降维技术与方法综述

数据降维的常用方法
以下是 7 条关于数据降维的常用方法：
1. 主成分分析啊！这就像把一堆杂乱的拼图碎片整理出最关键的几块。

比如说，在分析一堆人的各种身体数据时，通过主成分分析，就能找出最能代表这些人特征的那几个关键指标，是不是超厉害！
2. 因子分析也不错呀！可以把复杂的关系变得简单明了。

就好比整理一个杂乱无章的房间，通过因子分析找到几个重要的类别，让房间瞬间清爽起来。

比如分析各种商品的销售数据，找出主要的影响因子。

3. 奇异值分解可别小瞧！它就像是在一座大宝藏中找到最闪亮的那些宝贝。

想象一下在大量的文档数据中，用奇异值分解提取出最核心的主题信息，哇，太酷了！
4. t-SNE 也值得一提呢！这就如同在茫茫人海中精准找到那些和你最
相似的人。

比如在分析图像特征时，t-SNE 能让相似的图像聚集在一起，多神奇！
5. 局部线性嵌入也很牛呀！它就像为数据开辟了一条捷径。

就好比在迷宫中找到最快到达终点的那条路一样。

像处理复杂的地理数据时，局部线性嵌入能发现隐藏的结构呢。

6. 拉普拉斯特征映射也好用呢！像是给数据穿上了一件合适的衣服，让它更合身。

比如在处理声音信号时，通过它来找到关键的特征。

7. 等距特征映射也不能忘啊！这简直就是给数据开了一道魔法之门。

想象一下在海量的交易数据中，它能迅速找到关键的模式，是不是很惊人！
总之，这些方法都各有各的神奇之处，掌握了它们，就能在数据的海洋中畅游啦！。

高维数据降维方法高维数据降维是机器学习领域中非常重要的研究方向之一。

在现实应用中，往往是面对海量的、高纬的数据，这时候，通过降维的方法可以缩短计算时间，提高数据质量，因此降维成为了机器学习、数据挖掘、计算机视觉等很多领域中必不可少的一步。

那么，什么是高维数据呢？简单来说，高维数据是指数据的特征维度非常多，比如上千、上万维甚至更高维度。

在高维数据中，往往存在着冗余信息，即一些特征虽然在该数据集中存在，但其本身并不重要，甚至对于最终的分类或者回归结果可能没有直接的贡献。

如果不进行降维处理，这些冗余的特征会对学习算法的准确性和速度造成负面影响。

因此降维技术的研究和实践具有很高的实用价值。

一是基于矩阵分解的降维方法。

这类方法的基本思路是对数据集进行矩阵分解，将数据映射到一个低纬的空间中，以达到降低数据维数的目的。

主要有奇异值分解(SVD)、主成分分析(PCA)、因子分析(Factor Analysis)等方法。

奇异值分解(SVD)是常用的一种矩阵分解方法。

通过对原始数据矩阵进行SVD分解，可以得到一组正交基向量和一组奇异值，这样就将原本的高维数据映射到了一个低维子空间中，从而实现了降维的目的。

主成分分析(PCA)是一种基于统计学思想的降维方法。

其基本思路是将原始数据经过线性变换，得到新的一组变量（即主成分），这样就将原本的高维数据表示为了少数几个主成分的线性组合。

另一种基于流形学习的降维方法。

流形是指在高维空间中具有低维结构特征的一类局部欧几里得空间，比如球面、圆环、螺旋等。

流形学习的基本思路是将高维数据的低维流形结构保留下来，降低冗余的特征维数。

其代表性方法有t-SNE、Isomap、LLE等。

这些方法在解决高维数据问题中得到了很好的应用。

t-SNE是一种流形学习的降维方法。

它不仅可以减少高维数据的维数，还能够保留高维空间中的局部结构特征。

这样就可以方便地观察高维数据的低维表示结果。

Isomap是一种基于距离度量的流形学习方法。

关于降维的理解
降维是指将一个高维空间中的复杂数据集压缩到低维空间中,以便于处理和分析。

降维可以减小数据集的大小,从而加速计算和分析,并且可以更好地可视化数据。

降维通常涉及以下步骤:
1. 数据预处理:对数据进行清洗、特征提取和数据转换等操作,以便于在低维空间中表示数据。

2. 确定降维阈值:通常选择一个适当的降维阈值,将数据集压缩到较低维的空间中。

3. 降维:通过线性变换、离散余弦变换等技术,将高维数据映射到低维空间中。

4. 特征缩放:如果低维空间中存在冗余特征,需要进行特征缩放,以确保低维空间中的特征表示尽可能准确。

降维可以应用于多个领域,如计算机视觉、自然语言处理、推荐系统等。

降维技术在数据挖掘、机器学习和深度学习中发挥着重要的作用。

世界降维的例子世界降维是指将高维空间的事物、现象或概念转化为低维空间的过程。

在物理学、数学和计算机科学等领域，世界降维是一种重要的思维方式和方法。

通过降维，我们可以更好地理解和处理复杂的问题，简化计算和分析过程，并发现隐藏在数据背后的规律和关联。

下面将介绍几个世界降维的例子。

1.主成分分析(PCA)主成分分析是一种常用的降维技术。

它通过线性变换将高维数据集投影到低维空间中，保留最大方差的成分，并丢弃其余成分。

例如，假设有一个包含许多特征的数据集，我们可以使用主成分分析找到可以代表数据集大部分信息的几个主要特征，从而降低数据的维度。

主成分分析在许多领域中被广泛应用，如图像处理、数据挖掘和模式识别等。

2.流形学习流形学习是一种非线性降维技术，它通过学习数据样本之间的流形结构来降低数据的维度。

流形是指在高维空间中具有低维结构的数据分布。

通过发现和利用数据样本之间的流形关系，流形学习可以将高维数据映射到低维空间中，从而减少数据的复杂性。

例如，t-SNE算法可以将高维数据集映射为二维或三维空间，以便于可视化和理解。

3.嵌入式特征选择嵌入式特征选择是一种将高维特征集与降维结合的方法。

它通过学习模型的同时选择出最重要的特征，从而减少特征的数量并提高模型性能。

例如，L1正则化可以通过惩罚模型参数中的非零系数来实现特征选择。

通过减少模型中不相关或冗余的特征，嵌入式特征选择可以大大降低特征空间的维度。

4.矩阵分解矩阵分解是一种将高维矩阵降维的技术。

它通过将一个大矩阵分解为几个低维矩阵的乘积，从而减少数据的维度和计算复杂度。

例如，奇异值分解(SVD)可以将一个矩阵分解为三个低秩矩阵的乘积。

这种分解可以帮助我们发现数据中的主要模式，并对数据进行降维和压缩。

5.时间序列降维时间序列降维是指对时间序列数据进行降维的方法。

由于时间序列数据通常具有高维度和复杂性，降维可以提高数据的易解释性和模型的性能。

例如，动态时间规整(DTW)是一种常用的时间序列降维方法，它通过计算两个时间序列之间的最佳对齐路径来减少数据的维度。

降维方法汇总小伙伴们！今天咱来汇总一下降维方法哈。

这降维方法在好多领域都挺有用的，像是数据分析、图像处理啥的。

咱一起来瞅瞅都有哪些厉害的降维方法吧。

一、主成分分析（PCA）这个主成分分析可是降维界的大明星呢！它的思路就是找到数据里那些最能体现信息的方向，把数据投影到这些方向上。

比如说，假设有一堆数据点在二维平面上分布得有点杂乱，PCA就能帮咱找到一个新的坐标轴方向，让数据在这个新轴上的分布更有规律。

具体咋操作呢？先得计算数据的协方差矩阵，然后求出这个矩阵的特征值和特征向量。

那些特征值大的特征向量对应的方向就是咱要找的主成分方向啦。

把数据投影到这些主成分方向上，就完成降维啦。

比如说，原来数据是10维的，咱通过PCA可能就把它降到5维或者3维啦，这样数据处理起来就轻松多咯。

二、线性判别分析（LDA）LDA和PCA有点不一样哈。

PCA主要是关注数据本身的结构，想找到最能体现数据变化的方向。

而LDA更侧重于分类，它的目标是找到那些能让不同类别数据分得更开的方向。

比如说咱有两类数据，LDA就会去寻找一个投影方向，让这两类数据在这个方向上的投影尽可能地分开。

它在计算的时候，会考虑数据的类内离散度和类间离散度。

类内离散度就是同一类数据内部的差异，类间离散度就是不同类数据之间的差异。

通过最大化类间离散度和最小化类内离散度，就能找到合适的投影方向，实现降维啦。

三、奇异值分解（SVD）SVD在降维里也很常用哟。

它可以把一个矩阵分解成三个矩阵相乘的形式，这三个矩阵分别有不同的意义。

在降维的时候，咱可以通过保留SVD分解中那些较大的奇异值对应的部分，把不重要的部分给去掉，这样就达到降维的目的啦。

比如说在图像处理里，一张图片可以看成是一个矩阵，用SVD对这个矩阵进行分解，然后保留一部分奇异值和对应的奇异向量，就能在不损失太多图像信息的情况下，把图像的数据量给降下来，存储和处理起来就更方便咯。

四、t 分布随机邻域嵌入（t SNE）t SNE在处理高维数据的可视化方面特别厉害哈。

降维方法聚类
降维方法是指将高维数据转化为低维数据的一种技术，聚类是指将数据按照相似性进行分组的一种方法。

将降维方法和聚类结合起来可以有效地处理高维数据。

常见的降维方法包括主成分分析(PCA)、线性判别分析(LDA)、局部线性嵌入(LLE)等。

这些方法可以将高维数据映射到低维空间，保留数据的主要信息。

在降维的基础上，再使用聚类算法，对数据进行分组。

常见的聚类算法包括K-means、层次聚类、DBSCAN等。

这些算法可以根据数据的相似性将数据分成若干个类别。

在低维空间中进行聚类可以提高聚类的效率，并且可以更好地探索数据之间的关系。

在实际应用中，降维方法和聚类算法可以结合使用，例如在图像识别、文本挖掘、生物信息学等领域中，这种方法可以帮助我们更好地理解和分析数据。

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什么是降维算法？随着数据量的不断增大和数据维度的不断提高，许多数据科学家和工程师面临的最大挑战之一就是如何有效地处理和分析高维数据。

这时就需要我们采用降维算法来解决这个问题。

降维算法的作用是将高维数据映射到低维空间，并保留最重要的信息。

这样既可以降低计算成本，提高算法的效率，又可以避免数据维度灾难。

本文将为您介绍降维算法的原理和应用，以及常用的降维算法。

1. 什么是降维算法？降维算法是一种基于数学变换的技术，用于将高维数据映射到低维空间。

通俗地说，就是将数据从复杂的多维空间中压缩到简单的低维空间中去。

降维算法不仅可以用于数据可视化，还可以用于机器学习、图像处理、聚类分析等领域。

降维算法的核心思想是在保留数据最重要的特征的同时，尽可能地压缩数据的维度，减少噪声的干扰，从而更好地解决问题。

2. 降维算法的原理在介绍具体的降维算法之前，我们先来了解一下降维算法的原理。

降维算法的原理是将高维数据映射到低维空间中，并通过一定的映射方式对数据进行压缩。

映射方式有很多种，常见的映射方式有PCA （主成分分析）、LDA（线性判别分析）等。

PCA是降维算法中最常用的一种方法。

其基本思想是通过正交变换将原数据转换为新的特征向量，使得新特征向量的维度尽可能小，并使得数据的信息损失最小。

LDA是一种有监督的降维算法，其基本思想是将原数据映射到一个能够区分不同类别数据的低维空间中去。

通过分析样本的蕴含关系，能够减少数据的维度，提高数据的解释性。

3. 常用的降维算法常用的降维算法有PCA、LDA、t-SNE等，下面我们来介绍一下常用的降维算法。

（1）PCAPCA是一种常用的无监督降维算法，其基本思想是通过正交变换将原数据转换为新的特征向量。

PCA可以将数据在原始空间中的方差最大化，从而尽可能保留原始数据的信息。

（2）LDALDA是一种有监督的降维算法，其基本思想是将原数据映射到一个能够区分不同类别数据的低维空间中去。

通过分析样本的蕴含关系，能够减少数据的维度，提高数据的解释性。

【深度学习】数据降维⽅法总结引⾔： 机器学习领域中所谓的降维就是指采⽤某种映射⽅法，将原⾼维空间中的数据点映射到低维度的空间中。

降维的本质是学习⼀个映射函数 f : x->y，其中x是原始数据点的表达，⽬前最多使⽤向量表达形式。

y是数据点映射后的低维向量表达，通常y的维度⼩于x的维度（当然提⾼维度也是可以的）。

f可能是显式的或隐式的、线性的或⾮线性的。

⽬前⼤部分降维算法处理向量表达的数据，也有⼀些降维算法处理⾼阶张量表达的数据。

之所以使⽤降维后的数据表⽰是因为：①在原始的⾼维空间中，包含有冗余信息以及噪⾳信息，在实际应⽤例如图像识别中造成了误差，降低了准确率；⽽通过降维,我们希望减少冗余信息所造成的误差,提⾼识别（或其他应⽤）的精度。

②⼜或者希望通过降维算法来寻找数据内部的本质结构特征。

在很多算法中，降维算法成为了数据预处理的⼀部分，如PCA。

事实上，有⼀些算法如果没有降维预处理，其实是很难得到很好的效果的。

数据降维的⽬的 数据降维，直观地好处是维度降低了，便于计算和可视化，其更深层次的意义在于有效信息的提取综合及⽆⽤信息的摈弃。

数据降维的⽅法 主要的⽅法是线性映射和⾮线性映射⽅法两⼤类。

⼀、线性映射 线性映射⽅法的代表⽅法有：PCA（Principal Component Analysis），LDA（Discriminant Analysis）1.1 主成分分析算法（PCA） 主成分分析(PCA) 是最常⽤的线性降维⽅法，它的⽬标是通过某种线性投影，将⾼维的数据映射到低维的空间中表⽰，并期望在所投影的维度上数据的⽅差最⼤，以此使⽤较少的数据维度，同时保留住较多的原数据点的特性。

是将原空间变换到特征向量空间内，数学表⽰为AX = γX。

为什么要⽤协⽅差矩阵来特向分解呢？ 协⽅差矩阵表征了变量之间的相关程度（维度之间关系）。

对数据相关性矩阵的特向分解，意味着找到最能表征属性相关性的特向（最能表征即误差平⽅最⼩）。

pca数据降维原理
PCA（主成分分析）是一种常用的数据降维方法，其原理是将数据从高维空间映射到低维空间，同时保留数据的主要特征，从而达到降维的目的。

PCA通过线性变换将原始数据投影到一个新的坐标系中，这个坐标系由数据的主要成分（即主轴）构成。

变换后的数据在新的坐标系中只保留了与主成分相关的信息，而与主成分无关或相关性较小的信息被去除或减少。

这样，数据维度就被降低了，同时保留了数据的主要特征。

PCA的具体步骤包括：
1.标准化数据：将原始数据进行标准化处理，使得每个特征具有平均值为0，标准差为1。

2.计算协方差矩阵：计算标准化后的数据协方差矩阵。

3.计算协方差矩阵的特征值和特征向量：对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和对应的特征向量。

4.选择主成分：根据特征值的大小，选择前k个最大的特征值对应的特征向量作为主成分。

5.投影数据：将原始数据投影到由主成分构成的新的坐标系中，得到降维后的数据。

PCA的优点包括：
1.无监督方法：PCA是一种无监督的降维方法，不需要标签信息。

2.保留主要特征：PCA能够保留数据的主要特征，使得降维后的
数据能够较好地反映原始数据的性质和规律。

3.线性变换：PCA是一种线性变换方法，计算相对简单，易于实现。

4.降维后的数据具有可解释性：PCA降维后的数据在新的坐标系中具有可解释性，方便后续的分析和处理。

需要注意的是，PCA适用于高维数据的降维处理，但并不适用于所有情况。

对于一些非线性、非高维的数据，PCA可能无法取得理想的效果。

mnf降维方法MNF降维方法MNF（Maximum Noise Fraction）降维方法是一种常用的遥感图像降维技术，它能够提取出图像中的主要信息并抑制噪声。

本文将介绍MNF降维方法的原理和应用。

一、MNF降维方法的原理MNF降维方法基于信号处理理论，通过将高维遥感图像转换成低维的噪声和信号子空间，实现对图像的降维处理。

具体来说，MNF降维方法通过对遥感图像进行主成分分析，将原始图像转换为一组新的正交变量，其中包含了图像中的主要信息。

MNF降维方法的核心思想是将图像分解为信号子空间和噪声子空间。

信号子空间包含了图像中的有效信息，而噪声子空间则包含了图像中的噪声。

通过对信号子空间和噪声子空间的分析，可以实现对图像有效信息的提取和噪声的抑制。

二、MNF降维方法的步骤MNF降维方法的具体步骤如下：1. 数据预处理：对遥感图像进行预处理，包括辐射校正、大气校正等，以提高数据质量。

2. 数据转换：将预处理后的图像转换为对数域或其他合适的域，以便更好地表达图像的统计特性。

3. 协方差矩阵计算：计算转换后图像的协方差矩阵，用于分析图像的统计特性。

4. 特征值分解：对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和特征向量。

5. 选择信号子空间：根据特征值的大小选择主要的特征向量，构成信号子空间。

6. 选择噪声子空间：根据特征值的大小选择次要的特征向量，构成噪声子空间。

7. 降维处理：将信号子空间和噪声子空间重新组合，得到降维后的图像。

三、MNF降维方法的应用MNF降维方法在遥感图像处理中有广泛的应用。

它可以用于图像分类、目标检测、变化检测等任务。

在图像分类中，MNF降维方法可以提取出图像中的主要信息，减少冗余信息的干扰，提高分类准确率。

在目标检测中，MNF降维方法可以提取出目标的特征，使目标在降维后的图像中更加明显，从而提高目标检测的效果。

在变化检测中，MNF降维方法可以提取出图像中的变化信息，帮助用户分析地表的变化情况。

高维数据的降维方法
随着数据的爆炸式增长，高维数据的处理越来越受到关注。

然而，高维数据的处理也带来了一些挑战。

首先，高维数据的存储和计算成本很高。

其次，高维数据的可视化和分析也变得更加困难。

为了解决这些问题，一些降维方法被提出。

降维方法的目标是将高维数据映射到低维空间，同时尽可能地保留数据的关键信息。

主要的降维方法包括主成分分析(PCA)、线性判别分析(LDA)、t-SNE等。

PCA是一种无监督学习方法，通过找到数据中的主要成分来降低数据的维度。

LDA则是一种有监督学习方法，它将数据映射到一个低维空间，使得在该空间中不同类别的数据点能够被更好地区分。

t-SNE是一种非线性降维方法，它通过在高维空间中保持数据点之间的相对距离来将数据映射到低维空间。

除了上述方法，还有一些其他的降维方法，如多维缩放(MDS)、局部线性嵌入(LLE)等。

这些方法在不同的数据集和应用场景中都有着广泛的应用。

在实际应用中，我们需要根据数据的特点和应用需求来选择合适的降维方法。

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高维数据分析中的降维与特征选择技术研究高维数据分析是指在数据集中存在大量的特征（维度）的情况下进行数据挖掘和分析的过程。

但是，高维数据分析面临着许多挑战，如计算复杂度增加、过拟合等问题。

为了克服这些挑战，降维和特征选择成为高维数据分析中十分重要的技术。

1. 降维技术降维技术旨在将高维数据映射到低维空间，同时保留数据的重要信息。

降维技术有两种主要方法：特征提取和特征投影。

特征提取通过将原始高维数据转换为一组新的维度来减少维度。

常见的特征提取方法有主成分分析（PCA）和线性判别分析（LDA）。

PCA通过线性变换将原始数据转换为新的正交特征，使得新特征能够尽量保留原始数据的方差。

LDA则是一种有监督的降维方法，它在保持类别间距离较大的同时，减小类别内部的方差。

特征投影是通过将原始高维数据映射到低维子空间来实现降维。

常见的特征投影方法有多维尺度变换（MDS）和随机投影。

MDS通过测量原始数据点之间的距离或相似性来构造一个低维度的表示。

随机投影是将原始数据点映射到一个随机生成的低维子空间中。

2. 特征选择技术特征选择技术是从原始高维数据中选择最相关或最具有代表性的特征子集。

目的是减少维度，并且能够保留原始数据的重要信息。

特征选择技术通常分为三类：过滤法、包装法和嵌入法。

过滤法通过计算每个特征与目标变量之间的相关性来选择特征。

常见的过滤法有相关系数、卡方检验和方差分析。

这些方法对特征与目标之间的关系进行统计分析，然后选择与目标变量相关性较高的特征。

包装法使用特定的学习算法来评估特征子集的性能，并根据评估结果选择特征。

这种方法通常基于预测模型的性能来选择特征子集。

常见的包装法有递归特征消除（RFE）和遗传算法。

嵌入法是在训练机器学习模型的过程中选择特征。

这种方法将特征选择过程嵌入到学习算法中，以优化模型的性能。

常见的嵌入法有L1正则化和决策树。

3. 降维与特征选择的应用降维和特征选择技术在高维数据分析中广泛应用于各个领域。

稀疏编码的降维方法与技巧在计算机科学领域，稀疏编码是一种常用的降维方法，用于处理高维数据。

通过稀疏编码，我们可以将复杂的数据表示为更简洁、更易于处理的形式，从而提高计算效率和减少存储空间的使用。

一、稀疏编码的基本原理稀疏编码的基本原理是寻找一个最优的表示，使得原始数据可以用尽可能少的非零元素来表达。

这样的表示可以看作是原始数据在一个低维空间中的投影，其中只保留了最重要的特征。

稀疏编码的核心是稀疏性约束，即对于给定数据，我们希望其表示尽可能地稀疏。

这意味着在表示中，大部分元素应该为零，只有少数元素为非零。

二、常用的稀疏编码方法1. L1范数正则化L1范数正则化是一种常用的稀疏编码方法。

它通过在优化问题中引入L1范数惩罚项，来促使稀疏性。

L1范数正则化可以通过最小化目标函数来实现，其中目标函数由两部分组成：数据拟合项和稀疏性惩罚项。

2. 稀疏自编码器稀疏自编码器是一种基于神经网络的稀疏编码方法。

它通过训练一个多层的神经网络，使得网络的隐藏层表示尽可能地稀疏。

稀疏自编码器可以通过反向传播算法进行训练，其中在反向传播的过程中，对隐藏层的激活值进行稀疏性约束。

3. 基于字典学习的方法字典学习是一种常见的降维方法，它可以通过学习一个字典，将原始数据表示为字典中的稀疏线性组合。

字典学习的目标是最小化原始数据与稀疏表示之间的重构误差，同时使得表示尽可能地稀疏。

三、稀疏编码的技巧1. 数据预处理在进行稀疏编码之前，通常需要对原始数据进行预处理。

常见的预处理方法包括数据标准化、降噪和特征选择等。

这些预处理方法可以帮助提取数据中的重要特征，从而提高稀疏编码的效果。

2. 参数调节稀疏编码方法中通常存在一些参数，如正则化参数、学习率等。

调节这些参数可以对稀疏编码的结果产生重要影响。

因此，在应用稀疏编码方法时，需要仔细选择和调节这些参数，以获得最佳的降维效果。

3. 结合其他方法稀疏编码方法可以与其他降维方法结合使用，以进一步提高降维效果。

高维数据降维算法综述景明利【摘要】分类介绍了目前具有代表性的数据降维方法,重点阐述了一种新的数据降维方法-压缩感知,在此基础上,分析了各种数据降维算法的优缺点,并对数据降维研究中存在的问题进行了剖析.【期刊名称】《西安文理学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(017)004【总页数】5页(P48-52)【关键词】数据降维;线性;非线性;局部;压缩感知【作者】景明利【作者单位】西安财经学院统计学院,西安710100【正文语种】中文【中图分类】O241近年来，随着信息技术的飞速发展，高维数据已经广泛产生于模式识别、医学统计、计算机视觉、数字图像处理等领域.高维数据给数据的传输与存储带来了新的挑战.如何从高维数据中有效的找出其特征信息，是信息科学与统计科学领域中的基本问题，也是高维数据分析面临的主要挑战.应对这个挑战的首要步骤是对高维数据进行有效地降维处理.所谓降维是指将高维空间中的数据通过线性或非线性映射投影到低维空间中，找出隐蔽在高维观测数据中有意义的并且能揭示数据本质的低维结构.通过此方法能够减少高维数据的维数灾难问题，促进高维数据的分类、压缩和可视化.数据降维的数学本质可表示为[1]：假设X={xi,i=1,…,N}是D维空间的一个样本集合，Y={yi,i=1,…,N}是d维空间的一个数据集(d≪D)，称F:X→Y是一个降维映射，表示为y=F(x)，也称y为x的低维表示.针对数据降维问题，传统方法是假设数据具有低维的线性分布，代表性方法是主要成分分析(PCA)[2]和线性判别分析(LDA)[3].它们已经形成了完备的理论体系，并且在应用中也表现出了良好的性态.但由于现实数据的表示维数与本质特征维数之间存在非线性关系，因此近几年来由ST Roweis和JB Tenenbaum[4][5]提出来的流形学习方法，已经逐渐成为数据特征提取方法的研究热点问题.这类方法假设高维数据分布在一个本质上低维的非线性流形上，在保持原始数据表示空间与低维流形上的不变量特征的基础上来进行非线性降维.因此，流形学习算法也称之为非线性降维方法,其中代表性算法包括基于谱分析的算法、等距特征映射算法(ISOMAP)[4]、局部线性嵌入算法(LLE)[5]、局部切空间排列(LTSA)[6]、核主成分分析(KPCA)[7]、Laplacian特征映射[8]、Hessian特征映射[9]等.后来,基于概率参数模型的算法也相继出现,如Charting[10].然而，这些算法很难被应用于识别问题.但一些基于谱分析的算法由于具有特殊的分解特性能够简单的扩展为线性算法，通过解决优化过程中的线性逼近来实现.这些扩展化的方法使得流形思想更容易的应用到了实际中.流形化的学习从最初的非监督学习扩展到了监督学习和半监督学习，流形学习已经成为了机器学习相关领域的一个研究热点.对现有主流降维方法，可以从不同的角度进行分类.比如，从算法执行过程、从几何结构的保留角度、从待处理的数据特性等等.本文从待处理的数据特性出发对几种典型的线性和非线性降维方法进行了详细地阐述，着重分析讨论了压缩感知这种新的降维方法，分析并给出了各种算法的特性，最后指出了有待解决的问题.基于维数灾难和小样本问题的存在，许多基于统计或者几何理论的数据降维方法被提出.从待处理的数据性质考虑，将现有的降维方法分为线性和非线性两大类.1.1 线性降维算法1.1.1 PCAPCA于20世纪初由Hotelling提出，通过对原始变量的相关矩阵或协方差矩阵结构的研究，将多个原随机变量转换为少数几个新的随机变量(能够反映原始变量绝大部分信息)，从而达到降维目的.设图像样本为X={x1,…,xN},xi∈Rm，N为总样本个数.根据最优重建准则，PCA目标函数为这里W∈Rm×m是变换阵，把样本从高维空间变换到低维空间.(1)式通过特征值分解得其中：其中是所有样本的均值，矩阵C是样本的协方差矩阵.事实上，W是C较大特征值对应的特征向量.1.1.2 LDALDA是根据著名的Fisher准则，对于二类(正类，负类)问题推广到多类问题，希望找到的优化方向是使得在低维空间中同类数据尽量靠近而非同类数据尽量分离，从而保留丰富的辨别信息，使投影后的数据具有最大的可分性.改进后的Fisher准则为：其中：[w1,w2,…,wd]是SB的前d个最大特征值对应的特征向量.也就是求SBwi=λiSWwi,i=1,…,d的特征值问题来求出最优的方向[w1,w2,…,wd]，d≤C-1.求出特征向量后，观测数据在这些特征向量上的投影系数就是对观测数据所提取的低维嵌入坐标.1.2 非线性降维算法对非线性降维算法，从高维数据几何结构被保留至低维空间的角度对算法进行分类：1.2.1 全局分析的流形算法(1)ISOMAPISOMAP法主要思想是利用局部邻域距离近似计算数据点间的流形测地距离，同时将高维数据间的测地距离进行推导，将低维嵌入坐标的求解转化为矩阵的特征值问题.实现起来分为三步:第一步，对高维空间数据集上的每个数据点，判断其k邻近(距离数据点最近的前k个数据)或ε邻近数据(数据点距离小于ε的所有数据)，然后连接并构成高维数据的带权邻域图；第二步，计算邻域图中任意数据对间的最短路径，将其作为近似测地线(所谓测地线就是一个曲面上，每一点处测地线曲率均为零的曲线)估计；第三步，利用多维尺度变换(MDS)算法对原数据集进行降维.(2)KPCAKPCA算法是对线性PCA的推广，使用了核方法即将核映射使用到数据处理方法中，其基本思想把输入数据x经过非线性映射Φ(x)映射到特征空间F上，在特征空间F上执行线性PCA.该算法的性能依赖于核的选取，核矩阵的大小与数据集中样本个数的平方成正比，但算法比较简单，能够处理非线性数据.1.2.2 局部分析的流形算法(1)LLELLE算法的主要思想是假设每个数据点与它邻近点位于流形的一线性或近似线性区域中，将全局非线性转换为局部线性.具体步骤分为三步：第一步，高维空间上建立原数据集的k邻近或ε邻近邻域图；第二步，计算数据的局部线性表示参数矩阵W，这可以通过求解下列约束优化问题：使得，且Wij=0，如果Xi,Xj互为邻域；第三步,将局部线性表示参数作为高维与低维数据的不变特征量，计算无约束优化问题获得降维结果Y(2)LTSALTSA算法主要思想是对每一个数据点构建一个局部切空间，然后对这些切空间进行一个放射变换从而得到一个全局嵌入的坐标.其主要步骤为三步：第一步，提取局部信息.对于样本点xi，选取k个邻近点(包含xi本身)，并记为Xi 的均值.计算协方差矩阵ieT)的d个最大的单位特征向量g1,…,gd，并记；第二步，构造排列矩阵B.可根据此式构造，这里Ii为邻域索引；第三步，得到全部嵌入坐标.对B进行特征分解，选取对应于第2个到第d+1个最小的特征值构造成向量矩阵[u2,…,ud+1]，则最终的嵌入坐标为T=[u2,…,ud+1]T.除了这两种算法，本类算法包括局部模型排列算法(ALM)[11]、局部线性坐标算法等.这些算法基本思想都是在局部分析后提取信息，在排列中使得这些信息在整体低维坐标中得到最大化保留.1.3 新的降维方法——压缩感知随着人们对信息需求量的增加，基于数据稀疏性提出一种新的采样理论——压缩感知(Compressed Sensing,CS)，使得高维数据的采样与压缩成功实现.该理论指出：只要数据在某个正交变换域中或字典中是稀疏的，那么就可以用一个与变换基不相关的观测矩阵将变换所得高维数据投影到一个低维空间上，然后通过求解一个优化问题从这些少量的投影中以高概率重构出原数据，可以证明这样的投影包含了重构数据的足够信息.假设有一数据f(f∈RN)，长度为N，基向量为Ψi(i=1,2,…,N)，对数据进行变换：显然f是数据在时域的表示，α是数据在Ψ域的表示.若(5)式中的α只有K个是非零值(N≫K)且经排序后按指数级衰减并趋近于零，可认为数据是稀疏的.如何找到数据的最佳稀疏表示是CS理论和应用的基础前提.Candes和Tao[12]研究表明，具有幂次速度衰减的数据，可利用压缩感知理论恢复，并且重构误差满足下式假设数据是可压缩的(原始数据在某变换域中可快速衰减)，则CS过程[13]可分为两步：(1)数据的低速采样问题:找一个与变换基不相关的M×N(M≪N)维测量矩阵对数据进行观测，保证稀疏向量从N维降到M维时，重要信息不被破坏.(2)数据的恢复问题:设计一个快速重构算法，由M维的测量向量重构原始数据.压缩感知理论以数据具有稀疏性为基础，有效缓解了高速采样实现的压力，达到了压缩的目的，为处理、传输、存储节约了大量的成本，这种新的采样理论的研究已经受到了多方关注，并取得了丰硕的成果.然而压缩感知理论目前面临的挑战为：电路中易于实现的采样矩阵的构造；鲁棒性强、算法复杂度低的恢复算法；非稀疏数据的稀疏化表示问题.压缩感知理论作为一种新的降维方法已经应用到数据处理等多个研究领域中，与此同时压缩感知理论与机器学习等领域的内在联系的研究工作已经展开.虽然上述各种数据降维算法被广泛应用于许多领域中，但是它们具有各自的优缺点，为了更好的应用这些算法，下面对这些算法的优缺点做一个简单的总结.PCA算法是一种无监督的学习方法，算法简单，具有线性误差等优点，但存在下述缺点：存储空间大，计算复杂度高，该算法中用到了线性映射也影响最后的效果，协方差矩阵的大小与数据点的维数成正比，导致了计算高维数据的特征向量是不可行的；LDA算法是一种有监督的学习方法，可以用于分类工作，但对于样本维数大于样本数的奇异值问题很敏感；ISOMAP算法虽具有拓扑不稳定性，计算复杂性大，对噪声敏感的局限性，但仍是一种优秀的方法，在许多研究领域被广泛采用，并取得了良好的效果；LLE算法具有以下优点：每个点的近邻权重在平移、旋转、缩放下保持不变；有解析的整体解，不需要进行迭代，复杂度较小，容易计算,但要求流形必须是不闭合且局部线性，要求观测的数据要稠密，对噪声也比较敏感；Laplacian特征映射的基本思想比较简单，计算起来也简单，但也要求观测数据采样稠密，对噪声敏感性很大；一般情况下，基于局部分析的算法在流形上的噪音数据较多，流形上的曲率较大，流形上的维数较高等情况下发挥不了优点，导致算法应用的失败；压缩感知算法是一种基于数据稀疏的优化计算恢复数据的过程，利用随机采样阵除去了冗余数据和无用的数据，缓解了高速采样的压力，减少了处理、存储、传输成本，不失为一种优秀的降维方法，但面临在噪声背景下，鲁棒性恢复算法的构想难题.本文对现有的分类方法进行了系统的分类，并对几种典型的线性和非线性降维方法进行了详细地阐述，着重分析讨论了一种新的降维方法即压缩感知，并指出了该算法的特性.目前降维算法仍在研究中，下列几个方面的研究值得关注：(1)非线性数据降维方法中都需要确定数据邻域尺寸和本质维数两个参数，如何确定更好的参数使得这些方法得到最大程度的改进.(2)前边提出的方法大多为局部方法，受噪音影响大，因此如何减少噪声的干扰、提高算法的鲁棒性是未来的研究方向.(3)现在的方法对动态增加的观测数据点不能快速的映射到低维空间中，因此学习改进增量算法具有一定的研究价值.(4)建立非凸的目标函数，不仅仅依赖于模型化数据流形的局部结构的邻域图，得到优化解.【相关文献】[1] 吴晓婷，闫德勤.数据降维方法分析与研究[J].计算机应用研究，2009，26(8)：2832-2835.[2] HOTELLING H.Analysis of a complex of statistical variables into principal components[J].Journal of Educational Psychology,1993,24:417-441.[3] FISHER R A.The use of multiple measurements in taxonomic problems.Annals of Eugenics[J].Annals of eugenics,1936,7:179-188.[4] TENENBAUM J B,SILVA V D,LANGFORD J C.A global geometric framework fo nonlinear dimensionality reduction[J].Science,2000,5500(290):2319-2323.[5] ROWEIS S T,SAUL L K.Nonlinear dimensionality reduction by locally linearembedding[J].Science,2000,5500(290):2323-2326.[6] ZHANG Z.Principal manifolds and nonlinear dimensionality reduction via tangent space alignment[J].SIAM Journal on Scientific Computing,2004.26(1):313-338.[7] SCHOLKOPF B.Nonlinear component analysis as a kernel eigenvalue problem[J].Neural Computation,1998,10:1299-1319.[8] BELKIN M,NIYOGI placian eigenmaps and spectral techniques for embedding and clustering[J].Advances in Neural Information Processing 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特征降维方法
特征降维是指从原始数据中提取出有用的特征，以减少数据的维度，从而提高算法的性能。

特征降维的方法有很多，下面介绍几种常用的特征降维方法：
1. 主成分分析（PCA）：PCA是一种常用的特征降维方法，它可以将原始数据中的多个特征映射到一个低维空间，从而减少数据的维度。

2. 线性判别分析（LDA）：LDA是一种有监督的特征降维方法，它可以将原始数据中的多个特征映射到一个低维空间，从而提高算法的性能。

3. 因子分析（FA）：FA是一种无监督的特征降维方法，它可以将原始数据中的多个特征映射到一个低维空间，从而减少数据的维度。

4. 单变量特征选择（SFS）：SFS是一种基于单变量的特征选择方法，它可以从原始数据中选择出最有用的特征，从而减少数据的维度。

5. 递归特征消除（RFE）：RFE是一种基于模型的特征选择方法，它可以从原始数据中选择出最有用的特征，从而减少数据的维度。

6. 基于树的特征选择（TSFS）：TSFS是一种基于树的特征选择方法，它可以从原始数据中选择出最有用的特征，从而减少数据的维度。

7. 稀疏正则化（SR）：SR是一种基于正则化的特征选择方法，它可以从原始数据中选择出最有用的特征，从而减少数据的维度。

以上就是常用的特征降维方法，它们可以帮助我们从原始数据中提取出有用的特征，从而提高算法的性能。