②作差f(x1)－f(x2)，并适当变形
(“分解因式”、配方成同号项的和等)；
③依据差式的符号确定其增减性．
(2)导数法:
设函数y＝f(x)在某区间D内可导．如果f′(x)>0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f′(x)<0，则f(x)在区间D内为减函数．
注意：(补充)
（1）若使得f′(x)=0的x的值只有有限个，
则如果f′(x)0≥，则f(x)在区间D内为增函数；
如果f′(x) 0≤，则f(x)在区间D内为减函数．（2）单调性的判断方法：
定义法及导数法、图象法、
复合函数的单调性(同增异减)、
用已知函数的单调性等
(补充)单调性的有关结论
.
.
1．若f (x )，g (x )均为增(减)函数，
则f (x )＋g (x )仍为增(减)函数．
2．若f (x )为增(减)函数，
则－f (x )为减(增)函数，如果同时有f (x )>0， 则()1f x 为减(增)
(减)函数．
3．互为反函数的两个函数有相同的单调性．
4．y ＝f [g (x )]是定义在M 上的函数，
若f (x )与g (x )的单调性相同，
则其复合函数f [g (x )]为增函数；
若f (x )、g (x )的单调性相反，
则其复合函数f [g (x )]为减函数．
简称”同增异减”
.
5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同； 偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．
二、例题分析：
（一) 函数单调性的判断与证明
判断下列说法是否正确
(1)函数f (x )＝2x ＋1在(－∞，＋∞)上是增函数．( )
(2)函数f (x )＝1x
在其定义域上是减函数．( ) (3)已知f (x )＝x ，g (x )＝－2x ，则y ＝f (x )－g (x )在定义域上是增函数．( )
答案： √ × √
例1.
(2014·北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )
A ．y ＝x ＋1
B ．y ＝(x －1)2
C ．y ＝2－x
D ．y ＝log 0.5(x ＋1)
答案：A.例2.
判断函数f(x)＝ax
x ＋1在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．
法一：定义法
设－1则f(x1)－f(x2)＝ax1
x1＋1－ax2
x2＋1
＝ax1x2＋1－ax2x1＋1 x1＋1x2＋1
＝
a x1－x2
x1＋1x2＋1
∵－1∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0.
.
∴当a>0时，f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．
同理当a<0时，f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)，
∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．
法二：导数法
1.判断函数的单调性应先求定义域；
2.用定义法判断(或证明)函数单调性的一般步骤为：
取值—作差—变形—判号—定论，
其中变形为关键，而变形的方法有因式分解、配方法等；
3.用导数判断函数的单调性简单快捷，应引起足够的重视
（二）求复合函数、分段函数的单调性区间
例1
求函数y＝x－|1－x|的单调增区间
.
.
y ＝x －|1－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x ≥1，2x －1，x <1.
作出该函数的图象如图所示． 由图象可知，该函数的单调增区间是(－∞，1]．
例2.
求函数y＝log1
(x2－4x＋3)的单调区间．
3
解析:令u＝x2－4x＋3，
u与u＝x2－4x＋3的复合函原函数可以看作y＝log1
3
数．
令u＝x2－4x＋3>0.则x<1或x>3.
(x2－4x＋3)的定义域为
∴函数y＝log1
3
(－∞，1)∪(3，＋∞)．
又u＝x2－4x＋3的图象的对称轴为x＝2，且开口向上，∴u＝x2－4x＋3在(－∞，1)上是减函数，
在(3，＋∞)上是增函数．
u在(0，＋∞)上是减函数，
而函数y＝log1
3
.
