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正态分布及其经典习题和答案教学教材

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正态分布及其经典习题和答案 4321

-1-4-22421

专题：正态分布 例：（1）已知随机变量X服从二项分布，且E（X）=2.4，V（X）=1.44，则二项分布的参数n，p的值为 A．n=4，p=0.6 B．n=6,p=0.4 C．n=8，p=0.3 D．n=24，p=0.1 答案：B。解析：4.2npXE，44.1)1(pnpXV。 （2）正态曲线下、横轴上，从均数到的面积为( )。 A．95% B．50% C．97.5% D．不能确定（与标准差的大小有关） 答案：B。解析：由正态曲线的特点知。 （3）某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数是 （ ） A 32 B 16 C 8 D 20 答案：B。解析:数学成绩是X—N(80,102)，

80809080(8090)(01)0.3413,480.3413161010PXPZPZ





。

（4）从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数之积的数学期望为___________ 。 答案：8.5。解析：设两数之积为X， X 2 3 4 5 6 8 10 12 15 20 P 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1

∴E(X)=8.5.

（5）如图，两个正态分布曲线图： 1为)(1,1x，2为)(22x， 则1 2，1 2（填大于，小于）

答案：＜，＞。解析：由正态密度曲线图象的特征知。 【课内练习】 1．标准正态分布的均数与标准差分别为( )。 A．0与1 B．1与0 C．0与0 D．1与1 答案：A。解析：由标准正态分布的定义知。 2．正态分布有两个参数与，( )相应的正态曲线的形状越扁平。

A．越大 B．越小 C．越大 D．越小 答案： C。解析：由正态密度曲线图象的特征知。 3．已在n个数据nxxx,,,21，那么

niixxn12

1

是指

A． B． C．2 D．2（ ） 答案：C。解析：由方差的统计定义知。

4．设),(~pnB，12E，4D，则n的值是 。 答案：4。解析：12npE，(1)4Dnpp 5．对某个数学题，甲解出的概率为23，乙解出的概率为34，两人独立解题。记X为解出该题

的人数，则E（X）= 。 答案：1712。解析：11121145(0),(1),3412343412PXPX231(2)342PX。

∴15117()012212212EX。

6．设随机变量服从正态分布)1,0(N，则下列结论正确的是 。 (1))0)(|(|)|(|)|(|aaPaPaP (2))0(1)(2)|(|aaPaP (3))0)((21)|(|aaPaP (4))0)(|(|1)|(|aaPaP 答案：(1),(2),(4)。解析：(||)0Pa。 7．抛掷一颗骰子，设所得点数为X，则D（X）= 。 答案：3512。解析：1(),1,2,,66PXkkL，按定义计算得735(),()212EXVX。

【作业本】 A组 1．袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以X表示取出球的最大号码，

则E（X）等于 （ ）

A、4 B、5 C、4.5 D、4.75 答案：C。解析：X的分布列为 X 3 4 5 P 0.1 0.3 0.6 故E（X）=30.1+40.3+50.6=4.5。

2．下列函数是正态分布密度函数的是 （ ）

A．2221)(rxexf B．2222)(xexf C．412221)(xexf D．2221)(xexf 答案：B。解析：选项B是标准正态分布密度函数。 3．正态总体为1,0概率密度函数)(xf是 （ ）

A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 答案：B。解析：221()2xfxe。 4．已知正态总体落在区间,2.0的概率是0．5，那么相应的正态曲线在x 时达到最高点。 答案：0.2。解析：正态曲线关于直线x对称，由题意知0.2。 5．一次英语测验由40道选择题构成，每道有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，每个选对得3分，选错或不选均不得分，满分120分，某学生选对一道题的概率为0.7，求该生在这次测验中的成绩的期望为 ；方差为 。 答案：84；75.6。解析：设X为该生选对试题个数，η为成绩，则X～B（50，0.7），η=3X∴E(X)=40×0.7=28 V(X)=40×0.7×0.3=8.4 故E(η)=E(3X)=3E(X)=84 V(η)=V(3X)=9V(X)=75.6 6．某人进行一个试验，若试验成功则停止，若实验失败，再重新试验一次，若试验三次均失败，则放弃试验，若此人每次试验成功的概率为32，求此人试验次数X的分布列及期望和方差。 解：X的分布列为 X 1 2 3 P 23 29 19 故22113()1233999EX，22211338()149()399981VX。

7．甲、乙两名射击运动员，甲射击一次命中10环的概率为0.5，乙射击一次命中10环的概率为s，若他们独立的射击两次，设乙命中10环的次数为X，则EX=34，Y为甲与乙命中10环的差的绝对值.求s的值及Y的分布列及期望. 答案：解：由已知可得),2(~sBX，故32,3

42ssEX所以．

有Y的取值可以是0，1，2. 甲、乙两人命中10环的次数都是0次的概率是361)31()21(22， 甲、乙两人命中10环的次数都是1次的概率是92)32313132)(21212121(， 甲、乙两人命中10环的次数都是2次的概率是91)3232)(2121( 所以36139192361)0(YP； 甲命中10环的次数是2且乙命中10环的次数是0次的概率是361)31()21(22， 甲命中10环的次数是0且乙命中10环的次数是2次的概率是91)3232)(212

1(

所以36591361)2(YP，故21)2()0(1)1(YPYPYP 所以Y的分布列是 Y 1 2 3 P 3613 21 36

5

所以 Y的期望是E（Y）=9

7。

B组 1．某产品的废品率为0.05，从中取出10个产品，其中的次品数X的方差是 （ ） A、0.5 B、0.475 C、0.05 D、2.5 答案：B。解析：X—B（10，0.05），()100.050.950.475VX。

2．若正态分布密度函数2121(),()2xfxexR，下列判断正确的是 （ ） A．有最大值，也有最小值 B．有最大值，但没最小值 C．有最大值，但没最大值 D．无最大值和最小值 答案：B。 3．在一次英语考试中，考试的成绩服从正态分布)36,100(，那么考试成绩在区间112,88内的概率是 A．0．6826 B．0．3174 C．0．9544 D．0．9974 答案：C。解析：由已知X—N（100，36）， 故88100112100(88112)()(22)2(2)10.954466PXPZPZPZ。

4．袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球得0分，每取到一个白球得1分，若取到一个红球则得2分，用X表示得分数，则E（X）=________；D(X)= _________. 答案：149；162165。解析：由题意知，X可取值是0，1，2，3，4。易得其概率分布如下： X 0 1 2 3 4 P 16 13 1136 16 1

36

E(X)=0×16+1×13＋2×1136＋3×16＋4×136＝149

V(X)= 20×16+21×13＋22×1136＋23×16＋24×136－2914＝162165 注：要求次品数的数学期望与方差，应先列出次品数X的分布列。 5．若随机变量X的概率分布密度函数是)(,221)(82,2Rxexx



，则)12(XE= 。

答案：-5。解析：2,2,(21)2()12(2)15EXEX。 6．一本书有500页，共有100个错字，随机分布在任意一页上，求一页上错字个数X的均值、标准差。 解：∵X—B1111(100,),()1000.2,()100(1)0.1996500500500500EXVX

X的标准差()0.04468VX。 8．一批电池（一节）用于手电筒的寿命服从均值为35.6小时、标准差为4.4小时的正态分布，随机从这批电池中任意取一节，问这节电池可持续使用不少于40小时的概率是多少？ 答案：解：电池的使用寿命X—N(35.6,4.42)

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正态分布练习含答案【范本模板】

正态分布练习含答案【范本模板】

正态分布一。

选择题：1。

正态分布有两个参数μ与σ,（ ）相应的正态曲线的形状越扁平。

A ．μ越大B ．μ越小C ．σ越大D ．σ越小答案: C 。

解析：由正态密度曲线图象的特征知。

2。

已知随机变量X 服从正态分布N （3，σ2）则P （X 〈3)等于 ( ）A 。

错误! B.错误! C 。

错误! D.错误!解析：由正态分布图象知，μ＝3为该图象的对称轴，P （X 〈3)＝P （X >3）＝错误!.答案:D3．设两个正态分布N (μ1，σ错误!）(σ1〉0)和N （μ2,σ错误!)(σ2>0）的密度函数图象如图所示，则有 （ ）A ．μ1<μ2，σ1<σ2B ．μ1〈μ2,σ1>σ2C ．μ1〉μ2，σ1〈σ2D ．μ1〉μ2，σ1〉σ2解析：由图可知，μ2〉μ1，且σ2>σ1. 答案：A4。

设随机变量ξ服从正态分布)1,0(N ，则下列结论不正确的是 .A ．)0)(|(|)|(|)|(|>=+<=<a a P a P a P ξξξB 。

)0(1)(2)|(|>-<=<a a P a P ξξC 。

)0)((21)|(|><-=<a a P a P ξξD. )0)(|(|1)|(|>>-=<a a P a P ξξ答案：C 解析:(||)0P a ξ==。

5. 某市组织一次高三调研考试,考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为f （x ）＝错误!e 2(80)200x e -- （x ∈R )，则下列命题不正确的是 （ )A ．该市这次考试的数学平均成绩为80分B ．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C ．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D ．该市这次考试的数学成绩标准差为10解析：由密度函数知，均值（期望)μ＝80，标准差σ＝10，又曲线关于直线x ＝80对称,故分数在100分以上的人数与分数在60分以下的人数相同，所以B 是错误的．答案：B6. 已知随机变量X ～N (3，22)，若X ＝2η＋3，则Dη等于 ( ）A ．0B ．1C ．2D ．4解析：由X ＝2η＋3,得DX ＝4Dη，而DX ＝σ2＝4，∴D η＝1.答案：B7。

正态分布练习含答案

正态分布练习含答案

正态分布一.选择题： 1.正态分布有两个参数μ与σ, 相应的正态曲线的形状越扁平;A ．μ越大B ．μ越小C ．σ越大D ．σ越小答案： C;解析：由正态密度曲线图象的特征知;2. 已知随机变量X 服从正态分布N 3,σ2则PX <3等于A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!解析：由正态分布图象知,μ＝3为该图象的对称轴,PX <3＝PX >3＝错误!.答案：D3．设两个正态分布Nμ1,σ错误!σ1>0和Nμ2,σ错误!σ2>0的密度函数图象如图所示,则有A ．μ1<μ2,σ1<σ2B ．μ1<μ2,σ1>σ2C ．μ1>μ2,σ1<σ2D ．μ1>μ2,σ1>σ2解析：由图可知,μ2>μ1,且σ2>σ1. 答案：A4.设随机变量ξ服从正态分布)1,0(N ,则下列结论不正确的是 ;A ．)0)(|(|)|(|)|(|>=+<=<a a P a P a P ξξξB. )0(1)(2)|(|>-<=<a a P a P ξξC. )0)((21)|(|><-=<a a P a P ξξD. )0)(|(|1)|(|>>-=<a a P a P ξξ答案：C 解析：(||)0P a ξ==;5. 某市组织一次高三调研考试,考试后统计的数学成绩服从正态分布,其密度函数为fx ＝错误!e 2(80)200x e -- x ∈R ,则下列命题不正确的是A ．该市这次考试的数学平均成绩为80分B ．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C ．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D ．该市这次考试的数学成绩标准差为10解析：由密度函数知,均值期望μ＝80,标准差σ＝10,又曲线关于直线x ＝80对称,故分数在100分以上的人数与分数在60分以下的人数相同,所以B 是错误的．答案：B6. 已知随机变量X ～N 3,22,若X ＝2η＋3,则Dη等于A ．0B ．1C ．2D ．4解析：由X ＝2η＋3,得DX ＝4Dη,而DX ＝σ2＝4,∴D η＝1.答案：B7. 在一次英语考试中,考试的成绩服从正态分布)36,100(,那么考试成绩在区间(]112,88内的概率是A ．0.6826B ．0.3174C ．0.9544D ．0.9974答案：C;解析：由已知X —N100,36, 故88100112100(88112)()(22)2(2)10.954466P X P Z P Z P Z --<≤=<≤=-<≤=≤-=; 8. 某班有48名同学,一次考试后的数学成绩服从正态分布,平均分为80,标准差为10,理论上说在80分到90分的人数是A. 32B. 16C. 8D. 20答案：B;解析:数学成绩是X —N80,102,80809080(8090)(01)0.3413,480.3413161010P X P Z P Z --⎛⎫≤≤=≤≤=≤≤≈⨯≈ ⎪⎝⎭;二．填空题9. 若随机变量X ～Nμ,σ2,则PX ≤μ＝________.解析：由于随机变量X ～Nμ,σ2,其概率密度曲线关于x ＝μ,对称,故PX ≤μ＝错误!.答案：错误!10. 已知正态分布总体落在区间0.2,＋∞的概率为0.5,那么相应的正态曲线fx 在x ＝________时达到最高点．解析：∵PX >0.2＝0.5,∴PX ≤0.2＝0.5,即x ＝0.2是正态曲线的对称轴．∴当x ＝0.2时,fx 达到最高点．答案：0.211. 在某项测量中,测量结果X 服从正态分布N 1,σ2σ>0．若X 在0,1 内取值的概率为0.4,则X 在0,2内取值的概率为________．解析：∵X 服从正态分布1,σ2,∴X 在0,1与1,2内取值的概率相同均为0.4.∴X 在0,2内取值概率为0.4＋0.4＝0.8答案：0.812. 商场经营的某种包装大米的质量单位：kg 服从正态分布X ～N 10,0.12,任选一袋这种大米,质量在9.8～10.2 kg 的概率是________．解析：P 8<X <10.2＝P 10－0.2<X <10＋0.2＝0.954 4.答案：0.954 413.若随机变量X 的概率分布密度函数是()228,1(),()22x x e x R μσφπ+-=∈,则)12(-X E = ;答案：-5;解析：2,2,(21)2()12(2)15E X E X σμ==--=-=⨯--=-;三．解答题14.设X ～N 10,1,设PX ≤2＝a ,求P 10<X <18．解： P 10<X <18 ＝P 2<X <10＝PX <10－PX ≤2＝错误!－a . 15.工厂制造的某机械零件尺寸X 服从正态分布 N 错误!,问在一次正常的试验中,取1 000个零件时,不属于区间3,5这个尺寸范围的零件大约有多少个解：∵X ～N 错误!,∴μ＝4,σ＝错误!.∴不属于区间3,5的概率为PX ≤3＋PX ≥5＝1－P 3<X <5＝1－P 4－1<X <4＋1＝1－Pμ－3σ<X <μ＋3σ＝1－0.997 4＝0.002 6≈0.003.∴1 000×0.003＝3个,即不属于区间3,5这个尺寸范围的零件大约有3个．16.某人乘车从A 地到B 地,所需时间分钟服从正态分布N 30,100,求此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率．解：由μ＝30,σ＝10,Pμ－σ<X≤μ＋σ＝0.682 6知此人在20分钟至40分钟到达目的地的概率为0.682 6,又由于Pμ－2σ<X≤μ＋2σ＝0.954 4,所以此人在10分钟至20分钟和40分钟至50分钟到达目的地的概率为0.954 4－0.682 6＝0.271 8,由正态曲线关于直线x＝30对称得此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率为0.135 9.17. 一批电池一节用于手电筒的寿命服从均值为35.6小时、标准差为4.4小时的正态分布,随机从这批电池中任意取一节,问这节电池可持续使用不少于40小时的概率是多少答案：解：电池的使用寿命X—N35.6,4.42则35.64035.6(40)()(1)1(1)0.15874.4 4.4XP X P P Z P Z--≥=≥=≥=-≤=即这节电池可持续使用不少于40小时的概率是0.1587;。

正态分布(人教A版)(含答案)

正态分布(人教A版)(含答案)

正态分布（人教A版）一、单选题(共7道，每道14分)1.下列关于正态曲线的描述：①曲线位于轴上方，与轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线对称；③曲线在处达到峰值；④曲线与轴之间的面积为1．其中正确的是( )A.①②③B.②③④C.①②④D.①②③④答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：正态分布2.下列实例：①某一地区同龄人群的身高；②一定条件下生长的小麦的株高；③某地每年七月份的平均气温；④随机抛掷一枚质地均匀的骰子，其向上一面的点数；其中服从或近似服从正态分布的随机现象是( )A.①②③④B.①②③C.②③④D.①②④答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：正态分布3.若，则位于区域内的概率为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：正态分布4.标准正态分布密度函数为，，则的最大值为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：正态分布5.若，则的值为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：正态分布6.若，则的值为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：正态分布7.商场经营的某种包装的大米质量（单位：kg）服从正态分布，任选一袋这种大米，质量在的概率为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：正态分布。

正态分布练习含答案

正态分布练习含答案

正态分布一.选择题：1.正态分布有两个参数μ与σ，( )相应的正态曲线的形状越扁平。

A ．μ越大B ．μ越小C ．σ越大D ．σ越小答案： C 。

解析：由正态密度曲线图象的特征知。

2. 已知随机变量X 服从正态分布N (3，σ2)则P (X <3)等于 ( )A.15B.14C.13D.12解析：由正态分布图象知，μ＝3为该图象的对称轴，P (X <3)＝P (X >3)＝12.答案：D3．设两个正态分布N (μ1，σ21)(σ1>0)和N (μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有 ()A ．μ1<μ2，σ1<σ2B ．μ1<μ2，σ1>σ2C ．μ1>μ2，σ1<σ2D ．μ1>μ2，σ1>σ2解析：由图可知，μ2>μ1，且σ2>σ1. 答案：A4.设随机变量ξ服从正态分布)1,0(N ，则下列结论不正确的是 。

A ．)0)(|(|)|(|)|(|>=+<=<a a P a P a P ξξξB. )0(1)(2)|(|>-<=<a a P a P ξξC. )0)((21)|(|><-=<a a P a P ξξD. )0)(|(|1)|(|>>-=<a a P a P ξξ答案：C 解析：(||)0P a ξ==。

5. 某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为f (x )＝12π·10e 2(80)200x e -- (x ∈R )，则下列命题不正确的是 ( )A ．该市这次考试的数学平均成绩为80分B ．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C ．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D ．该市这次考试的数学成绩标准差为10解析：由密度函数知，均值(期望)μ＝80，标准差σ＝10，又曲线关于直线x ＝80对称，故分数在100分以上的人数与分数在60分以下的人数相同，所以B 是错误的．答案：B6. 已知随机变量X ～N (3,22)，若X ＝2η＋3，则D η等于 ( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：由X ＝2η＋3，得DX ＝4D η，而DX ＝σ2＝4，∴D η＝1.答案：B7. 在一次英语考试中，考试的成绩服从正态分布)36,100(，那么考试成绩在区间(]112,88内的概率是 （ ）A ．0.6826B ．0.3174C ．0.9544D ．0.9974答案：C 。