2013届北京西城区高三数学理科一模试卷及答案
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1 / 11 北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末试卷
高三数学（理科） 2013.1
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知集合{|01}AxxR，{|(21)(1)0}BxxxR，则AB（ ）
（A）1(0,)2 （B）(1,1)
（C）1(,1)(,)2 （D）(,1)(0,)
2．在复平面内，复数5i2i的对应点位于（ ）
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
3．在极坐标系中，已知点(2,)6P，则过点P且平行于极轴的直线的方程是（ ）
（A）sin1 （B）sin3 （C）cos1 （D）cos3
4．执行如图所示的程序框图．若输出15S， 则框图中
① 处可以填入（ ）
（A）2k
（B）3k
（C）4k
（D）5k
2 / 11 5．已知函数()cosfxxbx，其中b为常数．那么“0b”是“()fx为奇函数”的（ ）
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
6．已知,ab是正数，且满足224ab．那么22ab的取值范围是（ ）
（A）416(,)55 （B）4(,16)5 （C）(1,16) （D）16(,4)5
7．某四面体的三视图如图所示．该四面体的
六条棱的长度中，最大的是（ ）
（A）25
（B）26
（C）27
（D）42
8．将正整数1,2,3,4,5,6,7随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的概率是（ ）
（A）221 （B）463 （C）121 （D）263
3 / 11 第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9. 已知向量(1,3)a，(2,1)b，(3,2)c.若向量c与向量kab共线，则实数k
_____．
10．如图，Rt△ABC中，90ACB，3AC，
4BC．以AC为直径的圆交AB于点D，则
BD ；CD______．
11．设等比数列{}na的各项均为正数，其前n项和为nS．若11a，34a，63kS，则k______．
12．已知椭圆 22142xy的两个焦点是1F，2F，点P在该椭圆上．若12||||2PFPF，则△12PFF的面积是______．
13．已知函数π()sin(2)6fxx，其中π[,]6xa．当3a时，()fx的值域是______；若()fx的值域是1[,1]2，则a的取值范围是______．
14．已知函数()fx的定义域为R．若常数0c，对xR，有()()fxcfxc，则称函数()fx具有性质P．给定下列三个函数：
①()2xfx； ②()sinfxx； ③3()fxxx．
其中，具有性质P的函数的序号是______．
4 / 11 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
在△ABC中，已知3sin21cos2BB．
（Ⅰ）求角B的值；
（Ⅱ）若2BC，4A，求△ABC的面积．
16．（本小题满分14分）
如图，四棱锥ABCDP中，底面ABCD为正方形，PDPA，PA平面PDC，
E为棱PD的中点．
（Ⅰ）求证：PB// 平面EAC；
（Ⅱ）求证：平面PAD平面ABCD；
（Ⅲ）求二面角BACE的余弦值．
17．（本小题满分13分）
生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：
测试指标 [70,76) [76,82) [82,88) [88,94) [94,100]
元件A 8 12 40 32 8
元件B 7 18 40 29 6
（Ⅰ）试分别估计元件A，元件B为正品的概率；
（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元 .在（Ⅰ）的前提下，
（ⅰ）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；
（ⅱ）求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率．
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18．（本小题满分13分）
已知函数2()xfxxb，其中bR．
（Ⅰ）求)(xf的单调区间；
（Ⅱ）设0b．若13[,]44x，使()1fx，求b的取值范围．
19．（本小题满分14分）
如图，已知抛物线24yx的焦点为F．过点(2,0)P的直线交抛物线于11(,)Axy，
22(,)Bxy两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N．
（Ⅰ）求12yy的值；
（Ⅱ）记直线MN的斜率为1k，直线AB的斜率为2k.证明：12kk为定值．
20．（本小题满分13分）
如图，设A是由nn个实数组成的n行n列的数表，其中ija(,1,2,3,,)ijn表示位于第i行第j列的实数，且{1,1}ija.记(,)Snn为所有这样的数表构成的集合．
对于(,)ASnn，记()irA为A的第i行各数之积，()jcA为A的第j列各数之积．令11()()()nnijijlArAcA．
（Ⅰ）请写出一个(4,4)AS，使得()0lA；
（Ⅱ）是否存在(9,9)AS，使得()0lA？说明理由；
（Ⅲ）给定正整数n，对于所有的(,)ASnn，求()lA的取值集合．
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北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末
高三数学（理科）参考答案及评分标准
2013.1
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1．D； 2．B； 3．A； 4．C； 5．C； 6．B； 7．C； 8．B．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9．1； 10．165，125；
11．6；
12．2；
13．1[,1]2，[,]62； 14．①③．
注：10、13题第一问2分，第二问3分;14题结论完全正确才给分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.
15．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解法一：因为3sin21cos2BB，
所以 223sincos2sinBBB． „„„„„„3分
因为 0B， 所以 sin0B，
从而 tan3B， „„„„„„5分
所以 π3B． „„„„„„6分
解法二： 依题意得 3sin2cos21BB，
所以 2sin(2)16B，
即 1sin(2)62B． „„„„„„3
7 / 11 分
因为 0B， 所以 132666B，
所以 5266B． „„„„„„5分
所以 π3B．
„„„„„„6分
（Ⅱ）解法一：因为 4A，π3B，
根据正弦定理得 sinsinACBCBA， „„„„„„7分
所以 sin6sinBCBACA． „„„„„„8分
因为 512CAB， „„„„„„9分
所以 562sinsinsin()12464C， „„„„„„11分
所以 △ABC的面积133sin22SACBCC． „„„„„„13分
解法二：因为 4A，π3B，
根据正弦定理得 sinsinACBCBA， „„„„„„7分
所以 sin6sinBCBACA． „„„„„„8分
根据余弦定理得 2222cosACABBCABBCB， „„„„„„9
8 / 11 yzOEPCBADx分
化简为 2220ABAB，解得 13AB．
„„„„„„11分
所以 △ABC的面积133sin22SABBCB． „„„„„„13分
16．（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：连接BD与AC相交于点O，连结EO．
因为四边形ABCD为正方形，所以O为BD中点．
因为 E为棱PD中点．
所以 EOPB//． „„„„„„3分
因为 PB平面EAC，EO平面EAC，
所以直线PB//平面EAC． „„„„„„4分
（Ⅱ）证明：因为PA平面PDC，所以CDPA． „„„„„„5分
因为四边形ABCD为正方形，所以CDAD，
所以CD平面PAD． „„„„„„7分
所以平面PAD平面ABCD． „„„„„„8分
（Ⅲ）解法一：在平面PAD内过D作直线DzAD．
因为平面PAD平面ABCD，所以Dz平面ABCD．
由,,DzDADC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyzD． „„„„9分
设4AB，则(0,0,0),(4,0,0),(4,4,0),(0,4,0),(2,0,2),(1,0,1)DABCPE．
