椭圆与双曲线常见题型归纳
题型一：弦的垂直平分线问题
弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，用到的知识是：垂直（两直线的斜率之积为-1）和平分（中点坐标公式）。 例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2
y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。
分析：过点T(-1,0)的直线和曲线N ：2
y x =相交A 、B 两点，则直线的斜率存在且不等于0，可以设直线的方程，联立方程组，消元，分析类一元二次方程，看判别式，运用韦达定理，得弦的中点坐标，再由垂直和中点，写出垂
直平分线的方程，得出E 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。 由2
(1)y k x y x
=+⎧⎨
=⎩消y 整理，得2222
(21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得2
2
4
2
(21)4410k k k ∆=--=-+>即2
1
04
k <<
② 由韦达定理，得：212221,k x x k -+=-121x x =。则线段AB 的中点为22
211
(,)22k k k --。 线段的垂直平分线方程为：2
2
1112()22k y x k k k --=--
令y=0,得021122x k =
-，则211
(,0)
22
E k -ABE ∆为正三角形，
∴211
(,0)
22
E k -到直线AB 的距离d 。
AB =22
1k k =
+d =2
1k +=
解得k =满足②式此时053
x =。 思维规律：直线过定点设直线的斜率k ，利用韦达定理法，将弦的中点用k 表示出来，再利用垂直关系将弦的垂直
k 确定，进而求出0x 的坐标。
例题2、已知椭圆12
22
=+y x 的左焦点为F ，O 为坐标原点。 （Ⅰ）求过点O 、F ，并且与2x =-相切的圆的方程；
（Ⅱ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围。
分析：第一问求圆的方程，运用几何法：圆心在弦的垂直平分线上，圆心到切线的距离等于圆心到定点的距离；第二问，过定点的弦的垂直平分线如果和x 轴相交，则弦的斜率存在，且不等于0，设出弦AB 所在的直线的方程，运用韦达定理求出弦中点的横坐标，由弦AB 的方程求出中点的总坐标，再有弦AB 的斜率，得到线段AB 的垂直平分线的方程，就可以得到点G 的坐标。
解：(I) ∵a 2
=2，b 2
=1，∴c=1，F(-1，0)，l:x=-2.∵圆过点O 、F,∴圆心M 在直线x=-上2
1 设M(-
t ,2
1
)，则圆半径：r =|(-21)-(-2)|=
23
由|OM|=r ，得23)2
1
(2
2
=
+-t ，解得t=±2，∴所求圆的方程为(x+21)2+(y ±2)2=4
9. (II)由题意可知，直线AB 的斜率存在，且不等于0,设直线AB 的方程为y=k(x+1)(k ≠0)，
代入2
2x +y 2=1，整理得(1+2k 2)x 2+4k 2x+2k 2
-2=0∵直线AB 过椭圆的左焦点F ，
∴方程一定有两个不等实根,设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 中点N(x 0，y 0)，
则x 1+x 1=-,12422+k k 2012212(),221k x x x k =+=-+002
(1)21
k
y k x k =+=+ ∴AB 垂直平分线NG 的方程为)(1
00x x k
y y --
=-令y=0，得 22002222121C k k x x ky k k =+=-+++2221121242k k k =-=-+++∵.02
1
,0<<-∴≠c x k
∴点G 横坐标的取值范围为（0,2
1
-
）。 技巧提示：直线过定点设直线的斜率k ，利用韦达定理，将弦的中点用k 表示出来，韦达定理就是同类坐标变换的技巧，是解析几何中解决直线和圆锥曲线问题的两大技巧之第一个技巧。再利用垂直关系将弦AB 的垂直平分线方程写出来，就求出了横截距的坐标（关于k 的函数）。直线和圆锥曲线中参数的范围问题，就是函数的值域问题。
练习1：已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b
y a x C 过点)23,1(，且离心率21
=e 。
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）若直线)0(:≠+=k m kx y l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过定点)0,8
1
(G ，求k 的取值范围。
分析：第一问中已知椭圆的离心率，可以得到,a b 的关系式，再根据“过点)2
3,1(”得到,a b 的第2个关系式，解方程组，就可以解出,a b 的值，确定椭圆方程。
第二问，设出交点坐标，联立方程组，转化为一元二次方程，通过判别式得出,k m 的不等式，再根据韦达定理，得出弦MN 的中点的横坐标，利用弦的直线方程，得到中点的纵坐标，由中点坐标和定点)0,8
1(G ，得垂直平分线的斜率，有垂直平分线的斜率和弦的斜率之积为-1，可得,k m 的等式，用k 表示m 再代入不等式，就可以求出k 的取值范围。
解：（Ⅰ）离心率2
1=e ，2213144b a ∴=-=，即22
43b a =（1）；
又椭圆过点)2
3,1(，则221914a b +=，（1）式代入上式，解得24a =，2
3b =，椭圆方程为22143x y +=。 （Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ，弦MN 的中点A 00(,)x y 由22
3412
y kx m x y =+⎧⎨
+=⎩得：222
(34)84120k x mkx m +++-=，直线)0(:≠+=k m kx y l 与椭圆交于不同的两点，2222644(34)(412)0m k k m ∴∆=-+->，即2243m k <+ (1)
由韦达定理得：21212228412,3434mk m x x x x k k -+=-=++，则2000
222
443,343434mk mk m
x y kx m m k k k =-=+=-+=+++， 直线AG 的斜率为：222
32434413234348
AG
m
m k K mk mk k k +==-----+， 由直线AG 和直线MN 垂直可得：2
2413234m
k mk k =----，即2348k m k +=-
，代入（1）式，可得
