模拟题2011年考研数学三
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2011全国硕士研究生入学统一考试考前预测(数学三)
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
（1）设函数()fx有二阶连续导数，且0()1lim01cosxfxx，20()1lim111xfxx，则
(A)()fx在点0x处取极大值
(B)()fx在点0x处取极小值
(C)点(0,(0))f是曲线()yfx的拐点
(D)点0x不是()fx的极值点，点(0,(0))f也不是()yfx的拐点
[ ]
（2）设函数(,)fxy在全平面上都有(,)0fxyx，(,)0fxyy.则下列条件中能保证1122(,)(,)fxyfxy的是
(A) 1212,xxyy (B)1212,xxyy
(C) 1212,xxyy (D)1212,xxyy
[ ]
(3)累次积分cos200(cos,sin)dfrrrdr可以写成
(A)2100(,)yydyfxydx (B)21100(,)ydyfxydx
(C)1100(,)dxfxydy (D)2100(,)xxdxfxydy
[ ]
（4）设01p，级数11sin()1npnnxdxx
(A)绝对收敛 (B)条件收敛
(C)发散 (D)敛散性与p有关
[ ]
（5）设A，B是n阶可逆矩阵，满足ABAB.则
① ||||||ABAB； ② 111()ABAB；
③()0AEX只有零解； ④BE不可逆.
中正确的项数是
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
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（6）已知线性方程组12AXk有解，其中111121111A，1213，2131，则k等于
（A）1 （B）-1 （C）2 （D）-2
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（7）设A、B、C为事件，()0PABC，如果(|)(|)(|)PABCPACPBC，则
（A）(|)(|)PCABPCA （B）(|)(|)PCABPCB
（C）(|)(|)PBACPBA （D）(|)(|)PBACPBC
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（8）设12,,,nXXX是总体(0,1)N的简单随机样本，记11niiXXn，2211()1niiSXXn，2(1)(1)TXS，则()ET的值为
（A）0 （B）1 （C）2 （D）4
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二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.
（9）2020cos10xtxtdtedt的实根个数是_____.
（10）设(,)fxy存在一阶偏导数，且(1,1)1f，(1,1)2xf，(1,1)1yf.又
()(,(,(,)))xfxfxfxx，则(1)_____.
（11）设()yyx是由sin()ln1xexyy确定的隐函数，则(0)________y.
（12）幂级数1(2)3nnnxn的收敛域为____.
（13）设A是三阶矩阵，有特征值11，21，32.*A是A的伴随矩阵，E是三阶单位阵，则*0||_____.2AAEA
（14）已知随机变量X的概率分布为1{},(1,2,3)3PXkk，当Xk时随机变量Y在(0,)k上服从均匀分布，即0,0,{|},0,1,.yyPYyXkykkky则{2.5}____.PY
三、解答题：15～23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)（本题满分10分）
设函数()fx在点0x处二阶可导，且满足2301cos2lim()3xfxxxx.
求'(0),(0)ff与''(0)f.
（16）（本题满分11分）
计算二重积分(1)Dxyd,其中积分区域D由y轴与曲线224,2yxyxx围成.
（17）（本题满分10分）
设生产某种产品需投入甲、乙两种原料，x和y分别为甲、乙两种原料的投入量（单位：吨），Q为产出量，且生产函数为Qkxy，其中常数0k，0，0.已知甲种原料每吨的价格为1P（单位：万元），乙种原料每吨的价格为2P（单位：万吨）.如果投入总价值为A（万元）的这两种原料，当每种原料各投入多少吨时，才能获得最大的产出量？
（18）（本题满分10分）
设(,)fuv具有连续偏导数，且(,)(,)sin()uvuvfuvfuvuve，求2()(,)xyxefxx所满足的一阶微分方程，并求其通解.
（19）（本题满分11分）
设()fx在区间[,]ab上可导，且满足22()cos()cosabafbbfxxdxba.
求证至少存在一点(,)ab，使得()()tanff.
（20）（本题满分10分）
设四维向量组1(1,1,4,2)T，2(1,1,2,)Tb，3(3,1,,9)Ta，(1,3,10,)Tab.问：
(Ⅰ)当,ab取何值时，不能由123,,线性表出；
(Ⅱ)当,ab取何值时，能由123,,线性表出，并写出此时的表达式.
（21）（本题满分11分）
设二次型222123123121323(,,)33484TfxxxxAxxaxxxxxxxx其中2是二次型矩阵A的一个特征值.
(Ⅰ)试用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用正交变换；
(Ⅱ)求f在条件2221231xxx下的最小值，并求最小值点123(,,)xxx；
(Ⅲ)如果*AkE是正定矩阵，求k的取值.
（22）（本题满分11分）
设两随机变量(,)XY在区域D上均匀分布，其中{(,):||||1Dxyxy.又设UXY，VXY，试求：
(Ⅰ)U与V的概率密度()Ufu与()Vfv；
(Ⅱ) U与V的协方差cov(,)UV的相关系数UV.
（23）（本题满分10分）
设两随机变量(,)XY的概率密度为
(),01;(,)0,kxyyxfxy其它.
求(Ⅰ)常数k的值；
(Ⅱ) (,)XY的边缘密度()Xfx和()Yfy；
(Ⅲ)条件密度|(|)YXfyx和|(|)XYfxy；
(Ⅳ){1}PXY的值.
参考答案
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
（1）设函数()fx有二阶连续导数，且0()1lim01cosxfxx，20()1lim111xfxx，则
(A)()fx在点0x处取极大值
(B)()fx在点0x处取极小值
(C)点(0,(0))f是曲线()yfx的拐点
(D)点0x不是()fx的极值点，点(0,(0))f也不是()yfx的拐点
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正确答案：B．
解析：由0()1lim01cosxfxx，0lim(1cos)0xx，得0lim(()1)0xfx，而由()fx连续知()fx连续，所以0lim()(0)1xfxf.
于是2200()(0)()11cos(0)limlim01cosxxfxffxxxfxxxx，
所以0x是()fx的驻点.
又由20()1lim111xfxx，20lim(11)0xx，
得0lim(()1)(0)10xfxf，即(0)10f，
所以()fx在点0x处有(0)0f，(0)10f，
故点0x是()fx的极小值.应选（B).
（2）设函数(,)fxy在全平面上都有(,)0fxyx，(,)0fxyy.则下列条件中能保证1122(,)(,)fxyfxy的是
(A) 1212,xxyy (B)1212,xxyy
(C) 1212,xxyy (D)1212,xxyy
正确答案：C．
解析：由 (,)0fxyx，当固定y时，(,)fxy对x单调下降，故对12xx时，有
1121(,)(,)fxyfxy；
又由(,)0fxyy，，当固定x时，(,)fxy对y单调上升，故对12yy时，有
2122(,)(,)fxyfxy；
因此，当1212,xxyy时，有 112122(,)(,)(,)fxyfxyfxy.应选(C).
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(3)累次积分cos200(cos,sin)dfrrrdr可以写成
(A)2100(,)yydyfxydx (B)21100(,)ydyfxydx
(C)1100(,)dxfxydy (D)2100(,)xxdxfxydy
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正确答案：D．
解析：由题设可知积分区域在极坐标系cos,sinxryr下是{(,)|0,0cos}2Drr，D的图形如图所示.
它在直角坐标系下是2{(,)|01,0}Dxyxyxx或
{(,)|01,Dxyy221111}2424yy，因此，这个二重积分在直角坐标下化为累次积分应为2100(,)xxdxfxydy或221112411024(,)yydyfxydx.
由此可见（D）是正确的，应选（D）.
