南理工大学物理上第三章 刚体的转动

定轴转动：
转轴固定不动的转动。
显然，刚体是个理想化的模型，但是它有 实际的意义。 刚体是特殊的质点系， 其上各质点间的相对 位置保持不变。 质点系的规律都可用于刚体， 而且考虑到刚体的特点，规律的表示还可较一 般的质点系有所简化。
刚体的一般运动可看作： 随质心的平动
+
绕质心的转动
的合成
一般运动
2
I1
1 3
m2r
4 3
mr 2
r
摆锤转动惯量：
I 2 I C md
2
1 2
mr 2
2
I I1 I 2
4 3
mr
2
19 2
mr
2
65 6
mr
3-1-4
刚体对定轴的角动量定理 和转动定律
由质点系对轴的角动量定理，可得
dm 2π rdr
2
I r dm 2π r 3dr
o R
r
dr
I 2π r dr
3 0
R

π R 2
4

1 2
mR
2
转动惯量的大小取决于刚体的质量、形 状及转轴的位置 . a) 平行轴定理 质量为 m 的刚体，如果对 其质心轴的转动惯量为 I C ，则 对任一与该轴平行，相距为 d 的转轴的转动惯量
d
d
3g 2l
π 2 0
cos d
3g 2l cos d
A
π 2 0


0
d
C O

B
1 2
2

3g 2l
l
sin

3g 2l

第二节 转动惯量
1
一、转动惯量 刚体的动能等于各 质点动能之和。
2
刚体的动能 与平动动能比较
相当于描写转动惯性的物理量 转动惯量的定义： 单位： 千克 ·米2
3
§4.刚体的转动惯量/ 一、转动惯量
转动惯量
4
§4.刚体的转动惯量/ 二、转动惯量的计算
刚体的转动惯量与哪些物理量有关？ ①.与刚体质量有关。 ②.与质量对轴的分布有关。 ③.与轴的位置有关。
细棒转轴通过中 心与棒垂直
l
细棒转轴通过端 点与棒垂直
14
§4.刚体的转动惯量\ 三、典型刚体的转动惯量
2r
2r
球体转轴沿直径
球壳转轴沿直径
15
§4.刚体的转动惯量/ 三、典型刚体的转动惯量
四、平行轴定理 定理表述： 刚体绕平行于质心轴的转动惯 量 J，等于绕质心轴的转动惯量 JC 加上刚 体质量与两轴间的距离平方的乘积。
二.质量连续分布刚体的转动惯量计算
1.计算公式
5
§轻杆的 b 处 3b 处各系质量 为 2m和 m 的质点，可绕 o 轴转动，求： 质点系的转动惯量J。 解： 由转动惯量的定义
6
§4.刚体的转动惯量\ 二、转动惯量的计算
例2：长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕与 杆垂直的质心轴转动，求转动惯量 J。
建立坐标系，坐标原点选在边缘处。分 割质量元 dm ,长度为 dx ,
9
§4.刚体的转动惯量/ 二、转动惯量的计算
10
§4.刚体的转动惯量/ 二、转动惯量的计算
例4：半径为 R 质量为 M 的圆环，绕垂直 于圆环平面的质心轴转动，求转动惯量J。 解： 分割质量元 dm 圆环上各质量元到 轴的距离相等，

13
【例5】长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕与杆垂直的 质心轴转动，求转动惯量 J。
【解】建立坐标系，分割质量元
J x2dm

l2 l 2
x2Байду номын сангаас
ml dx
1 ml 2 12
x o x dx
【例6】长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕细杆一端轴 转动，求转动惯量 J。
【解】J x2dm
L
L
11
【例2】半径为 R 质量为 M 的圆环，绕垂直于圆环平 面的质心轴转动，求转动惯量J。
【解】分割质量元，环上各质元到轴的距离相等。
M
J
R2dm R2
M
dm
MR2
0
0
【例3】在无质轻杆的 b 处 3b 处各系质量为 2m 和 m 的质点，可绕 O轴转动，求质点系的转动惯量J。
刚体作定轴转动时, 刚体上各质点都作圆周运动。 各质点运动的线量一般不同，但角量完全相同。
1.角坐标
OP与极轴之间的夹角称 为角坐标（或角位置）
角坐标为标量，但可有正负。
o
P

x
在定轴转动过程中，角坐标是时间的函数： =(t)，称为转动方程。
3
2.角位移
角坐标的增量 称为刚体的角位移
i
i
i
得 LJ

v i m i ri
29
由刚体定轴转动定律
得到
MJ J
d dt
d( J ) dt

dL dt
M dL 定轴转动刚体角动量定理微分形式 dt
t
L
Mdt d
t0
L0
LLL0

F 解： a (3t 2 4t )i (12t 6) j m
v [(3t 2 4t )i (12t 6) j ]dt (t 3 2t 2 )i (6t 2 6t ) j
0
t
1 4 2 3 r [(t 2t )i (6t 6t ) j ]dt ( t t )i (2t 3 3t 2 ) j 0 4 3
A B A
B
C
C
A
B
C
*可用质心或任一点的运动来代表刚体的运动。
*平动是刚体的基本运动形式之一。
2.转动
*转动也是刚体的基本运动形 式之一，可分为定轴转动和 定点转动。
①定轴转动：运动中各质元均 做圆周运动，且各圆心都在同 一条固定的直线（转轴）上。
②定点转动：运动中刚体上只 有一点固定不动，整个刚体绕 过该定点的某一瞬时轴线转动。
m 1 2 y bdy ma ab 12
2
b 2 b 2
m 1 x adx mb2 ab 12
2
a
x
由垂直轴定理可得
1 J z J x J y m( a 2 b 2 ) 12
b
例题6 求质量为m、半径为R均匀圆盘的转动惯 量。轴与盘平面垂直并通过盘心。
R
解：取半径为r宽为dr的薄圆环； 圆盘的质量面密度为
M r F m
Or
·
0
M r F
M rF sin r0F
M
F
r0 r sin 称力臂 其中：
F

O
·
r


或： M 2.力偶矩
r F
例题2 物体在力场F (3t 2 4t )i (12t 6) j 中运动， 已知质量m=1kg，t=0时刻质点位于原点，且速度 为0。求:t=2s时该质点所受的对原点的力矩。