＝a*b+a*c；④a*b＝8，则（10ab3）÷（5b2）＝4其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④二．填空题（共6小题）13．在实数范围内，使得有意义的x的取值范围为．14．今年我国发生的猪瘟疫情是由一种病毒引起的，这种病的直径为0.000000085米．数据0.000000085用科学记数法表示为米．15．如图，在△ABC中，已知AD⊥BC于点D，BD＝DC，∠BAD＝20°，则∠C的度数为．16．若分式的值为0，则x的值为．17．计算：（﹣4）2020×0.252019＝．18．勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值．如图所示，是一棵由正方形和含30°角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为S1，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为S2，…，第n个正方形和第n个直角三角形的面积之和为S n．设第一个正方形的边长为1．请解答下列问题：（1）S1＝；（2）通过探究，用含n的代数式表示S n，则S n＝．三．解答题（共8小题）19．因式分解（1）5mx2﹣10mxy+5my2（2）a（3a﹣2）+b（2﹣3a）20．计算（1）（2）21．化简求值（1）求（2x﹣y）（2x+y）﹣（2y+x）（2y﹣x）的值，其中x＝2，y＝1（2）求的值，其中x＝+1．22．如图，车高4m（AC＝4m），货车卸货时后面支架AB弯折落在地面A1处，经过测量A1C＝2m，求弯折点B与地面的距离．23．如图，△ABC是等边三角形，DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，求证：△DEF是等边三角形．24．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠DCB交AB于点E．（1）求证：∠AEC＝∠ACE；（2）若∠AEC＝2∠B，AD＝1，求BD的长．25．今年，长沙开始推广垃圾分类，分类垃圾桶成为我们生活中的必备工具．某学校开学初购进A型和B型两种分类垃圾桶，购买A型垃圾桶花费了2500元，购买B型垃圾桶花费了2000元，且购买A型垃圾桶数量是购买B型垃圾桶数量的2倍，已知购买一个B型垃圾桶比购买一个A型垃圾桶多花30元．（1）求购买一个A型垃圾桶、B型垃圾桶各需多少元？（2）由于实际需要，学校决定再次购买分类垃圾桶，已知此次购进A型和B型两种分类垃圾桶的数量一共为50个，恰逢市场对这两种垃圾桶的售价进行调整，A型垃圾桶售价比第一次购买时提高了8%，B型垃圾桶按第一次购买时售价的9折出售，如果此次购买A型和B型这两种垃圾桶的总费用不超过3240元，那么此次最多可购买多少个B 型垃圾桶？26．我们定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．例如：某三角形三边长分别是2，4，，因为，所以这个三角形是奇异三角形．（1）根据定义：“等边三角形是奇异三角形”这个命题是命题（填“真”或“假”）；（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC 是奇异三角形，求a：b：c；（3）如图，以AB为斜边分别在AB的两侧做直角三角形，且AD＝BD，若四边形ADBC 内存在点E，使得AE＝AD，CB＝CE．①求证：△ACE是奇异三角形；②当△ACE是直角三角形时，求∠DBC的度数．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．以下是几种垃圾分类的图标，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念判断．【解答】解：A、不是轴对称图形；B、是轴对称图形；C、不是轴对称图形；D、不是轴对称图形；故选：B．2．下列代数式中，分式有（）个．，，，﹣，，，+3，A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】根据分式的定义逐个判断即可．【解答】解：分式有：，，﹣，，共4个，故选：B．3．与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】根据同类二次根式的定义进行解答．【解答】解：的被开方数是2．A、原式＝3，其被开方数是3，与的被开方数不同，它们不是同类二次根式，故本选项不符合题意．B、该二次根式的被开方数是6，与的被开方数不同，它们不是同类二次根式，故本选项不符合题意．C、原式＝，其被开方数是3，与的被开方数不同，它们不是同类二次根式，故本选项不符合题意．D、原式＝2，其被开方数是2，与的被开方数相同，它们是同类二次根式，故本选项符合题意．故选：D．4．下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（）A．2、3、4 B．3、4、5 C．6、8、10 D．5、12、13 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．【解答】解：A、22+32≠42，不符合勾股定理的逆定理，故正确；B、32+42＝52，符合勾股定理的逆定理，故错误；C、62+82＝102，符合勾股定理的逆定理，故错误；D、52+122＝132，符合勾股定理的逆定理，故错误．故选：A．5．下列运算正确的是（）A．a3•a4＝a12B．（a3）2＝a5C．（3a2）3＝27a6D．a6÷a3＝a2【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．【解答】解：A．a3•a4＝a7，故本选项不合题意；B．（a3）2＝a6，故本选项不合题意；C．（3a2）3＝27a6，正确，故选项C符合题意；D．a6÷a3＝a4，故本选项不合题意．故选：C．6．如图，在△ABC中，AC＝4，BC边上的垂直平分线DE分别交BC、AB于点D，若△AEC的周长是11，则AB＝（）A．28 B．18 C．10 D．7【分析】利用垂直平分线的性质和已知的三角形的周长计算．【解答】解：∵DE是BC的中垂线，∴BE＝EC，则AB＝EB+AE＝CE+EA，又∵△ACE的周长为11，故AB＝11﹣4＝7，故选：D．7．矩形的面积为18，一边长为，则另一边长为（）A．B．C．D．24【分析】根据矩形的面积得出另一边为，再根据二次根式的运算法则进行化简即可．【解答】解：∵矩形的面积为18，一边长为，∴另一边长为＝3，故选：C．8．如图，长方形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为（）A．﹣1 B．﹣1 C．2 D．【分析】根据勾股定理，可得AC的长，根据圆的性质，可得答案．【解答】解：由勾股定理，得AC＝＝，AM＝AC＝，M点的坐标是﹣1，故选：A．9．从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（）A．a2﹣b2＝（a﹣b）2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）【分析】分别根据正方形及平行四边形的面积公式求得甲、乙中阴影部分的面积，从而得到可以验证成立的公式．【解答】解：由图1将小正方形一边向两方延长，得到两个梯形的高，两条高的和为a ﹣b，即平行四边形的高为a﹣b，∵两个图中的阴影部分的面积相等，即甲的面积＝a2﹣b2，乙的面积＝（a+b）（a﹣b）．即：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．所以验证成立的公式为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选：D．10．已知a、b、c是△ABC三边的长，则+|a+b﹣c|的值为（）A．2a B．2b C．2c D．2（a一c）【分析】根据三角形三边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可知根号和绝对值里数的取值．【解答】解：∵三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，∴a﹣b﹣c＜0，a+b﹣c＞0∴+|a+b﹣c|＝b+c﹣a+a+b﹣c＝2b．故选：B．11．若关于x的分式方程无解，则m的值是（）A．m＝2或m＝6 B．m＝2 C．m＝6 D．m＝2或m＝﹣6 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，得到最简公分母为0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．【解答】解：去分母得：﹣x﹣m+x（x+2）＝（x+2）（x﹣2），由分式方程无解，得到x＝2或x＝﹣2，把x＝2代入整式方程得：m＝6；把x＝﹣2代入整式方程得：m＝2．故选：A．12．设a，b是实数，定义关于“*”的一种运算如下a*b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．则下列结论：①a*b＝0，则a＝0或b＝0；②不存在实数a，b，满足a*b＝a2+4b2；③a*（b+c）＝a*b+a*c；④a*b＝8，则（10ab3）÷（5b2）＝4其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④【分析】根据新定义的运算，一一判断即可得出结论．【解答】解：①∵a*b＝0，∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝0，a2+2ab+a2﹣a2﹣b2+2ab＝0，4ab＝0，∴a＝0或b＝0，故①正确；②∵a*b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，又a*b＝a2+4b2，∴a2+4b2＝4ab，∴a2﹣4ab+4b2＝（a﹣2b）2＝0，∴a＝2b时，满足条件，∴存在实数a，b，满足a*b＝a2+4b2；故②错误，③∵a*（b+c）＝（a+b+c）2﹣（a﹣b﹣c）2＝4ab+4ac，又∵a*b+a*c＝4ab+4ac∴a*（b+c）＝a*b+a*c；故③正确．④∵a*b＝8，∴4ab＝8，∴ab＝2，∴（10ab3）÷（5b2）＝2ab＝4；故④正确．故选：B．二．填空题（共6小题）13．在实数范围内，使得有意义的x的取值范围为x≥﹣3 ．【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案．【解答】解：在实数范围内，使得有意义则3+x≥0，解得：x≥﹣3．故答案为：x≥﹣3．14．今年我国发生的猪瘟疫情是由一种病毒引起的，这种病的直径为0.000000085米．数据0.000000085用科学记数法表示为8.5×10﹣8米．【分析】根据科学记数法的表示方法，a×10 n，1＜a＜10，确定住a以后，从小数点往前有几位数就是10的几次方，即可得出答案．【解答】解：根据科学记数法的表示方法，0.000000085＝8.5×10﹣8．故答案为：8.5×10﹣815．如图，在△ABC中，已知AD⊥BC于点D，BD＝DC，∠BAD＝20°，则∠C的度数为70°．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵AD⊥BC于点D，BD＝DC，∴AB＝AC，∴∠CAD＝∠BAD＝20°，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠C＝70°，故答案为：70°．16．若分式的值为0，则x的值为 2 ．【分析】根据分式的值为0的条件和分式有意义条件得出4﹣x2＝0且x+2≠0，再求出即可．【解答】解：∵分式的值为0，∴4﹣x2＝0且x+2≠0，解得：x＝2，故答案为：2．17．计算：（﹣4）2020×0.252019＝ 4 ．【分析】根据积的乘方运算法则计算即可．【解答】解：原式＝42019×0.252019×4＝＝12019×4＝1×4＝4．故答案为：418．勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值．如图所示，是一棵由正方形和含30°角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为S1，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为S2，…，第n个正方形和第n个直角三角形的面积之和为S n．设第一个正方形的边长为1．请解答下列问题：（1）S1＝1+；（2）通过探究，用含n的代数式表示S n，则S n＝（）•（n为整数）．【分析】根据正方形的面积公式求出面积，再根据直角三角形三条边的关系运用勾股定理求出三角形的直角边，求出S1，然后利用正方形与三角形面积扩大与缩小的规律推导出公式．【解答】解：（1）∵第一个正方形的边长为1，∴正方形的面积为1，又∵直角三角形一个角为30°，∴三角形的一条直角边为，另一条直角边就是＝，∴三角形的面积为÷2＝，∴S1＝1+；（2）∵第二个正方形的边长为，它的面积就是，也就是第一个正方形面积的，同理，第二个三角形的面积也是第一个三角形的面积的，∴S2＝（1+）•，依此类推，S3＝（1+）••，即S3＝（1+）•，S n＝（）•（n为整数）．三．解答题（共8小题）19．因式分解（1）5mx2﹣10mxy+5my2（2）a（3a﹣2）+b（2﹣3a）【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；（2）原式提取公因式即可．【解答】解：（1）原式＝5m（x2﹣2xy+y2）＝5m（x﹣y）2；（2）原式＝（3a﹣2）（a﹣b）．20．计算（1）（2）【分析】（1）根据二次根式的乘除法则运算和零指数幂的意义计算；（2）利用完全平方公式、负整数指数幂和二次根式的乘法法则运算．【解答】解：（1）原式＝++1＝2++1＝3+1；（2）原式＝2﹣2+1+2+2＝5．21．化简求值（1）求（2x﹣y）（2x+y）﹣（2y+x）（2y﹣x）的值，其中x＝2，y＝1（2）求的值，其中x＝+1．【分析】（1）原式利用平方差公式，以及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值；（2）原式利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）原式＝4x2﹣y2﹣4y2+x2＝5x2﹣5y2，当x＝2，y＝1时，原式＝20﹣5＝15；（2）原式＝•﹣＝﹣＝＝﹣，当x＝+1时，原式＝﹣＝﹣（﹣1）＝1﹣．22．如图，车高4m（AC＝4m），货车卸货时后面支架AB弯折落在地面A1处，经过测量A1C＝2m，求弯折点B与地面的距离．【分析】设BC＝xm，则AB＝A1B＝（4﹣x）m，在Rt△A1BC中利用勾股定理列出方程22+x2＝（4﹣x）2即可求解．【解答】解：由题意得，AB＝A1B，∠BCA＝90°，设BC＝xm，则AB＝A1B＝（4﹣x）m，在Rt△A1BC中，A1C2+BC2＝A1B2，即：22+x2＝（4﹣x）2，解得：x＝，答：弯折点B与地面的距离为米．23．如图，△ABC是等边三角形，DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，求证：△DEF是等边三角形．【分析】由△ABC是等边三角形和DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，求出∠FAC＝∠BCE＝∠DBA＝30°，推出∠D＝∠E＝∠F＝60°，推出DF＝DE＝EF，即可得出△DEF等边三角形．【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠CAB＝60°，∵DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，∴∠DAB＝∠ACF＝∠CBE＝90°，∴∠FAC＝∠BCE＝∠DBA＝30°，∴∠D＝∠E＝∠F＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∴DF＝DE＝EF，∴△DEF是等边三角形，24．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠DCB交AB于点E．（1）求证：∠AEC＝∠ACE；（2）若∠AEC＝2∠B，AD＝1，求BD的长．【分析】（1）依据∠ACB＝90°，CD⊥AB，即可得到∠ACD＝∠B，再根据CE平分∠BCD，可得∠BCE＝∠DCE，进而得出∠AEC＝∠ACE．（2）依据∠ACD＝∠BCE＝∠DCE，∠ACB＝90°，即可得到∠ACD＝30°即可解决问题．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠A＝∠B+∠A＝90°，∴∠ACD＝∠B，∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠DCE，∴∠B+∠BCE＝∠ACD+∠DCE，即∠AEC＝∠ACE；（2）∵∠AEC＝∠B+∠BCE，∠AEC＝2∠B，∴∠B＝∠BCE，又∵∠ACD＝∠B，∠BCE＝∠DCE，∴∠ACD＝∠BCE＝∠DCE，又∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝30°，∠B＝30°，∴Rt△ACD中，AC＝2AD＝2，∴Rt△ABC中，AB＝2AC＝4，∴BD＝AB﹣AD＝4﹣1＝3．25．今年，长沙开始推广垃圾分类，分类垃圾桶成为我们生活中的必备工具．某学校开学初购进A型和B型两种分类垃圾桶，购买A型垃圾桶花费了2500元，购买B型垃圾桶花费了2000元，且购买A型垃圾桶数量是购买B型垃圾桶数量的2倍，已知购买一个B型垃圾桶比购买一个A型垃圾桶多花30元．（1）求购买一个A型垃圾桶、B型垃圾桶各需多少元？（2）由于实际需要，学校决定再次购买分类垃圾桶，已知此次购进A型和B型两种分类垃圾桶的数量一共为50个，恰逢市场对这两种垃圾桶的售价进行调整，A型垃圾桶售价比第一次购买时提高了8%，B型垃圾桶按第一次购买时售价的9折出售，如果此次购买A型和B型这两种垃圾桶的总费用不超过3240元，那么此次最多可购买多少个B 型垃圾桶？【分析】（1）设一个A型垃圾桶需x元，则一个B型垃圾桶需（x+30）元，根据购买A型垃圾桶数量是购买B品牌足球数量的2倍列出方程解答即可；（2）设此次可购买a个B型垃圾桶，则购进A型垃圾桶（50﹣a）个，根据购买A、B 两种垃圾桶的总费用不超过3240元，列出不等式解决问题．【解答】解：（1）设一个A型垃圾桶需x元，则一个B型垃圾桶需（x+30）元，由题意得：＝×2解得：x＝50经检验x＝50是原方程的解，x+30＝80答：一个A型垃圾桶需50元，则一个B型垃圾桶需80元．（2）设此次可购买a个B型垃圾桶，则购进A型垃圾桶（50﹣a）个，由题意得50×（1+8%）（50﹣a）+80×0.9a≤3240解得a≤30∵a是整数，∴a最大等于30，答：该学校此次最多可购买30个B型垃圾桶．26．我们定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．例如：某三角形三边长分别是2，4，，因为，所以这个三角形是奇异三角形．（1）根据定义：“等边三角形是奇异三角形”这个命题是真命题（填“真”或“假”）；（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC 是奇异三角形，求a：b：c；（3）如图，以AB为斜边分别在AB的两侧做直角三角形，且AD＝BD，若四边形ADBC 内存在点E，使得AE＝AD，CB＝CE．①求证：△ACE是奇异三角形；②当△ACE是直角三角形时，求∠DBC的度数．【分析】（1）设等边三角形的边长为a，则a2+a2＝2a2，即可得出结论；（2）由勾股定理得出a2+b2＝c2①，由Rt△ABC是奇异三角形，且b＞a，得出a2+c2＝2b2②，由①②得出b＝a，c＝a，即可得出结论；（3）①由勾股定理得出AC2+BC2＝AB2，AD2+BD2＝AB2，由已知得出2AD2＝AB2，AC2+CE2＝2AE2，即可得出△ACE是奇异三角形；②由△ACE是奇异三角形，得出AC2+CE2＝2AE2，分两种情况，由直角三角形和奇异三角形的性质即可得出答案．【解答】（1）解：“等边三角形是奇异三角形”这个命题是真命题，理由如下：设等边三角形的边长为a，则a2+a2＝2a2，符合“奇异三角形”的定义，∴“等边三角形是奇异三角形”这个命题是真命题；故答案为：真；（2）解：∵∠C＝90°，∴a2+b2＝c2①，∵Rt△ABC是奇异三角形，且b＞a，∴a2+c2＝2b2②，由①②得：b＝a，c＝a，∴a：b：c＝1：：；（3）①证明：∵∠ACB＝∠ADB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，AD2+BD2＝AB2，∵AD＝BD，∴2AD2＝AB2，∵AE＝AD，CB＝CE，∴AC2+CE2＝2AE2，∴△ACE是奇异三角形；②解：由①得：△ACE是奇异三角形，∴AC2+CE2＝2AE2，当△ACE是直角三角形时，由（2）得：AC：AE：CE＝1：：，或AC：AE：CE＝：：1，当AC：AE：CE＝1：：时，AC：CE＝1：，即AC：CB＝1：，∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＝30°，∵AD＝BD，∠ADB＝90°，∴∠ABD＝45°，∴∠DBC＝∠ABC+∠ABD＝75°；当AC：AE：CE＝：：1时，AC：CE＝：1，即AC：CB＝：1，∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＝60°，∵AD＝BD，∠ADB＝90°，∴∠DBC＝∠ABC+∠ABD＝105°；综上所述，∠DBC的度数为75°或105°．。

2019年长郡郡维中学初二年级第一次限时检测数学试题限时：120分钟 总分120分 命题：文绍峰一、选择题（3×10=30） 1. 下列由数字组成的图形中，是轴对称图形的是（ ） A.B.C.D.2. 下列计算正确的是（ ） A. 32510()a a a ÷= B. 4242()a a a ÷=C. 2333(5)(2)10a b a a b --=D. 332251()()22a b a b a b -÷=-3. 计算2003200220042()1.5(1)3⨯⨯-的结果是（ ）A.23B.32C. 23- D. 32-4. 将五边形纸片ABCDE 按如图方式折叠，折痕为AF ，点E 、D 分别落在E '、D '，已知76AFC ︒∠=，则CFD ∠'等于（ ） A. 31︒B. 28︒C. 24︒D. 22︒5. 如图，12∠=∠，34∠=∠，在下面结论中错误的是（ ） A. ADC BCD ∆∆≌ B. ABD BAC ∆∆≌ C. ABO CDO ∆∆≌ D. AOD BOC ∆∆≌6. 343(2)x y -的运算结果是（ ） A. 676x y -B. 27648x y -C. 9126x y -D. 9128x y -7. 将一副直角三角尺如图放置，已知AEBC ，则AFD ∠的度数是（ ）第4题图 第5题图A. 45︒B. 50︒C. 60︒D. 75︒8. 下列说法正确的是（ ）A. 等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合B. 顶角相等的两个等腰三角形全等C. 等腰三角形一边不可以是另一边的二倍D. 等腰三角形的两个底角相等9. 到ABC ∆三个顶点距离相等的点是（ ） A. 三边中线的交点B. 三个内角平分线的交点C. 三边上的高所在直线的交点D. 三边垂直平分线的交点 10. 如图，110BAC ︒∠=，若MP 和NQ 分别垂直平分AB 和AC ，则PAQ ∠的度数是（ ） A. 40︒ B. 20︒C. 50︒D. 60︒二、填空题（4×5=20） 11. 计算32()x x -⋅= ．12. 如图，OA OB =，OC OD =，60O ︒∠=，25C ︒∠=，则BED ∠等于 度. 13. 在ABC ∆中，80A ︒∠=，D 为三条角平分线的交点，则BDC ∠= ．14. 已知40248162a a a a ⋅⋅⋅=，则a 的值为 ． 15．已知9m x =，27n x =，则32m n x += .三、解答题 16. 计算：①2322432222(4)()(2)()a b bc a b c a b c -⋅-⋅-⋅第7题图 第10题图②20072006200720072007241(1001)(0.125)()()()71311⨯-⨯-⨯-⨯-17. 已知P ，Q 是ABC ∆的边AB ，AC 上的点，请用尺规作图（无刻度）作图的方式在BC 边上确定一点R ，使PQR ∆的周长最短．（保留作图痕迹，写出作图过程并说明理由）18. 求证：等腰三角形两底角的角平分线相等．19. 如图，ABC ∆中，AB AC =，AB 的垂直平分线交AC 于E 点，垂足是D ，若BCE ∆的周长是7，3AC BC -=，求AB 和BC 的长.20. 如图所示，已知AE AB ⊥，AF AC ⊥，AE AB =，AF AC =．求证：（1）EC BF =；（2）EC BF ⊥．21. 如图所示，ABC ∆中，BAC ∠的平分线与BC 的垂直平分线相交于点E ，EF AB ⊥，EG AC ⊥，垂足分别为F 、G ，则BF CG =吗？说明理由．22. 如图，P 是∠AOB 的平分线上的一点，PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ，求证：OP 是线段EF 的垂直平分线．23. 如图，已知四边形ABCD 中，AD CD =，75ABC ︒∠=，60ADC ︒∠=，如果以线段BD ，AB ，BC 作为三角形的三边，则求所构成的三角形中BD 边所对角的度数．24. （1）观察推理：如图①，在ABC ∆中，90ACB ︒∠=，AC BC =，直线l过点C ，点A 、B 在直线l 的同侧，垂足分别为E 、D ．求证：AEC CDB ∆∆≌．（2）类比探究：如图②，在Rt ABC ∆中，90ACB ︒∠=，4AC =，将斜边AB 绕点A 逆时针旋转90︒至AB '，连接B C '，求AB C ∆'的面积．（3）拓展提升：如图③，在EBC ∆中，60E ECB ︒∠=∠=．3EC BC ==，点O 在BC 上，且2OC =，动点P 从点E 沿射线EC 以每秒1个单位长度的速度运动，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转120︒得到线段OF ．要使点F 恰好落在射线EB 上，求点P 运动的时间t ．。

2020-2021学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团八年级（上）开学数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项）1．（3分）下列各数中无理数有（）﹣π，，，0，3.725，3.207007…，3.14．A．1个B．2个C．3个D．4个2．（3分）下列命题中，真命题的是（）A．直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D．图形在平移过程中，对应线段平行且相等3．（3分）在方程x﹣3y＝8中，用含x的代数或表示y，正确的是（）A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝4．（3分）一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角（）A．相等B．相等或互补C．互补D．不能确定5．（3分）如果≈1.333，≈2.872，那么约等于（）A．28.72B．0.2872C．13.33D．0.13336．（3分）点P为直线l外一点，点A、B、C为直线l上的三点，P A＝4，PB＝5，PC＝2，则点P到直线l的距离为（）A．2B．4C．不大于2D．小于27．（3分）已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形的对角线条数是（）A．5B．7C．9D．108．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（）A．50°B．58°C．60°D．72°9．（3分）如图a∥b，M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3＝（）A．180°B．270°C．360°D．540°10．（3分）已知不等式组的解集为﹣1＜x＜1，则（a+1）（b﹣1）值为（）A．6B．﹣6C．3D．﹣311．（3分）已知等腰三角形的底边长为8，腰长为x，则x的取值范围是（）A．x＞4B．x＜4C．4＜x＜8D．0＜x＜412．（3分）已知方程组：的解是：，则方程组：的解是（）A．B．C．D．二．填空题（每小题3分，共18分）13．（3分）已知＝．14．（3分）一次数学测试共有10道题，按规定答对一道题得10分，答错或者不答题扣3分，某学生在这次数学测试中共得61分，则该生答对了道题．15．（3分）若关于x的不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是．16．（3分）两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是（2x﹣10）°和（110﹣x）°，则x＝．17．（3分）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF，则下列结论：①DE ＝DF；②AD平分∠BAC；③AE＝AD；④AB+AC＝2AE中，正确的是．18．（3分）如图，在Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝12，BC＝6，一条线段PQ＝AB，P、Q 两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，要使△ABC和△QP A全等，则AP＝．三、解答题（第19、20题各6分，第21、22题各8分，第23、24题各9分，第25、26题各10分）19．（6分）解方程组：．20．（6分）解不等式组：．21．（8分）阅读并理解下面的证明过程，并在每步后的括号内填写该步推理的依据．已知：如图，AM，BN，CP是△ABC的三条角平分线．求证：AM、BN、CP交于一点．证明：如图，设AM，BN交于点O，过点O分别作OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为点D，E，F．∵O是∠BAC角平分线AM上的一点（），∴OE＝OF（）．同理，OD＝OF．∴OD＝OE（）．∵CP是∠ACB的平分线（），∴O在CP上（）．因此，AM，BN，CP交于一点．22．（8分）金都汽车销售公司到某汽车制造厂选购A，B两种型号的轿车．用300万元可购进A型轿车10辆，B型轿车15辆，用300万元也可以购进A型轿车8辆，B型轿车18辆．（1）求A，B两种型号的轿车每辆分别为多少万元？（2）若该汽车销售公司销售1辆A型轿车可获利8000元；销售1辆B型轿车可获利5000元，该汽车销售公司准备用不超过400万元购进A，B两种型号的轿车共30辆，且这两种轿车全部售出后总获利不低于20.4万元，那么有几种购车方案？写出所有的购车方案．23．（9分）已知：如图，点D、E、F、G都在△ABC的边上，DE∥AC，且∠1+∠2＝180°（1）求证：AD∥FG；（2）若DE平分∠ADB，∠C＝40°，求∠BFG的度数．24．（9分）已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．（1）求证：△BAD≌△CAE；（2）请判断BD、CE有何大小、位置关系，并证明．25．（10分）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．（1）如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，P为AC上一点，当AP＝时，△ABP与△CBP为偏等积三角形．（2）如图2，△ABD与△ACD为偏等积三角形，AB＝2，AC＝6，且线段AD的长度为正整数，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，求AE的长度（3）如图3，已知△ACD为直角三角形，∠ADC＝90°，以AC，AD为边问外作正方形ACFB和正方形ADGE，连结BE，求证：△ACD与△ABE为偏等积三角形．26．（10分）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N．（1）若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，当∠MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；（2）当∠ACD+∠MDN＝90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；（3）如图③，在（2）的结论下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图3，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）2020-2021学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团八年级（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项）1．（3分）下列各数中无理数有（）﹣π，，，0，3.725，3.207007…，3.14．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：是分数，属于有理数；0是整数，属于有理数；3.725，3.14是有限小数，属于有理数；无理数有﹣π，，3.207007…共3个．故选：C．2．（3分）下列命题中，真命题的是（）A．直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D．图形在平移过程中，对应线段平行且相等【分析】根据垂线段公理对A进行判断；根据平行线的性质对B进行判断；根据垂直公理对C进行判断；根据平移的性质对D进行判断．【解答】解：A、直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短，此命题为真命题，B、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，所以B选项为假命题；C、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以C选项为假命题；D、图形在平移过程中，对应线段平行（或共线）且相等，所以D选项为假命题．故选：A．3．（3分）在方程x﹣3y＝8中，用含x的代数或表示y，正确的是（）A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝【分析】将原方程通过移项、系数化为1，变换成y＝ax+b的形式．【解答】解：移项，得﹣3y＝8﹣，方程两边同时除以﹣3，得y＝．故选：C．4．（3分）一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角（）A．相等B．相等或互补C．互补D．不能确定【分析】本题应分两种情况讨论，根据图形中∠1，∠2，∠3的两边互相平行，由图形可以看出∠1和∠2是邻补角，它们和∠3的关系容易知道一个相等，一个互补．【解答】解：如图，∠1，∠2，∠3的两边互相平行，∴∠3＝∠4，∠4＝∠1，∠4+∠2＝180°，∴∠3＝∠1，∠3+∠2＝180°，∴这两个角相等或互补．故选：B．5．（3分）如果≈1.333，≈2.872，那么约等于（）A．28.72B．0.2872C．13.33D．0.1333【分析】根据立方根，即可解答．【解答】解：∵≈1.333，∴＝≈1.333×10＝13.33．故选：C．6．（3分）点P为直线l外一点，点A、B、C为直线l上的三点，P A＝4，PB＝5，PC＝2，则点P到直线l的距离为（）A．2B．4C．不大于2D．小于2【分析】根据直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，可得连结直线外一点P与直线上任意点，所得线段中垂线段最短；然后根据P A＝4，PB＝5，PC＝2，可得三条线段的最短的是2，所以点P到直线l的距离不大于2，据此判断即可．【解答】解：连接直线外一点P与直线上任意点，所得线段中垂线段最短；因为P A＝4，PB＝5，PC＝2，所以三条线段的最短的是2，所以点P到直线l的距离不大于2．故选：C．7．（3分）已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形的对角线条数是（）A．5B．7C．9D．10【分析】设多边形的边数为n，根据题意得出（n﹣2）×180°＝540°，求出边数，再求出对角线条数即可．【解答】解：设多边形的边数为n，则（n﹣2）×180°＝540°，解得：n＝5，所以这个多边形的对角线的条数是，故选：A．8．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（）A．50°B．58°C．60°D．72°【分析】根据全等三角形对应角相等解答即可．【解答】解：∵两个三角形全等，∴α＝50°．故选：A．9．（3分）如图a∥b，M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3＝（）A．180°B．270°C．360°D．540°【分析】首先过点P作P A∥a，构造三条平行线，然后利用两直线平行，同旁内角互补进行做题．【解答】解：过点P作P A∥a，则a∥b∥P A，∴∠1+∠MP A＝180°，∠3+∠NP A＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°．故选：C．10．（3分）已知不等式组的解集为﹣1＜x＜1，则（a+1）（b﹣1）值为（）A．6B．﹣6C．3D．﹣3【分析】先解不等式，求出解集，然后根据题中已告知的解集，进行比对，从而得出两个方程，解答即可求出a、b．【解答】解：不等式组，解得，，即，2b+3＜x＜，∵﹣1＜x＜1，∴2b+3＝﹣1，，得，a＝1，b＝﹣2；∴（a+1）（b﹣1）＝2×（﹣3）＝﹣6．故选：B．11．（3分）已知等腰三角形的底边长为8，腰长为x，则x的取值范围是（）A．x＞4B．x＜4C．4＜x＜8D．0＜x＜4【分析】等腰三角形的两腰相等，所以另一个腰也为x，根据三边关系可列出不等式组．【解答】解：．x＞4．故选：A．12．（3分）已知方程组：的解是：，则方程组：的解是（）A．B．C．D．【分析】在此题中，两个方程组除未知数不同外其余都相同，所以可用换元法进行解答．【解答】解：在方程组中，设x+2＝a，y﹣1＝b，则变形为方程组，由题知，所以x+2＝8.3，y﹣1＝1.2，即．故选：C．二．填空题（每小题3分，共18分）13．（3分）已知＝5或﹣3．【分析】首先根据平方根概念求出（x﹣1）2＝16，然后根据16的平方根等于±4，求出x即可．【解答】解：∵＝4，∴（x﹣1）2＝16，∴x﹣1＝±4，所以x＝5或﹣3．故答案为：5或﹣3．14．（3分）一次数学测试共有10道题，按规定答对一道题得10分，答错或者不答题扣3分，某学生在这次数学测试中共得61分，则该生答对了7道题．【分析】设该同学答对的题数为x道．根据在这次竞赛中共得了61分，列方程求解．【解答】解：设该同学答对的题数为x道．根据题意得：10x﹣3（10﹣x）＝61，解得x＝7．故答案为：715．（3分）若关于x的不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是m≤2．【分析】根据不等式组的解集，可判断m与2的大小．【解答】解：因为不等式组的解集是x＞2，根据同大取较大原则可知：m＜2，当m＝2时，不等式组的解集也是x＞2，所以m≤2．故答案为：m≤2．16．（3分）两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是（2x﹣10）°和（110﹣x）°，则x＝40或80．【分析】根据两条直线交叉相交，形成4个角，对顶角相等，在同一条直线的两个角的和是180°解答即可．【解答】解：两条直线相交所成的四个角中，对顶角相等，邻补角互补，根据题意可得：（2x﹣10）°＝（110﹣x）°或（2x﹣10）°+（110﹣x）°＝180°，解得：x＝40或x＝80，故答案为：40或8017．（3分）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF，则下列结论：①DE ＝DF；②AD平分∠BAC；③AE＝AD；④AB+AC＝2AE中，正确的是①②④．【分析】由HL证明Rt△BDE≌Rt△CDF，得出对应边相等DE＝DF，得出AD平分∠BAC，①②正确；由AD＞AE，得出③不正确，由全等三角形的对应边相等得出BE＝CF，AE＝AF，得出④正确，即可得出结果．【解答】解：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴∠E＝∠DFC＝90°，在Rt△BDE和Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴DE＝DF，①正确，∴AD平分∠BAC，②正确，∵在Rt△ADE中，AD是斜边，∴AD＞AE，③不正确，∵Rt△BDE≌Rt△CDF，∴BE＝CF，AE＝AF，∴AB+AC＝AB+AF+CF＝AB+AE+BE＝2AE，④正确；正确的是①②④．故答案为：①②④．18．（3分）如图，在Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝12，BC＝6，一条线段PQ＝AB，P、Q 两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，要使△ABC和△QP A全等，则AP＝6或12．【分析】本题要分情况讨论：①Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP＝BC＝6，可据此求出P 点的位置．②Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC＝12，P、C重合．【解答】解：①当AP＝CB时，∵∠C＝∠QAP＝90°，在Rt△ABC与Rt△QP A中，，∴Rt△ABC≌Rt△QP A（HL），即AP＝BC＝6；②当P运动到与C点重合时，AP＝AC，在Rt△ABC与Rt△QP A中，，∴Rt△QAP≌Rt△BCA（HL），即AP＝AC＝12，∴当点P与点C重合时，△ABC才能和△APQ全等．综上所述，AP＝6或12．故答案为：6或12．三、解答题（第19、20题各6分，第21、22题各8分，第23、24题各9分，第25、26题各10分）19．（6分）解方程组：．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：，①+②得：4y＝12，解得：y＝3，把y＝3代入②得：x＝1，则方程组的解为．20．（6分）解不等式组：．【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：∵解不等式①得：x＜3，解不等式②得：x≥﹣2，∴不等式组的解集是﹣2≤x＜3．21．（8分）阅读并理解下面的证明过程，并在每步后的括号内填写该步推理的依据．已知：如图，AM，BN，CP是△ABC的三条角平分线．求证：AM、BN、CP交于一点．证明：如图，设AM，BN交于点O，过点O分别作OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为点D，E，F．∵O是∠BAC角平分线AM上的一点（已知），∴OE＝OF（角平分线上的一点到这个角的两边的距离相等）．同理，OD＝OF．∴OD＝OE（等量代换）．∵CP是∠ACB的平分线（已知），∴O在CP上（角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．因此，AM，BN，CP交于一点．【分析】根据角平分线的性质解答即可．【解答】证明：设AM，BN交于点O，过点O分别作OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为点D，E，F．∵O是∠BAC角平分线AM上的一点（已知），∴OE＝OF（角平分线上的一点到这个角的两边的距离相等）．同理，OD＝OF．∴OD＝OE（等量代换）．∵CP是∠ACB的平分线（已知），∴O在CP上（角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．因此，AM，BN，CP交于一点；故答案为：已知；角平分线上的一点到这个角的两边的距离相等；等量代换；已知；角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．22．（8分）金都汽车销售公司到某汽车制造厂选购A，B两种型号的轿车．用300万元可购进A型轿车10辆，B型轿车15辆，用300万元也可以购进A型轿车8辆，B型轿车18辆．（1）求A，B两种型号的轿车每辆分别为多少万元？（2）若该汽车销售公司销售1辆A型轿车可获利8000元；销售1辆B型轿车可获利5000元，该汽车销售公司准备用不超过400万元购进A，B两种型号的轿车共30辆，且这两种轿车全部售出后总获利不低于20.4万元，那么有几种购车方案？写出所有的购车方案．【分析】（1）等量关系为：10辆A型轿车总价钱+15辆B型轿车总价钱＝300；8辆A型轿车总价钱+18辆B型轿车总价钱＝300，把相关数值代入计算即可；（2）关系式为：A型轿车总价钱+B型轿车总价钱≤400；A型轿车总利润+B型轿车总利润≥20.4，求合适的正整数解即可．【解答】解：（1）设A型轿车每辆x万元，B型轿车每辆y万元．（1分）根据题意，可得（3分）解，得（4分）所以A型轿车每辆15万元，B型轿车每辆10万元．（5分）（2）设购进A型轿车a辆，则B型轿车（30﹣a）辆．（6分）根据题意，得，解这个不等式组，得18≤a≤20．因为a为整数，所以a＝18，19，20．30﹣a的值分别是12，11，10．因此有三种购车方案：方案一：购进A型轿车18辆，B型轿车12辆；方案二：购进A型轿车19辆，B型轿车11辆；方案三：购进A型轿车20辆，B型轿车10辆．23．（9分）已知：如图，点D、E、F、G都在△ABC的边上，DE∥AC，且∠1+∠2＝180°（1）求证：AD∥FG；（2）若DE平分∠ADB，∠C＝40°，求∠BFG的度数．【分析】（1）根据平行线的性质和判定证明即可；（2）利用平行线的性质和判定解答即可．【解答】证明：（1）∵DE∥AC∴∠2＝∠DAC∵∠l+∠2＝180°∴∠1+∠DAC＝180°∴AD∥GF（2）∵ED∥AC∴∠EDB＝∠C＝40°∵ED平分∠ADB∴∠2＝∠EDB＝40°∴∠ADB＝80°∵AD∥FG∴∠BFG＝∠ADB＝80°24．（9分）已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．（1）求证：△BAD≌△CAE；（2）请判断BD、CE有何大小、位置关系，并证明．【分析】（1）要证△BAD≌△CAE，现有AB＝AC，AD＝AE，需它们的夹角∠BAD＝∠CAE，而由∠BAC＝∠DAE＝90°很易证得．（2）BD、CE有何特殊位置关系，从图形上可看出是垂直关系，可向这方面努力．要证BD⊥CE，需证∠BDE＝90°，需证∠ADB+∠ADE＝90°可由直角三角形提供．【解答】证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS）．（2）BD＝CE，BD⊥CE，理由如下：由（1）知，△BAD≌△CAE，∴BD＝CE；∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD＝∠ACE，∵∠ABD+∠DBC＝45°，∴∠ACE+∠DBC＝45°，∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°，则BD⊥CE．25．（10分）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．（1）如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，P为AC上一点，当AP＝2时，△ABP与△CBP为偏等积三角形．（2）如图2，△ABD与△ACD为偏等积三角形，AB＝2，AC＝6，且线段AD的长度为正整数，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，求AE的长度（3）如图3，已知△ACD为直角三角形，∠ADC＝90°，以AC，AD为边问外作正方形ACFB和正方形ADGE，连结BE，求证：△ACD与△ABE为偏等积三角形．【分析】（1）利用三角形的中线的性质即可解决问题．（2）证明△ADB≌△EDC（AAS），推出AD＝DE，AB＝EC＝2，利用三角形的三边关系即可解决问题．（3）过点B作BH⊥AE，垂足为H，先证明△ABH≌△ACD，则CD＝HB．，依据三角形的面积公式可知S△ABE＝S△CDA，然后再依据偏等积三角形的定义进行证明即可．【解答】解：（1）如图1中，当AP＝PC＝2时，S△P AB＝S△PBC，∵△ABP与△PBC不全等，∴△ABP与△CBP为偏等积三角形，故答案为2．（2）如图2中，∵△ABD与△ACD为偏等积三角形，∴BD＝CD，∵AB∥EC，∴∠BAD＝∠E，∵∠ADB＝∠EDC，∴△ADB≌△EDC（AAS），∴AD＝DE，AB＝EC＝2，∵AC＝6，∴6﹣2＜AD＜6+2，∴4＜2AD＜8，∴2＜AD＜4，∵AD为正整数，∴AD＝3，∴AE＝2AD＝6．（3）如图3中，过点B作BH⊥AE，垂足为H．∵四边形ABFC和四边形ADGE均为正方形，∴∠HAC+DAC＝90°，∠BAH+∠HAC＝90°，AB＝AC，AD＝AE．∴∠BAH＝∠DAC．在△ABH和△ACD中，，∴△ABH≌△ACD（AAS）．∴CD＝HB．∵S△ABE＝AE•BH，S△CDA＝AD•DC，AE＝AD，CD＝BH，∴S△ABE＝S△CDA．∴△ACD与△ABE为偏等积三角形．26．（10分）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N．（1）若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，当∠MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；（2）当∠ACD+∠MDN＝90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；（3）如图③，在（2）的结论下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图3，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）【分析】（1）延长CB到E，使BE＝AM，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，证△MDN≌△EDN，推出MN＝NE即可；（2）延长CB到E，使BE＝AM，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，证△MDN≌△EDN，推出MN＝NE即可；（3）在CB截取BE＝AM，连接DE，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，证△MDN≌△EDN，推出MN＝NE即可．【解答】（1）AM+BN＝MN，证明：延长CB到E，使BE＝AM，∵∠A＝∠CBD＝90°，∴∠A＝∠EBD＝90°，在△DAM和△DBE中，∴△DAM≌△DBE，∴∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，∵∠MDN＝∠ADC＝60°，∴∠ADM＝∠NDC，∴∠BDE＝∠NDC，∴∠MDN＝∠NDE，在△MDN和△EDN中，∴△MDN≌△EDN，∴MN＝NE，∵NE＝BE+BN＝AM+BN，∴AM+BN＝MN．（2）AM+BN＝MN，证明：延长CB到E，使BE＝AM，连接DE，∵∠A＝∠CBD＝90°，∴∠A＝∠DBE＝90°，∵∠CDA+∠ACD＝90°，∠MDN+∠ACD＝90°，∴∠MDN＝∠CDA，∵∠MDN＝∠BDC，∴∠MDA＝∠CDN，∠CDM＝∠NDB，在△DAM和△DBE中，∴△DAM≌△DBE，∴∠BDE＝∠MDA＝∠CDN，DM＝DE，∵∠MDN+∠ACD＝90°，∠ACD+∠ADC＝90°，∴∠NDM＝∠ADC＝∠CDB，∴∠ADM＝∠CDN＝∠BDE，∵∠CDM＝∠NDB∴∠MDN＝∠NDE，在△MDN和△EDN中，∴△MDN≌△EDN，∴MN＝NE，∵NE＝BE+BN＝AM+BN，∴AM+BN＝MN．（3）BN﹣AM＝MN，证明：在CB截取BE＝AM，连接DE，∵∠CDA+∠ACD＝90°，∠MDN+∠ACD＝90°，∴∠MDN＝∠CDA，∵∠ADN＝∠ADN，∴∠MDA＝∠CDN，∵∠B＝∠CAD＝90°，∴∠B＝∠DAM＝90°，在△DAM和△DBE中，∴△DAM≌△DBE，∴∠BDE＝∠ADM＝∠CDN，DM＝DE，∵∠ADC＝∠BDC＝∠MDN，∴∠MDN＝∠EDN，在△MDN和△EDN中，∴△MDN≌△EDN，∴MN＝NE，∵NE＝BN﹣BE＝BN﹣AM，∴BN﹣AM＝MN．。

2019-2020学年湖南省长沙市天心区长郡中学八年级（上）开学数学试卷一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（）A．3cm，5cm，8cm B．8cm，8cm，18cmC．0.1cm，0.1cm，0.1cm D．3cm，40cm，8cm2．（3分）下列不等式的变形不正确的是（）A．若a＞b，则a+3＞b+3B．若a＜b，则﹣a＞﹣bC．若﹣x＜y，则x＞﹣2y D．若﹣2x＞a，则x＞﹣a3．（3分）如果|x+y﹣1|和（2x+y﹣3）2互为相反数，那么x，y的值为（）A．B．C．D．4．（3分）如果不等式（a﹣2）x＞a﹣2的解集是x＜1，那么a必须满足（）A．a＜0B．a＞1C．a＞2D．a＜25．（3分）在方程组中若x、y满足x+y＞0，则m的取值范围是（）A．m＞3B．m≥3C．m＜3D．m≤36．（3分）若不等式组无解，则m的取值范围是（）A．m≥3B．m≤3C．m＞3D．m＜37．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形8．（3分）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图，可说明△COD≌△C′O′D′，进而得出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS9．（3分）到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）A．三条中线的交点B．三条高的交点C．三条角平分线的交点D．三条边的垂直平分线的交点10．（3分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，BF＝CD，CE＝BD，那么∠EDF等于（）A．90°﹣∠A B．90°﹣∠A C．180°﹣∠A D．45°﹣∠A11．（3分）一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为2520°，则原多边形边数为（）A．13B．15C．13或15D．15或16或1712．（3分）如图，将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的A1，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为h1；还原纸片后，再将△ADE沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕D1E1到BC的距离记为h2：按上述方法不断操作下去…，经过第2019次操作后得到的折痕D2018E2018，到BC的距离记为h2019：若h1＝1，则h2019的值为（）A．B．C．D．二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）不等式组的最小整数解是．14．（3分）若x，y满足方程组，则x﹣6y＝．15．（3分）如图，已知△ABC≌△ADE，∠B＝80°，∠C＝25°，∠DAC＝15°，则∠EAC的度数为．16．（3分）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE，垂足分别为E，D，AD＝25，DE＝17，则BE＝．17．（3分）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，OC，以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤OC平分∠AOE．一定成立的结论有．18．（3分）如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P13P14＝P14A，则∠A的度数是．三、解答题（共66分）19．（8分）解二元一次方程组：（1）（2）20．（8分）（1）解不等式≥3﹣，并把解集在数轴上表示出来．（2）解不等式组，并写出该不等式组的整数解．21．（6分）如图，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数．22．（6分）列二元一次方程组解应用题：某居民小区为了绿化小区环境，建设和谐家园．准备将一块周长为76米的长方形空地，设计成长和宽分别相等的9块小长方形，如图所示．计划在空地上种上各种花卉，经市场预测，绿化每平方米空地造价210元，请计算，要完成这块绿化工程，预计花费多少元？23．（6分）如图，已知：D，E分别是△ABC的边BC和边AC的中点，连接DE，AD，若S△ABC＝24cm2，求△DEC的面积．24．（8分）某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元．（1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元，请设计几种购买方案供这个学校选择．25．（8分）如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF．求证：（1）Rt△ABF≌Rt△DCE；（2）OE＝OF．26．（8分）如图，A（﹣2，0）．（1）如图①，在平面直角坐标系中，以A为顶点，AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC，若B（0，﹣4），求C点的坐标；（2）如图②，P为y轴负半轴上一个动点，以P为顶点，P A为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，当P点沿y轴负半轴向下运动时，试问OP﹣DE的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．（3）如图③，已知点F坐标为（﹣4，﹣4），G是y轴负半轴上一点，以FG为直角边作等腰Rt△FGH，H点在x轴上，∠GFH＝90°，设G（0，m），H（n，0），当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，m+n的和是否变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．27．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，△ABC的顶点B、C的坐标分别为（﹣2，0）、（3，0），顶点A在y轴的正半轴上，△ABC的高BD交线段DA于点E，且AD＝BD．（1）求线段AE的长；（2）动点P从点E出发沿线段EA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，且点P到达A点处时P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，△PEQ的面积为S，请用含t的式子表示S，直接写出相应的t的取值范围；（3）在（2）问的条件下，点F是直线AC上的一点且CF＝BE，是否存在t值，使以点B、E、P为顶点的三角形与以点F，C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的t值；若不存在，请说明理由．2019-2020学年湖南省长沙市天心区长郡中学八年级（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（）A．3cm，5cm，8cm B．8cm，8cm，18cmC．0.1cm，0.1cm，0.1cm D．3cm，40cm，8cm【解答】解：A.3cm，5cm，8cm中，3+5＝8，故不能组成三角形；B.8cm，8cm，18cm中，8+8＜18，故不能组成三角形；C.0.1cm，0.1cm，0.1cm中，任意两边之和大于第三边，故能组成三角形；D.3cm，40cm，8cm中，3+8＜40，故不能组成三角形；故选：C．2．（3分）下列不等式的变形不正确的是（）A．若a＞b，则a+3＞b+3B．若a＜b，则﹣a＞﹣bC．若﹣x＜y，则x＞﹣2y D．若﹣2x＞a，则x＞﹣a【解答】解：A．若a＞b，不等式两边同时加上3得：a+3＞b+3，即A项正确，B．若a＜b，不等式两边同时乘以﹣1得：﹣a＞﹣b，即B项正确，C．若﹣x＜y，不等式两边同时乘以﹣2得：x＞﹣2y，即C项正确，D．若﹣2x＞a，不等式两边同时乘以﹣得：x＜﹣a，即D项错误，故选：D．3．（3分）如果|x+y﹣1|和（2x+y﹣3）2互为相反数，那么x，y的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵|x+y﹣1|和（2x+y﹣3）2互为相反数，即|x+y﹣1|+（2x+y﹣3）2＝0，∴，解得：，故选：C．4．（3分）如果不等式（a﹣2）x＞a﹣2的解集是x＜1，那么a必须满足（）A．a＜0B．a＞1C．a＞2D．a＜2【解答】解：∵不等式（a﹣2）x＞a﹣2的解集是x＜1，∴a﹣2＜0，解得a＜2．故选：D．5．（3分）在方程组中若x、y满足x+y＞0，则m的取值范围是（）A．m＞3B．m≥3C．m＜3D．m≤3【解答】解：，①+②得：3（x+y）＝3﹣m，即x+y＝（3﹣m），根据题意得：（3﹣m）＞0，解得：m＜3．故选：C．6．（3分）若不等式组无解，则m的取值范围是（）A．m≥3B．m≤3C．m＞3D．m＜3【解答】解：由不等式组无解，得m≤3，故选：B．7．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形【解答】解：设多边形的边数为n，由题意得，（n﹣2）•180°＝2×360°，解得n＝6，所以，这个多边形是六边形．故选：D．8．（3分）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图，可说明△COD≌△C′O′D′，进而得出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【解答】解：由题意可知，OD＝OC＝O′D′＝O′C′，CD＝C′D′，在△COD和△C′O′D′中，，∴△COD≌△C′O′D′（SSS），故选：A．9．（3分）到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）A．三条中线的交点B．三条高的交点C．三条角平分线的交点D．三条边的垂直平分线的交点【解答】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，∴到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．故选：C．10．（3分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，BF＝CD，CE＝BD，那么∠EDF等于（）A．90°﹣∠A B．90°﹣∠A C．180°﹣∠A D．45°﹣∠A【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C°，在△BDF和△CED中，，∴△BDF≌△CED（SAS），∴∠BFD＝∠CDE，∴∠FDB+∠EDC＝∠FDB+∠BFD＝180°﹣∠B＝180°﹣＝90°+∠A，则∠EDF＝180°﹣（∠FDB+∠EDC）＝90°﹣∠A．故选：B．11．（3分）一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为2520°，则原多边形边数为（）A．13B．15C．13或15D．15或16或17【解答】解：设新多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°＝2520°，解得n＝16，∵截去一个角后的多边形与原多边形的边数可以相等，多1或少1，∴原多边形的边数是15，16，17．故选：D．12．（3分）如图，将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的A1，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为h1；还原纸片后，再将△ADE沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕D1E1到BC的距离记为h2：按上述方法不断操作下去…，经过第2019次操作后得到的折痕D2018E2018，到BC的距离记为h2019：若h1＝1，则h2019的值为（）A．B．C．D．【解答】解：由折叠的性质可得：AA1⊥DE，DA＝DA1，又∵D是AB中点，∴DA＝DB，∴DB＝DA1，∴∠BA1D＝∠B，∴∠ADA1＝2∠B，又∵∠ADA1＝2∠ADE，∴∠ADE＝∠B，∴DE∥BC，∴AA1⊥BC，∴AA1＝2h1＝2，∴h1＝2﹣1＝1，同理，h2＝2﹣，h3＝2﹣×＝2﹣…∴经过第n次操作后得到的折痕D n﹣1E n﹣1到BC的距离h n＝2﹣．∴h2019＝2﹣．故选：B．二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）不等式组的最小整数解是0．【解答】解：解不等式x+2＞1，得：x＞﹣1，解不等式2x﹣1≤8﹣x，得：x≤3，则不等式组的解集为﹣1＜x≤3，∴不等式组的最小整数解为0，故答案为：0．14．（3分）若x，y满足方程组，则x﹣6y＝16.5．【解答】解：，①+②得：2x＝﹣5，解得：x＝﹣2.5，①﹣②得：6y＝﹣19，解得：y＝﹣，则x﹣6y＝﹣2.5+19＝16.5，故答案为：16.515．（3分）如图，已知△ABC≌△ADE，∠B＝80°，∠C＝25°，∠DAC＝15°，则∠EAC的度数为60°．【解答】解：∵∠B＝80°，∠C＝25°，∴∠BAC＝180°﹣80°﹣25°＝75°，∵△ABC≌△ADE，∴∠DAE＝∠BAC＝75°，∴∠EAC＝∠DAE﹣∠DAC＝75°﹣15°＝60°．故答案为60°．16．（3分）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE，垂足分别为E，D，AD＝25，DE＝17，则BE＝8．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴∠BCE+∠ACD＝90°，又∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°，∴∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠CBE＝∠ACD，在△CBE和△ACD中，，∴△CBE≌△ACD（AAS），∴BE＝CD，CE＝AD＝25，∵DE＝17，∴CD＝CE﹣DE＝AD﹣DE＝25﹣17＝8，∴BE＝CD＝8；故答案为：8．17．（3分）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，OC，以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤OC平分∠AOE．一定成立的结论有①②③⑤．【解答】解：∵△ABC和△CDE是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD与△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∴①正确，∵△ACD≌△BCE，∴∠CBE＝∠DAC，又∵∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠BCD＝60°，即∠ACP＝∠BCQ，又∵AC＝BC，∴△CQB≌△CP A（ASA），∴CP＝CQ，又∵∠PCQ＝60°可知△PCQ为等边三角形，∴∠PQC＝∠DCE＝60°，∴PQ∥AE②正确，∵△CQB≌△CP A，∴AP＝BQ③正确，∵AD＝BE，AP＝BQ，∴AD﹣AP＝BE﹣BQ，即DP＝QE，∵∠DQE＝∠ECQ+∠CEQ＝60°+∠CEQ，∠CDE＝60°，∴∠DQE≠∠CDE，故④错误；∵∠BAP+∠CAP+∠ABP＝120°，又∵∠CAP＝∠CBQ，∴∠BAP+∠CBQ+∠ABP＝120°，∴∠AOB＝60°，∴∠AOE＝120°，∴∠DOE＝∠DCE＝60°∴D，O，C，E四点共圆，∴∠OCD＝∠OED，∠ODC＝∠OEC，∵∠OED+∠OEC＝60°，∴∠OCD+∠ODC＝60°，∴∠AOC＝60°，∴∠COE＝∠AOC＝60°，∴OC平分∠AOE，故⑤正确．故答案为：①②③⑤．18．（3分）如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P13P14＝P14A，则∠A的度数是12°．【解答】解：设∠A＝x，∵AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P13P14＝P14A，∴∠A＝∠AP2P1＝∠AP13P14＝x，∴∠P2P1P3＝∠P13P14P12＝2x，∴∠P3P2P4＝∠P12P13P11＝3x，…，∠P7P6P8＝∠P8P9P7＝7x，∴∠AP7P8＝7x，∠AP8P7＝7x，在△AP7P8中，∠A+∠AP7P8+∠AP8P7＝180°，即x+7x+7x＝180°，解得x＝12°，即∠A＝12°．故答案为：12°．三、解答题（共66分）19．（8分）解二元一次方程组：（1）（2）【解答】解：（1），②×3﹣①得：13y＝﹣7，解得：y＝﹣，把y＝﹣代入②得：x＝，则方程组的解为；（2）方程组整理得：，①﹣②得：y＝15，把y＝15代入①得：x＝，则方程组的解为．20．（8分）（1）解不等式≥3﹣，并把解集在数轴上表示出来．（2）解不等式组，并写出该不等式组的整数解．【解答】解：（1）≥3﹣，去分母，得：2x≥30﹣5（x﹣1），去括号，得：2x≥30﹣5x+5，移项，得：2x+5x≥30+5，合并同类项，得：7x≥35，系数化为1，得：x≥5，将不等式的解集表示在数轴上如下：（2）解不等式①得：x≤1，解不等式②得：x＞﹣2，则不等式组的解集为﹣2＜x≤1，将不等式组的解集表示在数轴上如下：，所以，不等式组的整数解为﹣1，0，1．21．（6分）如图，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数．【解答】解：如图所示，连接CG，∵∠COG＝∠AOB，∴∠6+∠7＝∠OCG+∠OGC，又∵五边形CDEFG中，∠1+∠2+∠OCG+∠OGC+∠3+∠4+∠5＝540°，∴∠1+∠2+∠6+∠7+∠3+∠4+∠5＝540°．22．（6分）列二元一次方程组解应用题：某居民小区为了绿化小区环境，建设和谐家园．准备将一块周长为76米的长方形空地，设计成长和宽分别相等的9块小长方形，如图所示．计划在空地上种上各种花卉，经市场预测，绿化每平方米空地造价210元，请计算，要完成这块绿化工程，预计花费多少元？【解答】解：设小长方形的长为x米，宽为y米，依题意，得：，解得：，∴210×2x×（x+2y）＝75600（元）．答：要完成这块绿化工程，预计花费75600元．23．（6分）如图，已知：D，E分别是△ABC的边BC和边AC的中点，连接DE，AD，若S△ABC＝24cm2，求△DEC的面积．【解答】解：作高线AM．∵S△ABC＝BC•AM，S△ADC＝CD•AM又∵D是△ABC的边BC的中点，S△ABC＝24cm2，∴S△ACD＝S△ABC＝12cm2．同理，S△CDE＝S△ACD＝6cm2．24．（8分）某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元．（1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元，请设计几种购买方案供这个学校选择．【解答】（1）解：设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元，由题意得：，解之得：，答：甲种书柜单价为180元，乙种书柜的单价为240元．（2）解：设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买（20﹣m）个；由题意得：解之得：8≤m≤10因为m取整数，所以m可以取的值为：8，9，10即：学校的购买方案有以下三种：方案一：甲种书柜8个，乙种书柜12个，方案二：甲种书柜9个，乙种书柜11个，方案三：甲种书柜10个，乙种书柜10个．25．（8分）如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF．求证：（1）Rt△ABF≌Rt△DCE；（2）OE＝OF．【解答】证明：（1）∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABF与△DCE都为直角三角形，在Rt△ABF和Rt△DCE中，，∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）；（2）∵Rt△ABF≌Rt△DCE（已证），∴∠AFB＝∠DEC，∴OE＝OF．26．（8分）如图，A（﹣2，0）．（1）如图①，在平面直角坐标系中，以A为顶点，AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC，若B（0，﹣4），求C点的坐标；（2）如图②，P为y轴负半轴上一个动点，以P为顶点，P A为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，当P点沿y轴负半轴向下运动时，试问OP﹣DE的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．（3）如图③，已知点F坐标为（﹣4，﹣4），G是y轴负半轴上一点，以FG为直角边作等腰Rt△FGH，H点在x轴上，∠GFH＝90°，设G（0，m），H（n，0），当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，m+n的和是否变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．【解答】解：（1）作CD⊥x轴于D，∴∠ACD+∠CAD＝90°，∵∠CAB＝90°，∴∠BAO+∠CAD＝90°，∴∠BAO＝∠ACD，在△ACD和△BAO中，，∴△ACD≌△BAO，∴DC＝OA＝2，AD＝OB＝4，∴OD＝6，∴C点的坐标为（﹣6，﹣2）；（2）OP﹣DE的值不变，值为2，理由如下：作DF⊥y轴于F，∴∠PDF+∠DPF＝90°，∵∠APD＝90°，∴∠APO+∠DPF＝90°，∴∠APO＝∠PDF，在△APO和△DPF中，，∴△APO≌△DPF，∴PF＝OA＝2，DF＝OP，∴OP﹣DE＝OP﹣OF＝PF＝2；（3）m+n的和不变，值为﹣8，理由如下：作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，由（2）可知，△HNF≌△GNF，∴GN＝MH，FN＝FM＝OM＝4，m+n＝﹣（OG﹣OH）＝﹣（GN+ON﹣MH+OM）＝﹣（ON+OM）＝﹣8．27．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，△ABC的顶点B、C的坐标分别为（﹣2，0）、（3，0），顶点A在y轴的正半轴上，△ABC的高BD交线段DA于点E，且AD＝BD．（1）求线段AE的长；（2）动点P从点E出发沿线段EA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，且点P到达A点处时P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，△PEQ的面积为S，请用含t的式子表示S，直接写出相应的t的取值范围；（3）在（2）问的条件下，点F是直线AC上的一点且CF＝BE，是否存在t值，使以点B、E、P为顶点的三角形与以点F，C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的t值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵BD⊥AC，∴∠ADE＝∠BDC＝90°，∴∠CBD+∠ACB＝90°，∵∠AOC＝90°，∴∠OAC+∠ACB＝90°，∴∠OAC＝∠CBD，在△AED和△BCD中，，∴△AED≌△BCD（ASA），∴AE＝BC，∵B（﹣2，0），C（3，0）∴BC＝5，∴AE＝5．（2）分类讨论：①当点Q在线段BO上时，（如图1）S＝PE•OQ＝t（2﹣4t）＝﹣2t2+t，（0＜t＜）；②当点Q在线段BO的延长线上时，（如图2）S＝PE•OQ＝t（4t﹣2）＝2t2﹣t，（＜t≤5）；（3）有两种情况：①当点F在线段AC的延长线上时（如图3）可知∠BEP＝∠FCQ，BE＝CF，此时存在△PBE≌△QCF，则PE＝QC，此时CQ＝5﹣4t，PE＝t，∴5﹣4t＝t，解得：t＝1；②当点F在线段AC上时（如图4），点F与D重合，可知∠BEP＝∠FCQ，BE＝CF，此时存在△PBE≌△QCF，则PE＝QC，此时CQ＝4t﹣5，PE＝t，∴4t﹣5＝t，解得：t＝．。

2022-2023学年湖南省长沙市天心区长郡外国语实验中学八年级（上）入学数学试卷第I卷（选择题）一、选择题（本大题共10小题，共30分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列各数中：22，3.1415926，√5，0.2020020002…(每两个2中间依次增加1个0)，73，无理数的个数有( )π，√−8A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个2.已知每毫升血液中约有420万个红细胞，则5×102毫升血液中红细胞的个数用科学记数法表示为( )A. 21×1012B. 2.1×1013C. 21×108D. 2.1×1093.下列调查中，适宜采用抽样调查的是( )A. 调查某班学生的视力情况B. 调查冬奥会1000m短道速滑决赛运动员兴奋剂的使用情况C. 调查某批国产汽车的抗撞击能力D. 调查“神十四”载人飞船各零部件的质量4.一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的角度是( )A. 第一次右拐60°，第二次左拐120°B. 第一次左拐60°，第二次右60°C. 第一次左拐60°，第二次左拐120°D. 第一次右拐60°，第二次右拐60°5.如果实数a满足|2021−a|+√a−2022=a.那么a−20212的值是( )A. 2022B. 2021C. 2020D. 20196.中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在《九章算术》中记载了这样一个问题，大意为：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻.将一只雀、一只燕交换位置而放，则衡器两边的总重量相等，如果5只雀和6只燕的总重量为1斤，问雀、燕每1只各重多少斤？”如果设每只雀重x斤，每只燕重y斤，则下列方程组正确的是( )A. {4x +y =5y +x 5x +6y =1B. {5x +y =4y +x 5x +6y =1C. {4x +y =5y +x 6x +5y =1D. {5x +y =4y +x6x +5y =1 7. 不等式组{5x +2>3(x −1)12x −1≤7−32x 的非负整数解有( ) A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个8. 如图，点B 、C 、E 三点在同一直线上，且AB =AD ，AC =AE ，BC =DE ；若∠1+∠2+∠3=94°，则∠3的度数为( )A. 49°B. 47°C. 45°D. 43°9. 如图，已知△ABC 的周长是16，MB 和MC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，过点M 作BC 的垂线交BC 于点D ，且MD =4，则△ABC 的面积是( )A. 64B. 48C. 32D. 4210. 已知：如图，在△ABC ，△ADE 中，∠BAC =∠DAE =90°，AB =AC ，AD =AE ，点C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ，BE.以下四个结论：①BD =CE ；②∠ACE +∠DBC =45°；③BD ⊥CE ；④∠BAE +∠DAC =180°．其中结论正确的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共5小题，共15分）11. √16的平方根是______．12. 已知三角形的三边长分别是8、10、x ，则x 的取值范围是______．13. 如图，要把河中的水引到农田P 处，想要挖的水渠最短，我们可以过点P 作PQ 垂直河边l ，垂足为点Q ，然后沿PQ开挖水渠，其依据是______ ．14. 已知10+√3的整数部分是x ，小数部分是y ，求x −y 的相反数______ ．15. 如图，已知△ABC 中，∠A =50°，BE 平分∠ABC ，CE平分外角∠ACD ，则∠E = ______ 度.三、解答题（本大题共9小题，共65分。

2019-2020学年湖南省长沙市天心区长郡中学八年级上学期期中
考试数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选：D．
2．（3分）等式（x+4）0＝1成立的条件是（）
A．x为有理数B．x≠0C．x≠4D．x≠﹣4
【解答】解：∵（x+4）0＝1成立，
∴x+4≠0，
∴x≠﹣4．
故选：D．
3．（3分）下列运算中，正确的是（）
A．x6÷x2＝x3B．（﹣3x）2＝6x2C．3x3﹣2x2＝x D．（x3）2•x＝x7【解答】解：A、错误，应为x6÷x2＝x6﹣2＝x4；
B、错误，应为（﹣3x）2＝9x2；
C、错误，3x3与2x2不是同类项，不能合并；
D、（x3）2•x＝x6•x＝x7，正确．
故选：D．
4．（3分）若（2a+3b）（）＝4a2﹣9b2，则括号内应填的代数式是（）A．﹣2a﹣3b B．2a+3b C．2a﹣3b D．3b﹣2a
【解答】解：∵4a2﹣9b2＝（2a+3b）（2a﹣3b），
∴（2a+3b）（2a﹣3b）＝4a2﹣9b2，
第1 页共13 页。

2019-2020学年湖南省长沙市天心区湘郡培粹实验中学八年级（上）开学数学试卷一、单选题1．若等腰三角形一腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是（）A．75°或15°B．75°C．15°D．75°或30°2．如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（）A．AB＝2BF B．∠ACE＝∠ACBC．AE＝BE D．CD⊥BE3．如图，在平面内，两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p，q分别是点M到直线l1，l2的距离，则称（p，q）为点M的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是（2，1）的点共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．购甲、乙两种笔记本共用70元．若甲种笔记本单价5元，乙种笔记本单价15元，且甲种笔记本数量是乙种笔记本数量的整数倍，则购笔记本的方案有（）A．2种B．3种C．4种D．5种5．如果关于x的不等式组的整数解仅有7，8，9，设整数a与整数b的和为M，则M的值的个数为（）A．3个B．9个C．7个D．5个6．如图，已知AE是△ABC的角平分线，AD是BC边上的高，若∠ABC＝34°，∠ACB＝64°，则∠DAE的大小是（）A．5°B．13°C．15°D．20°7．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，且∠ACB＝∠BAD，AE平分∠CAD，交BC于点E，过点E作EF∥AC，分别交AB、AD于点F、G．则下列结论：①∠BAC＝90°；②∠AEF＝∠BEF；③∠BAE＝∠BEA；④∠B＝2∠AEF，其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个8．已知：如图，D、E、F分别是△ABC的三边的延长线上一点，且AB＝BF，BC＝CD，AC＝AE，S△ABC＝5cm2，则S△DEF的值是（）A．15cm2B．20cm2C．30cm2D．35cm29．已知：如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延长BC到点E，使CE＝2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为（）秒时．△ABP和△DCE全等．A．1B．1或3C．1或7D．3或710．如图，△ABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D，E两点，并连接BD，DE．若∠A＝30°，AB＝AC，则∠BDE的度数为何（）A．45B．52.5C．67.5D．7511．如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC＝150°，将△BCO绕点C按顺时针旋转60°得到△ACD，则下列结论不正确的是（）A．BO＝AD B．∠DOC＝60°C．OD⊥AD D．OD∥AB12．如图，∠BAC＝∠DAF＝90°，AB＝AC，AD＝AF，点D、E为BC边上的两点，且∠DAE＝45°，连接EF、BF．则下列结论：①△ABF≌△ACD；②△AED≌△AEF；③BE+DC＞DE；④∠FBE＝90°，其中正确的有（）个．A．1B．2C．3D．4二、填空题13．已知a、b、c为△ABC的三边，则化简|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|＝．14．阅读下列材料：设＝0.333…①，则10x＝3.333…②，则由②﹣①得：9x＝3，即．所以＝0.333…＝．根据上述提供的方法把下列两个数化成分数．＝，＝．15．三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是．16．若不等式2x＜4的解都能使关于x的一次不等式（a﹣1）x＜a+5成立，则a的取值范围是．17．如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF，若∠BAE＝25°，则∠ACF＝度．18．AD，BE是△ABC的高，这两条高所在的直线相交于点O，若BO＝AC，则∠ABC＝．三、解答题19．已知平面直角坐标中有一点M（2﹣a，3a+6），点M到两坐标轴的距离相等，求M的坐标．20．学生对小区居民的健身方式进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．请根据所给信息解答下列问题：（1）本次共调查人；（2）补全图（1）中的条形统计图，图（2）中“跑步”所在扇形对应的圆心角度数是；（3）估计2000人中喜欢打太极的大约有多少人？21．已知关于x、y的方程组的解都小于1，若关于a的不等式组恰好有三个整数解．（1）分别求出m与n的取值范围；（2）化简：|m+3|﹣﹣|2n+8|22．如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC的纸片，点D，E分别在边AB，AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A＝75°，求∠1+∠2的度数．23．某学校为开展“阳光体育”活动，计划拿出不超过3000元的资金购买一批篮球、羽毛球拍和乒乓球拍，已知篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价比为8：3：2，且其单价和为130元．（1）请问篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价分别是多少元？（2）若要求购买篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的总数量是80个（副），羽毛球拍的数量是篮球数量的4倍，且购买乒乓球拍的数量不超过15副，请问有几种购买方案？24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．（1）求∠CBE的度数；（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．25．如图，已知△ABC是等边三角形，D、F分别为BC、AB边上的点，AF＝BD，以AD为边作等边△ADE．（1）求证：AE＝CF；（2）求∠BEF的度数．26．已知：在△ABC中，∠ABC﹣∠ACB＝90°，点D在BC上，连接AD，且∠ADB＝45°（1）如图1，求证：∠BAD＝∠CAD；（2）如图2，点E为BC的中点，过点E作AD的垂线分别交AD的延长线，AB的延长线，AC于点F，G，H，求证：BG＝CH；（3）如图3，在（2）的条件下，过点E分别作EM⊥AG于点M，EN⊥AC于点N，若AB+AC＝26，EM+EN＝，求△AFG的面积．2019-2020学年湖南省长沙市天心区湘郡培粹实验中学八年级（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一、单选题1．【解答】解：当等腰三角形是锐角三角形时，如图1所示∵CD⊥AB，CD＝AC，∴sin∠A＝＝，∴∠A＝30°，∴∠B＝∠ACB＝75°；当等腰三角形是钝角三角形时，如图2示，∵CD⊥AB，即在直角三角形ACD中，CD＝AC，∴∠CAD＝30°，∴∠CAB＝150°，∴∠B＝∠ACB＝15°．故其底角为15°或75°．故选：A．2．【解答】解：∵CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，∴CD⊥BE，∠ACE＝∠ACB，AB＝2BF，无法确定AE＝BE．故选：C．3．【解答】解：因为两条直线相交有四个角，因此每一个角内就有一个到直线l1，l2的距离分别是2，1的点，即距离坐标是（2，1）的点，因而共有4个．故选：D．4．【解答】解：设购买甲种笔记本x个，则乙种笔记本y个，根据题意得5x+15y＝70，则x＝14﹣3y，因为为整数，而＝﹣3，所以y＝1，2，7，14，当y＝1时，x＝11；当y＝2时，x＝8；y＝7和y＝14舍去，所以购笔记本的方案有2种．故选：A．5．【解答】解：解不等式①得：x＞，解不等式②得：x≤，∴不等式组的解集为＜x≤，∵关于x的不等式组的整数解仅有7，8，9，∴6≤＜7，9≤＜10，解得：15≤a＜17.5，21≤b＜23，∴a＝15或16或17，b＝21或22或23，设整数a与整数b的和为M，则M的值有15+21，15+22，15+23，16+21，16+22，16+23，17+21，17+22，17+23共9个，故选：B．6．【解答】解：∵∠BAC＝180°﹣34°﹣64°＝82°，又∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝41°，∵∠ABC＝34°，AE是BC边上的高．∴∠BAE＝90°﹣34°＝56°，∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝56°﹣41°＝15°．故选：C．7．【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠C+∠CAD＝90°，∵∠BAD＝∠C，∴∠BAD+∠CAD＝90°，∴∠CAB＝90°，故①正确，∵∠BAE＝∠BAD+∠DAE，∠DAE＝∠CAE，∠BAD＝∠C，∴∠BAE＝∠C+∠CAE＝∠BEA，故③正确，∵EF∥AC，∴∠AEF＝∠CAE，∵∠CAD＝2∠CAE，∴∠CAD＝2∠AEF，∵∠CAD+∠BAD＝90°，∠BAD+∠B＝90°，∴∠B＝∠CAD＝2∠AEF，故④正确，无法判定EA＝EC，故②错误．故选：B．8．【解答】解：连接AD，EB，FC，如图所示：∵BC＝CD，三角形中线等分三角形的面积，∴S△ABC＝S△ACD；同理S△ADE＝S△ADC，∴S△CDE＝2S△ABC；同理可得：S△AEF＝2S△ABC，S△BFD＝2S△ABC，∴S△EFD＝S△CDE+S△AEF+S△BFD+S△ABC＝2S△ABC+2S△ABC+2S△ABC+S△ABC＝7S△ABC；故答案为：S△EFD＝7S△ABC＝7×5＝35cm2故选：D．9．【解答】解：因为AB＝CD，若∠ABP＝∠DCE＝90°，BP＝CE＝2，根据SAS证得△ABP≌△DCE，由题意得：BP＝2t＝2，所以t＝1，因为AB＝CD，若∠BAP＝∠DCE＝90°，AP＝CE＝2，根据SAS证得△BAP≌△DCE，由题意得：AP＝16﹣2t＝2，解得t＝7．所以，当t的值为1或7秒时．△ABP和△DCE全等．故选：C．10．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠A＝30°，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣30°）＝75°，∵以B为圆心，BC长为半径画弧，∴BE＝BD＝BC，∴∠BDC＝∠ACB＝75°，∴∠CBD＝180°﹣75°﹣75°＝30°，∴∠DBE＝75°﹣30°＝45°，∴∠BED＝∠BDE＝（180°﹣45°）＝67.5°．故选：C．11．【解答】解：由旋转的性质得，BO＝AD，CD＝CO，∠ACD＝∠BCO，∠ADC＝∠BOC＝150°，∵∠ACB＝60°，∴∠DCO＝60°，∴△OCD为等边三角形，∴∠DOC＝60°，故A，B正确；∵∠ODC＝60°，∠ADC＝∠BOC＝150°，∴∠ADO＝90°，∴OD⊥AD，故C正确；故选：D．12．【解答】解：①∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAF＝∠CAD，在△ABF和△ACD中，，∴△ABF≌△ACD（SAS），①正确；②∵∠DAF＝90°，∠DAE＝45°，∴∠F AE＝∠DAF﹣∠DAE＝45°．在△AED与△AEF中，，∴△AED≌△AEF（SAS），②正确；③由①得：△ABF≌△ACD，∴CD＝BF，由②知△AED≌△AEF，∴DE＝EF．在△BEF中，∵BE+BF＞EF，∴BE+DC＞DE，③正确；④由①知△ACD≌△ABF，∴∠C＝∠ABF＝45°，∵∠ABE＝45°，∴∠FBE＝∠ABE+∠ABF＝90°，④正确，正确的有4个，故选：D．二、填空题13．【解答】解：|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|，＝（a+b+c）﹣（﹣a+b+c）﹣（a﹣b+c）﹣（a+b﹣c），＝a+b+c+a﹣b﹣c﹣a+b﹣c﹣a﹣b+c，＝0，故答案为：0．14．【解答】解：设＝x＝0.777…①，则10x＝7.777…②则由②﹣①得：9x＝7，即x＝；根据已知条件＝0.333…＝．可以得到＝1+＝1+＝．故答案为：；．15．【解答】解：两边同时除以5得，，和方程组的形式一样，所以，解得．故答案为：．16．【解答】解：解不等式2x＜4得：x＜2，∵（a﹣1）x＜a+5，①当a﹣1＞0时，x＜，∴≥2，∴1＜a≤7．②当a﹣1＜0时，x＞，不合题意舍去．故答案为：1＜a≤7．17．【解答】解：在Rt△ABE与Rt△CBF中，，∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）．∴∠BAE＝∠BCF＝25°；∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝45°，∴∠ACF＝25°+45°＝70°；故答案为：70．18．【解答】解：∵AD、BE是锐角△ABC的高，∴∠AEO＝∠BDO＝90°，∵∠AOE＝∠BOD，∴∠DBO＝∠DAC，∵BO＝AC，∠BDO＝∠ADC＝90°∴△BDO≌△ADC（ASA），∴BD＝AD，∴∠ABC＝∠BAD＝45°，故答案为：45°．三、解答题19．【解答】解：∵点M的坐标为（2﹣a，3a+6），且点M到两坐标轴的距离相等，∴2﹣a＝3a+6或（2﹣a）+（3a+6）＝0，解得，a＝﹣1或a＝﹣4，∴M点坐标为（3，3）或（6，﹣6）．20．【解答】解：（1）18÷36%＝50（人）．故答案为：50；（2）球类的人数：50﹣3﹣17﹣18﹣5＝7（人），“跑步”所在扇形对应的圆心角度数是：＝36°，故答案为：36°；如图所示：（3）2000×＝120（人）．答：估计2000人中喜欢打太极的大约有120人．21．【解答】解：（1）解方程关于x、y的方程组得：，∵方程组的解都小于1，∴，解得：﹣3＜m＜1，解不等式组，解不等式①得：a≥﹣5，解不等式②得：a≤，∵不等式组恰好有三个整数解，∴﹣3≤＜﹣2，解得：﹣4≤n＜﹣；（2）∵﹣3＜m＜1，﹣3≤＜﹣2，∴|m+3|﹣﹣|2n+8|＝m+3﹣（1﹣m）﹣（2n+8）＝m+3﹣1+m﹣2n﹣8＝2m﹣2n﹣6．22．【解答】解：∵△A′DE是△ABC翻折变换而成，∴∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，∠A＝∠A′＝75°，∴∠AED+∠ADE＝∠A′ED+∠A′DE＝180°﹣75°＝105°，∴∠1+∠2＝360°﹣2×105°＝150°．23．【解答】解：（1）设篮球的单价为8x，则羽毛球拍的单价为3x，乒乓球拍的单价为2x．8x+3x+2x＝130，解得x＝10，∴8x＝80；3x＝30；2x＝20，答：篮球的单价为80元，羽毛球拍的单价为30元，乒乓球拍的单价为20元；（2）设篮球的数量为y，则羽毛球拍的个数为4y，乒乓球拍的数量为80﹣5y．，解得13≤y≤14，∴y＝13或14，答：有2种购买方案，篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的数量分别为：13，52，15或14，56，10．24．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，∴∠CBD＝130°．∵BE是∠CBD的平分线，∴∠CBE＝∠CBD＝65°；（2）∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°，∴∠CEB＝90°﹣65°＝25°．∵DF∥BE，∴∠F＝∠CEB＝25°．25．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝AB，∠CAB＝∠ABC＝60°，在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF（SAS），∴CF＝AD，∵△ADE是等边三角形，∴AE＝AD，∴AE＝CF；（2）解：∵△ABC和∠AED都是等边三角形，∴AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝60°，∴∠BAE＝∠CAD，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACD，∵AB＝BC，AF＝BD，∴BF＝CD，∴BE＝BF，∵∠EBF＝∠ACD＝60°，∴△BEF是等边三角形，∴∠BEF＝60°．26．【解答】（1）证明：如图1，设∠ACB＝a，则∠ABC＝∠ACB+90°＝a+90°，∠CAD＝∠ADB﹣∠C＝45°﹣a，在△ABC中，∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠BAC＝180°﹣（a+90°）﹣a＝90°﹣2a，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝45°﹣a，∴∠BAD＝∠CAD；（2）证明：如图2，过点B作BT⊥GH于点T，过点C作CR⊥RH交GH的延长线于点R，∵AF⊥CH，∴∠AFG＝∠AFH＝90°，∴∠G+∠F AG＝90°，∠AHF+∠F AH＝90°，∴∠G＝∠AHG＝∠CHR，在△BET和△CER中，，∴△BET≌△CER（AAS），∴BT＝CR，在△BGT和△CHR中，，∴△BGT≌△CHR（AAS），∴BG＝CH；（3）解：如图3，连接AE，在△AFG和△AFH中，∴△AFG≌△AFH（ASA），∴AG＝AH，∵AB+AC＝26，∴（AG﹣BG）+（AH+CH）＝26，∴AG＝AH＝13，∵S△AGH＝S△AEG+S△AEH∴S△AGH＝×13×EM+×13×EN＝×（EM+EN）＝×＝60，∵△AFG≌△AFH，∴S△AFG＝S△AGH＝30．。

湖南省长沙市天心区长郡中学2019-2020学年八年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.在图中，轴对称图形共有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2.如果(a−1)0=1成立，则()A. a≠1B. a=0C. a=2D. a=0或a=23.下列运算正确的是()A. 3a+4b=12aB. (ab3)2=ab6C. (5a2−ab)−(4a2+2ab)=a2−3abD. x12÷x6=x24.(−5a2+4b2)()=25a4−16b4，括号内应填()A. 5a2+4b2B. 5a2−4b2C. −5a2−4b2D. −5a2+4b25.如图，△ABC是等边三角形，P是AC的中线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q.若BF=2，则BE的长为()A. 2B. 2√3C. √3D. 36.下列各式中，与2ab−a2−b2相等的是()．A. −(a−b)2B. −(a+b)2C. (−a−b)2D. (−a+b)27.下列说法：①每一个图形都有对称轴；②等腰三角形都有对称轴；③△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，则△ABC和△A′B′C′全等；④五角星不是轴对称图形．其中正确的有()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个8.如图，在△ABC中，DE垂直平分BC交AB于点E，若BD=5，△ABC的周长为31，则△ACE的周长为()A. 18B. 21C. 26D. 289.若x2−2kx+25是一个完全平方式，则k=()A. 10B. ±10C. 5D. ±510.下列各式中，计算结果是2mn−m2−n2的是()A. (m−n)2B. −(m−n)2C. −(m+n)2D. (−m−n)211.如图，在△ABC中，AC=AD=DB，∠C=70°，则∠CAB的度数为()A. 75°B. 70°C. 40°D.35°12.如图，在△ABC中，AB=AC，AD，CE是△ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于BP+EP最小值的是()A. BCB. CEC. ADD. AC二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.分解因式−a2+4b2=______．14.若计算(x−2)(3x+a)不含x的一次项，则a=______ ．15.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D、F分别为AB、AC的中点，且DE⊥AB，FG⊥AC，点E、G在BC上，BC=18cm，则线段EG的长为_____________．16.计算：(a−1)2=______．17.在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°.AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB，垂足为点E；DF平分∠BDE，交AB于点F，FG⊥BC，垂足为点G，若AC=9，则FG=______．18.如图，在△ABC中，∠BAC:∠B:∠C=3:1:1，AD，AE将∠BAC三等分，则图中等腰三角形的个数是．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）19.计算(1)ab2⋅(−2a3b)3(2)(−3a2b)(3a2−2ab+4b2)(3)(6x4−4x3+2x2)÷(−2x2)(4)(x−5)(2x+5)−2x(x−3)四、解答题（本大题共8小题，共58.0分）20.因式分解(1)−2a3+12a2−18a(2)(x2+1)2−4x2．21.用乘法公式计算(1)998×1002；(2)(3a+2b−1)(3a−2b+1))的结果中不含关于字母x的一次项，求(a+2)2−(3−22.先化简，再求值：已知(x+a)(x−34a)(−a−3)的值．23.如图，在平面直角坐标系xOy中，A(–1,5)，B(–1,0)，C(–4,3)．(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并写出A′，B′，C′三点的坐标；(其中A′，B′，C′分别是A，B，C的对应点，不写画法)；(2)计算△ABC的面积．24.如图，在△ABC中，AB=AC，DE//BC。

2019年长郡郡维中学初二年级第一次限时检测数学试题限时：120分钟 总分120分 命题：文绍峰一、选择题（3×10=30） 1. 下列由数字组成的图形中，是轴对称图形的是（ ） A.B.C.D.2. 下列计算正确的是（ ） A. 32510()a a a ÷= B. 4242()a a a ÷=C. 2333(5)(2)10a b a a b --=D. 332251()()22a b a b a b -÷=-3. 计算2003200220042()1.5(1)3⨯⨯-的结果是（ ）A.23B.32C. 23- D. 32-4. 将五边形纸片ABCDE 按如图方式折叠，折痕为AF ，点E 、D 分别落在E '、D '，已知76AFC ︒∠=，则CFD ∠'等于（ ） A. 31︒B. 28︒C. 24︒D. 22︒5. 如图，12∠=∠，34∠=∠，在下面结论中错误的是（ ） A. ADC BCD ∆∆≌ B. ABD BAC ∆∆≌ C. ABO CDO ∆∆≌ D. AOD BOC ∆∆≌6. 343(2)x y -的运算结果是（ ） A. 676x y -B. 27648x y -C. 9126x y -D. 9128x y -7. 将一副直角三角尺如图放置，已知AEBC ，则AFD ∠的度数是（ ）第4题图 第5题图A. 45︒B. 50︒C. 60︒D. 75︒8. 下列说法正确的是（ ）A. 等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合B. 顶角相等的两个等腰三角形全等C. 等腰三角形一边不可以是另一边的二倍D. 等腰三角形的两个底角相等9. 到ABC ∆三个顶点距离相等的点是（ ） A. 三边中线的交点B. 三个内角平分线的交点C. 三边上的高所在直线的交点D. 三边垂直平分线的交点 10. 如图，110BAC ︒∠=，若MP 和NQ 分别垂直平分AB 和AC ，则PAQ ∠的度数是（ ） A. 40︒ B. 20︒C. 50︒D. 60︒二、填空题（4×5=20） 11. 计算32()x x -⋅= ．12. 如图，OA OB =，OC OD =，60O ︒∠=，25C ︒∠=，则BED ∠等于 度. 13. 在ABC ∆中，80A ︒∠=，D 为三条角平分线的交点，则BDC ∠= ．14. 已知40248162a a a a ⋅⋅⋅=，则a 的值为 ． 15．已知9m x =，27n x =，则32m n x += .三、解答题 16. 计算：①2322432222(4)()(2)()a b bc a b c a b c -⋅-⋅-⋅第7题图 第10题图②20072006200720072007241(1001)(0.125)()()()71311⨯-⨯-⨯-⨯-17. 已知P ，Q 是ABC ∆的边AB ，AC 上的点，请用尺规作图（无刻度）作图的方式在BC 边上确定一点R ，使PQR ∆的周长最短．（保留作图痕迹，写出作图过程并说明理由）18. 求证：等腰三角形两底角的角平分线相等．19. 如图，ABC ∆中，AB AC =，AB 的垂直平分线交AC 于E 点，垂足是D ，若BCE ∆的周长是7，3AC BC -=，求AB 和BC 的长.20. 如图所示，已知AE AB ⊥，AF AC ⊥，AE AB =，AF AC =．求证：（1）EC BF =；（2）EC BF ⊥．21. 如图所示，ABC ∆中，BAC ∠的平分线与BC 的垂直平分线相交于点E ，EF AB ⊥，EG AC ⊥，垂足分别为F 、G ，则BF CG =吗？说明理由．22. 如图，P 是∠AOB 的平分线上的一点，PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ，求证：OP 是线段EF 的垂直平分线．23. 如图，已知四边形ABCD 中，AD CD =，75ABC ︒∠=，60ADC ︒∠=，如果以线段BD ，AB ，BC 作为三角形的三边，则求所构成的三角形中BD 边所对角的度数．24. （1）观察推理：如图①，在ABC ∆中，90ACB ︒∠=，AC BC =，直线l过点C ，点A 、B 在直线l 的同侧，垂足分别为E 、D ．求证：AEC CDB ∆∆≌．（2）类比探究：如图②，在Rt ABC ∆中，90ACB ︒∠=，4AC =，将斜边AB 绕点A 逆时针旋转90︒至AB '，连接B C '，求AB C ∆'的面积．（3）拓展提升：如图③，在EBC ∆中，60E ECB ︒∠=∠=．3EC BC ==，点O 在BC 上，且2OC =，动点P 从点E 沿射线EC 以每秒1个单位长度的速度运动，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转120︒得到线段OF ．要使点F 恰好落在射线EB 上，求点P 运动的时间t ．。